10. DETERMINANTY
V tejto kapitole zavedieme determinanty tvorcovbch mat c ubovo nRhorozmerunn
nad pevnbm po om K, presk mame ich z kladnR vlastnosti a nauW me sa ich poW ta .
Taktie[ si uk [eme nieko ko pr kladov ich vyu[itia.
Pitate sa pravdepodobne u[ na strednej kole stretol s determinantmi re lnych
mat c rozmerov 22 a 33. Mo[no tie[ vie previes vbpoWet determinantov vy ch
r dov na vbpoWet determinantov ni[ ch r dov pomocou ich rozvoja pod a nejakRho
riadku alebo st pca. So v eobecnou de n ciou determinantu sa v ak asi dosia nestre-
tol. Ako Woskoro uvid me, nie je to nijako priezraWn de n cia a na prvb poh ad urWite
nep]sob "prirodzenbm dojmom. KeS[e nechceme, aby t to de n cia "spadla z neba ,
n vbklad zaWneme pomerne dlhbm vodom, ktorb m posl [i ako jej motiv cia.
10.1. Orientovanb objem a multiline rne alternuj ce funkcie
Na zaWiatok si polo[me prirodzen ot zku: Ako vyzeraj vzorce pre plo nb obsah
rovnobe[n ka v rovine R2
, ktorRho dve susednR strany tvoria vektory u = u1;u2T,
v = v1;v2T, resp. pre objem rovnobe[nostena v priestore R3
, ktorRho tri susednR
hrany tvoria vektory u = u1;u2;u3T, v = v1;v2;v3T, w = w1;w2;w3T?
Vzorce, ktorR by vyjadrovali pr slu nb obsah alebo objem len pomocou s radn c
vektorov u, v resp. u, v, w, asi len tak z ruk va nevysypeme, m][eme sa v ak pok si
ich odvodi . Najschodnej ia cesta vedie cez ujasnenie si vlastnost , ktorbm by mali
takRto vzorce vyhovova . Uvid me, [e tieto vlastnosti u[ jednoznaWne a[ na vo bu jed-
notkovRho obsahu Wi objemu urWuj h adanR vzorce nielen v rovine Wi v trojrozmer-
nom priestore, ale mo[no ich bezprostredne zov eobecni na n-rozmernR vektorovR
priestory Kn nad ubovo nbm po om K, hoci tu pojem "n-rozmernRhoobjemu str ca
svoj n zornb geometrickb vbznam.
OznaWme teda PX obsah rovinnRho tvaru X. Zrejme PX je v[dy nez pornR
re lne W slo a pre zhodnR tvary X, Y plat PX = PY. Obsah je navy e adit vny,
t.j. pre tvary X, Y takR, [e PX Y  = 0, plat PX Y  = PX+PY . KoneWne,
PX = 0 pre ubovo n seWku X.
Obsah rovnobe[n ka fau+ bv; a;b 2 h0;1ig urWenRho vektormi u;v 2 R2
budeme
znaWi Pu;v. Z pr ve sformulovanbch vlastnost obsahu vyplbvaj rovnosti
Pu;v = Pv;u; Pcu;v = jcjPu;v
pre ubovo nR u;v 2 R2
, c 2 Z. Druh vlastnos sa nazbva pozit vna homogenita a
pre c = 3 je zn zornen na nasleduj com obr zku.
u 3u
v
Obr. 10.1. K pozit vnej homogenite obsahu vektorovRho rovnobe[n ka
1
2 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Platnos druhej rovnosti pre v etky c 2 Q mo[no u[ z toho jednoducho dok za pozri
cviWenie 1. S jej platnos ou pre v etky c 2 R je to u[ trochu zlo[itej ie zaklad sa
na istbch vah o "spojitosti obsahu , a tak jej rad ej uver me bez d]kazu.
Pozrime sa teraz na Sal ie dva obr zky. Podotbkame, [e oba zn zor uj situ ciu
v rovine, teda pri poh ade na ne treba potlaWi priestorovR videnie, ktorR sa n m
mimovo ne otv ra.
x
y x+ y
v
O
A
B
C
D
E
x
y x+ y
v
O A
BC
D
E
Obr. 10.2. K aditivite obsahu vektorovRho rovnobe[n ka
V prvom pr pade urWuj vektory x + y, v rovnobe[n k OABC, vektory y, v
rovnobe[n k ODEC a rovnobe[n k vektorov x, v je zhodnb s rovnobe[n kom DABE.
Zo zhodnosti trojuholn kov OAD, CBE potom na z klade uvedenbch vlastnost ob-
sahu vyplbva rovnos
Px +y;v = Px;v+ Py;v:
V druhom pr pade urWuj vektory x, v rovnobe[n k OABC, vektory x + y, v
rovnobe[n k ODEC a rovnobe[n k vektorov y, v je zhodnb s rovnobe[n kom DABE.
Zo zhodnosti trojuholn kov ODA, CEB vyplbva Px;v = Px + y;v + Py;v,
teda
Px +y;v = Px;v,Py;v:
To je v porovnan s prvbm pr padom nepr jemnR prekvapenie, urWite by sme dali
prednos rovnakej formule. V imnime si v ak , [e "krat ie otoWenie vektora y do
vektora v je orientovanR proti "krat m otoWeniam vektorov x aj x+y do vektora v.
V druhompr padeby sa n m preto hodilo, aby obsah rovnobe[n ka urWenRho vektormi
y, v mal z toho d]vodu opaWnR znamienko ako obsahy rovnobe[n kov prisl chaj cich
vektorom x, v resp. x + y, v. Tento cie mo[no dosiahnu , ak namiesto plo nRho
obsahu vektorovbch rovnobe[n kov budeme uva[ova ich orientovanb plo nb obsah,
ktorb men znamienko z menou poradia dvoch vektorov, teda m][e nadob da aj
z pornR hodnoty. P]vodnb nez pornb plo nb obsah potom dostaneme ako absol tnu
hodnotu orientovanRhoobsahu.Tento pr stup n m navy e umo[n zbavi sa absol tnej
hodnoty v rovnosti Pcu;v = jcjPu;v.
Podobnbmi vahami, ktorR by si v ak vy[iadali trochu zlo[itej ie obr zky, ten-
tokr t zn zor uj ce naozaj priestorovR situ cie, by sme mohli dospie i k potrebe
sk ma orientovanb objem rovnobe[nostena fau+bv +cw; a;b;c 2 h0;1ig urWenRho
vektormi u, v, w v trojrozmernom priestore R3
, pr padne orientovanb n-rozmernb
objem rovnobe[nostena fa1u1 + ::: + anun; a1;:::;an 2 h0;1ig urWenRho vektormi
10. DETERMINANTY 3
u1;:::;un v n-rozmernom priestore Rn pre n 3 v ak bez mo[nosti sprostredkova
si geometrickb vh ad obr zkami.
Pre Witate a, ktorb sa u[ stretol s vektorovbm s Winom v R3
, poznamenajme, [e
orientovanb n-rozmernb objem sa spr va do znaWnej miery podobne. Vektorovb s Win
u  v dvoch vektorov u;v 2 R3
, je vektor kolmb na rovinu u;v , ktorRho dl[ka sa
