Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic
Příklad 1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Ü)
O)
{í
l 4
í *í l 4
(lineární homogenní soustavy 1. řádu). Řešte úlohy = -2,
"i
y,
2^! + x2, 5x2:
= 2xi +x2, = 2x2,
, y
y =-,
x
z' = y + z, = 2?/i - y2, = ž/i,
= 4?/ - 2z,
= y + z,
= xi + 2x2, = 2xi +x2,
(A
{í
l 4
ř *í l 4
r
l A
xM = i, xM = -i,
zi(0) = i, x2(0) = i,
[y = d-2x, z = C2ď] [x = q± e2t+C2, y = Cle2t] , obecné řešení:
á p2i _ 1 p5í
3 3 _e5í
Ci e2i +f e5i C2e5í
Cie2í+C2re
?2
,2í
C2e2í
e
ezt +te
2í
1
0
2í
1
0
e2í+C2
e5i]
, obecné řešení:
e2í+C2
e2i]
-2xi - 2x2, Axl + 4x2,
-2xi + 2x2,
[
zi(0) = 0, s2(0) = 0,
zi(0) x2(0)
Cxé+C2té Cie3i +C2e2t
[y = ClX, z = C2ex-d(x + l)]
t
y	
z	
iCie3i+C2e2i
0 0
= Ci = Ci , obecné řešení:
eř +C2
e3í +C2
eř] e2i]
Q e3i -C2 e"ŕ Ci e3í +C2 e"* -1
e3í+C2
1
e"ř]
1,
2,
Ci-C2e2i 2C2 e2i -Ci
4-3e2i -4 + 6e2i
= Ci
« {1
í *í l x'2
= bxi + 2x2, = -Axi - x2: = x2,
= -xi + 2x2,
xi(0) = 0, x2(0) = -1,
xi(0) = 2, x2(0) = 3, xi(0)=0, x2(0) = 0,
, obecné řešení: e2i]
, obecné řešení:
1		' -1 "
-1	+ c2	2
e* sin t —eř(cosr + sin ŕ)
(Ci cos t + C2 sin t) é (Ci (cos t — sin t) + C2 (cos t + sin t)) e*
-5er+7e3i 10er-7e3i
" Xi(ť) '	
. x2{ť)	
o o
, obecné řešení Ci
Ci cos t + C2 sin t C2 cos t — Ci sin t
cos ŕ — siní
+ C2
siní cos ŕ
Jiří Benedikt, 2002
1/2
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic
m)
n)
o)
P)
q)
0
lX'
l y' l y' l y'
X =
y =
z
.1 =
y =
z' =
I
ž/l =
y'2 =
ú =
-9y, x:
-3x - 4y, -2x - 5y, x + 5y, -x - 3y, x - 2y,
2y,
-z,
2x + y, 2y + z, 2z,
-yi + y2: -y2 + 4y3, yi - 4yz.
x(0) = i, y(o) = 4,
x(0) = -2
y(o) = i,
[x = 3Ci cos 3t - 3C2 sin 3t, y = C2 cos 3í + d sin 3í [a; = -2 e_í +3 e"7i, y = e_í +3 e"7i [x = (sin t — 2 cos í) e_í, y = e_í cos t
[
y
		' C3 e* -2C2 e2i "
y	=	C2e2i
z		Cle"*
e2i (C3 + C2í+fí2) e2i(C2 + Cií) Cie2i
1	(	0		1	\ r
-2	e"3i+C2	1	+ t	-2	e"3i +C3
1	\	-1		1	)
X	
. y.	
Příklad 2 (lineární homogenní soustavy 2. řádu).
í x" + y' + x = 0: a)     U' + y" = 0,
c)
Příklad 3 (lineární nehomogenní soustavy). Řešte úlohy
zi(0) = l,
4x2 + t,      x2(0) = 2,
Ci + C2t + C3t2 -(Ci + 2C3)í-fí2-C3f+ C4
= y, = x.		[	X . y.	=	' Ci e* +C2 e_i +C3 sin t + C4 cos t Ci é +C2 e_í —C3 sin t — C4 cos í
= xi - 4x2: = -Xi + x2.	[		=	Ci cos t + C2 sin t + C3 e^ +C4 e-^ ^ cosi + ^ siní - ^e^-^e"^	
a)
\ 4 = -3a;i -
Xi		1
. X2 .		-1
e-'+±ř
+
b)
c)
d)
e)
J x\ = 2xy
\ x'2 = 2xi
1 y' =
( 4x' — y
\ x' + y =
+ x2,
xi(0) = 1, x2(0) = 0,
Xi	
. X2 .	
9
t +
33í
e-3í +
1 3
2t
eM -t e - e2i + e3i
= y + t,
x — t, — y + 3x = sin t, cosi, 4y — z — 5x + 1, y + x + 2z-l.
X		Ci e* -C2 e"* +t - 1
y		y = C1é +C2 e"* -í + 1
X	
. y.	
y	
z	
Ci e"* +C2 e"3i Cie-r+3C2e-3i + cosi
e3x(d + C2x) +x z = e3*(Ci + C2x) - C2 e3x -x
Jiří Benedikt, 2002
2/2