Spojité deterministické modely I
Tento text vznikal v podzimním semestru 2011 jako elektronický učební materiál k předmětu
M5858, který je inovován v rámci projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0203 Univerzitní výuka matematiky
v měnícím se světě operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
Leden 2012 Zdeněk Pospíšil
Obsah
I Obyčejné diferenciální rovnice 1
1 Úvod 3
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Vektorové a maticové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Elementární metody řešení 9
2.1 Exaktní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Rovnice typu x = f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Rovnice se separovanými proměnnými x = f(t)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Homogenní rovnice x = f
x
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Rovnice typu x = f
at + bx + c
αt + βx + γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Lineární rovnice x = a(t)x + b(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Bernoulliova rovnice x = a(t)x + b(t)xr
, r ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci F(t, x, x ) = 0 (implicitní rovnice) . . . . 13
2.9 Autonomní rovnice druhého řádu x = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10 Rovnice typu F(t, x(k)
, x(k+1)
, . . . , x(n)
) = 0, k ∈ {1, . . ., n − 1} . . . . . . . . . . . 15
2.11 Autonomní rovnice typu F x, x , x , . . . , x(n)
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.12 Rovnice homogenní v x, x , x , . . . , x(n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.13 Ekvidimensionální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.14 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 19
3.1 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Globální vlastnosti řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Odhady řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Lineární rovnice 31
4.1 Systémy lineárních ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Homogenní lineární systém s konstantní maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Eulerova a Riccatiho diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Autonomní systémy 49
5.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Konzervativní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
i
II Aplikace 71
6 Některé klasické elementární úlohy 73
6.1 Traktrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Ciolkovského rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3 Archimédova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4 Romeo a Julie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 „Psí křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.7 Udržitelný rybolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7 Makroekonomické modely 93
7.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3 Goodwinův model hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Chemická kinetika 105
8.1 Základní reakce enzymů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Přibližné řešení úlohy (8.9), (8.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9 Model populace produkující škodlivé odpady 113
10 Lotkovy-Volterrovy systémy 117
10.1 Obecné vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2 Koloběh dusíku v planktonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.3 Dissipativita konkurenčních systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4 Trofický řetězec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.5 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.6 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy systémy) . . . . . . . . . . . 131
ii
Následující text nemůže být považován za základní zdroj nahrazující standardní učební texty,
z něhož by bylo možné se naučit problematice obyčejných diferenciálních rovnic a jejich aplikací.
Představuje pouze podrobnou osnovu předmětu M5858 nebo poznámky z přednášky; sám o sobě
bez komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl s komentáři
srozumitelný, je mým přáním a bude mou snahou).
V současnosti se stále jedná o polotovar; určitě obsahuje i nějaké nedůslednosti, formulační
nedostatky, překlepy nebo dokonce chyby. Budu vděčný každému, kdo mě na ně upozorní.
Jako základní učební texty k předmětu M5858 lze používat:
1. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001 (druhé vydání), 212 stran.
Teorie obyčejných diferenciálních rovnic probraná důkladněji, než je v sylabu předmětu
M5858.
2. J. Kalas, Z. Pospíšil: Spojité modely v biologii. MU, Brno 2001, 265 stran.
Doplňky k teorii autonomních systémů, aplikace diferenciálních rovnic především v populační
dynamice a teorii šíření epidemií.
3. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1998, 96 stran.
Popis základních elementárních metod řešení explicitních obyčejných diferenciálních rovnic.
4. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, 29 stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Jako doplňující literaturu lze doporučit
• P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-London-Sydney,
1964.
Klasická monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche Differentialgleichungen.
Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
• J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic obsáhlejší než skripta 3
• N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer, London-Berlin-Heidelberg-New
York-Hong Kong-Milan-Paris-Tokio, 2003 (second printing).
Učebnice deterministických modelů v biologii; první tři kapitoly obsahují aplikace probírané
v rámci předmětu M5858.
• R. J. Barro, X. Sala-i-Martin: Economic growth. The MIT Press, Cambridge, MassachusettsLondon,
England, 1999.
Obsahuje aplikace obyčejných diferenciálních rovnic v ekonomii.
iii
Část I
Obyčejné diferenciální rovnice
1
Kapitola 1
Úvod
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme t. Je-li
x : R → R, budeme psát x = x(t) nebo x = x( · ). Obyčejnou derivaci funkce x v bodě t (v čase t)
značíme x (t) nebo jako podíl diferenciálů, tedy
x (t) =
dx(t)
dt
.
Zápis x =
dx
dt
označuje derivaci funkce x v obecném bodě. Můžeme tedy psát =
d
dt
a obecně
pro n-tou derivaci
x(n)
=
dn
x
dtn
nebo stručně (n)
=
dn
dtn
.
Diferenciální rovnice (podrobněji obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu) je rovnice, v níž
vystupuje neznámá funkce x = x(t), její první derivace x = x (t) a hodnota nezávisle proměnné
t, tedy
F(t, x, x ) = 0,
kde F je nějaká funkce tří proměnných. Řešením rovnice je funkce x, která ji splňuje; podrobněji
diferencovatelná funkce x definovaná na nějakém intervalu J, přičemž pro každé t ∈ J je
t, x(t), x (t) v definičním oboru funkce F a platí F t, x(t), x (t) = 0.
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se podaří
derivaci x z rovnice vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou vzhledem k de-
rivaci.
1.1.1 Definice
Buď G ⊆ R2
množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x = f(t, x) (1.1)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je interval, která
splňuje podmínky
t, x(t) ∈ G, x (t) = f t, x(t) pro každé t ∈ J.
Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální křivka.
3
1.1.2 Příklad
G = {(t, x) ∈ R2
: t > 0}, f(t, x) =
x
t
.
Funkce x(t) = kt, kde k ∈ R je řešením rovnice x =
x
t
na intervalu J = (0, ∞).
Diferenciální rovnice může mít více řešení.
1.1.3 Definice
Nechť G, f mají stejný význam jako v 1.1.1 a nechť (t0, x0) ∈ G je libovolný bod. Úloha najít
řešení rovnice (1.1), které splňuje podmínku
x(t0) = x0 (1.2)
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (1.2) se nazývá počáteční nebo Cauchyova
podmínka.
Příklad
Nechť t0 > 0, x0 ∈ R. Funkce x(t) =
x0
t0
t je řešením úlohy
x =
x
t
, x(t0) = x0
na intervalu J = (0, ∞).
1.1.4 Definice
Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.1), (1.2) na intervalu J a ˜x = ˜x(t) je řešením úlohy (1.1),
(1.2) na intervalu ˜J, t0 ∈ J ∩ ˜J. Jestliže ˜J ⊆ J a pro každé t ∈ ˜J je x(t) = ˜x(t), řekneme, že
řešení x = x(t) je prodloužením řešení ˜x = ˜x(t) a že řešení ˜x = ˜x(t) je zúžením řešení x = x(t).
Jestliže řešení x = x(t) úlohy (1.1), (1.2) není zúžením žádného jiného řešení této úlohy, řekneme,
že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy (1.1), (1.2).
V dalším budeme pod pojmem „řešení rozumět úplné řešení.
1.1.5 Příklad
x(t) ≡ 0, x(t) = t3
, x(t) =
0, t < a
(t − a)3
, t ≥ a
,
kde a ≥ 0 je libovolné číslo, jsou tři různá úplná řešení počáteční úlohy
x = 3
3
√
x2, x(0) = 0.
1.1.6 Definice
Buď g = g(t, C) funkce dvou proměnných. Řekneme, že g je obecným řešením rovnice (1.1), jestliže
ke každému (t0, x0) ∈ G existuje C0 ∈ R takové, že x = x(t) = g(t, C0) je řešením úlohy (1.1),
(1.2).
Řešení úlohy (1.1) (1.2) se nazývá partikulární řešení rovnice (1.1).
Proměnnou t funkce g považujeme za nezávisle proměnnou reálné funkce g( · , C) jedné reálné
proměnné, proměnnou C považujeme za parametr.
4
Příklad
x = Ct je obecným řešením rovnice z příkladu 1.1.2.
Rovnice z příkladu 1.1.2 nemá obecné řešení.
1.1.7 Geometrická interpretace
Rovnice (1.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x = f(t, x), tedy každému bodu
(t0, x0) ∈ G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, x0), tj. přímky
x − x0 = f(t0, x0)(t − t0). Tento vektor má souřadnice 1, f(t0, x0) . To znamená, že rovnice (1.1)
definuje na G vektorové pole1
. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (1.1).
Každá integrální křivka rovnice (1.1) je vektorovou čárou2
směrového pole. Směrové pole tedy
poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (1.1).
Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice (1.1).
Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
1.2 Vektorové a maticové funkce
Reálný n-rozměrný vektor x je prvkem prostoru Rn
. Složky (standardní souřadnice) vektoru x
budeme značit x1, x2, . . . , xn nebo (x)1, (x)2, . . . , (x)n.
Matice A o m řádcích a n sloupcích je prvkem prostoru Rmn
. Její složku na i-tém řádku a
v j-tém sloupci budeme značit aij nebo (A)ij. Vektor z prostoru Rn
budeme chápat jako matici
o n řádcích a jednom sloupci.
Je-li tedy x ∈ Rn
a A ∈ Rmn
, můžeme psát
x =





x1
x2
...
xn





, (x)i = xi, A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, (A)ij = aij, (Ax)i =
n
k=1
aikxk.
1.2.1 Normy vektorů a matic
Normu vektoru x =





x1
x2
...
xn





, podrobněji vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme
předpisem
||x|| = ||x||1 =
n
i=1
|xi|.
Normu matice A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou
normu definujeme předpisem
||A|| = ||A||1 =
m
i=1
n
j=1
|aij|.
1Vektorové pole na množině G je zobrazení ϕ množiny G do (konečně rozměrného reálného) vektorového prostoru,
tj. ϕ : G → Rn; v našem případě je n = 2.
2Vektorová čára vektorového pole ϕ : G → R2 je křivka v Rn taková, že vektor ϕ(t, x) je tečným vektorem k
této křivce v bodě (t, x).
5
Na množině vektorů zavádíme metriku (x, y) = ||x − y||, na množině matic zavádíme metriku
(A, B) = ||A − B||. Jedná se o součtovou neboli taxíkářskou metrikou, sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iii.
• Platí: ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou
normou.
Důkaz: Pro libovolné i, k ∈ {1, 2, . . . , n} je |aik| ≤
n
j=1
|aij|. Odtud plyne
||Ax|| =
m
i=1
|(Ax)1| =
m
i=1
n
k=1
aikxk ≤
m
i=1
n
k=1
|aik| |xk| =
=
n
k=1
|xk|
m
i=1
|aik| ≤
n
k=1

|xk|
m
i=1
n
j=1
|aij|

 =
n
k=1
|xk|


m
i=1
n
j=1
|aij|

 .
1.2.2 Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí
Vektorová funkce, podrobnněji n-vektorová funkce, x = x(t) je zobrazení x : R → Rn
, maticová
funkce, podrobněji čtvercová n-rozměrná maticová funkce, A = A(t) je zobrazení A : R → Rn2
,
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





.
Na množině R uvažujeme přirozenou metriku, na množině Rn
, resp. Rn2
, uvažujeme příslušnou
součtovou metriku. Spojitost vektorové, resp. maticové, funkce chápeme jako spojitost příslušného
zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce x (resp. maticová funkce A) je spojitá
v bodě t0 svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje kladné číslo δ
tak, že pro všechna t z definičního oboru funkce x z nerovnosti |t − t0| < δ plyne nerovnost
||x(t) − x(t0)|| < ε (resp. ||A(t) − A(t0)|| < ε). Vektorová (resp. maticová) funkce je spojitá právě
tehdy, když všechny její složky jsou spojité.
Limitu v bodě t0, derivaci v obecném bodě t a integrál v mezích od t do t0 vektorové, resp.
maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
lim
t→t0
x(t)
i
= lim
t→t0
xi(t),
dx
dt
(t)
i
= x (t) 1
= xi(t) ,


t
t0
x(s)ds


i
=
t
t0
xi(s)ds,
lim
t→t0
A(t)
ij
= lim
t→t0
aij(t),
dA
dt
(t)
ij
= A (t) ij
= aij(t),


t
t0
A(s)ds


ij
=
t
t0
aij(s)ds.
1.3 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu
1.3.1 Definice
Buď G ⊆ Rn+1
množina s neprázdným vnitřkem, f : G → Rn
. Rovnice
x = f(t, x) (1.3)
se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná
diferenciální rovnice prvního řádu.
6
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
x1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
xn = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Počáteční podmínku k rovnici (1.3) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n = x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0) . (1.4)
Pojmy řešení, obecné řešení, partikulární řešení, úplné řešení rovnice (1.3) jsou analogiemi těchto
pojmů z jednorozměrného případu. Obecné řešení závisí na n parametrech.
1.3.2 Definice
Buď G ⊆ Rn+1
množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x(n)
= f t, x, x , x , . . . , x(n−1)
(1.5)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí n-krát diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je interval,
která splňuje podmínky
t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n−1)
(t) ∈ G, x(n)
(t) = f t, x(t), x (t), x (t), . . . , x(n−1)
(t)
pro každé t ∈ J.
Počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (1.5) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0, x (t0) = x0,1, x (t0) = x0,2, . . . , x(n−1)
(t0) = x0,n−1, (1.6)
kde (t0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n−1) ∈ G.
Úplné řešení, obecné řešení, partikulární řešení rovnice (1.5) definujeme analogicky jako u rovnic
prvního řádu. Obecné řešení závisí na n parametrech.
1.3.3 Poznámka
Řešení počáteční úlohy (1.5), (1.6) je ekvivalentní s řešením počátečního problému pro systém n
diferenciálních rovnic prvního řádu:
x1 = x2
x2 = x3
...
xn−1 = xn
xn = f(t, x1, x2, . . . , xn)
(1.7)
x1(t0) = x0, x2(t0) = x2,0, . . . , xn(t0) = x0,n−1, (1.8)
v tomto smyslu: Je-li x = x(t) řešením úlohy (1.5), (1.6), pak n-tice funkcí x1 = x, x2 = x ,
x3 = x , . . . , xn = x(n−1)
je řešením úlohy (1.7), (1.8) a je-li n-tice funkcí x1 = x1(t), x2 = x2(t),
. . . , xn = xn(t) řešením úlohy (1.7), (1.8), pak je funkce x = x(t) = x1(t) řešením úlohy (1.5),
(1.6).
7
8
Kapitola 2
Elementární metody řešení
2.1 Exaktní rovnice
x =
f(t, x)
g(t, x)
, přičemž
∂f(t, x)
∂x
= −
∂g(t, x)
∂t
Tuto rovnici lze přepsat na tvar
dx
dt
=
f(t, x)
g(t, x)
, neboli
0 = f(t, x)dt − g(t, x)dx .
Za uvedených podmínek je f(t, x)dt − g(t, x)dx totálním diferenciálem nějaké funkce F dvou
proměnných (sr. např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno
1999, kap. 4), přičemž platí dF(t, x) = 0. Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně zadáno
rovností F(t, x) = C, kde C je reálná konstanta.
2.2 Rovnice typu x = f(t)
Jedná se v podstatě o rovnost, jíž je definována primitivní funkce k dané funkci f. Obecné řešení
této rovnice tedy je
x(t) = f(t)dt
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.2) je
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ)dτ;
samozřejmě za předpokladu, že příslušná primitivní funkce nebo určitý integrál existují.
Příklady na užití rovnice tohoto typu jsou 6.1 a 6.2.
2.3 Rovnice se separovanými proměnnými x = f(t)g(x)
Tuto rovnici můžeme pomocí diferenciálů zapsat ve tvaru
dx
dt
= f(t)g(x).
Za předpokladu g(x) = 0 můžeme rovnici formálně přepsat na tvar
dx
g(x)
= f(t)dt
9
a po integraci obou stran dostaneme
dx
g(x)
= f(t)dt. (2.1)
Touto rovností je implicitně zadáno nějaké řešení dané rovnice.
Rovností g(x) = 0 je implicitně zadáno singulární (konstantní) řešení. Poznamenejme, že singulární
řešení může, ale nemusí, být zahrnuto v řešení (2.1) pro nějakou volbu integrační konstanty.
Pokud je singulární řešení zahrnuto ve formuli (2.1), pak je rovností (2.1) implicitně zadáno obecné
řešení dané rovnice.
Rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
f(τ)dτ
je implicitně zadáno partikulární řešení dané rovnice, které splňuje počáteční podmínku (1.2)
takovou, že g(x0) = 0. Pokud g(x0) = 0, pak řešením dané rovnice s počáteční podmínkou (1.2)
je konstantní funkce x(t) ≡ x0.
Povšimněme si, že rovnici typu 2.2 bez hledané funkce na pravé straně lze považovat za zvláštní
případ rovnice se separovanými proměnnými pro g(x) ≡ 1. Jiným speciálním případem rovnice se
separovanými proměnnými je rovnice autonomní
x = g(x)
pro f(t) ≡ 1.
Příklad na užití rovnice se separovanými proměnnými je uveden v 6.5.
2.4 Homogenní rovnice x = f
x
t
Zavedeme funkci u = u(t) =
x(t)
t
. Pak x(t) = tu(t), x = u + tu . Dosazením do původní rovnice
dostaneme
u =
f(u) − u
t
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
Příkladem na užití homogenní rovnice je Archimédova úloha 6.3.
2.5 Rovnice typu x = f
at + bx + c
αt + βx + γ
1. c = γ = 0. Pak f
at + bx
αt + βx
= f
a + bx
t
α + β x
t
a daná rovnice je homogenní.
2. c2
+ γ2
= 0,
α
a
=
β
b
= k.
Zavedeme funkci u = u(t) = at + bx. Pak u = a + bx a tedy x =
u − a
b
. Dosazením do
původní rovnice dostaneme
u = a + bf
u + c
ku + γ
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
10
3. c2
+ γ2
= 0, aβ = bα.
Nechť m a n jsou řešením soustavy lineárních algebraických rovnic
am + bn = −c
αm + βn = −γ .
Zavedeme funkce u = u(t) = t − m
v = v(t) = x − n.
Pak dt = du, dx = dv,
at + bx + c = a(u + m) + b(v + n) + c = au + bv + (am + bn) + c = au + bv,
αt + βx + γ = α(u + m) + β(v + n) + γ = αu + βv + (αm + bn) + γ = αu + βv
Daná rovnice přejde na tvar
dv
du
= f
au + bv
αu + βv
,
což je rovnice typu 1. pro neznámou funkci v = v(u).
2.6 Lineární rovnice x = a(t)x + b(t)
1. b(t) ≡ 0 (homogenní rovnice)
Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení počátečního problému (s podmínkou
(1.2)) je:
x
x0
dξ
ξ
=
t
t0
a(τ)dτ
ln x − ln x0 =
t
t0
a(τ)dτ
x = x0 exp
t
t0
a(τ)dτ
Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat
x = C exp
t
t0
a(τ)dτ .
2. b(t) ≡ 0 (nehomogenní rovnice)
Řešení hledáme ve tvaru
x(t) = C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ
(metoda variace konstanty). Pak x = (C (t) + a(t)C(t)) exp
t
t0
a(τ)dτ. Dosazením do dané
11
rovnice dostaneme
C (t) + a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ = a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ + b(t)
C (t) = b(t) exp
t0
t
a(τ)dτ
C(t) − C(t0) =
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ
Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je
x(t) =

const +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ .
Partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.2) je
x(t) =

x0 +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ .
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, pak
x(t) = x0 +
B
A
eA(t−t0)
−
B
A
.
Jiný postup při řešení nehomogenní rovnice:
x − a(t)x = b(t) / e− a(t)dt
x e− a(t)dt
− a(t)xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
d
dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
dt
x = e a(t)dt
b(t)e− a(t)dt
dt
Příklad na užití lineární rovnice je 6.6.
2.7 Bernoulliova rovnice x = a(t)x + b(t)xr
, r ∈ R
Zavedeme funkci u = u(t) = x(t)1−r
. Pak x = u
1
1−r , x =
1
1 − r
u
1
1−r −1
u . Dosadíme do dané
rovnice:
1
1 − r
u
r
1−r u = a(t)u
1
1−r + b(t)u
r
1−r / (1 − r)u
r
r−1
u = (1 − r)a(t)u + (1 − r)b(t) .
To je lineární rovnice pro neznámou funkci u.
12
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, lze použít substituci
x = y −
B
A
− 1
r−1
.
pak
x = −
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1 −1
y
a tedy
−
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1 −1
y = A + B y −
B
A
−1
y −
B
A
− 1
r−1
−
1
r − 1
y = A + B
A
Ay − B
Ay − B
A
1
1 − r
y =
A2
y − AB + AB
Ay − B
Ay − B
A
y = (1 − r)Ay,
což je lineární homogenní rovnice.
Příklad na užití Bernoulliovy rovnice je 6.6.
2.8 Rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci F(t, x, x ) = 0
(implicitní rovnice)
Zavedeme funkci p = p(t) = x (t).
1. Rovnice autonomní F(x, x ) = 0
Rovnicí F(x, p) = 0 může být implicitně zadána funkce p = p(x). Rovnici F(x, p(x)) = 0
derivujeme podle proměnné x:
∂F
∂x
(x, p) +
∂F
∂p
(x, p)
dp
dx
= 0
dp
dx
= −
∂F
∂x
(x, p)
∂F
∂p
(x, p)
,
což je rovnice pro neznámou funkci p nezávisle proměnné x rozřešená vzhledem k derivaci.
Je-li p = p(x) řešením poslední rovnice, pak rovnice se separovanými proměnnými x = p(x)
je řešením původní rovnice; její obecné řešení je tedy implicitně zadáno rovnicí
dx
p(x)
= t + const .
2. Rovnice nezávisející na neznámé funkci F(t, x ) = 0.
Rovnici F(t, p) = 0 derivujeme podle proměnné t:
∂F
∂t
(t, p) +
∂F
∂p
(t, p)
dp
dt
= 0
dp
dt
= −
∂F
∂t
(t, p)
∂F
∂p
(t, p)
,
což je rovnice pro neznámou funkci p = p(t) rozřešená vzhledem k derivaci. Je-li p = p(t)
řešením poslední rovnice, je funkce x = x(t) = p(t)dt obecným řešením dané rovnice.
13
3. Clairautova rovnice x = tx + g(x ).
Rovnici x = tp + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = p + t
dp
dt
+ g (p)
dp
dt
0 = t + g (p)
dp
dt
Musí tedy být
dp
dt
= 0 nebo t = −g (p).
Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení
x(t) = ct + g(c),
kde c ∈ R je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření singulárního
řešení
t = −g (p)
x = −pg (p) + g(p) ,
kde p je parametr.
4. Lagrangeova rovnice x = tf(x ) + g(x ).
Rovnici x = tf(p) + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = f(p) + tf (p)
dp
dt
+ g (p)
dp
dt
p − f(p) = tf (p) + g (p)
dp
dt
Má-li rovnice p − f(p) = 0 řešení p ≡ c, pak x(t) = ct + c1 je singulárním řešením dané
rovnice. Konstantu c1 určíme dosazením do dané rovnice:
ct + c1 = tf(c) + g(c)
c1 = t f(c) − c + g(c)
a poněvadž f(c) = c, je c1 = g(c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je
x(t) = ct + g(c) ,
kde c je řešením rovnice c = f(c) (je pevným bodem funkce f).
Pro p = f(p) dostaneme
dt
dp
=
tf (p) + g (p)
p − f(p)
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její řešení
t = t(p) = Φ(p), pak
t = Φ(p)
x = f(p)Φ(p) + g(p)
je parametrickým vyjádřením obecného řešení Lagrangeovy rovnice.
2.9 Autonomní rovnice druhého řádu x = f(x)
Rovnici vynásobíme 2x :
2x x = 2x f(x)
d
dt
x
2
= 2
dx
dt
f(x)
14
Položíme-li p = x , máme
d
dt
p2
= 2
dx
dt
f(x)
dp2
dx
dx
dt
= 2f(x)
dx
dt
dp2
dx
= 2f(x)
p2
= 2 f(x)dx .
Položíme dále F(x) = 2 f(x)dx a dostaneme
p = ± F(x)
dx
dt
= ± F(x) ,
což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými.
2.10 Rovnice typu
F(t, x(k)
, x(k+1)
, . . ., x(n)
) = 0, k ∈ {1, . . ., n − 1}
Položíme y = y(t) = x(k)
(t) a dostaneme rovnici
F t, y, y , y , . . . , y(n−k)
= 0 ,
což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice.
Řešením rovnice tohoto typu je například „psí křivka uvedená v 6.5.
2.11 Autonomní rovnice typu F x, x , x , . . ., x(n)
= 0
Položíme p = p(t) = x (t). Pak
x =
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
x =
d
dt
p
dp
dx
=
d
dx
p
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
2
+ p
d2
p
dx2
p .
Postupujeme-li tak dále, vidíme, že
x(k)
= fk p,
dp
dx
, . . . ,
dk−1
p
dxk−1
pro každé k ∈ N. (fk je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy dosta-
neme
F x, p, p
dp
dx
, f3 p,
dp
dx
,
d2
p
dx2
, . . . , fn p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1
p
dxn−1
= 0 ,
neboli
G x, p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1
p
dxn−1
= 0 ,
což je rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice.
15
2.12 Rovnice homogenní v x, x , x , . . . , x(n)
Nechť F je funkce n + 1 proměnných splňující podmínku
F(z0, cz1, cz2, . . . , czn) = cF(z0, z1, z2, . . . , zn) (*)
pro každé c ∈ R a každé (z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F.
Řešení rovnice
F t, x, x , x . . . , x(n)
= 0
lze hledat ve tvaru x(t) = e y(t)dt
, kde y = y(t) je nová neznámá funkce. Je totiž
x = ye y(t)dt
x = y e y(t)dt
+ y2
e y(t)dt
= (y + y2
)e y(t)dt
x = (y + 2yy )e y(t)dt
+ (y + y2
)y e y(t)dt
= (y + 3yy + y3
)e y(t)dt
...
Dosadíme-li z těchto rovnic do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce (*) faktor e y(t)dt
a
dostaneme rovnici řádu o 1 nižšího, než byla daná rovnice.
2.13 Ekvidimensionální rovnice
Řekneme, že rovnice
F t, x, x , . . . , x(n)
= 0
je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t → at
pro každé a ∈ R \ {0} nezmění její tvar. Transformace t = eτ
převede danou rovnici na rovnici
autonomní (typ 2.11).
2.14 Cvičení
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
1) 2t(2x − 3)dt + (t2
+ 1)dx = 0 2)
dx
dt
= et−x
3) tex
dx +
t2
+ 1
x
dt = 0 4)
√
1 + t2 dx +
√
x2 − 1 dt = 0
5) t2
dx + (x2
− tx)dt = 0 6)
dt
dx
=
t + x
x − t
7) t sin
x
t
− x cos
x
t
dt + t cos
x
t
dx = 0 8) 2
dx
dt
− x = et/2
9) tdx + xdt = sin tdt 10) (t − 1)3
x + 4(t − 1)2
x = t + 1
11) e2x
dt + 2(te2x
− x)dx = 0 12) (x2
+ 1)dt + (2tx + 1)dx = 0
13) (t + x)dt + (t + x2
)dx = 0 14) tdx − xdt + t3
dt = 0
15) (t2
+ t − x)dt + tdx = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(π/2) = 0
17) x + 2x = t; x(0) = 2 18) (t + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(1) = 1
19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2
+ bx2
)dt + ctx dx = 0 byla exaktní a vyřešte ji.
20) Řešte počáteční úlohu pro implicitní rovnici druhého řádu
x x = t (x )
2
, x(1) = 1, x (1) = −1.
Výsledky:
16
1)x =
3
2
+
C
(t2 + 1)2
2)ex
= et
+ C 3)ex
(x − 1) +
t2
2
+ ln |t| = C 4)(x +
√
x2 − 1 )(t +
√
t2 + 1 ) = C
5)x =
t
ln |t| + C
6)
1
2
ln(t2
+x2
)+arctg
x
t
= C 7)x = t arcsin
C
t
8)x =
t + C
2
et/2
9)x =
C − cos t
t
10)x =
t3
− 3t + C
3(t − 1)4
11)t =
x2
+ C
2
e−2x
12)t =
C − x
x2 + 1
13)
t2
2
+ tx +
x3
3
= C 14)x = Ct −
t3
2
15)x = Ct − t2
− t ln |t| 16)x = e1−sin t
− 1 17)x =
t
2
+
9
4
e−2t
−
1
4
18)x =
√
3t2 + 6 − 2t
19)c = 2b;
at3
3
+ btx2
= C 20)x = exp 3
√
2 arctg
1 − t
3
√
2
17
18
Kapitola 3
Obecné vlastnosti obyčejných
diferenciálních rovnic
3.1 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR
V tomto oddílu se budeme zabývat úlohou (1.3), (1.4).
3.1.1 Lemma
Buď funkce f spojitá na G ⊆ Rn+1
. Funkce x = x(t) je řešením úlohy (1.3), (1.4) na intervalu J
právě tehdy, když pro každé t ∈ J je t, x(t) ∈ G a
x(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (3.1)
Důkaz:
„⇒ Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.3), (1.4) na J. Pak
d
ds
x(s) = f s, x(s)
na J. Integrací této rovnosti podle s v mezích [t0, t] dostaneme:
[x(s)]t
s=t0
= x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds
a vzhledem k (1.4) funkce x = x(t) splňuje (3.1).
„⇐ Nechť funkce x = x(t) splňuje (3.1). Pak x(t0) = x0 +
t0
t0
f s, x(s) ds = x0, tedy je splněna
podmínka (1.4). Derivováním (3.1) podle t dostaneme (1.3).
Nechť C1
(J) je množina (vektorových) funkcí x = x(t) diferencovatelných na uzavřeném intervalu
J takových, že x(t0) = x0. Na této množině zavedeme metriku
(x, y) = max{||x(t) − y(t)|| : t ∈ J}
19
(metrika stejnoměrné konvergence). Prostor C1
(J), je úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické
prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iv a III.1.3.6.i). Dále definujme zobrazení F : C1
(J) →
C1
(J) předpisem:
F(x)(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (3.2)
Řešení úlohy (1.3), (1.4), tedy funkce, která splňuje (3.1), je zřejmě pevným bodem zobrazení F.
Podaří-li se tedy ukázat, že F je kontrakce úplného metrického prostoru C1
(J), , z Banachovy
věty vyplyne, že existuje jediný pevný bod tohoto zobrazení, tedy že existuje jediné diferencovatelné
řešení úlohy (1.3), (1.4) (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU, Brno 1996, IV.2.
a V.1.).
3.1.2 Věta (Picard [1856–1941]–Lindelöf [1870–1946])
Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈ Rn
. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b},
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn
je spojitá a vzhledem k x Lipschitzovská (tj. existuje L ∈ R tak,
že platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ L ||x − y|| pro všechna t ∈ ˜J, x, y ∈ D). Pak existuje právě jedno
řešení počátečního problému (1.3), (1.4) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Toto řešení je (stejnoměrnou) limitou posloupnosti funkcí {xn(t)}∞
n=0; tato posloupnost je
definována rekurentně vztahem
xk+1(t) = x0 +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Důkaz: Je-li funkce x diferencovatelná, pak je spojitá (sr. V. Novák: Diferenciální počet v R. MU,
Brno 1997, kap. V, věta 1.2). Proto je funkce y(t) = F(x)(t) diferencovatelná a pro její derivaci
platí y (t) = f t, x(t) (sr. V. Novák: Integrální počet v R. MU, Brno 2001, 2.4, věta 4.2). To
znamená, že zobrazení F definované vztahem (3.2) zobrazuje množinu C1
(J) do sebe. Buď K > L.
Na C1
(J) zavedeme metriku ∗
vztahem
∗
(x, y) = max e−K(t−t0)
||x(t) − y(t)|| : t ∈ J .
Tato metrika je na C1
(J) ekvivalentní s metrikou stejnoměrné konvergence , neboť
e−Kδ
(x, y) ≤ ∗
(x, y) ≤ (x, y) .
Prostor C1
(J), ∗
je tedy úplný.
Položme P = {x ∈ C1
(J) : ||x(t) − x0|| ≤ b pro každé t ∈ J}. Poněvadž P je uzavřená
podmnožina množiny C1
(J), je prostor (P, ∗
) úplný (sr. sc Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory.
MU, Brno 1996, III.1.3.3). Zobrazení F zobrazuje množinu P do sebe, neboť pro každou funkci
x ∈ P platí
F(x)(t) − x0
=
t
t0
f(s, x(s))ds ≤
t
t0
f s, x(s) ds ≤ (t − t0)m ≤ δm ≤ b .
20
Ukážeme, že F je kontrakcí prostoru (P, ∗
): Pro každé t ∈ J platí
∗
F(x), F(y) ≤ e−K(t−t0)
||F(x)(t) − F(y)(t)|| =
= e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) ds −
t
t0
f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
L ||x(s) − y(s)|| ds =
= L
t
t0
e−K(t−s)
e−K(s−t0)
||x(s) − y(s)|| ds ≤
≤ L
t
t0
e−K(t−s) ∗
(x, y)ds =
= L ∗
(x, y)
1
K
e−K(t−s)
t
s=t0
=
=
L
K
∗
(x, y) 1 − e−K(t−t0)
≤
≤
L
K
∗
(x, y) .
Poněvadž L < K, je
L
K
< 1, což znamená, že F je kontrakce.
3.1.3 Poznámky
1. Posloupnost funkcí zavedená v 3.1.2 se nazývá Picardova posloupnost postupných aproximací.
2. Analogické tvrzení platí, nahradíme-li v 3.1.2 interval ˜J = [t0, t0 + a] intervalem [t0 − a, t0]
nebo intervalem [t0 − a, t0 + a].
3. Má-li funkce f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek
podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn na množině ˜J × D (zavedené v 3.1.2), pak jsou
předpoklady Picardovy-Lindelöfovy věty splněny.
Důkaz: Množina ˜J × D jakožto uzavřená a ohraničená podmnožina prostoru Rn+1
je kompaktní
(sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU, Brno 1996, III.3.3.16). Z ohraničenosti
parciálních derivací funkce f plyne existence čísla
M = max
∂fi(t, x)
∂xj
: i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., n, (t, x) ∈ ˜J × D .
Podle věty o střední hodnotě pro funkce více proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 3.4) pro všechna t ∈ ˜J a x =
21
(x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ D existují čísla ξk ležící mezi xk a yk, k = 1, 2, . . ., n
taková, že
||f(t, x) − f(t, y)|| =
n
i=1
|fi(t, x) − fi(t, y)| =
=
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn)(xk − yk) ≤
≤
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn) |xk − yk| ≤
≤
n
i=1
n
k=1
M|xk − yk| =
n
i=1
M ||x − y|| = nM ||x − y|| ,
takže funkce f je vzhledem k x Lipschitzovská s konstantou nM.
3.1.4 Důsledky
1. Má-li (vektorová) funkce f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace
všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém okolí bodu (t0, x0), pak počáteční
problém (1.3), (1.4) má v okolí t0 jediné řešení.
2. Má-li (skalární) funkce f(t, x1, x2, . . . , xn) v jistém okolí bodu (t0, x0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n)
ohraničené parciální derivace podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn, pak počáteční problém
(1.5), (1.6) má v okolí t0 jediné řešení.
3.1.5 Věta (Peano [1890])
Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0
∈ Rn
. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b},
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn
je spojitá. Pak existuje alespoň jedno řešení počátečního problému
(1.3), (1.4) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 67–70.
3.2 Globální vlastnosti řešení systému ODR
3.2.1 Věta (o existenci úplného řešení)
Nechť funkce f : G → Rn
je spojitá na otevřené množině G ⊆ Rn+1
. Je-li x = x(t) řešení rovnice
(1.3), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje úplné řešení y = y(t), které je prodloužením
řešení x.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 73–76. Důkaz
využívá věty 3.1.5.
22
3.2.2 Definice
Buď G ⊆ Rn+1
. Řekneme, že funkce f : G → Rn
je lokálně lipschitzovská v G vzhledem k x,
jestliže ke každému (τ, a) ∈ G existuje okolí Oτ,a ⊆ G a číslo Lτ,a ∈ R tak, že pro všechna
(t, x), (t, y) ∈ Oτ,a platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ Lτ,a ||x − y||.
3.2.3 Věta (o globální jednoznačnosti)
Nechť funkce f : G → Rn
je spojitá a lokálně lipschitzovská v G vzhledem k x a nechť funkce
x = x(t), y = y(t) jsou dvě řešení rovnice (1.3). Jestliže existuje t0 takové, že x(t0) = y(t0), pak
x(t) = y(t) pro všechna t, v nichž jsou řešení x, y definována.
Důkaz: Připusťme, že existuje b > t0 takové, že x(b) = y(b). Označme c = inf{t : x(t) = y(t)}.
Funkce x, y jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné).
Ukážeme, že x(c) = y(c):
Připusťme, že x(c) = y(c). Položme ε = ||x(c) − y(c)||. Pak ε > 0
K
ε
4
> 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé t ∈ (c − δ, c) je ||y(t) − y(c)|| <
ε
4
a ||x(t) − x(c)|| <
ε
4
.
Poněvadž pro t ∈ (c − δ, c) je x(t) = y(t), platí pro t ∈ (c − δ, c) nerovnost
ε = ||x(c) − y(c)|| = ||x(c) − x(t) + y(t) − y(c)|| ≤ ||x(c) − x(t)|| + ||y(t) − y(c)|| ≤
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
což je spor, neboť ε > 0, a tedy x(c) = y(c).
Podle 3.1.2 nyní existuje α takové, že pro t ∈ [c, c + α] je x(t) = y(t), což je spor.
Analogicky vyloučíme možnost existence b < t0 takového, že x(b) = y(b).
3.2.4 Definice
Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.3) definované na intervalu (S, T ), kde −∞ ≤ S < T ≤ ∞.
Řekneme, že ξ ∈ Rn
je
ω-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk < T pro všechna k ∈ N,
lim
k→∞
tk = T a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
α-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk > S pro všechna k ∈ N,
lim
k→∞
tk = S a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
limitní bod řešení x, jestliže je ω-limitním bodem nebo α-limitním bodem.
Množina všech ω-limitních bodů řešení x se nazývá ω-limitní množina řešení x, množina všech
α-limitních bodů řešení x se nazývá α-limitní množina řešení x, množina všech limitních bodů
řešení x se nazývá limitní množina řešení x.
Příklady
1. x = eat
je úplné řešení rovnice x = ax definované na intervalu (−∞, ∞). Je-li a > 0, pak 0
je α-limitním bodem tohoto řešení a ω-limitní body toto řešení nemá. Je-li a < 0, pak 0 je
ω-limitním bodem tohoto řešení a α-limitní body toto řešení nemá. Je-li a = 0, pak 1 je αi
ω-limitním bodem tohoto řešení.
2. x = sin
1
t
je úplné řešení rovnice x = −
cos 1
t
t2
definované na intervalu (−∞, 0). Interval
[−1, 1] je ω-limitní množinou tohoto řešení.
3.
x
y
=
cos tg t
sin tg t
je úplné řešení soustavy rovnic
x
y
=



