Výsledky:
I.
1. 1
2 y2
+ y + ln |y − 1| = −1
x + c.
2. y = 2 − 3 cos x.
3. c e−x2
−1 y = 1, y = 0.
4. y(1 + x) = 1.
5. (1 + x2
)(1 + y2
) = cy2
, c > 0, y = 0.
6. Riešenie prechádzajúce bodom (x0, y0) je y = y0 ew
, kde w = tg(x/2)
tg(x0/2) .
7. x + y = cx2
.
8. x(y − x) = cy.
9. y = c e y/x.
10. x − 2y + ln |x + y| = c.
11. sin y
x = cx.
12. y2
− x2
= cy, y = 0.
13. y = tg(x + c) − x − 2.
14. x2
− xy + y2
+ x − y = c.
15. y + 2 = c ew
, kde w = −2 arctg y+2
y−3 .
16. y = c cos x + sin x, x ∈ (2k − 1)π
2 (2k + 1)π
2 .
17. y = c ex2
−x2
− 1.
18. y = 1
x (c − ln |x|), x = 0.
19. y−2
= x4
(2 ex
+c), y = 0.
20. y(ex
+c e2x
) = 1, y = 0.
21. y = x + 1, y = −x − 1, resp. x = p√
p2−1
ln p + p2 − 1 + c , y = x
p + p.
22. y =
√
x + a + c
2
, y = 0.
23. x = c(p − 1)−2
+ 2p + 1, y = cp2
(p − 1)−2
, resp. y = x − 2, y = 0.
24. x = p+c
p2 , y = 2 + 2c
p − ln p.
25. x = (p − 1)−2
+ arcsin p
a + a − p2, y = p2
x − a − p2, resp. y = −
√
a, ak y ≥ 1 tiež y = x −
√
a − 1.
26. y = cx + a
c , y = ±2
√
ax.
27. y = cx − 3c3
, y = ±2
9
√
x3.
28. y = cx − 2 − c.
29. y = cx + ac2
, pre a = 0 y = ±x2
4a .
30. Pre c ≥ 0 y = cx + c, pre c < 0 y = cx − c.
31. y = ±1, pre x ∈ −π
2 − c π
2 − c y = sin x + c a pre x ∈ −π
2 + c π
2 + c y = sin −x + c.
32. x ey
= ex
+c.
33. xp2
= c |p| − 1, y = xp − x2
p3
, resp. y = 0.
34. xy = c ln |x|.
35. y = x(c + sin x).
36.
√
y − x ln c
√
y − x = x, 2
√
y = x.
37. ln cx = cotg 1
2 ln y
x a y = x e2kπ
, k ∈ Z.
38. y = ex
(ln |x| + c).
39. y = 3x + c, y = −x + c.
40. cx = ln cy, y = ex
.
41. y = 2x2
+ c, y = −x2
+ c.
42. 1
y = x c − 1
2 ln2
x .
43. y = 2
√
1 − x2 + x2 − 1.
44. y = x4
c + 1
2 ln x
2
.
45. y + 1 = 2 tg c − 2
x .
46. 39x + 65y − 6 = c e
13
17 (y−2x)
.
47. y ln x + y + cxy = 1.
48. y − 1
9 x3
− c
2
= 4
9 cx3
.
49. x = 1
p2 , y = − ln |p|, resp. y = c.
50. y = cx + 4c.
51. −y + y2 − 4x2 = c ew
, kde w = −
y+
√
y2−4x2
2
8x2 (Návod: Vypočítajte p = y a urobte substitúciu y = 2xz.)
52. y = c ex2
−x2
− 1.
53. y = x4
ln2
cx, y = 0.
54. x = ey
+c e−y
.
II.
1. x2
+ ln |x| + c1x + c2, x = 0.
2. 2
3 (x + c1)3 + c2, x > −c1.
3. x2
ln |x| + c1x2
+ c2x + c3, x = 0.
4. 1
8 x4
+ c1
x2
2 + c2, x ∈ R.
5. −c1x − (1 + c2
1) ln |x − c1| + c2, x = c1.
6. c1 e3x
+c2 e−3x
.
7. c1 ex
+c2 e3x
.
8. c1 + c2 e−5x
.
9. c1 e2x
+c2 e−x/2
.
10. c1 e−3x
+c2x e−3x
.
11. c1 e−3x/2
+c2x e−3x/2
.
12. c1 ea2
x
+c2x ea2
x
.
13. c1 cos 4x + c2 sin 4x.
14. (c1 cos 3x + c2 sin 3x) e2x
.
15. (c1 cos
√
7x
2 + c2 sin
√
7x
2 ) e−x/2
.
16. c1 ex
+c2 e−2x
.
17. c1 e2x
+c2 e−4x/3
.
18. c1 e(1+
√
2)x
+c2 e(1−sqrt2)x
.
19. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e−3x
.
20. (c1 cos x
2 + c2 sin x
2 ) ex
.
21. c1 e5x/2
