Obyčejné diferenciální rovnice
Příklad 1 (přímá integrace). Řešte počáteční úlohy
(a) x'(t) = t3,   x(0) = 0, [x(t) = ti
(b) x'(t) = cos2 z,   x       = |, [x(t) = |(í + \ sin2í) - \
(c) x'(t) = —z(0) = 2. b(í) = 2 + arctga:
1 + tz
Příklad 2 (separace proměnných). Řešte počáteční úlohy
(a) x = x' cos21lnx,   x(n) = l, [ln2 \x(t)\ - 2tgí = 0
(b) a: + a:'cotgí = 0,   a:       = —1, [a:(í) = — 2cosí
(c) x2 + t2x' = 0,   x(-l) = 1, [x(t) = -t
(d) yy' + x = l,   y(l) = l, [(x-l)2 + y2(x) = l
(e) (y + xy) + (x - xy)y' = 0,   y(l) = 1, [a; - y(a;) + ln\xy(x)\ = 0
(f) 2(1 + ex)yy' = ex,   y(0) = 0, [2e»2(x>+ e*+l = o;
(g) y, = 2y/yhix,   y(e) = 1. [y(a;) = (z(lna: - 1) + 1)
Příklad 3 (separace proměnných). Stanovte obecné řešení diferenciální rovnice
t — x
(a) x' = - j-^, [ln (í2 + x2 (í)) + 2 arctg f = C implicitně;
(b) y' =--, \ex = Cy implicitně
xy — ar
(c) xy1 — y = \/x2 — y2, [y{x) = ^sinln \Cx\, C^O, y{x) = x, y = — x
(d) (x + 2y) - xy' = 0. [y(x) = Cx2-x
Příklad 4. Řešte počáteční úlohy
(a)    tx' = Vt2 -x2 + x,   x(l) = 1, [x(t) = i sin (lní+ §)
(b)    ž/=^f>   2/(1) = 0, [yía;) = a; - v/2^T
Příklad 5 (lineární homogenní diferenciální rovnice 1. řádu).   Řešte počáteční úlohu
y' + ^y = 0,    y(l) = 2. [y{x) = %
Příklad 6 (variace konstanty). Řešte počáteční úlohy
(a) x1 — xcotgt = sint,   x (J^j = 1, [x(ť) = (t — |) siní
(b) x' — a;cotgí = siní,   x(ir) = 1, [nemá řešení; proč?
(<0    ^-^ = 1^,    «(1) = 4> [*(*) = ^-§ln|*l
(d)    xy' -(3y+l + \nx) = 0,   y(l) = 1, [-|(13a;2 - 31na; - 4)
Jiří Benedikt, 2002
1/3
Obyčejné diferenciální rovnice
(e) y' + ^cy = 3x2,   y{l) = ~, [y{x) = 3v^ - §
(f) y' + Vcos x = sm x cos xi 2/(0) = 1. [y(a;) = 2e~sina: + sina; — 1 Příklad 7. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
(a) y' + 2xy = Ax, [y(x) = C e"*2 +2
(b) a;' = a;cosŕ + sin2ŕ. [x(t) = Cesiní -2(1 + siní)
Příklad 8 (metoda odhadu). Metodou odhadu nebo metodou variací konstanty stanovte obecné řešení diferenciální rovnice
(a) x> = 3x-e2t, [x(t) = Ce3t + e2t
(b) x' + 2x = 3e5t, [x(t) = Ce-2í+fe5í
(c) x' + 2x = 5 e"2í, [a;(r) = C e"2í +5r e"2í
(d) x' + x = l-t2, [x(t) = C e_í -t2 + 2t — l
(e) x' - 2x = 2 cos t, [x(t) = Ce2t-f cosŕ + § siní
(f) z' = 7a; + cos 2í - 3 sin 2t. [x (t) = C e7í - ^ cos 2t + §§ sin 2r
Příklad 9 (diferenciální rovnice vyššího řádu). Řešte počáteční úlohy
(a) y>" = smx + e"2*,   y(0) = 1, ž/'(0) = ^ y"(0) = ^ b(a;) = cosa; - § e"2* +a;2 + ±
(b) y"^11^,   y(l) = 0, y\l) = 1, y"(l) = 2, [y(a;) = -| ln2 a; + \x2 - 2x + \
(c) x2y" + 2xy' -Qy = 0,   y(l) = 0, y'{\) = 1. [y(x) = \{x2-
Příklad 10. Stanovte obecné řešení diferenciální rovnice
(a)	y'" -y/l + {y"Y = 0,		[y(x) = sinh x + Ci + C2X + C3]
(b)	xyW + ym = 0.	[V (z)	= ClX2 (± ln x - f) + C2f + C3x + C4]
Příklad 11 (charakteristická rovnice)		. Řešte následující úlohy	
(a)	x" - 5x' -6x = 0,		[x(t) = C1e6t+C2e~t]
(b)	x'" - 6x" + 13a;' = 0,		[x(t) = Ci + e3í(C2 cos 2t + C3 sin 2í)]
(c)	y" + 4y' + 4y = 0,		[y(t) = e-2t(C1 + C2t)}
(d)	y" - 4y' + Idy = 0,		[y(x) = e2x(Ci cos 3a; + C2 sin 3a;)]
(e)	y" + 6y' + 9y = 0,		[y(x) = (C1 + C2x)e-3*]
(f)	y{4) -y = o,		[y(t) = Ci e_í +C2 é +C3 cos t + Cí sin t]
(g)	y" + V + 5y = 0,   y(0) = -3,	y'(o) = o,	[y(t) = -2 e"2í(cos t + 2 sin t)]
(h)	y"' + 3y" + 3y' + y = 0,		[y(t)=e-t(C1t2 + C2t + C3)}
(i)	4y"-8y' + 5y = 0,		[y(x) = ex (Ci cos § + C2 sin §)]
0)	y'" - Sy = 0,   y(0) = 0, y'(0) =	= 6, y"(0) =	0.
[y(x) = e2x + e x(VŠsin y/Šx — cos y/Žx)\ Jiří Benedikt, 2002 2/3
Obyčejné diferenciální rovnice
Příklad 12 (lineární nehomogenní rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty). Metodou odhadu nebo metodou variací konstant řešte úlohy
[x(t) = Ci e"5í +C2 e-* +5í2 — 12* + 12]
[x(t) = é(Ci cos 3í + C2 sin 3í) + cos 3í - 6 sin 3í]
[ž/(í) = e3í(Ci + C2í) + |í + |-2eí]
[y(t) = Ci + C2 cos 2t + C3 sin 2t + + \ e2í + \ é (sin t - 3 cos t) ]
[y{x) = (Ci + C2x + C3x2) ex ex]
[y(x) = — | cos 3a; + (l + | ln sin 3a;) sin 3a;]
(g) y"-4y = 3x3ex, [y(x) = d e2x +C2 e~2x - (f + f x + 2x2 + x3) ex]
(h) y"-Sy' + 20y = 5a; e4* (sin 2a; + cos 2a;). [y(x) = e4x(d cos 2a; + C2 sin 2a;) +
+       [(! -     cos 2a; + (1 + 2a;) sin 2a;]]
(a)	x"	+ 6x' + 5x = 25r2 - 2,
(b)	x"	- 2a;' + 10a; = 36 cos 3r,
(c)	y"	-Qy' + 9y = 3t-8é,
(d)	y'"	+ 4y' = Se^+öe* siní,
(e)	y'"	- 3y" + Sy'-y = ex,
(f)	y"	+ 9y=^-, y(l) sin 3a;       v 6 /
Jiří Benedikt, 2002
3/3