8 3. Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
1. seminář
1. Z vlastností mocnin odvoďte vzorce a) - g):
a) loga(xy) = log(1a; + logay
c) loga(z*0 = ylogax logbz
e) loga x g) 6log»c
logb a clog«6
b) loga(-) = loga x - loga y d) loga(Í) =-logox 0^-
log6a
2. Určete číslo m, je-li:
a) m = 49i-iiog7 25 i
c) m = 81 '°B53
e) m = 321og3 2+log35
g) m = 36log«5 + 101_log2 - 3log°3
b) m = log log
d)m = log2(|)+log4(|) f) m =
1
.j.
1
36
log23    log49 log83
Ů,   9 n.
3. Pomocí čísel a, b, c vyjádřete číslo x:
a) x = log100 40;   a = log2 5
b) x = log6 16;   a = loSi2 27 ^a^log^;   a = log2,   b = log3,   c = log5
d) x = log140 63;   a = log2 3,  6 = log3 5,  c = log7 2
4. Zjednodušte výraz V = (loga 6 + logb a + 2)(loga 6-logab b) logb a- 1.
5. Dokažte následující implikace:
a) q* + fr2 = 7ab^log^=l0ga + l0gb
b) a2 + 962 = Wab        log3 i±** = lo^a + ^b
6. Reste v R následující rovnice:
a) 2X + (0,5)2x~3 - 6 ■ (0, 5)x = 1   b) 4X + 2X+1 - 24
c) 5X + 5X+1 + 5X+2 = 3X + 3X+1 + 3X+2
d) 9*2-i - 36 ■ 3x2"3 + 3 = 0 f) 10x - 5X_1 ■ 2X~2 = 950 h) 3 • 16x + 37 • 36x = 26 ■ 81x
j) (0
+
2X
e) \x\x
g) (2 + x/3)x + (2 - VŠ)* = 4 i) 6 • 9X - 13 • 6X + 6 • 4X = 0
k) 4X + 6X = 2 • 9X
—
0
_
3. Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice a nerovnice
9
2. seminář 7. Řešte v R následující rovnice:
a) iog(| _ £) = log |_ iogx
b)
log(35 - x3)
l2    ~,    ~62    -o- log(5-x)
c) log 5 + log(x + 10) = 1 - log(2x - 1) + log(21x - 20)
d) log4 log2 log3(2x - 1) = § e) log(20 - x) = log3 x f) log2(x2 - 1) = logi (x - 1) g) log4(x + 12) ■ logx 2 :
h) log05xx2 - 14log16xx3 + 40log4x yfi=Q
i) x'°s* = 103x2 . j) xl°s*x+1 = 9x2
k) 16log* 2 = 8x 1) 15'°K5 3 . xl+\oSs(9x) =
m) a;log2 ú . I4'°g27 = i
n) logx/rT¥+31ogv/r^=logvT^2 + 2 o) xlos«x = a}°&x, kde a > 0, a / 1
8. Reste v R nerovnice
a) c)
1
2X
_ ^> _
1 1
_ ox—1 [/
1
1
<
y
3X + 5 ~ 3X+1 - 1 . e) 2X+2 - 2X+3 - 2I+4 > 5X+1 - 5X+2
■   v J' 2X + 3    2X+2 - 1
d) 52x+1 > 5X + 4
V
■ 1/ .f) 8X + 18X-2-27x > 0
h) log0>7--< 0
' X
j) log01(x2 + 1) < log01(2x - 5) k) logx(x + 2) > 2
l)logxfíf>l m) logx|x2-l| >0
n) logx s/20^ > 1 o) logx(x + 1) > logj.(2 - x)
p) logx2 (2 + x) < 1 q) log,,.!! 0,5 < 0,5
r) log*^. 0,3 > 0
s) l°Ě(x-2)(2x - 3) > log(x_2)(24 - 6x)
4* + 6
5 g) l0g8(x2
i) log
2x+l
4x + 3) < 1 < 0
/K/C &*íí
4:
b
(i
jř & to,*)
,   /,     3 - 2x t) ^log2— >1
u) xlo^x > 2
w) (x2 + x + l)x < 1
v) 2X > 11 - x
x)
y) loga x > 6 logx a - 1, kde a e (0,1)
logax
> 1, kde a > 1
1
i
1
5-
10 4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