rovn plo nRmu obsahu rovnobe[n ka vektorov u, v a orient cia je dan pravidlom
pravej ruky ak polo[ me dla pravej ruky mal Wkom na vektor u tak, [e zakrivenR
prsty smeruj k vektoru v po obl ku zodpovedaj com uhlu  180 , vztbWenb palec
ukazuje smer aj orient ciu vektora uv. Z toho d]vodu uv = ,v u.
Ak nahrad me re lne W sla ubovo nbm po om K, vykonanR vahy n s priv dzaj
k nasleduj cim de n ci m. Nech V je vektorovb priestor nad po om K a 1  n 2 N.
Hovor me, [e zobrazenie F : Vn ! K je
a n-line rne alebo tie[ multiline rne, ak pre ka[dR 1  j  n a ubovo nR vektory
u1;:::;uj,1;uj+1;:::;un 2 V priradenie
x 7! Fu1;:::;uj,1;x;uj+1;:::;un
de nuje line rne zobrazenie V ! K, t.j. pre v etky x;y 2 V , a;b 2 K plat
Fu1;:::;uj,1;ax+ by;uj+1;:::;un
= aFu1;:::;uj,1;x;uj+1;:::;un + bFu1;:::;uj,1;y;uj+1;:::;un;
b antisymetrickR, ak pre v etky 1  i j  n a ubovo nR vektory u1;:::;un 2 V
plat
Fu1;:::;ui;:::;uj;:::;un = ,Fu1;:::;uj;:::;ui;:::;un:
Inak povedanR, F : Vn ! K je n-line rne, ak dosaden m ubovo nbch n,1 pevnbch
vektorov na akRko vek miesta do F dostaneme line rne zobrazenie vo zvy nej vo nej
premennej; F je antisymetrickR, ak z menou poradia ubovo nbch dvoch argumentov
v F sa hodnota vbsledku zmen na opaWn .
Cie om na ich vah teda bolo Witate a presvedWi , [e n-rozmernborientovanb objem
v Rn je multiline rna antisymetrick funkcia
Rn :::Rn
| z
n-kr t
! R:
Ukazuje sa v ak, [e antisymetriu mo[no nahradi zdanlivo slab ou, geometricky n -
zornou podmienkou, motivovanou oWividnbm vz ahom Pu;u = 0 pre obsah dege-
nerovanRho vektorovRho rovnobe[n ka. Hovor me, [e zobrazenie F : V n ! K je
c alternuj ce, ak pre ubovo nR u1;:::;un 2 V z podmienky ui = uj pre nejakR
1  i j  n vyplbva
Fu1;:::;un = 0:
Uk [eme si, [e uvedenR tri vlastnosti spolu tesne s visia. Najprv ale pripome me,
[e pole K m charakteristiku 2, ak v om plat 1 + 1 = 0, Wo je ekvivalentnR
s podmienkou 8a 2 Ka = ,a. Pr kladom je pole Z2 pozri paragraf 1.2. Ak
charK 6= 2, tak 8a 2 Ka = ,a  a = 0.
4 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
10.1.1. Lema. Nech V je vektorovb priestor nad po om K a F : V n ! K je
ubovo nR zobrazenie.
a Ak charK 6= 2 a F je antisymetrickR, tak F je alternuj ce.
b Ak F je multiline rne a alternuj ce, tak F je antisymetrickR.
D]kaz. a sme u[ vlastne dok zali v vahe predch dzaj cej t to lemu.
b Nech F je multiline rne a alternuj ce. Polo[me x = ui, y = uj a za xu-
jme zvy nR z vektorov u1;:::;un. Potom Gx;y = Fu1;:::;x;:::;y;:::;un je
biline rne t.j. 2-line rne alternuj ce zobrazenie V 2
! K. StaW dok za , [e G je
antisymentrickR. VSaka uvedenbm vlastnostiam plat
Gx;y+ Gy;x = Gx;x+ Gx;y+ Gy;x+ Gy;y
= Gx + y;x+ y = 0;
teda Gx;y = ,Gy;x.
Pre multiline rne zobrazenie tak altern cia implikuje antisymetriu, kbm opaWn
implik cia plat len za dodatoWnRho predpokladu charK 6= 2 no, na druhej strane,
aj bez multilinearity.
10.1.2. Lema. Nech F : Vn ! K, : f1;:::;ng ! f1;:::;ng s ubovo nR zobraze-
nia a u1;:::;un 2 V .
a Ak F je antisymetrickR a je permut cia, tak
Fu 1;:::;u n = ,1j jFu1;:::;un:
b Ak F je alternuj ce a nie je permut cia, tak
Fu 1;:::;u n = 0:
D]kaz. a StaW si uvedomi , [e j j oznaWuje najmen poWet traspoz ci t.j. vbmien
poradia dvoj c, z ktorbch mo[no zlo[i permut ciu pozri paragraf 0.5.
b Ak nie je permut cia, tak i = j, preto tie[ u i = u j, pre nejakR
1  i j  n. OznaWme vk = u k pre 1  k  n. Potom vi = vj, a v d]sledku
altern cie Fv1;:::;vi;:::;vj;:::;vn = 0.
Zaznamenajme teraz niektorR z kladnR vlastnosti multiline rnych alternuj cich
teda automaticky aj antisymetrickbch zobrazen , ktorR budeme s stavne vyu[ va .
10.1.3. Lema. Nech F : Vn ! K je multiline rne alternuj ce zobraznie. Potom pre
ubovo nR v1;:::;vn 2 V plat :
a PripoW tan m skal rneho n sobku nejakRho z vektorov k inRmu vektoru sa hod-
nota Fv1;:::;vn nezmen , t.j. pre ubovo nR c 2 K a i;j  n plat
Fv1;:::;vi;:::;vj + cvi;:::;vn = Fv1;:::;vi;:::;vj;:::;vn:
b Ak s vektory v1;:::;vn line rne z vislR, tak Fv1;:::;vn = 0.
D]kaz. a Priamym vbpoWtom s pou[it m multilinearity a altern cie dost vame
Fv1;:::;vi;:::;vj +cvi;:::;vn
= Fv1;:::;vi;:::;vj;:::;vn +cFv1;:::;vi;:::;vi;:::;vn
= Fv1;:::;vi;:::;vj;:::;vn
10. DETERMINANTY 5
b Ak s vektory v1;:::;vn line rne z vislR, tak niektorb z nich, povedzme vk,
je line rnou kombin ciou ostatnbch, teda vk =
P
i6=k civi pre vhodnR skal ry ci.
Z multilinearity a altern cie F potom vyplbva
Fv1;:::;vk;:::;vn =
X
i6=k
ciFv1;:::;vi;:::;vn = 0;
lebo v ka[dom z uvedenbch vbrazov Fv1;:::;vi;:::;vn sa vektor vi vyskytuje ako
argument na i-tom aj na k-tom mieste.
Pozrime sa teraz bli[ ie, ako vyzeraj v etky biline rne alternuj ce zobrazenia
F : K2
K2
! K nad po om K. Zvo me ubovo nR vektory u = u1e1 + u2e2 a
v = v1e1 + v2e2 z K2
. Ak dvakr t po sebe vyu[ijeme bilinearitu a na z ver altern ciu
a antisymetriu F, postupne dostaneme
Fu;v = Fu1e1 + u2e2; v = u1Fe1;v+ u2Fe2;v
= u1Fe1; v1e1 + v2e2 + u2Fe2; v1e1 +v2e2
= u1v1Fe1;e1 + u1v2Fe1;e2 + u2v1Fe2;e1 + u2v2Fe2;e2
= Fe1;e2u1v2 ,u2v1 = Fe1;e2 u1 v1
u2 v2
;
kde vbraz
u1 v1
u2 v2
= u1v2 ,u2v1
Witate u[ iste pozn ako determinant matice u;v =
u1 v1
u2 v2

