Inženýrská matematika Diferenciální rovnice Metody řešení a příklady Robert Mařík 16. září 2005 Obsah I DR prvního řádu 4 1 DR se separovanými proměnnými 5 Rovnice y' = y cos x............................ 12 ,V2-l+yy'(i2-l) = 0,J/(0)=2.................... 25 ^^ky^ = °42 3xy2y'= (y3-l)(x3-1) ........................ 55 (1 + ex)y' + exy = 0............................ 68 i/V;'''" X ............................... 82 y 2 Lineární diferenciální rovnice, variace konstanty 91 J xJ x + 1 EB1 El Ba Baa ©Robert Mafík, 2005 Q y' = 1 + 3y tg x............................... 129 xy' + y= xln(x + l)........................... 149 II DR druhého řádu 168 y" + y = 0................................. 171 Ay" + 4ý + y = 0............................. 184 y" + Ay' + 29y = 0............................. 192 y" -Ay = x2-í.............................. 204 y" - Aý + Ay = e-x............................ 216 y" - 5y' + 6y = xex............................ 235 // cos x y" + y = -—............................... 256 smi EBl El Ba Baa ©Robert Mařík, 2005 Q Části DR prvního řádu 1 DR se separovanými proměnnými Definice (DR se separovanými proměnnými). Diferenciální rovnice tvaru v' = ň*)g(y), (S) kde f a g jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými._ ©Robert Mařík, 20051 DR se separovanými proměnnými y' = f(x)g(y) I Rovnice se separovanými proměnnými. ©Robert Mařík, 2005 Q DR se separovanými proměnnými y' = f(x)g(y) Rovnice má konstatní řešení tvaru y = y i, kde y, jsou řešeními rovnice g(yú = o. I Nejdřív najdeme konstantní řešení. eB B b M- ©Robert Mafík, 2005 Q DR se separovanými proměnnými v' = f(x)g(y) Rovnice má konstatní řešení tva g(yi) = 0. Dále budeme hledat i u y = y i, kde y, jsou řešeními rovnice ^konstantní řešení. dy f(x)g(y) napíšeme derivaci jako podíl diferenciálů B B ■ Dl dy dx ©Robert Malík, 2005 DR se separovanými proměnnými y' = f(x)g(y) Rovnice má konstatní řešení tvaru y = y i, kde y, jsou řešeními rovnice g(yi) = 0. Dále budeme hledat nekonstantní řešení. fx=f(*My) - f(x) dx g{y) I Vynásobíme rovnici jmenovateli zlomků a odseparujeme tak proměnné. LU Li u III ^^^^^^^^ I I ih^^u DR se separovanými proměnnými y' = f(x)g(y) Rovnice má konstatní řešení tvaru y = y i, kde y, jsou řešeními rovnice g(yi) = 0. Dále budeme hledat nekonstantní řešení. fx=f(*My) ^ — f(x) dx g{y) _dy_ = / f(x) dx + C Zintegrujeme obě strany rovnice. Použijeme jenom jednu integrační konstantu. Získáme obecné řešení. DR se separovanými proměnnými y' = f(x)g(y) Rovnice má konstatní řešení tvaru y = y i, kde y, jsou řešeními rovnice g(yi) = 0. Dále budeme hledat nekonstantní řešení. fx=f(*My) ^ — f(x) dx g{y) _dy_ = / f(x) dx + C Je-li zadána počáteční podmínka, najdeme nejprve konstantu C pro I kterou je počáteční podmínka splněna. eb b B m- aBBBBBBBBaj Najděte funkci y(x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 BEI El Q ©Robert Mařík, 2005 Q Najděte funkci y(x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 - dy dxj y■ cos x dy Napíšeme derivaci y' jako podíl diferenciálů — eei El H LU ©Robert MaHk, 2005 ll Najděte funkci y (x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy dx y■ cos x dy = cos x dx • Násobením rovnice výrazy ve jmenovatelích odseparuje proměnné. • Z podmínky y (0) = O.lje zřejmé, že funkce není rovna nule (alespoň v nějakém okolí bodu x = 0). B I ■ ■-(clkoberlMafii, 2016i Najděte funkci y (x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy dx y■ cos x "1 y dy = cos x dx I Připíšeme integrály. Vlevo integrujeme podle , vpravo podle x. lli lI U |_j^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^ I i ni^^U Najděte funkci y (x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy dx y■ cos x dy = cos x dx lny = sin x + C • Vypočteme integrály. Funkce y je kladná (alespoň v nějakém okolí bodu x = 0). Uvažujeme jenom jednu integrační konstantu. • Získáváme rovnici popisující všechna řešení rovnice y' = y ■ cos x. B I ■ ■-cclkoberlMatik, 2005| Použijeme počáteční podmínku y(0) = 0.1 pro nalezení integrační konstanty. y ■ U III UJlUbertlUaHk.iUUsB Najděte funkci y(x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 cosx cosx dx lny = sinx + C lnO.l = sin0 + C C = ln 0.1 I Vypočteme C. eB ei B US >.......> . b Najděte funkci y (x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy = dx -dy = ln y = sin x_+ C InO.l = jyjŕÓ + C C =^m0.1 lny = sinx + InO.l Dosadíme za C a získáme partikulární řešení zadané počáteční úlohy. Toto řešení je zatím v implicitním tvaru. Najděte funkci y (x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 dy dx y■ cos x dy = cos x dx lny = sin x + C InO.l = sin 0 + C C = ln 0.1 lny = sinx + InO.l lny — InO.l = sin x Převedeme logaritmy na jednu stranu. >.......> . & Najděte funkci y (x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy dx y■ cos x dy = cos x dx lny = sin x + C InO.l = sin 0 + C C = ln 0.1 lny = sinx + InO.l lny — InO.l = sin x i 3/ ln = srn x 0.1 [ Odečte Odečteme logaritmy. —>.......> . & Najděte funkci y (x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 cos x cos x dx lny = sin x + C lnO.l = sin 0 + C C = In 0.1 lny = sinx + lnO.l lny — ln 0.1 = sin x i 3/ ln = sin x 0.1 3/ _ sin x 0.1 I Odstraníme logaritmus použitím inverzní funkce. ©Robert Mařík, 2005 Q Najděte funkci y(x) splňující y' = y cos x a 3/(0) = 0.1 cosx cosx dx lny = sinx + C lnO.l = sin0 + C C = ln 0.1 lny = sinx + lnO.l lny — lnO.l = sinx i 3/ ln = sin x 0.1 3/ _ sinx 0.1 y = 0.1 ■ é I Osamostatníme y. Získáme řešení v explicitním tvaru. eB ei B US ©Robert Mařík, 2005 Q Najděte funkci y(x) splňující y = y cos x 3/(0) = 0.1 dy dx dy = V lny InO.l C lny y ■ cos x cos x dx sin x + C sinO + C ln 0.1 sin x + InO.l lny — InO.l = sin x y_ 0.1 3/ _ sin x 0.1 y = 0.1 ■ es Označení: ) diferenciální rovnice + počáteční podmínka = počáteční úloha, obecné řešení, partikulární řešení Reste y2 - 1 + yy'(x2 - 1) = 0, y(0) = 2. BEI Q Q ©Robert Maffk, 2005 Q yý{l-x2)=y2-l I Osam Q D B Osamostatníme y'. —i.......> - B yý{l-x2)=y2-l , _ y2 - 1 1 I Rovnice má separované proměnné a má smysl pro i//0ai/±l. LU Li U LJ^^^^^^^^^^ I I ni^^U Řešte yL - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(O) = 2.1 yý{l-x2) = y2-l dy = y2-l 1 dx y 1 — x2 Přepíšeme derivaci jako podíl diferenciálů. ©Robert Mařík, 2005 Q Řešte y1 - 1 + yy'(x2 - 1) = O, y(0) = 2. yý{l-x2)=y2 dy dx -dy i i i dx Odseparujem proměnné. Přči tom násobíme rovnici výrazem —^—-. Toto lze provést pokud y ^ ±1, což je garantováno počáteční podmínkou. ý ■ U III (cjKobert Matik, 2016^ Řešte y1 - 1 + yy'[x2 - 1) = O, y(0) = 2.1 yy'(l-x2) = y2-l dy _ y2 -1 i dx y 1 — x2 yz - 1 y 7 1 - x2 Připíšeme integrály. B B B B- i.......> - & Řešte y2 - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(O) = 2.1 yy'(l-x2) = y2-l dy _ y2 -1 i dx y 1 — x2 ^ dV= í T^Zi dx y2 - 1 y 7 1 - x2 ^in|y2-i| ... a integrujeme. První integrál je (až na aditivní konstantu) typu ^Mdx /(*) _. | ■ ■-(clkoberl Mafii, 2016 j Řešte y1 - 1 + yy'[x2 - 1) = O, y(O) = 2.1 yy'(í-x2) = y2-í dy _ y2 -1 i dx y i - x2 ^ dy= ' 1 J/2-l iln|y2-l| = iln 1 -x2 1 + x dx 1 — x + c Druhý integrál napíšeme pomocí vzorců. >.......> . & Řešte y1 - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(O) = 2.1 yý{l-x2)=y2 y2-i ■lnk/2- 1 dy = y2-l 1 dx y i i i ln dx 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c I vynásobíme rovnici dvěma. Vzhledem k počáteční podmínce I vynecháme absolutní hodnoty. ■1 ■ ■ ■ 1 . U-ritU..iik....-|l Řešte yL - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(O) = 2.1 yý{l-x2)=y2 y2-i dy dx dy ■ln|j/2-l| 1 1 y i i i ln dx 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c I Napíšeme 2c ve tvaru logaritmu ln e Ml ■ II UJ >.......> _ B Řešte y1 - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(O) = 2. yý{l-x2)=y2 dy dx -dy r ■lnk/2-l| 1 1 y i - x2 1 ln 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c ln(y2-i) = in(^2c I ... a sečteme logaritmy. eB ei B LU i.......> . & Řešte y1 - 1 + yy'[x2 - 1) = O, y(0) = 2.1 yy'(l-x2)=y2 dy dx -dy ■lnk/2-l| 1 1 y í-x2 ; dx 1 ln 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c *tf-i) = M(l±£ ,2c 1 =--e Logaritmus je prostá funkce a můžeme jej na obou stranách rovnice vynechat. Řešte y1 - 1 + yy'[x2 - 1) = O, y(O) = 2. yý{l-x2)=y2 dy dx -dy r ■lnk/2-l| 1 1 i i ln dx 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c ln(y2-i) = in(^2c y2-i 1 + x 2r z-e y2 = 1 + C 1 +x I Obecné řešení. C = e c je nová konstanta. >.......> . B Řešte y2-l + yy'(x2-l) = O, y(0) = zl yý{l-x2)=y2 dy dx -dy ■lnk/2-l| 1 1 y i - x2 1 ln 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c 1-0 Dosadíme hodnoty z počáteční podmínky. >.......