14. Poissonův proces 14.1. Definice: Definice Poissonova procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu             λλ− λλ− λλ− = KKKKK K K K 00 00 00 Q , kde 0>λ je konstanta, nazývá se intenzita. Přechodový diagram: Tento HMŘ se nazývá Poissonův proces (s parametrem λ). (Vidíme, že v Poissonově procesu je možné jen setrvání v dosavadním stavu nebo přechod do nejbližšího vyššího stavu.) Vysvětlení: Poissonův proces popisuje např. náhodné a navzájem nezávislé události. Náhodná veličina { }K,1,0Xt ∈ udává počet událostí, které nastanou v intervalu ( t,0 . Přitom střední hodnota počtu událostí, které nastanou za časovou jednotku, je konstanta 0>λ . Pravděpodobnost p0(t) = e-λt vyjadřuje, že v intervalu ( t,0 nenastala žádná událost. Označíme-li S dobu čekání na změnu mezi stavy (tj. dobu čekání na příchod události resp. dobu setrvání ve stavu), pak P(S > t) = e-λt , tedy ( )    < ≥− =≤ λ− 0t,0 0t,e1 tSP t . To znamená, že je-li rozložení počtu událostí, které nastaly v intervalu ( t,0 Poissonovo, je rozložení doby čekání na změnu resp. doby setrvání ve stavu exponenciální. Příklady uvažovaných událostí: - dopady částic kosmického záření zaznamenávané čítačem částic - rozpady radioaktivního prvku - výzvy přicházející do telefonní ústředny - dopravní nehody registrované na nějakém silničním úseku - poruchy automatického stroje - příchody zákazníků do nějakého systému obsluhy apod. Upozornění: U těchto praktických příkladů není splněn předpoklad, že intenzita výskytu událostí λ je nezávislá na čase. Provoz v telefonní ústředně je jistě živější dopoledne než večer; silniční provoz záleží jak na denní době tak na dnu v týdnu; množství radioaktivní látky časem ubývá a tedy ubývá i intenzita rozpadu jejích atomů; poruchovost stroje se může zvyšovat s jeho opotřebením apod. Často se ale sleduje výskyt těchto událostí jen po nějakou omezenou dobu, během níž lze předpokládat neměnnost intenzity λ. 14.2. Věta: Věta o pravděpodobnostním rozložení složek Poissonova procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak platí: ( ) ( ) t j j e !j t tp:JjTt λ−λ =∈∀∈∀ . Vysvětlení: Náhodná veličina Xt, která udává např. počet zákazníků, kteří přijdou do fronty v intervalu ( t,0 , se řídí rozložením Po(λt). Číslo p0(t) = e-λt udává pravděpodobnost, že v intervalu ( t,0 nenastane žádná změna. Důkaz: Sestavíme systém evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (1, 0, …). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )             λλ− λλ− λλ− = KKKKK K K K KK 00 00 00 ,tp,tp,tp,t'p,t'p,t'p 210210 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M tptpt'p tptpt'p tpt'p 2012 101 00 λ−λ= λ−λ= λ−= Obecně: ( ) ( ) ( ) K,2,1j,tptpt'p j1jj =λ−λ= − s počáteční podmínkou p0(0) = 1, pj(0) = 0, j = 1, 2, … Při řešení těchto rovnic použijeme LT. Obraz 1. rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t1 00000 e z 1 Ltp z 1 zPzP10pzzP λ−− =      λ+ =⇒ λ+ =⇒λ−==− Obraz 2. rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t 2 1 1211011 te z Ltp z zPzP z 1 zP00pzzP λ−− λ=      λ+ λ =⇒ λ+ λ =⇒λ− λ+ =λ==− Obraz 3. rovnice: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t2 3 2 1 23 2 222122 et !2 1 z Ltp z zPzP z zP00pzzP λ−− λ=      λ+ λ =⇒ λ+ λ =⇒λ− λ+ λ =λ==− Obecně: ( ) ( ) K,2,1,0j,e !j t tp t j j = λ = λ− 14.3. Příklad: Majitel obchodu s potravinami zjistil, že v ranní špičce přichází do obchodu průměrně 20 zákazníků za 5 