−
y
cos2 t
x
cos2 t


 definované na intervalu
−
π
2
,
π
2
. Limitní množina tohoto řešení je {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
= 1}.
23
3.2.5 Věta
Nechť funkce f : G → Rn
je spojitá na otevřené množině G ⊆ Rn+1
a x = x(t) je úplné řešení
rovnice (1.3) definované na intervalu (S, T ). Pak platí:
T = ∞ nebo lim
t→T −
||x(t)|| = ∞ nebo každý ω-limitní bod řešení x leží na hranici G.
S = −∞ nebo lim
t→S+
||x(t)|| = ∞ nebo každý α-limitní bod řešení x leží na hranici G.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.3) definované na intervalu (S, T ), T < ∞ a buď ξ jeho
ω-limitní bod. Kdyby (T, ξ) ∈ G, pak by existovalo okolí OT,ξ bodu (T, ξ) takové, že OT,ξ ⊆ G,
neboť G je otevřená. Podle 3.1.5 by existovalo řešení y = y(t) rovnice (1.3) s počáteční podmínkou
y(T ) = ξ definované na [T, T + δ], kde δ je vhodné (malé) číslo. Funkce
z = z(t) =
x(t), S < t < T
y(t), T + δ
by byla řešením rovnice (1.3), které by bylo prodloužením řešení x, což by byl spor s úplností
řešení x.
Pro α-limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím „levostranné varianty věty 3.1.5.
3.2.6 Důsledek
Nechť J = [t0, ∞), D = {x ∈ Rn
: ||x|| < a}, kde t0 ∈ R a 0 < a ≤ ∞ a nechť vektorová funkce
f : J×D → Rn
je spojitá. Pokud existuje spojitá funkce g : J → R taková, že úplné řešení x = x(t)
rovnice (1.3) definované na (S, T ) splňuje pro každé t ∈ [t0, T ) podmínku ||x(t)|| ≤ g(t) < a, pak
T = ∞.
3.2.7 Důsledek
Nechť J = [t0, ∞) a funkce f : J × Rn
→ Rn
je spojitá. Jestliže existuje m ∈ R takové, že pro
každé (t, x) ∈ J ×Rn
→ Rn
platí ||f(t, x)|| ≤ m, pak každé úplné řešení rovnice (1.3) je definováno
pro všechna t ≥ t0.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.3). Podle 3.1.1 je
x(t) = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds .
Pro každé t, pro něž je x(t) definováno, platí
||x(t)|| = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds ≤ ||x(t0)|| +
t
t0
||f(s, x(s))|| ds ≤ ||x(t0)|| + m(t − t0) .
Tvrzení tedy plyne z 3.2.6, položíme-li g(t) = ||x(t0)|| + m(t − t0).
Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice (1.3) prodloužit do nekonečna,
aniž bychom toto řešení znali.
3.2.8 Věta
Buď Ω ⊆ Rn+1
otevřená množina a nechť pro každé k = 1, 2, . . . je vektorová funkce fk : Ω → Rn
spojitá a (tk, ξk) ∈ Ω. Označme xk = xk(t) úplné řešení počátečního problému
x = fk(t, x), x(tk) = ξk.
24
Jestliže posloupnost funkcí {fk}
∞
k=1 konverguje k funkci f∞ : Ω → Rn
stejnoměrně na každé
kompaktní podmnožině K ⊆ Ω, posloupnost bodů {(tk, ξk)}∞
k=1 konverguje k bodu (t∞, ξ∞) a
počáteční úloha
x = f∞(t, x), x(t∞) = ξ∞
má jediné úplné řešení x∞ = x∞(t) definované na intervalu J, pak posloupnost funkcí {xk}
∞
k=1
konverguje k funkci x∞ stejnoměrně na každém intervalu [a, b] ⊆ J.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 80–82.
3.2.9 Příklad (Matematické kyvadlo)
Matematické kyvadlo je hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na nehmotném
vlákně délky r na který působí pouze gravitační síla. Lze ho realizovat
jako kuličku zavěšenou na niti, přičemž průměr kuličky je zanedbatelný
vzhledem k délce niti a hmotnost niti je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti
kuličky.
Zavedeme souřadný systém podle obrázku tak, že vodorovná osa x
směřuje zleva doprava a svislá osa y směřuje shora dolů a kyvadlo je
zavěšeno v počátku souřadnic. Označme ϕ = ϕ(t) výchylku kyvadla od
rovnovážné polohy v čase t. Poloha hmotného bodu v čase t je dána sou-
řadnicemi
x = x(t) = r sin ϕ(t), y = y(t) = r cos ϕ(t).
r
h
y
x
ϕ
Vektor rychlosti hmotného bodu je derivací jeho polohy podle času, velikost v = v(t) rychlosti
v čase t je euklidovskou délkou tohoto vektoru, tj.
v(t)
2
=
dx(t)
dt
2
+
dy(t)
dt
2
= rϕ (t) cos ϕ(t)
2
+ − rϕ (t) sin ϕ(t)
2
= rϕ (t)
2
.
Výška h = h(t) hmotného bodu nad rovnovážnou polohou y = r v čase t je rovna
h(t) = r − y(t) = r 1 − cos ϕ(t) .
Podle zákona zachování energie je součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu konstantní,
tj.
1
2
m v(t)
2
+ mgh(t) = const;
přitom g
.
= 6,674 m3
kg−1
s−2
je gravitační konstanta. Do předchozí rovnosti dosadíme vypočítané
v a h a dělíme ji konstantou r. Dostaneme
1
2
r ϕ (t)
2
+ g 1 − cos ϕ(t) = const.
Tuto rovnost derivujeme podle času
rϕ (t)ϕ (t) + gϕ (t) sin ϕ(t) = 0,
a upravíme
ϕ (t) rϕ (t) + g sin ϕ(t) = 0.
Dostáváme tedy dvě diferenciální rovnice pro časově proměnnou výchylku kyvadla ϕ = ϕ(t):
ϕ = 0, ϕ = −
g
r
sin ϕ(t). (3.3)
25
0 2 4 6 8 10 12
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
t
ϕ
0 2 4 6 8 10 12
−1
0
1
2
t
ϕ k=1 k=2 k=3 k = ∞
Obrázek 3.1: Řešení úloh (3.7) pro k ∈ {1, 2, 3} a řešení úlohy (3.5), tj. úlohy (3.7) pro k = ∞.
Počáteční podmínky jsou ϕ0 = 1
20 π (nahoře) a ϕ0 = 1
2 π (dole).
Nechť na začátku procesu je výchylka hmotného bodu rovna úhlu ϕ0 = 0 a jeho rychlost, tj. změna
výchylky, je nulová (kuličku vychýlíme a pustíme). Dostáváme tak počáteční podmínky
ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0. (3.4)
Řešení první z rovnic (3.3) s počáteční podmínkou (3.4) je konstantní funkce ϕ(t) ≡ ϕ0. Toto
řešení není fyzikálně realistické, neboť hmotný bod pod vlivem gravitační nemůže zůstat vychýlený
z rovnovážné polohy a nepohybovat se.
Dosavadními úvahami dostáváme model pohybu matematického kyvadla jako počáteční úlohu
pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
ϕ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ϕ (0) = 0,
kterou můžeme podle 1.3.3 přepsat jako počáteční úlohu pro systém dvou rovnic prvního řádu
ϕ = ψ,
ψ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(3.5)
Tuto počáteční úlohu neumíme vyřešit explicitně. Funkci sinus však můžeme vyjádřit jako stejnoměrně
konvergentní Maclaurinovu řadu
sin ϕ =
∞
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
.
Označme nyní x =
ϕ
ψ
. Pro k = 1, 2, . . . zavedeme vektorové funkce fk a body (tk, ξk) následu-
26
jícími formulemi
fk(t, x) = fk(ϕ, ψ) =




ψ
−
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!



 , tk = 0, ξk =
ϕ0
0
.
Funkce fk a body (tk, ξk) splňují předpoklady věty 3.2.8 s Ω = R3
. Úloha
x = f∞(t, x), x(0) = x(t∞) = ξ∞ =
ϕ0
0
(3.6)
je totožná s úlohou (3.5). Poněvadž všechny parciální derivace
∂ f∞ 1
∂ϕ
=
∂ψ
∂ϕ
= 0,
∂ f∞ 1
∂ψ
=
∂ψ
∂ψ
= 1,
∂ f∞ 2
∂ϕ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ϕ
= −
g
r
cos ϕ,
∂ f∞ 2
∂ψ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ψ
= 0
jsou ohraničené, je podle tvrzení 3.1.3.3 úloha (3.6) jednoznačně řešitelná. To znamená, že řešení
úlohy (3.5) je stejnoměrnou limitou řešení úloh
ϕ = ψ,
ψ = −
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(3.7)
Na obrázku 3.1 je první složka řešení (výchylka kyvadla ϕ) několika těchto úloh; nahoře pro
počáteční hodnotu ϕ0 = 1
20 π, dole pro ϕ0 = 1
2 π. Vidíme, že v případě malé počáteční výchylky již
první člen posloupnosti dostatečně přesně aproximuje řešení úlohy (3.5). V případě velké počáteční
výchylky, dokonce maximální možné, je řešení úlohy (3.5) dostatečně přesně aproximováno třetím
členem posloupnosti řešení úloh (3.7).
Malé kmity matematického kyvadla lze tedy modelovat systémem rovnic
ϕ = ψ, ψ = −
g
r
ϕ,
který je ekvivalentní s rovnicí druhého řádu ϕ +
g
r
ϕ = 0.
3.2.10 Věta (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a
parametrech)
Buď Ω otevřená množina v R1+n+m
a nechť funkce g : Ω → Rn
je taková, že pro všechna τ ∈ R,
ξ ∈ Rn
, λ ∈ Rm
splňující podmínku (τ, ξ, λ) ∈ Ω, má počáteční problém
x = g(t, x, λ), x(τ) = ξ
právě jedno úplné řešení x = x(t) = x(t; τ, ξ, λ). Pak toto řešení, chápané jako zobrazení
R1+1+n+m
→ Rn
,
je spojité.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 82–83.
Tato věta říká, že změní-li se málo funkce f v rovnici (1.3) a málo se změní počáteční podmínka
(1.4), pak se řešení nového — změněného — problému liší na konečném intervalu málo od řešení
původního problému.
27
3.3 Odhady řešení
3.3.1 Definice
Řešení x∗
= x∗
(t) úlohy (1.1), (1.2) se nazývá maximální řešení, jestliže pro každé řešení x = x(t)
této úlohy platí x(t) ≤ x∗
(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení definována.
Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.2) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení x = x(t)
této úlohy platí x∗(t) ≤ x(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad
Uvažujme počáteční úlohu
x =
3
√
x2, x(0) = 0. (3.8)
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí x(t) ≡ 0,
x(t) =
0, t < a,
(t − a)3
, t ≥ a,
x(t) =
(t + a)3
, t < −a,
0, t ≥ −a,
, x(t) =



(t + b)3
, t < −b,
0, −b ≤ t ≤ a,
(t − a)3
, t ≥ a,
kde a, b jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení úlohy
(3.8) tedy jsou funkce
x∗(t) =
t3
, t < 0,
0, t ≥ 0,
x∗
(t) =
0, t < 0,
t3
, t ≥ 0;
řešení je znázorněno na obrázku 3.2 a).
3.3.2 Věta (srovnávací)
Nechť t0 ∈ R, 0 < a ≤ ∞, J = [t0, ∞), G = {(t, x) ∈ Rn+1
: t ∈ J, ||x|| < a}. Nechť dále f : G →
Rn
je spojitá funkce a g : J × [0, a) → [0, ∞) je spojitá funkce taková, že ||f(t, x)|| ≤ g (t, ||x||) pro
(t, x) ∈ G. Buď u0 ≥ ||x0|| a u∗
= u∗
(t) maximální řešení úlohy
u = g(t, u), u(t0) = u0
na intervalu J.
Pak každé úplné řešení úlohy (1.3), (1.4) je definováno pro všechna t ∈ J a platí
||x(t)|| ≤ u∗
(t) pro t ∈ J .
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
Příklad
Najdeme odhad řešení počátečního problému
x =
t + x
1 + x2
, x(t0) = x0 (3.9)
na intervalu [t0, ∞).
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné x s jedním parametrem t.
Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této funkce;
konkrétně, pro každé t ∈ R platí
t −
√
t2 + 1
2
≤
t + x2
1 + x2
≤
t +
√
t2 + 1
2
.
28
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
a) b)
t
x∗(t)
x∗
(t) x(t)
t
u(t) v(t)
x(t)
Obrázek 3.2: a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy (3.8). b) Odhady řešení x = x(t)
úlohy (3.9) s hodnotami t0 = x0 = 0.
Odtud plyne že
t + x2
1 + x2
≤ 1
2 t +
√
t2 + 1 . Počáteční úloha
u =
t +
√
t2 + 1
2
, u(t0) = |x0|
má podle 2.2 jediné řešení
u(t) = |x0| +
1
4
t2
+ t t2 + 1 − t2
0 − t0 t2
0 + 1 + ln
t +
√
t2 + 1
t0 + t2
0 + 1
a podle srovnávací věty 3.3.2 platí |x(t)| ≤ u(t) pro všechna t ≥ t0.
Řešení úlohy (3.9) pro t0 ≥ 0 lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž platí
t + x2
1 + x2
=
|t + x|
1 + x2
≤
t + |x|
1 + x2
≤ t + |x|.
Jediné řešení počáteční úlohy
v = v + t, v(t0) = |x0|
pro nehomogenní lineární rovnici je podle 2.6 rovno
v(t) = |x0| + t0 + 1 et−t0
− t − 1
a podle srovnávací věty 3.3.2 platí |x(t)| ≤ v(t) pro všechna t ≥ t0 ≥ 0.
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů u, v řešení úlohy (3.9)
byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 3.2 b).
3.3.3 Důsledek
Nechť symboly t0, a, J, G mají stejný význam jako v 3.3.2. Nechť funkce f : G → Rn
je spojitá
a nechť existuje spojitá funkce ϕ : J → [0, ∞) taková, že
||f(t, x)|| ≤ ϕ(t) ||x|| pro (t, x) ∈ G.
Pak pro každé x0 ∈ Rn
takové, že
||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ < a pro všechna t ∈ J,
29
jsou úplná řešení úlohy (1.3), (1.4) definována na celém intervalu J a platí
||x(t)|| ≤ ||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ pro t ∈ J.
Důkaz plyne z 3.3.2 volbou g(t, u) = ϕ(t)u, u0 = ||x0||.
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy u = ϕ(t)u, u(t0) = u0 je podle 2.6
u(t) = u0 exp
t
t0
ϕ(τ)dτ.
30
Kapitola 4
Lineární rovnice
4.1 Systémy lineárních ODR
Nechť a11,, a12, . . . , a1,n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , an1, an2, . . . , ann, b1, b2, . . . , bn jsou funkce definované
na intervalu J ⊆ R. Systém n lineárních obyčejných diferenciálních rovnic (n-rozměrný
lineární systém) je tvaru
x1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t)
x2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t)
...
...
...
...
...
...
xn = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t)
Při označení
A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





, b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





, x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





lze tento systém zapsat ve vektorovém tvaru
x = A(t)x + b(t). (4.1)
Tuto rovnici nazýváme nehomogenní lineární rovnice. Spolu s rovnicí (4.1) budeme uvažovat počáteční
podmínku
x(t0) = x0. (4.2)
Rovnici
x = A(t)x (4.3)
nazýváme lineární homogenní rovnicí přidruženou k rovnici (4.1).
4.1.1 Věta o existenci a jednoznačnosti řešení
Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová funkce b = b(t) jsou spojité na intervalu J ⊆ R. Pak
má počáteční problém (4.1), (4.2) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu J.
Důkaz: Vzhledem k 3.1.2 a 3.2.3 stačí ukázat, že ke každému τ ∈ J existuje okolí Oτ ⊆ J takové,
že funkce A(t)x + b(t) je Lipschitzovská vzhledem k x na Rn
× Oτ .
Je-li τ vnitřní bod intervalu J, existuje a ∈ R, a > 0 takové, že [τ − a, τ + a] ⊆ J.
31
Položme Lτ = max{||A(t)|| : t ∈ [τ −a, τ +a]} (toto maximum existuje podle druhé Weierstrassovy
věty) a Oτ = (τ − a, τ + a). Podle 1.2.1 je maticová norma souhlasná s vektorovou normou
a z toho plyne, že pro každé t ∈ Oτ a každé dva vektory x, y ∈ Rn
platí nerovost
A(t)x + b(t) − A(t)y + b(t) = ||A(t)x − A(t)y|| = ||A(t)(x − y)|| ≤ ||A(t)|| ||x − y|| ≤
≤ Lτ ||x − y|| .
Je-li τ pravý krajní bod intervalu J, položíme
Lτ = max {||A(t)|| : τ − a ≤ t ≤ τ} , Oτ = (τ − a, τ]
a provedeme analogickou úvahu. Pro levý krajní bod intervalu J provedeme důkaz podobně.
4.1.2 Věta (princip superpozice)
Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení rovnice (4.3), pak také c1x(t)+c2y(t), kde c1, c2 jsou konstanty,
je řešením rovnice (4.3).
Důkaz:
d
dt
(c1x + c2y) = c1x + c2y = c1A(t)x + c2A(t)y = A(t)(c1x) + A(t)(c2y) =
= A(t)(c1x + c2y).
4.1.3 Struktura řešení lineární homogenní rovnice
Množina všech n-vektorových funkcí definovaných a diferencovatelných na intervalu J tvoří vektorový
prostor nad polem reálných čísel; sčítání vektorů je definováno jako sčítání funkcí, násobení
skalárem je definováno jako násobení funkce reálným číslem,
y1 + y2 (t) = y1(t) + y2(t), αy (t) = αy(t),
nulový vektor v tomto prostoru je konstantní funkce y(t) ≡ o, kde o označuje nulový vektor
v prostoru Rn
. Podle principu superpozice 4.1.2 je množina všech řešení lineární homogenní rovnice
(4.3) podprostorem tohoto prostoru, neboť y(t) ≡ o je řešením této rovnice; nazýváme ho triviální
řešení.
Řekneme, že funkce y1, y2, . . . , yk z vektorového prostoru diferencovatelných n-vektorových
funkcí definovaných na intervalu J jsou lineárně nezávislé, pokud jsou lineárně nezávislé jakožto
vektory, tj. pokud z rovnosti
c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = o, pro všechna t ∈ J (4.4)
plyne rovnost c1 = c2 = · · · = ck = 0.
Lemma 1
Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yk jsou řešení homogenní
rovnice (4.3). Jestliže existuje t0 ∈ J takové, že vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn
jsou
lineárně nezávislé, pak vektory y1(t), y2(t), . . . , yk(t) ∈ Rn
jsou lineárně nezávislé pro každé t ∈ J.
Důkaz: Připusťme, že existuje t1 ∈ J takové, že vektory y1(t1), y2(t1), . . . , yk(t1) jsou závislé. Pak
existují konstanty c1, c2, . . . , ck, z nichž aspoň jedna je nenulová a platí
o = c1y1(t1) + c2y2(t1) + · · · + ckyk(t1).
Funkce x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) je podle principu superpozice 4.1.2 řešením
lineární homogenní rovnice (4.3) s počáteční podmínkou x(t1) = o. Avšak řešením této úlohy
je konstantní funkce x(t) ≡ o a podle věty 4.1.1 je toto řešení jediné. To znamená, že funkce
y1, y2, . . . , yk splňují podmínku (4.4) a proto také platí c1 = c2 = · · · = ck = 0, což je spor.
32
Z tohoto tvrzení plyne: Jsou-li funkce y1, y2, . . . , yk řešením homogenní rovnice (4.3) se spojitou
maticí A a s počátečními podmínkami takovými, že vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) z prostoru
Rn
jsou lineárně nezávislé, pak jsou funkce y1, y2, . . . , yk lineárně nezávislé.
Ve vektorovém prostoru Rn
existuje právě n lineárně nezávislých vektorů, které tvoří jeho bázi.
Z Lemma 1 tedy dále plyne, že i v prostoru všech řešení homogenní rovnice (4.3) se spojitou maticí
A existuje n lineárně nezávislých funkcí y1, y2, . . . , yn.
Lemma 2
Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yn jsou lineárně nezávislá
řešení homogenní rovnice (4.3). Pak libovolné řešení homogenní rovnice (4.3) je lineární kombinací
funkcí y1, y2, . . . , yn, tj. tyto funkce tvoří bázi prostoru řešení rovnice (4.3).
Důkaz: Nechť x = x(t) je řešení počáteční úlohy (4.3), (4.2). Vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0)
tvoří bázi vektorového prostoru Rn
a proto existují konstanty c1, c2, . . . , cn takové, že
x(t0) = c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + cnyn(t0).
Podle principu superpozice 4.1.2 je vektorová funkce x = c1y1 +c2y2 +· · ·+cnyn řešením rovnice
(4.3). Toto řešení splňuje počáteční podmínku (4.2). Podle věty 4.1.1 je tento problém jednoznačně
řešitelný, takže x = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn.
Odvodili jsme tak následující větu a jsme oprávněni zavést následující definici.
4.1.4 Věta
Je-li maticová funkce A = A(t), A : J → Rn2
spojitá, pak množina všech řešení rovnice (4.3) tvoří
n-rozměrný vektorový prostor.
4.1.5 Definice
Libovolná báze prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice (4.3) se nazývá fundamentální
systém řešení rovnice (4.3).
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(4.3). Obecné řešení této rovnice je jejich lineární kombinace
x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t).
Označme yi,j = yi,j(t) = yi(t) j
,
Y = Y(t) =






y1,1(t) y2,1(t) . . . yn,1(t)
y1,2(t) y2,2(t) . . . yn,2(t)
...
...
...
...
y1,n(t) y2,n(t) . . . yn,n(t)






, c =





c1
c2
...
cn





.
Matice Y = Y(t) se nazývá fundamentální matice řešení systému (4.3). Z lineární nezávislosti
vektorových funkcí y1, y2, . . . , yn plyne, že sloupce fundamentální matice Y jsou lineárně nezávislé
pro každé t ∈ J. To znamená, že matice Y(t) je regulární, det Y(t) = 0 pro každé t ∈ J.
Obecné řešení rovnice (4.3) lze nyní zapsat ve tvaru
x = x(t) = Y(t)c.
Symbolem c0 označme n-tici konstant takových, že funkce x = x(t) = Y(t)c0 je řešením počátečního
problému (4.3), (4.2). Z rovnosti x0 = Y(t0)c0 pak plyne, že c0 = Y(t0)−1
x0. Řešení
počáteční úlohy (4.3), (4.2) tedy můžeme psát ve tvaru
x(t) = Y(t)Y(t0)−1
x0.
33
Pro fundamentální matici Y = Y(t) řešení systému (4.3) zřejmě platí Y (t) = A(t)Y(t). Fundamentální
matici řešení systému (4.1) tedy můžeme definovat jako regulární maticovou funkci,
která je řešením maticové diferenciální rovnice
Y = A(t)Y. (4.5)
4.1.6 Věta
Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová funkce b = b(t) jsou spojité na intervalu J ⊆ R. Pak
obecné řešení x = x(t) vektorové rovnice (4.1) je součtem obecného řešení přidružené homogenní
rovnice (4.3) a nějakého partikulárního řešení nehomogenní rovnice (4.1),
x(t) = Y(t)c + ˜x(t),
kde Y(t) je fundamentální matice řešení rovnice (4.3) a ˜x(t) je libovolné řešení rovnice (4.1).
Řešení počátečního problému (4.1), (4.2) je dáno vztahem
x(t) = Y(t)c0 + ˜x(t),
kde pro konstantní vektor c0 platí c0 = Y(t0)−1
x0 − ˜x(t0) .
Důkaz: Funkce x(t) = Y(t)c + ˜x(t) je řešením rovnice (4.1), neboť podle (4.5) platí
x = Y c + ˜x = AYc + A˜x + b = A(Yc + ˜x) + b.
Dále platí Y(t0)c0 + ˜x(t0) = Y(t0)Y(t0)−1
x0 − ˜x(t0) + ˜x(t0) = x0.
4.1.7 Nalezení partikulárního řešení rovnice (4.1) — metoda variace
konstant
Řešení rovnice (4.1) hledáme ve tvaru ˜x = ˜x(t) = Y(t)c(t), kde c = c(t) je nějaká vektorová
funkce. Pak s využitím rovnosti (4.5) dostaneme
˜x = Y c + Yc = AYc + Yc
˜x = A˜x + b = AYc + b
Odtud
A(t)Y(t)c(t) + Y(t)c (t) = A(t)Y(t)c(t) + b(t)
Y(t)c (t) = b(t) (4.6)
c (t) = Y(t)−1
b(t)
c(t) = η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds ,
kde η = c(t0) je konstantní vektor.
Obecné řešení rovnice (4.1) je tedy dáno formulí
x(t) = Y(t)

η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)η +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
Aby toto řešení splňovalo počáteční podmínku (4.2), musí platit x0 = Y(t0)η, tj. η = Y(t0)−1
x0.
Řešení počátečního problému (4.1), (4.2) je tedy tvaru
x(t) = Y(t)

Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
34
4.1.8 Převedení systému lineárních diferenciálních rovnic na rovnici
vyššího řádu
Uvažujme systém dvou rovnic
x = a(t)x+b(t)y+c(t),
y = α(t)x+β(t)y+γ(t);
(4.7)
o funkcích a, b, c, α, β, γ předpokládáme, že jsou definovány na nějakém intervalu J a jsou na
něm diferencovatelné. V případě, že existuje t0 ∈ J takové, že b(t0) = 0, je funkce b na nějakém
podintervalu I intervalu J nenulová. Pro t ∈ I z první rovnice vyjádříme druhou složku
y =
1
b
(x − ax − c) (4.8)
a dosadíme ji do druhé rovnice:
y = αx +
β
b
(x − ax − c) + γ. (4.9)
První z rovnic (4.7) zderivujeme
x = a x + ax + b y + by + c ,
za y dosadíme (4.8) a za y dosadíme (4.9). Dostaneme
x = a x + ax +
b
b
(x − ax − c) + bαx + β (x − ax − c) + bγ + c =
= a + β +
b
b
x − aβ − bα +
ab − a b
b
x + bγ + c − cβ −
cb
b
.
První složka řešení systému (4.7) je tedy na intervalu I řešením rovnice druhého řádu
x − a + β +
b
b
x + aβ − bα +
ab − a b
b
x = bγ + c − cβ −
cb
b
,
jeho druhá složka je pak dána rovností (4.8).
V případě konstantních funkcí a, b, α, β a funkcí c, γ identicky rovných nule (homogenního
systému s konstantní maticí), dostaneme rovnici
x − (a + β)x + (aβ − bα)x = 0. (4.10)
Povšimněme si, že charakteristický polynom konstantní matice A =
a b
α β
je
det
a − λ b
α β − λ
= λ2
− (a + β)λ + aβ − bα = λ2
− (tr A)λ + det A,
jeho koeficienty jsou tedy shodné s koeficienty na levé straně rovnice (4.10).
Analogicky lze postupovat u systémů n rovnic.
4.2 Homogenní lineární systém s konstantní maticí
Uvažujme vektorovou rovnici
x = Ax. (4.11)
Konstantní maticová funkce A je definována na celé množině R. To podle 4.1.1 znamená, že
řešení rovnice (4.11) existuje, je definováno na intervalu J = (−∞, ∞) a pro libovolnou počáteční
podmínku (4.2) je řešení jediné.
35
4.2.1 Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací
Řešení rovnice (4.11) s počáteční podmínkou (4.2) budeme hledat jako limitu Picardovy posloupnosti
postupných aproximací. Členy této posloupnosti jsou podle 3.1.2 rekurentně dány formulemi
xk+1(t) = x0 +
t
t0
Axk(s)ds = x0 + A
t
t0
xk(s)ds.
Obecný člen posloupnosti je
xk(t) = E + (t − t0)A +
(t − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(t − t0)k
k!
Ak
x0,
kde E označuje jednotkovou matici. Toto tvrzení ověříme úplnou indukcí. Pro k = 0 máme
x0(t) =
(t − t0)0
0!
A0
x0 = Ex0 = x0
a z platnosti formule pro k plyne
xk+1(t) = x0 + A
t
t0
E + (s − t0)A +
(s − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(s − t0)k
k!
Ak
x0ds =
= x0 +


t
t0
ds

 Ax0 +


t
t0
(s − t0)ds

 A2
x0 + · · · +

 1
k!
t
t0
(s − t0)k
ds

 Ak
x0 =
= E + (t − t0)A +
1
2
(t − t0)2
A2
+
1
3!
(t − t0)3
A3
+ · · · +
1
(k + 1)!
(t − t0)k+1
Ak+1
x0.
Pokud bychom A považovali za konstantu a E za jedničku (tj. pro n = 1), je výraz v závorce
k-tým částečným součtem Taylorovy řady funkce eA(t−t0)
. Řešení úlohy
x = Ax, x(t0) = x0
lze proto zapsat ve tvaru x(t) = eA(t−t0)
x0. Matice eA(t−t0)
je dána nekonečnou řadou
eA(t−t0)
=
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Ak
.
Lze ukázat, že tato řada konverguje pro každé t ∈ R a tato konvergence je stejnoměrná.
4.2.2 Obecné řešení
Řešení rovnice (4.11) budeme hledat ve tvaru x(t) = ξeλt
, kde ξ ∈ Rn
je konstantní vektor a λ je
zatím neznámé číslo. Hodnota λ musí splňovat rovnosti
x (t) = ξλeλt
, Ax = Aξeλt
,
takže vzhledem k tomu, že eλt
= 0, musí platit
Aξ = λξ.
To znamená, že λ je vlastní hodnotou matice A a ξ je příslušný vlastní vektor.
Nyní rozlišíme tři případy:
36
(i) Jsou-li λ1, λ2 různé vlastní hodnoty matice A a ξ1, ξ2 jsou příslušné vlastní vektory, pak
ξ1eλ1t
, ξ2eλ2t
jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (4.11).
Důkaz: Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým
vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
(ii) Je-li λ vlastní hodnota matice A, ξ příslušný vlastní vektor, přičemž λ je k-násobným kořenem
charakteristického polynomu det(A − λE), pak funkce
ξeλt
, η1,0eλt
+ η1,1teλt
, . . . , ηk−1,0eλt
+ ηk−1,1teλt
+ · · · + ηk−1,k−1tk−1
eλt
jsou pro vhodné vektory η1,0, η1,1, . . . , ηk−1,0, ηk−1,1, . . . , ηk−1,k−1 řešením rovnice (4.11).
Důkaz ukážeme pro k = 2. V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice lze
postupovat analogicky.
Nechť λ je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď B = B(s) diferencovatelná
(a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že B(0) = A, λ je pro
každé s z definičního oboru funkce B jednoduchým kořenem charakteristického polynomu
matice B(s) a existuje jednoduchý kořen µ(s) = λ charakteristického polynomu, pro nějž
platí lim
s→0
µ(s) = λ. (Matici A nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný kořen rozdělil na
dva různé jednoduché.)
Označme ζµ(s) (resp. ζλ(s)) vlastní vektor matice B(s) příslušný k vlastní hodnotě µ(s)
(resp. λ). Z diferencovatelnosti funkce B plyne podle věty o diferencovatelnosti implicitně
zadané funkce (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno
1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí ζµ a ζλ, zejména tedy existence limit
lim
s→0
ζλ(s) = ζλ,0, lim
s→0
ζµ(s) = ζµ,0.
Rovnice x = B(s)x má podle předchozí úvahy řešení ζλ(s)eλt
a ζµ(s)eµ(s)t
a podle principu
superpozice 4.1.2 také řešení
ζλ(s)eλt
− ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
.
Poněvadž lim
s→0
B(s) = A, plyne z věty o spojité závislosti řešení na parametrech 3.2.10, že
rovnice (4.11) má řešení
lim
s→0
ζλ(s)eλt
− ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
= lim
s→0
ζλ(s)eλt
− ζµ(s)eµ(s)t
− ζµ(s)tµ (s)eµ(s)t
−µ (s)
=
=
ζλ,0 − ζµ,0
−µ (0)
+ ζµ(0)t eλt
;
při výpočtu limity bylo využito de l’Hospitalovo pravidlo. Označíme-li nyní
η1,0 =
ζµ,0 − ζλ,0
µ (0)
, η1,1 = ζµ(0),
dostaneme tvrzení.
(iii) Má-li rovnice (4.11) komplexní řešení x(t) = α(t) + iβ(t), kde α a β jsou reálné vektorové
funkce, a řešení x je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této rovnice,
pak α a β jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice (4.11).
Důkaz: Platí
α (t) + iβ (t) = α(t) + iβ(t) = A α(t) + iβ(t) = Aα(t) + iAβ(t).
Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce α a β jsou
řešeními rovnice (4.11).
Kdyby vektorové funkce α a β byly lineárně závislé, tj. α = cβ, pak by α + iβ = (c + i)β a
řešení α+iβ by bylo násobkem reálného nenulového řešení β. To by byl spor s předpokladem
tvrzení.
37
4.3 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu
Jedná se o rovnici tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ an−2(t)x(n−2)
+ · · · + a1(t)x + a0(t)x = f(t) , (4.12)
kde funkce an−1, an−2, . . . , a1, a0, f jsou definované na nějakém intervalu J ⊆ R.
Je-li f(t) ≡ 0, rovnice se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Rovnice
x(n)
+ an−1(t)xn−1
+ an−2(t)xn−2
+ · · · + a1(t)x + a0(t)x = 0 (4.13)
se nazývá přidružená homogenní rovnice k rovnici (4.12).
Spolu s rovnicí (4.12) uvažujeme počáteční podmínky
x(t0) = x0, x (t0) = x0,1, . . . , x(n−1)
(t0) = x0,n−1 . (4.14)
Podle 1.3.3 je rovnice (4.12) ekvivalentní s vektorovou rovnicí (se systémem rovnic)
x1 = x2,
x2 = x3,
...
xn−1 = xn,
xn = −an−1(t)xn − an−2(t)xn−1 − · · · − a1(t)x2 − a0(t)x1 + f(t),
tj.