2 K22
.
Podobnbm sp]sobom mo[no odvodi aj tvar ubovo nej n-line rnej alternuj cej
funkcie F : Knn ! K i teraz, ako obyWajne, prirodzene stoto[ ujeme n-t karte-
zi nsku mocninu Knn st pcovRho vektorovRho priestoru V = Kn s priestorom mat c
Knn. Nech A = aij 2 Knn je matica so st pcami
sjA = a1j e1 +::: +anjen =
nX
i=1
aijei:
S vyu[it m n-linearity F pre ka[db z n st pcov matice A mo[no vbraz FA postupne
rozn sobi , W m dostaneme s Wet nn Wlenov tvaru
a 1 1 :::a n nFe 1;:::;e n;
z ktorbch ka[db zodpoved jednRmu zobrazeniu mno[iny f1;:::;ng do seba. Pod a
lemy 10.1.2 sW tance prisl chaj ce zobrazeniam =2 Sn s v etky rovnR 0 a pre 2 Sn
plat
Fe 1;:::;e n = ,1j jFe1;:::;en:
Z verom tak dost vame
FA = Fe1;:::;en
X
2Sn
,1j ja 1 1 :::a n n
= FIn
X
2Sn
,1j ja 1 1 :::a n n;
kde pr slu n suma obsahuje n! sW tancov, jeden pre ka[d permut ciu 2 Sn.
6 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
10.2. De n cia a z kladnR vlastnosti determinantu
Determinantom tvorcovej matice A = aij 2 Knn nazbvame vbraz
detA =
a11 ::: a1n
... ... ...
an1 ::: ann
=
X
2Sn
,1j ja 1 1 :::a n n:
Ak nehroz z mena s absol tnou hodnotou, pou[ vame tie[ oznaWenie jAj. Determi-
nant tvorcovej matice r du n budeme nazbva determinant r du n.
peci lne pre maticu aij 2 K33
dost vame vzorec
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
, a31a22a13 ,a21a12a33 ,a11a32a23;
zn my ako Sarrusovo pravidlo.
Sk]r ako kuriozitu poznamenajme, [e uveden de n cia zah a aj pr pad n = 0:
pre jedin  pr zdnu maticu I0 =   2 K00
d va detI0 = det  = 1.
Nasleduj ce dve vlastnosti determinantov dok [eme ako d]sledky na ej de n cie.
10.2.1. Tvrdenie. Determinant transponovanej matice sa rovn determinantu p]-
vodnej matice, t.j.
detAT = detA
pre ubovo n A 2 Knn.
D]kaz. Pod a de n ci transponovanej matice a determinantu
detAT =
X
2Sn
,1j ja1 1 :::an n:
KeS[e pre 2 Sn plat i = j , j = ,1i, zoraden m Winite ov v s Wine
a1 1 :::an n pod a druhRho indexu tento nadobudne tvar a ,11 1 :::a ,1n n.
Pritom priradenie 7! ,1 je bijekcia Sn ! Sn. Navy e, ak = 1 ::: k je
rozklad permut cie na transpoz cie, tak ,1 je kompoz cia tbch istbch transpoz ci
v opaWnom porad , preto j j = ,1 . V d]sledku toho z menou sum cie cez 2 Sn
za sum ciu cez ,1 =  2 Sn dost vame
detAT =
X
2Sn
,1jja11 :::ann = detA:
VSaka pr ve dok zanRmu tvrdeniu si v etky vbsledky o determinantoch mat c
zachovaj svoju platnos , ak v nich ka[db vbskyt slova "st pec nahrad me slovom
"riadok a naopak. Tento princ p z meny riadkov a st pcov budeme Wasto vyu[ va .
10. DETERMINANTY 7
10.2.2. Tvrdenie. Nech 1  m n a A 2 Knn je blokov matica tvaru
A =
B C
0 D