§4: GONIOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE
Goniometrické funkce sinus a kosinus s reálným argumentem definujeme jako souřadnice bodů na jednotkové kružnici se středem v počátku kartézské souřadné soustavy. Dále definujeme:
tg x cotg x
sin o: cos x
COSI
sin a:
pro   xeR-U{(2fc + l)|}
pro   x e R - (J {kir} kel
Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi jsou uvedeny v následujícím přehledu:
(i) sin(-x) = - sin x,   cos{-x) = cos x tg(-x) = -tgx,   cotg(-x) = -cotgx
(ii) sin(x + 2tt) = sin x,   cos(x + 2tt) = cos x
tg(X + 7T) = tg X,     COtg(x + 7T) = COtg X
(iii) sin2 x + cos2 x = 1,   tg x cotg x = 1
(iv) sin x = sin(7T - x) = - sin(7r + x) = - sin(27r - x) cos X = - C0S(7T - x) = - C0S(7T + x) = cos(27r - x)
tgX = -tg(7T - X) COtgX = -COtg(TT-x)
(v) sin( f - x) = cos x,    cos( f - x) = sin x
tg(| -x) = cotgx, cotg(f (vi) sin2x = 2 sin x cos x
x) = tgx
cos2x = cos2 x - sin2 x = 1 - 2sin2 x = (vii) sin(x + y)= sin x cos y + cos x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin ?/ cos(x — y) == cos x cos y + sin x sin y tgx + tgy
2 cos2
tg(x + y)
1 -tgxtgy'
1 + tgxtgy
=
X
-
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice 11
(viii) sin x + sin y = 2 sin £±-^ cos
Zl
„ .  sc —|/     x + y sin x — sin y = 2 sin —-— cos —-—
x + y     x — y cos x + cos y = 2 cos —-— cos —-—
„ .  x + y . x-y
cos x — cos y = —2 sin-sin-
y 2 2
— cos a;     ,     x,      Í1 + cos x
(ix)
2
2 tg f 1 - tg2 f 2 tg f
(x)sinx=-cosx =-^r-f,   tgx=-S-2—■
l + tg2f l + tg2f l"tg2f
í. seminář
1. Za předpokladu, že výrazy na obou stranách identit mají smysl, dokažte:
,     Sin X + COS X ry o
a -r-= 1 + tgx + tg2 x + tg3
COSá X
1 +sin2x _ /
l+smix=tg^+  x (l + tgxtg2x)sin2x = tg2x
cos 2x \ 4 /
JN 1-tgx     l-2sin2x .   tg2¥>tgV>       . n
d) -= - e) -= sinzos
; 1 + tgx      l + sin2x ' tg2<p-tg</> r
tg3z     3-tg2 z
tg 2      1 - 3 tg2
-sin(7r   a)     + cq     _ft) = 1
sin a - cos a tg §
, . 1 -cos2a + sin2a , sinx + sin3x + sin5x
h) -= tg a i) -= tg 3x
' l + cos2a + sin2a     & ' cosx + cos3x + cos5x 5
j) cos6 a - sin6 a = i (3 + cos2 2a) cos 2a
k) sin a cos(/3 - a) + cos a sin(/3 - a) = sin /3
I) cos(a + 0) + sm(a - 0) = (cos a + sin a)(cos/? - sin0)
m) cos2 (7 -«) - sin2 sin2a
II) 1 + cos 2x cos 2y = 2 sin2 x sin2 y + 2 cos2 x cos2 y
. 1 "t- sin a     ly, a\2
o -= - (1 + tg - )
1 + cos a    2 V 2 /
p) 4sinxsin^-x^ sin^ + x^) =sin3x
sin(/3 - 7)    sin(7 - a)    sin(a - 0) _ q) cos/? cos 7 + cos 7 cos a + cos a cos 0 " °
.r
12
