16. Speciální případy procesu vzniku a zániku
16.1. Definice: Definice lineárního procesu vzniku a zániku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor
počátečních pravděpodobností p(0) = (0, 1, 0, …) a matici intenzit přechodu
( )
( )












λλ+µ−µ
λλ+µ−µ
=
KKKKK
K
K
K
2220
0
0000
Q , kde 0,0 >µ>λ jsou konstanty.
Tento řetězec se nazývá lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ.
(Intenzity přechodu jsou lineárními funkcemi pořadí stavů, v nichž byl proces v předešlém okamžiku,
tj. λj = jλ, j = 0, 1, 2, … µj = jµ, j = 1, 2, …)
16.2. Věta: Věta o absolutních pravděpodobnostech v lineárním procesu vzniku a zániku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vztahy:
Pro λ = µ: ( )
t1
t
tp0
λ+
λ
= , ( ) ( )
( )
K,2,1j,
t1
t
tp 1j
1j
j =
λ+
λ
= +
−
Pro λ ≠ µ zavedeme označení ( )
( )
( )t
t
e
e1
tA µ−λ
µ−λ
λ−µ
−
= . Pak ( ) ( )tAtp0 µ= , ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] K,2,1j,tAtA1tA1tp
1j
j =λµ−λ−=
−
Důkaz: Uvedené vztahy získáme řešením systému evolučních diferenciálních rovnic.
16.3. Důsledek: Pravděpodobnost zániku
Pravděpodobnost, že soubor objektů v čase t zanikne, je ( ) ( )
( )



µ≠λµ
µ=λ
λ+
λ
===
protA
pro
t1
t
tp0XP 0t
. Limitním přechodem
pro t → ∞ zjistíme, že limitní pravděpodobnost zániku je ( )




µ>λ
λ
µ
µ≤λ
=
∞→
pro
pro1
tplim 0
t
.
16.4. Věta: Střední hodnota a rozptyl rozsahu souboru
Nechť { }Tt;Xt
∈ je lineární proces vzniku a zániku s intenzitami λ, µ. Předpokládejme, že v čase t = 0 má soubor rozsah
k0 ≥ 1. Pak pro střední hodnotu a rozptyl rozsahu souboru v čase t > 0 platí:
Pro λ = µ: ( ) ( ) tk2XD,kXE 0t0t
λ== .
Pro λ ≠ µ: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]1eekXD,ekXE t-t-
0t
t-
0t −
µ−λ
µ+λ
== µλµλµλ
.
Důkaz: Nebudeme provádět.
16.5. Poznámka: Limitním přechodem pro t → ∞ zjistíme, že limitní střední hodnota rozsahu souboru je
( )





