1 Homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu
s konstantními koeficienty
Příklad 1.
Řešte rovnici
3y − 2y − 8y = 0.
Obrázek 1: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Charakteristická rovnice pro danou rovnici je
3λ2
− 2λ − 8 = 0.
Její kořeny jsou
λ1,2 =
2 ±
√
4 + 96
6
=
2 ±
√
100
6
=⇒ λ1 = −
4
3
, λ2 = 2.
Charakteristická rovnice má tedy dva reálné různé kořeny, v testu IS MU
zapíšeme do odpovědních políček λ1 = -4/3, λ2 = 2.
2. Ke každému kořenu charakteristické rovnice přísluší jedno řešení:
y1(x) = e− 4
3 x
a y2(x) = e2x
.
Obecné řešení zadané rovnice je tedy
y = C1e− 4
3 x
+ C2e2x
.
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako y = C*exp(-4/3*x)+K*exp(2*x).
1
Příklad 2.
Určete partikulární řešení diferenciální rovnice
d2
s
d2t
+ 2
ds
dt
+ 2s = 0,
splňující podmínky s(0) = 1, s (0) = 1.
Obrázek 2: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Charakteristická rovnice
λ2
+ 2λ + 2 = 0
má dva komplexně sdružené kořeny
λ1,2 =
−2 ±
√
4 − 4 · 2
2
=
−2 ±
√
−4
2
=⇒ λ1,2 = −1 ± i.
Obecné řešení zadané rovnice je pak
y = e−t
(C1 cos(t) + C2 sin(t))
a v testu IS MU je zapíšeme jako s = exp(-t)*(C*cos(t)+K*sin(t)).
2. Uvážíme-li počáteční podmínky, s přihlédnutím k
s = e−t
(−C1 cos(t) − C2 sin(t) − C1 sin t + C2 cos t),
pak pro konstanty C1, C2 dostáváme rovnice
1 = e0
(C1 cos 0 + C2 sin 0)
1 = e0
(−C1 cos 0 − C2 sin 0 − C1 sin 0 + C2 cos 0)
2
upravíme
1 = C1
1 = −C1 + C2 =⇒ C2 = 2
a dostáváme hledané partikulární řešení
s = e−t
(cos t + 2 sin t).
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako s = exp(-t)*(cos(t)+2*sin(t)).
3