1 Rovnice se separovanými proměnnými
Příklad 1.
Je zadaná diferenciální rovnice
y =
4x
y
s počáteční podmínkou y(0) = 2. Separujte proměnné, integrujte a spočtěte
partikulární řešení diferenciální rovnice. Při separaci proměnných používejte
zápis g(y) dy = f(x) dx.
Obrázek 1: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Jde o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými. Nahrazením y
členem dy
dx a úpravou dostáváme na jedné straně rovnice proměnné s x, na
druhé proměnné s y:
y dy = 4x dx.
Požadovaný zápis separace proměnných g(y) dy = f(x) dx bude v odpovědníku
IS MU ve tvaru: y*dy=4*x*dx.
2. Integrováním dostáváme:
y dy = 4 x dx
y2
2
= 2x2
+ C.
Obecné řešení bychom mohli dále upravovat:
y2
= 4x2
+ 2C
y = 4x2 + 2C
y = 4x2 + K.
1
Protože však potřebujeme vyjádřit konstantu C, zůstaneme u obecného
řešení tvaru: y2
2 = 2x2
+ C a do odpovědního políčka v testu IS MU
zapíšeme y^2/2=2*x^2+C.
3. Dosadíme počáteční podmínku, tj. x = 0, y = 2:
4
2
= 2 · 0 + C
C = 2.
Partikulární řešení je tvaru
y2
2
= 2x2
+ 2
y2
= 4x2
+ 4
y = 2 x2 + 1.
Výsledek v testu IS MU zapíšeme jako y=2*sqrt(x^2+1).
Obrázek 2: Partikulární řešení y = 2
√
x2 + 1 diferenciální rovnice yy = 4x
s počáteční podmínkou y(0) = 2.
2
Příklad 2.
Řešte počáteční úlohu
sin y cos x dy = cos y sin x dx, y(0) =
π
4
.
Při separaci proměnných používejte zápis g(y) dy = f(x) dx.
Obrázek 3: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
1. Jde o tzv. separovatelný tvar diferenciální rovnice, který za předpokladu
cos y = 0 a cos x = 0 převedeme na rovnici se separovanými proměnnými
sin y
cos y
dy =
sin x
cos x
dx.
Požadovaný zápis separace proměnných g(y) dy = f(x) dx bude v odpovědníku
IS MU ve tvaru: sin(y)/cos(y)*dy=sin(x)/cos(x)*dx.
2. Integrujeme. Při integraci použijeme vhodnou substituci.
sin y
cos y
dy
cos y = t
− sin y dy = dt
=
sin x
cos x
dx
cos x = a
− sin x dx = da
−
1
t
dt = − 1a da
ln |t| = ln |a| + ln C
cos y = C cos x.
Obecné řešení v implicitním tvaru zapíšeme do odpovědi v IS MU jako
C = cos(y)/cos(x).
3
3. Dosadíme počáteční podmínku, tj. x = 0, y = π
4 :
cos
π
4
= C cos 0
C =
√
2
2
C =
1
√
2
.
Tedy hledané partikulární řešení je cos y = cos x√
2
.
V odpovědníku IS MU zapsáno implicitně jako cos(y)=1/sqrt(2)*cos(x)
nebo explicitně jako y = arcos(1/sqrt(2)*cos(x)).
Obrázek 4: Partikulární řešení cos y = cos x√
2
diferenciální rovnice
sin y cos x dy = cos y sin x dx s počáteční podmínkou y(0) = π
4 .
4