µ>λ∞
µ<λ
µ=λ
=
∞→
pro
pro0
prok
XElim
0
t
t
16.6. Příklad: Nechť { }Tt;Xt ∈ je lineární proces vzniku a zániku s množinou stavů J = {0, 1, 2}, intenzitou vzniku
λ = 0,01 a intenzitou zániku µ = 0,001.
a) Jaká je pravděpodobnost, že proces zanikne v čase t = 100?
b) Jaká je limitní pravděpodobnost zániku?
Řešení:
Ad a) Podle důsledku 16.3. ( )
( )
( )t
t
0
e
e1
tp µ−λ
µ−λ
λ−µ
−
µ= , tedy ( ) 0619,0
e01,0001,0
e1
001,0100p 9,0
9,0
0 =
−
−
=
Pravděpodobnost, že v čase t = 100 proces zanikne, je 6,2 %.
Ad b) ( ) 1,0
01,0
001,0
tplim 0t
==
λ
µ
=∞→
Limitní pravděpodobnost zániku je 10 %.
16.7. Příklad: V příkladu 16.6. předpokládejme, že v čase t = 0 soubor obsahoval 20 objektů. Jaká je střední hodnota a
směrodatná odchylka rozsahu souboru v čase t = 100?
Řešení:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) 3679,91ee
9
11
201eekXD49,1921,20eekXE 9,09,0t-t-
0t
0,9t-
0t =−=−
µ−λ
µ+λ
==== µλµλµλ
16.8. Poznámka: Vlastnosti lineárního procesu vzniku a zániku lze v MATLABu ilustrovat pomocí funkce lpvz.m:
function [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
% funkce lpvz ilustruje vlastnosti linearniho procesu vzniku a zaniku
% syntaxe: [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
% vstupni parametry:
% lambda je intenzita vzniku, mi intenzita zaniku
% tau je konecny cas, k0 rozsah souboru v case t=0
% vystupni parametry:
% M je vektor strednich hodnot rozsahu souboru v case t=0 az tau
% S je vektor smerodatnych odchylek rozsahu souboru v case t=0 az tau
% P je pravdepodobnost zaniku souboru v case t=0 az tau
t=[0:tau]';
M=k0*exp((lambda-mi).*t);
S=sqrt(k0*((lambda+mi)/(lambda-mi))*exp((lambda-mi).*t).*(exp((lambda-mi).*t)-1));
P=mi*((1-exp((lambda-mi).*t)))./(mi-lambda*exp((lambda-mi).*t));
plot(t,M)
figure
plot(t,S)
figure
plot(t,P)
Použijeme tuto funkci pro proces popsaný v př. 16.6. a 16.7.
lambda=0.01;mi=0.001;tau=100;k0=20;
Dostaneme
graf závislosti středních hodnot
rozsahu souboru na čase
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20
25
30
35
40
45
50
graf závislosti směrodatných odchylek
rozsahu souboru na čase
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
graf závislosti
pravděpodobnosti zániku na čase
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
16.9. Definice: Definice Erlangova procesu
Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku a zániku, který má konečnou množinu stavů J = {0, 1, 2, …, m}, vektor počátečních
pravděpodobností p(0) = (1, 0, …, 0) a matici intenzit přechodu
( )
( )
( ) ( )( )




















µ−µ
λλ+µ−−µ−
λµ+λ−µ
λµ+λ−µ
λλ−
=
mm00000
1m1m0000
000220
0000
00000
K
K
KKKKKKKK
K
K
K
Q , kde 0>λ a 0>µ jsou konstanty.
Tento řetězec se nazývá Erlangův proces.
Vysvětlení: Erlangův proces charakterizuje např. provoz telefonní ústředny, do níž vede m linek. Nechť Xt je počet
obsazených linek v okamžiku t, Xt = 0, 1, …, m. Počet obsazených linek se v krátkém časovém intervalu můžem změnit jen
o jedničku. Intenzita nové výzvy je λ, zatímco intenzita ukončování hovoru je úměrná momentálnímu počtu obsazených
linek s koeficientem úměrnosti µ. Výzva, která přichází k plně obsazené telefonní ústředně, se ztrácí.
Přechodový diagram:
Agner Krarup Erlang (1878 – 1929) byl dánský matematik, jako první se vědecky zabýval problematikou
telefonních sítí. Pracoval 20 let pro Kodaňskou telefonní společnost. Na jeho počest byl zaveden 1 erlang
jako jednotka telefonního provozu.
16.10. Věta: Věta o stacionárním rozložení Erlangova procesu
Stacionární rozložení Erlangova procesu je dáno vzorcem: m,,1,0j,
!k
1
!j
1
a
m
0k
k
j
j K=






µ
λ






µ
λ
=
∑=
. Stacionární rozložení existuje vždy.
Důkaz: Hledáme řešení systému aQ = 0, 1a
m
0j
j =∑=
.
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )0,,0,0
mm00000
1m1m0000
000220
0000
00000
a,,a,a m10
K
K
K
KKKKKKKK
K
K
K
K =




















µ−µ
λλ+µ−−µ−
λµ+λ−µ
λµ+λ−µ
λλ−
0110
aa0aa
µ
λ
=⇒=µ+λ
( ) ( ) 1m,,2,1j,a
j
a
1j
1
a0a1jaja j1j1j1jj1j −=





