Globální analýza. Cvičení ke kapitolám 13
1. Vypočtěte Jakobiho matice a Jakobiány (pokud existují) následujících zobrazení. Které z těchto zobrazení jsou imerse, submerse a difeomorfismy na svůj obraz?
1) x = 3pcost,    y = Apsint,    (p, ť) G (0,1) x (0, 2n).
2) x = cos-u cos v,    y = sin-u cos v,    z = sinv,    (u, v) G (0, 2tt) x (—|, |).
3) x = ^/pcosip,    y = ^/psimp,    z = p,    (p, (p) G (0, +oo) x (0, 2n).
4) ^ = TTfc>   y = I+fc» (u,v)ERxR.
2. Dokažte, že podmnožina M = {(x,y)\xy = 0} C M2 není podvarietou prostoru IR2 (návod: předpokládejte, že existuje difeomorfismus ip nějakého okolí U bodu (0, 0) G IR2 na otevřenou podmnožinu v IR2, který zobrazuje M H U na podmnožinu množiny {(x, 0)| x G IR} a ukažte, že Jakobián zobrazení ip v bodě (0, 0) je roven 0).
3. Dokažte, že trojúhelník není podvarietou roviny.
4. Ukažte, že množina GL(n,IR) všech čtvercových matic n-tého řádu s ne-
2
nulovým determinantem je podvarietou prostoru IRn . Určete její dimenzi.
5. Ukažte, že množina SL(n,IR) všech čtvercových matic n-tého řádu s de-
2
terminantem 1 je podvarietou prostoru IRn . Určete její dimenzi.
6. Nechť Mi C IRni a M2 C IR™2 jsou nii a m2 rozměrné podvariety. Dokažte, že Mi x M2 C ]Rni+n2 je (mi + m2)-rozměrnou podvarietou.
7. Ukažte aspoň dvěma způsoby, že anuloid (též torus) Tm = S1 x • • • x S1 je podvarietou prostoru IR2m.
8. Dokažte, že graf zobrazení / : IRn —y W71 třídy Cr je n-rozměrnou podvarietou prostoru ]Rn+m třídy Cr.