Globální analýza. Cvičení ke kapitolám 13 17
1. Nechť V je lineární konexe na IR2 s nulovými Christoffelovými symboly vůči souřadnicím x, y. Určete symbol konexe V vůči polárním souřadnicím r, ip.
2. Nechť V je lineární konexe bez torse na varietě M a S je paralelní distribuce na M, tj. VyX G T (S) pro všechna X eľ(S),Y e T (T M). Ukažte, že distribuce S* je involutivní.
3. Nechť dvě konexe rf - a rf - mají stejné geodetické dráhy. Ukažte, že každá konexe aT^ + f3T^ (a + (3 = 1) má tytéž geodetické dráhy.
4. Určete metriku na sféře vůči sférickým souřadnicím a vůči souřadnicím definovaným pomocí stereografické projekce.
5. Určete Christoffelovy symboly pro metriku na sféře vůči souřadnicím úlohy 4.
6. Určete R, V-R, Ric, VRic a skalární křivost metriky na sféře vůči sférickým souřadnicím.
7. Určete délku kružnice (x + l)2 + (y — 5)2 = 1 vůči metrice
9= {1+J+y2)2{(dx)2 + (dy2)).
8. Řešte rovnice paralelního přenosu na sféře s metrikou (d9)2 + sin2 6(díp)2 podél rovnoběžky 9 = 90, ip = t G [—7r, 7r]. Určete úhel mezi tečným vektorem ke sféře a jeho obrazem při paralelním přenosu podél této rovnoběžky.