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
r) sin 47° + sin 61° - sin 11° - sin 25° = cos 7°
s) sin50°sin24°(tg40° + tg66°) + sin74° = 2cos 16°
2. Vypočtěte bez tabulek a kalkulaček:
a) cos 15° b)tg75°
c) tg 20° + tg 40° + VŽ tg 20° tg 40°
d) sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°
.  .  3tt .   7T 3tt .  2tt        7tt . 3tt
e) sm-Sm--smTsmT + sm-S1n-
3. Pomocí čísla u určete číslo z:
a) z = smx; u = tga;=-|; x € (O,*)
b) z = tgx; u = cosx=-l; x É {tt,2tt)
5
c) z = sin2z; u = cotgz = -2
5 sin a; + 7 cos a; 4 ;   _ 6cosx-3sina:' S   ~ 15
e)2 = cos(|-a); u = sina=-g; *e(y,2*)
5 1
4. Zjednodušte dané výrazy:
tg(180° - a) cos(180° - a) tg(90° - a)
a)
sin(90° + q) cotg(90° - a) tg(90° + a)
1Ntga + sina , sin3a + sin5a + sin7a
b) —-t—-— Oc) -
;    2 cos2 f ' cos 3a + cos 5a + cos 7a
cos 2a
6   ' sin2 2a(cotg2 a - tg2 a)
e) 4cos4 a - 2cos 2a - 3sin2 2a - 2cos4a
5. Dokažte, že pro vnitřní úhly a, /3, 7 trojúhelníka ABC platí:
a) sina + sin/3 + sin 7 = 4cos | cos ^ cos |
b) cos a + cos /3 + cos 7 = 1 + 4 sin 2 sin ^ sin |
c) tga + tg/3 + tgT = tgatg/3tg7
9 d) sin 2a + sin 2/3 + sin 27 = 4 sin a sin /3 sin 7
4. Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
13
2. seminář
6. Řešte v R rovnice:
a) sin2x = sinx c) cos3x + sin3x = 0 ô e) sin 2x =     cos x
b) 2 cos x cos 2x = cos x d) 2sin2x + 7cosx-5 = 0 f) cos 3x + sin2x - sin 4x = 0
g) Vl-cosx = sin z; x 6 (tt, 3tt)  h) sin^ x + sin' 2x
i) cosx-2sin2| = 1 o k) sinx + cosx = 1 +sinxcosx m) sin3x + sinx = sin2x
o o) sinxsinľx = sin3xsin5x q) cos3x + sin5x = 0 s) cos22x + cos23x = l
u) sinx + sin2x = tgx
w) tg3x + tg2x-3tgx = 3
y) |cosx| = cosx - 2sinx
j) x/Šcosx + sinx = 2 1) sin x cos x = cos4 x + sin4 x n) sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x
cosx =
p) cos3 x sin x-sin3 x r) 2cos3x =     cosx - sinx
V2
sin6x
sinx
t) 8cosxcos2xcos4x v) tgxtg3x = 1
x) sin 2x + cos 2x = sin x + cos x z) sin2x + 5sinx + 5cosx + l =0
7. V množině A řešte nerovnice s neznámou x:
a) sinx >^;   A = R
b) tgx<-VŠ;   A = R
c) sinx < cosx;   A = R
d) sin3x < sinx;   A = (-7r,7r)
e) sin2x +sinx < 0; A=(0,2tt)
f) 2cos2x + 5cosx + 2>0;   A = R
g) sinx + cosx < —^—;   A = {—jr,7r)
h) 1-cosx < tgx-sinx;    A = (0,2tt)
i) sinx + sin2x + sin3x < 0;   A = (0,27r)
, j) sin - > 0;   A = R k) 5 sin2 x + sin2 2x > 4 cos 2x;   A = R 1) cos2 2x + cos2 x < 1;   A = R m) sin 3x > 4 sin x cos 2x;   A = (0,27r)
n) 4sin3x < 2sinx + cos2x;    A =
-v _   5*1,y y
1
32
Výsledky: 3. Exponenciální a logaritmické funkce,
2.