+c2x e5x/2
.
22. c1 + c2 ex
+c3 e−x
.
23. c1 ex
+c2 e−x
+c3 e2x
+c4 e−2x
.
24. c1 + c2x + c3 ex
+c4x ex
.
25. c1 ex
+[c2 cos
√
3x
2 + c3 sin
√
3x
2 ] e−x/2
.
26. (c1 cos x + c2 sin x) ex
+(c3 cos x + c4 sin x) e−x
.
27. c1 cos x + c2 sin x + c3 cos 2x + c4 sin 2x.
28. c1 + c2 cos x + c3 sin x + c4x cos x + c5x sin x.
29. c1 e2x
+c2 e−2x
+c3 e3x
+c4 e−3x
.
III.
1. c1 e2x
+c2 e5x
+4.
2. c1 e2x
+c2 e5x
−2x e2x
.
3. c1 cos 2x + c2 sin 2x + x
4 sin 2x.
4. c1 e2x
+c2 e5x
+2x2
+ 1.
5. c1 e2x
+c2 e5x
+(3 cos x − sin x) e2x
.
6. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
+2
5 x2
+ 16
25 x + 44
125 .
7. c1 e2x
+c2 e5x
+(x2
+ 3x) e2x
.
8. c1 cos 2x + c2 sin 2x + 1
4 x4
− 3
4 x2
+ 1
2 x + 3
8 .
9. c1 cos 2x + c2 sin 2x − 1
5 cos 3x.
10. c1 e2x
+c2 e5x
+6 e2x
.
11. c1 cos 2x + c2 sin 2x1
8
e−2x
.
12. c1 cos 2x + c2 sin 2x + 1
32 − x2
4 cos 2x.
13. c1 cos 2x + c2 sin 2x + 1
100 [(5x − 1) sin 2x + (7 − 10x) cos 2x] e2x
.
14. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
+ e2x
.
15. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
+1
8 (cos x + sin x).
16. c1 e2x
+c2 e5x
+3 sin 2x + 7 cos 2x.
17. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
−x
2
e2x
cos x.
18. c1 cos x + c2 sin x + (2x − 2) ex
.
19. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
+1
4 x2
sin x + x cos x e2x
.
20. c1 + c2 e−x
+1
2 x2
− x.
21. c1 e−x
+c2 e3x
+1
5
e4x
.
22. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e2x
−1
3
e2x
sin 2x.
23. c1 ex
+c2 e−2x
+ x2
2 − x
3 .
24. c1 ex
+c2 e4x
−(2x2
− 2x + 3) e2x
.
25. c1 ex
+c2 e2x
+ 1
100 (10x − 12) cos x − 1
100 (30x + 34) sin x.
26. (c1 + c2x + x3
) ex
.
27. (c1 + c2x) e−2x
+ x
16 − 1
32
e2x
.
28. c1 cos 2x + c2 sin 2x − sin 3x − 1
5 cos 3x − x
4 cos 2x.
29. (c1 sin x + c2 cos x) ex
+ 1
10 (2 cos 2x − sin2x) + x2
2 + x + 1
2 .
30. c1 ex
+c2x e−x
+x ex
+x2
+ 2.
31. c1 ex
+c2x e−4x
−x
5
e−4x
+ x
6 + 1
36
e−x
.
32. c1 e−3x
+c2
ee2x
+ x
5
e2x
−x
6 − 1
36 .
33. c1 ex
+c2x e−3x
+ x3
12 − x2
16 − x
32
ex
.
34. (c1 cos 2x + c2 sin 2x) e−x
−1
2 cos 2x − 2 sin 2x.
35. c1 e−x
+c2 ex/2
+ ex
.
36. c1 ex
+c2x e−5x
− 2
10 .
37. (c1 + c2x + c3x2
+ cos x) e−x
.
38. c1 e−x
+c2 e−x
+x2
2
e−x
+1
4
ex
.
39. (c1 cos ax + c2 sin ax) − ex
a2+1 .
40. (c1 + c2x) ex
+c3 e−2x
+(x2
+ x − 1) e−x
.
41. c1 + c2 cos x + c3 sin x + 1
4 x sin x − x2
4 cos x.
42. c1 ex
+c2 e−x/2
cos
√
3
2 x + c3 e−x/2
sin
√
3
2 x − x3
− 5.
IV.
1. 1
4 x4
+ x + 2, x ∈ R.
2. −x ln x + x2
− 1, x > 0.
3. ex
(x − 1) + 1
2 e (5 − x2
) + 1, x < 0.
4. 2
3 (x + 4)3 − 16
3 , x > −4.
5. a cos x − a − 1, x ∈ R.
6. 5
4
e2x
−1
4
e−2x
.
7. (7 − 3x) ex−2
.
8. 2 sin x
2 − 6 cos x
2 .
9. 2 + e−x
.
19. (2 cos 2x + sin 2x) e−x
..
11. 1