minut. Majitelova manželka se domnívá, že v průběhu 10 minut může očekávat v průměru 30 zákazníků, zatímco optimističtější majitel v průběhu 10 minut očekává 40 zákazníků. Který odhad je pravděpodobnější? Řešení: Příchody zákazníků do obchodu lze modelovat Poissonovým procesem { }Tt;Xt ∈ , kde Xt = j, když za časový interval ( t,0 přijde do obchodu právě j zákazníků, j = 0, 1, 2, … Parametr procesu (intenzita procesu): minutu1zazákazníci4 5 20 ==λ . Podle předpokladu: Xt ~ Po(4t), tedy ( ) ( ) t4 j t e !j t4 jXP − == Odhad manželky: ( ) ( ) ( ) 01847,010pe !30 104 30XP 30 104 30 10 == ⋅ == ⋅− V MATLABu: poisspdf(30,40) Odhad manžela: ( ) ( ) ( ) 06297,010pe !40 104 40XP 40 104 40 10 == ⋅ == ⋅− V MATLABu: poisspdf(40,40) Optimistický odhad majitele je pravděpodobnější než opatrný odhad jeho manželky. 14.4. Věta: Věta o pravděpodobnostech přechodu v Poissonově procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak platí: ( ) ( ) ( )      < ≥ − λ =∈∀∈∀ λ− − ijpro0 ijproe !ij t tp:Jji,Tt t ij ij . Důkaz: Z matice intenzit přechodu plyne, že jediný přechod s nenulovou pravděpodobností je přechod do stavu o 1 vyššího. Přitom počáteční stav je nulový, tedy pj(t) = p0j(t). V důsledku homogenity: ( ) ( ) ( ) ( )      < ≥ − λ == λ− − ijpro0 ijproe !ij t tptp t ij i-j0,ij . 14.5. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu Poissonova procesu Nechť { }Tt;Xt ∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Pak E(Xt) = λt, D(Xt) = λt. Důkaz: Plyne z vlastností Poissonova rozložení, protože Xt ~ Po(λt). 14.6. Věta: Věta o rozložení doby setrvání řetězce v daném stavu Nechť { }Tt;Xt ∈ je Poissonův proces s parametrem λ. Označme Sj dobu, kterou řetězec setrvá ve stavu j-1, j = 1, 2, … Pak Sj ~ Ex(λ) a střední hodnota doby setrvání řetězce ve stavu j-1 je λ 1 . Důkaz: Plyne z věty 12.8. 14.7. Věta: Věta o nezávislosti dob setrvání řetězce v daných stavech Náhodné veličiny Sj, j = 1, 2, … jsou stochasticky nezávislé. Důkaz: Nebudeme provádět. 14.8. Příklad: Na autobusovou zastávku přijíždějí autobusy linek č. 1 a č. 2. Předpokládáme, že příjezdy autobusů obou linek tvoří události Poissonových procesů s parametry λ1, λ2, přičemž tyto procesy probíhají nezávisle na sobě. Vypočtěte pravděpodobnost, že za časový interval délky t přijede na zastávku právě k autobusů. Řešení: Označme Xt počty příjezdů linky č. 1 v intervalu ( t,0 , Xt ~ Po(λ1t), ( ) ( ) t j 1 t 1 e !j t jXP λ−λ == , j = 0, 1, 2, … Označme Yt počty příjezdů linky č. 2 v intervalu ( t,0 , Yt ~ Po(λ2t), ( ) ( ) t j 2 t 2 e !j t jYP λ−λ == , j = 0, 1, 2, … Dále označme Zt počty příjezdů autobusů obou linek v intervalu ( t,0 , Zt = Xt + Yt. Máme počítat P(Zt = k), k = 0, 1, 2, … Podle věty o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin dostáváme: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t k 21 k 0j jk 2 j 1 tk 0j t jk 2t j 1 k 0j ttt 21 21 21 e !k tt j k !k e e !jk t e !j t jkYPjXPkZP λ+λ− = − λ+λ− = λ− − λ− = λ+λ =λλ      = − λλ =−==== ∑∑∑ Znamená to, že Zt ~ Po((λ1 + λ2)t). 14.9. Věta: Věta o bodovém a intervalovém odhadu parametru λ Poissonova procesu Nechť v intervalu T,0 byl sledován Poissonův proces s neznámým parametrem λ a bylo pozorováno n událostí. a) Bodový odhad parametru λ je dán vzorcem: T nˆ =λ , přičemž ( ) λ=λˆE (tj. λˆ je nestranný odhad) a ( ) T ˆD λ =λ . b) 100(1-α)% empirický interval spolehlivosti pro λ má meze: ( )2n2 T2 1 d 2/ 2 +χ= α , ( )2n2 T2 1 h 2/1 2 +χ= α− . 