1 Homogenní diferenciální rovnice
Příklad 1.
Najděte řešení diferenciální rovnice
y2
− xy + x2
y = 0.
Použijte příslušnou substituci (zavěďte novou proměnnou u), separujte proměnné
(při separaci proměnných používejte zápis g(u) du = f(x) dx), integrujte
a vyjádřete obecné, případně také singulární, řešení diferenciální rovnice v původních
proměnných.
Obrázek 1: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Vyjádříme y :
y2
− xy + x2
y = 0
x2
y = xy − y2
/ : x2
, x = 0
y =
y2
x2
−
y
x
.
Jedná se o homogenní rovnici tvaru y = f(y
x ), kterou vyřešíme substitucí
u = y
x =⇒ y = u x + u:
u x + u = u − u2
u x = −u2
/ : u2
, u2
= 0 =⇒ u = 0
du
u2
= −
dx
x
.
Požadovaný zápis separace proměnných g(u) du = f(x) dx bude v odpovědníku
IS MU ve tvaru: du/u^2=-dx/x.
1
2. Integrujeme:
du
u2
= −
dx
x
−
1
u
= −(ln |x| + ln C)
e
1
u = Cx,
vrátíme se k původním proměnným a získáváme obecné řešení v implicitním
tvaru:
e
x
y = Cx.
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako C = exp(x/y)/x.
Obrázek 2: Všeobecné řešení e
x
y = Cx diferenciální rovnice y2
− xy + x2
y = 0.
3. Singulární řešení
Při výpočtu v prvním kroku, jsme vyloučili případ, kdy u = 0, což v původních
proměnných znamená:
y
x
= 0 ⇐⇒ y = 0.
Řešení y ≡ 0 vyhovuje dané diferenciální rovnici (02
− x · 0 + x2
= 0) a je
to její konstantní řešení, které však není pro žádnou volbou C obsaženo
v námi spočítaném obecném řešení. Diferenciální rovnice y2
−xy+x2
y = 0
má tedy singulární řešení, kterým je přímka zadaná rovnicí y = 0.
V testu IS MU zaškrtneme odpověď „Ano“ a do odpovědního políčka zapíšeme
y=0.
2
Příklad 2.
Řešte počáteční problém
(x + 2y) dx − x dy = 0, y(1) = 2.
Použijte příslušnou substituci (zavěďte novou proměnnou u), separujte proměnné
(při separaci proměnných používejte zápis g(u) du = f(x) dx), integrujte
a rozhodněte, zda má diferenciální rovnice singulární řešení. Na základě počáteční
podmínky spočtěte partikulární řešení.
Obrázek 3: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Jedná se o homogenní rovnici tvaru M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, kterou
upravíme:
(x + 2y) dx = x dy / : x2
, x = 0
1 + 2
y
x
=
dy
dx
y = 1 + 2
y
x
a vyřešíme substitucí u = y
x =⇒ y = u x + u:
u x + u = 1 + 2u
u x = 1 + u / : (1 + u), u = −1
du
1 + u
=
dx
x
.
3
Požadovaný zápis separace proměnných g(u) du = f(x) dx bude v odpovědníku
IS MU ve tvaru: du/(1+u)=dx/x.
2. Integrujeme
du
1 + u
=
dx
x
ln |1 + u| = ln |x| + ln |C|
u = Cx − 1,
vrátíme se k původním proměnným a získáváme obecné řešení:
y = Cx2
− x.
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako y = C*x^2-x.
3. Singulární řešení: Vyloučili jsme případ, kdy u = −1 a protože 0·x = 1−1,
má rovnice konstantní řešení u = −1. Původní rovnice má tedy řešení
y = −x, jež je zahrnuté v řešení obecném pro volbu konstanty C = 0.
V testu IS MU zaškrtneme odpověď „Ne“ a do odpovědního políčka zapíšeme
99.
4. Dosadíme počáteční podmínku, tj. y = 2, x = 1:
2 = C · 1 − 1
C = 3.
Partikulární řešení je tvaru y = x(3x−1), což v odpovědi IS MU zapíšeme
jako y = x*(3*x-1).
Obrázek 4: Všeobecné řešení y = Cx2
− x diferenciální rovnice
(x + 2y) dx − x dy = 0.
Příklad 3.
Najděte řešení diferenciální rovnice
y =
2x − y − 5
x − 3y − 5
.
Použijte příslušnou transformaci, separujte proměnné, integrujte a rozhodněte,
zda má diferenciální rovnice singulární řešení.