;
kde B 2 Kmm, C 2 Kmn,m a D 2 Kn,mn,m
. Potom
detA = detB detD:
D]kaz. Z uvedenRho blokovRho tvaru matice A vyplbva
aij =
8
:
bij; ak 1  i;j  m,
cij,m; ak 1  i  m j  n,
0; ak 1  j  m i  n,
di,mj,m; ak m i;j  n.
OznaWme G = f 2 Sn; 8j  m j  mg. Potom pre 2 Sn r G plat
a 1 1 :::a n n = 0, teda do hodnoty determinantu matice A prispievaj len sW -
tance zodpovedaj ce permut ci m 2 G. Navy e, 8 2 Gm j  m j,
tak[e pre 2 G mo[no de nova permut cie 0 2 Sm a 00 2 Sn,m predpismi
0j = j, ak 1  j  m, resp. 00k = k + m,m, ak 1  k  n ,m. Zrejme
priraden m 7!  0; 00 je dan bijekcia G ! Sm Sn,m a plat j j = j 0j+ j 00j.
Tak[e m][eme p sa
detA =
X
2G
,1j ja 1 1 :::a m ma m+1 m+1 :::a n n
=
X
2G
,1j 0j+j 00jb 01 1 :::b 0m md 001 1 :::d 00n,m n,m
=
X
02Sm
,1j 0jb 01 1 :::b 0m m
X
002Sn,m
,1j 00jd 001 1 :::d 00n,m n,m
= detB detD:
Na z klade tvrdenia 10.2.1 teraz vieme, [e detA = detBdetD, aj keS sa nulovb
blok 0 nach dza nad a blok C 2 Kn,mm
pod diagon lou matice A. Tvrdenie
10.2.2 mo[no taktie[ zrejmbm sp]sobom zov eobecni na matice pozost vaj ce z via-
cerbch diagon lne zoradenbch tvorcovbch blokov, pod nad ktorbmi s samR nuly.
Spome me explicitne nasleduj ce dva pr pady:
1 Ak A1;:::;Ak s tvorcovR matice, tak
detdiagA1;:::;Ak = detA1 :::detAk:
2 Matica A 2 Knn sa nazbva horn doln  trojuholn kov matica, ak aij = 0
pre i j resp. pre i j. Pre hornR aj dolnR trojuholn kovR matice plat
detA = a11 :::ann;
t.j. determinant takej matice je s Winom jej diagon lnych prvkov. peci lne to
plat pre diagon lne matice.
8 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
10.3. Charakteriz cia determinantu a regul rnych mat c
avahy z paragrafu 10.1 mo[no zhrn do nasleduj cej vety.
10.3.1. Veta. Determinant r du n je n-line rna alternuj ca funkcia Knn ! K
st pcov matice. Navy e, pre ka[db skal r c 2 K existuje jedinR multiline rne alternu-
j ce zobrazenie F : Knn ! K st pcov matice takR, [e FIn = c. Toto F je danR
predpisom
FA = cdetA:
Determinant det: Knn ! K je teda jednoznaWne urWenb ako n-line rna alternu-
j ca funkcia st pcov matice tak , [e
detIn = dete1;:::;en = 1:
T to rovnos zodpoved prirodzenej vo be jednotky orientovanRho n-rozmernRho ob-
jemu v Kn je ou orientovanb objem rovnobe[nostena urWenRho vektormi e1;:::;en
v tomto porad .
V paragrafe 10.1 sme vlastne dok zali, [e ka[d n-line rna alternuj ca funkcia
F : Knn ! K mus ma uvedenb tvar, t.j. je skal rnym n sobkom determinantu.
Zost va v ak overi ,[e determinant,tak, ako smeho de novali,je naozaj multiline rne
alternuj ce zobrazenie. Hoci tieto vlastnosti s intut vne jasnR z na ej kon trukcie,
pre ambici znej ieho Witate a pod me ich d]kaz vych dzaj ci len z de n cie determi-
nantu. Navy e sa tbm n vbklad stane form lne nez vislbm na motivaWnbch vah ch
o orientovanom objeme z prvej Wasti vodnRho paragrafu 10.1.
D]kaz vety 10.3.1 odlo[ me a[ do nasleduj ceho paragrafu, kde n m posl [i ako
vhodnb vod do Sal ieho okruhu ot zok. Na tomto mieste v ak zaznamen me dva
bezprostrednR d]sledky tejto charakterizaWnej vety. Samozrejme, v jej d]kaze sa na
ne nebudeme odvol va .
10.3.2. Veta. Cauchy Pre ubovo nR matice A; B 2 Knn plat
detA B = detAdetB;
t.j. determinant s Winu mat c sa rovn s Winu ich determinantov.
D]kaz. Zvo me pevne maticu A 2 Knn a de nujme zobrazenie F : Knn ! K
predpisomFB = detAB pre B 2 Knn. Over me, [e F je n-line rne alternuj ce
zobrazenie st pcov matice B; oznaWme ich v1;:::;vn.
Najprv over me, [e F je alternuj ce. Nech 1  i j  n a B je matica tak , [e
vi = vj pre nejakR i j.Potom aj Avi = Avj, a s vyu[it m altern cie determinantu
dost vame
FB = detA v1;:::;vi;:::;vj;:::;vn
= detA v1;:::;Avi;:::;Avj;:::;Avn = 0:
Teraz dok [eme multilinearitu F. Za xujme st pce v1;:::;vj,1;vj+1;:::;vn a na
miesto j-teho st pca dosaSme vektor ax + by. S vyu[it m n-linearity determinantu
n m vyjde
10. DETERMINANTY 9
Fv1;:::;ax+ by;:::;vn = detA v1;:::;ax+ by;:::;vn
= detA v1;:::;Aax + by;:::;Avn
= detA v1;:::;aA x+ bA y;:::;Avn
= adetA v1;:::;Ax;:::;Avn
+bdetA v1;:::;Ay;:::;Avn
= adetA v1;:::;x;:::;vn
+bdetA v1;:::;y;:::;vn
= aFv1;:::;x;:::;vn +bFv1;:::;y;:::;vn:
Pod a vety 10.3.1 m F tvar FB = cdetB pre jednoznaWne urWenb skal r c =
FIn = detA In = detA.
10.3.3. Veta. tvorcov matica A 2 Knn je regul rna pr ve vtedy, keS detA 6= 0.
V tom pr pade
det
,A,1= detA,1:
D]kaz. Ak A je singul rna, tak jej st pce s line rne z vislR. Pod a lemy 10.1.3b
je FA = 0 pre ubovo n n-line rnu alternuj cu funkciu F : Knn ! K. Teda
peci lne detA = 0. Naopak, nech A je regul rna. Potom pod a vety 10.3.2,
detAdet
,A,1 = det
,AA,1 = detIn = 1:
Preto detA 6= 0 a det
,A,1 = detA,1.
10.4. Laplaceov rozvoj determinantu
N vbklad zaWneme s benbm d]kazom. KeS[e pre n = 0; 1 niet Wo dokazova , aby
sme sa vyhli rozpitv vaniu trivial t, budeme v celom paragrafe predopklada ,[e n  2.
D]kaz vety 10.3.1. Najprv dok [eme, [e determinant je alternuj ca funkcia. Nech
A 2 Knn je tak , [e siA = sjA pre nejakR i j. OznaWme 2 Sn transpoz ciu,
ktor vymie a i a j a ostatnR prvky nech va namieste. Potom pre v etky k;l  n
plat akl = a k l. Mno[inav etkbch p rnychpermut ci mno[inyf1;:::;ng sa zvykne
znaWi An. Zrejme priraden m 7! je dan bijekcia An ! Sn r An. S vyu[it m
toho m][eme poW ta
detA =
X
2Sn
,1j ja 1 1 :::a n n
=
X
2An
a 1 1 :::a n n ,
X
2SnrAn
a 1 1 :::a n n
=
X
2An
a 1 1 :::a n n ,
X
2An
a 1 1 :::a n n
=
X
2An
a 1 1 :::a n n ,a  1 1 :::a  n n = 0:
10 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Teraz dok [eme, [e detA je line rnou funkciou j-teho st pca a1j ;:::;anjT. Pre
i  n oznaWme Sni;j = f 2 Sn; i = jg a polo[me
~aij =
X
2Sni;j
,1j ja 1 1 :::a j,1 j,1a j+1 j+1 :::a n n:
Potom zrejme
detA =
nX
i=1
~aijaij = ~a1j ;:::;~anj a1j ;:::;anjT;
Wo dokazuje spom nan linearitu.
Na z klade tvrdenia 10.2.1 plat aj "riadkova verzia pr ve dok zanej vety 10.3.1.
peci lne, determinant je takisto multiline rna alternuj ca funkcia riadkov matice a
keS[e 2 Sni;j , ,1 2 Snj;i pre i-ty riadok ai1;:::;ain matice A jej
determinant m rozvoj
detA =
nX
j=1
aij~aij = ai1;:::;ain ~ai1;:::;~ainT:
s rovnako de novanbmi koe cientmi ~aij.
Uvedenb prvok ~aij nazbvame algebraickbm doplnkom prvku aij v matici A. Maticu
eA = ~aijnn nazbvame maticou algebraickbch doplnkov k matici A.
10.4.1. Tvrdenie. Nech Aij oznaWuje maticu r du n , 1, ktor vznikne z matice
A 2 Knn vynechan m i-teho riadku a j-teho st pca. Potom
~aij = ,1i+jjAijj:
D]kaz. OznaWme B maticu, ktor vznikne nahraden m j-teho st pca matice A st p-
covbm vektorom ei 2 Kn. Zrejme ~aij = jBj. Ak budeme v matici B postupne
vymie a st pce s indexmi j a j + 1, Salej j + 1 a j + 2, atS., a[ nakoniec n,1 a n,
a potom riadky s indexmi i a i + 1, Salej i + 1 a i + 2, atS., a[ napokon n ,1 a n,
dostaneme maticu tvaru
C =
Aij 0
b 1

