Globální analýza. Cvičení ke kapitolám 5 7
1. Dokažte, že difeomorfní hladké variety mají stejné dimenze (návod: ukažte, že tečné zobrazení v libovolném bodě je isomorfismem)
2. Určete tečný prostor k elipse x2 + ^- = 1 v bodě (^y, V^j- Určete relace mezi bázovými tečnými vektory odpovídajícím různým lokálním mapám v tomto budě.
3. Ukažte, že T{X)V)M x N = TXM © TyN, kde M a N jsou variety a x E M, y E N.
4. Určete Lieovy závorky následujících vektorových polí:
a. X = smu-lr- + cosí;-^-, Y = u-§- + v-§-:
dv du' du        dv'
b. X = z2£- + xy-g-, Y = xyz-g- + y2#- + x#.
dx   'a ijyi a   ijx      a   ijy ijz
5. Nechť M je varieta dimenze 1 a J, ľ jsou vektorová pole na M, při tom Xx Ý 0 pro všechna x G Ma platí, že [X, Y] = 0. Ukažte, že Y = cX pro nějakou konstantu cGl.
6. Určete vektorová pole X mající následující toky:
a. Flf(x,y) = (5í + x,4í + y);
b. Fl* (x, y) = (x cos ip — y sin Lp, x sin p> + y cos ip).
7. Určete integrální křivky následujících vektorových polí:
a.   X. == X~zr~ ~\~ 1J~7^~\
ax      v ay'
^' ^      y dx      dy '
c. X = x2^-+y2^-.
ax     v ay
8. Určete, které z následujících distribucí na IR3\{(0, 0, 0)} jsou involutivní: • distribuce generovaná vektorovými poli
^      ^ dx      y dy      ^ dz ' ^      dx      dy '
• distribuce generovaná vektorovými poli x = xyz£ + y*±y = x& + (z + y)&.
9. Ukažte, že každá distribuce dimenze 1 je involutivní.