x1
x2
x3
...
xn−1







=







0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−a0(t) −a1(t) −a2(t) . . . −an−1(t)














x1
x2
x3
...
xn−1







+







0
0
0
...
f(t)







. (4.15)
Počáteční podmínky k vektorové rovnici (4.15) jsou tvaru
x1(t0) = x0, x2(t0) = x0,1, x3(t0) = x0,2, . . . , xn(t0) = x0,n−1.
Z tohoto faktu a z 4.1.1, 4.1.2 a 4.1.4 plynou následující tři tvrzení:
4.3.1 Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení)
Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an−1, f spojité na intervalu J ⊆ R a t0 ∈ J, pak má počáteční
problém (4.12), (4.14) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu J.
4.3.2 Věta (princip superpozice)
Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešením homogenní lineární rovnice (4.13) a c1, c2 jsou libovolné
konstanty, pak také z = z(t) = c1x(t) + c2y(t) je řešením této rovnice.
4.3.3 Věta
Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an−1 spojité na intervalu J ⊆ R, pak množina všech řešení
rovnice (4.13) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
38
4.3.4 Definice
Báze y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) vektorového prostoru všech řešení rovnice (4.13) se
nazývá fundamentální systém řešení rovnice (4.13).
Z ekvivalence lineární rovnice n-tého řádu (4.12) a lineárního n-rozměrného systému (4.15)
plyne, že funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(4.13) právě tehdy, když maticová funkce
Y = Y(t) =





y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





je fundamentální maticí řešení homogenního systému přidruženého k systému (4.15). To nastává
právě tehdy, když každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením homogenní
rovnice (4.13) a sloupce matice Y(t) jsou lineárně nezávislé v nějakém, a v důsledku toho (podle
Lemma 1 z 4.1.3) v každém, t ∈ J.
4.3.5 Definice
Buďte ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm funkce jedné reálné proměnné. Funkce W definovaná vztahem
W = W(t) = W(t; ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm) = det





ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm(t)
ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm(t)
...
...
...
...
ϕ
(m−1)
1 (t) ϕ
(m−1)
2 (t) . . . ϕ
(m−1)
m (t)





se nazývá wronskián funkcí ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm.
Následující výroky jsou ekvivalentní a charakterizují řešení homogenní rovnice (4.13):
• Funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(4.13) na intervalu J.
• Každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením rovnice (4.13) a pro jejich
wronskián platí W(t) = W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 v nějakém t ∈ J.
• Obecné řešení rovnice (4.13) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t),
kde c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(4.13). Při označení
y = y(t) =





y1(t)
y2(t)
...
yn(t)





, c =





c1
c2
...
cn





lze obecné řešení homogenní rovnice (4.13) zapsat ve tvaru
x = x(t) = y(t)T
c.
Z věty 4.1.6, ekvivalence rovnice (4.12) a systému (4.15) plyne následující tvrzení.
39
4.3.6 Věta
Nechť funkce a1, a2, . . . , an−1, f jsou spojité na intervalu J. Pak obecné řešení lineární rovnice
n-tého řádu (4.12) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) + ˜x(t) = y(t)T
c + ˜x(t),
kde ˜x je libovolné partikulární řešení rovnice (4.12), y1, y2, . . . , yn je fundamentální systém řešení
přidružené homogenní rovnice (4.13) a c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
4.3.7 Nalezení fundamentálního systému řešení rovnice druhého řádu
v případě, že jedno řešení je známé
Uvažujme rovnici
x + P(t)x + Q(t)x = 0
a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení y1 = y1(t). Zavedeme substituci
x(t) = y1(t)y(t).
Pak x = y1y + y1y , x = y1 y + 2y1y + y1y , tedy
y1 y + 2y1y + y1y + Py1y + Py1y + Qy1y = 0
y1y + (2y1 + Py1)y + (y1 + Py1 + Qy1) y = 0
y + P + 2
y1
y1
y = 0 ,
což je rovnice typu 2.10 pro neznámou funkci y = y(t). Položíme z(t) = y (t). Pak
z = − P(t) + 2
y1(t)
y1(t)
z.
Pro řešení této rovnice se separovanými proměnnými platí
z(t) = z(t0) −
t
t0
P(s) +
2y1(s)
y1(s)
ds = z(t0) − ln y1(t)
2
+ ln y1(t0)
2
−
t
t0
P(s)ds,
takže
z(t) = const ·
1
y1(t)2
e
t
t0
P (s)ds
.
Volbou const = 1 a integrací dostaneme
y(t) =
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
a tedy druhé řešení dané rovnice je
y2(t) = y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
Poněvadž platí
W(t, y1, y2) =
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
P (σ)dσ
ds + 1
y1(t) e
−
t
t0
P (s)ds
= e
−
t
t0
P (s)ds
> 0 ,
jsou funkce y1, y2 lineárně nezávislé a tedy tvoří fundamentální systém řešení dané rovnice.
40
4.3.8 Metoda variace konstant
Nechť y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (4.13). Partikulární řešení
˜x = ˜x(t) nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru
˜x(t) = y(t)T
c(t),
kde c = c(t) je nějaká vektorová funkce. Z ekvivalence rovnice (4.12) se systémem (4.15) a z rovnosti
(4.6) v metodě variace konstant 4.1.7 pro systémy lineárních rovnic plyne, že derivace vektorové
funkce c = c(t) splňuje soustavu lineárních (algebraických) rovnic
y1(t)c1 + y2(t)c2 + · · · + yn(t)cn = 0,
y1(t)c1 + y2(t)c2 + · · · + yn(t)cn = 0,
...
y
(n−2)
1 (t)c1 + y
(n−2)
2 (t)c2 + · · · + y(n−2)
n (t)cn = 0,
y
(n−1)
1 (t)c1 + y
(n−1)
2 (t)c2 + · · · + y(n−1)
n (t)cn = f(t).
Determinant této soustavy je wronskiánem fundamentálního systému řešení y1, y2, . . . , yn a proto
je nenulový. Soustava má tedy jediné řešení c1, c2, . . . , cn. Integrací jeho složek dostaneme hledané
funkce funkce c1 = c1(t), c2 = c2(t), . . . , cn = cn(t).
4.3.9 Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = 0 . (4.16)
Řešení hledáme ve tvaru x(t) = eλt
. Pak x (t) = λeλt
, x (t) = λ2
eλt
, . . . , x(n)
(t) = λn
eλt
a tedy
λn
eλt
+ an−1λn−1
eλt
+ an−2λn−2
eλt
+ · · · + a1λeλt
+ a0eλt
= 0.
Poněvadž eλt
= 0 pro všechna t ∈ R, můžeme rovnici touto funkcí vykrátit. Dostaneme
λn
+ an−1λn−1
+ an−2λn−2
+ · · · + a1λ + a0 = 0. (4.17)
Rovnice (4.17) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice (4.16)
Speciální případ n = 2
Řešíme rovnici druhého řádu
x − ax + b = 0, (4.18)
kde a, b jsou reálné parametry. Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice
λ2
− aλ + b = 0 (4.19)
má kořeny
λ1,2 =
1
2
a ± a2 − 4b =
1
2
a ±
a2
4
− b .
Rozlišíme tři možnosti:
(i) a2
> 4b
V tomto případě má charakteristická rovnice (4.19) dva reálné různé kořeny λ1, λ2. Funkce
y1 = y1(t) = eλ1t
, y2 = y2(t) = eλ2t
jsou řešením diferenciální rovnice (4.18). Wronskián těchto funkcí je
W(t; y1, y2) =
eλ1
t eλ2
t
λ1eλ1
t λ2eλ2
t
= (λ2 − λ1)e(λ1+λ2)t
= 0.
41
To znamená, že funkce y1, y2 tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.18).
(ii) a2
< 4b
Označme ϕ = b −
a2
4
; pak ϕ > 0. Charakteristická rovnice (4.19) má komplexně sdružené
kořeny λ1,2 = 1
2 a ± iϕ. Komplexní funkce
z1 = z1(t) = e(1
2 a+iϕ) = e
1
2 at
(cos ϕt + i sin ϕt), z2 = z2(t) = e(1
2 a−iϕ) = e
1
2 at
(cos ϕt − i sin ϕt)
jsou řešením diferenciální rovnice (4.18). Podle principu superpozice 4.1.2 jsou také reálné funkce
y1 = y1(t) =
1
2
z1(t) + z2(t) = e
1
2 at
cos ϕt, y2 = y2(t) =
i
2
z2(t) − z1(t) = e
1
2 at
sin ϕt
řešením této diferenciální rovnice. Jejich derivace jsou
y1(t) =
1
2
a cos ϕt − ϕ sin ϕt e
1
2 at
, y2(t) =
1
2
a sin ϕt + ϕ cos ϕt e
1
2 at
,
takže pro jejich wronskián platí
W(t; y1, y2) =
cos ϕt sin ϕt
1
2 a cosϕt − ϕ sin ϕt 1
2 a sin ϕt + ϕ cos ϕt
eat
=
= ϕ(cos ϕt)2
+
1
2
a sin ϕt cos ϕt −
1
2
a sin ϕt cos ϕt + ϕ(sin ϕt)2
eat
= ϕeat
= 0.
Funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy fundamentální systém řešení a obecné řešení
rovnice (4.18) je
x(t) = (c1 cos ϕt + c2 sin ϕt)e
1
2 at
,
kde c1, c2 jsou konstanty. Pokud je řešení netriviální, je alespoň jedna z nich nenulová a platí
−1 ≤
c1
c2
1 + c2
2
≤ 1, −1 ≤
c2
c2
1 + c2
2
≤ 1,
c1
c2
1 + c2
2
2
+
c2
c2
1 + c2
2
2
= 1,
a proto existuje číslo ψ takové, že
sin ψ =
c1
c2
1 + c2
2
, cos ψ =
c2
c2
1 + c2
2
.
Označme nyní b = c2
1 + c2
2. Obecné řešení rovnice (4.18) přepíšeme do tvaru
x(t) = c2
1 + c2
2
c1
c2
1 + c2
2
cos ϕt +
c2
c2
1 + c2
2
sin ϕt e
1
2 at
=
= be
1
2 at
(sin ψ cos ϕt + cos ψ sin ϕt) = be
1
2 at
sin(ϕt + ψ).
Poznamenejme, že v tomto tvaru řešení je zahrnuto i řešení triviální x ≡ 0.
(iii) a2
= 4b
V tomto případě je diferenciální rovnice tvaru
x − ax +
a2
4
x = 0 (4.20)
a její charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen λ = 1
2 a. Jedno řešení diferenciální
rovnice (4.20) je tedy funkce
y1 = y1(t) = e
1
2 at
.
42
Spolu s rovnicí (4.20) uvažujme pomocnou rovnici
x − (a + ε)x +
a2
4
+
1
2
aε x = 0. (4.21)
Její charakteristická rovnice
λ2
− (a + ε)λ +
a2
4
+
aε
2
= λ −
a
2
λ −
a
2
− ε = 0
má dva reálné různé kořeny λ = 1
2 a, µ = 1
2 a + ε. Pomocná rovnice (4.21) má tedy podle výsledku
(i) fundamentální systém řešení
y1 = y1(t) = e
1
2 at
, y2 = y2(t) = e(1
2 a+ε)t
.
Podle principu superpozice má lineární rovnice (4.21) také řešení
yε = yε(t) =
1
ε
e(1
2 a+ε)t
− e
1
2 at
.
Poněvadž levá strana strana rovnice (4.20) je limitou levé strany pomocné rovnice (4.21) pro ε → 0,
lze očekávat, že také funkce yε bude v limitě ε → 0 řešením původní rovnice (4.20). S využitím
de l’Hospitalova pravidla dostaneme
lim
ε→0
yε(t) = lim
ε→0
e(1
2 a+ε)t
− e
1
2 at
ε
= lim
ε→0
te(1
2 a+ε)t
1
= te
1
2 at
.
Ověříme, že funkce y2 = y2(t) = te
1
2 at
je skutečně řešením rovnice (4.20). Platí
y2(t) = 1 +
a
2
t e
1
2 at
, y2 (t) = a +
a2
4
t e
1
2 at
,
takže
y2 (t) − ay2(t) +
a2
4
y2(t) = a +
a2
4
t − a −
a2
2
t +
a2
2
t e
1
2 at
= 0
a funkce y2 je řešením rovnice (4.20). Wronskián funkcí y1, y2 je
W(t; y1, y2) =
e
1
2 at
te
1
2 at
1
2 ae
1
2 at
1 + 1
2 at e
1
2 at = eat
1 +
a
2
t −
a
2
t = eat
= 0.
Funkce y1, y2 jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (4.20), tvoří tedy její fundamentální systém
řešení.
Rovnice obecného řádu
Řešení rovnice (4.16) řádu n je přímým zobecněním předchozího speciálního případu.
Lemma 1
Pokud λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce
x1(t) = eλt
, x2(t) = teλt
, x3(t) = t2
eλt
, . . . , xk(t) = tk−1
eλt
jsou řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Označme an = 1 a P(λ) =
n
i=0
aiλi
pravou stranu charakteristické rovnice (4.17). Poněvadž
λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, platí
∂i
∂λi
P(λ) = 0 pro i = 0, 1, 2, . . ., k − 1. (4.22)
43
Funkce xl = xl(t) = tl−1
eλt
, l = 1, 2, . . . , k vyjádříme ve tvaru
xl(t) =
∂l−1
∂λl−1
eλt
,
dosadíme je do pravé strany rovnice (4.16) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro vyšší
derivace součinu funkcí. Dostaneme
n
i=0
aix
(i)
l (t) =
n
i=0
ai
∂i
∂ti
∂l−1
∂λl−1
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
ai
∂i
∂ti
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
aiλi
eλt
=
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
n
i=0
aiλi
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
P(λ) =
l−1
i=0
l − 1
i
∂i
P(λ)
∂λi
∂l−1−i
eλt
∂λl−1−i
= 0
podle (4.22). Funkce xl tedy splňují rovnici (4.16).
Lemma 2
Nechť λ1, λ2, . . . , λl jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice (4.17), přičemž
kořen λi je ki-násobný, i = 1, 2, . . . , l, k1 + k2 + · · · + kl = n. Pak funkce
y1(t) = eλ1t
, y2(t) = teλ1t
, y3(t) = t2
eλ1t
, . . . , yk1 (t) = tk1−1
eλ1t
,
yk1+1(t) = eλ2t
, yk1+2(t) = teλ2t
, yk1+3(t) = t2
eλ2t
, . . . , yk1+k2 (t) = tk2−1
eλ2t
, . . . ,
...
yk1+k2+···+kl−1+1(t) = eλlt
, yk1+k2+···+kl−1+2(t) = teλlt
, yk1+k2+···+kl−1+3(t) = t2
eλlt
, . . . ,
yn(t) = tkl−1
eλlt
tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Každá z funkcí y1, y2, . . . , yn je řešením rovnice (4.16) podle Lemma 1. Stačí tedy dokázat
jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y1(t) y2 (t) . . . yn (t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
je nenulový pro všechna t ∈ R. Připusťme, že existuje t0 ∈ R, že W(t0; y1, y2, . . . , yn) = 0. Pak
podle Lemma 1 v 4.1.3 je W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 pro všechna t ∈ R. Wronskián má lineárně závislé
řádky a tedy existují konstanty c0, c1, . . . , cn−1, mezi nimiž je alespoň jedna nenulová, takové že
c0yj + c1yj + · · · + cn−1y
(n−1)
j ≡ 0
pro všechna j = 1, 2, . . ., n.
Pro λ ∈ R a n-krát diferencovatelnou funkci x nyní položíme
q(λ) = c0 + c1λ + c2λ2
+ · · · + cn−1λn−1
,
M x(t) = c0x(t) + c1x (t) + c2x (t) + · · · + cn−1x(n−1)
(t).
44
Pak q je polynom stupně nejvýše n − 1. Pro funkci M a pro libovolné κ ∈ {1, 2, . . ., k1} platí
0 = M yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
λ=λ1
=
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ciλi
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
q(λ)
λ=λ1
=
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
∂i
∂λi
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
ti
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
.
Zejména pro t = 0 dostáváme
0 =
∂κ−1
∂λκ−1
q(λ)
λ=λ1
.
To znamená, že λ1 je kořenem (κ − 1)-té derivace polynomu q pro každé κ ∈ {1, 2, . . ., k1}, tedy
λ1 je k1-násobným kořenem polynomu q.
Analogicky ukážeme, že λi je ki-násobným kořenem polynomu q pro všechna i = 1, 2, . . . , l.
Polynom q tedy musí být stupně alespoň k1 + k2 + · · · + kl = n a to je spor.
Lemma 2 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice (4.16). Mezi jeho
prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické rovnice
(4.17) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce z fundamentálního
systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi.
Nechť λc = α + iβ je k-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice (4.17). Pak také
komplexně sdružené číslo λc = α − iβ je k-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve fundamentálním
systému řešení z Lemma 2 jsou funkce
tj
e(α+iβ)t
= tj
eαt
(cos βt + i sin βt), tj
e(α−iβ)t
= tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že
y1(t) = tj
eαt
(cos βt + i sin βt), y2(t) = tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Lemma 3
Nechť y1, y2, y3, . . . , yn je fundamentální systém řešení rovnice (4.16) popsaný předchozí konstrukcí.
Položme
z1 = z1(t) =
1
2
y1(t) + y2(t) = tj
eαt
cos βt, z2 = z2(t) =
i
2
y2(t) − y1(t) = tj
eαt
sin βt.
Pak funkce z1, z2, y3, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (4.16).
Důkaz: Funkce z1, z2 jsou řešením rovnice (4.16) podle principu superpozice 4.1.2. Ukážeme, že
funkce z1, z2, y3, . . . , yn jsou lineárně nezávislé.
Položme
C =










1
2 −i1
2 0 0 . . . 0
1
2 i1
2 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . 1










,
45
W(t) =





y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
...
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) y
(n−1)
3 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





.
Pak
det C =
1
2 −i1
2
1
2 i1
2
· 1 =
i
2
= 0
a pro wronskián funkcí z1, z2, y3, . . . , yn platí
W(t; z1, z2, y3, . . . , yn) = det(W(t)C) = det W(t) det C =
i
2
W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0.
Závěr
Každému reálnému k-násobnému kořenu λ charakteristické rovnice (4.17) odpovídá k řešení
eλt
, teλt
, t2
eλt
, . . . , tk−1
eλt
,
diferenciální rovnice (4.16) a každé dvojici j-násobných nereálných kořenů α ± iβ charakteristické
rovnice (4.17) odpovídá 2j reálných řešení
eαt
cos βt, teαt
cos βt, t2
eαt
cos βt, . . . , tj−1
eαt
cos βt,
eαt
sin βt, teαt
sin βt, t2
eαt
sin βt, . . . , tj−1
eαt
sin βt
diferenciální rovnice (4.16). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice
(4.17) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
s konstantními koeficienty (4.16).
4.3.10 Partikulární řešení nehomogenní lineární rovnice s konstantními
koeficienty a se speciální pravou stranou
Partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = f(t) . (4.23)
lze najít metodou variace konstant 4.3.8. V některých případech však lze tuto metodu nahradit
jednodušší metodou neurčitých koeficientů:
• f(t) = Pm(t), kde Pm je polynom stupně m.
Je-li nula k-násobným kořenem charakteristické rovnice (samozřejmě připouštíme i k = 0),
lze partikulární řešení hledat ve tvaru ˜x(t) = tk
Qm(t), kde Qm je polynom stejného stupně
jako Pm.
• f(t) = eαt
Pm(t).
Substituce x(t) = eαt
y(t) převede rovnici na lineární rovnici n-tého řádu s pravou stranou
Pm (předchozí případ).
• f(t) = cos(αt)Pm(t) nebo f(t) = sin(αt)Pm(t).
Najdeme partikulární řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x + a0x = eiαt
Pm(t).
Jeho reálná část je partikulárním řešením uvažované rovnice v prvním případě, imaginární
část ve druhém.
• f(t) = g(t) + h(t).
Partikulární řešení je součtem partikulárních řešení rovnic
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ · · · + a1x + a0x = g(t) a x(n)
+ an−1x(n−1)
+ · · ·+ a1x + a0x = h(t).
46
4.4 Eulerova a Riccatiho diferenciální rovnice
4.4.1 Eulerova rovnice
tn
x(n)
+ an−1tn−1
xn−1
+ an−2tn−2
xn−2
+ · · · + a1tx + a0x = f(t)
Zavedeme substituci t = eτ
, tj. τ = ln t. Pak
x =
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
x =
d
dt
1
t
dx
dτ
= −
1
t2
dx
dτ
+
1
t
d2
x
dτ2
dτ
dt
=
1
t2
d2
x
dτ2
−
dx
dτ
x =
d
dt
1
t2
d2
x
dτ2
−
dx
dτ
= −
2
t3
d2
x
dτ2
−
dx
dτ
+
1
t2
d3
x
dτ3
−
d2
x
dτ2
dτ
dt
=
=
1
t3
d3
x
dτ3
− 3
d2
x
dτ2
+ 2
dx
dτ
...
Dosadíme-li do dané rovnice, vypadnou faktory t, t2
, . . . , tn
, takže dostaneme rovnici s konstantními
koeficienty.
4.4.2 Riccatiho rovnice
x = P(t)x2
+ Q(t)x + R(t)
Zavedeme substituci x(t) = −
y (t)
P(t)y(t)
. Pak x = −
Pyy − (P y + Py )y
P2y2
= −
y
Py
+
P y
P2y
+
y
2
Py2
a tedy
−
y
Py
+
P y
P2y
+
y
2
Py2
=
Py
2
P2y2
−
Qy
Py
+ R
−
y
Py
+
1
Py
P
P
+ Q y − R = 0
y −
P
P
+ Q y + PRy = 0 ,
což je lineární homogenní rovnice druhého řádu.
Příkladem na užití Riccatiho rovnice je model udržitelného rybolovu 6.7.
4.5 Cvičení
Řešte rovnice
1)
d2
x
dt2
+
dx
dt
= 0 2) x + tx = 0 3) tx − 2x = 0
Ukažte, že x = u(t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte.
4) u = t2
; t2
x − 2x = 0 5) u =
√
t; x +
x
4t2
= 0 (t > 0)
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
47
6) x + 2x = 0 7) x + 6x + 5x = 0
8) x + 6x + 9x = 0 9) x − 2x + 4x = 0
10) x − x = 0; x(0) = 1, x (0) = −2 11) x + 4x = 0; x(0) = 0, x (0) = 2
12) x + x = t 13) x + x = sin t
14) x − x = et
15) x − 3x − 10x = −3
16) x − x = sin t 17) x − 3x = e3t
− 12t
18) x + x = cotg t 19) x − 8x = e8t
20) x + 2x = t2
− et
21) t2
x − tx + x = t
22) t2
x − tx + 2x = (ln t)
2
23) t3
x − t4
x2
− t2
x = 2
Řešte systémy rovnic
24) x = −2x + y 25) x = −x − 2
3 y + 1
3 et
y = 3x − 4y y = 4
3 x + y − t
26) x + 3x + 2y = 5 sin t 27) 4x + 9y + 2x + 31y = et
y − 2x + 7y = 8 cost 3x + 7y + x + 24y = 3
Výsledky:
1) x = C1e−t
+ C2 2) x = C1 e−t2
/2
dt + C2 3) x = C1t4
+ C2t + C3 4) x =
C1
t
+ C2t2
5) x =
√
t (C1 ln |t| + C2) 6) x = C1 + C2e−2t
7) x = C1e−t
+ C2e−5t
8) x = (C1 + C2t)e−3t
9) x = et
(C1 cos
√
3 t + C2 sin
√
3 t) 10) x =
3e−t
− et
2
11 x = sin 2t 12) x = C1 + C2e−t
+
t2
2
− t
13) x = C1 cos t + C2 sin t −
t cos t
2
14) x = C1et
+ C2e−t
+
tet
2
15) x = C1e5t
+ C2e−2t
+ 3
10
16) x = C1 + C2et
+
cos t − sin t
2
17) x = C1 + C2e3t
+ 2t2
+
te3t
+ 4t
3
18) x = C1 cos t + C2 sin t − sin t ln
1 + cos t
sin t
19) x = C1 + C2 +
t
8
e8t
20) x = C1 + C2e−2t
+
t3
6
−
t2
4
+
t
4
−
et
3
21) x = t A ln t + B + 1
2 (ln t)2
22) At sin(B + ln t) + (1 + ln t)2
23) x =
2Ct − 1
t2(1 − Ct)
24) x = Ae−t
+ Be−5t
, y = Ae−t
− 3Be−5t
25) x = Aet/3
+ Be−t/3
− 6t, y = −2Aet/3
− Be−t/3
+ 9t + 1
2 et
+ 9
26) x = Ae−5t
+ Bte−5t
+ 365
338 sin t − 307
338 cos t, y = 2A−B
2 e−5t
+ Bte−5t
+ 144
338 sin t + 278
338 cos t
27) x = e−4t
(A cos t + B sin t) + 31
26 et
− 93
17 , y = e−4t
((B − A) cos t − (B + A) sin t) − 2
13 et
+ 6
17
48
Kapitola 5
Autonomní systémy
Budeme uvažovat systém rovnic
x = f(x) , (5.1)
kde f = (f1, f2, . . . , fn) : Ω → Rn
, Ω ⊆ Rn
je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných
bodů. Systém (5.1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic, definiční obor
pravých stran Ω se nazývá fázový (nebo stavový) prostor. V celé kapitole budeme předpokládat,
že f je spojitá funkce taková, že počáteční problém (5.1) s podmínkou
x(t0) = x0 (5.2)
má jediné řešení pro každé t0 ∈ R, x0
∈ Ω.
5.0.1 Věta
Je-li x = x(t) řešením úlohy (5.1), (5.2), pak pro každé τ ∈ R je y = y(t) = x(t + τ) řešením
rovnice (5.1) s počáteční podmínkou y(t0 − τ) = x0. Je-li x definováno na intervalu (S, T ), je y
definováno na intervalu (S − τ, T − τ).
Důkaz: y (t) =
d
dt
x(t + τ) = f x(t + τ) = f(y(t)).
Tato věta ukazuje, že autonomní systémy popisují děje invariantní vzhledem k posunutí v čase.
Bez újmy na obecnosti se tedy u autonomních systémů můžeme omezit na počátečními problémy
s počáteční podmínkou
x(0) = x0 ∈ Ω. (5.3)
5.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body
Úplné řešení x = x(t) problému (5.1), (5.3) definované na intervalu (S, T ), (přitom platí −∞ ≤
S < T ≤ ∞) lze interpretovat buďto jako graf zobrazení x : (S, T ) → Ω, nebo jako orientovanou
křivku C = {x(t) : S < t < T } ve fázovém prostoru Ω zadanou parametricky. Tuto křivku nazveme
trajektorií řešení x.
Křivku C+
= {x(t) : t ≥ 0}, resp. C−
= {x(t) : t ≤ 0}, nazveme pozitivní, resp. negativní,
polotrajektorií systému 5.1.
Příklad: Lineární systém
x = −y, y = x
49
má řešení x(t) = r cos(t + ψ), y(t) = r sin(t + ψ), kde
r = x(0)2 + y(0)2 , cos ψ =
x(0)
x(0)2 + y(0)2
, sin ψ =
y(0)
x(0)2 + y(0)2
.
Poněvadž x(t)2
+ y(t)2
= r2
, jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.
5.1.1 Věta
Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení systému (5.1), pak jejich trajektorie buďto splývají, nebo nemají
žádný společný bod.
Důkaz: Nechť x(t1) = y(t2) pro nějaká t1, t2 ≥ 0. Podle 5.0.1 je z = z(t) = x(t+(t1 −t2)) řešením
rovnice (5.1) s počáteční podmínkou z(t2) = x(t1). Trajektorie řešení z a x zřejmě splývají.
Současně ale z je řešením rovnice (5.1) s počáteční podmínkou z(t2) = y(t2) a z předpokládané
jednoznačné řešitelnosti problému (5.1) s libovolnou počáteční podmínkou plyne z ≡ y.
Dále budeme předpokládat, že úplné řešení Cauchyova problému (5.1), (5.3) je pro každou
počáteční hodnotu x0 ∈ Ω definováno na intervalu (−∞, ∞).
5.1.2 Definice
Bod x∗
∈ Ω se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický bod, singulární bod,
degenerovaná trajektorie) rovnice (5.1), jestliže f(x∗
) = 0.
Trajektorie rovnice (5.1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (5.1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární bod
x∗
∈ Ω takový, že lim
t→∞
x(t) = lim
t→−∞
x(t) = x∗
.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (5.1) se nazývá heteroklinická, jestliže existují stacionární body
x∗
1 ∈ Ω, x∗
2 ∈ Ω takové, že x∗
1 = x∗
2, lim
t→∞
x(t) = x∗
1 a lim
t→−∞
x(t) = x∗
2.
5.1.3 Věta
Libovolná trajektorie řešení autonomního systému (5.1) je právě jednoho z typů:
– stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením);
– cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení);
– trajektorie, která sama sebe neprotíná.
Důkaz: Plyne z 5.1.1.
5.1.4 Autonomní rovnice (autonomní systém na přímce)
Rovnice (5.1) pro n = 1, tj. rovnice
x = f(x) (5.4)
je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Podle 2.3 lze tedy najít její řešení
přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového prostoru dá názornější představu
o průběhu jejího řešení.
Stavovým prostorem Ω autonomní rovnice (5.4) je interval nebo sjednocení intervalů. Trajektorie
může být
• Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina R a funkce f je stále kladná nebo stále
záporná.
• Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo a ∈ R takové, že f(a) = 0 nebo a ∈ Ω
nastává některá z (nevylučujících se) možností
(−∞, a) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x < a, nebo (a, ∞) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x > a.
50
• Vnitřek úsečky, pokud existují čísla a, b ∈ R taková, že (a, b) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x ∈ (a, b) a
f(a) = 0 nebo a ∈ Ω a současně f(b) = 0 nebo b ∈ Ω.
V případě a ∈ Ω, b ∈ Ω se jedná o heteroklinickou trajektorii.
• Stacionární bod x∗
∈ Ω, pokud f(x∗
) = 0.
Je-li trajektorií přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná souhlasně
s orientací osy x, pokud f(x) > 0 ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky
nebo úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice (5.4). Pokud je zde f(x) < 0,
pak je trajektorie orientována proti orientaci osy x.
Nechť x∗
je stacionárním bodem rovnice (5.4) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí (x∗
, x∗
+
ε) ⊆ Ω tak, že f(x) = 0 pro x ∈ (x∗
, x∗
+ε). Trajektorie odpovídající řešení rovnice (5.4) s počáteční
podmínkou x(0) = x0 ∈ (x∗
, x∗
+ ε) směřují ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu x∗
,
pokud f(x) < 0, resp. f(x) > 0, na intervalu (x∗
, x∗
+ ε). Analogicky můžeme vyšetřit směr
trajektorií nalevo od stacionárního bodu.
Nechť nyní x∗
je vnitřní stacionární bod rovnice (5.4), tj. x∗
∈ Ω a f(x∗
) = 0. Pokud je
f (x∗
) = 0, pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho ryzí okolí, v němž f(x) = 0.
Je-li přitom f (x∗
) > 0, resp. f (x∗
) < 0, pak všechny trajektorie začínající v okolí bodu x∗
směřují
od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu x∗
.
5.1.5 Definice
Nechť x∗
je stacionární bod autonomního systému (5.1). Položme
Df(x∗
) =













∂f1
∂x1
(x∗
)
∂f1
∂x2
(x∗
) · · ·
∂f1
∂xn
(x∗
)
∂f2
∂x1
(x∗
)
∂f2
∂x2
(x∗
) · · ·
∂f2
∂xn
(x∗
)
...
...
...
...
∂fn
∂x1
(x∗
)
∂fn
∂x2
(x∗
) · · ·
∂fn
∂xn
(x∗
)