;
kde b vznikne z i-teho riadku matice A vynechan m j-teho prvku a 0 je nulovb st pec
d [ky n,1. Pod a tvrdenia 10.2.2 a pozn mky za jeho d]kazom, determinant tejto
matice je jAijj. KeS[e determinant je alternuj ca funkcia tak st pcov ako aj riadkov
matice a v etkbch vbmien bolo dohromady n ,j+ n ,i = 2n ,i +j, plat
~aij = jBj = ,12n,i+j
jCj = ,1i+jjAijj:
Determinanty mat c, ktorR vznikn vynechan m niektorbch riadkov a rovnakRho
poWtu s tpcov z matice A 2 Knn, nazbvame jej minormi, pr padne subdetermi-
nantmi determinantu jAj. Dosaden m z skanbch hodn]t algebraickbch doplnkov do
rozvoja determinantu r du n pod a niektorRho riadku resp. st pca tak dost vame jeho
vyjadrenie pomocou subdeterminantov r du n,1.
10. DETERMINANTY 11
10.4.2. Veta. Nech A 2 Knn, 1  k;l  n. Potom
jAj =
nX
j=1
,1k+jakj jAkjj =
nX
i=1
,1i+lail jAilj:
UvedenR s Wty nazbvame Laplaceovbmi rozvojmi determinantu jAj prvb pod a
k-teho riadku, druhb pod a l-teho st pca.
10.5. VbpoWet determinantu
Sk]r ne[ sa pust me do vbpoWtov konkrRtnych determinantov, sk sme si urobi inven-
t ru prostriedkov, ktorR m me nato k dispoz cii, a pos di ich vhodnos .
Asi sa zhodneme na tom, [e vbpoWet determinantu r du n pod a jeho de n cie, ako
s Wtu n! s Winov po n Winite och, by bol znaWne a[kop dny. Pokia sme sa stretli len
s pr padmi n = 2 alebo n = 3, nemus me si to jasne uvedomi . Av ak u[ 4! = 24,
5! = 120 a funkcia n! ve mi rbchlo rastie. Preto je potrebnR pouva[ova o nejakej inej
met de.
KeS[e determinant je multiline rnoualternuj cou funkciou tak riadkov ako aj st p-
cov matice, ako najprirodzenej ia sa n m pon ka met da pravy matice na horn pr -
padne doln trojuholn kov maticu pomocou element rnych riadkovbch i st pcovbch
oper ci . Ako sme u[ spom nali v pozn mke 2 za d]kazom tvrdenia 10.2.2:
0 Determinant trojuholn kovej matice sa rovn s Winu jej diagon lnych prvkov.
Pripome me si aj nasleduj ce pravidl z paragrafu 10.1 o vplyve ERO a ESO na
determinant:
1 Vbmenou poradia dvoch riadkov alebo st pcov matice sa hodnota jej determi-
nantu zmen na opaWn .
2 Vyn soben m nejakRho riadku alebo st pca matice nenulovbm skal rom c 2 K
sa jej determinant zmen na c-n sobok p]vodnej hodnoty.
3 PripoW tan m skal rneho n sobku nejakRho riadku matice k jej inRmu riadku,
resp. n sobku nejakRho jej st pca k inRmu st pcu sa hodnota jej determinantu
nezmen .
V imnite si, [e len tret typ menovanbch prav nech va determinant bezo zmeny!
Poznamenajme, [e pravy typu 3 spolu s pravidlom 0 plne postaWuj na vbpoWet
akRhoko vek determinantu. Bez pravidiel 1 a 2 sa mo[no k udne zaob s , obWas
n m v ak m][u pom]c spreh adni situ ciu, preto sa im nebudeme vyhbba .
Pasto bbva u[itoWnR vbslovne si uvedomi nasleduj ci d]sledok pravidiel 1 3:
4 Ak matica obsahuje nulovb riadok alebo st pec, pr padne dva rovnakR riadky
alebo st pce, tak jej determinant je 0.
Mohlo by sa zda , [e sme akosi pozabudli na Laplaceov rozvoj. T to met da
umo[ uje previes vbpoWet determinantu r du n na vbpoWet n determinantov r du
n , 1, presnej ie na ist ich line rnu kombin ciu. Ak by sme d]sledne pokraWovali
Salej, mohli by sme t to lohu previes na vbpoWet nn , 1 determinantov r du
n,2, atS., a[ by sme napokon dostali n! determinantov r du 1. Ak si to dobre pre-
mysl me, zist me, [e takbto vbpoWet by bol rovnako efekt vny Wi, lep ie povedanR,
neefekt vny ako vbpoWet determinantu priamo na z klade jeho de n cie.
12 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Jednako sa Laplaceovho rozvoja celkom nezriekame. Odpor Wame ho v ak pou[ va
len vtedy, keS s v etky prvky pr slu nRhoriadku Wi st pca, pod a ktorRho determinant
rozv jame, a[ na jednu vbnimku rovnR nule. Vtedy vlastne nejde ani tak o rozvoj ako
o zn [enie r du danRho determinantu o 1 bez n rastu poWtu determinantov. Toto
odpor Wanie sformulujeme do n ho predposlednRho pravidla:
5 Nech v etky prvky i-teho riadku pr padne j-teho st pca matice A s vbnimkou
prvku aij s rovnR 0. Potom
jAj = ,1i+jaij jAijj:
V imnite si, [e pravidlo 0 mo[no dosta ako d]sledok n , 1-n sobnRho pou[itia
pravidla 5 a zrejmRho faktu, [e determinant matice a typu 11 je samotn hod-
nota a.
Ak si e te uvedom me, [e determinanty r du 2 mo[no najvbhodnej ie poW ta pria-
mo z de n cie:
6 a11 a12
a21 a22
= a11a22 ,a21a12,
je to u[ naozaj v etko, Wo potrebujeme vedie na efekt vny vbpoWet determinantu.
10.5.1. Pr klad. VypoW tame determinant re lnej matice
A =
0
BBB@
2 2 1 1 1
5 6 3 4 5
7 5 3 5 7
13 10 3 8 13
7 2 1 1 6
1
CCCA:
Najprv odpoW tame prvb riadok od piateho a druhb od tvrtRho. V matici, ktor
takto z skame, odpoW tame piaty st pec od prvRho a tvrtb od druhRho. Postupne tak
dostaneme
jAj =
2 2 1 1 1
5 6 3 4 5
7 5 3 5 7
8 4 0 4 8
5 0 0 0 5
=
1 1 1 1 1
0 2 3 4 5
0 0 3 5 7
0 0 0 4 8
0 0 0 0 5
= 1 2 3 4 5 = 120:
Prizn vame, [e vbpoWet, ktorb sme pr ve predviedli je tak trochu podraz voWi Wi-
tate ovi. apravy, ktorR sme pri om pou[ili, boli toti[ len opaWnbm postupom, ktorbm
sme pri formul cii lohy z vopred nara Wenej vbslednej hornej trojuholn kovej mati-
ce "uvarili zadanie. Napokon, tak je tomu s vTW inou loh v uWebniciach. No Witate ,
ktorRho autor "nevpustildo kuchyne , m lenmal n dej toto optim lnerie enien js .
Teda aspo pokia je loha dobre postaven . Predvedieme preto aj inR, "norm lne
rie enie, na akR m ancu pr s aj nezasvTtenb rie ite .
Najprv odpoW tame tret st pec od tvrtRho aj piateho a jeho dvojn sobok od
prvRho aj druhRho st pca. V Sal om kroku determinant rozvinieme pod a prvRho
riadku:
10. DETERMINANTY 13
jAj =
0 0 1 0 0
,1 0 3 1 2
1 ,1 3 2 4
7 4 3 5 10
5 0 1 0 5
=
,1 0 1 2
1 ,1 2 4
7 4 5 10
5 0 0 5
:
Teraz odpoW tame prvb st pec od poslednRho a z skanb determinant rozvinieme pod a
poslednRho riadku:
jAj =
,1 0 1 3
1 ,1 2 3
7 4 5 3
5 0 0 0
= ,5
0 1 3
,1 2 3
4 5 3
:
Po odpoW tan trojn sobku druhRho st pca od tretieho a rozvinut pod a prvRho riadku
sme koneWne v cieli:
jAj = ,5
0 1 0
,1 2 ,3
4 5 ,12
= 5 ,1 ,3
4 ,12 = 512 +3 4 = 5 24 = 120:
10.5.2. Pr klad. VypoW tame tzv. Vandermondov determinant r du n
VDnx1;x2;:::;xn =
1 x1 x2
1 ::: xn,1
1
1 x2 x2
2 ::: xn,1
2
...
...
...
...
1 xn x2
n ::: xn,1
n
:
OdpoW tan m prvRho riadku od v etkbch ostatnbch riadkov a n slednbm rozvojom
pod a prvRho st pca dostaneme
VDnx1;x2;:::;xn =
1 x1 x2
1 ::: xn,1
1
0 x2 ,x1 x2
2 ,x2
1 ::: xn,1
2 ,xn,1
1
...
...
...
...
0 xn ,x1 x2
n ,x2
1 ::: xn,1
n ,xn,1
1
=
x2 ,x1 x2
2 ,x2
1 ::: xn,1
2 ,xn,1
1
...
...
...
xn ,x1 x2
n ,x2
1 ::: xn,1
n ,xn,1
1
:
OdpoW tajme teraz od ka[dRho st pca poWn c druhbm x1-n sobok predch dzaj ceho
st pca. V determinante, ktorb z skame, je na mieste i;k, kde 1  i;k  n,1, prvok
,xk
i+1 ,xk
1
,x1
,xk,1
i+1 ,xk,1
1
 = xk,1
i+1 xi+1 ,x1:
14 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
Ak teda vyjmeme z i-teho riadku Winite xi+1 ,x1, postupne n m vyjde
VDnx1;x2;:::;xn =
x2 ,x1 x2x2 ,x1 ::: xn,2
2 x2 ,x1
...
...
...
xn ,x1 xnxn ,x1 ::: xn,2
n xn ,x1
= x2 ,x1:::xn ,x1
1 x2 ::: xn,2
2
...
...
...
1 xn ::: xn,2
n
= x2 ,x1:::xn ,x1 VDn,1x2;:::;xn:
Teraz u[ aj bez poW tania determinantov vid me, [e
VDn,1x2;:::;xn = x3 ,x2:::xn ,x2 VDn,2x3;:::;xn;
atS. KeS[e zrejme VD1xn = 1, dost vame vbsledok
VDnx1;x2;:::;xn =
Y
1i jn
xj ,xi;
kde symbolom
Q oznaWujeme s Win pr slu nbch Winite ov.
10.6. Inverzn matica a Cramerovo pravidlo
V tomto z vereWnom paragrafe si predvedieme dva pr klady vyu[itia determinantov.
Vyjadr me pomocou nich inverzn maticu k regul rnej tvorcovej matici a rie enie
s stavy line rnych rovn c s regul rnou tvorcovou maticou. Vopred poznamenajme,
[e tieto vyjadrenia sa na priame vbpoWty pr li nehodia. Na druhej strane tbm, [e vy-
jadruj inverzn maticu a rie enie spom nanej s stavy v tvare preh adnbch ucelenbch
form l, s vbznamnR hlavne z teoretickRho h adiska.
Nech A 2 Knn a 1  i;k  n s r]zne indexy. OznaWme B maticu, ktor vznikne
z matice A nahraden mjej k-teho riadku i-tym riadkom. Potom matica B m aspo 
dva riadky rovnakR, menovite i-tb a k-tb, preto jBj = 0. Na druhej strane matice A
a B sa l ia nanajvb v k-tom riadku, preto Akj = Bkj pre ka[dR 1  j  n. Z toho
d]vodu s algebraickR doplnky zodpovedaj cich si prvkov k-tych riadkov oboch mat c
rovnakR:
~bkj = ,1k+jjBkjj = ,1k+jjAkjj = ~akj:
Ak rozvinieme determinant matice B pod a jej k-teho riadku, dostaneme
detB =
nX
j=1
bkj~bkj =
nX
j=1
aij~akj = 0:
Spojenie tejto rovnosti s Laplaceovbm rozvojom determinantu matice A pod a k-teho
riadku d va
nX
j=1
aij~akj = riA rk
, eAT
= riA sk
, eAT=
jAj; ak i = k,
0; ak i 6= k.
10. DETERMINANTY 15
Inak povedanR
A eAT = jAjIn:
Inverzn maticu k regul rnej tvorcovej matici A potom dostaneme tak, [e trans-
ponovan maticu jej algebraickbch doplnkov vydel me determinantom jAj. Tbm sme
dok zali nasleduj cu vetu.
10.6.1. Veta. Nech A 2 Knn je regul rna matica. Potom
A,1 = 1
jAj
eAT:
10.6.2. Pr klad. N jdeme inverzn maticu k re lnej matici
A =
1 ,2
5 ,3