a) m = 49/5
b) m = —1
c) m = 625
d) m = 0
e) m = 20
f) m = - log3 2
g) m = 24
3.
a):E=2(^T)
4(3-a)
; 3 + a
c) x = -(2a + 6 + 2c) d^ ^ _    2ac + 1
4.
V
5.
a) a2 + b2
abc + 2c + 1 l°ga6
7ab upravte na (a + 6)s
9a& a pak logaritmujte. 16a6 a pak logaritmujte
v/Í7- 1
b) a2 + 9b2 = lOab upravte na (a + 36)2 =
6.
a) si = 1, x2 = log2
b) x = 2
log 13-log 31
C}3;~ log5-log3
d) X! - -1, I2 = 1, Z3 = -v/2, X4 =
e) Xi = -1, x2 = l,x3 = 2
f) x = 3
g) X! = 1, x2 = -1 [Uvažte, že (2 - v^)-1 = 2 +y/Ž.]
h) x = 1/2 [Po vydělení 81* položte y = (4/9)*.]
i) X! = 1, x2 = -1 [Po vydělení 4X položte y = (3/2)*.]
j) x = 1 [Levá strana je klesající v x, pravá strana je rostoucí.] k) x = 0 [Zvolte substituci y - (3/2)x, nebo uvažte, že po vydělení mocninou 9X bude levá strana klesající a pravá konstantní.]
7.
a) xi = 3/2, x2 = 3
b) xi = 2, x2 = 3
c) X! = 3/2, x2 = 10
d) x = 41
e) x = 10 [Uvažte monotonii každé ze stran rovnice na intervalu (0,20).]
n       1 + '   ~~ 2
Výsledky: 3. Exponenciální a logaritmické funkce, ... 33
ér
g) x = 4
v/2
h) ar, = 1, x2 = 4, x3 = ^-
i) Xi = 1/10, x2 = 1000 j) X\ = 1/3, x2 = 9
k) X\ = 1/16, x2 = 2
1) xi = 1/3, i2 = 1/15 [Zlogaritmujte obě strany rovnice při základu 5
a zvolte substituci y = log5 x.} m) xi = 7,x2 = 14 [Zlogaritmujte obě strany rovnice při základu 2 a
zvolte substituci y = log2 x]
0) Xi = 1, £2 = a 8.
a) x e (0,2-log23)U(l,oo)
b) x G (-oo, -2) U (2 - log2 3, oo)
c) x G (-1,1)
d) x E (0,oo)
e) i€(0,oo)
f) x e (-oo,0) [Po vydělení 27* položte y = (2/3)*.]
g) x G (-1,1) U (3,5)
h) x € (0,2) U (3, oo)
1) x € (—oo, —2) U (0,1) U (1, oo)
j) x e (5/2,oo)
k) x € (1,2) 1) x £ (1,3)
m) x G (0,1) U (v/2,00) n) x G (1,4)
o) K x < 1+2V^
p) x G (-2,-1) U (-1,0) U (0,1) U (2, 00)
q) x G (-00, 0) U (3/4,1) U (1,5/4) U (2,00)
r) x G (l,oo)
s) x G (2,3) U (27/8,4)
t) x G (-oo,l)
u) x G (0,1/2) U (2, 00)
v) x G (3,00) [Využijte monotonie každé z obou stran.]
w) x G (-oo,-l)
x) x G (l,a)
y) x G (0, a2) U (l, a"3)
34 Výsledky: 4. Goniometrické funkce, ...
§4: Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice
2.
a) y/2(l + v/3)/4 [cos 15° = cos(45° - 30°)]
b) 2+^
c) y/Š [Využijte: tg 60° = tg(20° + 40°)]
d) 0
e) 0 [Využijte třikrát: sin a sin/? = |(cos(a - 0) - cos(a + /?))]