.
Řekneme, že stacionární bod x∗
je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo matice Df(x∗
) má
nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice Df(x∗
) kladnou reálnou část, řekneme,
že hyperbolický stacionární x∗
bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla matice Df(x∗
)
zápornou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod x∗
je stok (sink).
Homogenní lineární systém s konstantní maticí
x = Df(x∗
)x
se nazývá linearizace systému (5.1) ve stacionárním bodě x∗
.
Matice Df(x∗
) je vlastně Jacobiho maticí zobrazení f v bodě x∗
, proto se někdy používá
označení Df(x∗
) = J(x∗
). Tato matice se někdy také nazývá variační matice systému (5.1) a
linearizace tohoto systému se nazývá variační rovnice systému (5.1).
5.1.6 Definice
Neprázdná podmnožina A fázového prostoru Ω systému (5.1) se nazývá
pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), jestliže pro každé řešení x( · ) systému
(5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0;
negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant), jestliže pro každé řešení x( · ) systému
(5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≤ 0;
invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.
51
5.1.7 Poznámky
1. Jsou-li množiny A, B ∈ Ω pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny A ∩ B
a A ∪ B jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.
2. Libovolná trajektorie C systému (5.1) je invariantní množinou tohoto systému.
5.1.8 Definice
Nechť A, B ⊆ Ω, B = ∅ a je nějaká metrika na Ω ekvivalentní s euklidovskou. Řekneme, že
množina A atrahuje (přitahuje) množinu B (množina A je atraktorem množiny B), jestliže pro
každé řešení systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B platí, že lim
t→∞
x(t), A = 0;
množina A je (globální) atraktor, jestliže A přitahuje Ω;
množina A absorbuje množinu B, jestliže A je pozitivně invariantní a ke každému řešení x systému
(5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B existuje T ≥ 0 takové, že x(T ) ∈ A;
množina A je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu Ω.
5.1.9 Poznámky
1. Nechť x( · ) je řešením systému (5.1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ Ω. Pokud množina
A je ω-limitní množinou řešení x( · ), pak je pozitivně invariantním atraktorem množiny
{x0}.
2. Trajektorii C systému (5.1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina B ⊆ Ω
taková, že B ∩ (Ω \ C) = ∅ a C atrahuje množinu B. Je-li C navíc cyklem, nazveme ho
limitním cyklem.
3. Buď i ∈ {1, 2, . . ., n}. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro každý bod
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω splňující podmínku |xi| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ|xi|,
pak množina Ai = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |xi| ≤ K} je globálně absorbující množinou
systému (5.1).
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Ai. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · ) systému (5.1) takové, že pro všechna t ≥ 0
je |xi(t)| > K. Položme u(t) = |xi(t)|. Pak pro všechna t ≥ 0 je
u (t) =
d
dt
|xi(t)| = sgn xi(t) fi x(t) ≤ −δ|xi(t)| = −δu(t),
neboli
u (t)
u(t)
≤ −δ.
Integrací této nerovnosti v mezích od 0 po t dostaneme ln u(t) − ln u(0) ≤ −δt, tj.
0 ≤ |xi(t)| = u(t) ≤ u(0)e−δt
= |xi(0)|e−δt
pro libovolné t ≥ 0. Odtud plyne, že lim
t→∞
|xi(t)| = 0, což je ve sporu s předpokladem
|xi(t)| > K > 0.
Množina Ai má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že
je navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení
x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · )
52
systému (5.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ Ai takové, že pro jisté t1 > 0 je x(t1) ∈ Ai, tj.
|xi(t1)| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, |xi(t)| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce xi( · ) a z vlastností suprema plyne, že T < t1, xi(T ) = K
a funkce xi( · ) je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
|xi(t)|
t=T
= sgn xi(T ) fi x(T ) ≤ −δ|xi(t)| = −δK < 0,
což je spor s faktem, že funkce xi( · ) je v T rostoucí.
5.1.10 Definice
Systém (5.1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující množina.
5.1.11 Poznámky
1. Je-li systém (5.1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.
2. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro všechna i ∈ {1, 2, . . ., n} a všechna
x ∈ Ω taková, že ||x|| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ,
pak je systém (5.1) dissipativní a globálně absorbující je množina A = {x ∈ Ω : ||x|| ≤ K}.
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu A. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) systému (5.1) takové, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0. Pak ||x(t)|| > K pro
všechna t > 0, a tedy pro libovolné t > 0 platí
d
dt
||x(t)|| =
n
i=1
d
dt
|xi(t)| =
n
i=1
sgn xi(t) xi(t) =
n
i=1
sgn xi(t) fi x(t) ≤
n
i=1
(−δ) = −nδ.
Integrací této nerovnosti dostaneme ||x(t)|| ≤ ||x(0)|| − nδt, takže pro t ≥
||x(0)|| − K
nδ
je
||x(t)|| ≤ K, což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou A neprázdný průnik, což
také znamená, že množina A je neprázdná.
Ukážeme, že množina A je navíc pozitivně invariantní. Nechť x( · ) je řešením systému (5.1)
s počáteční podmínkou x(0) ∈ A. Připusťme, že existuje t1 > 0, pro něž x(t1) ∈ A. Pak
||x(t1)|| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, ||x(t)|| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce ||x( · )|| a z vlastností suprema plyne, že ||x(T )|| = K a
funkce ||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
||x(t)||
t=T
=
n
i=1
sgn xi(T ) xi(T ) =
n
i=1
sgn xi(T ) fi x(T ) ≤ −nδ < 0,
což je spor s tím, že funkce ||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Pro všechna t > 0 je tedy x ∈ A a
množina A je invariantní.
3. Nechť ke každému i ∈ {1, 2, . . ., n} existují kladné konstanty Ki, δi takové, že pro všechna
x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω z nerovnosti |xi| ≥ Ki plyne nerovnost
(sgn xi)fi(x) ≤ −δi|xi|.
53
Pak je systém (5.1) dissipativní s globálně absorbující množinou
A = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |x1| ≤ K1, |x2| ≤ K2, . . . , |xn| ≤ Kn} .
Důkaz: Položme Ai = {x ∈ Ω : |xi| ≤ Ki}. Pak každá z množin Ai je podle třetího z tvrzení
5.1.9 globálně absorbující množinou a A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An. Podle 5.1.7 je množina A
pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.
Buď x(t) libovolné řešení systému (5.1). Podle třetího z tvrzení 5.1.9 existuje t1 ≥ 0 takové,
že |x1(t1)| ≤ K1 pro všechna t ≥ t1. Dále existuje t2 ≥ t1 takové, že pro všechna t ≥ t2 je
|x2(t2)| ≤ K2 atd. Nakonec existuje tn ≥ tn−1 takové, že |xn(t)| ≤ Kn pro všechna t ≥ tn.
Takže pro všechna t ≥ tn je |x1(t)| ≤ K1, |x2(t)| ≤ K2, . . . , |xn(t)| ≤ Kn, tj. x(t) ∈ A.
5.2 Autonomní systémy v rovině
V tomto oddílu se budeme zabývat systémem (5.1) pro n = 2, tedy systémem
x = f(x, y)
y = g(x, y).
(5.5)
5.2.1 Definice
Křivka zadaná implicitně rovnicí f(x, y) = 0 (resp. g(x, y) = 0) se nazývá x-nulklina (resp. ynulklina)
rovnice (5.5).
Průsečík nulklin je stacionární bod, tečna k trajektorii v jejím průsečíku s x-nulklinou (resp.
y-nulklinou) je rovnoběžná s osou y (resp. x).
5.2.2 Definice (typy stacionárních bodů v rovině)
Stacionární bod (x∗
, y∗
) systému (5.5) se nazývá
bod rotace, jestliže v jeho libovolném okolí leží cyklus, obsahující (x∗
, y∗
) ve svém vnitřku;
střed, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že každá trajektorie s x(0), y(0) ∈ U je cyklem
obsahujícím (x∗
, y∗
) ve svém vnitřku (střed je speciálním případem bodu rotace);
ohnisko, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗
, y∗
) s nějakým pevným
vektorem platí
lim
t→∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→∞
ψ(t) = −∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = −∞
(trajektorie se přibližuje ke stacionárnímu bodu (nebo se od něho vzdaluje) po spirále);
uzel, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗
, y∗
) s nějakým pevným
vektorem existuje vlastní lim
t→∞
ψ(t) nebo lim
t→−∞
ψ(t);
sedlo, jestliže existuje jen konečný počet trajektorií (x, y) = x(t), y(t) takových, že
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) .
54
5.2.3 Stacionární body lineárního homogenního autonomního systému
Lineární homogenní autonomní systém je lineární homogenní systém s konstantní maticí. Budeme
se tedy zabývat dvojrozměrným systémem
x = ax + by
y = cx + dy.
(5.6)
Označme
A =
a b
c d
.
Pokud det A = ad − bc = 0, má systém (5.6) jediný stacionární bod (0, 0). Vlastní čísla matice A
jsou kořeny charakteristické rovnice
a − λ b
c d − λ
= λ2
− (a + d)λ + ad − cb = λ2
− (tr A)λ + det A = 0, (5.7)
tedy při označení D = (tr A)2
− 4 det A je λ1,2 =
1
2
tr A ±
√
D .
(i) det A > 0
(i.1) tr A = 0
V tomto případě je D = −4 det A < 0 a kořeny charakteristické rovnice (5.7) jsou ryze
imaginární, λ1 = i
√
det A , λ2 = −i
√
det A , takže řešení systému (5.6) s počáteční podmínkou
x(0), y(0) = (0, 0) je
x(t)
y(t)
=



cos
√
det A t − ϕ
− −
c
b
sin
√
det A t − ϕ + ˜ϕ



pro vhodné konstanty , ϕ, přičemž
= 0, tg ˜ϕ =
a
√
det A
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření elips se středem (0, 0), každá trajektorie je tedy cyklem se
stacionárním bodem (0, 0) ve svém vnitřku. To znamená, že stacionární bod (0, 0) je střed.
(i.2) tr A = 0
(i.2.a) det A > 1
4 (tr A)
2
V tomto případě je D < 0, charakteristická rovnice (5.7) má dva různé komplexně sdružené
kořeny 1
2 tr A ± i
√
−D a systém (5.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
=




cos
√
−D
2
t − ϕ
− −
c
b
sin
√
−D
2
t − ϕ − ˜ϕ



 e(1
2 tr A)t
,
kde , ϕ, ˜ϕ jsou vhodné konstanty, přičemž
= 0, tg ˜ϕ =
d − a
√
−D
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření spirály, která se „navíjí na stacionární bod (0, 0) nebo se z něho
„odvíjí .
55
Pokud tr A > 0, pak lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
, pokud tr A < 0, pak lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
(i.2.b) det A < 1
4 (tr A)
2
.
Nechť x(t), y(t) je řešením systému (5.6) a označme ϕ(t) úhel, který svírá přímka procházející
body (0, 0), x(t), y(t) s vodorovnou osou. Platí
tg ψ(t) =
y(t)
x(t)
, pokud x(t) = 0, cotg ψ(t) =
x(t)
y(t)
, pokud y(t) = 0.
V tomto případě je D > 0 a
√
D < |tr A|. Charakteristická rovnice (5.7) má dva reálné různé
kořeny λ1, λ2 takové, že oba mají stejné znaménko jako tr A. Nechť pro určitost λ1 < λ2 a
u =
u1
u2
, resp. v =
v1
v2
,
je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě λ1, resp. λ2. Alespoň jedna ze souřadnic každého
z vlastních vektorů je nenulová. Obecné řešení systému (5.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) =
(0, 0) je
x(t)
y(t)
= α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
;
přitom alespoň jedna z konstant α, β je nenulová.
Je-li tr A > 0, pak 0 < λ1 < λ2 a
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= lim
t→−∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
;
je-li tr A < 0, pak λ1 < λ2 < 0 a
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= lim
t→∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
.
Pokud α = 0 = u1, pak
lim
t→−∞
y(t)
x(t)
= lim
t→−∞
αu2eλ1t
+ βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2 + βv2e(λ2−λ1)t
αu1 + βv1e(λ2−λ1)t
=
u2
u1
a pokud α = 0 = v1, pak
lim
t→∞
y(t)
x(t)
= lim
t→∞
αu2eλ1t
+ βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2e(λ1−λ2)t
+ βv2
αu1e(λ1−λ2)t + βv1
=
v2
v1
.
Analogicky, pokud α = 0, pak
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
u1
u2
když u2 = 0, lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Pokud α = 0, pak
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
v2
v1
když v1 = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Směrový vektor polotečny k libovolné trajektorii
ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A.
(i.2.c) det A = 1
4 (tr A)
2
56
V tomto případě je tr A = 0, neboť det A = 0, charakteristická rovnice (5.7) má dvojnásobný
kořen 1
2 tr A a systém (5.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
=
α + βt
γ + δt
e(1
2 tr A)t
,
kde α, β, γ, δ jsou nějaké konstanty, z nichž aspoň dvě jsou nenulové. Proto platí
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
δ
β
pro β = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
β
δ
pro δ = 0, lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
γ
α
pro β = 0 = δ.
Je-li tr A < 0, pak
lim
t→∞
e(1
2 tr A)t
= 0, lim
t→∞
te(1
2 tr A)t
= lim
t→∞
t
e−(1
2 tr A)t
= lim
t→∞
1
−1
2 tr A e−(1
2 tr A)t
= 0
a tedy lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
. Je-li tr A > 0 pak analogicky lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Nyní však již obecně neplatí, že směrový vektor
polotečny k trajektorii ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A; v případě β = 0 = δ
(tj. pokud vlastní hodnotě λ matice A přísluší dva lineárně nezávislé vlastní vektory) je každá
přímka procházející bodem (0, 0) polotečnou nějaké trajektorie.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4 (tr A)2
, tj. 4ad − 4bc = (a + d)2
plyne, že
c = −
1
b
a − b
2
2
.
Vlastní hodnotě λ = 1
2 (a + d) přísluší jediný (až na násobek skalárem) vlastní vektor
2b
a − d
.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4 (tr A)2
plyne (a − d)2
= 0, tj. a = d. Matice
a 0
c a
má
pro c = 0 jednoznačně určený vlastní vektor
0
1
příslušný k vlastní hodnotě λ = a; pro c = 0 je
každý vektor vlastním vektorem matice
a 0
0 a
příslušným k vlastní hodnotě λ = a.
Nyní můžeme předchozí tvrzení upřesnit. Je-li a2
+ d2
> 0, pak směrový vektor polotečny
k trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastní
hodnotě λ = 1
2 tr A. Je-li a2
+d2
> 0, pak každý nenulový vektor je směrovým vektorem polotečny
k nějaké trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0).
(ii) det A < 0
V tomto případě je D > (tr A)
2
≥ 0, což znamená, že rovnice (5.7) má dva reálné různé kořeny
λ1, λ2. Poněvadž
√
D > |tr A|, mají tyto kořeny opačná znaménka. Nechť pro určitost λ1 < 0 < λ2.
Označme v1, resp. v2, vlastní vektor matice A příslušný k vlastní hodnotě λ1, resp. λ2. Obecné
řešení systému (5.6) je podle 4.2
x(t)
y(t)
= αv1eλ1t
+ βv2eλ2t
,
kde α, β jsou nějaké konstanty. Pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= (βv2) lim
t→−∞
eλ2t
= o,
pro α = 0 = β je
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= (αv1) lim
t→∞
eλ1t
= o
57
det A
tr A
det A = 1
4
(tr A)2
střed
ohnisko
stok
zdroj
uzel
stok
zdroj
sedlo
Obrázek 5.1: Typy izolovaných stacionárních bodů dvourozměrného autonomního lineárního homogenního
systému (5.6) v závislosti na hodnotách stopy a determinantu jeho matice.
a pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→−∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→−∞
eλ2t
= ∞ + 0 = ∞,
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→∞
eλ2t
= 0 + ∞ = ∞.
To znamená, že stacionární bod (0, 0) je sedlo. Směrový vektor polotečny ke trajektorii, která
směřuje ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu, je vlastním vektorem matice A příslušným
k záporné, resp. kladné, vlastní hodnotě.
Výsledky provedené analýzy lineárního dvourozměrného systému (5.6) s konstantní maticí jsou
shrnuty graficky na obrázku 5.1.
5.2.4 Věta
Uvažujme autonomní systém
x = ax + by + P(x, y)
y = cx + dy + Q(x, y) ,
(5.8)
kde P, Q jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť ad−bc = 0 a nechť existuje
ε > 0 takové, že
lim
(x,y)→(0,0)
|P(x, y)| + |Q(x, y)|
(|x| + |y|)1+ε
= 0 .
Je-li bod (0, 0) uzlem nebo ohniskem pro systém (5.6), pak je stejného typu i pro systém (5.8).
Je-li bod (0, 0) středem pro systém (5.6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém (5.8).
Je-li bod (0, 0) sedlem pro systém (5.6) a funkce P, Q mají spojité parciální derivace podle obou
proměnných v okolí počátku, pak je (0, 0) sedlem i pro systém (5.8).
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VIII.
58
5.2.5 Důsledek
Nechť (x∗
, y∗
) je stacionárním bodem systému (5.5) (tj. f(x∗
, y∗
) = g(x∗
, y∗
) = 0) a funkce f, g
mají spojité druhé parciální derivace podle obou proměnných v okolí bodu (x∗
, y∗
). Označme
f1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), f2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
), g1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), g2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
)
a nechť f1g2 − f2g1 = 0.
Pak je bod (x∗
, y∗
) uzlem, ohniskem nebo sedlem pro systém (5.5), je-li počátek stacionárním
bodem stejného typu pro lineární homogenní systém
x = f1x + f2y
y = g1x + g2y .
(5.9)
Je-li počátek středem pro systém (5.9), je bod (x∗
, y∗
) buďto ohniskem nebo bodem rotace pro
systém (5.5).
Důkaz: Podle Taylorovy věty pro funkce dvou proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 5.2) existuje okolí O(x∗,y∗) stacionárního bodu
(x∗
, y∗
) takové, že ke každému (x, y) ∈ O(x∗,y∗) existuje číslo ϑ ∈ (0, 1) tak, že platí
f(x, y) = f(x∗
, y∗
) +
∂f(x∗
, y∗
)
∂x
(x − x∗
) +
∂f(x∗
, y∗
)
∂y
(y − y∗
)+
+
1
2
∂2
f x∗
+ ϑ(x − x∗
), y∗
+ ϑ(y − y∗
)
∂x2
(x − x∗
)2
+
+ 2
∂2
f x∗
+ ϑ(x − x∗
), y∗
+ ϑ(y − y∗
)
∂x∂y
(x − x∗
)(y − y∗
)+
+
∂2
f x∗
+ ϑ(x − x∗
), y∗
+ ϑ(y − y∗
)
∂y2
(y − y∗
)2
=
= f1(x − x∗
) + f2(y − y∗
) + P(x − x∗
, y − y∗
),
kde jsme symbolem P(x − x∗
, y − y∗
) označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.
Ze spojitosti druhých parciálních derivací funkce f a z druhé Weierstraßovy věty plyne, že
existuje konstanta K taková, že pro všechna (x, y) ∈ O(x∗,y∗) platí
∂2
f(x, y)
∂x2
≤ K,
∂2
f(x, y)
∂x∂y
≤ K,
∂2
f(x, y)
∂y2
≤ K.
Odtud plyne, že
|P(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
1
2
K|x − x∗
|2
+ 2K|x − x∗
||y − y∗
| + K|y − y∗
|2
=
K
2
|x − x∗
| + |y − y∗
|
2
.
Analogicky ukážeme, že existuje konstanta L a funkce Q takové, že na okolí stacionárního bodu
(x∗
, y∗
) platí
g(x, y) = g1(x − x∗
) + g2(y − y∗
) + Q(x − x∗
, y − y∗
),
přičemž
|Q(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
L
2
K |x − x∗
| + |y − y∗
|
2
.
Nyní budeme vyšetřovat průběh malých odchylek řešení systému (5.5) od stacionárního bodu
(x∗
, y∗
), tj. zavedeme nové neznámé funkce
ξ = ξ(t) = x(t) − x∗
, η = η(t) = y(t) − y∗
.
59
(jinak lze říci, že posuneme stacionární bod (x∗
, y∗
) do počátku.) Funkce ξ, η jsou řešením autonomního
systém tvaru
ξ = f1ξ + f2η + P(ξ, η),
η = g1ξ + g2η + Q(ξ, η).
Pro funkce P, Q platí nerovnost |P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)| ≤ M |ξ| + |η|
2
, kde M = max {K, L}. Pro
libovolné ε ∈ (0, 1) nyní dostaneme
0 ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
|P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)|
|ξ| + |η|
1+ε ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
M |ξ| + |η|
2
|ξ| + |η|
1+ε = M lim
(ξ,η)→(0,0)
|ξ| + |η|
1−ε
= 0
a tvrzení plyne z věty 5.2.4.
S použitím terminologie zavedené v 5.1.5 můžeme část tohoto tvrzení přeformulovat: Je-li
(x∗
, y∗
) hyperbolický stacionární bod systému (5.5), pak je stejného typu jako stacionární bod
(0,0) linearizace tohoto systému ve stacionárním bodě (x∗
, y∗
).
5.2.6 Věta (Dulacovo kritérium)
Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω a existují jednoduše souvislá otevřená množina
B ⊆ Ω a spojitě diferencovatelná funkce q : B → R tak, že výraz
F(x, z) =
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina
{(x, y) ∈ B : F(x, y) = 0} má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému (5.5).
Důkaz: Připusťme, že existuje cyklus C ⊆ B rovnice (5.5) a nechť jeho parametrické vyjádření je
x = ϕ(t), y = ψ(t);
přitom funkce ϕ, ψ vyjadřují ω-periodické řešení systému (5.5), tedy
ϕ (t) = f ϕ(t), ψ(t) , ψ (t) = g ϕ(t), ψ(t) .
Předpokládejme, že křivka C je orientována kladně a má
tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou y a právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou x. Označme A množinu ohraničenou
křivkou C, [a, b] průmět množiny A na osu x, t0 hodnotu
parametru pro niž ϕ(t0) = ϕ(t0 + ω) = b, α nejmenší
kladné číslo pro něž ϕ(t0 + α) = a.
Dále zavedeme funkce m = m(x), resp. M = M(x),
takové, že jejich graf na intervalu [a, b] splývá s dolním,
resp. horním, obloukem křivky C. Pak
y
xba
M(x)
m(x)
C
A
m(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0 +α, t0 +ω], M(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0, t0 +α].
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
A
F(x, y) = 0. (5.10)
60
Podle Fubiniovy věty nyní platí
I =
A
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dxdy =
=
b
a



M(x)
m(x)
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dy


 dx =
b
a
[q(x, y)g(x, y)]
M(x)
y=m(x) dx =
=
b
a
q x, M(x) g x, M(x) dx −
b
a
q x, m(x) g x, m(x) dx.
V integrálech zavedeme substituci x = ϕ(t), tedy dx = ϕ (t)dt = f ϕ(t), ψ(t) dt,
I =
t0
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt−
−
t0+ω
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
t0+ω
t0
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
C
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) ds,
kde
C
Φ(x, y)ds označuje křivkový integrál z funkce Φ přes uzavřenou křivku C. Analogicky ukážeme,
že
J =
A
∂
∂x
q(x, y)f(x, y)dxdy =
C
q ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) ds.
Odtud plyne, že
A
F(x, y) =
A
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
dxdy = J + I = 0,
což je ve sporu s (5.10).
V případě, že by křivka byla orientovaná záporně, provedeme důkaz stejně s příslušnou změnou
znamének.
Pokud by na křivce C existovalo k > 2 bodů, v nichž je tečna rovnoběžný s osou y, rozdělili
bychom interval [t0, t0+ω] na k subintervalů [t0, t0+α1], [t0+α1, t0+α1+α2], . . . , [t0+ω−αk, t0+ω]
takových, že na každém z nich oblouk křivky C splyne s grafem nějaké funkce proměnné x.
5.2.7 Důsledek (Bendixsonovo kritérium)
Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω a existuje jednoduše souvislá otevřená množina
B ⊆ Ω tak, že výraz
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina,
na níž je tento výraz nulový má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému (5.5).
61
5.2.8 Věta (Poincaré [1854–1912]-Bendixson [1861-1935])
Jestliže rovnice (5.1) má trajektorii C+
= {x(t) : t ≥ 0}, která je ohraničená a její uzávěr neobsahuje
stacionární body rovnice (5.1), pak existuje cyklus rovnice (5.1), který leží v C+.
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VII.
5.3 Stabilita
5.3.1 Definice (Persidskij [1903–1970])
Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (5.1) definované na intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá
stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé t0 ≥ 0 všechna
řešení x = x(t) systému (5.1) splňující podmínku ||x(t0) − x0(t0)|| < δ existují pro všechna t ≥ t0
a splňují pro ně nerovnost ||x(t) − x0(t)|| < ε.
Není-li řešení x0 = x0(t) systému (5.1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.
5.3.2 Definice (Ljapunov [1857–1918])
Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (5.1) definované na intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá
stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně stabilní a existuje δ > 0 tak, že pro každé
t1 ≥ 0 a všechna řešení x = x(t) systému (5.1) splňující podmínku ||x(t1) − x0(t1)|| < δ platí
lim
t→∞
||x(t) − x0(t)|| = 0.
Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty (sr.
4.2) plynou následující tři věty.
5.3.3 Věta
Buď A konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice det(A − λE) = 0
(vlastní čísla matice A) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou částí jsou jednoduché,
pak řešení x0 = x0(t) ≡ 0 lineárního autonomního systému
x = Ax (5.11)
je stejnoměrně stabilní.
5.3.4 Věta
Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice A má kladnou reálnou část, pak řešení x0 = x0(t) ≡ 0
lineárního autonomního systému (5.11) je nestabilní.
5.3.5 Věta
Řešení x0 = x0(t) ≡ 0 lineárního autonomního systému (5.11) je stejnoměrně asymptoticky
stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou část.
Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty
x = Ax + g(x) . (5.12)
62
5.3.6 Věta
Buď Y = Y(t) fundamentální matice řešení systému (5.11). Jestliže existují konstanty K > 0 a
γ <
1
K
takové, že
t
0
Y(t)Y(s)
−1
ds ≤ K pro t ≥ 0 (5.13)
a ||g(x)|| ≤ γ ||x|| pro x ∈ Ω, pak řešení x0 = x0(t) ≡ 0 systému (5.12) je stejnoměrně asymptoticky
stabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130–131.
Poznámka: Podmínka (5.13) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení
systému (5.11). Věta říká, že je-li perturbace g v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává zachována
stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice (5.12).
Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních
řešení (stacionárních bodů) rovnice (5.1).
Je-li funkce f dvakrát spojitě diferencovatelná a f(x∗
) = o, pak podle Taylorovy věty pro
funkce více proměnných platí
f(x) = A(x − x∗
) + r1(x, x∗
) ,
kde A = (aij) =
∂fi
∂xj
(x∗
) a r1 je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné asymptotické
stability konstantních řešení rovnice (5.1) lze transformací y = x−x∗
převést na vyšetřování
stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice
y = Ay + g(y),
kde g(y) = r1(y + x∗
, x∗
) a tu vyšetřit podle věty 5.3.6.
5.3.7 Věta
Buď x∗
stacionární bod systému (5.1) a nechť zobrazení f je spojitě diferencovatelné.
Mají-li všechna vlastní čísla variační matice Df(x∗
) = J(x∗
) záporné reálné části, pak konstantní
řešení x(t) ≡ x∗
systému (5.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo variační matice Df(x∗
) = J(x∗
) s kladnou reálnou částí, pak je
konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (5.1) nestabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137–138.
První tvrzení věty 5.3.7 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. 5.1.5.
5.3.8 Kvalitativní vlastnosti řešení dvourozměrného autonomního systému
(5.5)
Nechť (x∗
, y∗
) je stacionární bod systému (5.5), funkce f, g jsou dvakrát spojitě diferencovatelné
a J(x∗
, y∗
) je variační matice tohoto systému v bodě (x∗
, y∗
). Spojením výsledků z 5.2.2, 5.2.5 a
5.3.7 dostaneme dostatečné podmínky pro to, aby stacionární bod (x∗
, y∗
) byl sedlem, stabilním
nebo nestabilním uzlem a ohniskem; tyto podmínky jsou shrnuty v tabulce 5.1.
Do konce tohoto odstavce budeme symbolem ϕ(t; x0
) = ϕ1(t; x0
), . . . , ϕn(t; x0
) označovat
řešení počáteční úlohy (5.1), (5.2).
63
det J(x∗
, y∗
) < 0 sedlo
tr J(x∗
, y∗
)
2
≥ 4 det J(x∗
, y∗
) nestabilní uzel
tr J(x∗
, y∗
) > 0
tr J(x∗
, y∗
)
2
< 4 det J(x∗
, y∗
) nestabilní ohnisko
tr J(x∗
, y∗
)
2
≥ 4 det J(x∗
, y∗
) stabilní uzel
det J(x∗
, y∗
) > 0
tr J(x∗
, y∗
) < 0
tr J(x∗
, y∗
)
2
< 4 det J(x∗
, y∗
) stabilní ohnisko
Tabulka 5.1: Klasifikace stacionárních bodů systému (5.5). Uvedené podmínky jsou dostatečné
pro to, aby stacionární bod (x∗
, y∗
) byl typu uvedeného v posledním sloupci tabulky; J(x∗
, y∗
)
označuje variační matici systému (5.5) ve stacionárním bodě (x∗
, y∗
).
5.3.9 Definice
Buď x∗
∈ Ω a G okolí bodu x∗
ve fázovém prostoru Ω. Spojitá funkce V : G → R se nazývá
ljapunovská funkce systému (5.1) v bodě x∗
, jestliže
(i) V (x∗
) = 0 a V (x) > 0 pro každé x ∈ G \ {x∗
}.
(ii) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ϕ(t; η) (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné t)
nerostoucí pro všechna t ≥ 0.
5.3.10 Věta (Přímá Ljapunova metoda)
Existuje-li ljapunovská funkce systému (5.1) v bodě x∗
, pak x∗
je stacionárním bodem systému
(5.1) a konstantní řešení x(t) ≡ x∗
tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Pokud navíc podmínku (ii) z definice 5.3.9 lze nahradit silnější podmínkou
(ii∗
) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ϕ(t; η) (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné t)
klesající pro všechna t ≥ 0,
pak je konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (5.1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Pokud by existovalo τ > 0 takové, že ϕ(τ; x∗
) = x∗
, pak by V ϕ(τ; x∗
) > 0 =
V ϕ(0; x∗
) a funkce V ϕ(·; x∗
) by nebyla nerostoucí. Bod x∗
je tedy stacionárním bodem
systému (5.1).
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x∗
= o. V opačném případě bychom totiž mohli
systém (5.1) substitucí y = x − x∗
transformovat na systém y = f(y + x∗
), pro který je o
stacionárním bodem.
Buď ε > 0 libovolné číslo takové, že {x ∈ Rn
: ||x|| ≤ ε} ⊆ G a označme
γ = min {V (x) : ||x|| = ε} .
Pak γ > 0 a V (x) ≥ γ pro každé x takové, že ||x|| = ε. Ze spojitosti funkce V plyne, že existuje
δ > 0 takové, že |V (x) − 0| = V (x) < γ pro všechna x taková, že ||x|| < δ. Zřejmě je δ < ε.
Buď dále ξ ∈ Ω takové, že ||ξ|| < δ. Pak V ϕ(0; ξ) < γ a poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je
nerostoucí, platí
V ϕ(t; ξ) < γ pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ). (5.14)
Kdyby nyní existovalo t1 > 0 takové, že ||ϕ(t1, ξ)|| ≥ ε, pak by ze spojitosti funkce ||ϕ( · ; ξ)|| a z Bolzanovy
věty plynula existence t0 ∈ (0, t1) takového, že ||ϕ(t0; ξ)|| = ε a platilo by V ϕ(t0; ξ) ≥ γ,
což by byl spor s (5.14).
Pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ) tedy platí ||ϕ(t; ξ)|| < ε. Odtud navíc
podle 3.2.6 plyne, že ϕ( · ; ξ) je definována pro všechna t > 0. Tvrzení o stejnoměrné stabilitě je
tedy dokázáno.
64
V případě, že ξ = x∗
, platí: ϕ(t; ξ) = ϕ(t; x∗
) = x∗
pro každé t ≥ 0, takže lim
t→∞
ϕ(t; ξ) = x∗
.
Nechť ξ = x∗
= o a funkce V ϕ( · ; ξ) je klesající. Poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je monotonní,
existuje
lim
t→∞
V ϕ(t; ξ) = α ∈ R (5.15)
a z nezápornosti funkce V plyne α ≥ 0. Připusťme α > 0. Z toho, že
lim
x→x∗
V (x) = V (x∗
) = 0,
plyne existence t2 > 0 a β > 0 takových, že ||ϕ(t; ξ)|| ≥ β pro všechna t ≥ t2. Pro všechna t ≥ t2
je tedy
β ≤ ||ϕ(t; ξ)|| ≤ ε.
Položme v(z) = V ϕ(1; z) − V ϕ(0; z) . Funkce v je podle 3.2.10 spojitá na kompaktní množině
{z ∈ Rn
: β ≤ ||z|| ≤ ε} a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje
∆ = max {v(z) : β ≤ ||z|| ≤ ε} ;
je ∆ < 0 a pro k ∈ N platí
V ϕ(t2 + k; ξ) = V ϕ(t2 + k; ξ) − V ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) =
= v ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) = . . .
· · · =
k
i=1
v ϕ(t2 + i − 1; ξ) + V ϕ(t2; ξ) ≤ k∆ + V ϕ(t2; ξ) .
Poněvadž lim
k→∞
k∆ = −∞, je také lim
k→∞
V ϕ(t2 + k; ξ) = −∞, což je spor s (5.15). Tento spor
dokazuje, že α = 0. Ze spojitosti funkce V , z faktu ϕ(t; ξ) = x∗
pro t > 0 a ξ = x∗
, z podmínky
(i) v definici 5.3.9 a ze vztahu (5.15) nyní plyne lim
t→∞
ϕ(t; ξ) = x∗
. Tím je dokázáno i tvrzení
o stejnoměrné asymptotické stabilitě.
5.3.11 Důsledek
Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice 5.3.9. Jestliže pro
každé x ∈ G platí
˙V (x) =
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) ≤ 0, (5.16)
pak funkce V je ljapunovskou funkcí systému (5.1) v bodě x∗
a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗
tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Jestliže pro každé x ∈ G \ {x∗
} platí ˙V (x∗
) < 0, pak funkce V splňuje podmínku (ii∗
) z věty
5.3.10 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗
tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Pro každé η ∈ G a každé t ≥ 0 je x = ϕ(t, η) ∈ G a podle věty o derivaci složené funkce
platí
d
dt
V ϕ(t; η) =
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η)
dϕi(t; η)
dt
=
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η) fi ϕ(t; η) =
=
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) = ˙V (x).
Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace plynou
obě tvrzení.
65
Je-li U diferencovatelná funkce definovaná na G ⊆ Ω, pak výraz ˙U(x) definovaný vztahem
˙U(x) =
n
i=1
∂U(x)
∂xi
fi(x)
se nazývá derivace funkce U vzhledem k systému (5.1).
5.4 Konzervativní systémy
Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor (nabla,
gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci F proměnných x1, x2, . . . , xn vektorovou
funkci
F =
∂F
∂x1
,
∂F
∂x2
, . . . ,
∂F
∂xn
T
.
stejných proměnných.
Matice A se nazývá antisymetrická (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí
rovnost A = −AT
.
5.4.1 Definice
Funkce U : Ω → R se nazývá první integrál (invariant) systému (5.1), je-li spojitě diferencovatelná
a v každém bodě x ∈ Ω pro její derivaci vzhledem k systému (5.1) platí
˙U(x) = U(x)T
f(x) =
n
i=1
∂U
∂xi
(x)fi(x) = 0.
Řekneme, že systém (5.1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.
5.4.2 Věta
Nechť U : Ω → R je první integrál systému (5.1) a nechť x( · ) je řešení systému (5.1). Pak je
funkce U x( · ) konstantní.
Důkaz:
d
dt
U(x(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t)
d
dt
xi(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t) fi x(t) = 0.
První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému (5.1) konstantní, tj.
veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant je tedy adekvátní. Systém
je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu U. V aplikacích může jít např. o celkovou
energii nebo hmotu a podobně.
Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému (5.1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu.
Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému (5.1).
Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému (5.1). Uvažujme
systém (5.1) s počáteční podmínkou (5.3). Nechť k je přirozené číslo splňující nerovnosti 1 ≤ k < n,
U1, U2, . . . , Uk jsou první integrály systému (5.1) a nechť vektory U1(x0), U2(x0), . . . , Uk(x0)
jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení Φ = (Φ1, Φ2, . . . , Φk)T
: Ω → Rk
předpisem
Φ(x) =