> . & Řešte y2 - 1 + yy'(x2 - 1) = O, y(0) yý{l-x2)=y2 y2-i dy dx dy -M\y2-1\ My2 -1) My2 -1) yz i i i i In dx 1 + x + c 1 1 + * „ ln--+ 2c 1 — x lnl±f +lne2c ln(y2 - 1) J/2-l 1 + x 2r = - e 1 — X y2 ^ 1+* = 1 + C- -— 1 — X 22 C = 3 I... a nalezneme C. —i.......> _ b Řešte y1 - 1 + yy'[x2 - 1) = O, y(0) = 2. yý{l-x2)=y2 dy dx -dy r ■lnk/2-l| 1 1 y i -*2 ; dx 1 ln 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c J/2-l ln(y2-l) = ln(^e2c 1 + x 2r 1-Ě 1 — X r = 22 = C ,,2 1 + C 1 + C 3 1 + 3 1+x 1 — x 1 + 0 1-0 1 + x 1 Použijeme toto C v obecném řešení. Řešte yL - 1 + yy'{x2 - 1) = O, y(0) = 2. yý{l-x2)=y2 dy dx -dy r ■lnk/2-l| 1 1 y i -*2 ; dx 1 ln 1 + x + c ln(y2-l) = ln^^+2c ln(y2-l) = ln^^+lne: 2c J/2-l ln(y2-l) = ln(^e2c 1 + x 2r 1-Ě 1 — X r = 22 = C ,,2 1 + C 1 + C 3 1 + 3 1+x 1 — x 1 + 0 1-0 1 + x 1 — X 4 + 2x 1 — x I Upravíme. Problém je vyřešen. >.......> . 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 BEI El Q ©Robert Maffk, 2005 Q 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 , _ 2x+l I We start with the equation. i^jkobert Marik, Q 2x 4- 1 Solve the IVP y' = n. y(2) = 0 y 2(y-l)' yw 1 , 2x+1 y = 2(y-i) (2y-2)dy = (2x+l)dx I The equation has separated variables and is meaningful for y ^ 1. To find the solution we multiply the equation by 2(y — 1) 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 , 2x+1 y = 2(y-i) (2y-2)dy = f(2x+i)dx We add integrals EB B B E3- Cc^kcW Marik, Mb Q y' j(2y-2)dy y2-iy 2x+l 2(^1) J (2x+i)dx x2 + x + C We integrate both sides of the equation. We have 2y-2dy = y2-2y and 2x + 1 dx = x + x . We use the constant of integration on the right-hand side. We get the general solution of the equation. 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 1 , 2x+1 y = 2(y-i) (2y-2)dy = (2x+l)dx y1 - 2y = x2 + x + C (y- l)2 - 1 = x2 +x + C I We complete square on the left. eB b B m- ©Robert Malik, 2005 fa 2x 4-1 Solve the IVP y< = y{2)=0 1 , 2x+1 y = 2(y-i) (2y-2)dy = (2x+l)dx y1 - 2y = x2 + x + C (y- l)2 - 1 = x2 + x + C (y-I)2 = x2+x + C- I ... and solve for y. ee| El 13 ia- ©Robert Mafik, 2005 Q 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 1 y' 2x+l 2(3/-1) (2y-2)dy = (2x+l)dx y1 - 2y = x2 + x + C (y- l)2 - 1 = x2 + x + C (y-i)2 = y- 1 = ± \/x2 + x + K Let K = C + 1 be new constant. We take the second root of both sides of I equation... 2x 4- 1 Solve the IVP y< = y{2)=0 1 1 ± \/x2 + x + K I ... and solve for y. eeI El 13 ia- ©Robert Malik, 2005 Solve the IVP , 2x +1 V = 2(y-i)' y(2) = o y = (2y-2)dy: 2 2y: -1 2x + 1 2(y3T) (2x+ l)dx y^ (y-i)2-(y-i)2 y-i y x + x + C = x2 + x + C = x2 + x + C + l = ± \J x2 + x + K 1 ± \/x2 + x + K 1 y1 = l + \/x2 + x + K i/2 = l — \/x2 + x + K This shows that there are two explicit formulas for general solution. Since i/i (x) > 1 and 1/2(x) < 1 for all x, we consider the solution 1/2 only (see the initial condition). ^Robert Malik, 2t)t)5fc Solve the IVP , 2x +1 V = 2(,-ir y(2,t , 2x+1 y = 2(y-i) (2x+ l)dx 1 ± \/x2 + x + K ^=Ia=^-x^^^X, i/2 = 1 — V x2 + X + K 0 = 1- \/4 + 2 + K Solve the IVP y = 2x +1 2(^1)' y(2) = o y = (2y-2)dy 2x+l 2(^1) (2x+ l)dx y2 - 2y = x2 + x + C (y-i)2 1 = x + x + C (y-1)2 = x2 + x- y ±Vx2 + x + K 1 ± \/x2 + x + K 1 i/2 = l — \/x2 + x + K 0 = 1- V4 + 2 + K K= -5 [ The solution of 0 = 1 - \/4 + 2 + K is K = -5. ©Robert Mafik, 2005 Solve the IVP y = 2x + l 2(^1)' 1/(2) = 0 y = (2y-2)dy 2x+ 1 2(y3T) (2x+ l)dx y2 - 2y = x2 + x + C (J/-I)2 1 = x + x + C (y-1)2 = x2 + x- J/-1 y ±Vx2 + x + K 1 ± \/x2 + x + K 1 i/2 = l — Vx2 + x + K 0 = 1- V4 + 2 + K K= -5 j/P 1 - \/x2 + . I We use the obtained value of K in the formula for 1/2- The initial value problem is solved. eei El B M ' aBBBBBBBBaj Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1). I BEI E 131 ©Robert MaMk, 2005 Q Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| , _ y3 - 1 x3 - 1 y ~ ^2 — We solve the equation for y'. • This shows that the equation has separated variables and is meaningful for i/O and y ^ 0. Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1)~| 3y The function y = 1 is a solution. . y3 - 1 x3 - 1 y = I The right-hand side equals zero for y = 1. Hence the constant function I y(x) = 1 is a solution. This can be verified by direct substitution. |tf»tf»tf1IP—' ——— fa Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1)~| , _ y3 - 1 x3 - 1 The function y = 1 is a solution. From now suppose 1/ ^ 1. Let us continue with the cases in which y ^ 1. In this case we can 3y2 multiply the equation by the factor g ^. This separates the variables. Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1). | dx y3 — 1 x3 — 1 dy 3y2 x The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. 3y2 , x3-l , - . at/ = -dx y3 - 1 y x I The variable y is on the left and x on the right. E0 E □ lid ©Robert Maftk, 2005 Q Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx y3-l We add integrals Bl H H B- >.......> . |3 Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx y3 — 1 7 x x3 In |y3 - 1| = —— In |x| + c fix) ... and evaluate. The integral on the left is of the type / dx and the integral on the right can be written as the integral %i~1a f 2 1 i *3 i | | dx = I x--dx =--In x . x 3 f(x) Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx y3 — 1 7 x x3 ln |y3 — 11 = —— ln |x| + c ln|y3-l| = ln(e*3/3^ec We write the expressions — and c in logarithmic forms ln ex ' and ln ec I and add (subtract) logarithms. ■I ■ ■ ■ ^■■■■■■MB^—1 . U-ritU..iik....-|l Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. 3J/2 ^ y3-i lnk/3-l| Mk/3-l| |y3-i| fx3 -1 dx J x x3 y-ln x - x(V3/3 1 X e,3/3 1 ] Logarithm is one-to-one function and can be removed from both sides of equation. Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx j/3 — 1 7 x x3 In |y3 — 11 = —— In |x| + c ln|y3-l| =ln(e^3/3^ec x IV3 — 11 =ex3/3 Aec j/3-l = (±ec)e*3/3^ I If we omit the absolute values, the right and left side can differ by the I sign. We add this sign to the constant factor ec... Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx y3 — 1 7 x x3 In |y3 — 11 = —— In |x| + c ln|y3-l| =ln(e^3/3^ec |x| IV3 — 11 =ex3/3 Aec y3-l = (±ec)ex3/3^ C = ±eceR\{0} ... and introduce new constant C = ±ec. Since c can take arbitrary real value, the expression ec can take arbitrary positive value and ±ec can take arbitrary real nonzero value. Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The functior y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = j--- dx y3 — 1 J x x3 In Iy3 — 11 = —— In |x| + c ln|y3-l| = ln(e*3/3^ec If we allow C = 0, the general solution gives y = 1 which is also a solution. Hence C can be arbitrary real value. y3-l = -ex3/3 CeR J x BEI El 19 ©Robert Maffk, 2005 Q Solve DE 3xy2y' = (y3 - 1) (x3 - 1 )7| The function y = 1 is a solution. From now suppose y ^ 1. ^ dy = f--- dx y3 — 1 7 x x3 ln |y3 — 11 = —— ln |x| + c ln|y3-l|=ln(e*3/3^ec \y3-l\ =ex3/3^- y3-l = (±ec) ex3/3 ^ C = ±ec e R y3 - 1 = -e*3/3 CeR I The equation is solved. HI ■ U Ml >.......> _ |3 Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 BEI EJ Q ©Robert Mafik, 2005 Q Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 (l + ex)y' = -exy I We start with the equation. hi h H HI >.......> . fa Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 (l + ex)y' = -e*y ex I We solve the equation for y'. m b b uS ■■■■■URB (l+ex)y' = -e*y The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. I The right-hand side is zero for y = 0. ©Robert Malik, 2005 B (l+e*)y> = y' = -exy The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy _ dx ex + l y dy We substitute —r- for y'. dx J ©Robert Malik, 2005 Solve DE (l + ex)y' + exy = o| (l + ex)y' = -e*y ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy ex —^ =--v dx ex + 1y dy ex — = - -dx y 1 + ex I We multiply by dx and divide by y. Since y ^ 0, we can do the division. eB e b m— ■■■■■■■■■■B (l+ex)y' = -e*y The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy _ dx ex +1 dy / y il + f y dx I We write integral signs. ©Robert Mailk, 2005 B (l+ex)y' = y' = -exy ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy _ dx ex + l dy f ex y dx y J 1 + ex In |y| = -ln(l + ex) +c I We evaluate the integrals. In the integral on the right we have the derivative of denominator in numerator. iTTI-©Robert Mafik, 2005 Q (l+e*)y> = y' = -exy ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy ex —^ =--V dx ex + 1y In = lnec (dX> = [ £X dx J y J 1 + ex In y = -ln(l + ex) +c We convert logarithms to the left-hand side and add. Further we convert the number c into logarithmic form. Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 (l + ex)y' = -exy ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy dx dy y +1 ex y dx In I 1 + e* ln(l + ex) +c |y|(l + e*) =Mec |y|(i + ^) = ec Logarithmic function is one-to-one and can be removed from both sides I on equation. A ■ ■ ■ ' ■ U'.'