:
Jej determinant a maticu algebraickbch doplnkov vypoW tame ahko:
jAj = 1 ,3 ,5 ,2 = 7; eA =
,3 ,5
2 1

:
Preto
A,1 = 1
7
,3 2
,5 1

:
Poznamenajme v ak, [e okrem tvorcovbch mat c r du 2, kedy je to v podstate
jedno, je vbpoWet inverznej matice pomocou ERO alebo ESO, ako sme ho pop sali
v paragrafe 7.4, podstatne vbhodnej ne[ vbpoWet na z klade vety 10.6.1. U[ pre
matice r du 3 by sme na to potrebovali vypoW ta jeden determinant r du 3 a de-
vT determinantov r du 2. Vo v eobecnom pr pade by sme museli vypoW ta jeden
determinant r du n a n2
determinantov r du n,1.
Pitate sa pravdepodobne po prvbkr t stretol s determinantmi v s vislosti s rie e-
n m s stav line rnych rovn c, v ktorbch je poWet rovn c a nezn mych ten istb. Mo[no
by si v pr padoch 2  2 a 3  3 e te vedel spomen aj na pr slu nR vzorce. TakRto
vzorce, zn me ako Cramerovo pravidlo, v ak platia v ubovo nom rozmere n n.
10.6.3. Veta. Nech A 2 Knn je regul rna matica, b 2 Kn a pre 1  j  n nech Ab
j
oznaWuje maticu, ktor vznikne z matice A nahraden m jej j-teho st pca st pcovbm
vektorom b. Potom s stava Ax = b m jedinR rie enie
x =
jAb
1j
jAj ; jAb
2j
jAj ;:::; jAb
nj
jAj

