I. Riešte nasledujúce diferenciálne rovnice
1. y =
y − 1
x2y2
. 2. y cotg x + y = 2 y(0) = −1. 3. y − xy2
= 2xy.
4. xy + y = y2
y(0) = 0.5. 5. xy(1 + y2
) dx − (1 + x2
) dy = 0. 6. sin x dy − y ln y dx = 0.
7. (x + 2y) dx − x dy = 0. 8. (y2
− 2xy) dx + x2
dy = 0. 9. y2
+ x2
y = xyy .
10. (x + y + 1) dx = (2x + 2y − 1) dy. 11. xy − y = x tg
y
x
. 12. (x2
+ y2
)y = 2xy.
13. y = (x + y + 2)2
. 14. y =
2x − y + 1
x − 2y + 1
. 15. y =
y + 2
x + y − 1
.
16. y = −y tg x + cos−1
x. 17. y = 2x(x2
+ y). 18. x2
y + xy + 1 = 0.
19. xy + 2y + x5
y3
ex
= 0. 20. y = −2y + y2
ex
. 21. y =
x
y
+ y .
22. y = (y )
2
(x + a). 23. y = (y )
2
x − 2 (y )
3
. 24. 2y x − y = ln y .
25. y = (y )
2
− a − (y )
2
, a > 0. 26. y = y x +
a
y
. 27. y = y x − 3 (y )
3
.
28. y = y x − 2 − y . 29. y = y x + a (y )
2
. 30. y = y x + |y | .
31. y + y2
− 1 = 0. 32. xy + 1 = ex−y
. 33. y = xy − x2
(y )
3
.
34. x2
y + xy + 1 = 0. 35. y = x(y − x cos x). 36. 2y + x = 4
√
y.
37. xy = y cos ln
y
x
. 38. x(y − y) = ex
. 39. (y )
2
− 2y − 3 = 0.
40. y = e
xy
y . 41. (y )
2
− 2xy = 8x2
. 42. xy + y = xy2
ln x.
43. y −
xy
2(x2 − 1)
−
x
2y
= 0, y(0) = 1. 44. xy − 4y = x2√
y. 45. x2
y = y2
+ 2y + 5.
46. (3x + 5y − 7) dy = (6x + 10y + 3) dx. 47. xy + y = y2
ln x. 48. (y )
2
= xy.
49. x2
(y )
3
− y = 0. 50. y = y x + 4y . 51. x (y )
2
− yy + x = 0.
52. y = 2x(x2
+ y). 53. xy − 2x2√
y = 4y. 54. (2 ey
−x)y = 1.
II. Nájdite všeobecné riešenie nasledujúcich diferenciálnych rovníc
1. y = 6x − x−2
. 2. y =
1
2y
, y > 0. 3. y =
2
x
.
4. y =
y
x
+ x2
. 5. y =
(y )
2
+ 1
x2 + 1
. 6. y − 9y = 0.
7. y + 3y − 4y = 0. 8. y + 5y = 0. 9. 2y − 5y + 2y = 0.
10. y + 6y + 9y = 0. 11. 4y + 12y + 9y = 0. 12. y − 2a2
y + a4
y = 0.
13. y + 16y = 0. 14. y − 4y + 13y = 0. 15. y + y + 2y = 0.
16. y + y − 2y = 0. 17. 3y − 2y − 8y = 0. 18. y − 2y − y = 0.
19. y + 6y + 13y = 0. 20. 4y − 8y + 5y = 0. 21. 4y − 20y + 25y = 0.
22. y − y = 0. 23. y − 5y + 4y = 0. 24. y − 2y + y = 0.
25. y − y = 0. 26. y + 4y = 0. 27. y + 5y + 4 = 0.
28. y(5)
+ 2y + y = 0. 29. y 13y + 36y = 0.
III. Nájdite všeobecné riešenie nasledujúcich diferenciálnych rovníc
1. y − 7y + 10y = 40. 2. y − 7y + 10y = 6 e2x
. 3. y + 4y = cos 2x.
4. y − 7y + 10y = 20x2
− 28x + 14. 5. y − 7y + 10y = 8 e2x
sin x. 6. y − 4y + 5y = 2x2
.
7. y − 7y + 10y = −(6x + 7) e2x
. 8. y + 4y = x4
− 2x. 9. y + 4y = cos 3x.
10. y − 7y + 10y = −12 e3x
. 11. y + 4y = e−2x
. 12. y + 4y = 2x sin 2x.
13. y + 4y = x e2x
sin 2x. 14. y − 4y + 5y = e2x
. 15. y − 4y + 5y = sin x.
16. y − 7y + 10y = 65 sin 2x. 17. y − 4y + 5y = e2x
sin x. 18. y + y = 4x ex
.
19. y − 4y + 5y = x e2x
cos x. 20. y + y = x. 21. y − 2y − 3y = e4x
.
22. y − 4y + 5y = e2x
sin 2x. 23. y + y − 2y = 3x ex
. 24. y − 5y + 4y = 4x2
e2x
.
25. y − 3y + 2y = x cos x. 26. y − 2y + y = 6x ex
. 27. y + 4y + 4y = x e2x
.
28. y + 4y = 5 sin 3x + cos 3x + sin 2x. 29. y − 2y + 2y = x2
+ sin 2x. 30. y − y = 2 ex
−x2
.
31. y + 3y − 4y = e−4x
+x e−x
. 32. y + y − 6y = x + e2x
. 33. y + 2y − 3y = x2
ex
.
34. y + 2y + 5y = −
17
2
cos 2x. 35. 2y + y − y = 2 ex
. 36. y + 4y − 5y = 1.
37. y + 3y + 3y + y = e−x
sin x. 38. y + 2y + y = e−x
+ ex
. 39. y + a2
y = ex
.
40. y − 3y + 2y = (4x2
+ 4x − 10) e−x
. 41. y + y = sin x + x cos x. 42. y − y = x3
− 1.
IV. Riešte začiatočné úlohy
1. y = 2x3