3.
a) VŠ/5
b) 4/3
c) -4/5
d) 125/78
e) (5 - 12v%26
f) 65/113
4.
a) -1
b) tg a
c) tg 5a
d) 1/4
e) 0
5.
Obecně lze postupovat takto: dosadíme 7 = 180° - a - 0 do obou stran a dokážeme vzniklou identitu v nezávislých proměnných a, (3.
6.
V zápisech kořenů značí k libovolné celé číslo.
a) fcTT, I + 2kn, ~ + 2kir
b) - + kTT, - + fcTT, + fcTT
2 6 6
c) 1 + T
d) I + 2k7T, ~ + 2klT
e) — + fc7r, — + 2kn, — + 2kir 2 4 4
f) I + y [Užijte vzorec pro rozdíl hodnot sinu.]
g) 27T, y
h) - + —
i) 2fc7r [Uvažte, že Z, < 1.]
j) 1 4. 2fc7r [Upravte na rovnici sin (z + |)=1-]
r:
Výsledky: 4. Goniometrické funkce, ... 35
k) 2fc7T, | + 2fc7T
1) j + fcír [K oběma stranám přičtěte 2 sin2 x cos2 x a užijte substituci y = sin 2x.]
m) —, - + 2fc7r, — + 2fc7r [Užijte vzorec pro součet hodnot sinu.] n) T?. í + fc7r> ? + fc7r Nnacos/3 = i(sin(a + /?) + sin(a - /?))] o) — [Užijte vzorce pro součin hodnot sinu a rozdíl hodnot kosinu.]
.   JT       fcTT   37T AlTT
p)íě + T'To" + T
7T       Aľ7T    37T / 7T \
q) — + —, — +kn [Přepište cos 3x = sin (— — 3x) a užijte vzorec pro 16     4    4 \2 /
součet hodnot sinu.]
r) — + fcvr, — + — [Pravá strana je 2 cos(x + -J, dále užijte vzorec pro rozdíl hodnot kosinu.]
^ TÔ + T ^0dvoďte sin 2x = ± cos 3a; a dále Postupujte jako v q).] t} 14 + T
u) fcTT, | + 2kn, ^ + 2kn
v) j + ~ [Uvažte, že tg(3x + x) nemá smysl.] 8 4
Q "77- 0-TT-
w) — + fc?T, j + klT, í-+kTT
Q ú O
x) 2fc7T, | +        [Upravte do tvaru sin(2x + j) = sin(x + jj.]
v) 2kw, — + 2kn 4
z) ——h Aľ7r [Užijte substituci y = sin x + cos x, pak y2 = 1 + sin2x]. 7.
Obor pravdivosti je sjednocením uvedených intervalů, k značí libovolné celé číslo.
a) ŕ | + 2/cTT, y + 2fc7T^
b) L| + jhr,-| + Jhr\
d) f-^-^y f--,ox
36
Výsledky: 5. Komplexní čísla
f) ^|+2fc7r,f+2far)
g) (^'-f)'H>o)^(í'i
* mm
o (1,1), (^). (H
k) (| +    f + far)
ÍIJT
2tt
/3tt 7tt\   /5tt 7tt\   /IItt 9tt\
§5: Komplexní čísla
1.
=^«-Sä+tef (Z/) = (ace-6de-ad/-6c/,aC/-bd/ + ade + 6ce), Í(tVb)-?Í-r,c/ + de) = (ace-ad/-6c/-6de)ac/ + aáe + 6ce-6d/).
2.
a) -l + 3i
b) 1-i
c) -1
d) -48Í/25
e) 0
f) l + iv/T^
3.
a) a = 1, b = 2
b) a = 2, b = -3
4.
a) O
b) 13/10
c) 5"
d) 2 (zi ?ž 0 nebo z2 ^ 0)