µ
µ+λ
+
µ
λ
−
+
=⇒=µ++µµ+λ−λ −++− K
0ma 1m =µ−λ −
Nechť j = 1: 0
2
00102
a
!2
1
aa
2
1
aa
2
1
a 





µ
λ
=





µ
λ
⋅
µ
µ+λ
+
µ
λ
−=





µ
µ+λ
+
µ
λ
−= . Obecně: m,,2,1j,a
!j
1
a 0
j
j
K=





µ
λ
= .
Přitom
∑
∑∑
=
==






µ
λ
=⇒





µ
λ
==
m
0j
j0
m
0j
0
j
m
0j
j
!j
1
1
aa
!j
1
a1 . Celkem: m,,1,0j,
!k
1
!j
1
a
m
0k
k
j
j
K=






µ
λ






µ
λ
=
∑=
16.11. Příklad: V dílně pracují tři opraváři. Do této dílny přichází v průměru 24 zákazníků za 1 h. Jestliže příchozí
zákazník najde volného opraváře, je k němu přiřazen a začne oprava. Jestliže není žádný opravář volný, zákazník nečeká a
odchází. Předpokládáme, že doba opravy se řídí exponenciálním rozložením, přičemž průměrná doba opravy je 5 min.
a) Jakou procentuální část pracovní doby jsou opraváři nevyužiti?
b) Kolik procent potenciálních zákazníků je odmítnuto?
c) Jaký je průměrný počet obsluhujících opravářů?
Řešení: Zavedeme Erlangův proces { }Tt;Xt ∈ , kde Xt je počet obsluhujících opravářů v okamžiku t, Xt = 0, 1, 2, 3.
Přitom 3m,2,12
12
1
1
,24 ==
µ
λ
==µ=λ
Ad a) 158,0
19
3
2
6
1
2
2
1
21
2
!j
1
1
!j
1
1
a
1
32
3
0j
jm
0j
j0
==





+++==






µ
λ
=
−
=
=
∑∑
, tedy 15,8 % pracovní doby opraváři nepracují.
Ad b) Zákazník bude odmítnut, když budou všichni tři opraváři pracovat. Počítáme 211,0
19
3
8
6
1
a
!3
1
a 0
3
3 =⋅⋅=





µ
λ
= , tedy
21,1 % potenciálních zákazníků bude odmítnuto.
Ad c) Vypočítáme zbylé složky stacionárního rozložení a = (a0, a1, a2, a3):
19
6
aa 01 =
µ
λ
= ,
19
6
a
!2
1
a 0
2
2
=





µ
λ
=
Střední hodnota počtu obsluhujících opravářů: 579,1
19
30
19
12
19
12
19
6
a3a2aja 321
3
0j
j ==++=++=∑=
.
16.12. Poznámka: Stacionární rozložení Erlangova procesu můžeme vypočítat v MATLABu pomocí funkce Erlang.m:
function [a]=Erlang(m,lambda,mi)
% funkce na vypocet stacionarniho rozlozeni Erlangova procesu
% syntaxe: [a]=Erlang(m,lambda,mi)
% vstupni parametry:
% m ... nejvyssi poradove cislo v mnozine stavu
% lambda ... intenzita vzniku
% lambda ... intenzita zaniku
% vystupni parametr
% a ... vektor stacionarnich pravdepodobnosti
a0=1/sum(((lambda/mi).^(0:m)).*(1./(factorial(0:m))));
a=((lambda/mi).^(1:m)).*(1./(factorial(1:m)))*a0;
a=[a0 a];
Použijeme tuto funkci pro řešení příkladu 16.3.:
m=3;lambda=24;mi=12;
a=Erlang(m,lambda,mi)
Dostaneme výsledek:
a =
0.1579 0.3158 0.3158 0.2105
16.13. Definice: Definice procesu vzniku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je homogenní markovský řetězec se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …}, vektor
počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, …) a matici intenzit přechodu