.tM.nl, »h Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 (l + ex)y' = -exy ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy dx dy y +1 ex y dx In I 1 + e* ln(l + ex) +c ln |y|(l + e*) = lnec \y\(l + ex) = ec y(l + ex) = K K = ±ec I We remove the absolute value. This yields ± sign on the right. We join I this sign to the number ec which gives a new constant K. Solve DE (1 + ex)y'+ exy = 0 (l + ex)y' = -e*y ex The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy dx dy y +1 ex y dx In I 1 + e* ln(l + ex) +c In |y|(l + e*) = lnec \y\{l + ex) = ec y(l + ex) = K y K l + ex K = ±ec K e M\{0} (l+ex)y' = -e*y ex The functior y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy dx dy y ex + l ex y dx In I l + ex ln(l + ex) +c In |y|(l + e*) = lnec \y\(l + ex) = ec y(l + ex) = K y K l + ex K = ±ec K e M\{0} I The choice K = 0 gives y = 0, which gives the constant solution. Solve DE (1 + ex)y' + exy = 0 | (l+ex)y' = y = -e y ex ex + V The function y = 0 is a solution. In the following suppose y ^ 0. dy dx dy y ex + l ex y dx In I l + ex ln(l + ex) +c In = lnec M(l + ^) = ec y(l + cx) = K y l + ex K = ±ec I The problem is solved. >.......> _ fa BEI El El ©Robert Maffk, 2005 Q We factor the exponential function ex +v. This separates the variables in the exponent. Solve DE y'ex2+y=-- y'exley = -x- y I dx' "y We substitute —— for yl. dx J ©Robert Mafik, 2005 Q yVV = 1 —x — y 1 _v_ dx A. y yeV dy = — xe We multiply by y and divide by ex . The latter is equivalent to the 2 multiplication by e~x . ©Robert Mai I We write integral sings. ©Robert Malik, 2005 B Solve DE y'exl+y = 1 —x — y ^ex\y = l _V_ dx A. y jyeydy = -jxe yey - ey = On the left we integrate by parts: yey dy u = y u = 1 v' = eV v= ey = ye!> ey dy = yeV - eV BEI H IB ©Robert Mafik, 2005 | yVV = 1 —x — y 1 _v_ dx A. y jyeydy = — J xe~%1 dx yey - ey = 1 r2 ^ -e x +C On the right we use a substitution suggested by the inside function. Hence -x2 = t %1 dx —2x dx = = dt —xdx = - \ el dt= -el = -e 2 J 2 2 ebi El ra 2005H yVV = 1 —x — y 1 _v_ dx A. y jyeydy = — J xe~%1 dx yey - ey = 1 r2 ^ -e x +C 2yey - iey = e-xl + C CeR We multiply the equation by the number 2. This gives the general solution in its implicit form. Unfortunately we cannot solve explicitly this relation with respect to y. We keep the solution in its implicit form. ^^^■■■■■■■W ©Robert Malik, 2005 fl yVV = i —x — y i _v_ dx A. y jyeydy = — j xe~%1 dx yey - ey = 1 r2 ^ -e x +C 2yey - ley = e-*2 + C C e R I The problem is solved. ■HUHU i.......> . É3 2 Lineární diferenciální rovnice, variace konstanty Nechť funkce a, b jsou spojité na intervalu I. Rov-1 nice ý + a{x)y = b{x) (L) se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně I píšeme LDR). Je-li navíc b(x) = 0 na I, nazývá se rovnice (L) homogenní,} v opačném případě nehomogenní. Definice (homogenní rovnice). Buďdána rovnice (L). Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice (L) nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice y' + a(x)y = 0 (LH) se nazývá homogenní rovnice, příslušná nehomogenní rovnici (L). ©Robert Mařík, 20051 y' = -«(*) • y U homogenní rovnice je derivace řešení rovna —a(x) násobku tohoto řešení. I ■ ■ ■-©Robert Malík, 2005 1 y y -a[x) ■ y p-Ja(x) dx f'(x) Porovnáme-li rovnici s derivací složené funkce s exponenciální vnější složkou vidíme okamžitě jedno řešení. Homogenní LDR y' + a(x)y = 0. | V = -a{x) ■ y ,f(x)\ = J{x) . f'(x) Všechna řešení jsou v souladu s principem superpozice násobky tohoto jednoho řešení. Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b{x). • Řešme nehomogenní LDR. • Je-li yp(x) partikulární řešení a i/oh(x) je obecné řešení odpovídající homogenní LDR, je funkce y(x,C) = yP(x)+y0H(x) obecným řešením nehomogenní rovnice. Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR voh (x) = Ce-Ia^dx = C Vph(x) • Uvažujme nejprve odpovídající homogenní rovnici. • Obecné řešení této rovnice již známe. Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) =(K(x)JyPH(x) yoH(x) = Ce-/■""" ^g>y,HWj variace konstanty Nyní stačí najít alespoň jedno řešení rovnice nehomogenní. Nahradíme konstantu C v obecném řešení homogenní LDR zatím neznámou funkcí K(x) a budeme hledat, za jakých podmínek je výsledná funkce řešením nehomogenní LDR. J Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 voh Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) ýP{x) = K'(x) ■ yPH{x) + K(x) ■ y'PH{x) {x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) • Musíme najít funkci K(x). • Pro dosazení do rovnice je nutné znát derivaci y'. • Derivujeme jako součin podle vzorce (uv)' = u' ■ v + u ■ v' Nehomogenní LDR i / + a(x) ■ y = b(x). | Asociovaná hom. LDR y' f a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR 1 y0H(x) = Ce-f<^d* = C-ymx) | yP(x) = K(x) ■ yPH(x) 1 ^P^) ■ yPHJx) + K(x) ■ y'PH(x) v' ,---s K'(x)ypH(x) + K(x)y'pH(x) I Dosadíme do rovnice. h b h Bi - llkl,4,-,IM.HL.H»tJ Nehomogenní LDR y' + a(x)^ y = b(x). | Asociovaná hom. LDR y = 0 Obecné řešení hom^^^yon^^^^^^^^^PH^l yp(x) = K(x) ■yPH(x): y'P{x) = K'(x) ■ ypH{x) + K(x ý K'(x)ypu{x) + K(x)y'PH(x) + a(x) ■ K(x)ypu{x) = b(x) I Dosadíme do rovnice. ■■■■■■ - llkl,4,-,IM.HL.H»B Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b(x). j Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) ýp{x) = K'(x) ■ yPH{x) + K(x) ■ y'PH{x) v' y0H{x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K'(x)ypu{x) + K(x)y'PH(x) + a(x) ■ K(x)ypu{x) = b(x) K'(x)yPH(x) + K(x) [y'PH(x) + a(x)yPH(x)] = b(x) I Vytkneme na levé straně K(x). es q b ei— Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) ýP{x) = K'(x) ■ yPH{x) + K(x) ■ y'PH{x) y' y0H{x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K'(x)ypu{x) + K(x)y'PH(x) + a(x) ■ K(x)ypu{x) = b(x) K'(x)yPH(x) + i^HjypH(x) + a(x)yPH(x)] = b (x) K'(x)yPH(x) = b(x) I Vyznačený výraz je roven nule. ©Robert MaHk, 2005 |j Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) ýP{x) = K'(x) ■ yPH{x) + K{x) ■ y'PH{x) y' y0H{x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K' (x)ypn{x) + K(x)y'PH(x) + a(x) ■ K(x)yPu{x) = b (x) K'(x)yPH(x) + K(x) [y'PH(x) + a(x)yPH(x)] = b (x) K'(x)yPH(x) = b(x) K'(x) = b(x) yPH{x) Dostali jsme rovnici, která neobsahuje funkci K(x), ale jenom její derivaci K'(x). Vyjádříme K'(x). Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) ýP{x) = K'(x) ■ yPH{x) + K{x) ■ y'PH{x) v' y0H{x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K'(x)ypn{x) + K(x)y'PH(x) + a(x) ■ K(x)yPu{x) = b(x) K'(x)yPH(x) + K(x) [y'PH(x) + a(x)yPH(x)] = b(x) K'(x)yPH(x) = b(x) K (x) = b(x) yPH{x) dx Integrací nalezneme K(x). Integrační konstantu volíme libovolnou. lu u U LI „ i II EMM Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) Voh {x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K(x)= l-^Ldx yPH(x) Zapomeneme nyní již nepodstatné informace. Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b(x). j Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) Voh (x) = Ce-Ia^dx = C Vph(x) K(x) = í dx J ypH(x) I Zapomeneme nyní již nepodstatné informace. ©Robert Malík, 2005 fa Nehomogenní LDR y' + a(x) ■ y = b (x). J Asociovaná hom. LDR y' + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. LDR yp(x) = K(x) -ypH{x) Von {x) = Ce-Ia^dx = C' Vph(x) K{x) = I -^K dx Vph(x) yP(x) = yPH(x) ■ J b(x) yPH{x) dx Použijeme funkci K(x) pro obdržení partikulárního řešení rovnice. lu u u LU _ i iiw—q Nehomogenní LDR ý + a(x)-y = Asociovaná hom. LDR ý + a(x)y = 0 Obecné řešení hom. yp(x) = K(x) -ypH{x) y0H(x) = Ce-Ia^dx = C-yPH(x) 1-' K(x) = I dx yP(x) = yPH(x) ■ J b(x) ypff(*) y(x) =yP(x)+y0H(x) dx I Sečteme partikulární řešení nehomogenní a obecné řešení homogenní I rovnice a rovnice je vyřešena. 