U1(x) − U1(x0)
U2(x) − U2(x0)
...
Uk(x) − Uk(x0)





.
66
Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme
x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n)
T
= (x0,1, x0,2, . . . , x0,n)T
y = (x1, x2, . . . , xk)T
, z = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T
,
y0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,k)T
, z0 = (x0,k+1, x0,k+2, . . . , x0,n)T
.
Pak je Φ(y0, z0) = o a z lineární nezávislosti vektorů U1(x0), U2(x0), . . . , Uk(x0) plyne
det











∂
∂y1
Φ1(y0, z0)
∂
∂y2
Φ1(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ1(y0, z0)
∂
∂y1
Φ2(y0, z0)
∂
∂y2
Φ2(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ2(y0, z0)
...
...
...
...
∂
∂y1
Φk(y0, z0)
∂
∂y2
Φk(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φk(y0, z0)











=
= det











∂
∂x1
U1(x0)
∂
∂x2
U1(x0) · · ·
∂
∂xk
U1(x0)
∂
∂x1
U2(x0)
∂
∂x2
U2(x0) · · ·
∂
∂xk
U2(x0)
...
...
...
...
∂
∂x1
Uk(x0)
∂
∂x2
Uk(x0) · · ·
∂
∂xk
Uk(x0)











= 0.
Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje jediné
spojité zobrazení Ψ = (Ψ1, Ψ2, . . . , Ψk)T
: Rn−k
→ Rk
takové, že Φ Ψ(z0), z0 = o. Substitucí
z1 = xk+1, z2 = xk+2, . . . , zn−k = xn
přejde systém (5.1) na systém
z1 =fk+1(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
z2 =fk+2(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
...
zn−k=fn(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k).
Stručně řečeno, složky x1, x2, . . . , xk vypočítáme ze soustavy rovnic
U1(x1, x2, . . . , xn) = U1(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
U2(x1, x2, . . . , xn) = U2(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
...
Uk(x1, x2, . . . , xn) = Uk(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách xk+1, xk+2, . . . , xn, a pak je dosadíme do posledních
n − k rovnic systému (5.1). Obecněji: vyjádříme k neznámých funkcí pomocí zbývajících n − k a
dosadíme je do příslušných n − k z původních diferenciálních krovnic.
5.4.3 Definice
Nechť existuje antisymetrická matice S a spojitě diferencovatelná funkce H : Ω → R taková, že
pro všechna x je f(x) = S H(x). Pak se systém (5.1) nazývá hamiltonovský, funkce H se nazývá
hamiltonián systému (5.1).
Hamiltonovský systém je tedy tvaru
x = S H(x).
67
5.4.4 Věta
Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.
Důkaz: Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor x ∈ Rn
a antisymetrickou matici S řádu n
platí
vT
Sv = vT
Sv
T
= vT
ST
v = −vT
Sv
a tedy vT
Sv = 0. Odtud plyne, že
H(x)T
f(x) = H(x)T
S H(x) = 0.
5.4.5 Definice
Existuje-li přirozené číslo k, 1 ≤ k < n a existují-li zobrazení g = (g1, g2, . . . , gk) : Rn−k
→ Rk
,
h = (h1, h2, . . . , hn−k) : Rk
→ Rn−k
tak, že pro všechna x ∈ Ω je
f(x) = f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn) =
= g1(xk+1, xk+2, . . . , xn), g2(xk+1, xk+2, . . . , xn), . . . , gk(xk+1, xk+2, . . . , xn),
h1(x1, x2, . . . , xk), h2(x1, x2, . . . , xk), . . . , hn−k(x1, x2, . . . , xk) ,
pak se systém (5.1) nazývá bipartitní.
Při označení y = (x1, x2, . . . , xk), z = (xk+1, xk+2, . . . , xn) lze bipartitní systém zapsat ve
tvaru
y = g(z), z = h(y).
Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na funkcích
z druhé sady a naopak.
5.4.6 Příklad (Newtonovy zákony pohybu)
Uvažujme hmotný bod X o hmotnosti m, který má v čase t souřadnice x = x(t), y = y(t), z = z(t)
a na nějž působí síla F = (Fx, Fy, Fz), která může záviset na poloze bodu X. Polohu bodu X
lze zapsat jako vektor x = (x, y, z)T
. Označme po řadě v = (vx, vy, vz)T
, a = (ax, ay, az)T
,
p = (px, py, pz)T
rychlost, zrychlení a hybnost bodu X.
Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný přímočarý
pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu ) je konstantní a úměrná rychlosti s koeficientem
úměrnosti m, tj. p = mv. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme
x = v =
1
m
p a dále a = x =
1
m
p , tj. p = ma.
Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s koeficientem
úměrnosti m, tj. F = ma. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme vyjádřit
ve tvaru bipartitního systému
x =
1
m
p, p = F (x). (5.17)
Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, F = o. Pak funkce
U(x, p) = U(x, y, z, px, py, pz) = px + py + pz
je prvním integrálem systému
x =
1
m
p, p = o. (5.18)
Vskutku
U(x, y, z, px, py, pz) = (0, 0, 0, 1, 1, 1)T
, f(x, y, z, px, py, pz) =
px
m
,
py
m
,
pz
m
, 0, 0, 0
T
,
68
takže UT
f = 0. Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí
U1(x, p) = px, U2(x, p) = py, U3(x, p) = pz, U4 = p2
x + p2
y + p2
z
je prvním integrálem systému (5.18); uvedené první integrály U4 a U1, U2, U3 vyjadřují zákon
zachování hybnosti, resp. jejích složek.
Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod X přitahuje k počátku
nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti
bodu X a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu X od počátku (takovou přitažlivou
silou je například síla gravitační). Platí tedy
Fx(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
x
x2 + y2 + z2
, Fy(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
y
x2 + y2 + z2
,
Fz(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
, tj. F (x) =
cm
||x||
3 x,
kde || · || nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti c kladná,
jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém (5.17) je nyní tvaru
x =
1
m
p, p =
cm
||x||
3 x. (5.19)
V souřadnicích ho lze rozepsat
x =
1
m
px, px =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
x,
y =
1
m
py, py =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
y,
z =
1
m
pz, pz =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
z.
Fázový prostor tohoto systému je množina Ω = (x, p) ∈ R3+3
: ||x|| > 0 . Pro funkci H : Ω → R
definovanou předpisem
H(x, p) =
||p||
2
2m
+
cm
||x||
, tj. H(x, y, z, px, py, pz) =
1
2m
(p2
x + p2
y + p2
z) +
cm
x2 + y2 + z2
platí
∂H
∂x
= −
cmx
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂y
= −
cmy
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂z
= −
cmz
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂px
=
px
m
,
∂H
∂py
=
py
m
,
∂H
∂pz
=
pz
m
.
(5.20)
Tedy HT
f = 0 a funkce H je prvním integrálem systému (5.19). Výraz
1
2m
(p2
x + p2
y + p2
z) =
1
2m
(m2
x
2
+ m2
y
2
+ m2
z
2
) =
1
2
m(x
2
+ y
2
+ z
2
) =
1
2
m ||x ||
2
=
1
2
m ||v||
2
vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu X, výraz
cm
x2 + y2 + z2
=
cm
||x||
vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného
bodu X, která se zachovává.
69
Z vyjádření (5.20) vidíme, že systém (5.19) lze také zapsat ve tvaru








x
y
z
px
py
pz








=








0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0






























∂
∂x
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂y
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂z
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂px
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂py
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂pz
H(x, y, z, px, py, pz)






















nebo stručně
x
p
=
O E
−E O
H(x, p),
kde O, resp. E, je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál H je současně
hamiltoniánem systému (5.19). Označíme-li nyní
x =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
T
, p =
∂
∂px
,
∂
∂py
,
∂
∂pz
T
můžeme systém (5.19) také zapsat jako hamiltonovský systém
x = pH(x, p), p = − xH(x, p).
70
Část II
Aplikace
71
Kapitola 6
Některé klasické elementární
úlohy
V této kapitole je uvedeno několik úloh vedoucích na obyčejné diferenciální rovnice, které lze
vyřešit elementárními metodami z kapitoly 2. Lze ji tedy považovat za jakousi sbírku řešených
příkladů.
Úlohy vychází z různých oborů — kinematiky (úlohy 6.1, 6.5), geometrické optiky (Archimedova
úloha 6.3), dynamiky (úloha o reaktivním motoru 6.2), epidemiologie (úloha 6.6), teorie řízení
(problém „menežmentu obnovitelných zdrojů 6.7) nebo psychologie (nepříliš vážně míněná úloha
6.4).
6.1 Traktrisa
Po stole táhneme hodinky na napjatém řetízku délky tak, že koncem řetízku sledujeme hranu
stolu. Na počátku svírá řetízek a hrana stolu úhel α ∈ (0, 1
2 π]. Úkolem je určit dráhu hodinek.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, že svislá osa splývá s hranou stolu a je souhlasně
orientovaná se směrem pohybu konce řetízku, viz obr. 6.1. Při této volbě budou hodinky
na počátku v bodě (− sin α, 0). Dráhu hodinek vyjádříme jako graf funkce y = y(x). Hodinky se
pohybují ve směru působící síly, síla působí ve směru řetízku. To znamená, že přímka incidentní
s řetízkem je tečnou ke grafu funkce y v každém bodě. Směrnice této tečny je tedy rovna
y (x) =
√
2 − x2
−x
. (6.1)
Hledaná funkce je řešením této obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
y(− sinα) = 0. (6.2)
Na pravé straně rovnice (6.1) se nevyskytuje hledaná funkce y, proto můžeme řešení úlohy (6.1),
(6.2) bezprostředně psát ve tvaru určitého integrálu
y(x) =
x
− sin α
2 − ξ2
−ξ
dξ = ln
+ 2 − ξ2
|ξ|
− 2 − ξ2
x
ξ=− sin α
=
= cos α − 1 −
x2
2
+ ln
+
√
2 − x2
−x
sin α
1 + cos α
.
Úlohu o dráze hodinek tažených na řetízku po stole zformuloval Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–
1716). Křivku podrobně studoval v roce 1692 Christiaan Huygens, který jí také dal jméno tractrix (z latinského
trahere, táhnout).
73
y
x
√
2 − x2
α
Obrázek 6.1: Traktrisa
6.2 Ciolkovského rovnice
Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné
vnější síly (tedy ve stavu beztíže). Nechť v čase t0 = 0 se raketa pohybuje rychlostí v0. V čase t0 se
zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas T a v podobě plynů proudí z trysky na zádi rakety
rychlostí u vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného manévru,
tedy její rychlost v čase T .
Označme M . . . hmotnost rakety na počátku (v čase t0 = 0),
µ . . . hmotnost paliva vyhořelého za čas T ,
m = m(t) . . . hmotnost rakety (s dosud nevyhořelým palivem) v čase t,
v = v(t) . . . rychlost rakety v čase t.
Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností
m(t) = M −
µ
T
t =
MT − µt
T
. (6.3)
Rychlost v neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí svého
argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase t je
p(t) = m(t)v(t). (6.4)
Uvažujme krátký časový interval [t, t + ∆t] ⊆ [0, T ]. Během něho shoří palivo o hmotnosti
∆µ = µ(t) − µ(t + ∆t) = M −
µ
T
t − M −
µ
T
(t + ∆t) =
µ
T
∆t. (6.5)
Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase t rovna v(t)−u
a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu v(t + ∆t) − u. Hybnost
vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako
pP (t, ∆t) = w(t, ∆t)∆µ, (6.6)
74
kde w(t, ∆t) je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky ∆t, tj.
w(t, ∆t) =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ) − u dτ =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ)dτ − u.
Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo η ∈ (0, 1) takové, že
t+∆t
t
v(τ)dτ = v(t + η∆t)∆t,
takže w(t, ∆t) = v(t + η∆t) − u. S využitím této rovnosti a rovnosti (6.5) vyjádříme hybnost (6.6)
vytékajícího plynu výrazem
pP (t, ∆t) = v(t + η∆t) − u
µ
T
∆t. (6.7)
Hybnost rakety v čase t + ∆t je vzhledem k (6.3) rovna
pR(t + ∆t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) = M −
µ
T
(t + ∆t) v(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t + ∆t).
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí
v(t + ∆t) = v(t) + v (t + ϑ∆t)∆t,
kde ϑ ∈ (0, 1). Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme
pR(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t) + v (t + ϑ∆t)∆t =
= m(t)v(t) −
µ
T
v(t) − m(t)v (t + ϑ∆t) ∆(t) −
µ
T
v (t + ϑ∆t)(∆t)2
. (6.8)
Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase t + ∆t rovna
p(t + ∆t) = pR(t + ∆t) + pP (t, ∆t).
Odtud a z (6.7), (6.8) dostaneme
p(t + ∆t) − p(t)
∆t
= v(t + η∆t) − u − v(t)
µ
T
+ m(t)v (t + ϑ∆t) −
µ
T
v (t + ϑ∆t)∆t.
Limitním přechodem ∆t → 0 a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy rakety
s palivem ve tvaru
p (t) = m(t)v (t) − u
µ
T
.
Podle zákona o zachování hybnosti je p (t) = 0, takže s využitím rovnosti (6.3) dostaneme diferenciální
rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru
v (t) =
µu
MT − µt
.
Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce v, stačí tedy integrovat obě strany rovnice
v mezích od 0 po t. S využitím počáteční podmínky v(0) = v0 dostaneme
v(t) = v0 +
t
0
µu
MT − µτ
dτ = v0 − u [ln |MT − µτ|]t
τ=0 = v0 + u ln
MT
MT − µt
=
= v0 + u ln 1 +
µt
MT − µt
.
75
τ
r
ν
p
q
ϕ
. P
x0
y0
O
y = y(x)
Obrázek 6.2: K Archimédově úloze: y = y(x) – zrcadlo, p – přicházející paprsek, q – odražený
paprsek, P – bod dopadu a odrazu paprsku, O – ohnisko, τ – tečna k zrcadlu v bodě dopadu
přicházejícího paprsku, ν – normála k zrcadlu, ϕ –úhel odrazu.
Zejména pro t = T máme
v(T ) = v0 + u ln 1 +
µ
M − µ
. (6.9)
Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.
Rovnici (6.9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro
Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na ní
rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku
ÓÐ ÓÚ× ¸ ú º ÁÞ×Ð ÓÚ Ò Ñ ÖÓÚÝ ÔÖÓ×ØÖ Ò×ØÚ Ö Ø ÚÒÝÑ ÔÖ ÓÖ Ñ º
Æ ÙÕÒÓ Ó ÓÞÖ Ò º 1903, Ó X, No. 5
zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným
prostředkem pro lety do vesmíru.
6.3 Archimédova úloha
Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).
Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku O, přicházející paprsky
byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 6.2). Uvažujme
přicházející paprsek p, který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném bodě P =
(x0, y0), x0 > 0, y0 < 0. Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí y = y(x); přitom
samozřejmě y(x0) = y0.
Označme τ, resp. ν, tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě P, q přímku incidentní s odraženým
paprskem PO, r vodorovnou přímku procházející bodem P. Nechť dále ϕ = νq je úhel, který
svírá odražený paprsek s normálou ν. Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy pν = ϕ. Odtud
plyne, že pτ = 1
2 π − ϕ. Dále platí rτ = 1
2 π − pτ = ϕ. Poněvadž τ je tečnou ke křivce o rovnici
y = y(x), platí
dy
dx
(x0) = tg( rτ) = tg ϕ. (6.10)
Poněvadž přímky p a r jsou kolmé, je qr = 1
2 π − pν − νq = 1
2 π − 2ϕ a tedy
tg( qr) = tg
π
2
− 2ϕ = cotg(2ϕ) =
1 − (tg ϕ)2
2 tg ϕ
. (6.11)
Současně
tg( qr) =
|y0|
x0
= −
y0
x0
. (6.12)
76
Spojením (6.10), (6.11) a (6.12) dostaneme rovnost
−
y0
x0
=
1 −
dy
dx
(x0)
2
2
dy
dx
(x0)
.
Poněvadž bod P = (x0, y0) byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici
dy
dx
2
− 1 = 2
y
x
dy
dx
.
To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou rovnici
pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru
dy
dx
=
y
x
±
y
x
2
+ 1 .
Pro y < 0 a x > 0 je
dy
dx
> 0, viz obrázek 6.2. Znaménko před odmocninou tedy musí být +.
Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla
dy
dx
=
y
x
+
y
x
2
+ 1 .
To je rovnice homogenní. Substitucí u = u(x) =
y(x)
x
, tedy y(x) = xu(x),
dy
dx
= u + x
du
dx
dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je
du
√
u2 + 1
=
dx
x
,
tedy ln u +
√
u2 + 1 = ln |x| + const. Odtud
u(x) =
1
2
x
C
−
C
x
,
kde C je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost
y(x) =
1
2
x2
C
− C ,
neboli x2
= C(C + 2y). To je rovnice paraboly s ohniskem (0, 0) a řídící přímkou x = −C.
Název „Archimédova úloha vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus
armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214–212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města sestavoval
zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované smolou.
6.4 Romeo a Julie
Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal Julii
dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů, pokud by
nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem.
Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme r = r(t) Romeův cit k Julii a j = j(t)
Juliin cit k Romeovi v čase t. Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat jako okouzlení nebo
77
zamilovanost1
, cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť. Romeův cit samozřejmě závisí
na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra, tedy dobyvatele: čím více náklonnosti
Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův
cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova
citu k Julii, tj. derivaci funkce r, považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným
koeficientem úměrnosti. Formálně to zapíšeme rovností
dr
dt
= −aj, (6.13)
kde a je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy
náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako
dj
dt
= br, (6.14)
kde b > 0. Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl nulový.
Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak podmínky
r(0) = 1, j(0) = 0. (6.15)
Diferenciální rovnice (6.13), (6.14) s počátečními podmínkami (6.15) představují model vývoje
Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními
koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v 4.2, konkrétně postupem z 4.1.8 a 4.3.9.
Derivováním rovnice (6.13) a dosazením z rovnosti (6.14) dostaneme
d2
r
dt2
= −a
dj
dt
= −abr.
Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého
řádu s konstantními koeficienty
d2
r
dt2
+ abr = 0. (6.16)
Příslušná charakteristická rovnice λ2
+ ab = 0 má dva různé ryze komplexní kořeny λ1,2 = ±i
√
ab.
Obecné řešení rovnice (6.16) tedy je tvaru
r(t) = A cos
√
ab t + B sin
√
ab t .
Řešení musí splňovat počáteční podmínky (6.15), tedy
r(0) = 1,
dr
dt
(0) = −aj(0) = 0.
Odtud dostaneme A = 1, B = 0, takže r(t) = cos
√
ab t a podle rovnosti (6.13) dále platí
j(t) = −
1
a
dr(t)
dt
=
1
a
√
ab sin
√
ab t =
b
a
sin
√
ab t .
Model (6.13), (6.14), (6.15) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city
k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi.
Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně do času
t =
π
2
√
ab
.
1Používáme slovo „zamilovanost , nikoliv „láska . Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí
rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým způsobem. Samotný cit však lze
do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat.
78
Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal
v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné náklonnosti,
čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme si ještě, že v případě
b > a kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě b < a je tomu naopak. Jinak
řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten z dvojice, který je citově závislejší.
Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje
změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic
dr
dt
= α1r − aj,
dj
dt
= br + α2j,
(6.17)
s počáteční podmínkou
r(0) = 1, j(0) = 0.
Záporný koeficient α1 může vyjadřovat, že Romeo se svých citů bojí, nechce ztrácet vnitřní klid;
kladný koeficient α1 může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient α1 lze tedy považovat
za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus ; koeficient α2 lze interpretovat
podobně pro Julii.
Modely vývoje milostných citů (6.13), (6.14) a (6.17) publikoval Steven H. Strogatz v článku
Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine. 1988, Vol. 61,
No. 1, p. 35.
Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a pokud
možno atraktivní způsob výkladu klasické látky – systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních
rovnic.
6.5 „Psí křivka
Pes pronásleduje zajíce. Zajíc se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí u, pes běží ve směru
k zajíci rovnoměrnou rychlostí v, v > u. Určete tvar dráhy psa a čas T , za který pes zajíce dohoní.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose souhlasně
s její orientací a na počátku, tj. v čase t0 = 0, se zajíc nacházel v bodě (0, b) a pes v bodě (−a, 0).
Nechť pro určitost je a > 0; případ a = 0 je triviální a v případě a < 0 bude tvar dráhy zřejmě
obrazem tvaru pro a > 0 v osové symetrii kolem druhé souřadné osy.
Situace je znázorněna na obr. 6.3 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci y = y(x). V čase t = 0
je x = −a a y = 0, tj.
y(−a) = 0. (6.18)
Pes k zajíci směřuje od začátku, tj.
y (−a) =
b
a
. (6.19)
V jistém čase t, t < T , se pes nachází v bodě (x, y), x ∈ (−a, 0), a zajíc v bodě (0, b + ut).
Poněvadž pes stále směřuje k zajíci, platí
y (x) =
b + ut − y(x)
|x|
=
y(x) − b − ut
x
,
neboli
ut = y − xy (x) − b. (6.20)
Za čas t urazí pes dráhu délky vt. Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu funkce)
y = y(x) od bodu (−a, 0) po bod (x, y), tedy
vt =
x
−a
1 + y (ξ)
2
dξ.
79
−a x
b
y
b + ut
u
v
y
x
b
−a
a) b)
y
x
−a
y
x
−a
b
c) d)
Obrázek 6.3: a) K odvození rovnice „psí křivky . Vektor rychlosti zajíce u má v každém okamžiku
souřadnice (0, u), vektor rychlosti psa v má v každém okamžiku velikost v a v čase t směřuje
k zajíci, tj. je rovnoběžný s vektorem o souřadnicích (|x|, b + ut − y).
b) „Psí křivka pro a < 0, b > 0.
c) „Psí křivka pro a > 0, b = 0.
d) „Psí křivka pro a > 0, b < 0.
80
Z této rovnosti vyjádříme t a dosadíme do (6.20),
u
v
x
−a
1 + y (ξ)
2
dξ = y(x) − xy (x) − b. (6.21)
Označíme
s =
u
v
. (6.22)
Podle předpokladu je s < 1. Obě strany rovnosti (6.21) zderivujeme podle x. Dostaneme
s 1 + y (x)
2
= y (x) − y (x) − xy (x)
a po úpravě
xy (x) + s 1 + y (x)
2
= 0. (6.23)
Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu (6.23) s počátečními
podmínkami (6.18), (6.19).
Rovnice (6.23) je typu 2.10. Proto zavedeme novou neznámou funkci p = p(x) = y (x). Dosadíme
ji do rovnice (6.23) a počáteční podmínky (6.19). Po snadné úpravě dostaneme počáteční
úlohu
p = −
s
x
1 + p2 , p(−a) =
b
a
.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle 2.3
je
p
b
a
dη
1 + η2
= −s
x
−a
dξ
ξ
.
Integrací dostaneme
ln
a p + 1 + p2
b +
√
a2 + b2
= ln −
a
x
s
a odtud
p =
1
2C
C2
−
a
x
s
− −
x
a
s
,
kde
C =
b
a
+ 1 +
b
a
2
. (6.24)
Poněvadž p = y a funkce y splňuje podmínku (6.18), dostaneme řešení úlohy integrací poslední
rovnosti, tedy
y(x) =
1
2C
x
−a
C2
−
a
ξ
s
− −
ξ
a
s
dξ =
=
Ca
2(1 − s)
1 − −
x
a
1−s
−
a
2C(1 + s)
1 − −
x
a
1+s
.
Za konstanty s a C dosadíme z rovností (6.22) a (6.24). Po úpravách dostaneme „psí křivku ve
tvaru
y(x) =
v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
−
v
2
b −
√
a2 + b2
v + u
x
a
1+ u
v
+
b +
√
a2 + b2
v − u
x
a
1− u
v
.
81
Nalezená funkce y je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro a > 0 i pro a < 0; v prvním případě
bychom za definiční obor považovali interval [−a, 0], ve druhém interval [0, −a].
Pes dostihne zajíce v bodě 0, y(0) , To znamená, že zajíc rychlostí u urazí dráhu délky y(0)−b
a čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven
T =
y(0) − b
u
=
1
u
v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
− b =
ub + v
√
a2 + b2
v2 − u2
.
„Psí křivku („courbe chien ) jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre Bouger
(ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho stupně zeměpisné
délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit curves, pojem poprvé
použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations v roce 1859), které jsou definovány
takto: jestliže body A a P se pohybují rovnoměrně, bod A po dané křivce a směr pohybu bodu P stále
míří k bodu A, pak bod P opisuje křivku sledování.
Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka.
6.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho
Uvažujme chorobu, která trvá krátce, někteří pacienti na ni zemřou, jiní se uzdraví a získají
vůči nákaze imunitu; typickým představitelem takové infekce byly neštovice. Budeme modelovat
epidemii této choroby, tj. její šíření v nějaké kohortě. Kohortou rozumíme skupinu osob narozených
ve stejnou dobu.
Zavedeme označení: N počet osob zahrnutých do kohorty, a jejich věk (tj. čas od počátku),
S = S(a), resp. R = R(a) počet osob věku a, které neprodělaly, resp. prodělaly, chorobu. Při
tomto označení je N = S(0) + R(0) = S(0), neboť novorozenci chorobu neprodělali, tj. R(0) = 0.
Další symboly zavedeme na základě následujících předpokladů:
• Počet osob věku a, které zemřou z jiných příčin, než je uvažovaná infekce, je úměrná délce
(krátkého) časového intervalu sledování ∆a a počtu nenakažených osob S(a). Konstantu
úměrnosti — přirozenou úmrtnost ve věku a — označíme µ(a).
• Počet osob věku a, které se nakazí uvažovanou chorobou je úměrná délce sledování ∆a a
počtu S(a) osob, které dosud chorobu neprodělaly a jsou tedy citlivé na infekci. Koeficient
úměrnosti — incidenci choroby ve věku a — označíme λ(a)
• Počet nemocných osob věku a, které se uzdraví za časový interval ∆a je úměrný počtu
infikovaných osob tohoto věku a délce intervalu ∆a. Koeficient úměrnosti — index přežití
choroby osobami věku a — označíme s(a).
Úmrtnost µ(a) lze interpretovat jako pravděpodobnost, že „zdravá osoba (tj. ta, která nemá
uvažovanou chorobu) věku a zemře během časového intervalu délky ∆a; incidenci λ(a) jako pravděpodobnost,
že se „zdravá osoba věku a, která není imunní vůči uvažované chorobě, nakazí
během časového intervalu délky ∆a; ukazatel přežití s(a) jako pravděpodobnost, že nakažená
osoba věku a se během časového intervalu délky ∆a uzdraví. Budeme předpokládat, že onemocnění
a uzdravení jsou jevy nezávislé, tj. že pravděpodobnost, že osoba citlivá k infekci se během
časového intervalu délky ∆a nakazí a uzdraví, je rovna s(a)λ(a). Dále zavedeme letalitu choroby
ve věku a vztahem
c(a) = 1 − s(a);
lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že nemocná osoba věku a během časového intervalu
délky ∆a zemře. Proměnné
u = u(a) =
S(a)
N
, resp. w = w(a) =
R(a)
N
82
?
- ?
?
&%
'$
nemocní
S(a)
náchylní k chorobě
R(a)
imunní
µ(a) µ(a)c(a)
λ(a) s(a)
Obrázek 6.4: Schéma vývoje kohorty ohrožené chorobou
vyjadřují (klasickou) pravděpodobnost, že osoba se dožila věku a a neprodělala, resp. prodělala,
chorobu. Novorozenec určitě chorobu neprodělal, tedy platí
u(0) = 1, w(0) = 0. (6.25)
Vývoj kohorty, v níž probíhá choroba, lze schematicky znázornit obrázkem 6.4 a předpoklady
vyjádřit ve tvaru rovností:
S(a + ∆a) = S(a) − µ(a)S(a)∆a − λ(a)S(a)∆a = S(a) − µ(a) + λ(a) S(a)∆a,
R(a+∆a) = R(a)+s(a)λ(a)S(a)∆a−µ(a)R(a)∆a = R(a)+ 1−c(a) λ(a)S(a)∆a−µ(a)R(a)∆a.
V první z uvedených rovností převedeme na levou stranu S(a) a ve druhé z nich R(a), rovnosti
vydělíme výrazem N∆a a provedeme limitní přechod ∆a → 0. Pro zjednodušení modelu budeme
předpokládat, že funkce u a w jsou diferencovatelné; takový předpoklad je v případě velké kohorty
dostatečně realistický. Dostaneme tak systém neautonomních diferenciálních rovnic
du
da
= − µ(a) + λ(a) u,
dw
da
= 1 − c(a) λ(a)u − µ(a)w;
(6.26)
jejich řešení splňuje počáteční podmínky (6.25).
První rovnice systému (6.26) je lineární homogenní rovnicí pro neznámou funkci u. Její řešení
s počáteční podmínkou (6.25) je při označení
M(a) =
a
0
µ(α)dα, Λ(a) =
a
0
λ(α)dα (6.27)
podle 2.6 rovno
u(a) = e−Λ(a)−M(a)
. (6.28)
Toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice systému (6.26) a dostaneme
dw
da
= −µ(a)w + 1 − c(a) λ(a)e−Λ(a)−M(a)
,
což je lineární nehomogenní rovnice pro neznámou funkci w. Její řešení s počáteční podmínkou
(6.25) je opět podle 2.6 rovno
w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 − e−Λ(a)−M(a)
. (6.29)
Dosud provedené úvahy a výpočty lze shrnout: Pravděpodobnosti u(a), resp. w(a), že se osoba
dožije věku a a neprodělá, resp. prodělá, chorobu, jsou řešením soustavy rovnic (6.26) s počátečními
podmínkami (6.25) a jsou dány výrazy (6.28), resp. (6.29), kde funkce M a Λ jsou dány výrazy
(6.27).
83
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a za předpokladu, že choroba se v kohortě neobjevuje
(tj. λ ≡ 0 a v důsledku toho také Λ ≡ 0), je rovna přímo funkci u s Λ ≡ 0, tj.
0(a) = e−M(a)
.
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a pokud se choroba vyskytuje, je rovna
(a) = u(a) + w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 = 0(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 .
Pravděpodobnost dožití věku a je tedy součinem pravděpodobnosti dožití věku a při přirozené
úmrtnosti a faktoru, který závisí pouze na incidenci a letalitě choroby.
Označme dále
x(a) =
u(a)
(a)
, z(a) =
w(a)
(a)
=
(a) − u(a)
(a)
= 1 − x(a);
Veličina x(a), resp. z(a), vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, že osoba věku a neprodělala,
resp. prodělala, chorobu za podmínky, že se věku a dožila.
Poněvadž
x(a) =
e−Λ(a)−M(a)
e−M(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
=
e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
, (6.30)
platí rovnost x(0) = 1 a dále
dx(a)
da
=
−λ(a)e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα + e−Λ(a)
c(a)λ(a)e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2 =
= −λ(a)





e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
−
c(a)e−2Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2