14.10. Příklad: Na určitém zařízení byly po dobu 580 h sledovány poruchy. Za tuto dobu jich nastalo 22. Za předpokladu, že poruchy tvoří události Poissonova procesu s parametrem λ, odhadněte tento parametr a najděte pro něj 95% empirický interval spolehlivosti. Řešení: T = 580, n = 22, tedy 0379,0 580 22 T nˆ ===λ ( ) ( ) 0252,02,29 1160 1 46 5802 1 2n2 T2 1 d 025,0 2 2/ 2 ==χ ⋅ =+χ= α ( ) ( ) 0574,06,66 1160 1 46 5802 1 2n2 T2 1 h 975,0 2 2/1 2 ==χ ⋅ =+χ= α− 0,0252 < λ < 0,0574 s pravděpodobností aspoň 0,95. 14.11. Poznámka: Poissonův proces lze v MATLABu simulovat pomocí funkce Poisson.m: function [v,abscet,relcet,p, tabulka1, tabulka2]=Poisson(CPS,lambda,t) %vstupni parametry %CPS ... celkovy pocet simulovanych prichodu zakazniku %lambda ... intenzita vstupniho proudu zakazniku %t ... casovy krok %vystupni parametry %v ... vektor variant poctu zakazniku %abscet ... abs. cetnosti jednotlivych variant %relcet ... relativni cetnosti jednotlivych variant %p ... pravdepodobnosti jednotlivych variant %tabulka1 ... empiricke a teoreticke charakteristiky simulovaneho poctu %zakazniku %tabulka2 ... empiricke a teoreticke charakteristiky doby simulace Tuto funkci použijeme při řešení následujícího příkladu. 14.12. Příklad: V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve vilové čtvrti města. V tomto období vjíždějí auta do této ulice v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly mezi příjezdy aut se řídí exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu simulujte vjezd 20 aut do této ulice. Řešení: V tomto případě jsou vstupní parametry tyto: CPS = 20, lambda = 1/8, časový krok zvolíme např. t = 8. Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min, směrodatná odchylka = 8 min.) [v,abscet,relcet,p, tabulka1, tabulka2]=Poisson(CPS,lambda,t) Počet aut, která vjíždějí vždy během 8 minut Abs. četnost Rel. četnost pravděpodobnost 0 1 2 4 15 6 6 1 0,5357 0,2143 0,2143 0,0357 0,3679 0,3679 0,1839 0,0153 Průměrný počet aut za časový krok: 0,7857 Střední hodnota počtu aut za časový krok: 1 Pozorovaná směr. odch. počtu aut za časový krok: 1,0313 Směrodatná odchylka počtu aut za časový krok: 1 Celková doba simulace: 214,7869 Teoretická celková doba simulace: 20*8 = 160 Průměrná doba mezi vjezdy aut: 10,7393 Střední hodnota doby mezi vjezdy aut: 8 Pozorovaná směr. odch. doby mezi vjezdy aut: 14,8255 Směrodatná odchylka doby mezi vjezdy aut: 8 Realizace Poissonova procesu: 0 50 100 150 200 250 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15. Proces vzniku a zániku 15.1. Motivace: Budeme se zabývat popisem kolísání rozsahu souboru objektů v čase za předpokladu, že a) v náhodných okamžicích vstupují do tohoto souboru nové objekty, přičemž pravděpodobnost, že v intervalu ( ht,t + vstoupí do souboru rozsahu j nový objekt, je ( )hohj +λ , kde λj > 0 je intenzita vstupu do stavu j; b) v náhodných okamžicích vystupují z tohoto souboru jiné objekty, přičemž pravděpodobnost, že v intervalu ( ht,t + vystoupí ze souboru rozsahu j jeden objekt, je ( )hohj +µ , kde µj > 0 je intenzita výstupu ze stavu j; c) vstupy a výstupy objektů jsou stochasticky nezávislé jevy; d) během krátkého časového intervalu zůstává rozsah souboru týž nebo se jedničku zvětší či zmenší. Bude nás především zajímat, jak se chová rozsah tohoto souboru po dostatečně dlouhé době, tj. po odeznění vlivu počátečních podmínek. 