2 1 Reste DR y' + - y = x x + 1 Rovnice je lineárni. Él ■ ■ ■- ^Robert Mařík, 2005 Q 2 Řešte DR y' + - y = y'+-xy = 0 Uvažujme nejprve homogenní rovnici. Nahradíme pravou stranu rovnice nulou. •ES ©Robert Malík, 2005 Q ŘešteDR y> + \y ^\ voh (x) = Ke-Sxdx Obecné řešení rovnice y + a(x)y = 0 je dáno formulkou 2 V našem případě a(x) = —. B3 B B H-cclkobertMaflk^OÓí 2 1 Řešte DR y' + - y = x x + 1 y0H(x) = Ke-S*dx = Ke~2ln\x\ Integrujeme. Cc^kcW Marik, Hl Q 2 1 Reste DR y' + - y = x x + 1 y'+-xy = 0 y0H(x) = Ke-Sxdx = Ke~2ln\x\ = Ke ... upravujeme . Ml II II Ul Cc^kobert Marik, 2Í)í)b Q 2 1 Řešte DR y' + - y = -^-j I J/ohM = voh (x) = Ke-5-xdx = Ke-21nlxl = Kelnx~2 = Kx~2 a upravujeme ještě více. Nezapomeňme že exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní a jejich složením dostaneme identitu. y H U III UJlUbertlvlaUk.iUlůla 2 1 Řešte DR y' + - y = -^-j I J/ohM = Kx~ ypisj(x) = K(x) ■ x -2 • Nyní budeme hledat partikulární řešení nehomogenní rovnice. • Nahradíme tedy konstantu v yon(x) funkcí. ■I ■ ■ ■-©Robert Malík, 2005 Q Řešte DR y' + ^ y = ^ j y0H(z) = Kx 2 i/pN(x) = ■ x-2 t/PN = K'(x)x~2 + (-2)K(x)x~3 Najdeme derivaci y'p^{x). K tomu využijeme pravidlo pro derivaci součinu: (uv)' = u'v + uv'. í~m-, k.4,-,1 M.HL 2 _ 1 Reste DR y' + - y =-- x ft x + 1 K'(x)x-2 + (-2)K(x)x-3 + -K(x)x-2 = Voh(x) = Kx 2 y'PN = K'(x)x-2 + (-2)K(x)x-3 1 x + 1 I Dosadíme do rovnice. É B B H - "TTľľTľrTTTmTTf^^B Řešte DR y' + ^ y = ^ j y0H(z) = Kx 2 i/pN(x) = ■ x-2 t/PN = K'(x)x~2 + (-2)K(x)x~3 y' V ,----s t'---s 1 K'(x)x"2 + (-2)K(x)x^3 + -K(x)x"2 = x +1 K'(x) x2 x + 1 Nalezneme rovnici pro K'. Výrazy s K se podle očekávání odečtou. Skutečně: (-2)Kx"3+-Kx^2 = 0. x 20051 Řešte DR y' + ^ y = ^ j y0H(z) = Kx 2 i/pN(x) = ■ x-2 t/PN = K'(x)x~2 + (-2)K(x)x~3 y' y ,----s T'---1 K'(x)x"2 + (-2)K(x)x^3 + -K(x)x"2 = x x + 1 K'(x) x2 x + 1 1 K'(x) = x - 1 + x + 1 Funkci ÍC získáme jako libovolný integrál z K'. • Před výpočtem integrálu musíme vydělit polynom v čitateli polynomem ve jmenovateli. EQ B H ES-cclkoberlMaflk^OObl 2 1 Řešte DR y1 + - y = j^-j J/ohM = Kx~2 i/pN(x) = K(x) ■ x~2 y'PN = K'(x)x~2 + (-2)K(x)x~3 y' y K'(x)x-2 + (-2)K(x)x-3+ -K(x)x-2 - 1 x y ' x+1 K'(x) x + 1 1 K'(x) = x - 1 + x + 1 1 K(x) = j x — 1 H---j—j- dx Integrujeme. Cc^kcW Marik, Hl Q Řešte DR y' + ^ y = ^ j y0H(z) = Kx 2 i/pN(x) = K(x) ■ x-2 t/PN = K'(x)x~2 + (-2)K(x)x~3 y' V ,----s O'---s 1 K'(x)x~2 + (-2)K(x)x^3 + -K(x)x~2 - x x + 1 K'(x) x + 1 1 K'(x) = x - 1 + x + 1 K(x) = í x — 1 H--- dx v y J x + 1 X2 = —— x + ln|x+l| x2 ... a dostáváme K(x) = — + x + ln |x + 11. ©Robert Malík, 2005 Vpn(x) = K(x) „-2 K(x) x^ ~2 ■ x + In\x + 1| I Odstranime nyni jiz nepotfebne vypocty. ■HUHU ^""^^^■■■■■■■B ©Robert Mafik, 2005 Q „-2 i/pn(x) = K (x) ■ x' x2 K(x) = — - x + ln\x + l\ 2 1 Řešte DR y' + - y = —^ J/ohM = Kx~ J/pn(*) =K(x)-x .2 -2 -— x + ln \x + l|l x2 —— x + ln(x + 1) ) ■ x~ Dosadíme K(x). Cc^Robert Marik, 2[jub Q 2 1 Řešte DR y1 + - y = j^-j J/ohM = Kx~2 yp]sj(x) = K(x) ■ x~2 x2 K(x) = — - x + ln\x + l\ . , /x2 , . A _2 1 1 ln(x + l) yPN(x) = I y - x + ln(x + 1) I ■x = " ~ ~ + ~^- I ... a upravíme ■n ■ U Ui Cc^kcW Marik, 2Í)í)b Q Řešte DR y' + ^ y = ~~j~ J J/ohM = Kx 2 i/pn(x) = K(x) ■ x-2 x2 K(x) = y- x + ln|x + l| . , (x1 , . A _2 1 1 ln(x + l) t/PN(x) = I y - x + ln(x + 1) I ■x =2~x + ~x1- y(x) = yoH{x) + ypN{x) I Obecné řešení y(x) je součtem yoHÍx) a J/pn(*)- b h h b- ^BBBVt 2 1 Řešte DR y1 + - y = —^ J/ohM = K*~2 i/pn(x) = K(x) ■ x-2 x2 K(x) = y- x + ln|x + l| . , /x2 , . A _2 1 1 ln(x + l) yPN(x) = I y - x + ln(x + 1) I ■x = " ~ ~ + ~^- K 1 1 ln(x+1) „ ^ y w = yoH{x) + ypN(x) = -y + =---h —— , K e R I Problém je vyřešen. B B B d Cc^kcW Marik, 1H Q Solve DE y' = 1 + 3y tg x. BEI Q Q ©Robert Mafik, 2005 Q y' — 3y tg x = 1 ... original equation We convert the linear equation into the form y' -a(x)y = b(x). Hence a{x) = —3tgx and b{x) = 1. ©Robert Malik, 20051 Solve DE y' = 1 + 3y tg x. y' — 3y tg x = X... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation We write the corresponding homogeneous equation. We replace the right-hand side by zero. y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation The general solution of y' + a{x)y = 0 is given by the formula y = Ce~ -I'a^ dx. ©Robert Malik, 2005 j Solve DE y' = 1 + 3y tg x. y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation yGH(x) = Ce-J-3tsxdx = Ce-3lncosx evaluate the integral as follows: -3tgxdx= 3—Sm X dx = 3 In I cos x I. J cos x f f'(x) Here we used the formula / dx = In \f(x) \. In the following we j j\x) will suppose that we work on the interval, where cos x > 0. In this case Ave omit the absolute value. J bTTB-,Vk\.|,,li.!.hL-T,«| y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation yGH(x) = Ce-f-3tsxdx = Ce-3incosx = Celncos 3; We convert the function into the form in which the exponential function follows the logarithmic function. y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation yGH{x) = Ce-f-3tzxdx = Ce-3lncosx = Celncos "x = Ccos^x The functions ln(x) and ex are mutually inverse function and the composition elnx is identity. y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation yGH{x) = Ce-f-3tzxdx = Ce-3lncosx = Celncos "x = Ccos^x i/pn(x) = K(x) cos-3 x • Now we have the general solution of homogeneous equation. • We look for the particular solution of nonhomogeneous equation in the form, in which the constant from yen is replaced by the function K(x). _1 y' — 3y tg x = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation yGH{x) = Ce-f-3tzxdx = Ce-3lncosx = Celncos "x = Ccos^x i/pn(x) = K(x) cos-3 x y'PN(x) = K'(x) cos-3 x + K(x)(—3) cos~4x(— sinx) When evaluating the derivative of y'PN(x) we use the product rule (uv)' = u'v + uv'. The derivative of cos 3 x is evaluated by chain rule. J y' — 3ytgx = 1 ... original equation y' — 3y tg x = 0 ... associated homogeneous equation Vgh (x) = Ce-f-3tZxdx = Ce~ 3 In cos x Ce1: Ccos -3 1/p]v(x) = K(x) cos 3 x[ BB^BB^Bp^x) cos~3 x + K(x)(—3) cos~4x( — sinx)| K'(x)cos 3x + K(x)(—3)cos 4x(—sinx) — 3K(x) cos 3xtgx = l I We substitute for y and y' into the original equation. tW id ta— ©Robert Malik, 2005 Vgh(x) Ccos 3 x ypx(x) = K(x) cos K'(x)cos 3x + K(x)(— 3)cos 4x(—sinx) — 3K(x) cos 3xtgx = l I We clean the informations which are no more important. EEI El □ M ' laKobert Malik, 2UU= Q Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: j/gh(x) = Ccos~3x yPN(x) = K(x) ■ cos~3(x) y' V ,--"--s /---s B^B^B^B^aB^(x)(— 3) cos~4 x(— sinx)| — 3K(x) cos-3 xtgx = 1 K'(x) cos-3 x = 1 The term with K(x) disappear, since K(x)(—3) cos-4 x{— sinx) — 3K(x) cos~3 x tgx = 0. We obtain the equation for K'(x). I « _—~—zss-rrr-rs—...... ©Robert Malik, 20051 Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = Ccos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) y' V K'(x)cos 3 x + K(x)(— 3) cos 4x(—sinx) — 3K(x) cos 3xtgx = l K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x I We solve that equation for K'(x). (clRobert1 ■! HUUt B Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = C cos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) y' V K'(x)cos 3 x + K(x)(— 3) cos 4x(—sinx) —3K(x)cos 3xtgx = l K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x K(x) = / cos3 xdx ... and integrate. This gives K(x). m b b e3 ■■■■ni Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = Ccos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) y' V K'(x)cos 3 x + K(x)(— 3) cos 4x(—sinx) —3K(x)cos 3xtgx = l K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x K(x) = /cos3xdx= / (1 — sin2x) cosxdx We write cos3 x in the form cos3 x = cos2 x cos x = (1 — sin2 x) cos x. ■ B I H-©Robert Malik, 20054] Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = C cos 3x yPN(x) = K(x) ■ cos 3(x) y' y ,--"--s ,--~-s K'(x) cos-3 x + K(x)(—3) cos-4 x(— sinx) — 3K(x) cos~3 xtgx = 1 K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x K(x) = /cos3xdx= / (1 — sin2x) cosxdx = sinx sin3 x The integral is ready for substitution sin x = t, cos x dx = dt. This converts the integral into t3 . sin3 x (1 — £ ) dt = t — — = sinx 3 3 Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = Ccos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) y' V K'(x)cos 3 x + K(x)(— 3) cos 4x(—sinx) — 3K(x) cos 3xtgx = l K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x _K(x) = /cos3xdx= /(l — sin2x) cosxdx The general solution of nonhomogeneous equation is a sum of particular solution of that equation and general solution of homogeneous equation. i/pn(x) = sinx sin3 x , smx ■ cos x = cos3 x sin3 x 3 cos3 x i/gnM = Vgh(x) + yPN(x) BEI q q ©Robert MaMk, 2005 Q Soh^DEy| = l + 3ytgx. 1 Summary: Vgh{x) - Ccos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) K'(x)cos x + K(x)(— 3) :os x(—sinx) —3K(x)cos xtgx = 1 K'(x) cos-3 x K'(x) 4= cos3 x K(x) 4 /cos3xdx= / (1 — sin2x) cosxdx Both 1/gh and 1/pn are known and we can substitute. i/pn(x) = sinx , smx cds x sin3 x C I sin x i/gnM = Vgh(x) + yPN(x) = —— 4- cos3 x 3 cos3 x sin3x P CeR cos3 x cos3 x 3 cos3 x' ©Robert Mafik, 20051 Solve DE y' = 1 + 3y tg x. | Summary: yGH(x) = C cos x yPN(x) = K(x) ■ cos (x) y' V K'(x)cos 3 x + K(x)(— 3) cos 4x(—sinx) — 3K(x) cos 3xtgx = l K'(x) cos-3 x = 1 K'(x) = cos3 x K(x) = /cos3xdx= / (1 — sin2x) cosxdx The problem is solved. yPN{x) = smx---— ■ cos x = sin3 x \ _3 sin x sin3 x 3 / cos3 x 3 cos3 x C sin x sin3 x cos3 x cos3 x 3 cos3 x' C sin x sin3 x i/gnM = i/ghM + ypN(x) = —3— + —3--t-3—, CeR ©Robert Mafik, 20051 Solve DE xy' + y = x ln(x + 1) ■SEI E 19 ©Robert Maffk, 2005 Q Sob/e^F^^q/^fj^^dn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) We write the equation in its normal form y' + a(x)y = b. We divide by x. Hence we lok for the solution either on ( — 1,0) (see the logarithmic function) or on (0, oo). 