2 (sin x cosh x − cos x sinh x).
12. −6 cos x
2 + 2 sin x
2 .
13. 4 ex
+2 e3x
.
14. 3 e−2x
sin 5x.
15. (2 + x) e−x/2
.
16. cos x + 1
2 (sin x − x cos x).
17. 2 cos x − 5 sin x + 2 ex
.
18. e2x−1
−2 ex
−1.
19. (1 + x) e−3x/2
+2 e−5x/2
.
20. (x − sin x) e−x
.
21. ex
+x2
.
22. ex
−x2
− x + 1 ex
.
23. (x − 1) e2x
− e−x
.
24. 2sinh x
sinh 1 − 2x.
25. 4 − 3 e−x
+ e−2x
.
26. 1 − 1
2 x cos x + 1
2 sin x.
27. ex
+x3
.
28. 1
36 18 ex
−81 e2x
+58 e3x
+6x + 5 .
29. x − x sin x − 2 cos x.
V.
1. c1 ex
+c2 e−x
, c1 ex
+5c2 e−x
.
2. 2c1 e10x
+3c2 e3x
, c1 e10x
−2c2 e3x
.
3. c1 e3x
+c2 e−3x
, 2c1 e3x
−4c2 e−3x
.
4. c1 cos 2x + c2 sin 2x, −c1(cos 2x + 2 sin 2x) + c2(2 cos 2x + sin 2x).
5. (c1 sin 3x − c2 cos 3x) ex
, (c1 cos 3x + c2 sin 3x) ex
.
6. c1 ex
+c2 e5x
, −c1 ex
+3c2 e5x
.
7. c1 e−x
+c2 e3x
, 2c1 e−x
−2c2 e3x
.
8. (c1 cos x + c2 sin x) e2x
, [c1(cos x − sin x) + c2(cos x + sin x)] e2x
.
9. (c1 cos x + c2 sin x) e−6x
, [(c1 + c2) cos x + (c2 − c1) sin x] e−6x
.
10. (c1 cos 3x + c2 sin 3x) ex
, (c1 sin 3x − c2 cos 3x) ex
.
11. (c1 + c2x) e3x
, (c1 + c2 + c2x) e3x
.
12. (c1 + c2x) ex
, (2c1 − c2 + 2c2x) ex
.
13. c1 ex
+c2 e2x
+c3 e−x
, c1 ex
−3c3 e−x
, c1 ex
+c2 e2x
−5c3 e−x
.
14. c2(cos x + sin x) + 2c3 sin x, 2c1 ex
+c2(cos x + sin x) + 2c3 sin x, c1 ex
−c2 sin x + c3(cos x − sin x).
15. 2(c2 sin 2x + c3 cos 2x) ex
, (c1 − c2 cos 2x + c3 sin 2x) ex
, (−c1 − 3c2 cos 2x + 3c3 sin 2x) ex
.
16. c1 ex
+3c2 e2x
, −2c2 e2x
+c3 e−x
, c1 + c2 e2x
−2c3 e−x
.
17. c1 e2x
+(c2 + c3) e3x
, c1 e2x
+c2 e3x
, c1 e2x
+c3 e3x
.
18. (c1 + c2x) ex
+c3 e2x
, (c1 − 2c2 + c2x) ex
, (c1 − c2 + c2x) ex
+c3 e2x
.
19. c1 ex
+c2 e2x
+c3 e5x
, c1 ex
−2c2 e2x
+c3 e5x
, −c1 ex
−3c2 e2x
+3c3 e5x
.
20. c1 e2x
+(c2 cos x + c3 sin x) e3x
, [(c2 + c3) cos x + (c3 − c2) sin x] e3x
, c1 e2x
+ [(2c2 − c3) cos x + (c2 + 2c3) sin x] e3x
.
VI.
1. (cos x − sin x) e−6x
, e−6x
cos x.
2. −3 e−3x
+4 e−2x
, 3 e−3x
−3 e−2x
.
3. e5x
+ e−x
, 2 e5x
− e−x
.
4. (3 cos x − 2 sin x) ex
, (cos x − 5 sin x) ex
.
5. e3x
+ e−4x
, 3 e3x
−4 e−4x
.
6. (1 − 2x) e−2x
, (1 + 2x) e−2x
.
7. ex
+2 e−x
, ex
−2 e−x
, ex
+2 e−x
.
8. 6x e2x
, (2 − 6x) e2x
.
9. 1 − cos x − sin x, sin x − cos x, sin x + cos x.
10. − ex
+2 sin x, 2 cos x + 2 sin x, − e−x
+2 cos x.
11. 1
3
e−x
+1
6
e2x
+1
2
e−2x
, 1
3
e−x
+1
6
e2x
−1
2
e−2x
, −1
3
e−x
+1
3
e2x
.
12. − e−x
, e−x
, 0.
VII.
1.
3 ex
−2 e−2x
6 e−2x
−6 ex
ex
− e−2x
3 e−2x
−2 ex ,
9 ex
−8 e−2x
3 ex
−4 ex .
2. ex 1 + 2x −x
4x 1 − 2x
, ex −2x
2 − 4x
.
3.
cos 2x − 1
2 sin 2x 5
2 − sin 2x
−1
2 sin 2x 1
2 sin 2x + cos 2x
, ex 2 cos 2x − 3 sin 2x
−3
2 sin 2x − cos 2x
.
4. ex cos x sin x
− sin x cos x
, ex cos x + 2 sin x
2 sin x − sin x
.
5.
1
3