4
Obrázek 5: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
Jedná se o diferenciální rovnici typu y = ax+by+c
αx+βy+γ . Protože
a b
α β
=
2 −1
1 −3
= 2 · (−3) − 1 · (−1) = −5 = 0,
převedeme ji na homogenní rovnici dv
du = F v
u , kterou vyřešíme.
1. Řešíme soustavu rovnic
2x − y − 5 = 0
x − 3y − 5 = 0
2 −1 5
1 −3 5
∼
2 −1 5
−2 6 −10
∼
2 −1 5
0 5 −5
Tedy n = −1 a 2m − 1 = 5 =⇒ m = 2.
2. Položíme x = u + m, y = v + n:
x = u + 2 =⇒ u = x − 2
y = v − 1 =⇒ v = y + 1
a dosadíme do zadané diferenciální rovnice:
dv
du
=
2u + 4 − v + 1 − 5
u + 2 − 3v + 3 − 5
dv
du
=
2u − v
u − 3v
dv
du
=
u
u
·
2 − v
u
1 − 3v
u
dv
du
=
2 − v
u
1 − 3v
u
Získáváme homogenní diferenciální rovnici dv
du = F v
u , kterou v odpovědníku
IS MU zapíšeme jako dv/du=(2*u-v)/(u-3*v) nebo v upravené
podobě jako dv/du=(2-v/u)/(-3*v/u).
5
3. Rovnici dále řešíme, použijeme substituci z = v
u =⇒ v = z + uz :
z + uz =
2 − z
1 − 3z
/ − z
uz =
2 − z
1 − 3z
− z ·
1 − 3z
1 − 3z
uz =
3z2
− 2z + 2
1 − 3z
a za podmínek u = 0, 3z2
− 2z + 2 = 0 separujeme proměnné
1 − 3z
3z2 − 2z + 2
dz =
du
u
.
Požadovaný tvar separace proměnných g(z) dz = f(x) dx zapíšeme v odpovědníku
IS MU jako (1-3*z)/(3*z^2-2*z+2)*dz=du/u.
4. Integrujeme
−1
2 (6z − 2)
3z2 − 2z + 2
dz =
du
u
6z − 2
3z2 − 2z + 2
dz = −2
du
u
ln |3z2
− 2z + 2| = −2 ln |u| + ln C
ln |3z2
− 2z + 2| + 2 ln |u| = ln C.
Po odlogaritmování
u2
(z2
− 2z + 2) = C.
Vrátíme se k původním proměnným
u2
(3
v2
u2
− 2
v
u
+ 2) = C
3v2
− 2uv + 2u2
= C
3(y + 1)2
− 2(x − 2)(y + 1) + 2(x − 2)2
= C
3y2
+ 2x2
− 2xy + 10y − 10x + 15 = C
3y2
+ 2x2
− 2xy + 10y − 10x = C.
Získáváme obecné řešení dané rovnice v implicitním tvaru, v testu IS MU
zapíšeme výsledek jako C = 3*y^2+2*x^2-2*x*y+10*y-10*x.
Vrátíme se k podmínce 3z2
−2z+2 = 0, zda nám neumožní určit singulární
řešení. Daná rovnice nemá v R řešení tj., pro žádné reálné číslo z se nebude
daný výraz rovnat nule.
6
Obrázek 6: Obecné řešení 3y2
+ 2x2
− 2xy + 10y − 10x = C diferenciální
rovnice y = 2x−y−5
x−3y−5 .
Příklad 4.
Najděte řešení diferenciální rovnice
y =
x − 2y + 3
2x − 4y + 5
.
Použijte příslušnou transformaci, separujte proměnné a integrujte.
Obrázek 7: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
7
Řešení:
Jedná se o diferenciální rovnici typu y = ax+by+c
αx+βy+γ .
1. Protože
a b
α β
=
1 −2
2 −4
=
1 −2
0 0
= 0,
provedeme substituci z = x − 2y, z = 1 − 2y =⇒ y = 1−z
2 .
Do odpovědního polička testu IS MU zapíšeme z = x-2y.
2. Separujeme proměnné
1 − z
2
=
z + 3
2z + 5
1 − z =
2z + 6
2z + 5
−z =
2z + 6 − 2z − 5
2z + 5
z = −
1
2z + 5
.
Požadovaný tvar separace proměnných g(z) dz = f(x) dx zapíšeme v odpovědníku
IS MU jako (2z+5)*dz=-1/dx.
3. Integrujeme
(2z + 5) dz = − dx
z2
+ 5z = −x + C
a vrátíme se k původním proměnným
(x − 2y)2
+ 5(x − 2y) + x = C
(x − 2y)2
+ 6x − 10y = C.
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako C = (x-2*y)^2+6*x-10*y.
8