Příklady z genetiky na absorpční řetězce
Příklad 1.: Máme populaci diploidní cizosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a, A. Z
populace náhodně vybereme jedince, sprášíme ho homozygotním jedincem typu AA a v příštím kroku
vybíráme z populace tvořené jejich potomky.
Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2}, kde
stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA.
Úkoly:
a) Najděte matici přechodu P.
b) Ukažte, že řetězec je absorpční.
c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky.
d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky.
e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.
Řešení:
aa, AA → aA, aA, aA, aA
aA, AA → aA, aA, AA, AA
AA, AA → AA, AA, AA, AA
ad a)
aa aA AA Přechodový diagram:










=
100
2/12/10
010
AA
aA
aa
P
ad b) Řetězec má jediný trvalý stav AA, který je absorpční, proto je řetězec absorpční.
ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu.
AA aa aA










=
2/102/1
100
001
aA
aa
AA
P . Vidíme, že 





=
2/1
0
R , 





=
2/10
10
Q . Dále
aa aA
( ) 





=−=
−
20
21
aA
aa1
QIM .
Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa (tj. od recesivního homozygota) v něm v průměru setrvá 1 krok než bude
absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aa setrvá ve stavu aA v průměru 2 kroky než bude absorbován. Řetězec
vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován.
AA
ad d) 





=











==
1
1
aA
aa
2/1
0
20
21
MRB .
Interpretace: Ať řetězec vychází ze stavu aa nebo aA, tak s pravděpodobností 1 bude absorbován ve stavu AA.
ad e) 





==
2
3
aA
aa
Met .
Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa bude v průměru za 3 kroky absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA bude
v průměru za 2 kroky absorbován.
Příklad 2.: Máme populaci diploidní samosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a,A.
Z populace náhodně vybereme jedince, samosprášíme ho a v příštím kroku vybíráme z populace tvořené
jeho potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2},
kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA.
a) Najděte matici přechodu P.
b) Ukažte, že řetězec je absorpční.
c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky.
d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky.
e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí.
Řešení:
ad a)










=
100
4/12/14/1
001
P
ad b) Řetězec má dva trvalé stavy aa a AA, oba jsou absorpční, proto je řetězec absorpční.
ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu.










=
2/14/14/1
010
001
P . Vidíme, že ( )4/14/1R = , ( )2/1Q = . Dále ( ) ( )2QIM
1
=−=
−
.
Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován.
ad d) ( )2/12/1MRB == . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude s pravděpodobností 1/2 absorbován ve stavu
aa a s pravděpodobností 1/2 bude absorbován ve stavu AA.
ad e) ( )2Met == . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován.