Univerzita Karlova v Praze
Pedagogická fakulta
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z INTEGRÁLNÍHO POČTU
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
2001/2002 CIFRIK
1
LHDR SHRNUTÍ:
axDaxCaiaiayay
xDexCeiiyyy
DxCy
DxeCeaaaayayay
DCeaayay
DeCeaaayay
DeCeyyy
xx
axax
ax
axax
xx
sincos,00
sincos1,1022022
0,000
,0202
0,00
,00
2,1023023
222
2
2
222
2
222
22
+−=+=+′′
+−+=+−=+′−′′
+==′′
+=+−=+′−′′
+=−=′−′′
+−=−=−′′
+=+−=+′−′′
−
λ
λλ
λ
λλ
λλ
λ
λλ
LNDR s k.k. SHRNUTÍ:
Pravé strany Řešení
( ) ( )( ) βαββα
≠≠+ 0sincos xxQxxPe x
• βα i± není char. kořen
( ) ( )( )xxSxxRe x
ββα
sincos +
• βα i± je char. kořen
( ) ( )( )xxxSxxRe x
ββα
sincos +
( ) ( ) 0sincos ≠+ βββ xxQxxP • βi± není char. kořenem
( ) ( ) xxSxxR ββ sincos +
• βi± je char. kořen
( ) ( )( )xxxSxxR ββ sincos +
( ) 0≠ααx
exP • α není char. kořenem
( ) x
exR α
• α je jednoduchý char. kořen
( ) xexR xα
• α je dvojnásobný char. kořen
( ) 2
xexR xα
( ) βα == 0xP • 0 není char. kořenem
( )xR
• 0 je jednoduchý char. kořen
( )xxR
• 0 je dvojnásobný char. kořen
( ) 2
xxR
2
Zadání:
1. Určete obecné řešení diferenciální rovnice xxyy 3
coscos =+′ .
Vypracování:
Řešíme homogenní rovnici (rovnici bez pravé strany)
x
Cey
cxy
dxx
y
dy
xdx
y
dy
y
dx
xyy
sin
sinln
cos
cos
0cos
−
=
+−=
−=
−=
⋅=+′
∫∫
Tuto rovnici derivujeme:
( ) xxxx
xeCeCxCeeCy sinsinsinsin
coscos −−−−
−′=−+′=′ .
Dosadíme do rovnice dané:
x
x
xxx
xeC
xeC
xxCexeCeC
sin3
3sin
3sinsinsin
cos
cos
coscoscos
=′
=′
=+−′
−
−−−
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) Dxete
eteetdteteet
euv
eutv
dtteetdtteet
evtu
evtu
dtet
dtxdx
tx
dxxeC
xt
tttttt
t
t
tttt
t
t
t
x
+−−=−−=
=−+−=−+−=






==′
=′=
=+−=−−−=






=−=′
=′−=
=−=






=
=
==
∫
∫∫
∫
∫
2sin2
22
22
2
2
sin3
1sin1
22121
1
2121
2
1
1
cos
sin
cos
Dosazením funkce C do rovnice
x
Cey sin−
=
dostaneme řešení dané rovnice:
( )( ) ( )2sinsin2sin
1sin1sin −−=⋅−−= −−
xDeexeDy xxx
3
Zadání:
2. Určete obecné řešení diferenciální rovnice
4
45
3
2
−=
+−
−′ x
xx
y
y .
Vypracování:
Postupně vypočteme homogenní a poté nehomogenní rovnici.
Homogenní rovnice:
( )( )
( )( )
( ) ( )
1
1
2
2
1
4
ln
1
4
lnln
1
1
4
1
11
43
0
43
1414
3
14
3
ln
45
3
45
3
c
x
x
y
c
x
x
y
dx
x
dx
x
BA
BA
BA
BABAx
x
B
x
A
xx
dx
xx
y
xxy
y
xx
y
y
H
H
H
−
−
=
+
−
−
=
−
−
−
=






