2005| B E I B-©Robert Malik, Soh/eDF^^q/^^^^dn^^^lJ y'+-xy = ^*^Q y' + -xy = 0 I We write the corresponding homogeneous equation. eB B B m— ©Robert Malik, 2005 |j Soh/eDF^^q/^T^^^dn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o Vgh ffhe" general solution of the homogeneous equation y' + a{x)y = 0 is yGH = Ce-$a^dx. 1 In our case we have a(x) = —. \ x Soh/eDT^3q/^^^=jdn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o Vgh We evaluate the integral. uJ U11P— >.......> _ fa Sob/e^I^^q/^T^^^dn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o yGH = Ce-J1*dx = Ce-lnW = Celn\x^ ... and simplify. EB B B E3- >.......> . |3 Soh/eDF^^q/^fj^^dn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o yGH = Ce-J1*dx = Ce-lnW = Celn\x^ = C\x\~l = ^ I The composition e x is identity. ■ u m >.......> _ -fa Soh/eDF^^q/^^^^dn^^^lJ y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o yGH = Ce-f-*dx = Ce-lnW = Ce^l-1 = Clxp1 = =- If we introduce the new constant C = ±K, we can write the general I solution of homogeneous equation in the form ycH = ~ Soh/eDF^^q/^^^^dn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K- - 1 ypN = K(x)~ Now let us look for the solution of nonhomogeneous equation. We replace the constant K in the formula for yen by the function K(x). 20051 EB El El 193-©Robert Malik, Sob/eDF^^q/^fj^^dn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)i yPN = K'(x)^ + K(x)(-l)x-2 /We evaluate the derivative of the function ypjv by the product rule (uv)' = u'v + uv'. 1 _, We differentiate the function — as a power function x . Hence x J l/ + -y = HX + l) 1 ypN = k(x)- y> + -y = 0 1 y'PN = K'(x)- + K(x)(-l)x- K'(x)- + K(x)(-l)x-2+-K(x)- = ln(x + 1) We substitute for y' and y into original equation Soh/eDF^3q/^^^=jdn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)i y^N = K'(x)i + K(x)(-l)x-2 y' y K'(x)- + K(x)(-l)x-2+-K(x)- = ln(x + 1) K'(x)^ = ln(x + l) I The terms with K(x) cancel and only K'(x) remains. Solv^DT^^qZ+^^^dn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)i y^N = K'(x)^ + K(x)(-l)x-2 K'(x)- + K(x)(-l)x-2+-K(x)- = ln(x + 1) K'(x)^ = \n(x + 1) K'(x) = xln(x + l) I We solve the equation for K'(x) (clkoberi Mailt, HUUt Q Sob/eDF^3q/^^^=jdn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)i y^N = K'(x)^ + K(x)(-l)x-2 = /xln(x + l)dx and integrate. >.......> . Q Soh/eDF^^q/^T^^^dn^^^lJ j/ + -j/ = M* + i) y> + -y = 0 K v 1 yGH = - = K- - K(x) x ln(x + 1) dx = — ln(x + 1) y'PN = K'(x)- + K(x)(-i)x- x 1 T + 2-"ln(x + l) We use integration by parts with gives ln(x + l) u' x + 1 v2 v = x v = This x2 1 x ln(x + 1) dx = — ln(x + 1) — - = yln(x + l)-^ dx x + 1 x - 1 + x + 1 dx EH H B Sob/eDF^^q/^fj^^dn^^^lJ 1 1 K 1 y'+-y = ln(x + l) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)i yPN = K'(x)^ + K(x)(-l)x-2 /x2 x2 x 1 xln(x + l)dx = — ln(x + 1) - — + - - - ln(x + 1) 1 x x 1 1 yPN(x) = K(x)- = - ln(x + 1) - - + - - — ln(x + 1) We substitute for K(x) into the relation for ypjv(x) im-©Robert MaHk, I1UUl y' +-xy = \n{x + l) y' + ly = o ypN = 1 K(x) = J x\n(x + 1) dx = — ln(x + 1) K v 1 yGH = - = K- - y'PN = K'(x)- + K(x)(-i)x- x 1 T + 2---ln(* + l) 1 x x 1 1 yPN(x) = K(x)- = - ln(x + 1) - - + - - — ln(x + 1) Vgn = Vgh + Vpn * I The general solution of nonhomogeneous equation is a sum of general I solution of homogeneous equation and the particular solution of nonhomogeneous equation. Soh/eDF^3q/^^^=jdn^^^lJ 1 IK 11 y'+-y = ln{x + 1) y' + -y = 0 yGH = - = K ■ - yPN = K(x)^ y'PN = K'(x)^ + K(x)(-i)x-2 /x2 x2 x 1 xln(x + l)dx = — ln(x + 1) - — + - - - ln(x + 1) 1 x x l l yPN(x)=K(. ^ -ln(x + l) - - + - - — ln(x + l) K x x l l j/gn = j/gh + ypN = - + 2 ln(* + l)"4 + 2~2^ ln^x + ^' K e R I We use that solutions. EB D H B9- (cjlUerlMaHk.roEj Sob/eDT^3q/^^^=jdn^^^lJ 1 1 Kl y'+-y = ln(x + l) y' + -y = O yGH = - = K ■ - X X X x yPN = K(x)i yPN = K'(x)i + ÍC(x)(-l)x-2 /x2 x2 x 1 xln(x + l)dx = y ln(x + 1) - — + - - - ln(x + 1) 1 x x 1 1 yPN(x) = K(x)- = - ln(x + 1) - - + - - — ln(x + 1) K x x í í Vgn = vgh + ypN = - + - ln(* + 1)"4 + 2~2í ln^x + ^' K e R ... and the problem is solved. h h h d- i.......> . B Část II DR druhého řádu ). Buďte p, q a ^ funkce definované a spojité na intervalu I. Diferenciální rovnice y" + p{x)y' + q{x)y = f{x) (1) se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého rádu (zkráceně LDR druhého řádu). Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu I rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu 2 na intervalu I a po dosazení identicky splňuje rovnost (1) na I. Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě xq g I počáteční podmínky y(*o) = J/o, (2) i/(*o) = ýQ, kde y q a y'G jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). ^Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rov_J BEI EJ Q ©Robert Mařík, 2005 Q Věta 1 (fundamentální systém řešení LDR s konstantními koeficienty). Uvažujme LDR druhého řádu s konst. koef. a její charakteristickou rovnici • Jsou-li zlrz2 e IR dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice, definujme 1/1 = eZlX a 1/2 = eZ2X. • Je-li z! e IR dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, definujme y1 = eZlX a yz = xeZlX. • Jsou-li z1/2 = cc ± ifi £ IR dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice, definujme y1(x) = eax cos(px) a y2(x) = eax sin(px). Potom funkce y1 a yz tvoří fundamentální systém řešení rovnice na množině IR. Obecné řešení rovnice je tedy y(x, Ci,C2) = Cij/i(x) + C2i/2(x), Q e R, C2 e IR. ©Robert Mařík, 2005 Q Reste poc. ülohu y" + y = 0 y(0) = 1, y'(0) = -1. EE1 Q Q ©Robert Mafik, 2005 Q Řešte poč. úlohu y" + y = 0 y(0) = 1, y'(0) = -1. I z2 + l | Sestavíme charakteristickou rovnici. Řešte poč. úlohu y" + y = 0 y(0) = 1, y'(0) = -1. I z2 + 1 = 0 z2 ... a vyřešíme ji. EB B B E3- Cc^kcW Marik, ■■ Q Řeštepoč. úlohu y"+y = 0 y(0) = 1, ý(0) = -1. | z2 + l -1 = ±i I Řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla. eB ei B M ©Robert Malík, 2005 É] Řešte poč. úlohu y" + y 0 y(0) = l,y'(0) 3 z2 + l o z2 = -1 V\{x) = sin x V2(*) = cos x ±V-1 = ±ž Reálná část kořenů charakteristické rovnice je a = 0, imaginární část je /3 = 1. Fundamentální systém řešení je yi{x) = eax cos(/3x) a y2(*) = sin(/3x) z2 + l o Fundamentální systém: z2 = -1 J 1/1 (x) = sinx [ 1/2 (*) = COSX ±V-1 = ±ž Získali jsme fundamentální systém. >.......> . É3 Řeštepoč. úlohu y"+y = Q y(0) = 1, y'(0) =-1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i . . I Vi(x) =smx Fundamentální system: < , \v2\x) = COSX Obecné řešení: y(x) = C\ sin x + C2 cos x, C\, C2 6 1R I ... a můžeme napsat obecné řešení. Obecným řešením je obecná lineární I kombinace funkcí tvořících fundamentální systém. Ml ■! II III ' lk.«-v>iM.r>l. Řeštepoč. úlohu y"+y = 0 y(0) = 1, y'(0) =-1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i . . I Vi(x) =smx Fundamentální system: < , I 1/2 (*) = COSX Obecné řešení: i/(x) = C\ sin x + C2 cos x, C\, C2 £ IR y'{x) = Ci cosx — C2sinx I nyní budeme pracovat s počáteční podmínkou. Nalezneme y'... Řeštepoč. úlohu y"+y = 0 y(0) = 1, y'(0) =-1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i . . I Vi(x) =smx Fundamentální system: < , I 1/2 (*) = cosx Obecné řešení: i/(x) = C\ sin x + C2 cos x, Q, C2 £ IR t/'(x) = Ci cosx — C2sinx 1 = Ci sin 0 + C2 cos 0 I ... a dosadíme za y. B B ■ - ©Robert Malík, 2005 £3 Řeštepoč. úlohu y"+y = Q y(0) = 1, y'(0) = -1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i .i . . I Vi(x) =smx Fundamentální system: < , \v2\x) = COSX Obecné řešení: y(x) = C\ sin x + C2 cos x, Ci, C2 £ IR j/(x) = Q cos x — C2sinx 1 = Ci sin 0 + C2 cos 0 — 1 = Ci cos0 — C2 sinO I ... a za y'. ■b ■ ■ ■ llkl,4,-,IM.HL.H»tJ Řešte poč. úlohu y" + y = 0 y(0) = 1, y'(0) = -1.1 z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i , , i Ví (x) = sinx Fundamentální system: < , . I y2(x) = cosx Obecné řešení: y(x) = C\ sin x + C2 cos x, Ci, C2 £ IR y'(x) = Ci cos x — C2 sinx 1 = Ci sin 0 + C2 cos 0 -1 = Ci cos0 — C2 sinO Ci = -1, c2 I Obdrželi jsme soustavu lineárních rovnic, kterou vyřešíme. LLI Li U U „ I iii—U Řeštepoč. úlohu y"+y = 0 y(0) = 1, y'(0) =-1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i . . I Vi(x) =smx Fundamentální systém: < , \v2\x) = COSX Obecné řešení: y(x) = C\ sin x + C2 cos x, C\, C2 6 IR j/(x) = Ci cos x — C2 sinx 1 = Ci sin 0 + C? cos 0 ] > Ci = -1, c2 = 1 — 1 = Ci cos0 — C2 sinO I Řešení PÚ: y{x) = — sin x + cos x I A konečně použijeme vypočtené hodnoty Q a C2 v obecném řešení. Tím I I získáme obecné řešení počáteční úlohy. ■1 ■ ■ ■ 1 . UTitU..iik.-..