Příklady na 10. cvičení
Příklad 1.: Proud zákazníků směřujících do banky tvoří Poissonův
proces s parametrem λ. Je známo, že během jedné hodiny přijdou do
banky v průměru 2 zákazníci. Jaká je pravděpodobnost, že
a) přijdou právě 2 zákazníci během prvních 20 minut, kdy má
banka otevřeno,
b) přijde aspoň jeden zákazník během prvních 20 minut?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces { }Tt;Xt
∈ , kde náhodná veličina
Xt udává počet zákazníků, kteří přijdou do banky v intervalu ( t,0 .
Přitom ( ) ( ) t
j
t
e
!j
t
jXP λ−λ
== . Intenzita procesu
30
1
60
2
==λ .
ad a) ( ) 1141,0e
9
2
e
!2
20
30
1
2XP 3
2
20
30
1
2
20
==






⋅
==
−⋅−
Řešení pomocí MATLABu: poisspdf(2,2/3)
(Funkce poisspdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x
pravděpodobnostní funkce Poissonova rozložení s parametrem
lambda.)
ad b) ( ) ( ) 4866,0e10XP11XP 3
2
2020
=−==−=≥
−
Řešení pomocí MATLABu: 1- poisscdf(0,2/3)
(Funkce poisscdf(x, lambda) počítá hodnotu v bodě x distribuční
funkce Poissonova rozložení s parametrem lambda.)
Příklad 2.: Předpokládáme, že poruchy určité součástky tvoří
Poissonův proces. V průměru připadá jedna porucha na 200 hodin
provozu, tj. na 25 osmihodinových směn. Na skladě jsou dvě náhradní
součástky. Po době odpovídající 60 směnám budou dodány další. Jaká
je pravděpodobnost, že stroj nebude pro nedostatek náhradních
součástek vyřazen z provozu do dodávky dalších náhradních
součástek?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces { }Tt;Xt
∈ , kde náhodná veličina
Xt udává počet poruch stroje v intervalu ( t,0 . Přitom
( ) ( ) t
j
t
e
!j
t
jXP λ−λ
== , kde intenzita 005,0
200
1
==λ . Zajímá nás
pravděpodobnost, že v časovém okamžiku t = 60.8 = 480 bude
náhodná veličina Xt nabývat hodnoty nejvýše 2
(přitom λt = 4,2
200
480
= ), tj. počítáme
( ) ( ) 5697,0e
!k
4,2
2XP
2
0k
4,2
k
480
==≤ ∑=
−
.
Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(2,2.4)
Příklad 3.: Předpokládáme, že na telefonní ústřednu přicházejí
v určité denní době hovory s neměnnou intenzitou 3 hovory za 1
minutu.
a) Jaká je pravděpodobnost, že za 1 minutu dojde na ústřednu méně
než 5 hovorů?
b) Určete střední hodnotu délky intervalu mezi dvěma po sobě
následujícími příchody hovorů.
c) Jaká je pravděpodobnost, že délka intervalu mezi dvěma po sobě
následujícími příchody hovorů je delší než 1 minuta?
Řešení: Zavedeme Poissonův proces { }Tt;Xt
∈ , kde náhodná veličina
Xt udává počet hovorů, které přijdou do ústředny v intervalu ( t,0 .
Přitom ( ) ( ) t
j
t
e
!j
t
jXP λ−λ
== . Intenzita procesu 3=λ .
ad a) ( ) 8153,0e
!k
3
4XP
4
0k
3
k
1
==≤ ∑=
−
Řešení pomocí MATLABu: poisscdf(4,3)
ad b) Podle věty 14.6. se délka S tohoto intervalu řídí exponenciálním
rozložením s parametrem 3=λ , tedy střední hodnota délky tohoto
intervalu je s20min
3
1
= .
ad c) Zajímá nás ( ) ( ) ( ) 0498,0ee111SP11SP 313
==−−=≤−=> −⋅−
Řešení pomocí MATLABu: 1-expcdf(1,1/3)
Příklad 4.: Uvažme Poissonův proces s intenzitou λ, který popisuje
náhodné a navzájem nezávislé příchody zákazníků do fronty. Již bylo
odvozeno, že počet zákazníků ve frontě v okamžiku t se řídí
rozložením ( )tPo λ .
