Ilustrace vlastností lineárního procesu vzniku a zániku
function [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
% funkce lpvz ilustruje vlastnosti linearniho procesu vzniku a zaniku
% [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
% Vstupni parametry:
% lambda je intenzita vzniku
% mi je intenzita zaniku
% tau je konecny cas
% k0 je rozsah souboru v case t=0
% Vystupni parametry:
% M je vektor strednich hodnot rozsahu souboru v case t=0 az tau
% S je vektor smerodatnych odchylek rozsahu souboru v case t=0 az tau
% P je pravdepodobnost zaniku souboru v case t=0 az tau
t=[0:tau]';
M=k0*exp((lambda-mi).*t);
S=sqrt(k0*((lambda+mi)/(lambda-mi))*exp((lambda-mi).*t).*(exp((lambda-mi).*t)-1));
P=mi*((1-exp((lambda-mi).*t)))./(mi-lambda*exp((lambda-mi).*t));
plot(t,M)
figure
plot(t,S)
figure
plot(t,P)
Funkce lpvz.m graficky znázorňuje závislost střední hodnoty a směrodatné
odchylky rozsahu souboru objektů na čase t = 0 až tau a závislost zániku
souboru na čase t = 0 až tau.
Příklad: Nechť { }Tt;Xt
∈ je lineární proces vzniku a zániku s množinou stavů
{ }2,1,0J = a intenzitou vzniku 01,0=λ a zániku 001,0=µ . Předpokládáme,
že v čase t = 0 soubor obsahoval 20 objektů. Vypočtěte a graficky znázorněte
a) střední hodnotu rozsahu souboru v čase 0 až 100
b) směrodatnou odchylku rozsahu souboru v čase 0 až 100
c) pravděpodobnost vyhynutí v čase 0 až 100
Řešení: Použijeme funkci lpvz.
lambda=0.01;mi=0.001;tau=100;k0=20;
[M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
Graf závislosti střední hodnoty rozsahu souboru na čase:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20
25
30
35
40
45
50
S rostoucím časem roste střední hodnota rozsahu souboru, v čase 100 činí 49,19.
Graf závislosti směrodatné odchylky rozsahu souboru na čase:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S rostoucím časem roste směrodatná odchylka rozsahu souboru, v čase 100 činí
9,37.
Graf závislosti pravděpodobnosti vyhynutí na čase:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
S rostoucím časem roste pravděpodobnost zániku souboru, v čase 100 činí
0,0619. (Jaká je limitní pravděpodobnost zániku?)
Samostatný úkol: vyzkoušejte funkci lpvz pro různé hodnoty vstupních
parametrů.
Stacionární rozložení Erlangova procesu
function [a]=Erlang(m,lambda,mi)
% funkce na vypocet stacionarniho rozlozeni Erlangova procesu
% syntaxe: [a]=Erlang(m,lambda,mi)
% vstupni parametry:
% m ... nejvyssi poradove cislo v mnozine stavu
% lambda ... intenzita vzniku
% lambda ... intenzita zaniku
% vystupni parametr
% a ... vektor stacionarnich pravdepodobnosti
a0=1/sum(((lambda/mi).^(0:m)).*(1./(factorial(0:m))));
a=((lambda/mi).^(1:m)).*(1./(factorial(1:m)))*a0;
a=[a0 a];
Příklad: Je dán Erlangův proces s množinou stavů J = {0, 1, 2, 3, 4} a
parametry λ = 2, µ = 3.
a) Napište matici přechodu a nakreslete přechodový diagram.
b) Najděte stacionární rozložení a interpretujte ho.
Výsledek: ad b) ( )2,12,54,162,243
473
1
=a
Po odeznění vlivu počátečních podmínek bude proces asi 51,37 % celkové doby
bude proces ve stavu 0, 34,25 % doby ve stavu 1, 11,42 % doby ve stavu 2, 2,54
% doby ve stavu 3 a 0,42 % doby ve stavu 4.
Příklad: Benzínová stanice má dvě čerpadla. U každého čerpadla může čerpat
benzín jen jedno auto. Když jsou obě čerpadla obsazena, další přijíždějící auta
nečekají a odjíždějí. Průměrná doba čerpání benzínu je 2 min a průměrně
přijíždí 40 aut za 1 h.
a) Kolik procent doby bude benzínová stanice nevyužitá?
b) S jakou pravděpodobností nebude přijíždějící auto obslouženo?
c) Jaká je střední hodnota počtu obsazených čerpadel?
Výsledek:
Ad a) Benzínová stanice je nevyužitá asi po 31 % celkové doby.
Ad b) Přijíždějící auta nebudou obsloužena s pravděpodobností asi 0,28.
Ad c) Střední hodnota počtu obsazených čerpadel je asi 0,97.
Příklad: Při sledování provozu telefonní ústředny bylo zjištěno, že za 1 min se
vyskytne průměrně 5 požadavků na spojení a jeden hovor trvá průměrně 2 min.
Kolik linek by minimálně měla mít tato TÚ, aby pravděpodobnost, že volající
zastihne všechny linky obsazené, byla nanejvýš 0,5?
Výsledek: Minimální počet linek je 6.