9. Absorpční homogenní markovské řetězce
9.1. Definice: Definice absorpčního stavu
Nechť { }0n Nn;X ∈ je homogenní markovský řetězec s množinou stavů J.
Řekneme, že stav Jj∈ je absorpční stav, jestliže pjj = 1 (tzn., že ze stavu j není dosažitelný žádný jiný stav). Když řetězec
vstoupí do absorpčního stavu, pak řekneme, že je absorbován.
9.2. Věta: Věta o vztahu mezi absorpčním stavem a trvalým stavem
Každý absorpční stav je trvalým stavem.
Důkaz: Plyne přímo z definice trvalého stavu.
9.3. Definice: Definice absorpčního homogenního markovského řetězce
Homogenní markovský řetězec s konečnou množinou stavů se nazývá absorpční, jestliže každý jeho trvalý stav je absorpční.
9.4. Příklad: Nechť { }0n Nn;X ∈ je homogenní markovský řetězec s množinou stavů J = {0,1, ..., 5} a maticí přechodu




















=
100000
001000
010000
4/304/1000
0003/103/2
000010
P . Zjistěte, zda jde o absorpční řetězec.
Řešení:
Přechodový diagram
JT = {3,4}∪ {5}, JP = {0, 1, 2}.
Stavy 3 a 4 jsou trvalé, ale nejsou absorpční. Řetězec tedy není absorpční.
0 1
2/3
1
2
1/3
3
3/4
1/4
4
1
1
5
1
9.5. Definice: Definice fundamentální matice absorpčního řetězce
Nechť { }0n Nn;X ∈ je absorpční řetězec s konečnou množinou stavů, který má r absorpčních a s neabsorpčních stavů. Stavy
přečíslujeme tak, aby po množině JA r absorpčních stavů následovala množina JN s neabsorpčních stavů. Matici přechodu P
přepíšeme do kanonického tvaru 





=
QR
0I
P , kde
I je jednotková matice řádu r,
0 je nulová matice typu r x s,
R je matice typu s x r obsahující pravděpodobnosti přechodu z neabsorpčních do absorpčních stavů a
Q je čtvercová matice řádu s obsahující pravděpodobnosti přechodu mezi neabsorpčními stavy.
Matice ( ) 1−
−= QIM (kde I je jednotková matice řádu s) se nazývá fundamentální matice absorpčního řetězce.
Vysvětlení: Prvek mij matice M udává střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčním stavu j před
přechodem do absorpčního stavu, pokud vyšel z neabsorpčního stavu i. Inverzní matice existuje, pokud Qn
konverguje k 0.
9.6. Poznámka: Význam součtu prvků v i-tém řádku fundamentální matice M
Střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčních stavech, když vychází z neabsorpčního stavu i a skončí
v absorpčním stavu, vypočítáme jako součet prvků v i-tém řádku fundamentální matice M. Maticový zápis: t = Me, kde e je
sloupcový vektor typu s x 1 ze samých jedniček.
9.7. Příklad: Dva hráči A a B dali dohromady do hry vklad 4 Kč. Hráč A hází mincí. Když padne líc, vyhrává 1 Kč, když
rub, prohrává 1 Kč. Hra trvá tak dlouho, až je jeden z hráčů zruinován.
a) Popište situaci pomocí homogenního markovského řetězce. Najděte matici přechodu a nakreslete přechodový diagram.
b) Ukažte, že řetězec je absorpční.
c) Najděte fundamentální matici a interpretujte její prvky.
b) Vypočtěte střední hodnotu počtu kroků, které řetězec stráví v neabsorpčních stavech.
Řešení:
ad a) Zavedeme homogenní markovský řetězce { }0n Nn;X ∈ s množinou stavů J = {0,1, 2, 3, 4}, přičemž Xn = j, když v ntém
kroku hry má hráč A právě j Kč.
Matice přechodu:
