, y(0) = 2, y (0) = 1. 2. y = x−2
, y(1) = 0, y (1) = y (1) = 1.
3. y =
y
x
+ x ex
, y(0) = 2, y (0) = 1. 4. y =
1
2y
, y(0) = 0, y (0) = 2.
5. y = a2 − (y )
2
, y(0) = −1, y (0) = 0, a > 0. 6. y − 4y = 0, y(0) = 1, y (0) = 3.
7. y − 2y + y = 0, y(2) = 1, y (2) = −2. 8. 4y + y = 0, y(π) = 2, y (π) = 3.
9. y − y = 0, y(0) = 3, y (0) = −1, y (0) = 1. 10. y + 2y + 5y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0.
11. y + 4y = 0, y(0) = y (0) = y (0) = 0, y (0) = 1. 12. 4y + y = 0, y(π) = 2, y (π) = 3.
13. y − 4y + 3y = 0, y(0) = 6, y (0) = 10. 14. y + 4y + 29y = 0, y(0) = 0, y (0) = 15.
15. 4y + 4y + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0. 16. y + y = sin x, y(0) = 1, y (0) = 0.
17. y + y = 4 ex
, y(0) = 4, y (0) = −3. 18. y − 2y = 2 ex
, y(1) = −1, y (1) = 0.
19. 4y + 16y + 15y = 4 e−3x/2
, y(0) = 3, y (0) = −
11
2
. 20. y + 2y + 2y = x e−x
, y(0) = y (0) = 0.
21. y − y = 2(1 − x), y(0) = y (0) = 1. 22. y − 2y = (x2
+ x − 3) ex
, y(0) = y (0) = 2.
23. y − 3y − 2y = 9 e2x
, y(0) = 0, y (0) = −3, y (0) = 3. 24. y − y = 2x, y(0) = y (0) = 0.
25. y + 2y + y = −2 e−2x
, y(0) = 2, y (0) = y (0) = 1. 26. y + y = sin x, y(0) = 1, y (0) = 0.
27. y − y = 3(2 − x2
), y(0) = y (0) = y (0) = 1. 28. y − 5y + 6y = x + ex
, y(0) = 0, y (0) = 1.
29. y + y = 2 cos x, y(0) = −2, y (0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 0.
V. Riešte homogénne systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
1. y1 = 4y1 − 3y2 2. y1 = 7y1 + 6y2 3. y1 = y1 + y2 4. y1 = y1 + y2
y2 = 5y1 − 4y2. y2 = 2y1 + 6y2. y2 = 8y1 − y2. y2 = −5y1 − y2.
5. y1 = y1 + 3y2 6. y1 = 2y1 + y2 7. y1 = y1 − y2 8. y1 = y1 + y2
y2 = −3y1 + y2. y2 = 3y1 + 4y2. y2 = −4y1 + y2. y2 = −2y1 + 3y2.
9. y1 = −7y1 + y2 10. y1 = y1 − 3y2 11. y1 = 2y1 + y2 12. y1 = 3y1 − y2
y2 = −2y1 − 5y2. y2 = 3y1 + y2. y2 = −y1 + 4y2. y2 = 4y1 − y2.
13. y1 = y1 − y2 + y3 14. y1 = y1 − 2y2 − y3 15. y1 = y1 − y2 − y3 16. y1 = 2y1 − y2 + 2y3
y2 = y1 + y2 − y3 y2 = −y1 + y2 + y3 y2 = y1 + y2 y2 = y1 + 2y3
y3 = 2y1 − y2. y3 = y1 − y3. y3 = 3y1 + y3. y3 = −2y1 + y2 − y3.
17. y1 = 4y1 − y2 − y3 18. y1 = y1 − y2 + y3 19. y1 = 3y1 − y2 + y3 20. y1 = 2y1 + y2
y2 = y1 + 2y2 − y3 y2 = y1 + y2 − y3 y2 = y1 + y2 + y3 y2 = y1 + 3y2 − y3
y3 = y1 − y2 + 2y3. y3 = −y2 + 2y3. y3 = 4y1 − y2 + 4y3. y3 = −y1 + 2y2 + 3y3.
VI. Riešte začiatočné úlohy
1. y1 = −5y1 + 2y2 y1(0) = 1 2. y1 = y1 − 3y2 y1(0) = 1 3. y1 = y1 + 2y2 y1(0) = 2.
y2 = −y1 − 7y2 y2(0) = −1 y2 = 4y1 − 6y2 y2(0) = 0 y2 = 4y1 + 3y2 y2(0) = 1.
4. y1 = y2 y1(0) = 3 5. y1 = y2 y1(0) = 2 6. y1 = −3y1 − y2 y1(0) = 2.
y2 = −2y1 + 2y2 y2(0) = 1 y2 = 12y1 − y2 y2(0) = −1 y2 = y1 − y2 y2(0) = −1.
7. y1 = y2 y1(0) = 3 8. y1 = 5y1 + 3y2 y1(0) = 0 9. y1 = y2 y1(0) = 0
y2 = y3 y2(0) = −1 y2 = −3y1 − y2 y2(0) = 2. y2 = y3 y2(0) = −1
y3 = y2 y3(0) = 3. y3 = −y2 y3(0) = 1.
10. y1 = y3 y1(0) = −1 11. y1 = −y1 + y2 + y3 y1(0) = 1 12. y1 = y2 + y3 y1(0) = −1
y2 = −y1 + y3 y2(0) = 2 y2 = y1 − y2 + y3 y2(0) = 0 y2 = y1 + y3 y2(0) = 1
y3 = −y2 + y3 y3(0) = 1. y3 = y1 + y2 + y3 y3(0) = 0. y3 = y1 + y2 y3(0) = 0.
VII. Nájdite štandartnú fundamentálnu maticu eAx
a použite ju na riešenie počiatočných úloh y = Ay,
y(0) = b, pričom tucnemat A a vektor b sú zadané
1.
7−18
3 −8
,
1
−1
. 2.
3−1
4−1
,
0
2
. 3.
−15
−11
,
2
−1
.
4.
1 1
−1−1
,
1
2
. 5.