Předpokládejme, že 1=λ . Pro časový interval ( 10,0 nakreslete do
jednoho obrázku průběh pravděpodobností, že v okamžiku t bude ve
frontě právě j zákazníků, j = 0, 1, 2, 3.
Řešení pomocí MATLABu:
lambda=1;t=[0:0.1:10]‘;
p0=exp(-lambda*t);
p1=(lambda*t).*exp(-lambda*t);
p2=(1/2)*(lambda*t).^2.*exp(-lambda*t);
p3=(1/6)*(lambda*t).^3.*exp(-lambda*t);
plot(t,p0,t,p1,t,p2,t,p3)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
j=0
j=1
j=0
j=2
j=3
Simulace Poissonova procesu
Zadání:
V sobotu v době od 8 do 20 h sledujeme provoz v klidné ulici ve
vilové čtvrti města. V tomto období vjíždějí auta do této ulice
v průměru každých 8 minut. Předpokládejme, že intervaly mezi
příjezdy aut se řídí exponenciálním rozložením. Pomocí MATLABu
simulujte vjezd 20 aut do této ulice.
a) Zjistěte celkovou dobu simulace.
b) Vypočtěte průměrnou, maximální a minimální délku intervalu
mezi vjezdy dvou aut.
c) Vypočtěte směrodatnou odchylku délek intervalů.
d) Porovnejte tvar histogramu délek intervalů (volte 5 třídicích
intervalů) s tvarem hustoty exponenciálního rozložení
s patřičným parametrem.
e) Znázorněte nasimulovaný Poissonův proces graficky.
Návod:
Zavedeme Poissonův proces { }Tt;Xt
∈ , kde jXt
= , když v intervalu
( t,0 vjede do ulice právě j aut,
j = 0, 1, 2, … Parametr
8
1
=λ .
Pomocí funkce exprnd vygenerujeme 20 náhodných čísel
z exponenciálního rozložení s parametrem 1/8:
x=exprnd(8,20,1);
Upozornění: Pokud bychom neměli k dispozici statistický toolbox
MATLABu, postupujeme takto:
r = unifrnd(0,1,20,1);
Proměnnou r transformujeme vztahem ( )r1ln
1
x −
λ
−= :
x = -8*log(1-r);
V proměnné x jsou nyní uloženy délky intervalů mezi vjezdy aut.
Celková doba simulace:
doba = sum(x)
Průměrná délka intervalu:
prumer = mean(x)
Maximální délka intervalu:
maximum = max(x)
Minimální délka intervalu:
minimum = min(x)
Směrodatná odchylka délek intervalů:
so = std(x)
(Teoretická celková doba simulace by měla být 20.8 = 160 min, průměr = 8 min,
směrodatná odchylka = 8 min.)
Histogram délek intervalů s pěti třídicími intervaly znázorníme příkazem
hist(x,5).
Znázornění hustoty exponenciálního rozložení s parametrem 1/8:
plot([0:0.01:maximum],exppdf([0:0.01:maximum],8))
Znázornění nasimulovaného Poissonova procesu:
Do proměnné počet uložíme celkový počet aut:
pocet = [1:20]’;
Do proměnné t uložíme kumulované délky intervalů:
t = cumsum(x);
Pomocí funkce stairs znázorníme Poissonův proces:
stairs(t,pocet)
Celý postup můžeme zopakovat s větším počtem aut a sledovat, jak se
zvyšujícím se počtem simulací se empirické charakteristiky procesu blíží
teoretickým.