-|| Řeštepoč. úlohu y"+y = 0 y(0) = 1, y'(0) =-1. | z2 + l=0 z2 =-1 z2 = ±\/zI=±z i . . I Vi(x) =smx Fundamentální systém: < , \v2\x) = COSX Obecné řešení: y(x) = C\ sin x + C2 cos x, C\, C2 6 1R i/(x) = Ci cos x — C2 sinx 1 = Ci sin 0 + C? cos 0 ] > Ci = -1, c2 = 1 — 1 = Ci cos0 — C2 sinO I Řešení PÚ: y{x) = — sin x + cos x Hotovo! ■I ■ ■ ■ (^koberl Matik, TO É Reste DR Ay" + Ay' + y = 0. | BEI ej q ©Robert Mafik, 2005 Q Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4z2 + 4z + 1 = 0 | Sestavíme charakteristickou rovnici. "TTľľTľrTTTmTTf^^B Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4zT+ 4z + 1 = 0 _ -4 ± V42 - 4.4.1 Zl'2 - 2Ä ... a vyřešíme ji. Pro řešení kvadratické rovnice az2 + bz + c = 0 používáme vzorec -b ± \^b2 - Aac Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4z2 + 4z + 1 = 0 _ -4 ± VA2 - 4.4.1 _ -4±0 zi,2- 2^ = -g- I Upravíme. EEI El la M ' Robert Malik, 21W (J] Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4z~+ 4z + 1 = 0 -4 ± V42 - 4.4.1 -4±0 1 , Zir2 = -—- = —-— = — - ... dvojnásobný kořen 1 Charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen z\^ = — -. —>.......> . -{a Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4z~+ 4z + 1 = 0 -4 ± V42 - 4.4.1 -4±0 1 , z1/2 = -—- = —-— = — - ... dvojnásobný kořen Fundamentální systém: 3/1 = e 1 y2 = xe~i V případě dvojnásobného kořene z charakteristické rovnice je fundamentální systém tvořen funkcemi y1{x) = ezx, y2{x) = xezx. eei El h ©Robert Mařík, 2005§| Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 42"+ 4z + 1 = 0 -4 ± V42 - 4.4.1 -4±0 1 , Zx/2 = -—^- = —g— = ~2 " ' dvojnásobný kořen Fundamentální systém: yx=e 2 ^ y2 = xe~í ' _x _x Obecné řešení: y(x) = C\e~t- + C^xe^t- , C\, C2 6 IR Obecné řešení je lineární kombinací funcí z fundamentálního systému řešení. Řešte DR Ay" + Ay' + y = 0. | 4z~+ 4z + 1 = 0 -4 ± V42 - 4.4.1 -4±0 1 , Zx 2 =-- = —g— = ~2 " ' dvojnásobný kořen Fundamentální systém: yx=e 2 ^ y2 = xe~í ' _x _x _x Obecné řešení: y(x) = C\e~t- + C2xe~2 = e~2 (Q + C2x), C\, C2 E IR Upravíme obecné řešení. Hotovo! >.......> _ ta Reste DR y" + Ay' + 29y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 10. bei q q ©Robert Maffk, 2005 Q z2 + 4z + 29 = O I Rovnice je lineární homogenní druhého řádu. Sestavíme nejprve I charakteristickou rovnici. ÉTTI-©Robert Mařík, 2005 Q z2 + 4z + 29 = O _ -4 ± V16- 4.1.29 Zl-2 - Žl ~-^ Řešením rovnice až2 + bz + c = 0 jsou čísla která obdržíme ze vzorce _ -b± Vb2 - Aac zl,2 — - 2a z2 + 4z + 29 = O _ -4 ± V16- 4.1.29 _ -4 ± ^/^ÍÔÔ Zy - ŽI = ~2~ I Upravíme ... EEI El B M ' i1M,,iil,nL.'.-| z2 + 4z + 29 = O -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^lÔÔ zi 2 =--=-í-= —2 ± 5í 2.1 2 ... a najdeme řešení charakteristické rovnice, použijeme skutečnost, že V-100 = \/lÔÔ\/zT = 10\/ZT = 10i. ■I ■ ■ ■-©Robert MaflUU Ut| z2 + 4z + 29 = O -4 ±V16-4.1.29 -4±^/=íôô zi 2 =--=-í-= -2 ± 5z 2.1 2 = eTlx cos(5x) J/2(x) = e~2* sin(5x) Z kořenů charakteristické rovnice sestavíme fundamentální systém řešení. Reálná část kořenuje a = —2, imaginární je /3 = 5. Fundamentální systém je tvořen funkcemi yi(x) = eax cos(/3x) a J/2M = sin(/3x). EQ El B Řešte DR y" + Ay' + 29y = O, y(O) = O, y'(Q) = 10. | z2 + 4z + 29 = O -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^100 zi 2 =--=-í-= —2 ± 5í 2.1 2 = £~2* cos(5x) j/2(x) = e~2* sin(5x) y(x) =C\e~lx cos(5x) + C2ě~2* sin(5x) Obecné řešení je lineární kombinací funkcí z fundamentálního systému řešení. z2 + 4z + 29 = O -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^ÍÔÔ zi 2 =--=-í-= —2 ± 5í 2.1 2 = e~2*cos(5x) yi{x) = e~2* sin(5x) =Qe 2x cos(5x) + C2é 2*sin(5x) =Ci [-2e~2* cos(5x) - 5c_2x sin(5x)] + C2 [-2e~2* sin(5x) + 5e~lx cos(5x)] Vypočteme derivaci y', musíme použít pravidlo pro derivaci součinu (uv)' = u'v + uv'. Při derivování e~2x a sin(5x) použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce. EQ Q B B9->i.,IM*,IH.Hl.'l< z2 + 4z + 29 = 0 -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^lÜÖ zi 2 =--=-^-= -2 ± 5z 2.1 2 = e~2*cos(5x) yi{x) = e~2*sin(5x) =Qe cos(5x) + C2e sin(5x) =Ci [-2e~2* cos(5x) - 5e-2* sin(5x)] + C2 [-2e~2* sin(5x) + 5e~2* cos(5x)] 0 = Ci + oc2 I Dosadime za y. bei ei b e3- ©Robert Malik, 2005 Řešte DR y" + 4y' + 29y = O, y(O) = O, y'(O) = 10. | z2 + 4z + 29 = O -4 ±V16-4.1.29 -4±^/^lÖÖ zi 2 =--=-1-= -2±5i 2.1 2 yi(x) = e~2x cos(5x) y2(x) = e~2x sin(5x) y(x) =Cie~2* cos(5x) + C2ě~2x sin(5x) y'(x) =Ci [-2e~2* cos(5x) - 5e_2x sin(5x)] + C2 [-2e~2* sin(5x) + 5e~2x cos(5x)] O = Ci + oc2 10 = -2Ci + 5C2 I ... a za y'. ■b ■ ■ ■ llkl,4,-,IM.HL.H»b z2 + 4z + 29 = 0 -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^lÜÖ zi 2 =--=-^-= -2 ± 5z 2.1 2 = e~2*cos(5x) yi{x) = e~2*sin(5x) =Qe 2* cos(5x) + C2e 2*sin(5x) =C1[-2e-2xcos(5x) -5e^sin(5x)] + C2 [-2e~2* sin(5x) + 5e~lx cos(5x)] 0 = Ci + oc2 10 = -2Ci + 5C2 Ci = 0, C2 I Vyfeseime soustavu rovnic pro C\ a C2. eB ei h ES- ©Robert Malik, 2005 E| z2 + 4z + 29 = O -4 ± V16- 4.1.29 -4±^/^lÔÔ zi 2 =--=-í-= —2 ± 5í 2.1 2 = e~2*cos(5x) yi{x) = e~2* sin(5x) bbb|JC| t' 2* cos(5x) + C2e 2* sin(5x)J y'{x) =Ci [-2e~2* cos(5x) - 5e-2* sin(5x)] + C2 [-2e~2x sin(5x) + 5e~2* cos(5x)] O = Ci + oc2 10 = -2Ci + 5C2 Ci = O, C2 i/p(x) = 2e sin(5x) Dosadíme vypočtené hodnoty koeficientů Ci a C2. hotovo! lli Li U LJWBMMWW" | I iiiwbmq Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. I Máme za úkol řešit lineární nehomogenní rovnici druhého řádu. LU Li U III — ii—q Řešte DR y" - 4y = JS=<Í. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y"-4y = o I Budeme uvažovat nejprve odpovídající homogenní rovnici. LU Li U III ^■■■■■■■■■■■■■■■■■■■M" I I ih"M*J Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y"-4y = 0 z2 - A = 0 z1/2 = ±2 I Sestavíme charakteristickou rovnici a vyřešíme ji. ©Robert Malík, 2005 & Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y" - Ty = 0 " y0H = Cxe2x + C2e-2x z2 - 4 = 0 z12 = ±2 J I Z kořenů charakteristické rovnice určíme fundamentální systém řešení a I I obecné řešení homogenní rovnice. iTTI-©Robert Malík, 2005 fa Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. J y" - 4y = 0 y0H = + C2e-'Zx z1 - 4 = 0 z1/2 = ±2 Vp ax 2 + bx + c Budeme postupovat podle návodu a hledat partikulární řešení, které je kvadratickou funkcí. Nejobecnější možná kvadratická funkce je y = ax2 + bx + c. 1 ■ ■ ■-,Vk\.|,,ľ.!.Hl -•»■! Řešte DR (t/V Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. ] y" - Ay = 0 ^ y0H = Cxe2* + C2e-'2x z2 - 4 = 0 zx 2 = ±2 i/p = flx2 + /3x + c =>■ i/p = 2ax + b =>■ y'p=2a I Hledáme hodnoty parametrů a, b a c tak, aby tato funkce byl řešením zadané rovnice. Abychom mohli do rovnice dosadit, je nutno vypočítat I druhou derivaci. ÍTT1-©Robert Malík, 2005 fa Řešte DiŠ^j/f - 4y = x2 £"^> Návod: partikulami reš^rú hledejte jako kvadratickou funkci y - Ay = 0 y0H = Cxe z2 - 4 = 0 z1/2 = ±2 MWMax2 + bx + cm 2a ] I Vrátíme se k zadané rovnici. eq b □ Ed- llkl,4,-,IM.HL.H»É Řešte DiŠ^j/f - 4y = x2 £"^> Návod: partikulami řešení hledejte jako kvadratickou funkci y - Ay = 0 y0H = Cxe z2 - 4 = 0 z1/2 = ±2 WwWax2 + bx + cm 2a - 4 ■ (ax2 + bx + c) ] 2a I Dosadíme. ■ B I H— llkl,4,-,IM.HL.H»B Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y" - Ay = 0 " y0H = Cxe2x + C2e-2x z2-A = 0=> z1/2 = ±2 yv = ax2 + bx + c =>■ y'v = 2ax + b =>■ y'ý = 2a y"-±y = x2-i 2a-A - (ax2 + bx + c) = x2 - 1 -Aa ■ x2-Ab -x + 2a-Ac=í- x2+0 ■ x-í I Roznásobíme závorku a přeskupíme členy polynomu tak, abychom viděli koeficienty u jednotlivých mocnin. Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y" - Ay = 0 " y0H = Cxe2x + C2e-lx z1 - A = 0 z1/2 = ±2 yv = ax2 + bx + c ^> y'v = 2ax + b ^> y'ý = 2a y"-Ay = x2-l 2a-A - (ax2 + bx + c) = x2 - 1 -Aa ■ x2-Ab -x + 2a-Ac=í- x2+0 ■ x-í ' -4« = 1 ' -Ab = 0 2a-Ac= -1 Polynom na levé straně se bude rovnat polynomu na straně pravé právě 1 tehdy, když koeficienty u odpovídajících si mocnin budou totožné. Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y" - Ay = 0 " y0H = Cxe2x + C2e-2x z2-A = 0=> z1/2 = ±2 yv = ax2 + bx + c =>■ y'v = 2ax + b =>■ y'ý = 2a y"-±y = x2-i 2a-A - (ax2 + bx + c) = x2 - 1 -Aa ■ x2-Ab -x + 2a-Ac=í- x2+0 ■ x-í r ' -4« = 1 ' -Ab = 0 = 0 2a-Ac= -1 1 Vyřešíme soustavu rovnic. Řešte DR y" - Ay = x2 - 1. Návod: partikulární řešení hledejte jako kvadratickou funkci. y"-Ay=í yOH = C1e2x + C2e-2x z2-A = 0=> zi,2 = ±2 yv = ax2 + bx + c =>■ y'v = 2ax + b =>■ y'ý = 2a y" -Ay = x2-\ 2a-A - (ax2 + bx + c) = x2 - 1 -Aa ■ x2-Ab -x + 2a-Ac=í- x2+0 ■ x-í ' -4« = 1 ' -Ab = 0 2a-Ac= -1 r a=~A b = 0 1 ^ y = d e2* + C2e-2x - \x2 + i Sestrojíme obecné řešení. Hotovo! Solve DE y" - Ay' + Ay - BEI El 19 ©Robert Maffk, 2005 Q y" - 4y' + 4y = 0 The equation is not homogeneous. We start with the corresponding homogeneous equation. y" - Ay' + Ay = 0 z2-4z + 4 = 0 We write the characteristic equation for the homogeneous equation... eb EJ U m ' IsKobBrt Malik, 2UU= 19 Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. I y"-Ay' + Ay = 0 z2-4z + 4 = 0 z1/2 = 4 ~ V16 I ... and solve it. h b b 1- "TTľľTľrTTTmTTf^^B y"-Ay' + Ay = 0 z2-4z + 4 = 0 z1/2 = 4 V16 The characteristic equation has a double root z\/2 = 2. EEI El □ 193 1 BBBBBBBBBBfl Solve DE y" - 4y' + 4y = e~x. | y"-4y' + 4y = 0 z2-4z + 4 = 0 z1/2 = 4 ~ V16 zilbj = 2 1/1 (x) = e2*, J/2M = *£2* The fundamental system is in the case of double root z given by the I functions yi = ezx, y2 = xezx. ■ B I H-©Robert Malik, 2005 Q yi(x) = e , y2(x) = xe Vp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) We look for the particular solution in this form. Solve DE y" - 4y' + 4y = e~x. | yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) I We find the derivatives y[(x) and y2(x)- ■HUHU i.......