011
101
110

 ,


1
0
1

 . 6.


21−2
−10 0
11−1

 ,


1
2
3

 .
VIII. Riešte nehomogénne systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
1. y1 = 3y1 − 2y2 2. y1 = −y1 + 5y2 3. y1 = y2 + x2
y2 = 2y1 − y2 + 1. y2 = −y1 + y2 + 8x. y2 = y1 + 2 ex
.
4. y1 = 2y1 + 3y2 + 8 ex
5. y1 = −5y1 + 2y2 + ex
6. y1 = y1 − y2 + 2 sin x
y2 = 3y1 + 2y2 + 5x. y2 = y1 − y2 + e2x
. y2 = 2y1 − y2.
7. y1 = 2y1 − y2 8. y1 = 2y1 + 4y2 + cos x 9. y1 = −y1 + 2y2
y2 = y1 + 2 ex
. y2 = −y1 − 2y2 + sin x. y2 = −y1 + y2 +
1
cos x
.
10. y1 = −y1 + 2y2 11. y1 = y2 12. y1 = −5y1 + 2y2 + ex
y2 = −2y1 + 3y2 + 15
√
x ex
. y2 = y1 + ex
+ e−x
. y2 = −2y1 − 3y2 + e−2x
.
13. y1 = y1 + y2 + 3y3 + 8 e−x
14. y1 = 2y1 + y2 − 2y3
y2 = −y1 + y2 y2 = −y1 + x
y3 = −y1 + y3. y3 = y1 + y2 − y3.
IX. Riešte počiatočné úlohy
1. y1 = y2 − 5 cos x 2. y1 = 3y1 + 2y2 + 4 ex
3. y1 = y1 − y2 +
1
cos x
y2 = 2y1 + y2 y2 = y1 + 2y2 y2 = 2y1 − y2
y1(0) = y2(0) = 0. y1(0) = 1 y2(0) = −1. y1(0) = 2 y2(0) = 0.