T
:
D]kaz. Pod a vety 7.4.5 m uveden s stava jedinR rie enie x = A,1 b. Ak do tohto
vyjadrenia dosad me za A,1 z vety 10.6.1, pre j-tu zlo[ku vektora x n m vyjde
xj = 1
jAj
nX
i=1
~aijbi =
jAb
jj
jAj ;
16 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
lebo zodpovedaj ce si prvky j-tych st pcov mat c A a Ab
j maj rovnakR algebraickR
doplnky, tak[e uvedenb s Wet je Laplaceov rozvoj determinantu jAb
jj pod a j-teho
st pca.
Varujeme v ak Witate a pred pou[ van m Cramerovho pravidla na rie enie konkrRt-
nych s stav n line rnych rovn c o n nezn mych. Met da pravy roz renej matice
s stavy na redukovanb stup ovitb tvar pomocou ERO je ove a rbchlej ia a pohodlnej-
ia. Kbm vyrie enie takej s stavy pomocou ERO v[aduje pravu jedinej matice typu
n n + 1, pri rie en Cramerovbm pravidlom by sme museli pri vbpoWte determi-
nantov upravi n+ 1 mat c typu n n.
Na obranu determinantov v ak poznamenajme, [e stretnutie s najd]le[itej mi pr -
kladmi ich vyu[itia n s e te len Wak . Popri tzv. Gramovbch determinantoch to bude
najmT v s vislosti s charakteristickbm polyn mom a vlastnbmi hodnotami line rnych
transform ci a tvorcovbch mat c.
CviWenia
1. Nech U, V s vektorovR priestory nad po om Q. Dok [te nasleduj ce tvrdenia:
a Ak F : V ! U je zobrazenie takR, [e pre v etky c 2 Z, v 2 V plat Fcv = cFv, tak
uveden rovnos plat aj pre v etky c 2 Q.
b Ak F : V ! U je zobrazenie takR, [e pre v etky c 2 Z, v 2 V plat Fcv = jcjFv, tak
uveden rovnos plat aj pre v etky c 2 Q.
2. Nech U, V1;:::;Vn s vektorovR priestorynad po om K. Podobneako v paragrafe 10.1 de nujte
pojem n-line rneho zobrazenia F : V1  :::  Vn ! U. OznaWme LnV1;:::;Vn;U mno[inu
v etkbch n-line rnych zobrazen F : V1  :::  Vn ! U; ak V1 = ::: = Vn = V, tak miesto
LnV1;:::;Vn;U p eme len LnV;U. Dok [te, [e mno[ina LnV1;:::;Vn;U tvor line rny
podpriestor vektorovRho priestoru UV1:::Vn v etkbch zobrazen V1 ::: Vn ! U.
3. Nech U, V s vektorovR priestory nad po om K a n  2. De nujte pojmy symetrickRho, anti-
symetrickRho a alternuj ceho zobrazenia F : Vn ! U. Dok [te postupne nasleduj ce tvrdenia:
a Mno[iny SymnV;U v etkbch symetrickbch zobrazen V n ! U, AsymnV;U v etkbch
antisymetrickbch zobrazen Vn ! U a AltnV;U v etkbch alternuj cich zobrazen Vn ! K
s line rne podpriestory vektorovRho priestoru UVn
v etkbch zobrazen Vn ! U.
b Ak charK = 2, tak SymnV;U = AsymnV;U.
c Ak charK 6= 2, tak AsymnV;U  AltnV;U a SymnV;U AsymnV;U = f0g, kde 0
tentokr t oznaWuje identicky nulovR zobrazenie Vn ! U.
d LnV;U AltnV;U  LnV;U AsymnV;U.
e Ak charK 6= 2, tak LnV;U AltnV;U = LnV;U AsymnV;U.
f N jdite pr klad biline rnehot.j. 2-line rnehozobrazeniaZ2Z2 ! Z2, ktorR je symetrickR
teda aj antisymetrickR, no nie je alternuj ce.
g Ak dimV = n, tak dim
,
LnV;K AltnV;K

= 1. N vod: Dobre si uvedomte, Wo vlastne
hovor druh Was vety 10.3.1.
4. Dok [te Lemy 10.1.2 a 10.1.3 za v eobecnej ch podmienok cviWenia 3, t.j. pre zobrazenia
F : Vn ! U.
5. a VypoW tajte orientovanb aj neorientovanb plo nb obsah rovnobe[n ka urWenRho vektormi
u = 1;5T, v = 3;,4T v rovine R2
.
b VypoW tajte orientovanb aj neorientovanb objem rovnobe[nostena urWenRho vektormi u =
3;2;,1, v = 5;0;4, w = 1;1;1 v priestore R3
.
c VypoW tajte orientovanb aj neorientovanb tvorrozmernb objem tvorrozmernRho "rovno-
be[nonadstena urWenRho vektormi e1 + e2, e2 , 2e3, 4e3 , 2e4, 3e1 +e4 v priestore R4
.
6. VypoW tajte nasleduj ce determinanty nad po om R:
a
0 5 3 ,2
1 1 6 ,4
2 1 ,3 0
3 3 9 ,6
; b
3 5 7 4
0 1 0 ,1
1 4 4 0
4 7 11 6
; c
3 7 131 ,17
2 6 ,21 401
0 0 100 29
0 0 3 1
; d
2 ,2 0 4 0
2 3 5 7 11
1 ,2 4 0 2
0 6 0 1 ,1
1 ,1 1 1 ,1
; e
0 0 0 1 1
0 0 0 2 5
1 2 3 0 4
1 ,1 0 7 0
1 0 1 2 3
.
10. DETERMINANTY 17
7. Rozhodnite, pre ktorR hodnoty parametra  je uveden matica regul rna resp. singul rna.
Rie te nad ka[dbm z pol Q, R, C, Z2 a Z7 pre nasleduj ce matice ak v m prek [a, [e niektorb
prvok matice nepatr do pr slu nRho po a Zp, nahraS e ho jeho zvy kom po delen W slom p:
a

1  0
0 1 
 0 1

; b
 1,  0
 2, 0
3 3,2 

; c
 1 1 0 0
0  1 
0 1  1
 1 0 1
!
; d
 ,1 1 0 4
,2 +1 5 3
0 0 ,1 0
0 0 5 
!
.
8. Pre ubovo n maticu A rozmeru nn nad po om K a skal r c 2 K plat detcA = cn detA,
peci lne det,A = ,1n detA. Dok [te.
9. Nech n  2 a A, B, C, D s tvorcovR matice r du n nad po om K. Na pr klade uk [te, [e
okrem pr padu B = 0 alebo C = 0 pre z nich zlo[en blokov maticu neplat nasleduj ce
"zov eobecnenie pravidla na vbpoWet determinantu mat c rozmeru 2 2:
A B
C D = jAjjDj ,jBjjCj.
10. Pomocou algebraickbch doplnkov n jdite explicitnR vyjadrenie pre inverznR matice k nasledu-
j cim maticiam a sformulujte nutnR a postaWuj ce podmienky ich existencie:
a


a b
c d

; b

1 x x2
1 y y2
1 z z2

; c
 a b c
0 d e
0 0 f

; d


0 a
b 0

; e

0 0 a
0 b 0
c 0 0

.
Zov eobecnite vbsledky loh d, e na matice ubovo nRho r du n.
11. N jdite rie enia nasleduj cich s stav line rnych rovn c nad po om R pomocou Cramerovho
pravidla:
a x+y = 1, 3x ,5y = 4;
b x, 4y = ,2, 7x + 2y = 1;
c x +y ,z = 0, 2x + 3z = 3, 3x + y , 2z = ,5;
d 2x +y + 2z = 10, 4x ,y = ,3, y +2z = 0;
e x +2y + 3z + 4u = 10, y + 2z +3u = 6, z + 2u = 3, y ,z +u = 1.
12. Nech A 2 Kmn je matica nad po om K a I  f1;:::;mg, J  f1;:::;ng s dve mno[iny
indexov s rovnakbm poWtom prvkov k  minm;n. OznaWme AIJ 2 Kkk tvorcov maticu
r du k tvoren tbmi prvkami aij matice A, pre ktorR i 2 I a j 2 J. Determinanty takto
vzniknutbch mat c AIJ nazbvame minormi matice A2 Kmn r du k. Jednoducho povedanR,
minory matice A s determinanty tvorcovbch mat c, ktorR vznikn vynechan m niektorbch
riadkov a st pcov matice A. Minory prisl chaj ce mno[in m indexov tvaru I = J = f1;:::;kg
sa nazbvaj hlavnR minory matice A.
Dok [te, [e hodnos matice A je najvTW ie prirodzenR W slo k, pre ktorR existuje nenulovb
minor r du k matice A.N vod: Uk [te, [e ak ri1A, ::: , rikA s line rnenez vislR riadky
matice A, tak existuj indexy st pcov j1, ::: , jk takR, [e matica
,
aipjq