>. a Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) A'e2x + B'xe2x = 0 2A'e2* + B'(l + 2x)e2* = e-* I We write the system for the coefficients A'(x) and B'(x). Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) A' + B'x = 0 2A' + 5'(l + 2x) = e~3x A'e2x + B'xe2x = 0 2A'e2* + B'(l + 2x)e2* = e-* I We divide both equations by the factor e uWU Ul ©Robert Malik, 20051| Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) A' + B'x = 0 2A' + B'(l + 2x) = e~3x B' = e-3x A'e2x + B'xe2x = 0 2A'e2x+ B'{\ + 2x)e2x = e-x We multiply the first equation by (—2) and add to the second equation. We obtain B' = e-3x. ■I ■ ■ ■-, k.4,-,1 .'»■! Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) A' + B'x = 0 2A' + B'(l + 2x) = e~3x B' = e-3x A' = -xe-3x A'e2x + B'xe2x = 0 2A'e2x+ B'{\ + 2x)e2x = e-x We put B' = e 3x to the first equation and obtain A' + xe-3x = 0. I We solve this equation for A'. igg^OBB'Ka'B*****'^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^™ ^Robert Maftk, 2005 Q Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) A(x) B' = e-3x A' = -xe-3x 1 If 1 1 xe~3x dx = -xe~3x — - e~3x dx = -xe~3x + -e~3x 3 3 J 3 9 integrate by parts: xe 3x dx u = x u' = l v' = e 3x v ,-3x -e 3xx 1\ / 1 = --e ixx 3 „-3x \e-3x dx 3 V J Solve DE y" -Aý + Ay = e~x.\ yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) B' = e~3x A' - -~3x xe f I l ľ 11 A(x) = — xe~3x dx = -xe~3x — - / e~3x dx = -xe~3x + -e~3x J O O J D s B(x) = J e-3xdx= -\e-3x The integral for B is easy. eB b b E3— ^^■■■i la Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) B' = e~3x A' - -~3x xe f 1 1 f 11 A(x) = — xe~3x dx = -xe~3x — - / e~3x dx = -xe~3x + -e~3x J O O J O y B(x) = J e-3x dx = ~\e-3x yp = Ayx + By2 We return to the formula for the particular solution. Solve DE y" - Ay' + Ay = e~x. | = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) B' = e-3x A' = -xe-3x 1 If 1 1 A(x) = — I xe~3x dx = 2Xe~3X ~ 3 / e 3x ^x = o,xe3X + qe~3x B(x)= I e-3xdx= ~\e-3x yp = Ayx + By2 [ \xeT*x + \e^%) '^~\e^% '^ --v-' 1/! "-v-' 1/2 I We know all the function here: A, B, yi, y2. We substitute... ■TTFI- -©Robert MaflUUlfe Solve DE y" -Aý + Ay = e~x.\ yi(x) = e2x, yi{x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) B' = e~3x A' - -~3x xe f I l ľ 11 A(x) = — xe~3x dx = -xe~3x — - / e~3x dx = -xe~3x + -e~3x J O O J D s B(x) = J e-3x dx = -\e-3x yp = Ayx + By2 = (^*e~3* + V3*) .^-Ie-^ ■ xe2^ = V* "--v-' yi "—v—' y2 ,_á_S_ ... and simplify. \xe~3x + ~^e~3x\e2x - \e~3xxe2x = \xe~x + -e~x - \xe~x. 3 9 J 3 39 3 EEI El 13 133-©Robert MaHk, 2005^ yi(x) = e2x, y2(x) = xe2x yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) We write the solution as a sum of particular solution and linear combination of functions from fundamental system. J "~ ~" 3 3 J ' " 3 ' 9" B(x) = J e-3x dx = ~\e-3x yp = Ayx + By2 = (^*e~3* + \e^%) '^~\e^% ' = \e~% "--v-' yi "—v—' yi a b y = Cxe2x + C2xe2x + ^e~x, Clr C2 e R BEI Q Q ©Robert Maffk, 2005 Q = e2x, 1/2(1) = xe2x Vp{x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) y[(x)=2e2x,y'2(x) = e2x(l + 2x) B' = e~3x A' - -~3x xe 1 If 1 1 A(x) = — I xe~3x dx = 2Xe~3X ~ 3 / e~3xdx = g*e~3* + ye~3x B(x)= I e-3xdx= ~\e-3x yp = Ayx + By2 = [ ^xe~3x + V3*) ■ ^~\^x ■ x£ = V* a y = Cxe2x + C2xelx + ^e"*, Clr C2 £ R I The problem is solved. eB ei a ES ©Robert Malik, 2005 18 Sob/^Ey'^5y^M>y^^J EE1 Q Q ©Robert Maffk, 2005 Q y" - 5y' + 6y = 0 I We start with the homogeneous equation. ©Robert Malik, 2005 §| Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 =š> z2 - 5z + 6 = 0 ... and its characteristic equation. i.......> . ta Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~> z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 I The roots of the equation are real and distinct. ©Robert MaHk, 2005 El Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 => z1 = 2, z2 = 3 We write the fundamental system. B B B B- i.......> . fa Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* I ... and the derivatives of the functions from that fundamental system. Ill [J U U „ i lliPMjfl Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* ylW=2^ 3/2« =3e3* yp(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) I We will use the variation of parameters. ©Robert Malik, 2005 fa Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* y!W=2^ J/2« =3e3* yv{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A'e2* + B'e3x = 0 2A'e2* + 3B'e3* = xex I The functions A and B satisfy the following relations. >.......> _ fa Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + by = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 => z1 = 2, z2 = 3 yiW = ^ j/2(x) = e3* j/p(x) = + B(x)y2(x) A'e2* + B'e3x = 0 2A'e2* + 3B'e3* = xe* A' + B'e* = 0 2Ä + 3B V = xe~x I ... which are equivalent to this linear system. ■ u m ©Robert Malik, 2005 18 Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 y1(x) = e2x y2(x) = e3x y[(x) = 2e2x y'2(x) yp(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) 3c 3x A'c2* + B'c3* = 0 2A'e2x + 3B'e3* xc z1 = 2, z2 = 3 A' + B'e* 2A' + 3B 'ex 0 A' = -B'ex I We solve the first equation with respect to A'. m Ei 19 liS (clkoLW Mailt, 2UU5 E3 Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 y1(x) = e2x y2(x) = e3x y!W = 2^ y2(x) i/p(x) = A(x)y1(x) + B(x)i/2(x) 3c 3x A'c2* + B'c3* = 0 2A'e2x + 3B'e3* xc z1 = 2, z2 = 3 A' + BV 2A' + 3B 'ex 0 A' = -B'ex B'ex = xe-x ... and substitute into the second equation. We obtain 2{-B'e-x)+3B'ex = xe~x which is equivalent to the blue expression. Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. I y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 2/iM = e2* yi(^) = e3x ylW = 2^ y2(x) yv{x) = A(x)y1(x) + B(x)i/2(x) ■3c 3x A'e2* + B'e3* = 0 2A'e2x + 3B'e3* xe' z1 = 2, z2 = 3 A' + B'e* 2Ä + 3B V 0 A' = -B'ex B'ex = xe-x B' = xe-lx We can find B' Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. I y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 3/iM = e2* J/2M = e3* yíW = 2e2^ j/2(x) y p (x) = A(x)y1(x) + B(x)i/2(x) 3e 3x A'e2* + B'e3* = 0 2A'e2x + 3B'e3* xť z1 = 2, z2 = 3 A' + BV 2Ä + 3B V 0 A' = -B'ex B'ex = xe-x B' = xe-lx A' = -B'ex = -xe I ... and A'. ■ B I H— Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 y1(x) = e2x y2(x) = e3x y[(x) = 2e2x y'2(x) y p (x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) ■3e 3x A' A'e21 + B'e3x = 0 2A'e2x + 3B'e3* = xé -xe-x, B' = xe-'zx z1 = 2, z2 = 3 A' + B'e* 2Ä + 3B V 0 We will look for A (x) and B (x) from A' and B'. Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 y1(x) = e2x y2(x) = e3x y[(x) = 2e2x y'2(x) = 3e3x yp(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) zi = 2, z2 = 3 A'e2* + B'e3* = 0 2A'e2* + 3B'e3x = xex A' = -xe x, B' = xe A(x) = (x + \)e~x, A' + B'ex = 0 2A' + 3B'ex = xe We integrate by parts u v' u V A = — J xe x dx = - (-xe~x - e~x) = (x + l)e" e x dx ^amrmm 2005H Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 2/iM = e2* 2/2(*) = e3* i/p(x) = A(x)y1(x) + B(x)i/2(x) Z! = 2, z2 = 3 A'e2* + B'e3* = 0 2A'e2* + 3B'e3* xe' A' -xe-x, B' xe A' + B'ex = 0 2Ä + 3B'ex = xe A(x) = (x + l)e x, B (x) 1 1 2X+lU -2x B (x) xe 2x dx -2x + -2x dx = —-xe 2 -2x -2x b h h ©Robert Malík, 201 IÔ5 Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* y!W=2^ y'2(x)=3e3x yp(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A'e2* + B'e3x = 0 2A'e2* + 3B'e3* = xexj A' = -xe-x, B' = xe-'lx A(x) = (x + l)e~x, B(x) = ~{^x + \)e' yv(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) A' + B'ex = 0 2A' + 3B'ex = xe~x I We return to the formula for the particular equation,... LU Li U 111 I I lll—q Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 => z1 = 2, z2 = 3 3/iM = e2* 3/2« = e3* yíW=2e2^ J/2« =3e3* j/p(x) = + B(x)y2(x) A'e2* + B'e3x = 0 2A'e2* + 35'e3* = xexj A' = -xe~x, B' = xe-'ix A(x) = (x + l)e-x, B (x) = -(\x+l)e~1X yp{x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) = (x + l)e~x— (\^x + ^)e~2*\? A' + B'ex = 0 2Ä + 3B V = xe~x Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* y!W=2^ J/2« =3e3* yv{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A'e1* + B'e3x = 0 2A'e2* + 3B'e3* = xexj A' = -xe-x, B' = xe-'lx A(x) = (x + l)e-x, B(x) = -(\x+l)e~1X yp{x) = A(x)yi(x) + B(x)y2{x) = (x + l)e~x- (J^x + ^je~2x ^e' = ^ex{2x + 3) A -vi N - ' i A' + B'ex = 0 2A' + 3B 'ex = xe~x ... and simplify. EB B B E3- >.......