λλ−
λλ−
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
22
11
00
00
00
00
Q , kde K0,1,2,j,0j
=>λ jsou konstanty.
Tento řetězec se nazývá proces vzniku (resp. množení) s intenzitami K0,1,2,j,0j
=>λ
Vysvětlení: Proces vzniku popisuje kolísání rozsahu souboru objektů v čase, přičemž objekty mohou do souboru pouze
vstupvat a nemohou vystupovat. Poissonův proces je speciálním případem procesu vzniku, kde λj = λ, j = 0, 1, 2, …
Přechodový diagram:
.
16.14. Věta: Absolutní pravděpodobnosti a pravděpodobnosti přechodu v procesu vzniku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je proces vzniku s intenzitami K0,1,2,j,0j
=>λ Pak platí:
a) Absolutní pravděpodobnosti jsou dány vztahy:
( ) t
0
0
etp λ−
=
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )∑= +−
λ−
−
λ−λ⋅⋅λ−λλ−λ⋅⋅λ−λ
λ⋅⋅λλ−=
j
0i ji1ii1ii0i
t
1j10
j
j
i
e
1tp
KK
K , j = 1, 2, …
b) Pravděpodobnosti přechodu jsou dány vztahy:
( )





λ=λλ
λ≠λ−
λ−λ
λ
=
+
λ−
+
λ−λ−
++
+
prote
proee
p
j1j
t
j
j1j
tt
j1j
j
1j,j
j
1jj
Důkaz:
Ad a) Plyne ze systému evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (1, 0, 0, …)
Ad b) Plyne ze systému Kolmogorovových prospektivních diferenciálních rovnic ( ) ( )QPP tt' =
s počáteční podmínkou P(0) = I
16.15. Příklad: Nechť v procesu vzniku jsou intenzity vzniku dány vztahem λj = (N + j)λ, kde N je dané přirozené číslo a
λ > 0 je konstanta. Odvoďte vektor absolutních pravděpodobností.
Řešení:
( ) tNt
0 eetp 0 λ−λ−
==
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )∑= +−
λ−
−
λ−λ⋅⋅λ−λλ−λ⋅⋅λ−λ
λ⋅⋅λλ−=
j
0i ji1ii1ii0i
t
1j10
j
j
i
e
1tp
KK
K =
=( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑=
λ+−
λ+−λ+⋅⋅λ++−λ+λ−+−λ+⋅⋅λ−λ+
−++λ−
j
0i
tiN
jj
jNiN1iNiN1iNiNNiN
e
1jN1NN1
KK
K
=( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )∑∑ =
λ−
λ−
=
λ+−
−−λ−
−+
λ−=
λ−λ−λλ−λ−
−+
λ−
j
0i
j
ti
tN
j
jj
j
0i
tiN
jj
!ij!i1
e
e
1
!1N
!1jN
1
ji11ii
e
!1N
!1jN
1
KK
=
=
( )
( )
( ) ( ) ( )jttN
j
0i
ijittN
e1e
j
1jN
1e
i
j
!j
1
e
!1N
!1jN λ−λ−
=
−λ−λ−
−




 −+
=−





−
−+
∑
Znamená to, že Xt ~ Ps(N, e-λt
).
16.16. Definice: Definice lineárního procesu vzniku
Nechť v procesu vzniku jsou intenzity vzniku úměrné rozsahu souboru, tj. λj = jλ, j = 1, 2, …, λ > 0. Předpokládejme, že na
začátku je v souboru jeden objekt. Matice intenzit přechodu má tedy tvar












