Domácí úkoly k předmětu M1130
1 Dělitelnost, rozklad na prvočinitele
Příklad 1.1:   Pro libovolná celá čísla dokažte
c ŕ 0        (a | b ^> ac | 6c) , a \ b A b > 0 ==> a<b.
Příklad 1.2: Nalezněte všechna celá čísla a^3, pro která a — 3 | a3 — 3.
Příklad 1.3: Dokažte, že pro libovolné n e N platí 9 | 4™ + Í5n — 1.
Příklad 1.4: Dokažte, že pro libovolné n e N platí n2 | (?? + 1)™ - 1.
Příklad 1.5*:   Pro libovolné přirozené číslo n > 2 existuje mezi čísly n a n! prvočíslo.
Příklad 1.6*:   Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 3k + 2.
Příklad 1.7:   Pro libovolná přirozená čísla íí, b, c, d dokažte
(i) (a, b) ■ (c, d) — (ac, ad, bc, bd),
(ii) (ac, bc) — (a, b) ■ c,
(iii) (a, b) — 1 — (a, c) — 1 =4> (a, bc) — 1.
2 Kongruence
Příklad 2.1:   Pro libovolná a, b e Z, m e N jsou následujícíc podmínky ekvivalentní:
(i) a = b (mod m),
(ii) (3í e Z) (a = 6 + toí)
(iii) m \ a — b.
Příklad 2.2:   Pro libovolná a, b, c G Z, m, d e N platí:
(i) (a = b (mod m) A d \ a A d | b A (d, m) = 1) § = g (mod m),
(ii) (a = 6 (mod m) A d \ a A d \ b A rf | m) ^ = | (mod f),
(iii) a = 6 (mod /?;)        ac = bc (mod ??;c).
Příklad 2.3:   Dokážte, že pro libovolné n e N je číslo 37™+2 + 16,!+1 + 23™ dělitelné 7.
Příklad 2.4:   Dokažte, že číslo
(i) (8355 + 6)18 - 1 je dělitelné 12,
(ii) 260 + 730 je dělitelné 13.
1
3 Polynomy
Příklad 3.1:   Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu
(i) 2x4 + lLr3 + ííx2 - 15x - 9,
(ii) xb + 2x4 + x3 + x2 + 2x + 1,
(iii) 4x7 - 16x6 + x5 + 55x4 - 35x3 - 38x2 + I2x + 8,
(iv) 8x6 + 28x5 + Í8x4 - 9x3 + 4x2 - 4x,
(v) 18x4 - 27 x3 - 26x2 + 12x + 8,
(vi) x3 - 6x2 - x + 30.
Příklad 3.2:   Označme ci, c2 kořeny polynomu 3x2 + 8x + 4. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo m, kde (i) m = ci + c2,
(ií)   777 — c\ + c\,
(iii) m — c\ + c|,
(iv) m = i + i,
(v) m = ci - c2,
(VÍ)   777 = C2 - Cg.
Příklad 3.3: Označme Ci, c2, c3 kořeny polynomu x3 + 2x2 + 3x + 4. Aniž danou rovnici řešíte, určete číslo m, kde
(i) m = ci + c2 + c3,
(ii) 771 = C1C2C3,
(iii) m = cic2 + c2c3 + C3C1,
(iv) m = cl + c22 + cl,
(v) m = c?+cl + cl,
(vi) 771 = -i- + — + —.
v    1 ci       c2 c3
Příklad 3.4*: Nechť ci,c2,c3 jsou kořeny polynomu / — x3 - 2x2 + x - 11. Určete polynom g, který má kořeny
(i) c\, c|, c|, (ii) Cl + c2, c2 + C3, C3 + Cl.
Příklad 3.5*:   Dokažte, že
■ V21 + 8- y 3 • V21 - 8 = 1 .
Příklad 3.6:   Nalezněte kvadratický polynom s racionálními koeficienty, jejímž jedním kořenem je
V7-VŠ
Příklad 3.7: Nechť a, b jsou racionální čísla, přičemž b > 0. Ukažte, že existuje kvadratický polynom s racionálními koeficienty, jejímž jedním kořenem je číslo a + \fb.
Příklad 3.8*: Ukažte, že neexistuje kvadratický polynom s racionálními koeficienty, jejímž jedním kořenem je číslo \f?j — \/2.
2
Další příklady na procvičení kvadratické rovnice viz soubor "seminár A.pdf" v ISu. Konkrétně: str. 2. př. 6,7,8; str. 3. př. 12,13.
4 Kongruence - pokračování
Příklad 4.1:   Nalezněte všechna celá čísla x s vlastností:
(i) 29x = 1 (mod 17),
(ii) 2Lr + 5 = 0 (mod 29),
(iii) 7 x = 3 (mod 13),
(iv) 21x+ 5 = 0 (mod 14),
(v) 21x+ 35 = 0 (mod 14).