=
10000
2/102/100
02/102/10
002/102/1
00001
P
Přechodový diagram:
ad b) JT = {0}∪ {4}, JP = {1, 2, 3}. Trvalé stavy 0 a 4 jsou absorpční, řetězec je tedy absorpční.
0 1
1
1/2
2
1/2
1/2
3
1/2
1/2
4
1/2
1
ad c) Matici přechodu v kanonickém tvaru získáme tak, že nejprve zapíšeme pravděpodobnosti přechodu vztahující se
k absorpčním stavům 0 a 4 a poté pravděpodobnosti přechodu vztahující se k neabsorpčním stavům 1, 2, 3.
Původní matice přechodu:
















=
10000
2/102/100
02/102/10
002/102/1
00001
P
Matice přechodu v kanonickém tvaru:
















=
02/102/10
2/102/100
02/1002/1
00010
00001
P
Pro výpočet fundamentální matice M potřebujeme matici Q obsahující pravděpodobnosti přechodu mezi neabsorpčními
stavy: 321










−
−−
−
=−










=
12/10
2/112/1
02/11
,
02/10
2/102/1
02/10
QIQ , ( )










=−=
−
2/312/1
121
2/112/3
3
2
1
1
QIM
Interpretace: Podívejme se např. na druhý řádek matice M. Má-li hráč A v daném okamžiku 2 Kč, pak lze očekávat, že
před skončením hry bude mít v průměru jedenkrát 1 Kč, dvakrát 2 Kč a jedenkrát 3 Kč.
ad d) Podle poznámky 8.6. dostáváme:
t = Me =










=










⋅










3
4
3
1
1
1
2/312/1
121
2/112/3 Interpretace: Má-li hráč A v daném okamžiku buď 1 Kč nebo 3 Kč, tak v průměru
po třech krocích hra skončí. Má-li hráč A v daném okamžiku 2 Kč, pak v průměru
po čtyřech krocích hra skončí.
9.8. Věta: Věta o pravděpodobnostech přechodu do absorpčních stavů
Označme bij pravděpodobnost, že řetězec vycházející z neabsorpčního stavu i bude absorbován ve stavu j.
Sestavíme matici B = ( ) Jj,iijb ∈
.
Pak B = MR, kde M je fundamentální matice absorpčního řetězce a R je matice v levém dolním rohu matice přechodu P
v kanonickém tvaru.
Důkaz: Nechť i je neabsorpční a j absorpční stav. Stavu j může být dosaženo 1. krokem s pravděpodobností pij nebo
přechodem do neabsorpčního stavu k s pravděpodobností pik a odtud přechodem do absorpčního stavu j s pravděpodobností
bkj. Tedy ∑∈
=
Jk
kjikij bpb . Maticově: B = R + QB, B – QB = R, (I – Q)B = R, B = (I – Q)-1
R = MR.
9.9. Definice: Definice matice přechodu do absorpčních stavů daného absorpčního řetězce
Matice B se nazývá matice přechodu do absorpčních stavů daného absorpčního řetězce.
9.10. Příklad: Pro zadání z příkladu 9.7. vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky. Pro
připomenutí: Dva hráči A a B dali dohromady do hry vklad 4 Kč. Hráč A hází mincí. Když padne líc, vyhrává 1 Kč, když
rub, prohrává 1 Kč. Hra trvá tak dlouho, až je jeden z hráčů zruinován.
Řešení:
Matice přechodu v kanonickém tvaru:
