> . ta Solve DE y" - 5y' + by = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 5 z2 - 5z + 6 = 0 zx = 2, z2 = 3 y1(x) = e2x i/2(x) = e3* ylW = 2^ J/2M = 3e3* i/p(x) = + B(x)y2(x) The general solution is the sum of the particular solution and the general solution of the corresponding homogeneous equation. The general solution of the corresponding homogeneous equation is a linear combination of the functions from the fundamental system. yv{x) = A(x)y\(x) + B(x)y2(x) = = \ex(2x + 3) y = Qe21 + C2e3x + \ex(2x + 3), ClrCi e 1R BEI Q Q ©Robert Maffk, 2005 Q Solve DE y" - 5y' + 6y = xex. | y" - 5y' + 6y = 0 ~ z2 - 5z + 6 = 0 => z1 = 2, z2 = 3 3/iM = e2* 3/2« = e3* yíW=2e2^ J/2« =3e3* j/p(x) = + B(x)y2(x) A'e2* + B'e3x = 0 2A'e2* + 35'e3* = xexj A' = -xe~x, B' = xe-'ix A(x) = (x + l)e-x, B (x) = -(\x+l)e~1X yp(x) = A(x)yi(x) + B(x)y2(x) = (x + l)e~x- (J^x + ^)e~2*v5 = ^ex{2x + 3) A -vi N - ' y y = Qe21 + C2e3x + \ex(2x + 3), ClrCi £ K A' + B'ex = 0 2A' + 3B'ex = xe~x I The problem is solved. eB ei u LU i.......> - & cos x Solve DE y" + y= -—. Work on the interval where sin(x) > 0. J J smx v ©Robert Mafik cos x I Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0.1 sin. x i y" + y = 0 I We start with the corresponding homogeneous equation... LLI Ll U U ^■■■■■■w I I lll—U cos x Solve DE y" + y= -—. Work on the interval where sin(x) > 0. J J smx v y" + y = 0 z2 + 1 = 0 ... and its characteristic equation. Cc^kcW Marik, 2[J[Jb Q cos x Solve DE y" + y= -—. Work on the interval where sin(x) > 0. J J smx v y" + y = 0 z2 + 1 = 0 zi = z, z2 I The characteristic equation has complex roots. ■ b a al ©Robert Mafik, 2005 Q Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0. _J J sini_v y" + y = 0 => z2 + l = 0 => z1 = i,z2 = -i yi(x) = cosx, yi{x) = sinx We write the fundamental system. eQ b B m— Cc^kcW Marik, Mb Q Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0. _J J sini_v yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) We look for the particular solution in this form. Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. y\(x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 cosx -A' sin x + B' cos x = sinii I The functions A and B have to satisfy this linear system. LU Li U 111 „ I iii—q Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 -A' sin x + B' cos x = cosx W = cos x sin x - sin x cos x smx = cos2 x + sin2 x = 1; We will solve this system by Cramer's rule. We find the determinant of I the coefficients matrix. This determinant is called wronskian. ■I ■ ■ ■-©Robert Malik, 2005 Q Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. yi (x) = cosx, Vi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 -A' sin x + B' cos x = cosx W = Wi = cos x sin x - sin x cos x 0 sinx cosx - cosx sinx sinx = cos2 x + sin2 x = 1; cos x; I We evaluate the auxiliary determinants. ©Robert Malik, 2005 fa Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. j/i(x) = cosx, J/2 {x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 -A' sin x + B' cos x = cosx W = Wi = cos x sin x - sin x cos x 0 sinx cosx - cosx smx smxJ - cos2 x + sin2 x = 1; ■ cos x; W2 cosx 0 cosx - sin x - sinx cos2 x smx I We evaluate the auxiliary determinants. ©Robert Malik, 2005 fa Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. yi(x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 -A' sin x + B' cos x = cosx W = Wi = A' = cosx sinx — sinx cosx 0 sinx cosx cosx sinx - — — cosx w smxJ - cos2 x + sin2 x = 1; ■ cos x; W2 cosx 0 cosx - sin x - sinx cos2 x sinx I ... and use the formula of Cramer for A'. ■ a I H- (cjlUerlMatlk.roH Solve DE y" + y cosx sinx . Work on the interval where sin(x) > 0. j/i(x) = cosx, 1/2 (x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) A' cos x + B' sin x = 0 -A' sin x + B' cos x = cosx W = Wi = A' = cosx sinx — sinx cosx 0 sinx cosx cosx sinx - —— — cosx w smxJ - cos2 x + sin2 x = 1; ■ cos x; W2 B' = cosx - sinx W2 cos2 x W sinx 0 cosx sinx cos2 x sinx I ... and for B'. ■d ■ ■ ■- llkl,4,-,IM.HL.H»tJ cos x Solve DE y" + y= -—. Work on the interval where sin(x) > 0.1 __ _ sini_v yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=—f = —- W W sin x A = — sin x I We integrate. The integral for A is easy. eB b B m— ^■■■i Cc^kcW Marik, Mb Q cos x I Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0.1 sin. x i yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=-^ = —- W W sin x A = — sin x f cos x , / cos isini , B = -ax = I -=— dx J sin x J 1 — cos7 x The integral for B is more complicated. The odd power of the goniometric function is in the denominator. We have to multiply and divide by sin x and use the formula cos2 + sin2 x = 1. This gives „ , , f cos2 x , f cos2 x . f cos2 x B(x) = / -dx = / -=—smxdx= / -^—smxdx J smx J sin7 x J 1 — cos7 x EQ E H E3-©Robert MaHk, 2005H cos x Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0. sin. x yi(x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=-^ = —- W W sin x A = — sin x f cos2 x , f cos2 isini , ft2 ,, /" 1 B = J ^dx = J Y^^dx = J l^idt = J 1 + l^idt Now we use the substitution B(x) = cos x = t sin x dx = — dt 1-t2 (-l)dt = . This gives dt. t2-l Further we divide the numerator t by the denominator [t — 1). El B H Hi — «511 cos x Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0. sin. yi(x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=—f = —- W W sin x A = — sin x cos2 x , f cos2 x sin x , ft2 , /" „ 1 dx = /--=— dx = / —- dt = / 1 + —- At sin x J 1 — cos2 x J t2 — 1 J f2 — 1 1, 1 -f = £ + - In-- 2 1 + f f 1 We expand the fraction ^-^ into partial fractions, integrate and add logarithms. This gives B(x) = t + J I-^-I-^df = f+iln|f-l|-iln|f + l| 1 , f+-ln f- 1 t + 1 1, 1 -f f + - In--- 2 1 + f EQ BlB-(clkobertMaHk^oi 05H cos x Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0. sin. x yi(x) = cosx, Vi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=—f = —- W W sin x A = — sin x f cos2 x , f cos2 isini , ft2 ,, /" 1 B = J^x~dx = Jt^7d- Jl^idt = J1 + l^idt 1 1 — £ 1,1— cos x = f + - In--- = cos x + - In-- 2 1 + t 2 1 + cosx We use the back substitution cos x = t. BJ B B D- (cjlUerlMaak.TOIa cos x I Solve DE y" + y =--. Work on the interval where sin(x) > 0.1 sin. x i yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=-^ = —- W W sin x A = — sin x 1,1— cos x B = cos x + - In-- 2 1 + cos x I Now both A and B are known. EB B B E3- llkl,4,-,IM.HL.H»fj cos x Solve DE y" + y= -—. Work on the interval where sin(x) > 0.1 __ _ sini_v J/i(x) = cosx, I/2M = sinx j/p(x) = A(x)y1(x) + B(x)y2{x) Wi W2 cos2x A' = —f = -cosx B'=-^ = —- W W sin x A = — sin x 1,1— cos x ß = cos x + - In-- 2 1 + cos x yp(x) = Ayi + By2 The particular solution we looked in this form. m b b Ea— ©Robert Maftk, 2005 Q Solve DE y" + y cos x I = -. Work on the interval where sin(x) > 0. sini__"_I yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) W2 B' = A = —— = — cos x W A = — sin x 1,1— cos x B = cos x + - In-- 2 1 + cos x yv(x) = Ay i + By 2 = — sin x cos x + a yi W cos2 x sinx 1 1 — cos x cos x + - In-- 2 1 + cos x sinx I We can substitute. ■ B I H- llkl,4,-,IM.HL.H»b Solve DE y" + y cos x I = -. Work on the interval where sin(x) > 0. sini__"_I j/i(x) = cosx, y2 (x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) W2 B' = A = —— = — cos x W A = — sin x 1,1— cos x B = cos x + - In-- 2 1 + cos x yv(x) = Ay i + By2 = — sin x cos x + W cos2 x sinx a yi 1 1 — cos x cos x + - In-- 2 1 + cos x smx .V2 1 . , 1 — cos x - sin x In-- 2 1 + cos x ... and simplify EQ Q B B9- >.......> . -fa Solve DE y" + y cos x I = -. Work on the interval where sin(x) > 0.1 sini__"_J yi (x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) W2 B' = A = —— = — cos x W A = — sin x 1,1— cos x B = cos x + - In-- 2 1 + cos x yv (x) = Ay i + Bi/2 = — sin x cos x + a yi W cos2 x sinx 1 1 — cos x cos x + - In-- 2 1 + cos x smx .V2 1 . , 1 — cos x = - sin x In-- 2 1 + cos x , , _, ^ . sin x , 1 — cos x V x = Ci cosx + C? smx H--— In-- yw 2 1+cosx The general solution is a sum of the general solution of the homogeneous system and the particular solution of nonhomogeneous system. Solve DE y" + y cos x I = -. Work on the interval where sin(x) > 0. sinx__"_I yi(x) = cosx, yi{x) = sinx yp{x) = A(x)y1(x) + B(x)y2(x) W2 B' = A = —— = — cos x W A = — sin x 1,1— cos x B = cos x + - In-- 2 1 + cos x yv(x) = Ay i + By 2 = — sin x cos x + a yi W cos2 x sinx 1 1 — cos x cos x + - In-- 2 1 + cos x sinx 1 . , 1 — cos x = - sin x In-- 2 1 + cos x , , _ _ . sin x , 1 — cos x V x = Ci cosx + C? smx H--— In-- yw 2 1+cosx I The problem is solved eB id L3 ES >.......> . -fa Finished. ©Robert Maffk, 2005 Q