15.2. Definice: Definice procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu ( ) ( )             λλ+µ−µ λλ+µ−µ λλ− = KKKKK K K K 2222 1111 00 0 0 00 Q , kde K0,1,2,j,0j =>λ a K1,2,j,0j =>µ jsou konstanty. Tento řetězec se nazývá proces vzniku a zániku (resp. množení a úmrtí). Přechodový diagram: Upozornění: Je zřejmé, že Poissonův proces je speciálním případem procesu vzniku a zániku, v němž µj = 0, j = 1, 2, … a λj = λ, j = 0, 1, 2, … 15.3. Věta: Stacionární rozložení procesu vzniku a zániku Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku a zániku s intenzitami vzniku K0,1,2,j,0j =>λ a intenzitami zániku K1,2,j,0j =>µ Pak stacionární rozložení tohoto procesu je dáno vzorcem: 0 j21 1j10 j aa:Jj µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ =∈∀ − K K , kde ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ + = 1j j21 1j10 0 1 1 a K K za předpokladu, že řada ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ 1j j21 1j10 K K absolutně konverguje. Jinak stacionární rozložení neexistuje. Důkaz: Hledáme řešení systému rovnic aQ = 0, a0 + a1 + … = 1, tj. ( ) ( ) ( ) ( ) 1aaa ,,0,0,0 0 0 00 ,a,a,a 210 2222 1111 00 210 =+++ =             λλ+µ−µ λλ+µ−µ λλ− K K KKKKK K K K K ( ) 1aaa aaa ,2,1j,0aaa aa0aa 210 j 1j jj 1j 1j 1j 1j 1j1jjjj1j1j 0 1 0 11100 =+++ µ λ+µ + µ λ −= ⇒==µ+λ+µ−λ− µ λ =⇒=µ+λ− + − + − + ++−− K K Nechť j = 1: 0 21 10 0 1 0 2 11 0 2 0 1 2 11 0 2 0 2 aaaaaa µµ λλ = µ λ µ λ+µ + µ λ −= µ λ+µ + µ λ −= Obecně: 0 j21 1j10 j aa µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ = − K K , přičemž ∑ ∑∑∑ ∞ = − ∞ = − ∞ = ∞ = µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ + =⇒ µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ +=+== 1j j21 1j10 0 1j 0 j21 1j10 0 1j j0 0j j 1 1 aaaaaa1 K KK K , pokud řada ∑ ∞ = − µ⋅⋅µµ λ⋅⋅λλ 1j j21 1j10 K K absolutně konverguje. 15.4. Příklad: Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku a zániku s množinou stavů j = {0,1}, intenzitou vzniku λ a intenzitou zániku µ. Najděte: a) vektor absolutních pravděpodobností p(t) b) matici pravděpodobností přechodu P(t) c) stacionární rozložení a. Řešení: Matice intenzit přechodu:       µ−µ λλ− =Q Ad a) Sestavíme systém evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (1,0). ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tp1tp1tptp,tp,tpt'p,t'p 01101010 −=⇒=+      µ−µ λλ− = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10p,tpt'ptptpt'ptptpt'p 0000101010 =µ=µ+λ+⇒µ−µ+λ−=⇒µ+λ−= Laplaceův obraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ+λ+ µ+λ λ + µ+λ µ ==⇒ µ+λ+ µ+λ =⇒− µ =µ+λ+=− zz zP zz zP z zP10pzzP 00000 ( ) ( )t1 1 e zz Ltp µ+λ−− µ+λ λ + µ+λ µ =             µ+λ+ µ+λ λ + µ+λ µ = , ( ) ( ) ( )t 01 etp1tp µ+λ− µ+λ λ − µ+λ λ =−= . Celkem: ( ) ( ) ( ) ( )tt e,e 1 tp µ+λ−µ+λ− λ−λλ+µ µ+λ = Ad b) Pravděpodobnosti přechodu určíme např. ze systému Kolmogorovových retrospektivních diferenciálních rovnic ( ) ( )tt' QPP = s počáteční podmínkou P(0) = I. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       =            µ−µ λλ− =      10 01 tptp tptp , t'pt'p t'pt'p 1110 0100 1110 0100 : pro řešení tohoto systému opět využijeme Laplaceovu transformaci a získáme výsledek: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       µ+λµ−µ λ−λλ+µ µ+λ = µ+λ−µ+λ− µ+λ−µ+λ− tt tt ee ee1 tP . Ad c) Stacionární rozložení můžeme určit několika způsoby. Podle věty 15.3. máme: µ+λ µ = µ λ + = 1 1 a0 , µ+λ λ = µ+λ µ −=−= 1a1a 01 . Celkem: ( )λµ µ+λ = , 1 a