Globální analýza. Cvičení ke kapitolám 9 10
1. Určete vztah mezi souřadnicemi tenzoru T typu (r,s) na IRn ve dvou souřadnicových systémech
2. Nechť x1, x2 a x1' ,x2' jsou souřadnicové systémy, pro které
ľ 1,2 2' 12
ry     — nf   —I— y y     — y y
Určete souřadnice tensoru a vůči druhému systému, jestliže a má následující souřadnice vůči prvnímu systému:
• an = (x1)2 + (x2)2,    a12 = x1,    a2i=x2,    a22 = 1;
1 1 9 19 1 1999
•/■)-L -             ry**-             /"J -                ry**-      I     ry"             f~í -                ry**- _            ry"             f~í - ry" Líí-J^ -            Ju    j           Líí-J^ -            Ju         \~ Ju     j           Lí 2 -                               tX/    j           Lí 2 -
3. Nechť w = (x2 + y2)dx + rrzcb a # = zcřy A dx +      A cřx Určete dw, d9, w A w, 9 A 9, w A 9, d(w A w), d(9 A 9), d(w A 9).
4. Určete dw, jestliže
• w = x2ydy — xy2dx;   • w = xdy + ydx;
• w = f(x)dx + g(y)dy;   • w = xdy A dz + ydz A dx + zdx A dy.
5. Ověřte, které z následujících 1-forem w jsou uzavřené na d. Určete všechny funkce ip splňující dip = w.
• w = xydx + y^V, d = IR2;
• w = xdx + xzdy + xydz, d = IR2;
• w = (js + 4r) (ydx - xdy), d = {(x, y) G R2\xy ^ 0}.
6. Nechť g : R2 ^ M3, = (uv ,ucosv,ev) je zobrazení. Určete dw, g*w, g*dw pro následující formy -u; na IR3:
w = xdy;    w = ydz A dx;    w = dx A dy A dz.