• Pfi hledani rozkladu mnohoClenu v R na souein mnohoclemi nizsiho
stupnc pouzivame Bezoutovu vetu:
Je-li Xo kofen mnohoclenu F(x) stupne n, pak existuje mnohoclen G(x)
stupnc (n - 1) takory, ze pIaU
F(x) = (x - xo) . G(x).
• Ma.-li mnohoelen F(x) = anxn + an_IXn-1
+ ... + alX + ao ceIe
koeficienty a plati-li ao i= 0 a an i= 0, lezi vsechny jehoraciomilni kofeny
v mnozine vsech zlomku ~, kde p, q jsou nesoudclmi cela cisla takova,
ze plao a qlan.
• Pro kofeny Xl, X2 kvadraticke rovnice ax2 +bx +c = 0, kde a, b, c E R
a a i= 0, pIaU vzorec
-b± v'l5
XI,2 = 2a
kde D = b2 - 4ac je tzv. diskriminant. Kofeny jsou realne, pravc kdyz
D ~ 0, pfitom je-li D = 0, je Xl = X2 (tzv. dvojnasobny koren).
• Mezi kofeny Xl, X2 a koeficienty a, b, c kvadratieke rovnice pIaU tzv.
Vietovy vztahy:
b C
Xl + X2 = --; XIX2 = -.a a
• Kazdy mnohoclen v R lze rozlozit na souein einitelu, z nieM kazdy je
linearni nebo kvadratieky se zapornY'm diskriminantem. Zadny z techto
mnohoclenu nelze v R rozlozit na souein einitelu nizsiho stupne.
• Obsahuje-li algebraicka rovnice absolutni hodnotu, je zpravidla vhodne
rozdelit reSeni na etapy podle znamenek vy-razu v absolutni hodnotc.
Stoji-li absolutni hodnota osamocena na jedne strane rovnice, je nekdy
ryhodne takovou rovnici umocnit na druhou.
• Nerovniee s racionwni funkci fesime zpravidla metodou intervalii.: nerovnici
upravime na tvar P(x) . Q(x) > 0, resp. ~~~~> 0, rozlozime oba
mnohocleny P(x), Q(x) v R a ciselnou osu X rozdEHimena intervaly,
v nichz zadny einitel nemeni znamenko. Nasobime-li nerovnici vy-razem
s promennou, je nutne brat ohled na znamenko tohoto vy-razu.
• Pfi feseni kvadratickych nerovnic (s parametry) je ryhodne uplatnit
nasledujici vetu:
Nech£ F(x) = ax2 + bx + c, a> 0 a D = b2 - 4ac. Pak plati:
(i) F(x) > 0 pro kazde X E R, prave kdyz D < O.
(ii) Je-li D > 0, ma rovnice F(x) = 0 dva re~Hnekorehy Xl < X2, pritom
F(x) > 0 -¢::=::;> (X < Xl V x> X2),
F(x) < 0 -¢::=::;> Xl < X < X2.
1. Rozlozte v R:
• a) x3 + 9x2 + llx - 21
c) (x2 + X)2 + 4(x2
+ x) -12
e) 9x3 - 15x2 - 32x - 12
b) x3
- 6x2
- X + 30
d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24
2. fteste v R rovnice s parametry a, b E R:
a) x2 - 2(a + 1)x + 4a = 0 b) ax
2
+ 2x + 1 = 0
x 2a 8a2
c) ~ - x + a = x2 - a2
1 1 1 1
• d) ~ + x _ b = ~+ b' kde ab:f:. 0
b 3. Pro ktera. a ERma. rovnice (a - 3)x2
- 2(3a - 4)x + 7a - 6 = 0 dva
ruzne realne koreny? Urcete jejich znamenka.
4. Oznaeme Xl, X2 koreny rovnice 3x2 +8x +4 = O. Aniz danou rovnici
resite, urcete cislo m, kde
~ a) m = x~ + x~ b) m = x~ + x~
1 1
c) m= -+-Xl X2
f) m = x~ - x~
5. Naleznete kvadratickou rovnicL& racionalnimi koeficienty, jejimz
• jednim korenem je ~: ::i. "
6. Urcete, pro ktera. a ERma. dvojnasobny kofen rovnice
,'!)? (2a - 5)x2 - 2(a - 1)x + 3 = O.
~ f; 7. Najdete nejmenSi cele cislo k, pro nez ma. rovnice
x2 - 2(k + 2)x + 12 + k2
= 0
dva rea.lne ruzne kofeny.