kk m hodnos k.
13. a VypoW tajte v etky minory re lnej matice


1 1 ,1
3 0 ,2

.
b VypoW tajte v etky hlavnR minory komplexnej matice
 2+i 0 3i 4
4i 3,2i 2 6,i
2,i 1+5i 0 2i

.
14. Nech A 2 Knn je tvorcov matica r du n a I, J s dve podmno[iny mno[iny f1;:::;ng
s rovnakbm poWtom prvkov k  n. Algebraickbm doplnkom minora jAIJj matice A pozri
cviWenie 12 nazbvame vbraz ,1I+JjAI0J0j, kde I0, J0 oznaWuj doplnky mno[ n I resp. J
v mno[ine f1;:::;ng a I+J = P
i2I i + P
j2J j. Nech Salej Pkn oznaWuje mno[inuv etkbch
k-prvkovbch podmno[ n mno[iny f1;:::;ng zrejme Pkn =
,n
k

.
Dok [te nasleduj ce zov eobecnenia Laplaceovho rozvoja determinantu z vety 10.4.2:
a Laplaceov rozvoj determinantu pod a vybranbch riadkov. Pre ubovo n mno[inu I 2 Pkn
vybranbch indexov riadkov matice A plat
jAj =
X
J2Pkn
,1I+J jAIJjjAI0J0j:
b Laplaceov rozvoj determinantu pod a vybranbch st pcov. Pre ubovo n mno[inu J 2 Pkn
vybranbch indexov st pcov matice A plat
jAj =
X
I2Pkn
,1I+J jAIJjjAI0J0j:
18 PAVOL ZLATO : LINE RNA ALGEBRA A GEOMETRIA
15. a VypoW tajte algebraickR doplnky minorov r du 2 re lnej matice
 1 1 3 0
,1 0 ,2 1
4 6 4 ,2
3 7 2 0
!
.
b Rozvi te determinant matice z lohy a pod a prvRho a druhRho riadku. Vbsledok prorov-
najte s hodnotou determinatu z skanou priamym vbpoWtom.
16. Nech K je pole, x0;x1;:::;xn s navz jom r]zne a y0;y1;:::;yn s ubovo nR prvky z K.
a Dok [te, [e potom existujepr vejedenpolyn mfx = a0 +a1x+:::+anxn 2 Kn
x takb,
[e fx0 = y0, fx1 = y1, ::: , fxn = yn; fx sa nazbva interpolaWnb polyn m koneWnej
funkcie xi 7! yi, kde 0  i  n. N vod: Rozp te uvedenR rovnosti do s stavy line rnych
rovn c v nezn mych a0;a1;:::;an a vyu[ite Vandermondov determinant.
b OdvoSte tzv. Lagrangeov tvar interpolaWnRho polyn mu
fx =
nX
i=0
yi
Y
j6=i
x,xj
xi ,xj
:
c Vyjadrite koe cienty interpolaWnRho polyn mu fx pomocou Cramerovho pravidla.
d Nech K je pole re lnych W sel R. V pr pade ekvidistanWnRho delenia x0, x1 = x0 + d,
x2 = x0 + 2d, ::: , xn = x0 + nd s krokom d 0, n jdite explicitnR vzorce pre koe cienty
interpolaWnRho polyn mu, ak 0  n  3.
17. S vyu[it m vbsledkov predch dzaj ceho cviWenia rie te nasleduj ce lohy:
a N jdite kvadratickR polyn my f0x;f1x;f2x 2 R2
x , ktorbch grafy prech dzaj
bodmi ,1;0, 1;0, 3;,2, resp. ,1;0, 0;,1, 2;5, resp. 0;,1, 2;5, 3;,2.
b N jdite kubickR polyn my g1x;g2x 2 R3 x , ktorbch grafy prech dzaj bodmi 0;,1,
1;0, 2;5, 3;,2, resp. ,1;0, 0;,1, 1;0, 2;5.
c N jdite bikvadratickb polyn m hx 2 R4
x , ktorRho graf prech dza bodmi ,1;0,
0;,1, 1;0, 2;5, 3;,2.
d NaWrtnite grafy funkci f0, f1, f2, g1, g2 a h na intervale h,2;4i a porovnajte ich.
18. Permanentom tvorcovej matice A= aijnn nad po om K nazbvame vbraz
perA=
X
2Sn
a 1 1 :::a n n:
Form lne teda permanent dostaneme vynechan m znamienkovbch koe cientov sgn = ,1j j
v de n cii determinantu. Dok [te postupne nasleduj ce tvrdenia:
a Ak maticu ch peme ako riadok jej st pcov, tak permanentje n-line rne symetrickR zobraze-
nie Knn ! K pozri cviWenie 3.
b Pre ubovo n maticu A2 Knn plat perAT = perA.
c Ak charK = 2, tak pre ka[d maticu A2 Knn plat perA = detA.
19. a OdvoSte v eobecnb vzorec na vbpoWet permanentu mat c rozmeru 2 2.
b OdvoSte vzorec analogickb Sarrusovmu pravidlu na vbpoWet permanentu mat c rozmeru
3 3.1
c VypoW tajte permanenty re lnych mat c A =


1 3
2 ,6

, B =

2 4 0
3 7 ,1
1 1 1

.
c OdvoSte z vbsledkov lohy a, [e permanent regul rnej tvorcovej matice sa m][e rovna
nule, kbm permanent singul rnej tvorcovej matice nemus by 0.
20. Nech X = fx1;:::;xng je n-prvkov mno[ina a X;H je orientovanb graf s mno[inou vr-
cholov X pozri cviWenie 2.7. Hovor me, [e permut cia 2 Sn [ije na grafe X;H, ak pre
ka[dR i  n plat xi;x i 2 H.
a Nech H 2 Rnn je incidenWn matica grafu X;H. Potom poWet v etkbch permut ci
2 Sn, ktorR [ij na grafe X;H, je pr ve perH. Dok [te.
b Pre ka[db z grafov z obr zku 2.1 vypoW tajte permanent jeho incidenWnej matice a urWte
poWet permut ci , ktorR na om [ij pok ste sa rie i obe lohy pre danb graf v optim lnom
porad .
1
Stoj za pozn mku, [e na rozdiel od determinantu nepozn me nijakb jednoduchb, rbchly
algoritmus na vbpoWet permanentu tvorcovbch mat c v eobecnRho r du n nad po ami charakteris-
tiky 6= 2. Dokonca m me dobrR d]vody domnieva sa, [e takb algoritmus neexistuje.