=
= −λ(a)x(a) 1 − c(a)x(a) .
Relativní zastoupení osob věku a, které v uvažované kohortě neprodělaly chorobu, je tedy veličina
x(a) daná formulí (6.30), která je současně řešením počáteční úlohy pro Bernoulliovu rovnici
dx
da
= −λ(a)x 1 − c(a)x , x(0) = 1. (6.31)
Vývoj zastoupení osob, které neprodělaly chorobu, tedy nezávisí na přirozené úmrtnosti µ. Úlohu
(6.31) můžeme vyřešit metodami popsanými v 2.7 a přesvědčit se, že řešení je stejné jako (6.30),
nebo podrobněji
x(a) =
e
0
a
λ(α)dα
1 −
a
0
λ(ξ)c(ξ)e
ξ
a
λ(α)dα
dξ
.
Zejména pro incidenci choroby a letalitu choroby nezávislé na věku dostaneme
x(a) =
1
c + (1 − c)eλa
.
84
Poznamenejme ještě, že v teorii přežití se funkce 0, µ, M nazývají funkce přežití, riziková
funkce a kumulativní riziková funkce (v uvedeném pořadí). Pokud
lim
a→∞
M(a) =
∞
0
µ(a)da = ∞,
pak pro funkci přežití platí
0(a) = 1 − F(a),
kde F je distribuční funkce náhodné veličiny „věk dožití jedince z kohorty .
Uvedený model šíření epidemie neštovic publikoval Daniel Bernoulli (1700–1782) v článku
Bernoulli, D. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des
avantages de l’inoculation pour la prévenir. Hist. Acad R. Sci. Paris. 1760/1766, p.1–45.
v němž hledal odpověď na otázku, zda zavádět očkování proti neštovicím, přestože tato operace někdy
končí smrtí.
Na základě tabulek úmrtí, které publikoval královský astronom Edmond Haley (1656–1742)
Halley E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables
of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the price of
annuities upon lives. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1693, vol. 17, p. 596–610.
odhadl D. Bernoulli hodnoty incidence a letality neštovic nezávislé na věku jako λ = 1
8
, c = 1
8
; skutečnost,
že mu koeficienty vyšly stejné, je náhoda.
6.7 Udržitelný rybolov
Představme si nějakou vodní nádrž, v níž žijí ryby. Tato nádrž je uzavřená v tom smyslu, že ryby
z ní ani do ní nemigrují. Úživnost této nádrže budeme považovat za konstantní. Populaci ryb
považujeme za homogenní (nerozlišujeme věk, velikost, pohlaví ani jiné charakteristiky jedinců) a
všechny její charakteristiky kromě velikosti považujeme za konstantní v čase. Označíme-li x = x(t)
velikost populace ryb v čase t, pak vývoj této veličiny lze modelovat logistickou diferenciální rovnicí
x = rx 1 −
x
K
,
kde r je vnitřní koeficient růstu populace a K je kapacita (úživnost) prostředí; oba parametry r a
K jsou kladné.
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme popsat
tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času je vyloveno
určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři, kteří mají pevně
daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny naplní.) Označme h
množství ryb ulovených za jednotku času; parametr h je kladný. Pak vývoj populace ryb, jejíž
velikost byla na začátku rovna hodnotě x0 ≥ 0, je popsán počáteční úlohou pro diferenciální
rovnici
x = rx 1 −
x
K
− h, x(0) = x0. (6.32)
Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu
bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí.
Rovnice v úloze (6.32) je Riccatiho, podle 4.4.2 ji řešíme substitucí
x(t) =
K
r
y (t)
y(t)
. (6.33)
85
Dosazení do rovnice (6.32) dává
K
r
y y − (y )2
y2
= x = r
K
r
y
y
−
r
K
K
r
y
y
2
− h,
tj.
K
r
y
y
−
K
r
y
y
2
= −
K
r
y
y
2
+ K
y
y
− h.
Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními ko-
eficienty
y − ry +
rh
K
y = 0. (6.34)
Její charakteristická rovnice (sr. 4.3.9) je
λ2
− rλ +
rh
K
= 0. (6.35)
Označme D = 1 −
4h
rK
. Pak D < 1, neboť parametry r, K, h jsou kladné. Při řešení úlohy (6.32)
rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny D.
(i) D > 0, tj. h < 1
4 rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) dva reálné různé kořeny
λ1,2 =
r
2
1 ±
√
D
a protože D < 1, jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice (6.34) je
y(t) = Ae
1
2 r(1+
√
D)t
+ Be
1
2 r(1−
√
D)t
= e
1
2 r(1+
√
D)t
A + Be−r
√
D t
,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Platí tedy
y (t) = e
1
2 r(1+
√
D)t r
2
1 +
√
D A + Be−r
√
D t
− Br
√
D e−r
√
D t
=
=
r
2
e
1
2 r(1+
√
D)t
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
.
Odtud a z transformačního vztahu (6.33) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy (6.32) ve tvaru
x(t) =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
A + Be−r
√
D t
.
Konstanty A, B získáme z počáteční podmínky v úloze (6.32):
x0 =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D B
A + B
=
K
2
1 +
√
D
A − B
A + B
.
To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty A, B z ní nelze vypočítat. Lze však určit jejich
poměr
2x0
K
− 1 =
√
D
A − B
A + B
, tj. 2x0 − K − K
√
D A = −B 2x0 − K + K
√
D .
Řešení úlohy (6.32) je tedy dáno formulí
x(t) =
K
2
1 +
√
D K 1 −
√
D − 2x0 − 1 −
√
D K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
=
=
K
r
rx0 1 +
√
D − 2h − rx0 1 +
√
D − 2h e−r
√
D t
2x0 − K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D e−r
√
D t
,
86
x
t
x∗
0 < h < 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = 1
4 rK
x
t
K
h > 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = Ex, E = Emax = 1
2 r
Obrázek 6.5: Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení
úlohy (6.32) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty x0 (nahoře a
vlevo dole). Rybolov s konstantním loveckým úsilím, tj. řešení úlohy (6.37) s úsilím E přinášejícím
maximální udržitelný úlovek pro různé počáteční hodnoty x0 (vpravo dole).
neboť 1 − D =
4h
rK
.
Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce x v závislosti na počáteční hodnotě (parametru) x0.
Pokud je x0 > 1
2 K 1 −
√
D , pak je funkce x kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle proměnné t
a platí
lim
t→∞
x(t) = K
1 +
√
D
2
;
zejména pro x0 = 1
2 K 1 +
√
D je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2 K 1 +
√
D . Rybolov zredukuje
velikost populace ryb na hodnotu x∗
= 1
2 K 1 +
√
D .
Pokud je x0 = 1
2 K 1 −
√
D , pak je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2 K 1 −
√
D .
Ovšem, pokud je x0 < 1
2 K 1 −
√
D , pak pro
tE =
1
r
√
D
ln
2h − rx0 1 −
√
D
2h − rx0 1 +
√
D
je x(tE) = 0. To znamená, že lov ryby vyhubí.
Řešení počáteční úlohy (6.32) s hodnotou h ∈ (0, 1
4 rK) a s různými počátečními hodnotami je
zobrazeno na obr. 6.5 vlevo nahoře.
(ii) D > 0, tj. h = 1
4 rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) dvojnásobný reálný kladný kořen λ = 1
2 r.
87
Obecné řešení lineární rovnice (6.34) v tomto případě je rovno
y(t) = (A + Bt)e
1
2 rt
.
Pro toto řešení musí platit y(0) = 0, jinak by transformace (6.33) nebyla definována v pravém
okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že A = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
y(t) = A 1 +
B
A
t e
1
2 rt
= A(1 + Ct)e
1
2 rt
,
kde C =
B
A
. Derivace řešení je rovna
y (t) = A C +
r
2
(1 + Ct) e
1
2 rt
a obecné řešení rovnice z úlohy (6.32) je
x(t) =
K
r
C + r
2 (1 + Ct)
1 + Ct
=
K
2
+
K
r
C
1 + Ct
.
Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze (6.32), takže
C =
r
2K
(2x0 − K).
Řešení úlohy (6.32) je tedy v případě h = 1
4 rK dáno formulí
x(t) = K
1
2
+
2x0 − K
2K + r(2x0 − K)t
.
Pokud x0 ≥ 1
2 K, je toto řešení kladné pro každé t ≥ 0. Zejména pro x0 = 1
2 K je řešení konstantní,
x(t) ≡ 1
2 K. Pokud naopak x0 < 1
2 K, je řešení kladné pouze pro t ∈ [0, tE), kde
tE =
2K
r(K − 2x0)
a x(tE) = 0. Řešení úlohy (6.32) v případě h = 1
4 rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno
na obr. 6.5 vpravo nahoře.
V případě h = 1
4 rK je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost populace
ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě udržuje
velikost populace na hodnotě 1
2 K, neboť
lim
t→∞
x(t) =
K
2
.
Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase tE.
(iii) D < 0, tj. h > 1
4 rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (6.35) komplexně sdružené kořeny
λ1,2 =
r
2
± iϕ, kde ϕ =
r
2
√
−D =
r
2
4h
rK
− 1
a obecné řešení lineární rovnice (6.34) je tvaru
y(t) = Ae
1
2 rt
sin(ϕt + ψ),
kde A, ψ jsou konstanty. Jeho derivace je rovna
y (t) = Ae
1
2 rt r
2
sin(ϕt + ψ) + ϕ cos(ϕT + ψ)
88
a řešení rovnice z úlohy (6.32) podle transformačního vztahu (6.33) je dáno formulí
x(t) =
K
r
r sin(ϕt + ψ) + 2ϕ cos(ϕt + ψ)
2 sin(ϕt + ψ)
=
K
2
+
Kϕ
r
cotg(ϕt + ψ) =
=
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕt + ψ) .
Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze (6.32), musí platit
x0 =
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg ψ ,
tedy
ψ = arccotg
2x0 − K
K
rK
4h − rK
.
Řešení úlohy (6.32) je nyní kladné pouze na intervalu [0, tE), kde tE je nejmenší kladné řešení
rovnice
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕtE + ψ) = 0,
tedy
tE =
1
ϕ
arccotg −
rK
4h − rK
− ψ =
2
r
rK
4h − rK
π
2
− ψ + arctg
rK
4h − rK
.
Pro h > 1
4 rK tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy (6.32) v případě h > 1
4 rK pro
různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 6.5 vlevo dole.
Z rozboru řešení modelu (6.32) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že není
příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když
h ≤
1
4
rK a x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
Maximální udržitelný úlovek je tedy
hmax =
1
4
rK. (6.36)
Rybolov s konstantním úsilím
K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, že nikoliv úlovek za jednotku
času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například tak, že rybáři
mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku času je v takovém
případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. h = Ex, kde kladná konstanta E vyjadřuje
vynaložené úsilí.
Místo modelu (6.32) tedy uvažujeme model
x = rx 1 −
x
K
− Ex, x(0) = x0. (6.37)
Rovnici upravíme na tvar
x = −
r
K
x2
+ (r − E)x
89
a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce (6.33) ji převede na tvar
K
r
y
y
−
K
r
y
y
2
= −
r
K
K
r
y
y
2
+ (r − E)
K
r
y
y
,
z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty
y − (r − E)y = 0. (6.38)
Příslušná charakteristická rovnice λ2
− (r − E)λ = 0 má dva reálné kořeny
λ1,2 =
0,
r − E.
(6.39)
Pokud E = r, jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice (6.38) je tvaru
y(t) = A + Be(r−E)t
.
Jeho derivace je rovna y (t) = B(r − E)e(r−E)t
, takže zpětnou transformací (6.33) dostaneme
řešení rovnice z úlohy (6.37) jako
x(t) =
K
r
B(r − E)e(r−E)t
A + Be(r−E)t
.
Pro x(0) = x0 > 0 musí být B = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
x(t) =
K(r − E)
r 1 + De−(r−E)t
;
hodnotu konstanty D =
A
B
určíme z počáteční podmínky úlohy (6.37),
D =
K(r − E)
rx0
− 1 =
1
rx0
K(r − E) − rx0 .
Řešení úlohy (6.37) je tedy v případě E = r dáno formulí
x(t) =
K(r − E)x0
rx0 − rx0 − K(r − E) e−(r−E)t
; (6.40)
povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému (6.37) i pro x0 = 0. Řešení (6.40) úlohy
(6.37) je pro libovolnou počáteční hodnotu x0 ≥ 0 definováno na celém intervalu [0, ∞) a platí
pro něho
lim
t→∞
x(t) =



K 1 −
E
r
, E < r,
0, E > r.
Pokud E = r, oba kořeny (6.39) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene
λ1,2 = 0. Obecné řešení lineární rovnice (6.38) je v tomto případě rovno
y(t) = A + Bt,
takže z transformačního vztahu (6.33) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze (6.37) je
x(t) =
K
r
B
A + Bt
=
K
r
1
D + t
.
90
Hodnota konstanty D nyní je D =
K
rx0
, takže řešení úlohy (6.37) je
x(t) =
Kx0
K + rx0t
.
Tato funkce je také při libovolném x0 ≥ 0 definována na celém intervalu [0, ∞) a platí pro ni
lim
t→∞
x(t) = 0.
Z rozboru řešení úlohy (6.37) vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení x = x(t) úlohy
(6.37) je kladné pro všechna t ≥ 0) v případě E < r. Na rozdíl od předchozího modelu (6.32) však
i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném čase. Jinak
řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným omezením úlovku,
může dojít ke katastrofickému vývoji — rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí zpětné vazby, tj.
omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější.
Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem (6.37) za situace, kdy velikost populace
ryb je na limitní hodnotě
x∗
= K 1 −
E
r
.
Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven h = Ex∗
. Tento úlovek lze chápat jako závislý
na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci
h = h(E) = EK 1 −
E
r
.
To je konkávní kvadratická funkce, která nybývá svého maxima pro E = Emax = 1
2 r. Maximální
úlovek za jednotku času je tedy
hmax = h(Emax) =
1
4
rK.
To je stejný výsledek jako (6.36), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku času
popsaného modelem (6.32). Řešení úlohy (6.37) s úsilím E = Emax = 1
2 r je znázorněno na obrázku
6.5 vpravo dole.
Optimalizace udržitelného rybolovu
Nyní můžeme řešit problém optimalizace rybolovu. Vnitřní koeficient růstu populace ryb je pro
konkrétní druh konstanta, tu ovlivnit nelze. Úživnost prostředí však lze měnit, například eutrofizací
příslušné vodní nádrže (přikrmováním ryb). V takovém případě můžeme počáteční velikost x0
považovat za kapacitu přirozeného prostředí. Zvyšování úživnosti prostředí ale něco stojí. Předpokládejme,
že náklady na eutrofizaci rybníka, které zvýší jeho úživnost na hodnotu K, jsou
vyjádřeny funkcí n(K). Cenu ulovených ryb při intenzitě h označíme c(h) a náklady na něho
označíme l(h). Zisk z rybolovu je tedy roven c(h) − l(h) − n(K).
Maximální udržitelný rybolov má intenzitu h = 1
4 rK. Chceme-li tedy maximalizovat zisk,
hledáme maximum funkce
f(K) = c 1
4 rK − l 1
4 rK − n(K)
za podmínky
x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
To se ovšem snáze řekne, než udělá.
Uvedené modely diskutovali Beddington a May v článku
Beddington, J. R., May, R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating
environment. Science. 1977, vol. 197, p. 463–465.
Přestože se jedná o modely velice jednoduché, přinášejí důležitý vhled do problematiky řízení využívání
obnovitelných zdrojů.
91
92
Kapitola 7
Makroekonomické modely
7.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu
Základní ekonomickou veličinou je produkce. Produkovat může subjekt, který vlastní kapitál.
Kapitálem jsou nejen peníze, ale především budovy, stroje, zařízení a podobně. Kapitál vzniká
a obnovuje se investicemi. Budeme tedy uvažovat tři ekonomické ukazatele, tj. tři časově závislé
proměnné – produkci Y = Y (t), kapitál K = K(t) a investice I = I(t). Kdekoliv je vyvíjena
jakákoliv ekonomická aktivita, tam je nějaká produkce; proto je veličina Y kladná. A jak již bylo
řečeno, z toho, že je produkce plyne, že byl kapitál; tedy i veličina K je kladná.
První model dynamiky produkce sestavíme na základě tří postulátů:
HD1 Kapitál vzniká investicemi a mizí amortizací.
HD2 Do tvorby kapitálu je investován stálý podíl produktu.
HD3 Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce.
Označme δ podíl kapitálu, který se za jednotku času znehodnotí amortizací, κ čas, za který
se z investované částky stane kapitál. Typicky je κ = 1, neboť investice z jednoho období jsou
v následujícím období již kapitálem. S těmito symboly upřesníme postulát HD1 jako rovnost
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆(t),
neboli
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t).
Budeme dále předpokládat, že čas plyne spojitě a veličina K je diferencovatelná. Pak můžeme
limitním přechodem ∆t → 0 vyjádřit postulát HD1 ve tvaru diferenciální rovnice
K =
1
κ
I − δK. (7.1)
Předpoklad HD2 je vyjádřen rovností
I = (1 − s)Y, (7.2)
kde s ∈ (0, 1). Parametr s vyjadřuje podíl produkce, který není investován, tedy je spotřebován
nebo uspořen. Z nerovnosti s < 1 a kladnosti veličiny Y plyne, že také veličina I je kladná.
Předpoklad HD3 formálně zapíšeme jako rovnost
K
K
=
Y
Y
. (7.3)
93
Z této rovnosti plyne
0 =
Y
Y
−
K
K
=
Y K − Y K
K2
K
Y
=
Y
K
K
Y
.
Poněvadž veličiny K a Y jsou kladné, plyne odtud, že
Y
K
= 0 a tedy existuje konstanta r ∈ R,
že
Y
K
= r, (7.4)
neboli
K = rY. (7.5)
Naopak, z této rovnosti plyne K = rY a vydělením této rovnosti rovností (7.5) dostaneme rovnost
(7.3). Předpoklad HD3 lze tedy ekvivalentně vyjádřit rovností (7.3) nebo (7.5).
Z rovností (7.3), (7.1), (7.2) a (7.5) nyní dostaneme
Y
Y
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
(1 − s)Y
K
− δ =
1 − s
κr
− δ,
tedy
Y
Y
=
1 − s
κr
− δ = const, (7.6)
relativní rychlost růstu produkce je za předpokladů HD1, HD2 a HD3 konstantní. Označme ji
g a z rovnice (7.6) dostaneme
Y (t) = Y0egt
,
kde Y0 = Y (0) je počáteční produkce. Znaménko konstanty g určuje, zda produkce roste nebo klesá.
Konstanta r je podle (7.4) poměrem produkce a kapitálu, vyjadřuje tedy kapitálovou náročnost
jednotky produkce. Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat:
je-li r <
1 − s
κδ
pak produkce roste,
je-li r =
1 − s
κδ
pak produkce stagnuje,
je-li r >
1 − s
κδ
pak produkce klesá.
Nebo stručně: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže růst.
7.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu
Budeme uvažovat uzavřenou ekonomiku, tj. takovou, že jedinými produkčními faktory jsou kapitál
a práce, nikoliv zahraniční obchod. Kromě (agregátní) produkce Y = Y (t), kapitálu K = K(t)
a investic I = I(t) do modelu zahrneme i práci L = L(t). Práci pro potřeby modelu stotožníme
s vytvářenou hodnotou1
, měříme ji tedy ve stejných jednotkách (penězích) jako veličiny Y , K,
nebo I. Práce vždy vytváří hodnotu, proto je veličina L kladná.
Budeme předpokládat, že kapitál a investice splňují postuláty HD1 a HD2, tedy rovnosti
(7.1) a (7.2). Dále budeme postulovat:
SS1 Relativní růst (změna) práce je konstantní, odpovídá přirozenému přírůstku (nebo úbytku)
obyvatelstva.
SS2 Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
1Poznamenejme, že hodnota obecně není totéž, co produkce.
94
Postulát SS1 lze zapsat jako rovnost
L
L
= λ, (7.7)
kde λ ∈ R je nějaká konstanta. Postulát SS2 zapíšeme rovností
Y = f(K, L). (7.8)
Funkce f se nazývá (agregátní) produkční funkce. Poněvadž všechny tři veličiny K, L, Y považujeme
za kladné, je
f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞).
Aby funkce f vystihovala ekonomickou realitu, budeme předpokládat, že vyhovuje třem přirozeným
požadavkům
pf1 Malá změna produkčního faktoru vyvolá malou změnu produkce, přitom zvětšení výrobního
faktoru nevede ke zmenšení produkce.
pf2 Produkce není závislá na tom, v jakých (peněžních) jednotkách vyjadřujeme produkci a produkční
faktory.
pf3 Platí zákon klesajících výnosů: dodatečná jednotka produkčního faktoru nevytvoří větší produkt,
než jednotka předcházející a mezní produkt při neomezeném růstu produkčního faktoru
klesá k nule.
Postulát pf1 říká, že produkční funkce je spojitá a neklesající v každé své proměnné. Změna jednotky
je totéž, co vynásobení proměnné nějakou kladnou konstantou. Postulát pf2 tedy požaduje,
aby pro každé α > 0 platilo
f(αK, αK) = αY = αf(K, L), (7.9)
tj. produkční funkce je homogenní prvního řádu. Označme na chvíli jednotku kapitálu ∆K. Zákon
klesajících výnosů pro kapitál nyní můžeme zapsat ve tvaru
f(K, L) − f(K − ∆K, L) ≥ f(K + ∆K, L) − f(K, L) −−−−→
K→∞
0
pro libovolnou hodnotu L. Uvedenou nerovnost můžeme také přepsat ve tvaru
f(K, L) ≥
1
2
f(K − ∆K, L) +
1
2
f(K + ∆K, L).
Analogicky vyjádříme zákon klesajících výnosů pro práci. Obecně přeformulujeme (zesílíme!) postulát
pf3 výrokem: pro každé γ ∈ (0, 1) a všechny K1, K2, L1, L2 > 0 platí
f γK1 + (1 − γ)K2, γL1 + (1 − γ)L2 ≥ γf(K1, L1) + (1 − γ)f(K2, L2), (7.10)
tj. funkce f je konkávní, a
lim
K→∞
f(K + K1, L1) − f(K, L1) = 0 = lim
L→∞
f(K, L + L1) − f(K1, L) . (7.11)
Nyní zavedeme novou veličinu k, nazvanou míra vybavenosti práce kapitálem, vztahem
k =
K
L
. (7.12)
S využitím rovností (7.1), (7.7), (7.2), (7.8) a (7.9) postupně dostaneme
k
k
=
L
K
K
L
=
L
K
K L − KL
L2
=
K
K
−
L
L
=
1
κ
I
K
− δ − λ =
1 − s
κ
Y
K
− (δ + λ) =
=
1 − s
κ
f(K, L)
K
− (δ + λ) =
1 − s
κ
L
K
f
K
L
, 1 − (δ + λ) =
1 − s
κ
f(k, 1)
k
− (δ + λ).
95
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k∗
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k
(1 − s)f(k, 1)
κ(δ + λ)k
a) b) c)
Obrázek 7.1: Řešení rovnice (7.14) pro stacionární bod k∗
základní dynamické rovnice neoklasického
modelu (7.13). Na vodorovné ose je současně fázový portrét rovnice (7.13). a) δ + λ > 0 a je
splněna podmínka (7.15). b) Není splněna podmínka (7.15). c) Neplatí δ + λ > 0.
Tímto způsobem dostáváme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k = −(δ + λ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (7.13)
Funkci f( · , 1) : (0, ∞) → (0, ∞) nazýváme produkční funkce v intenzivním tvaru. Je to spojitá
neklesající konkávní funkce, pro kterou podle (7.11) platí
lim
k→∞
f(k + k1, 1) − f(k, 1) = 0
pro každé k1 > 0. Z monotonie a nezápornosti funkce f( · , 1) plyne existence limity
lim
k→0+
f(k, 1) = f0 ≥ 0.
Fázovým prostorem jednorozměrné autonomní rovnice (7.13) je interval (0, ∞). Stacionární
bod k∗
této rovnice splňuje rovnnost
κ(δ + λ)k∗
= (1 − s)f(k∗
, 1). (7.14)
Izolovaný stacionární bod rovnice (7.13) v jejím fázovém prostoru existuje právě tehdy, když
δ + λ > 0, tj. případný úbytek obyvatelstva (práce) je pomalejší, než amortizace kapitálu, a
současně existuje ε > 0 takové, že
f(k, 1) > κ
δ + λ
1 − s
k (7.15)
pro k ∈ (0, ε), viz obr. 7.1. V takovém případě je pravá strana rovnice (7.13) kladná pro k < k∗
a záporná pro k > k∗
. To znamená, že za takové situace pro každé řešení k = k(t) rovnice (7.13)
platí
lim
t→∞
k(t) = k∗
,
vybavenost práce kapitálem se ustálí na konstantní hodnotě k∗
> 0.
Podle (7.9) platí rovnost
f(k, 1) = f
K
L
, 1 =
1
L
f(K, L) =
Y
L
.
Odtud plyne, že pro kapitálovou náročnost produkce r = r(t) platí
r =
Y
K
=
Y
L
L
K
=
f(k, 1)
k
.
96
Ze spojitosti funkce f( · , 1) nyní plyne, že existuje limita
r∗
= lim
t→∞
r(t) = lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= lim
t→∞
f k(t), 1
k(t)
=
f(k∗
, 1)
k∗
, (7.16)
tj. kapitálová náročnost produkce se ustálí na jisté hodnotě. Porovnáním se vztahem (7.4), který
je ekvivalentní s postulátem HD3 vidíme, že Harrodův-Domarův model je limitním případem
modelu Solowova-Swanova. Harrodův-Domarův model popisuje rovnovážnou ekonomiku, v níž
produkce roste stejně rychle jako kapitál.
Pokud δ+λ > 0, ale není splněna podmínka (7.15), pak je pravá strana rovnice (7.13) záporná;
každé její řešení tedy konverguje k nule. Pokud δ+λ < 0, pak je pravá strana rovnice (7.13) kladná a
každé její řešení diverguje do nekonečna. V obou takových případech ekonomika spěje ke kolapsu
– vymizí kapitál nebo práce (tj. veškeré obyvatelstvo bude nezaměstnané). V reálné ekonomice
tedy úbytek obyvatelstva nemůže být rychlejší než amortizace kapitálu a mezní produkt malého
kapitálu musí být dostatečně velký.
7.2.1 Speciální produkční funkce
Leontiefova produkční funkce
f(K, L) = min {aK, bL} ,
kde a, b jsou kladné konstanty, vyjadřuje předpoklad, že kapitál a práce mají na produktu pevný
podíl. V případě, že aK < bL, tj. je nedostatek kapitálu, k produkci přispívá veškerý kapitál,
ale část práce je neproduktivní. V případě, že aK > bL, tj. je nedostatek pracovní síly, zůstává
část kapitálu ladem. Pouze v nepravděpodobném případě aK = bL je veškerý kapitál i práce
produktivní.
Produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = min{ak, b}.
Kladný izolovaný stacionární bod rovnice (7.13) s Leontiefovou
produkční funkcí existuje pouze tehdy, když je splněna podmínka
(7.15), v tomto případě konkrétně když
a > κ
δ + λ
1 − s
,
f(k, 1)
k
b
b
a
tj. podíl kapitálu na produkci je dostatečně velký, kapitál je dostatečně efektivně využíván. Za
takové situace je f(k∗
, 1) = b, takže podle (7.14) je
lim
t→∞
K(t)
L(t)
= k∗
=
(1 − s)b
κ(δ + λ)
.
Odtud a z předchozí nerovnosti dostaneme
lim
t→∞
aK(t)
bL(t)
=
a(1 − s)
κ(δ + λ)
> 1,
což znamená, že ve stabilizované ekonomice je bL < aK a tedy v ní zůstává nevyužitý kapitál.
Naopak, pokud by platila opačná nerovnost
a < κ
δ + λ
1 − s
,
ekonomika by konvergovala k nulové vybavenosti práce kapitálem a v důsledku toho k nulové
produkci. Ani jeden ze scénářů samozřejmě nepředstavuje žádoucí stav.
97
Dvakrát diferencovatelná produkční funkce
Produkční funkce f = f(K, L) je podle pf1 neklesající a podle (7.10) konkávní v obou svých
proměnných. U dvakrát diferencovatelné produkční funkce tyto požadavky poněkud zesílíme –
budeme předpokládat, že funkce f je v obou svých proměnných rostoucí a ryze konkávní, tj. že
pro všechna kladná K, L splňuje nerovnosti
∂f
∂K
(K, L) > 0,
∂2
f
∂K2
(K, L) < 0,
∂f
∂L
(K, L) > 0,
∂2
f
∂L2
(K, L) < 0. (7.17)
Zákon klesajících výnosů ve tvaru
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0 = lim
L→∞
∂f
∂K
(K, L) (7.18)
doplníme předpokladem: pokud se v ekonomice objeví nový produkční faktor, pak jeho mezní
výnos je obrovský; přesněji řečeno, budeme předpokládat, že platí
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ = lim
L→0+
∂f
∂K
(K, L). (7.19)
Podmínky (7.18) a (7.19) se nazývají Inadovy. Produkční funkce, která má vlastnosti (7.9), (7.17),
(7.18) a (7.19) se nazývá neoklasická.
Tvrzení: V neoklasické funkci jsou oba produkční faktory podstatné, zmizí-li jeden z nich, zmizí
i produkce, tj.
lim
K→0+
f(K, L) = 0 = lim
L→0+
f(K, L). (7.20)
Pokud některý z produkčních faktorů roste neomezeně, pak neomezeně roste i produkce, tj.
lim
K→∞
f(K, L) = ∞ = lim
L→∞
f(K, L). (7.21)
Důkaz: Pro funkci f podle de l’Hospitalova pravidla a podle Inadovy podmínky (7.18) platí
lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
∂f(K, L)
∂L
= 0 pro libovolné K > 0.
Z homogenity funkce f nyní plyne
0 = lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
f
K
L
, 1 = lim
k→0+
f(k, 1)
a dále
lim
K→0+
f(K, L) = lim
K→0+
L f
K
L
, 1 = L lim
k→0+
f(k, 1) = 0,
což je první z rovností (7.20).
Z homogenity funkce f, z de l’Hospitalova pravidla a z Inadovy podmínky (7.19) plyne
lim
K→∞
f(K, L) = lim
K→∞
f 1,
L
K
1
K
= lim
K→∞
−
L
K2
f|2 1,
L
K
−
1
K2
= L lim
l→0+
f|2(1, l) = ∞
(symbol f|2(x, y) označuje parciální derivaci funkce f podle druhé proměnné v bodě (x, y)). To je
první z rovností (7.21). Platnost druhých rovností (7.20) a (7.21) ukážeme analogicky.
Z první rovnosti (7.20), de l’Hospitalova pravidla a druhé Inadovy podmínky (7.19) plyne
lim
k→0+
f(k, 1)
k
= lim
k→0+
∂f(k, 1)
∂k
= ∞.
Z této rovnosti dále plyne, že je splněna podmínka (7.15).
Rovnice (7.13) s neoklasickou produkční funkcí f má jediné kladné stacionární řešení k∗
, které
je globálně asymptoticky stabilní.
98
Cobbova-Douglasova produkční funkce
f(K, L) = AKb
L1−b
,
kde A > 0, b ∈ (0, 1) je neoklasická; o tom se lze přesvědčit snadným přímým výpočtem. Konstanta
A vyjadřuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci. Z rovnosti
Y = AKb
L1−b
je vidět, že k danému množství kapitálu K a požadované produkci Y lze určit potřebné množství
práce
L =
1−b Y
AKb
,
které tuto produkci zajistí. Naopak, k danému množství práce L lze určit množství kapitálu
K =
b Y
AL1−b
,
které zajistí požadovanou produkci Y . Cobbova-Douglasova produkční funkce tedy vyjadřuje produkci
v takové ekonomice, v níž jsou kapitál a práce neomezeně substituovatelné.
Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = Akb
,
takže základní rovnice neoklasického modelu (7.13) je tvaru
k = −(δ + λ)k + A
1 − s
κ
kb
. (7.22)
To je rovnice Bernoulliova, kterou podle 2.7 řešíme substitucí
x = k1−b
.
Tato substituce převede rovnici (7.22) na lineární nehomogenní rovnici
x = −(1 − b)(δ + λ)x + A
(1 − s)(1 − b)
κ
,
která má podle 2.6 řešení
x(t) = x0 −
A(1 − s)
κ(δ + λ)
e−(1−b)(δ+λ)t
+
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
kde x0 je počáteční hodnota. Poněvadž pro δ + λ > 0 platí
lim
t→∞
x(t) =
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
dostaneme pro ustálenou hodnotu vybavenosti práce kapitálem vyjádření
k∗
= lim
t→∞
k(t) = lim
t→∞
1−b
x(t) = 1−b A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
tedy
(k∗
)1−b
=
A(1 − s)
κ(δ + λ)
.
Odtud s využitím definice Cobbovy-Douglasovy produkční funkce a porovnáním se vztahem (7.16)
dostaneme
κ(δ + λ)
1 − s
=
A
(k∗)1−b
=
A(k∗
)b
k∗
=
f(k∗
, 1)
k∗
= r∗
.
Poměr produkce a kapitálu v rovnovážné ekonomice s neomezeně substituovatelnou prací a kapitálem
je tedy rovna konstantě
κ
δ + λ
1 − s
.
99
7.3 Goodwinův model hospodářského cyklu
Práce v Solowovu-Swanovu modelu je abstraktní veličina, představuje vlastně hodnotu prací vytvořenou.
Nyní budeme jako práci L = L(t) označovat množství zaměstnaného obyvatelstva,
které za svou práci dostává mzdu W = W(t). Přesněji řečeno, W označuje nějakou střední hodnotu
mzdy jednoho pracovníka. Dále budeme uvažovat množství N = N(t) práceschopného (nebo
práceochotného) obyvatelstva. Pro zjednodušení zavedeme ještě veličiny: produktivita práce
a =
Y
L
(7.23)
(střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem), relativní zaměstnanost
v =
L
N
(7.24)
a podíl mzdy na produkci
u =
W
a
=
WL
Y
. (7.25)
Ekonomiku budeme považovat za rovnovážnou, tj. budeme předpokládat, že produkce Y , kapitál
K a investice I splňují postuláty HD1 a HD3 Harrodova-Domarova modelu, tedy rovnost (7.1)
a ekvivalentní rovnosti (7.3), (7.4). Dále budeme postulovat:
G1 Veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována.
G2 Relativní změna počtu obyvatel je konstantní.
G3 Projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce.
G4 Změna mzdové sazby závisí na zaměstnanosti.
Postulát G1 nahrazuje předpoklad o investování HD2 z Harrodova-Domarova modelu. Postuláty
G1, G2 a G3 zapíšeme po řadě rovnostmi
I = Y − WL, (7.26)
N
N
= β, (7.27)
a
a
= α, (7.28)
kde α > 0, β ∈ R jsou nějaké konstanty. V postulátu G4 budeme změnu považovat za relativní a
postulát zpřesníme vyjádřením
W
W
= ϕ(v), (7.29)
kde ϕ : [0, 1) → R je diferencovatelná funkce, jejímž grafem je Phillipsova křivka. Její vlastnosti,
které byly zjištěny empiricky, formálně vyjádříme tak, že funkce ϕ je na svém definičním oboru
rostoucí a konvexní, zejména
ϕ (v) > 0 pro v ∈ [0, 1) (7.30)
a splňuje nerovnosti
ϕ(0) = ϕ0 < 0, (7.31)
tj. při malé zaměstnanosti (velké nezaměstnanosti) mzdy klesají (je-li práce vzácná, lidé jsou
ochotni pracovat za nízkou mzdu),
lim
v→1−
ϕ(v) = ϕ1 > 0, (7.32)
100
tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového
pracovníka, musíme ho přeplatit); přitom připouštíme i ϕ1 = ∞ (to je dokonce obvyklejší před-
poklad).
Podle (7.1), (7.26), (7.4) a (7.25) platí
K
K
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
Y − WL
K
− δ =
1
κ
Y
K
1 −
WL
Y
− δ =
r
κ
(1 − u) − δ.
Odtud a z rovnosti (7.3) při označení σ =
r
κ
dostaneme
Y
Y
= σ(1 − u) − δ. (7.33)
Nyní vyjádříme relativní změnu zaměstnanosti pomocí rovností (7.24), (7.23), (7.27), (7.33) a
(7.28).
v
v
=
N
L
L
N
=
N
L
L N − LN
N2
=
L
L
−
N
N
=
a
Y
Y
a
− β =
a
Y
Y a − Y a
a2
− β =
=
Y
Y
−
a
a
− β = σ(1 − u) − δ − α − β.
Tedy při označení γ = σ − α − β − δ máme
v
v
= −σu + γ. (7.34)
Relativní změnu podílu mzdy na produkci vyjádříme pomocí rovností (7.25), (7.29) a (7.28).
u
u
=
a
W
W
a
=
a
W
W a − Wa
a2
=
W
W
−
a
a
= ϕ(v) − α,
tj.
u
u
= ϕ(v) − α. (7.35)
Rovnice (7.35) a (7.34) představují model vývoje podílu mezd na produkci a relativní zaměstnanosti.
Můžeme je přepsat v obvyklém tvaru
u = u ϕ(v) − α ,
v = v(γ − σu);
(7.36)
připomeňme, že fázový prostor systému (7.36) je množina Ω = [0, ∞) × [0, 1) a že parametry α, σ
jsou kladné.
Ze druhé rovnice systému (7.36) plyne diferenciální nerovnost u ≤ γv a tedy podle srovnávací
věty 3.3.2 je platí
v(t) ≤ v(0)eγt
.
Uvažujme nejprve γ < 0. Pak
lim
t→∞
v(t) = 0.
Ze spojitosti funkce ϕ a podmínky (7.30) odtud plyne, že existuje t1 ≥ 0 takové, že ϕ( v(t) ≤ 0 pro
t ≥ t1. Podle první rovnice systému (7.36) pro t ≥ t1 platí u (t) ≤ −αu(t), takže u(t) ≤ u(t1)e−αt
.
Proto také
lim
t→∞
u(t) = 0.
Případ γ < 0 popisuje ekonomiku, která spěje k podivnému stavu – nikdo nepracuje a na produkci
se mzda nepodílí2
.
2To připomíná lidovou charakteristiku reálného socialismu, který fungoval v sedmdesátých a osmdesátých letech
dvacátého století v Československé socialistické republice: „Občané předstírají, že pracují, stát předstírá, že platí.
101
Dále budeme realističtěji předpokládat, že γ > 0.
Pokud ϕ1 < α, pak z první rovnice systému (7.36) plyne, že u ≤ u(ϕ1 − α) a tedy pro všechna
t ≥ 0 je
u(t) ≤ u(0)e(ϕ1−α)t
.
To znamená, že existuje t2 ≥ 0 takové, že
u(t) ≤
γ
2σ
pro t ≥ t2.
Podle druhé rovnice systému (7.36) pro t ≥ t2 platí
v (t) = v(t) γ − σu(t) ≥ v(t) γ − σ
γ
2σ
=
1
2
γv(t),
takže v(t) ≥ v(t2)e
1
2 γt
. To znamená, že existuje T ≥ t2 takové, že
lim
t→T −
v(t) = 1.
Podle věty 3.2.5 řešení nelze prodloužit za čas T . V případě ϕ1 < α tedy ekonomika v konečném
čase dospěje k plné zaměstnanosti, ale v tom okamžiku přestanou platit „ekonomické zákony , ze
kterých byl Goodwinův model sestaven3
.
Je-li ϕ1 > α (což je zejména splněno, pokud ϕ1 = ∞), pak existuje v∗
∈ (0, 1) takové, že
ϕ(v∗
) = α, tj. v∗
= ϕ−1
(α). Systém (7.36) má v tomto případě dva stacionární body
(0, 0) a (u∗
, v∗
) =
γ
σ
, ϕ−1
(α) .
Variační matice systému (7.36) je
J(u, v) =
ϕ(v) − α uϕ (v)
−σv γ − σu
,
tedy
J(0, 0) =
ϕ0 − α 0
0 γ
, det J(0, 0) = γ(ϕ0 − α) < 0,
J(u∗
, v∗
) =
0
γ
σ
ϕ (v∗
)
−σv∗
0
, det J(u∗
, v∗
) = γv∗
ϕ (v∗
) > 0, tr J(u∗
, v∗
) = 0.
Podle 5.3.8 je triviální stacionární bod (0, 0) sedlo. O typu stacionárního bodu (u∗
, v∗
) nelze podle
tohoto kritéria rozhodnout.
Budeme hledat vyjádření trajektorií systému (7.36). Vydělením jeho rovnic dostaneme
dv
du
=
v(γ − σu)
u ϕ(v) − α
,
což je obyčejná rovnice se separovanými proměnnými. Podle 2.3 je její řešení implicitně dáno
rovností
ϕ(v) − α
v
dv =
γ − σu
u
du,
po úpravě
σu − ln (uγ
vα
) +
v
v0
ϕ(x)
x
dx = const;
3Ekonomika s plnou zaměstnaností a s malým až zanedbatelným podílem mezd na produkci je snem komunistů
— všichni budou pracovat (práce se stane první životní nutností), ale peníze již za komunismu nebudou. Tomuto
ideálu se v realitě nejvíce přiblížil Pol Pot.
102
ϕ1 < α ϕ1 > α
γ < 0
v
u
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ > 0
v
uγ
σ
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ
σ
Obrázek 7.2: Trajektorie a nulkliny systému (7.36) pro možné kombinace parametrů
přitom v0 ∈ (0, 1) je nějaká konstanta vyjadřující počáteční zaměstnanost. Levou stranu poslední
rovnosti označíme G(u, v). Trajektorie systému (7.36) jsou tedy vrstevnicemi funkce G.
Poněvadž platí
∂G
∂u
= σ −
γ
u
= −
γ − σu
u
,
∂G
∂u
(u∗
, v∗
) = 0,
∂G
∂v
=
ϕ(v)
v
−
α
v
=
ϕ(v) − α
v
,
∂G
∂v
(u∗
, v∗
) = 0,
∂2
G
∂u2
=
γ
u2
> 0,
∂2
G
∂u∂v
= 0,
∂2
G
∂v2
=
vϕ (v) − ϕ(v) − α
v2
,
∂2
G
∂v2
(u∗
, v∗
) =
ϕ (v∗
)
v∗
> 0,
je stacionární bod (u∗
, v∗
) lokálním minimem funkce G, a ta je v nějakém jeho okolí konvexní.
To znamená, že trajektorie systému (7.36) začínající v okolí stacionárního bodu (u∗
, v∗
) jsou
uzavřenými křivkami, stacionární bod je střed.
Možné umístění nulklin ve fázovém prostoru spolu s trajektoriemi systému (7.36) je znázorněno
na obr. 7.2. Vidíme, že i v případě γ > 0, ϕ1 > α je možné, že vývoj ekonomiky dospěje
v konečném čase k plné zaměstnanosti a malému podílu mzdy na produkci, pokud je počáteční
stav ekonomiky dostatečně daleko od rovnováhy. Jinak zaměstnanost kolísá kolem jisté rovnovážné
hodnoty, v ekonomice se střídají období prosperity a útlumu; Goodwinův model tedy svým
způsobem vysvětlil vznik a nevyhnutelnost hospodářského cyklu.
Obecně platí
G(u, v) =