a) (1 - 2a)x2
- 6ax - 1 = 0
ax2
- x + 1 = 0
b) x2
+ ax + 8 = 0
x2
+x+a = 0
9. fteste v R rovnice:
a) Ix2 - 3x + 31 = 2 b) Ix2
+ x-II = 2x-l
c) Ix+ 11-Ixl + 31x- 11- 21x - 21= Ix+ 21
Ix2
4x1 +3
d) Ix2 - 11+ x + 1 = 0 e) 2 - I 51 = 1x + x-
10. fteste v R nerovnice:
a) (x2 +4)(x2 - X - 2)(x2 - X - 12) > 0
b) (x2 + X + 1)(x2 + X - 2)(x
2
- 8x + 15) < 0
(x + 4)(x2 + 2x + 5)
x4 + lOx2 + 1
c) 3xs - 14x2 + 20x > 8 d) x2 _ 4x _ 5 < 0
x 4 4 x-I x+l
e) 3" -; > 3 f) -x- - -x---l < 2
3 7 6 x2
-1
g) -x-+-1+ -x-+-2$ -x---1 h) -x2-+-x-+-l < 1
3x-l 2-x 1-2x
i) 1 < -2x-+-l < 2 j) -x-s-+-x-22: -xs---3x-2
1
k) Ixl > - 1) x2
- 31xl+ 2 > 0
x
m) xlxl - 4x +3 < 0 n) I~:~~I> 1
0) Ix2 - 2x - 31 $ 3(x -1) p) Ix2
- 3x + 21 $ 2x - x
2
q) Ix2
- 4xl + 32: x2
+ Ix - 51 r) (Ix - 11- 3)(lx + 21- 5) < 0
s) Ilx - 21- x + 31< 5 t) \2x -13 - xl- 21$ 4
11. Urcete vSechny hodnoty parametru a E R tak, aby dana. nerovnost
platila pro kaZde x E A:
a) (a +4)x2 - 2ax +2a - 6 < 0, A = R
b) (a2 - l)x2 +2(a - l)x +2> 0, A = R
c) (a -1)x2 - (a + l)x + a + 1> 0, A = R
d) ax2 - 4x + 3a + 1> 0, A = R+
e) (x - 3a)(x - a - 3) < 0, A = (1; 3)
12. Ureete vSechny hodnoty parametru b E R tak, aby soustava dvou
nerovnosti
. -6 < 2x
2
+ bx - 4 < 4
x2-x+l
platila pro kaZde x E R.
13. Ureete, kdy pro kofeny Xl, X2 rovnice
2x2 - 2(2a+ l)x +a(a -1) = 0
lracionci.lnimi naz:rvame rovnice a nerovnice, ve kterych nezmlma vystupuje
v jednom ci vice vYrazech pod odmocninou. NejjednoduSsi pi'iklady
lze resit metodou substituce, kdy odmocninu z vYrazu s neznamou nahradime
novou neznamou.
Zakladni obrat v reseni iracionalnich rovnic spociva v odstrancni zastoupene
odmocniny z rovnice tim, ze odmocninu nejprve osamostatnime na
jedne strane a pote obe strany rovnice umocnime. Protoze umocneni na
sudy stupeii je v oboru R dtlsledkova uprava, je pfi takovem postupu
nutnou soucasti reSeni zkouska vsech nalezenych koremi jejich dosazenim
do ptivodni rovnice. U rovnice s vice odmocninami je casto nutne
provest popsany obrat vicekrat za sebou.
Nerovnice s osamostatnenou odmocninou zpravidla hned neumociiujeme,
nybrZ nejdfive zjistime definicni obor dane odmocniny a ten pak
rozdellme na casti (vetsinou intervaly), na kterych je druha strana nerovnice
kladna, nulova ci zaporna. Teprve pote posuzujeme danou nerovnici
v techto jednotIirych intervalech, pritom k umocneni nerovnice
pristupujeme pouze tehdy, maji-Ii obe strany nerovnice totez znamenko
(je-Ii zaporne, napiseme u umocnene nerovnice opacny znak nerovnosti.)
Tim zarucime, ze provedene umocneni je ve zkoumanem dilcim oboru
ekvivalentni upmva.
1. Reste v R rovnice:
x-4
a) --=x-8
2+.jX
c) ..j7 - x = x-I
e) 1+ .J2X+1 = 1
x
g) ..j2x + 5 = 8 - v"X=l
i)..jXTI -1= ";x- ..jx+8
k) Jx + 1+ ..;x=T = ..j3x - 1
D 4. 1
x + ..jx2 + X X - ..jx2 + X
~
-x ~+xb) --+3· -- =4
2+x 3-x
d) 2 + ..j4 + 2x - x2 = x
f) 2x2 + ..j2x2 - 4x + 12 = 4x + 8
h) ";x +..jx + 11+ ";x -..jx + 11 = 4
• j) ..j3x + 4 + ..jx - 4 = 2.jX
§1: Raciomilni funkce, rovnice a nerovnice
1a)
(x - 1)(x + 3)(x + 7)
b) (x + 2)(x - 3)(x - 5)
c) (x - 1)(x + 2)(x2
+ X + 6)
d) x(x + 5)(x2 + 5x + 10) [substituce y = x
2
+ 5x]
e) (x - 3)(3x + 2)2
2.
a) Xl = 2, X2 = 2a (Xl = X2 pro a = 1)
b) x = -1/2 pro a = 0, Xl = X2 = -1 pro a = 1, x E 0 pro a E (1,00),
-1± J1=-(i
X12 = ---- pro a E (-00,0) U (0,1)
, a
c) Xl = -2a, X2 = 3a pro a i 0, x E 0 pro a = 0
2ab
d) Xl = a + bi X2 = --b pro a i ±b, x = 0 pro a = -b,
a+
x = 2a pro a = b
3.
