Globální analýza. Cvičení ke kapitole 11
1. Určete Jmuj, kde
a. uj = (x — y)dx + (x + y)dy a M je úsečka AB, A = (2, 3), B = (3, 5);
b. uj = ydx + xdy, M = {(cosi, siní)\t G (0, f)} C IR2;
c. uj = xdx + ydy + {x + y — l)dz a M je úsečka AB, A = (1,1,1), B = (2,3,4).
2. Určete
cřx3 A cřx4 + x\x^dx2 A dx4,
kde M = T2 = {(x1}x2,x3,x4) G IR4|:r2 + x\ = 1, rr2 + x\ = 1}. Uvažujte parametrizaci g(u,v) = (cos -u, sin u, cos -u, sin -u), (w,-u) G (0, 27r) x (0, 27r).
3. Pomocí Stokesovy věty určete jM uj, kde
a. uj = (x2 + y2)dx + (x2 — y2)dy a M je obvod trojúhelníku s vrcholy A =(0,0), B = (1,0), C =(0,1);
b. uj = xydy A dz + yzd-z A cřx + rrzcřrr A cřy a M je hranice standardního trojrozměrného simplexu v IR3.
4. Ukažte, že 2-forma uj = (x2 + y2 + z2)~%(xdy A dz + ydz Adx + zdx A dy) na IR3 \ {(0,0, 0)} je uzavřená, ale není exaktní.