Příklad 4.2:   V závislosti na parametru to e N popište všechna celá čísla x s vlastností:
(i) 2x = 1 (mod to),
(ii) 3ľ = 1 (mod to).
Příklad 4.3:   Řešte v Z rovnici:
(i) 18x + 20y + 15z = 1,
(ii) 14x + 8y + 6z = 3,
(iii) 7x + Uy + ÍOz = 3,
(iv) Ux + 8y + 6z = 4,
(v) 20x + í2y + 45z = 1,
(vi) lOx + Uy + V2z + 13u = 14.
Příklad 4.4*:   Dokažte, že pro libovolné prvočíslo p > 2 platí (p — 2)! = 1 (mod p).
Příklady na procvičení iracionálních rovnic a nerovnic najdete v souboru 'seminár A.pdf v ISu. Příklady na procvičení exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí najdete v souboru 'seminár B.pdf'.
5 Jednoduché důkazy v matematické analýze
Příklad 5.1:   Uvažujme funkci sin ^ : M — {0} ->• M.
(a) Podle definice limity napište pomocí kvantifikátorů, co znamená výrok
lim sin — není rovna 0 X--S-0 x
a dokažte jej.
(b) Obdobně z definice limity pomocí kvantifikátorů zapište výrok
lim sin —neexistuje
rr^O X
a dokažte jej.
3
Příklad 5.2:   Přímo z definice limity dokažte, že
lim x sin — — 0.
Příklad 5.3:   Pavel napsal definici spojitosti funkce / :l4lv bodě a G R takto:
Ve>0   VxGR   35 >0   (\x - a\ < ô => \f(x) - /(a)| < e.
(a) Ukažte, že podle Pavlovy definice je v bodě a spojitá každá funkce / : R —>• M.
(b) Napište negaci výroku z definice.
Příklad 5.4:   Petr napsal definici spojitosti funkce / : R —>• K v bodě a G M takto:
36 >0   Vs>0   Viel (|x-a|<5=H/(:r)-/(a)|<e.
(a) Ukažte, že podle Petrovy definice je v bodě a spojitá každá konstantní funkce / : R —>• R.
(b) Napište negaci výroku z definice.
(c) Ukažte, že funkce f(x) — x, není spojitá v a podle Petrovy definice, (cl*) Jak lze charakterizovat funkce spojité v a podle Petrovy definice?
6   Jednoduché důkazy v lineární algebře
Příklad 6.1: Nechť 0 < k < n a ui,u2, ■ ■ ■ ,un jsou lineárně nezávislé vektory ve vektorovém prostoru U. Dokažte, že vektory u\, 112, ■ ■ ■ , Uk jsou rovněž lineárně nezávislé.
(a) Proveďte nepřímý důkaz.
(b) Proveďte přímý důkaz.
Příklad 6.2: Nechť (p : U —>• U je lineární zobrazení. Dokažte z definice nebo vyvraťte pomocí protipříkladu následující výroky:
(a) Jsou-li vektory «i, u2,. .. , Uk G U lineárně nezávislé, pak (p(ui), <p{un), ■ ■ ■, f(uk) jsou rovněž lineárně nezávislé.
(b) Jsou-li vektory (p(ui), ^(«2),. .. , p(uk) lineárně nezávislé, pak u\, u2, ■ ■ ■, itfc G U jsou rovněž lineárně nezávislé.
Případné důkazy proveďte jak formou přímého, tak nepřímého důkazu.
Příklad 6.3:   Nechť W je vektorový prostor a U a. V jeho dva podprostory. Dokažte, že podmínka
u n v = {0}
je ekvivaletní s podmínkou
VweU + V   3\ueU   3\v G V   (w = u + v). Napište negaci druhého výroku a dokazujte obě implikace nepřímo.
Příklad 6.4: Dokažte z definice lineárního obalu, že pro každé tři vektory u,v,w ve vektorovém prostoru U platí
[u, v,w] — [u + v, v — u, v + w].
4
Příklad 6.5: Jsou-li vektory u\, 112, . . ., G U lineárně závislé, pak lze vybrat jeden z nich, označme jej uí, tak, že platí
[ui,U2, ... ,Uk] = [Ui, . . . ,Ui-i,Ui+i, ... ,un].
Dokažte.
Příklad 6.6*: Nechť W je vektorový prostor konečné dimenze a U a V jeho dva podprostory. Nechť / : U —>• W a g : V —> W jsou dvě lineární zobrazení taková, že f(w) — g(w) pro všechna w G U D V. Pomocí vhodné báze ve W definujte zobrazení F : U + V —>• W takové, že F(u) — f(u) pro všechna u E U a. F (v) — g (v) pro všechna veU.
5