Dva ruzne kofeny pro a E (-00, -2) U (1/2,3) U (3,00), oba kladne
pro a E (-00, -2) U (1/2,6/7) U (3,00), jeden kladny a druhy zaporny
pro a E (6/7,3), jeden nulovY a druhy kladny pro a = 6/7.
4.
a) 40/9
b) -224/27
c) -2
d) ±4/3
e) -32/9
f) ±32/9
5.
Napfiklad x2 + 8x + 1 = o. [x = Ji5 - 4, takze (x + 4)2 = 15]
6.
a=4
7.
k = 3 [diskriminant D = 16(k - 2)]
8.
a) a = -3/4, a = 0, a = 2/9
b) a =-6
9.
3±J5
a) Xl,2 = 2
-3± Jfi
b) Xl = 1, X2,3 = 2
c} x E (-00, -2) U (2, oo)
d} x =-1
e} Xl = -2/3, X2 = 1/2, X3 = 2
10.
a) X E (-oo,-3) U (-1,2) U (4,oo)
b) X E (-oo,-4) U (-2,1) U (3,5)
c) X E (2/3,2) U (2, oo)
d} x E (-1,5) [citatelje kladny]
e} xE (-2,O)U(6,oo)
f) x E (-00, -1) U (O,l/2) U (1, (0)
g} x E (-00,-2) U (-5/4,-1) U (1,5)
h) x E (-2, oo)
i) x E (-00, -3) U (2, oo)
j) x E (-00, -7) U (-1,0) U (0, I} U (3, oo)
k} x E (-00,0) U (1,00)
I) x E (-00,-2) U (-1, I} U (2,oo)
m) x E (-00, -2 - ..;7) U (1, 3)
n} x E (-1/5, 2/3) U (2/3, 5)
0) x E (2,5)
p) x E (1/2,2)
q} x E (-00, -2/3) U (1/2,2)
r} x E (-7,-2) U(3,4)
s) x E (0,00)
t) x E (1/3,3)
11.
a) a E (-00, -6) [a = -4 nevyhovuje, takze a + 4 < 0 a D < 0]
b) a E (-00,-3) U (1,00) [bud a = 1, nebo a2
-1> 0 aD < 0]
c) a E (5/3, (0) [a = 1 nevyhovuje, takze a-I> 0 a D < 0]
d} a E (1, (0) [Nemuze bYt ani a < 0, ani a = OJ pro a> 0 mil.vrchol
pfisluSne paraboly kladnou x-ovou soufadnici Xo = 2/ a, takze
zjistime, kdy i jeho y-ova.soufadnice je kladna..]
e) a E (0,1/3) [Zjistime, kdy dany trojclen mil.za.pornou hodnotu jak
pro x = 1, tak pro x = 3, pra.ve tehdy lezi pi'isluSna.parabola pod
osou x v celem intervalu A = (1, 3).]
12.
bE (-2,4) [Jmenovatel je kladny pro kaMe x E R.]
13.
a E (-00, -3) U (0, oo) [Cislo a lezi mezi koi'eny dane rovnice F(x} = 0,
pra.ve kdyZ F(a} < 0 (tato nerovnost zarucuje i existenci koi'enu).]
14.
a E (2,5) [V pi'ipade a - 2 > 0 zjistime, kdy pro trojclen F(x) z dane
rovnice pIaU F(2) < 0 a F(3} < 0; v pi'ipade a - 2 < 0 kdy F(2) > 0 a
F(3) > 0.]
1.
a) x = 9
b) x = -3/2, x = 1/2
c) x = 3
d) x = 3
e) x = 4
f) x = 1+ v'3, x = 1- v'3
g) x = 10
h) x = 5
i) x = 8
j) x = 4
k) x = 1
1) x = -1, x = 9/16
2.
a) x E (1,2) U (2,00)
b) x E (-18, -2)
c) x E (-00, 1/2)
d) x E (-78,3)
e) x E (0,2)
f) x E (-2, -8/5) U (0, 2)
g}x E (-1,0) U (3/5, I)
h) x E (-00,00)
i) x E (-00, -3)
j) x E (-00, O) U (2,8/3)
k) x E (3,5)
1) x E (1,00)
m) x E (1,3/2)
n) x E (-20,0) U (5,00)
1.
a) a10ga x+loga Y = a10ga x . a10ga Y = x . y :::} vzorec
b) a10ga x-Ioga Y = a10ga x /a1oga Y = x/y:::} vzorec
c) ay·logax = a(logaX)'Y = (aIOgax)Y = xY:::} vzorec
d) a-Iogax = aO-Iogax = aO/alogax = l/x:::} vzorec
e) x = alogax = (b1ogba)IOgaX = blogba.logax:::} vzorec
f) Polozte x = b v e).
g) b10gaC = (alOga b)loga C = a10ga b·loga C = (a1oga c)loga b = c10ga b