λλ−
λλ−
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
330¨0
0220
00
Q . Tento proces se
nazývá lineární proces vzniku (Yuleův proces).
16.17. Věta: Absolutní pravděpodobnosti v Yuleově procesu
Nechť { }Tt;Xt
∈ je Yuleův proces s intenzitou vzniku λ > 0. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vzorcem:
( ) ( ) K,2,1j,ee1tp t1jt
j
=−= λ−−λ−
Znamená to, že rozsah souboru v čase t zmenšený o 1 se řídí rozložením Ge(e-λt
).
Důkaz: Plyne z příkladu 16.7., kde položíme N = 1.
16.18. Věta: Střední hodnota a rozptyl v Yuleově procesu
V Yuleově procesu je střední hodnota rozsahu souboru v čase t rovna eλt
a rozptyl eλt
(eλt
– 1).
Důkaz: Plyne z vlastností geometrického rozložení.
(Proces vzniku i Yuleův proces mají v praxi jen malý význam, protože v reálném světě neexistují populace, jejichž jedinci
nepodléhají zániku. Nicméně, uvedených procesů je možno použít např. k modelování krátkodobého růstu kolonie bakterií
v prostředí s dostatkem živin.)
16.19. Příklad: Nechť je dán Yuleův proces s parametrem λ = 2,34.
a) Jaká je pravděpodobnost, že v čase t = 0,6 bude rozsah souboru nejvýše 5?
b) Vypočtěte střední hodnotu a směrodatnou odchylku rozsahu souboru v čase t = 0,2.
Řešení:
Ad a) ( ) ( ) K,2,1j,ee1tp t1jt
j
=−= λ−−λ−
( ) ( ) ( ) 7557,0ee16,0p5XP
5
0j
6,034,21j6,034,2
5
0j
j6,0 =−==≤ ∑∑ =
⋅−−⋅−
=
Ad b) ( ) t
t eXE λ
= , ( ) ( )1eeXD tt
t −= λλ
( ) 5968,1eXE 6,034,2
2,0 == ⋅
, ( ) ( ) 9762,01eeXD 6,034,26,034,2
2,0
=−= ⋅⋅
16.20. Definice: Definice procesu zániku
Nechť { }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2, …, N}, vektor počátečních
pravděpodobností p(0) = (0, 0, …, 1) a matici intenzit přechodu
















µ−µ
µ−µ
µ−µ
=
NN
22
11
0000
0000
0000
000000
K
KKKKKKK
K
K
K
Q , kde
N,,2,1j,0j
K=>µ jsou konstanty. Tento proces se nazývá proces zániku.
Vysvětlení: Na počátku má soubor N objektů. Objekty mohou ze souboru jenom vystupovat, přičemž intenzita výstupu ze
souboru rozsahu j je µj, j = 1, 2, …, N. Proces končí zánikem souboru.
Přechodový diagram:
16.21. Definice: Definice lineárního procesu zániku
Nechť v procesu zániku jsou intenzity zániku úměrné rozsahu souboru, tj. µj = jµ, j = 0, 1, …, N, µ > 0. Matice intenzit
přechodu má tedy tvar:
















µ−µ
µ−µ
µ−µ
=
NN0000
000220
0000
000000
K
KKKKKKK
K
K
K
Q . Tento proces se nazývá lineární proces zániku.
16.22. Věta: Absolutní pravděpodobnosti v lineárním procesu zániku
Nechť { }Tt;Xt
∈ je lineární proces zániku s intenzitou zániku µ > 0. Pak absolutní pravděpodobnosti jsou dány vzorcem:
( ) ( ) ( ) N,,1,0j,e1e
j
N
tp
jNtjt
j K=−





=
−µ−µ−
. Znamená to, že rozsah souboru v čase t se řídí rozložením Bi(N, e-µt
).
Důkaz: Plyne z evolučních diferenciálních rovnic ( ) ( )Qpp tt' = s počáteční podmínkou p(0) = (0, 0, …, 1).
16.23. Věta: Střední hodnota a rozptyl v lineárním procesu zániku
V lineárním procesu zániku je střední hodnota rozsahu souboru v čase t rovna Ne-µt
a rozptyl Ne-µt
(1- e-µt
) .
Důkaz: Plyne z vlastností binomického rozložení.