Zadání příkladů na 8. cvičení


Příklad 1.: Částice se pohybuje po třech drahách 1, 2, 3, které jsou umístěny mezi odrážejícími
stěnami. Na počátku sledování je částice na 2. dráze. Částice může změnit svoji dráhu v libovolném
okamžiku. Je známo, že během krátkého časového intervalu o délce h (přitom 0 < h < 0,5) částice
může buď zůstat na dráze, na níž se právě nachází nebo může přeskočit na sousední dráhu
s pravděpodobností 2h. Pravděpodobnosti přeskoků na další dráhy jsou zanedbatelně malé.

a) Popište polohu částice na jednotlivých drahách pomocí HMŘ se spojitým časem.

b) Najděte matici intenzit přechodu a nakreslete přechodový diagram.

c) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce a interpretujte ho.

Výsledek: a = (1/3  1/3  1/3)


Příklad 2.: Uvažme provoz malé půjčovny aut, která má 4 auta. Doba mezi dvěma požadavky na
zapůjčení auta je náhodná veličina, která má exponenciální rozložení se střední hodnotou polovina
dne a doba výpůjčky je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední hodnotou třetina
dne.

a) Popište počet vypůjčených aut pomocí HMŘ se spojitým časem.

b) Najděte matici intenzit přechodu a nakreslete přechodový diagram.

c) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce a interpretujte ho.

Nápověda: Pravděpodobnost, že počet zapůjčených aut se během intervalu  zvětší o 1, je stále λh (λ
= 2)  a pravděpodobnost, že počet zapůjčených aut se v intervalu  zmenší o 1, je úměrná počtu
zapůjčených aut s koeficientem úměrnosti μ (μ = 3).

Výsledek: a = (0,5137  0,3425  0,1142  0,0254  0,0042)


Příklad 3.: Nechť  je HMŘ se spojitým časem a množinou stavů , kde pro čísla m a n platí .
Intenzity přechodu jsou dány vztahy:

,  pro 0 ≤ j ≤ m.

Vypočtěte stacionární rozložení tohoto řetězce pro n = 2, m = 5, λ = 4, μ = 12.

Výsledek: a = (0,2198    0,3664    0,2442    0,1221    0,0407    0,0068)