−==
−−=
+=
+−+=
−
+
−
=
−−
=
−−
=
+−
=
′
+−
=′
∫∫
∫
Nehomogenní rovnice:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
( )13
34524
46
3
42
1
4
46
3
42
6
3
2
62
3
2
4
4
41
4
41
4
1
4
1
4
2
2
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
−
+−+−
=








+−+
−
−
−
=
+−+
−
=
=+=+=
+
=








=
=−
=
−
−−
=
−
−−
=′
−=
−
−
′
−
−
=
∫∫
∫
x
cxxx
y
cx
x
x
x
y
cx
x
t
t
dtttdt
t
tt
tdtdx
tx
dx
x
xx
xc
x
xx
xc
x
x
x
xc
xc
x
x
y
N
N
N
Řešení:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )13
4524
13
34524
1
4 2
1
−
+−+−
=
=
−
+−+−
+
−
−
=+=
x
Cxxx
x
cxxx
c
x
x
yyy NH
4
Zadání:
3. Určete obecné řešení diferenciální rovnice ( ) xxy
x
x
y sin1
1
3
2
−=
−
−
+′ .
Vypracování:
Homogenní rovnice
( )
( )
C
x
x
y
C
x
x
dx
x
dx
x
BA
BA
BA
x
B
x
A
x
x
dx
x
x
y
x
x
y
y
y
x
x
y
2
2
2
2
2
2
1
1
ln
1
1
ln
1
1
2
1
1
21
3
1
111
3
1
3
ln
1
3
0
1
3
+
−
=
+
+
−
=
+
−
−
=
















−==
=−
−=+
+
+
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−=
′
=
−
−
+′
∫∫
∫
Výpočet C z nehomogenní rovnice
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( ) Dxxxxx
dxxxxxx
xvu
xvxu
xdxxxx
xvxu
xvxu
dxxxC
xxC
xx
x
x
C
+−+−+=
=−+++−=