=
02/102/10
2/102/100
02/1002/1
002/110
00001
P , tedy










=
2/10
00
02/1
R . Již jsme vypočetli, že










=
2/312/1
121
2/112/3
M , tedy B = MR =










=










⋅










4/34/1
2/12/1
4/14/3
2/10
00
02/1
2/312/1
121
2/112/3
.
Interpretace: Má-li hráč A v daném okamžiku 1 Kč, pak bude s pravděpodobností 3/4 zruinován on a s pravděpodobností
1/4 bude zruinován hráč B. Má-li hráč A v daném okamžiku 2 Kč, pak bude s pravděpodobností 1/2 zruinován on a
s pravděpodobností 1/2 bude zruinován hráč B. Má-li hráč A v daném okamžiku 3 Kč, pak bude s pravděpodobností 1/4
zruinován on a s pravděpodobností 3/4 bude zruinován hráč B.
9.11. Poznámka: Charakteristiky absorpčního řetězce můžeme v MATLABu vypočítat pomocí funkce absorb.m:
function [Pk,M,B,t]=absorb(P)
% funkce pro výpočet základních charakteristik absorpčního řetězce
% Autor: Stanislav Tvrz
% function [Pk,M,B,t]=absorb(P)
% vstupní parametr: matice přechodu P
% výstupní parametry: Pk ... matice přechodu v kanonickém tvaru
% M ... fundamentální matice
% B ... matice přechodu do absorpčních stavů
% t ... vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí
%vypíše pro kontrolu přechodovou matici P
P
vel=size(P);
[i,j]=find(P==1); % najdu prvky matice P o hodnotě 1
vi=size(i);
st=0; % počet nalezených absorpčních stavů
%převod P na kanonický tvar
for k=1:vi
if i(k)==j(k)
st=st+1;
if st==1 % varianta pro první nalezený absorpční stav
if (i(k)>1)&(i(k)<vel) % první řádek, pokud odpovídá absorpčnímu stavu se nepřesouvá
P=[P(i(k),:);P(1:i(k)-1,:);P(i(k)+1:vel,:)]; % přesun k-tého řádku na místo prvního
P=[P(:,i(k)),P(:,1:i(k)-1),P(:,i(k)+1:vel)]; % přesun k-tého sloupce na místo prvního
elseif (i(k)==vel)&(st<vel) % varianta pro přesun posledního řádku/sloupce
P=[P(i(k),:);P(1:i(k)-1,:)]; % přesun k-tého řádku na místo prvního
P=[P(:,i(k)),P(:,1:i(k)-1)]; % přesun k-tého sloupce na místo prvního
end;
else
if ((i(k))>st+1)&(i(k)<vel) % varianta pro další nalezený absorpční stav
P=[P(1:st-1,:);P(i(k),:);P(st:i(k)-1,:);P(i(k)+1:vel,:)]; %přesun k-tého řádku na místo dalšího absorpčního
stavu
P=[P(:,1:st-1),P(:,i(k)),P(:,st:i(k)-1),P(:,i(k)+1:vel)]; %přesun k-tého sloupce na místo dalšího absorpčního
stavu
elseif (i(k)==vel)&(st<vel) % varianta pro přesun posledního řádku/sloupce
P=[P(1:st-1,:);P(i(k),:);P(st:i(k)-1,:)]; %přesun k-tého řádku na místo dalšího absorpčního stavu
P=[P(:,1:st-1),P(:,i(k)),P(:,st:i(k)-1)]; %přesun k-tého sloupce na místo dalšího absorpčního stavu
end;
end;
end;
end;
%Pk = kanonický tvar přechodové matice
Pk=P
% Q = matice přechodových pravděpodobností mezi přechodnými stavy
Q=[P(st+1:vel,st+1:vel)];
% R = matice přechodových pravděpodobností z přechodných do absorpčních stavů
R=[P(st+1:vel,1:st)];
% M = matice středního počtu kroků strávených v j-tém stavu před absorpcí, pokud řetězec vychází ze stavu i
M=inv(eye(vel-st)-Q);
% B = matice pravděpodobností, že řetězec bude absorbován j-tým stavem, pokud vychází z i-tého stavu
přechodného
B=M*R;
% t = vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí
t=M*ones(vel-st,1);
Použijeme-li tuto funkci na řešení příkladu 9.10., dostaneme výsledky:
Pk =
1.0000 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0
0.5000 0 0 0.5000 0
0 0 0.5000 0 0.5000
0 0.5000 0 0.5000 0
M =
1.5000 1.0000 0.5000
1.0000 2.0000 1.0000
0.5000 1.0000 1.5000
B =
0.7500 0.2500
0.5000 0.5000
0.2500 0.7500
t =
3.0000
4.0000
3.0000
9.12. Příklad: Jistá firma třídí svoje pohledávky po termínu splatnosti do 30 denních intervalů. Pohledávky, které jsou
nad 90 dnů po době splatnosti, jsou považovány za nedobytné. K popisu situace zavedeme homogenní markovský řetězec
s množinou stavů J = {1, 2, 3, 4, 5}, kde
stav 1 znamená pohledávky 0 – 30 dní po době splatnosti,
stav 2 pohledávky 31 – 60 dní po době splatnosti,
stav 3 pohledávky 61 – 90 dní po době splatnosti,
stav 4 splacené pohledávky a
stav 5 nedobytné pohledávky.
Dlouhodobou analýzou doby splatnosti jednotlivých pohledávek bylo zjištěno, že pravděpodobnosti přechodu jsou:
p12 = 0,77, p14 = 0,23, p23 = 0,34, p24 = 0,66, p34 = 0,73 a p35 = 0,27.
Úkoly:
a) Sestavte matici přechodu.
b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu.
c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky.
d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky.
e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.
f) Předpokládejme, že objem pohledávek po termínu splatnosti v jednotlivých 30 denních intervalech je (4 030 000 Kč,
9 097 000 Kč, 3 377 000 Kč). Jaká je průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek?
Řešení:
ad a)
1 2 3 4 5 Přechodový diagram:
