−
γ − σu
u
ϕ(v) − α
v


 , tedy G(u, v)T
u ϕ(v) − α
v(γ − σu)
= 0,
103
což znamená, že funkce G je prvním integrálem (invariantem) systému (7.36). Dále při označení
x = ln u, y = ln v dostaneme
x = ϕ (ey
) − α, y = γ − σex
. (7.37)
Systém (7.36) lze tedy transformovat na systém bipartitní; fázovým prostorem transformovaného
systému je množina R × (−∞, 0].
Pro funkci
H(x, y) = G (ex
, ey
) = σex
− γx − αy +
ey
v0
ϕ(η)
η
dη = σex
− γx − αy +
y
ln v0
ϕ(eξ
)dξ
(integrál jsme transformovali substitucí ξ = ln η) platí
∂H
∂x
= σex
− γ,
∂H
∂y
= −α + ϕ (ey
) ,
takže systém (7.37) můžeme přepsat ve tvaru
x
y
=
0 −1
1 0
H(x, y).
Systém (7.37) je tedy hamiltonovský s hamiltoniánem H.
104
Kapitola 8
Chemická kinetika
8.1 Základní reakce enzymů
Uvažujme reakci nějakého substrátu S a enzymu E, které spolu vytvoří nestabilní komplex SE,
z kterého dále vznikne nějaký produkt P a volný enzym.1
Schematicky tuto reakci můžeme zapsat
takto
S + E
k1
k−1
SE, SE
k2
→ P + E,
nebo stručně
S + E
k1
k−1
SE
k2
→ P + E.
Dvojitá šipka vyjadřuje, že reakce je vratná, jednoduchá šipka → vyjadřuje, že reakce může
probíhat jen jedním směrem. Kladné parametry k1, k−1, k2 označují reakční rychlost. Zhruba
řečeno, za jednotku času vznikne z jednotkového množství substrátu S za přitomnosti jednotkového
množství enzymu E množství k1 komplexu SE a podobně. Přesně budou reakční rychlosti zavedeny
dále.
Označme s = s(t). . . koncentrace substrátu S v čase t,
e = e(t). . . koncentrace enzymu E v čase t,
c = c(t). . . koncentrace komplexu SE v čase t,
p = p(t). . . koncentrace produktu P v čase t.
Michaelis a Menten2
navrhli jako model vývoje koncentrací v čase následující systém čtyř obyčejných
nelineárních diferenciálních rovnic
ds
dt
= −k1se + k−1c,
de
dt
= −k1se + (k−1 + k2)c,
dc
dt
= k1se − (k−1 + k2)c,
dp
dt
= k2c
(8.1)
Tento model vyjadřuje, že změny koncentrací považujeme za přímo úměrné koncentracím, reakční
rychlosti k jsou příslušné koeficienty úměrnosti. Budeme předpokládat, že na počátku je koncentrace
substrátu rovna s0 a koncentrace enzymu je rovna e0, komplex SE ani produkt P nejsou na
počátku přítomny. Spolu se systémem (8.1) tedy uvažujeme počáteční podmínky
s(0) = s0, e(0) = e0, c(0) = 0, p(0) = 0. (8.2)
1Místo o enzymu bychom mohli mluvit o katalyzátoru, substrát by představoval výchozí látku a produkt vý-
slednou.
2L. Michaelis, M. I. Menten. Die Kinetik der Invertinwirkung. Biochem. Z. 49, 333-369, 1913
105
Nejprve si všimněme, že veličina p se nevyskytuje v prvních třech rovnicích systému (8.1). Koncentrace
s, e a c jsou tedy řešením prvních tří rovnic z (8.1), koncentraci produktu můžeme vyjádřit
ze čtvrté rovnice integrací
p(t) = k2
t
0
c(σ)dσ. (8.3)
Množství enzymu E se v průběhu reakce nemění a enzym se vyskytuje jednak jako volný a jednak
jako vázaný v komplexu SE. To vzhledem k počáteční podmínce (8.2) znamená, že by mělo platit
e(t) + c(t) = e0 pro všechna t ≥ 0. Model (8.1) je skutečně v tomto smyslu adekvátní, neboť
d
dt
(e + c) =
de
dt
+
dc
dt
= 0, (e + c)(0) = e0.
Veličina e + c je prvním integrálem systému (8.1) a proto koncentraci enzymu můžeme vyjádřit
jako
e(t) = e0 − c(t) (8.4)
a dosadit do první a třetí rovnice systému (8.1). Dostaneme
ds
dt
= −k1e0s + (k1s + k−1)c,
dc
dt
= k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c. (8.5)
Časový průběh koncentrací substrátu S a komplexu SE je tedy řešením systému dvou obyčejných
autonomních nelineárních diferenciálních rovnic (8.5) s počáteční podmínkou
s(0) = s0, c(0) = 0, (8.6)
průběh koncentrací volného enzymu E a produktu P je dána výrazy (8.4) a (8.3).
Změníme měřítko tak, aby všechny veličiny byly bezrozměrné, tj. zavedeme substituci
τ = k1e0t, x =
s
s0
, y =
c
e0
; (8.7)
veličina x vyjadřuje koncentraci substrátu a veličina y koncentraci komplexu SE v jednotkách
počáteční koncentrace substrátu a enzymu. Časová jednotka je určena rychlostí reakce substrátu
a enzymu. Platí
dx
dτ
=
d
dt
s
s0
dt
dτ
=
1
s0
− k1e0s + (k1s + k−1)c
1
k1e0
= −
s
s0
+
c
e0
s
s0
+
k−1
s0k1
c
e0
=
= −x + x +
k−1
k1s0
y,
dy
dτ
=
d
dt
c
e0
dt
dτ
=
1
e0
k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c
1
k1e0
=
s
e0
−
s
e0
c
e0
−
k−1 + k2
k1e0
c
e0
=
=
s0
e0
x −
s0
e0
x +
k−1 + k2
k1s0
y.
Při označení
K =
k−1 + k2
k1s0
, λ =
k2
k1s0
, ε =
e0
s0
(8.8)
se systém (8.5) substitucí (8.7) transformuje na systém
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y,
dy
dτ
=
1
ε
x − (x + K)y (8.9)
s počátečními podmínkami
x(0) = 1, y(0) = 0. (8.10)
106
Poznamenejme, že parametry K, λ a ε jsou kladné a K > λ.
Úlohu (8.9), (8.10) nelze řešit explicitně. Proto ji budeme analyzovat ve fázovém prostoru.
Nulklinu proměnné x můžeme vyjádřit jako graf funkce
ϕ(x) =
x
x + K − λ
.
Derivace
dx
dτ
je pro y > ϕ(x) kladná, pro y < ϕ(x) záporná. Situace je
znázorněna na obrázku:
y
x
ϕ(x)
Podobně vyjádříme y-nulklinu jako graf funkce ψ(x) =
x
x + K
a vyšetříme
znaménka derivací:
y
x
ψ(x)
Poněvadž ϕ(0) = ψ(0) = 0 a ϕ(x) > ψ(x) pro všechna x > 0, vypadá fázový portrét systému
(8.9) tak, jak je znázorněno na obr. 8.1 Vidíme, že systém (8.9) má jediný stacionární bod (0, 0) a
že množina M = (x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ϕ(1) je jeho pozitivně invariantní množinou
(na úsečce {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} směřují trajektorie nahoru, na úsečce x, ϕ(1) : 0 ≤ x ≤ 1 dolů,
na úsečce {(0, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} směřují trajektorie doprava a na úsečce {(1, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)}
doleva). Variační matice systému (8.9) v obecném bodě (x, y) je
J(x, y) =



y − 1 x + K − λ
1
ε
(1 − y) −
1
ε
(x + K)


 ,
takže ve stacionárním bodě (0, 0) platí
J(0, 0) =



−1 K − λ
1
ε
−
K
ε


 , tr J(0, 0) = −
K + ε
ε
< 0, det J(0, 0) =
λ
ε
> 0,
tr J(0, 0)
2
− 4 det J(0, 0) =
K + ε
ε
2
−
4λ
ε
=
1
ε2
(K + ε)2
− 4λε =
=
1
ε2
K2
+ 2Kε + ε2
− 4λε + λ2
− λ2
=
1
ε2
K2
− λ2
+ 2Kε + (λ − ε)2
> 0,
neboť K > λ. Stacionární bod (0, 0) je podle 5.3.8 stabilní uzel (což bylo vidět z fázového portrétu
i bez výpočtů). Pro řešení úlohy (8.9), (8.10) tedy platí
lim
τ→∞
x(τ) = 0, lim
τ→∞
y(τ) = 0.
Výsledkem reakce je vyčerpání veškerého substrátu S, nebude volný ani vázaný s enzymem v komplexu
SE. Z trajektorie řešení úlohy (8.9), (8.10), která je rovněž zobrazena na obr. 8.1, je také
vidět, že složka x řešení této úlohy k nule monotonně klesá. Složka y nejdříve roste, v jistém čase
τ0 dosáhne svého maxima
ymax =
x(τ0)
x(τ0) + K
= 1 −
K
x(τ0) + K
a pak monotonně klesá k nule.
Nyní můžeme kvalitativně popsat řešení původní úlohy (8.1), (8.2), viz obr. 8.2. Koncentrace s
substrátu S monotonně klesá k nule. Koncentrace c komplexu SE roste ke své maximální hodnotě,
která je menší než byla počáteční koncentrace e0 enzymu E, a pak monotonně klesá k nule.
Koncentrace e volného enzymu E nejprve klesá, v okamžiku t0, kdy je koncentrace komplexu SE
maximální, dosáhne svého minima a pak monotonně roste k počáteční hodnotě e0. Koncentrace p
produktu P roste z nulové hodnoty, růst se nejprve zrychluje (funkce je konvexní), od okamžiku
t0 se začne zpomalovat (funkce je konkávní).
107
y
x1
ϕ(1) ϕ(x) =
x
x + K − λ
ψ(x) =
x
x + K
0
Obrázek 8.1: Fázový portrét systému (8.9) a jeho trajektorie s počátečním bodem (8.9) a hodnotou
parametru ε = 10
11 .
tt00
s0
e0
e
p
s
c
Obrázek 8.2: Průběh řešení úlohy (8.1), (8.2)
8.2 Přibližné řešení úlohy (8.9), (8.10)
Charakteristickým rysem reakcí enzymu se substrátem je to, že koncentrace enzymu je výrazně
menší, než koncentrace substrátu, e0 s0. To vzhledem k (8.8) znamená, že
0 < ε 1,
parametr ε je „skoro nula . Také můžeme říci, že pravá strana druhé rovnice systému (8.9) je
„skoro nekonečno , nebo že pravá strana první rovnice tohoto systému je zanedbatelně malá ve
srovnání s pravou stranou druhé rovnice. Veličina x se mění „nesrovnatelně pomaleji , než veličina
y, takže veličina x je vzhledem k y „skoro konstantní . Z těchto důvodů budeme x ve druhé z
rovnic systému (8.9) považovat za konstantní parametr a tuto rovnici vyřešíme. Jedná se o rovnici
se separovanými proměnnými, takže její řešení splňující druhou podmínku z dvojice (8.10), tj.
podmínku y(0) = 0, dostaneme ve tvaru
y(τ) =
x
x + K
1 − e− x+K
ε τ
. (8.11)
Platí pro ně
y0 = lim
τ→∞
y(τ) =
x
x + K
.
„Rychle se měnící proměnná veličina (funkce) y se tedy „velice rychle ustálí na hodnotě y0.
Ovšem hodnota x se také mění, i když „pomalu . Tato změna je popsána první rovnicí systému
(8.9). V ní můžeme proměnou y považovat za parametr rovný ustálené hodnotě y0. S využitím
počáteční podmínky (8.10) tak dostaneme počáteční úlohu
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)
x
x + K
= −λ
x
x + K
, x(0) = 1.
108
y
x0 1
y =
x
x + K
y = ϕ(x)
Obrázek 8.3: Nulkliny systému (8.9) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou (8.10) a hodnotou
parametru ε = 1
10 .
Řešení této úlohy, které je „trochu jiné než řešení původní úlohy (8.9), (8.10) a proto ho označíme
symbolem x0, je implicitně dáno rovností
x0(τ) + K ln x0(τ) = 1 − λτ. (8.12)
Takto definovanou funkci x0 můžeme považovat za první složku přibližného řešení úlohy (8.9),
(8.10). Její druhou složku vyjádříme jako
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
; (8.13)
tato funkce však nesplňuje druhou z počátečních podmínek (8.10).
Funkce x0( · ), y0( · ) definované vztahy (8.12) a (8.13) se nazývá pseudo- nebo quasi-stacionární
aproximace řešení úlohy (8.9), (8.10). V mnoha aplikacích je tato aproximace dostatečně přesná.
Na obrázku 8.3 je trajektorie řešení úlohy (8.9), (8.10) s hodnotou parametru ε = 1
10 ; vidíme,
že trajektorie řešení s „malou hodnotou parametru ε skutečně od jistého bodu téměř splývá
s y-nulklinou, tj. s funkcí y =
x
x + K
.
Řešení úlohy (8.9), (8.10) si tedy lze představit tak, že v „kratičkém časovém intervalu od
začátku reakce se veličina x (relativní množství substrátu) „nestačí změnit , takže má stále počáteční
hodnotu 1. V tomto „kratičkém čase veličina y (relativní množství komplexu SE vzhledem
k množství enzymu) rychle dosáhne své quasi-stacionární hodnoty. Tento „rychlý nárůst je popsán
rovností (8.11) do níž je dosazeno x = 1, quasi-stacionární hodnota je tedy 1/(1 + K). Dále
se veličiny x a y vyvíjejí tak, jak je popsáno rovnostmi (8.12) a (8.13).
Ještě můžeme specifikovat délku zmíněného „kratičkého časového intervalu pro dosažení quasistacionárního
stavu. Předpokládejme, že jsme schopni měřit koncentrace s relativní přesností γ.
Pak čas δ, za nějž veličina y naroste do quasi-stacionární hodnoty 1/(1 + K) je přibližně dána
přibližnou rovnicí
1
1 + K
1 − e− 1+K
ε δ
≈ (1 − γ)
1
1 + K
,
tedy
δ ≈
ε
1 + K
ln
1
γ
. (8.14)
Popsanou aproximaci řešení lze získat i jiným způsobem méně se odvolávajícím na intuici:
řešení úlohy (8.9), (8.10) budeme hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε. Předpokládejme
tedy, že řešení úlohy (8.9), (8.10) je tvaru
x(τ) =
∞
n=0
εn
xn(τ), y(τ) =
∞
n=0
εn
yn(τ).
109
Za předpokladu, že tyto řady, chápané jako řady funkcí proměnné τ, konvergují stejnoměrně
(k tomu při ε < 1 stačí, aby všechny funkce x0( · ), y0( · ) byly ohraničené stejnou konstantou),
platí
dx
dτ
=
∞
n=0
εn dxn
dτ
=
dx0
dτ
+
∞
n=1
εn dxn
dτ
,
dy
dτ
=
∞
n=0
εn dyn
dτ
, tj. ε
dy
dτ
=
∞
n=1
εn dyn−1
dτ
a současně
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y = −
∞
n=0
εn
xn(τ) +
∞
n=0
εn
xn(τ) + K − λ
∞
n=0
εn
yn(τ) =
= −
∞
n=0
εn
xn(τ) + (K − λ)
∞
n=0
εn
yn(τ) +
∞
n=0
n
i=0
xiyn−i εn
=
=
∞
n=0
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
=
= −x0 + (x0 + K − λ)y0 +
∞
n=1
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
,
ε
dy
dτ
= x − (x + K)y =
∞
n=0
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
=
= x0 − (x0 + K)y0 +
∞
n=1
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin ε získáme nekonečný systém rovnic
dx0
dτ
= −x0 + (x0 + K − λ)y0, 0 = x0 − (x0 + K)y0,
dx1
dτ
= −x1 + (K − λ)y1 + x0y1 + x1y0,
dy0
dτ
= x1 − Ky1 − x0y1 − x1y0,
...
...
Z první dvojice rovnic dostaneme
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
, x0(τ) + K ln x0(τ) = C − λτ,
tedy quasi-stacionární aproximaci řešení (8.12), (8.13). V tomto případě však tato aproximace
závisí na jedné integrační konstantě C a ta závisí na počátečních podmínkách. Počáteční podmínky
(8.10) lze zapsat ve tvaru
1 =
∞
n=0
εn
xn(0), 0 =
∞
n=0
εn
yn(0),
takže z věty o jednoznačnosti Taylorových řad plyne
x0(0) = 1, y0(0) = 0, xn(0) = yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
První z těchto podmínek lze splnit volbou C = 1 stejně jako v (8.12), ale druhou z nich splnit nelze.
Odtud plyne, že alespoň jedna ze složek x, y řešení úlohy (8.9), (8.10) nemůže být analytickou
funkcí parametru ε.
110
Aby bylo možné splnit počáteční podmínky, je třeba v pravém okolí bodu τ = 0 hledat řešení
úlohy (8.9), (8.10) jiným způsobem. Zavedeme novou nezávisle proměnnou
σ =
τ
ε
. (8.15)
Pro ε → 0 je σ → ∞, takže změnou časového měřítka (8.15) „natáhneme malé okolí [0, δ) na
„velice dlouhou dobu . Substitucí (8.15) se úloha (8.9), (8.10) transformuje na úlohu
dX
dσ
= −εX + ε(X + K − λ)Y,
dY
dσ
= X − (X + K)Y, (8.16)
X(0) = 1, Y (0) = 0. (8.17)
Kvalitativní analýza úlohy (8.16), (8.10) dá stejné výsledky jako v 8.1.
Řešení úlohy (8.16), (8.17) budeme opět hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε, tj. ve
tvaru
X(σ) =
∞
n=0
εn
Xn(σ), Y (σ) =
∞
n=0
εn
Yn(σ).
Pak je
dX
dσ
=
dX0
dσ
+
∞
n=1
εn dXn
dσ
,
dY
dσ
=
dY0
dσ
+
∞
n=1
εn dYn
dσ
a současně
dX
dσ
=
∞
n=1
−Xn−1 + (K − λ)Yn−1 +
n−1
i=0
XiYn−i−1 εn
,
dY
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0 +
∞
n=1
Xn − KYn −
n
i=0
XiYn−i εn
.
Z počátečních podmínek (8.17) dostaneme
X0(0) = 1, Y0(0) = 0, Xn(0) = Yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
Nulté aproximace X0, Y0 řešení úlohy (8.16), (8.10) jsou řešením počáteční úlohy
dX0
dσ
= 0,
dY0
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0, X0(0) = 1, Y0(0) = 0,
takže
X0(σ) = 1, Y0(σ) =
1
K + 1
1 − e−(K+1)σ
.
Vrátíme se k původní nezávisle proměnné τ = εσ a dostaneme novou aproximaci řešení úlohy
(8.9), (8.10) ve tvaru
X0(τ) = 1, Y0(τ) =
1
K + 1
1 − e− K+1
ε τ
; (8.18)
tyto funkce splňují počáteční podmínky (8.10).
Řešení úlohy (8.9), (8.10) lze v okolí bodu τ = 0, tj. na intervalu [0, δ) pro vhodné malé kladné
číslo δ, aproximovat funkcemi (8.18). Tato část řešení úlohy se nazývá singulární nebo vnitřní
řešení. Na intervalu (δ, ∞) lze použít quasi-stacionární aproximaci (8.12), (8.13); tato část řešení
úlohy se nazývá nesingulární nebo vnější řešení.
No obr. 8.4 je znázorněno přibližné a přesné řešení úlohy (8.9), (8.10) s parametrem ε = 0.2;
vidíme, že již v tomto případě je přibližné řešení dosti blízké přesnému. Navíc, první složka řešení,
tj. funkce x, je i v pravém okolí nuly přesněji aproximována vnějším řešením než vitřním.
Ještě odhadneme parametr δ — časový okamžik, od něhož vnější řešení lépe než vnitřní aproximuje
druhou složku řešení úlohy (8.9), (8.10). Je to taková hodnota nezávisle proměnné, v níž
111
1
1
1 + K
τ0
x
Y0y0
y
x0
X0
Obrázek 8.4: Řešení úlohy (8.9), (8.10) s parametrem ε = 0.2. Plná čára — přesné řešení, čárkovaná
čára — vnější řešení, tečkovaná čára — vnitřní řešení.
mají funkce y0 a Y0 stejnou hodnotu, y0(δ) = Y0(δ). Takové číslo δ existuje podle Bolzanovy věty,
neboť
y0(0) − Y0(0) =
1
1 + K
> 0, lim
δ→∞
y0(δ) − Y0(δ) = −
1
K + 1
< 0.
Můžeme tedy řešit soustavu rovnic
1
K + 1
1 − e− K+1
ε δ
=
ξ
ξ + K
, ξ + K ln ξ = 1 − λδ.
Vyjádřit řešení explicitně pomocí elementárních funkcí nelze, proto řešení odhadneme. Označme
na chvíli F(ξ) = ξ + K ln ξ − 1 + λδ. Pak je
F(1) = λδ > 0, lim
ξ→0+
F(ξ) = −∞ < 0, F (ξ) = 1 +
K
ξ
pro ξ > 0.
To znamená, že řešení druhé z rovnic, tj. rovnice F(ξ) = 0, leží v intervalu (0, 1) a funkce F je na
tomto intervalu rostoucí. Odtud dále plyne, že existuje konstanta ˜ξ ∈ (0, 1) taková, že pro řešení
ξ druhé z rovnic platí
0 < ξ ≤ ˜ξ < 1.
Z první rovnice nyní dostaneme
0 < δ =
ε
K + 1
ln
ξ + K
K(1 − ξ)
≤
ε
K + 1
ln
˜ξ + K
K(1 − ˜ξ)
.
Tato nerovnost vyjadřuje, že hodnota δ je malá stejného řádu, jako ε, tj. δ = O(ε). Tento odhad
souhlasí s vyjádření. (8.14).
Řešení původní úlohy (8.5), (8.6) můžeme nyní zapsat ve tvaru
s(t) = s0x0(k1e0t) + O
e0
s0
,
c(t) =



k1s0e0
k1s0 + k−1 + k2
1 − e−(k1s0+k−1+k2)t
+ O
e0
s0
, 0 ≤ t ≤ O
e0
s0
,
k1s0x0(k1e0t)
k1s0x0(k1e0t) + k−1 + k2
+ O
e0
s0
, t ≥ O
e0
s0
;
přitom funkce x0( · ) je implicitně dána rovnicí (8.12).
112
Kapitola 9
Model populace produkující
škodlivé odpady
Označme N = N(t) velikost nějaké populace v čase t. Specifická míra růstu nebo růstový koeficient
p této populace je definován jako relativní změna velikosti populace, tj.
p =
N
N
.
Vývoj populace je tedy modelován diferenciální rovnicí
N = pN. (9.1)
V případě konstantního růstového koeficientu dostaneme klasický Malthusův1
model růstu populace
N(t) = N0ept
, kde N0 = N(0) je počáteční velikost populace. V něm je exponenciální růst
(pro p > 0) nebo úbytek (pro p < 0) velikosti populace nerealistický.
Model (9.1) se přiblíží realitě, pokud specifickou míru růstu p nebudeme považovat za nezávislou
konstantu populace, ale za veličinu závislou na její velikosti, tedy p = p(N), nebo obecněji na
nějakých „projevech její velikosti, tj. p = p F(N) , kde F je nějaký funkcionál, tedy zobrazení z
množiny funkcí do množiny reálných čísel.
V tomto oddílu budeme uvažovat populaci, která produkuje odpady svého metabolismu, které
jsou toxické, nebo přinejmenším zmenšují schopnost přežívání populace. Tyto odpady se v prostředí
hromadí, ale také rozkládají, mizí nebo přeměňují v něco, co populaci neomezuje. Budeme tedy
předpokládat:
1. V čistém prostředí (bez uvažovaných odpadů) je specifická míra růstu rovna nějaké konstantě
r (vnitřnímu koeficientu růstu, intrinsic growth rate).
2. V každém okamžiku populace produkuje odpad, jehož množství je úměrné velikosti populace.
Množství odpadu vyprodukovaného v čase t označíme Pp(t); platí pro něho Pp(t) = cN(t),
kde c je nějaká kladná konstanta.
3. Odpad se rozkládá konstantní relativní rychlostí δ > 0, tj. označíme-li P(t) množství odpadu
v čase t a neuvažujeme jeho produkci, platí
P (t) = −δP(t). (9.2)
4. Specifická míra růstu populace klesá s rostoucím množstvím odpadu. Budeme uvažovat nejjednodušší
možnost, že tato závislost je lineární.
1Správněji malthusovský, Thomas Robert Malthus (1766–1834) model v takovém tvaru nikdy nepublikoval.
113
5. Existuje jistá velikost populace K > 0, při které je populace se svým prostředím v dynamické
rovnováze, její velikost se v čase nemění. Konstanta K představuje kapacitu prostředí
(úživnost) pro uvažovanou populaci.
Uvažujme na chvíli idealizovanou situaci, že pouze v čase s vzniklo množství Pp(s) odpadu
a žádný další odpad není do prostředí dodáván. Množství odpadu v čase t > s tedy bude podle
předpokladů 2. a 3. řešením rovnice (9.2) s počáteční podmínkou P(s) = Pp(s) = cN(s), tj.
P(t) = cN(s)e−δ(t−s)
. V reálné situaci se však odpad v prostředí kumuluje, v čase t ho tedy bude
množství, které zůstalo ze všech odpadů vzniklých až do okamžiku t, tj. množství odpadu závislé
na celé předchozí historii velikosti populace bude
F(N) =
t
−∞
cN(s)e−δ(t−s)
ds.
Předpoklad 4. lze nyní přepsat ve tvaru
p = p F(N) = α − βF(N),
kde β > 0. Z předpokladu 1. plyne, že p(0) = r, tj. α = r. Pro funkci ˜N = ˜N(t) ≡ K podle
předpokladu 5. nyní platí
0 = p F( ˜N) = r − βF( ˜N) = r − βc
t
−∞
Ke−δ(t−s)
ds = r −
βcK
δ
e−δ(t−s)
t
s=−∞
= r −
βcK
δ
.
Odtud dostaneme, že βc =
rδ
K
a specifická míra růstu populace je
p = r

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 .
Model (9.1) je tedy nyní ve tvaru integrodiferenciální2
rovnice
N (t) = rN(t)

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 . (9.3)
Zavedeme nové neznámé funkce x a y novou nezávisle proměnnou τ následujícími vztahy:
τ = rt, x(τ) =
δ
rK
N
τ
r
, y(τ) =
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds.
Pak
x (τ) =
dx(τ)
dτ
=
δ
rK
N
τ
r
1
r
=
δ
r2K
rN
τ
r


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds


 =
=
δ
rK
rK
δ
x(τ)


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds


 = x(τ) 1 − y(τ) ,
2V této rovnici vystupuje neznámá funkce N za znakem integrálu i jako derivovaná.
114
y (τ) =
dy(τ)
dτ
=
δ
K
d
dτ
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds =
=
δ
K



1
r
N
τ
r
e−δ(τ
r − τ
r ) −
δ
r
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds


 =
=
δ
rK
N
τ
r
−
δ
r
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r −s)ds = x(τ) −
δ
r
y(τ).
Rovnice (9.3) se tedy transformuje na dvourozměrný autonomní systém
x = x(1 − y),
y = x −
δ
r
y.
(9.4)
Nejprve si všimněme, že uzavřený první kvadrant ¯R2
+ = (x, y) ∈ R2
; x ≥ 0, y ≥ 0 je pozitivně
invariantní množinou tohoto systému. Uzavřená polopřímka {(0, y) : y ≥ 0} je totiž pozitivně invariantní
množinou (x(t) ≡ 0, y(t) = y0e−(δ/r)t
je řešením systému (9.4) pro každé y0 ≥ 0), pro
řešení s počáteční podmínkou x(0) = x0 > 0, y(0) = 0 platí x (0) > 0, y (0) > 0 a tedy příslušná
trajektorie směřuje dovnitř prvního kvadrantu.
Systém (9.4) má stacionární body(0, 0) a (x∗
, y∗
) =
δ
r
, 1 a jeho variační matice je
J(x, y) =
1 − y −x
1 −
δ
r
.
Tedy J(0, 0) =
1 0
1 −
δ
r
, det J(0, 0) = −
δ
r
> 0, takže stacionární bod (0, 0) je sedlo. Dále
J(x∗
, y∗
) =



0 −
δ
r
1 −
δ
r


 , det J(x∗
, y∗
) =
δ
r
> 0, tr J(x∗
, y∗
) = −
δ
r
< 0,
tr J(x∗
, y∗
)
2
− 4 det J(x∗
, y∗
) =
δ
r2
(δ − 4r),
takže v případě δ ≥ 4r je vnitřní stacionární bod (x∗
, y∗
) stabilní uzel, v opačném případě se jedná
o stabilní ohnisko. Fázové portréty systému systému (9.4) v obou případech jsou znázorněny na
obr. 9.1.
S využitím Dulacova kriteria 5.2.6 vyloučíme existenci cyklu v prvním kvadrantu. Položíme
q(x, y) =
1
x
. Pak
∂
∂x
1
x
x(1 − y) +
∂
∂y
1
x
x −
δ
r
y = −
δ
rx
< 0
pro všechna x > 0. Uvnitř prvního kvadrantu tedy neexistuje cyklus systému (9.4).
Uvažujme nyní situaci, že na počátku (v čase t = 0) se dostane malá populace do nového
prostředí. K rovnici (9.3) přidáme tedy počáteční podmínky
N(0) = N0, N(t) = 0 pro t < 0. (9.5)
Počáteční podmínky pro systém (9.4) v tomto případě budou
x(0) =
δ
rK
N0, y(0) =
δ
K
0
−∞
N(s)eδs
ds = 0;
115
y
xδ
r
0
1
y
xδ
r
0
1
a) b)
Obrázek 9.1: Fázový portrét systému (9.4) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou 0 < x(0) 1,
y(0) = 0. a) δ ≥ 4r, b) δ < 4r. Oba obrázky mají stejné měřítko na ose x.
N
t
K
0
N
t
K
0
a) b)
Obrázek 9.2: Průběh řešení úlohy (9.3), (9.5). a) δ = 4r, b) δ = 1
2 r.
Trajektorie systému (9.4) s těmito počátečními podmínkami jsou také zobrazeny na obr. 9.1.
Z provedené analýzy systému (9.4) plyne, že pro řešení N počáteční úlohy (9.3), (9.5) platí
lim
t→∞
N(t) =
rK
δ
x∗
= K;
funkce N konverguje k hodnotě K v případě δ ≥ 4r monotonně, viz obr. 9.2 a), v opačném případě
s tlumenými oscilacemi, viz obr. 9.2 b).
116
Kapitola 10
Lotkovy-Volterrovy systémy
xi = xi

bi −
n
j=1
aijxj

 , i = 1, 2, . . ., n. (10.1)
Tyto systémy modelují vývoj společenstva (časové změny velikostí jednotlivých populací, z nichž
se společenstvo skládá). Neznámé funkce a parametry interpretujeme následovně:
xi = xi(t) . . . velikost i-té populace
bi . . . růstový koeficient izolované i-té populace (vnitřní koeficient růstu i-té populace)
bi > 0 . . . i-tá populace je soběstačná (producent)
bi ≤ 0 . . . i-tá populace závisí na jiných populacích (konzument)
aii . . . koeficient vnitrodruhových vztahů i-té populace
aii > 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence
aii < 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová kooperace
aij . . . koeficient vlivu j-té populace na i-tou
min {aij, aji} > 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu konkurence
max {aij, aji} < 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu mutualismu (symbiózy)
aij < 0 < aji . . . j-tá populace je kořistí (hostitelem) i-té populace;
i-tá populace je predátorem (parazitem) j-té populace
aij > 0 . . . j-tá populace je amenzalistou i-té populace
aij < 0 . . . j-tá populace je komenzalistou i-té populace
Fázový prostor systému (10.1) je n-rozměrný uzavřený kladný orthant
¯Rn
+ = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} .
Příklad (vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické rovnice)
Logistickou rovnici
x = rx 1 −
x
K
,
v níž jsou oba parametry r (vnitřní koeficient růstu) a K (kapacita prostředí pro modelovanou
populaci) kladné, lze považovat za jednorozměrný Lotkův-Volterrův systém s b1 = r a a11 = r/K,
tedy za model soběstačné populace s vnitrodruhovou konkurencí (tak byla Verhulstova rovnice sestavena).
Také platí K = b1/a11; odtud lze usoudit, že pro soběstačnou populaci s vnitrodruhovou
117
konkurencí představuje podíl vnitřního koeficientu růstu a koeficientu vnitrodruhové konkurence
kapacitu prostředí neovlivněnou ostatními populacemi společenstva.
Jinou interpretaci logistické rovnice lze získat následující úvahou: Označme
y = 1 −
x
K
=
K − x
K
.
Poněvadž y = −x /K, dostaneme
x = rxy
y = −
r
K
xy.
(10.2)
Jedná se o dvojrozměrný Lotkův-Volterrův systém s parametry
b1 = b2 = 0, a11 = a22 = 0, a12 = r, a21 = −
r
K
.
Proměnnou y lze interpretovat jako relativní dostupnost zdrojů pro modelovanou populaci vzhledem
k celkové kapacitě prostředí K. Velikost populace a relativní dostupnost zdrojů jsou tedy ve
vztahu predace, obě tyto „složky společenstva nejsou ani producenty ani konzumenty a neprojevuje
se u nich žádný vnitrodruhový vztah.
Poznamenejme, že systém (10.2) nemá izolované stacionární body.
10.1 Obecné vlastnosti
Zavedeme označení
b =



b1
...
bn


 , A =



a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann


 ,
matice A se nazývá matice interakcí společenstva. Pro libovolný vektor v = (v1, v2, . . . , vn)T
polo-
žíme
diag v =







v1 0 · · · 0 0
0 v2 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · vn−1 0
0 0 · · · 0 vn







a vektory ze standardní orthonormální báze n-rozměrného vektorového prostoru označíme ej,
ej
=