==′
=′+=
=+++−=








−=+=′
=′+=
=+=
+=′
−=
+
−
′
∫
∫
∫
cos12sin12
sinsin12cos1
sin1
cos1
cos12cos1
cos12
sin1
sin1
sin1
sin1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
Řešení:
( )
( ) ( )( )Dxxxxx
x
x
y +−+−+
+
−
= cos12sin12
1
1 2
2
.
5
Zadání:
4. Určete obecné řešení diferenciální rovnice
1
2 2
+
=+′−′′
x
e
yyy
x
.
Vypracování:
• Charakteristická rovnice
1
012
12
2
=
=+−
λ
λλ
.
• Homogenní rovnice
xx
H DxeCey += .
• Nehomogenní rovnice
( )
( )1ln
2
1
arctan
1ln
2
1
1
0
1
arctan
1
1
1
1
0
2
2
2
2
2
2
2
+−=
+−=
+
−=
=
+
+′
=
+
=
+
=′
+
=′+′+′
=′+′
∫
∫
xxxey
xdx
x
x
C
x
x
e
eC
xdx
x
D
x
e
eD
x
e
xeDeDeC
xeDeC
x
N
x
x
x
x
x
xxx
xx
• Řešení:
( )1ln
2
1
arctan 2
+−++=+= xxxeDxeCeyyy xxx
NH
6
Zadání:
5. Určete obecné řešení diferenciální rovnice
xx
yy
cossin
2
4 =+′′ .
Vypracování:
• Charakteristické kořeny i212 ±=λ .
• Homogenní rovnice xBxAyH 2sin2cos += .
• Nehomogenní rovnice
( )
xxxxy
cxA
A
x
xx
xx
xBxA
cxdx
x
x
dx
xx
x
B
xx
x
xxB
x
xx
xBxA
xxBxA
N 2sin2sinln2cos2
2
2
2cos2
cossin
2sin2cos
2sin2cos
2sinln
2sin
2cos2
cossin
2cos
cossin
2cos
2cos2sin
2cos
2
1
cossin
2
2cos22sin2
2sin02sin2cos
2
1
22
⋅+−=
+−=
−=′
−=−=′−=′
+===
=+′
⋅=′+′−
⋅=′+′
∫∫
• Řešení
xxxxxBxAyyy NH 2sin2sinln2cos22sin2cos ⋅+−+=+= .1
1
konstanty c1, c2 jsou zahrnuty v konstantách A, B
7
Zadání:
6. Určete obecné řešení diferenciální rovnice 22 2
+−=′−′′ xxyy .
Vypracování:
• Charakteristická rovnice
02
02
21
2
==
=−
λλ
λλ
.
• Homogenní rovnice
BAey x
H += 2
.
• Nehomogenní rovnice
Protože 0 je jednoduchý charakteristický kořen, předpokládejme řešení2
( )xEDxCxyN ++= 2
derivujme
DCxy
EDxCxy
N
N
26
23 2
+=′′
++=′
a dosaďme do zadání
( )
10
6
1
222
146
16
223226 22
−==−=
=−
−=−
=−
+−=++−+
EDC
ED
DC
C
xxEDxCxDCx
tedy
x
x
yN −−=
6
3
.
• Řešení rovnice
x
x
BAeyyy x
NH −−+=+=
6
3
2
2
viz. tabulka LNDR s k.k. SHRNUTÍ
8
Zadání:
7. Určete obecné řešení diferenciální rovnice x
exyyy 2
2 =+′+′′ .
Vypracování:
• Charakteristická rovnice 0122
=++ λλ má dvojnásobný kořen 112 −=λ .
• Homogenní rovnice xx
H BxeAey −−
+= .
• Nehomogenní rovnice:
Kořen βα i+ pravé strany rovnice není charakteristický ( ( ) 2
,0,1 xxP === βα ),
tj. 0=k . Proto
( )
( )
( ) N
xx
N
N
x
N
x
N
yeDCxCey
yeDCxy
eEDxCxy
′+++=′′
++=′
++=
22
2
2
a po dosazení do zadání
( ) ( ) xxxx
exeEDxCxeDCxCe 22
4242 =+++++ .
dojdeme k soustavě rovnic
0442
048
14
=++
=+
=
EDC
DC
C
která má řešení
8
3
2
1
4
1
=−== EDC .
Nehomogenní rovnice má proto tvar x
N exxy 





+−=
8
3
2
1
4
1 2
.
• Řešení rovnice
xxx
NH exxBxeAeyyy 





+−++=+= −−
8
3
2
1
4
1 2
9
Zadání:
8. Určete obecné řešení diferenciální rovnice xxyyy cos522 =+′−′′ .
Vypracování:
• Kořeny charakteristické rovnice 0222
=+− λλ jsou i±= 112λ .
• Homogenní rovnice má tedy tvar xBexAey xx
H sincos += .
• Nehomogenní rovnice:
Kořen βα i+ pravé strany rovnice není charakteristický ( ( ) xxP 5,1,0 === βα ),
tj. 0=k . Proto
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) xExCxFExxDCxy
xExFExxCxDCxy
xFExxDCxy
N
N
N
cos2sin2sincos
sincoscossin
sincos
+−+−+−=′′
+++++−=′
+++=
a po dosazení do zadání
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) xxxFExxDCxxExFExxC
xDCxxExCxFExxDCx
cos5sin2cos2sin2cos2cos2
sin2cos2sin2sincos
=++++−+−−
−+++−+−+−
Porovnáním členů
02222:sin
52222:cos
=+−+−+
=−++−−
FEDCExCxx
xFEDCExCxx
dojdeme k soustavě rovnic
0222
02
0222
52
=+−+−
=+
=−++−
=−
FEDC
EC
FEDC
EC
která má řešení
5
14
2
5
2
1 −=−=== FEDC .
Nehomogenní rovnice má proto tvar xxxxyN sin
5
14
2cos
5
2






+−





+= .
• Řešení rovnice
xxxxxBexAeyyy xx
NH sin
5
14
2cos
5
2
sincos 





+−





+++=+= .