=
10000
01000
27,073,0000
066,034,000
023,0077,00
5
4
3
2
1
P
ad b) Řetězec má tři přechodné stavy, a to 1, 2, 3 a dva trvalé stavy, a to 4 a 5. Oba jsou absorpční, tedy řetězec je absorpční.
Kanonický tvar matice přechodu:
4 5 1 2 3
















=
00027,073,0
34,000066,0
077,00023,0
00010
00001
3
2
1
5
4
P ,










=
27,073,0
066,0
023,0
R ,










=
000
34,000
077,00
Q .
ad c) Vypočteme fundamentální matici absorpčního řetězce:
1 2 3
( )










=−=
−
100
34,010
26,077,01
3
2
1
1
QIM
Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 v něm v průměru stráví 1 x 30 = 30 dnů než bude splacena nebo
zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,77 x 30 = 23,1 dne ve stavu 2 než
bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,26 x 30 = 7,8
dne ve stavu 3 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky.
ad d) Vypočteme matici přechodu do absorpčních stavů:
4 5










=










⋅










==
27,073,0
0918,09082,0
0707,09293,0
3
2
1
27,073,0
066,0
023,0
100
34,010
26,077,01
MRB .
Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 bude s pravděpodobností 0,9293 splacena a s pravděpodobností
0,0707 se stane nedobytnou.
ad e) Vypočteme vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí:










=




















==
1
34,1
03,2
3
2
1
1
1
1
100
34,010
26,077,01
Met
Interpretace:
2,03 x 30 = 60,9 – pohledávce zařazené do stavu 1 bude v průměru trvat 60,9 dne než bude splacena nebo zařazena mezi
nedobytné pohledávky.
1,34 x 30 = 40,2 – pohledávce zařazené do stavu 2 bude v průměru trvat 40,2 dne než bude splacena nebo zařazena mezi
nedobytné pohledávky.
1 x 30 = 30 – pohledávce zařazené do stavu 3 bude v průměru trvat 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné
pohledávky.
ad f) Připomínáme, že objem pohledávek po termínu splatnosti v jednotlivých 30 denních intervalech je
(4 030 000 Kč, 9 097 000 Kč, 3 377 000 Kč). Průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek:
( ) ( )203181614472184
27,073,0
0918,09082,0
0707,09293,0
337700090970004030000 =










Průměrná hodnota splacených pohledávek je tedy 14 472 184 Kč a nedobytných pohledávek je 2 031 816 Kč.