δ1j
δ2j
...
δnj





, kde δij =
0, i = j
1, i = j
je Kroneckerův symbol.
Systém (10.1) lze zapsat jako vektorovou rovnici
x = diag x (b − Ax) . (10.3)
Je-li matice A regulární, existuje nejvýše jeden stacionární bod x∗
= A−1
b systému (10.1)
takový, že všechny jeho složky jsou kladné. Takový stacionární bod budeme nazývat vnitřní. Pokud
vnitřní stacionární bod existuje, lze tuto skutečnost interpretovat jako možnou koexistenci všech
populací společenstva, přičemž koexistující populace mají dynamicky stálé velikosti dané složkami
vektoru x∗
.
118
Parciální derivace pravé strany rovnice (10.3) podle j-té proměnné je
∂
∂xj
diag x (b − Ax) =
∂
∂xj
diag x (b − Ax) + diag x
∂
∂xj
(b − Ax) =
= diag ej
(b − Ax) + diag x −A · ej
a pro vnitřní stacionární bod x∗
platí b − Ax∗
= O. Proto variační matice systému (10.1) ve
vnitřním stacionárním bodě x∗
je
J(x∗
) = − diag x∗
· A.
Odtud a z 5.3.7 plyne:
10.1.1 Věta
Buď x∗
stacionární bod systému (10.1), jehož všechny složky jsou nenulové. Mají-li všechna vlastní
čísla matice diag x∗
· A kladnou reálnou část, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) je
stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo matice diag x∗
·A které má zápornou reálnou část, pak je konstantní
řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) nestabilní.
10.1.2 Poznámka
Pro čtvercovou matici M položme SM = 1
2 M + MT
. Matice SM je zřejmě symetrická.
Pro každý n-rozměrný vektor v a čtvercovou matici M řádu n platí
vT
Mv = vT
SMv.
Důkaz: Poněvadž vT
Mv je číslo, tj. čtvercová matice řádu 1, platí
vT
Mv = vT
Mv
T
= vT
MT
v.
Odtud plyne
vT
Mv = 2vT 1
2
(M + MT
) −
1
2
MT
v = 2vT
SM v − vT
MT
v = 2vT
SM v − vT
Mv
a tato rovnost je již ekvivalentní s dokazovaným vztahem.
10.1.3 Věta
Buď x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = A−1
b vnitřní stacionární bod systému (10.1). Jestliže existuje konstantní
vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T
se všemi složkami kladnými a existuje okolí U bodu x∗
takové,
že pro všechna x ∈ U je výraz
(x − x∗
)
T
S(diag c A) (x − x∗
) (10.4)
nezáporný, pak funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ
je ljapunovskou funkcí systému (10.1), tj. konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) je stejnoměrně
stabilní.
119
Pokud je výraz (10.4) pro všechna x ∈ U \{x∗
} kladný, pak je toto řešení stejnoměrně asymptoticky
stabilní.
Důkaz: Funkce V je definována pro všechna x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. Platí
V (x∗
) =
n
i=1
ci
x∗
i
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ = 0.
Pro každé xi > 0 je
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ ≥ 0,
neboť integrovaná funkce je kladná pro xi > x∗
i (tj. v případě, že horní mez integrálu je větší, než
dolní mez) a záporná pro xi < x∗
i (horní mez integrálu menší než dolní mez). Rovnost nastane
právě tehdy, když xi = x∗
i . Odtud plyne, že pro x = x∗
a takové, že všechny jeho složky jsou
kladné, platí V (x) > 0.
Dále podle věty o derivaci integrálu jako funkce horní meze platí
∂V (x)
∂xi
= ci
xi − x∗
i
xi
,
a poněvadž b = Ax∗
, platí dále
bi =
n
j=1
aijx∗
j ,
takže derivace funkce V vzhledem k systému (10.1) je
˙V (x) =
n
i=1
ci
xi − x∗
i
xi
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 =
n
i=1
ci (xi − x∗
i )


n
j=1
aijx∗
j −
n
j=1
aijxj

 =
= −
n
i=1
n
j=1
(xi − x∗
i ) ciaij xj − x∗
j = − (x − x∗
)
T
(diag c A) (x − x∗
) =
= − (x − x∗
)T
S (diag c A) (x − x∗
)
(poslední rovnost plyne z poznámky 10.1.2). Věta nyní plyne z 5.3.10 a 5.3.11.
10.1.4 Důsledek
Nechť systém (10.1) má vnitřní stacionární bod x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n).
Jestliže existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T
se všemi složkami kladnými takový, že
matice
S (diag c A) (10.5)
je pozitivně semidefinitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) je stejnoměrně stabilní.
Pokud je matice (10.5) pozitivně definitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (10.1) je
stejnoměrně asymptoticky stabilní.
10.2 Koloběh dusíku v planktonu
Uvažujme proces schématicky znázorněný na obrázku 10.1: Ve fytoplanktonu probíhá fotosyntéza
a při ní se dusík z okolního prostředí váže v jeho buňkách; fytoplankton slouží jako potrava pro zooplankton,
takže dusík ze zkonzumovaného fytoplanktonu se stává součástí zooplanktonu. Plankton
120
- -
6
? ?
a b
c dN
dusík v prostředí
P
fytoplankton
Z
zooplankton
Obrázek 10.1: Schéma koloběhu dusíku
v důsledku svého metabolismu dusík opět vylučuje do okolního prostředí a také při rozkladu mrtvého
planktonu se dusík uvolňuje. Dusík z prostředí není odebírán ani není nějakým způsobem
do něho přidáván. Dusíku vylučovaného planktonem je tím více, čím je více planktonu, dusíku
vázaného ve fytoplanktonu přibývá tím více, čím je více volného dusíku a fytoplanktonu; dusíku
vázaného v zooplanktonu přibývá tím více, čím více je fytoplanktonu pozřeného zooplanktonem a
toho je tím více, čím více je fytoplanktonu i zooplanktonu. Označme po řadě N, P a Z množství
dusíku v prostředí, vázaného ve fytoplanktonu a vázaného v zooplanktonu. Všechny tyto veličiny
se mění s časem, tj. N = N(t), P = P(t) a Z = Z(t). Celkové množství dusíku v systému je rovno
V = N + P + Z. Koloběh dusíku lze nejjednodušeji modelovat systémem rovnic
N = aP + bZ − cNP,
P = cNP − dPZ − aP,
Z = dPZ − bZ;
všechny parametry a, b, c, d jsou kladné.
Nejprve si všimněme, že V = N + P + Z = 0, což znamená, že celkové množství dusíku V je
konstantní. Proto lze množství dusíku v prostředí vyjádřit jako N(t) = V − P(t) − Z(t) a dosadit
do druhé a třetí rovnice systému. Dostaneme
P = (V c − a)P − cP2
− (c + d)PZ = P V c − a − cP − (c + d)Z ,
Z = −bZ + dPZ = Z − b + dP .
(10.6)
Jedná se tedy o Lotkův-Volterrův systém s vektorem růstových koeficientů a maticí interakcí
b =
V c − a
−b
a A =
c −(c + d)
d 0
.
To je systém typu dravec-kořist; dravcem je zooplankton, kořistí fytoplankton. Variační matice
systému (10.6) v obecném bodě je
J(P, Z) =
V c − a − 2cP − (c + d)Z −(c + d)P
dZ −b + dP
,
Systém (10.6) má vždy triviální stacionární bod
s0 =
0
0
vyjadřující nepřítomnost planktonu. Variační matice v triviálním stacionárním bodě, její stopa a
determinant jsou
J(s0) =
V c − a 0
0 −b
, tr J(s0) = c V −
a
c
− b, det J(s0) = −bc V −
a
c
,
Pokud pro množství dusíku platí
V >
a
c
, (10.7)
pak det J(s0) < 0 a podle 5.3.8 to znamená, že triviální stacionární bod s0 je sedlo. Pokud
naopak
V <
a
c
,
121
pak det J(s0) > 0, tr J(s0) < −b < 0 a tr J(s0)
2
− 4 det J(s0) = (V c − a + b)2
≥ 0, což
znamená, že s0 je stabilní uzel.
Je-li splněna nerovnost (10.7), pak má systém (10.6) další stacionární bod
s1 =
V −
a
c
0
,
vyjadřující dynamicky stálé množství fytoplanktonu bez přítomnosti zooplanktonu. Variační matice
systému (10.7) ve stacionárním bodě s1 je
J(s1) =
−c V − a
c −(c + d) V − a
c
0 d V − a
c − b
,
její stopa a determinant jsou
tr J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
− c V −
a
c
, det J(s1) = −cd V −
a
c
V −
a
c
−
b
d
.
Pokud navíc množství dusíku splňuje podmínku
V >
a
c
+
b
d
, (10.8)
pak det J(s1) < 0 a stacionární bod je sedlo. Je-li naopak
V <
a
c
+
b
d
,
pak det J(s1) < 0, tr J(s1) < 0 a
tr J(s1)
2
− 4 det J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
+ c V −
a
c
2
≥ 0,
což znamená, že stacionární bod je stabilní uzel.
Vnitřní stacionární bod systému (10.6) je
P∗
Z∗ = A−1
b =
1
d(c + d)
0 −(c + d)
d c
V c − a
−b
=




b
d
c
c + d
V −
a
c
−
b
d



 .
Vidíme, že P∗
> 0 a pokud je splněna podmínka (10.8), pak také Z∗
> 0; v takovém případě je
tedy možná koexistence fyto- i zooplanktonu. Dále platí
J(P∗
, Z∗
) = −




b
d
O
O
c
c + d
V −
a
c
−
b
d




0 −(c + d)
d c
=
=





0
b(c + d)
d
−
cd
c + d
V −
a
c
−
b
d
−
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d





.
Je-li splněna podmínka (10.8), pak
tr J(P∗
, Z∗
) = −
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d
< 0, det J(P∗
, Z∗
) = bc V −
a
c
−
b
d
> 0,
122
což znamená, že reálná část vlastních čísel variační matice J(P∗
, Z∗
) je záporná, a tedy vnitřní
stacionární řešení (P∗
, Z∗
) systému (10.6) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Povšimněme si, že kladná stacionární hodnota P∗
nezávisí na celkovém množství dusíku V .
Pokud se tedy zvětší přísun živin, nemá z toho užitek fytoplankton, ale jeho predátor zooplankton.
Z dosud provedených úvah a výpočtů lze učinit závěr, že přežívání planktonu je závislé na
celkovém množství dusíku v prostředí:
(i) V <
a
c
plankton nepřežívá,
(ii)
a
c
< V <
a
c
+
b
d
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
c
+
b
d
< V fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Povšimněme si, že podmínku (iii) lze splnit pouze v případě
V >
b
d
; (10.9)
v opačném případě by totiž mělo být V −
b
d
>
a
c
> 0 a současně V −
b
d
≤ 0.
Výsledky lze ovšem interpretovat i jinak. Předpokládejme, že platí podmínka (10.9) a příslušné
nerovnosti i závěry z nich plynoucí přepíšeme do tvaru:
(i) c <
a
V
plankton nepřežívá,
(ii)
a
V
< c <
a
V
+
ab
V (V d − b)
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
V
+
ab
V (V d − b)
< c fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Koeficient c vyjadřuje, s jakou intenzitou je dusík z prostředí vázán do biomasy fytoplanktonu.
Tato vazba vzniká procesem fotosyntézy, jejíž intenzita roste s množstvím slunečního světla a to
se mění s ročním obdobím. Při stálém množství dusíku se s rostoucím množstvím světla nejprve
objeví fytoplankton, poté i zooplankton; v zimě se plankton nevyskytuje, na jaře se nejprve objeví
fytoplankton a poté s prodlužujícím se dnem i zooplankton.
10.3 Dissipativita konkurenčních systémů
Uvažujme společenstvo n soběstačných populací, z nichž každá projevuje vnitrodruhovou konkurenci
a každá z populací je amenzalistou jiné nebo ji neovlivňuje (zejména tedy každé dvě populace
mohou být ve vztahu konkurence). Vývoj takového společenstva lze modelovat systémem (10.1)
s kladnými parametry bi, aii, i = 1, 2, . . . , n a s nezápornými parametry aij pro i = j. S využitím
tvrzení 5.1.11 ukážeme, že takový systém je dissipativní, tedy že všechny složky jeho řešení jsou
ohraničené:
Nechť ε > 0 a i ∈ {1, 2, . . . , n} jsou libovolná. Položme
Ki =
bi
aii
+ ε, δi = εaii.
Pak Ki > 0, δi > 0 a pro všechna xj ≥ Kj, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 ≤ xi(bi − aiixi) ≤ xi(bi − aiiKi) = xiaii
bi
aii
− Ki =
= xiaii(Ki − ε − Ki) = −εxiaii = −δixi,
123
takže předpoklady třetího z tvrzení 5.1.11 jsou splněny.
Poněvadž kladná konstanta ε je libovolně malá, pro každé řešení x( · ) = x1(·), x2(·), . . . , xn(·)
systému (10.1) s bi > 0, aii > 0, aij ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , n existuje T ≥ 0 takové, že pro všechna
t ≥ T je
x1(t) ≤
b1
a11
, x2(t) ≤
b2
a22
, . . . , xn(t) ≤
bn
ann
.
V dlouhém časovém horizontu populace nepřekračují velikost danou kapacitou prostředí pro populace
izolované.
10.4 Trofický řetězec
Trofický řetězec je takové společenstvo, v němž je první druh producentem a každý jiný druh je
nesoběstačným specializovaným predátorem právě jednoho dalšího druhu. Označíme x1 velikost
populace producenta, x2 velikost populace jeho predátora, x3 velikost populace, která je predátorem
populace o velikosti x2, atd. Každá z populací na některé trofické úrovni nemusí být tvořena
jedním biologickým druhem, může jít o společenstvo organismů majících stejný způsob obživy.
Trofický řetěz o n úrovních lze tedy modelovat systémem
x1 = x1(r − ax1) − p1x1x2
x2 = −d2x2 + q2x1x2 − p2x2x3
...
xk = −dkxk + qkxk−1xk − pkxkxk+1
...
xn−1 = −dn−1xn−1 + qn−1xn−2xn−1 − pn−1xn−1xn
xn = −dnxn + qnxn−1xn,
(10.10)
parametry r, d2, d3, . . . , dn, q2, q3, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn−1 jsou kladné, parametr a je nezáporný
(producent může, ale nemusí projevovat vnitrodruhovou konkurenci).
Stabilita vnitřního stacionárního bodu
Matice interakcí a vektor růstových koeficientů jsou
A =









a p1 0 · · · 0 0 0
−q2 0 p2 · · · 0 0 0
0 −q3 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −qn−1 0 pn−1
0 0 0 · · · 0 −qn 0









, b =









r
−d2
−d3
...
−dn−1
−dn









.
Položme
c1 = 1, c2 =
p1
q2
, c3 =
p1p2
q2q3
, . . . , cn−1 =
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−1
, cn =
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn
.
124
Pak je
diag c A =

















a p1 0 · · · 0 0 0
−p1 0
p1p2
q2
· · · 0 0 0
0 −
p1p2
q2
0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−2
0
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0 0 0 · · · 0 −
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0

















,
takže
S (diag c A) =









a 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0









z čehož plyne
(x − x∗
)
T
S(diag c A) (x − x∗
) = a(x1 − x∗
1)2
≥ 0.
Pokud existuje vnitřní stacionární bod x∗
uvažovaného systému, pak je příslušné konstantní řešení
stejnoměrně stabilní.
Existence vnitřního stacionárního bodu
Hledejme nyní podmínky, které zaručí existenci takového stacionárního bodu x∗
. Jeho souřadnice
splňují n-rozměrný systém algebraických rovnic
ax∗
1 + p1x∗
2 = r,
qkx∗
k−1 − pkx∗
k+1 = dk, k = 2, 3, . . ., n − 1.
qnx∗
n−1 = dn.
(10.11)
„Prostřední rovnice tohoto systému lze přepsat ve tvaru rekurentních formulí
x∗
k−1 =
1
qk
pkx∗
k+1 + dk nebo x∗
k+1 =
1
pk
qkx∗
k−1 − dk , k = 2, 3, . . . , n − 1. (10.12)
Poněvadž všechny koeficienty pk, qk, dk jsou kladné, plyne z tohoto vyjádření:
(i) je-li x∗
0
> 0 pro nějaké l0 ∈ {2, 3, . . ., n} ,
pak je x∗
> 0 pro všechna ∈ 0, 0 − 2, 0 − 4, . . . ,
1
2
3 + (−1) 0
;
(ii) je-li x∗
1
≤ 0 pro nějaké 1 ∈ {1, 3, . . . , n − 2} ,
pak je x∗
< 0 pro všechna ∈ 1 + 2, 1 + 4, . . . , n −
1
2
1 − (−1) 1+n
.
Podle poslední rovnice systému (10.11) je
x∗
n−1 =
dn
qn
.
125
Z první rekurentní formule (10.12) postupně vyjádříme
x∗
n−3 =
1
qn−2
pn−2x∗
n−1 + dn−2 =
pn−2
qn−2
dn
qn
+
dn−2
qn−2
,
x∗
n−5 =
1
qn−4
pn−4x∗
n−3 + dn−4 =
pn−4
qn−4
pn−2
qn−2
dn
qn
+
pn−4
qn−4
dn−2
qn−2
+
dn−4
qn−4
,
atd. Celkem dostaneme
x∗
n−(2 +1) =
i=0
dn−2i
qn−2i j=i+1
pn−2j
qn−2j
, pro = 0, 1, . . .
n
2
− 1, (10.13)
kde [ξ] označuje celou část z čísla ξ a klademe
k−1
j=k
αj = 1 pro libovolné přirozené k a každou
posloupnost {αj}
∞
j=0.1
Přímým výpočtem se lze přesvědčit, že (10.13) je skutečně řešením druhé
až n-té rovnice systému (10.11).
Nechť nejprve je n sudé. V tomto případě lze rovnost (10.13) přepsat na tvar
x∗
2k−1 = x∗
n−(2(n
2 −k)+1) =
n
2 −k
i=0
dn−2i
qn−2i
n
2 −k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n
2
i=k
d2i
q2i
i−1
j=k
p2j
q2j
, k = 1, 2, . . .,
n
2
.
Z tohoto vyjádření je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗
s lichými indexy jsou
kladné. Pro jeho první souřadnici platí
x∗
1 =
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.14)
Z první rovnice systému (10.11) nyní dostaneme
x∗
2 =
r − ax∗
1
p1
,
a ze druhé rekurentní formule (10.12)
x∗
4 =
1
p3
(q3x∗
2 − d3) =
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
d3
p3
,
x6 =
1
p5
(q5x∗
4 − d5) =
q5
p5
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
q5
p5
d3
p3
−
d5
p5
,
atd. Obecně
x∗
2k =
r − ax∗
1
p1
k−1
i=1
q2i+1
p2i+1
−
k−1
i=1
d2i+1
p2i+1
k−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Souřadnice x∗
1 je vyjádřena formulí (10.14). Tedy platí
x∗
n = x∗
2 n
2
=
r − ax∗
1
p1
n
2 −1
=1
q2 +1
p2 +1
−
n
2 −1
i=1
d2i+1
p2i+1
n
2 −1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
=
=


n
2 −1
=1
q2 +1
p2 +1



r − ax∗
1
p1
−
n
2 −1
i=1
d2i+1
p2i+1
i
j=1
p2j+1
q2j+1

 =
=

 1
p1
n
2 −1
=1
q2 +1
p2 +1



r − a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
− p1
n
2 −1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1

 .
1Uvedená konvence je přirozeným rozšířením rovnosti
k
j=m
αj = αk
k−1
j=m
αj , která platí pro libovolné k > m,
také pro k = m.
126
Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby všechny souřadnice stacionárního bodu x∗
byly
kladné, je tedy podle tvrzení (i) a (ii) nerovnost
r > p1
n
2 −1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.15)
Nechť nyní je n liché. V tomto případě lze rovnost (10.13) přepsat na tvar
x∗
2k = xn−(2(n−1
2 −k)+1) =
n−1
2 −k
i=0
dn−2i
qn−2i
n−1
2 −k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n−1
2
i=k
d2i+1
q2i+1
i−1
j=k
p2j+1
q2j+1
, k = 1, 2, . . . ,
n − 1
2
.
Z něho je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗
se sudými indexy jsou kladné.
Zejména jeho druhá souřadnice je
x∗
2 =
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
. (10.16)
Je-li a = 0, dostaneme z první rovnice systému (10.11)
x∗
1 =
r − p1x∗
2
a
,
ze druhé rekurentní formule (10.12) nyní můžeme postupně vyjádřit
x∗
3 =
1
p2
(q2x∗
1 − d2) =
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
d2
p2
,
x∗
5 =
1
p4
(q4x∗
3 − d4) =
q4
p4
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
q4
p4
d2
p2
−
d4
p4
,
atd. Obecně dostaneme
x∗
2k−1 =
r − p1x∗
2
a
k−1
i=1
q2i
p2i
−
k−1
i=1
d2i
p2i
k−1
j=i+1
q2j
p2j
, k = 1, 2, . . .,
n + 1
2
.
Odtud s využitím (10.16) vyjádříme
x∗
n = x∗
2 n+1
2 −1
=
r − p1x∗
2
a
n−1
2
=1
q2
p2
−
n−1
2
i=1
d2i
p2i
n−1
2
j=i+1
q2j
p2j
=
=

1
a
n−1
2
=1
q2
p2



r − p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
− a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j

 .
Pro liché n a a = 0 tedy dostáváme jako nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby všechny
souřadnice stacionárního bodu x∗
byly kladné, nerovnost
r > p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.17)
Pokud je n liché a a = 0, dostaneme z první rovnice systému (10.11) rovnost
x∗
2 =
r
p1
.
127
Současně však musí platit rovnost (10.16), takže soustava rovnic (10.11) má řešení (a to nekonečně
mnoho řešení; stacionární bod není v takovém případě izolovaný) pouze tehdy, když
r = p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Pravděpodobnost, že tato rovnost bude splněna pro systém (10.10) modelující reálné společenstvo,
je však nulová.
Povšimněme si ještě, že nerovnosti (10.15) a (10.17) lze zapsat jednotně ve tvaru
r > p1
[n−1
2 ]
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
[n
2 ]
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (10.18)
Závěr: Je-li a > 0 (základní zdroj je omezený, v populaci producenta je vnitropopulační konkurence),
pak vnitřní stacionární bod systému (10.10) existuje (je možná koexistence všech populací
tvořících trofický řetězec) právě tehdy, když je splněna podmínka (10.18) (vnitřní koeficient růstu
producenta je dostatečně velký).
Je-li a = 0 (základní zdroj je neomezený), pak vnitřní stacionární bod systému (10.10) existuje
pouze pro sudé n (je možná koexistence pouze sudého počtu trofických úrovní); vnitřní stacionární
bod v takovém případě existuje právě tehdy, když je splněna podmínka
r > p1
n
2 −1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
10.5 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi
Uvažujme společenstvo tvořené dvěma skupinami druhů — producenty (kořistí) a konzumenty
(predátory). Mezi druhy uvnitř jednotlivých trofických úrovní nejsou žádné interakce a konzumenti
nemohou bez producentů přežít. Je-li takové společenstvo tvořeno n druhy producentů a m druhy
konzumentů, lze jeho vývoj popsat systémem Lotkových-Volterrových rovnic tvaru
xi = xi ri −
m
k=1
aikyk , i = 1, 2, . . ., n,
yj = yj −sj +
n
k=1
bjkxk , j = 1, 2, . . . , m;
(10.19)
xi označuje velikost i-tého druhu producentů, yj velikost j-tého druhu konzumentů, parametry
ri, sj, aij, bji jsou kladné. Systém (10.19) můžeme při zavedení vektorů x = (x1, x2, . . . , xn)T
,
y = (y1, y2, . . . , ym)T
, r = (r1, r2, . . . , rn)T
, s = (s1, s2, . . . , sm)T
, a matic
A = aij 1≤i≤n
1≤j≤m
=





a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
...
...
...
...
an1 an2 . . . anm





, B = bji 1≤j≤m
1≤i≤n
=





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn





zapsat vektorově
x = diag x (r − Ay),
y = diag y (−s + Bx),
nebo ve tvaru
x
y
= diag
x
y
r
−s
−
O A
B O
x
y
,
kde O označuje nulovou matici.
128
Příklad: klasický Lotkův-Volterrův systém dravec-kořist
Uvažujme společenstvo jednoho producenta a jednoho konzumenta (jednoho dravce a jeho kořisti).
V takovém případě je n = m = 1 a systém (10.19) je tvaru
x = x(r − ay),
y = y(−s + bx).
(10.20)
Tento systém má vnitřní stacionární bod
(p, q) =
s
b
,
r
a
.
Systém (10.20) můžeme přepsat na tvar
x
x
= r − ay,
y
y
= −s + bx,
neboli
d
dt
ln x = r − ay,
d
dt
ln y = −s + bx.
Při označení u = ln x, v = ln y dostaneme
u = r − aev
,
v = −s + beu
,
což je systém bipartitní. Bezprostředně vidíme, že tento systém můžeme psát ve tvaru
u =
∂
∂v
(rv − aev
) ,
v = −
∂
∂u
(su − beu
) ,
nebo vektorově
u
v
=
0 1
−1 0
(su − beu
+ rv − aev
) . (10.21)
Systém (10.20) je tedy ekvivalentní s hamiltonovským systémem (10.21). Jeho hamiltonián (invariant)
v původních proměnných je
H(x, y) = s ln x − bx + r ln y − ay = b
s
b
ln x − x + a
r
a
ln y − y =
= b (p ln x − x) +
a
b
(q ln y − y) .
Transformace systému (10.19) na systém bipartitní
Stavové proměnné xi, yj transformujeme na nové, které označíme ui, vj a definujeme rovnostmi
ui = ln xi, vj = ln yj, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., m. (10.22)
Pak
ui =
xi
xi
= ri −
m
k=1
aikyk = ri −
m
k=1
aikevk
, vj = −sj +
n
k=1
bjkeuk
.
Zavedeme označení
eu
= (eu1
, eu2
, . . . , eun
) , ev
= (ev1
, ev2
, . . . , evm
) .
Systém (10.19) se transformuje na tvar
u = r − Aev
, v = −s + Beu
; (10.23)
derivace první sady proměnných závisí pouze na druhé sadě, derivace druhé sady proměnných
závisí pouze na první sadě. Systém (10.19) lze tedy substitucí (10.22) transformovat na systém
bipartitní.
129
Invariant systému (10.19)
Hodnota aij vyjadřuje množství i-tého druhu kořisti, kterou za jednotku času zničí predátoři j-tého
druhu za předpokladu, že populace i-tého druhu kořisti i j-tého druhu predátora měly jednotkovou
velikost. Stručněji, aij je specifická úmrtnost i-tého druhu kořisti způsobená populací j-tého druhu
predátora o jednotkové velikosti. Hodnota bji je specifická porodnost j-tého druhu predátora po
konzumaci jednotkového množství populace i-tého druhu kořisti. Poměr bji/aij lze tedy chápat
jako efektivitu, s jakou se úbytek i-tého druhu kořisti přeměňuje do růstu populace j-tého druhu
predátora. Předpokládejme nyní, že každý druh predátora využívá všechny druhy kořisti stejně
efektivně, tj. že ke každému j = 1, 2, . . . , m existuje konstanta cj > 0 taková, že
bji
aij
= cj pro všechny indexy i = 1, 2, . . . , n.
Jinak řečeno, nechť existuje vektor c = (c1, c2, . . . , cm)T
pro nějž platí
BT
= A diag c, neboli B = diag c AT
. (10.24)
Předpokládejme dále, že existuje vnitřní stacionární bod systému (10.19), tj. že existují vektory
p = (p1, p2, . . . , pn)T
, q = (q1, q2, . . . , qm)T
se všemi složkami kladnými, takové že Aq = r, Bp = s,
tj.
ri =
m
k=1
aikqk pro i = 1, 2, . . . , n, sj =
n
k=1
bjkpk pro j = 1, 2, . . . , m. (10.25)
Poznamenejme, že v případě m = n nemusí být některý z vektorů p, q určen jednoznačně. Pak
vnitřní stacionární bod není izolovaný.
Definujme nyní funkci H : Rn+m
+ → R předpisem
H(x, y) = H(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn) =
n
i=1
(pi ln xi − xi) +
m
j=1
1
cj
(qj ln yj − yj) .
Pokud x, y jsou řešením systému (10.19), která mají všechny složky v každém čase kladné, pak
platí
d
dt
H(x, y) =
n
i=1
pi
xi
xi
− xi +
m
j=1
1
cj
qj
yj
yj
− yj =
n
i=1
(pi − xi)
xi
xi
+
m
j=1
1
cj
(qj − yj)
yj
yj
=
=
n
i=1
(pi − xi) ri −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−sj +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
(pi − xi)
m
k=1
aikqk −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−
n
k=1
bjkpk +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
m
k=1
(pi − xi)aik(qk − yk) −
n
k=1
m
j=1
(pk − xk)
bjk
cj
(qj − yj) = 0,
neboť bjk/cj = akj. Jinak řečeno, funkce H je na trajektoriích systému (10.19) konstantní, je
invariantem (prvním integrálem) tohoto systému.
Transformace systému (10.19) na hamiltonovský
Opět použijeme transformaci (10.22) a s využitím vztahů (10.25) vyjádříme transformovaný systém
(10.23) jako u = A(q − ev
), v = −B(p − eu
). Podmínka (10.24) nyní umožňuje přepsat tento
systém ve tvaru
u = A(q − ev
), v = −(A · diag c)T
(p − eu
). (10.26)
130
Invariant H systému (10.19) vyjádříme také v proměnných u a v,
H(u, v) =
n
i=1
(piui − eui
) +
m
j=1
1
cj
(qjvj − evj
).
Platí
∂H
∂ui
(u, v) = pi − eui
,
∂H
∂vj
(u, v) =
1
cj
(qj − evj
), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., m.
Při označení u =
∂
∂u1
,
∂
∂u2
, . . . ,
∂
∂un
T
, v =
∂
∂v1
,
∂
∂v2
, . . . ,
∂
∂vm
T
tedy je
uH(u, v) = p − eu
, vH(u, v) = (diag c)−1
(q − ev
),
takže systém (10.26) je tvaru
u = A diag c vH(u, v), v = −(A diag c)T
uH(u, v),
neboli
u
v
=
O A diag c
−(A diag c)T
O
uH(u, v)
vH(u, v)
,
symbol O označuje nulovou matici. Pokud tedy platí (10.24) a existuje vnitřní stacionární bod
systému (10.19), lze tento systém transformovat na systém hamiltonovský.
Modely společenstev tvořených producenty a jejich konzumenty, které mají vnitřní stacionární
bod a splňují podmínku (10.24), mají v populační ekologii podobný význam jako Newtonovy zákony
v mechanice (srov. 5.4.6).
10.6 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy
systémy)
Vlivy populací tvořících společenstvo na růst jednotlivých populací nemusí být tvaru přímé úměrnosti.
Proto může být realističtější místo systému (10.1) uvažovat systém
xi = gi(xi)

bi −
n
j=1
aijfj(xj)

 , i = 1, 2, . . ., n. (10.27)
Funkce fi, gi, i = 1, 2, . . ., n jsou definovány a spojité na intervalu [0, ∞) a splňují podmínky:
• (∀i)gi(0) = 0 . . . je-li velikost i-té populace nulová (tj. i-tá populace ve společenstvu není),
pak nulovou zůstane; uvažujeme tedy izolovaná společenstva, kde nedochází k imigraci nových
druhů.
• (∀i)(∀ξ > 0)gi(ξ) > 0 . . . skutečnost, zda je i-tá populace soběstačná nebo ne, nezávisí na
její velikosti; neuvažujeme tedy např. Alleeho efekt.
• (∀j)fj(0) = 0 . . . není-li j-tá populace ve společenstvu přítomná, nijak neovlivňuje růst
ostatních populací.
• (∀j)fj je rostoucí . . . s rostoucí velikostí populace roste i její vliv na růst populací ostatních.
131
Systém (10.27) lze zapsat vektorově:
x = G(x) b − Af(x) ,
kde
G(x) = G(x1, x2, . . . , xn) = diag g1(x1), g2(x2), . . . , gn(xn) ,
f(x) = f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn)
T
.
Poněvadž všechny složky zobrazení f : Rn
→ Rn
jsou rostoucí (tedy prosté) funkce, je toto
zobrazení prosté a existuje k němu zobrazení inverzní f−1
= (f−1
1 , f−1
2 , . . . , f−1
n ). Je-li matice
interakcí společenstva A regulární, existuje nejvýše jeden vnitřní stacionární bod
x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = f−1
A−1
b
systému (10.27), tj. takový bod, že x∗
1 > 0, x∗
2 > 0, . . . , x∗
n > 0, který lze opět interpretovat jako
dynamicky stálé velikosti všech populací koexistujících ve společenstvu.
Analogicky jako v důkazu věty 10.1.3 ověříme, že pokud existuje okolí U vnitřního stacionárního
bodu x∗
a existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T
se všemi složkami kladnými, pro něž je
výraz
f(x) − f(x∗
)
T
S(diag c A) f(x) − f(x∗
)
nezáporný pro každé x ∈ U, pak je funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
fi(ξ) − fi(x∗
i )
gi(ξ)
dξ
ljapunovskou funkcí systému (10.27) ve stacionárním bodě x∗
. Odtud je vidět, že tvrzení důsledku
10.1.4 platí také pro systém (10.27).
132