e2x
+2 e−x e2x
− e−x e2x
− e−x
e2x
− e−x e2x
+2 e−x e2x
− e−x
e2x
− e−x e2x
− e−x e2x
+2 e−x

,
1
3


2 e2x
+ e−x
2 e2x
−2 e−x
2 e2x
+ e−x

.
6.


sin x + ex
sin x cos x − sin x − ex
cos x − ex
cos x − cos x − sin x + ex
sin x sin x cos x − sin x

,


3 cos x − 2 ex
−3 sin x + 2 ex
3 cos x

.
VIII.
1. (c1 + c2 + 2c2x) ex
−2, (c1 + 2c2x) ex
−3.
2. (c1 + 2c2) cos 2x + (2c1 − c2) sin 2x + 10x, c1 cos 2x − c2 sin 2x + 2x + 2.
3. c1 ex
−c2 e−x
+(x − 1) ex
−2x, c1 ex
+c2 e−x
+x ex
−x2
− 2.
4. −c1 e−x
+c2 e5x
+ ex
−3x + 12
5 , c1 e−x
−c2 e5x
−3 ex
+2x − 13
5 .
5. 2c1 e−4x
+c2 e−7x
+ 7
40
ex
+ 1
27
e2x
, c1 e−4x
−c2 e−7x
+ 1
40
ex
+ 7
54
e2x
.
6. c1 cos x + c2 sin x + x sin x − x cos x, c1(cos x + sin x) + c2(sin x − cos x) − 2x cos x + cos x + sin x.
7. (c1 + c2x − x2
) ex
, (c1 − c2 + c2x + 2x − x2
) ex
.
8. c1(1 + 2x) − 2c2 − 2 cos x − 3 sin x, c1x + c2 + 2 sin x.
9. (c1 − c2) cos x + (c1 + c2) sin x + 2 cos x ln | cos x| + 2x sin x, c1 cos x + c2 sin x + x(cos x + sin x) + (cos x − sin x) ln | cos x|.
10. (c1 − c2 + 2c2x − 8
√
x5 + 10
√
x3) ex
, (c1 + c2x − 8
√
x5) ex
.
11. c1 ex
+c2 e−x
+x sinh x, c1 ex
−c2 e−x
+ sinh x + x cosh x.
12. c1 e−4x
+c2 e−7x
+ 7
40
ex
+1
5
e−2x
, 1
2 c1 e−4x
−c2 e−7x
+ 1
40
ex
+ 3
10
e−2x
.
13. 2(c1 sin 2x − c2 cos 2x) ex
−2 e−x
, (c1 cos 2x + c2 sin 2x + 3c3) ex
− e−x
, (c1 cos 2x + c2 sin 2x − c3) ex
− e−x
.
14. c1 ex
+c2 sin x − c3 cos x + x, −c1 ex
+c2 cos x + c3 sin x + 1, c2 sin x − c3 cos x + x.
IX.
1. 4
3
e2x
−1
3
e−x
−2 sin x − cos x, 8
3
e2x
+1
3
e−x
+ sin x + 3 cos x.
2. 2
3
e x − 8
3
e−4x
+3 e5x
, −2
3
e x − 4
3
e4x
+ e5x
.
3. (2 + x)(cos x + sin x) + (cos x sin x) ln | cos x|, (4 + 2x) sin x + 2 cos x ln | cos x|.