Obsah
1 Diferenciální rovnice 1. řádu rozřešená vzhledem k derivaci 2
1.1 Rovnice se separovanými proměnnými........................... 2
1.2 Homogenní rovnice...................................... 3
1.3 Lineární rovnice........................................ 4
1.4 Bernoulliova rovnice..................................... 5
1.5 Exaktní rovnice........................................ 6
2 Diferenciální rovnice 1. řádu nerozřešené vzledem k derivaci 7
2.1 Lagrangeova rovnice..................................... 7
2.2 Clairautova rovnice...................................... 8
3 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty 9
4 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty 11
5 Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstaními koeficienty 14
6 Autonomní systémy 16
6.1 Lineární autonomní systémy v rovině............................ 16
6.2 Nelineární autonomní systémy v rovině........................... 17
1
Kapitola 1
Diferenciální rovnice 1. řádu rozřešená vzhledem k derivaci
Obecný tvar:
y' = F(x, y)
1.1   Rovnice se separovanými proměnnými
y' = f{x) ■ g{y)
Obecný tvar řešení:
g{y)
(í.i)
(1.2)
(1.3)
Příklad 1.1. x2y' + y = 0
Příklad 1.2. 2y'^/x = y
Příklad 1.3. y' = 2^ylnx   y(e) = 1
Příklad 1.4. xy' + y = y2   y(l) = \
Příklad 1.5. (1 + y2) dx - xy(l + x2) dy = 0
2
Speciální tvar:
y' = f(ax + by + c)
[1.4)
Zavádíme substituci: z = ax + by + c    =>•    y' =
Řešíme rovnici: —r— = f (z)
Příklad 1.6. y' + 1 = x + y
Domácí úkol: y' = x + 2y        [y = jKe    — 1 — 2x]
Příklad 1.7. y' = (x + y + 2)
1.2   Homogenní rovnice
y' = m
;i.5)
Zavádíme substituci: u = - y' = u'x +u u'x + u = f (x)
Řešíme rovnici: u' = -(f (u) — u)
Příklad 1.8. (x + 2y) dx — x dy = 0
Příklad 1.9. y2 + x2y' = xyy'
Příklad 1.10. xy' — y = x tg ^
Speciální tvar:
, _ ax + [3y + 7 ax + by + c
;i.6)
1. 7 = c = 0
(a) a& — a[3 = 0
y' = konst.
3
(b) ab — af3 7^ O =>• y' = / ( a , ^ J ~~ homogenní rovnice
2. 72 + c2 ^ o
(a) a& — a/3 7^ 0
am + /3n + 7 = 0 (bod [m; n] je průsečík dvou přímek) am + fen + c = 0
subs.:  x = u + m dx = du
y = v + n dy = dv
du _ „ ( au ~|" ^ ) což vede na případ l.(b) du    J yau + bv J ľ ľ       v '
(b) ab — a(3 = 0, 6 7^ 0 =>• a =
Dostáváme: y' = f i —-2/)    ^ |       subs.: z = ax + by
rovnice se separovanými proměnnými
Příklad 1.11. y'
Příklad 1.12. y'
Příklad 1.13. y'
Příklad 1.14. y
x + 2y -7 x — 3
2x + 3y-l ~2x + 3y-5
2x - y + 1 x - 2y + 1
,_ x-y + l x + y + 3
1.3   Lineární rovnice
1. způsob řešení
(a) homogenní část: y'
y' = a{x)y + b(x)
;i.7)
a{x)y - rovnice se separovanými proměnnými
(b) nehomogenní část: Rešní hledáme ve tvaru získaného z řešení hom. rovnice:
y = C(x) ■e-í'a^dx, zderivujeme a dosadíme do zadání =>• C{x) = J* b(x)e~ ^a^dx dx + ií.
4
2. způsob řešení - celou rovnici vynásobíme výrazem e fa(x)dx
y'e-fa(x)dx _ a(x)ye-f = b(x)e-fa^dx
ye
- j a(x) dx
b(x)e-fa^dx
y = e-
j a(x) dx
b(x)e-fa^dx áx + C
Příklad 1.15. y' = —2xy + xe
Příklad 1.16. y' = x + 2y   y(0) = 1
Příklad 1.17. y' = Axy + (2x + l)e2x
Příklad 1.18. y' cos x + 2y sin x = 2 sin x
1.4   Bernoulliova rovnice
y' = a{x)y + b{x)yr
r Ý 0,1
Zavádíme substituci: z = y1_r =>• z' = (1 — r)y~ry' =>• y~ry' =
Původní rovnici vynásobíme y~r a dosadíme substituci:
žTV = a(^)y1_r + b(x) a{x)z +
1 — r
z' = (1 — r)a(x)z + (1 — r)6(x)    =>• lineární rovnice pro r > 0 přidáme řešení y = 0
Příklad 1.19. xy' — y = —xy1
Příklad 1.20. y' + y + y2ex = 0
5
Příklad 1.21. 3y2y' - 4y3 = x + 1
1.5   Exaktní rovnice
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
dF = M(x, y) dx + N(x, y) dy - totální diferenciál funkce F(x, y)  =>• F(x, y) = C
OF OF
— =M(x,y) —=N(x,y)
Nutná podmínka: ^M- =
1 ay ax
;i.9)
(1.10)
Příklad 1.22. (3x2y2 + 7)dx + 2xóy dy = 0
Příklad 1.23. (e» + yex + 3)dx + (ex + xé" - 2) dy = 0
Pokud neplatí My = Q^j- = = Nx, pak lze celou rovnici vynásobit vhodným výrazem (integrační faktor), např.:
My   —   Nx f NX~My
ínm(x) = I —2—r:-dx      nebo       mn[y) = / -——- dy
N
M
1.11
Příklad 1.24. (x2 - 3y2) dx + 2xy dy = 0
6
Kapitola 2
Diferenciální rovnice 1. řádu nerozřešené vzledem k derivaci
x = f (y')      y = g(y')      x = f (y, y')      y = g(x, y')
(2.1)
Zavádíme substituci: ž/ = "gf = P =^   x = x(p)       dostáváme parametrické vyjádření řešení.
y = y (p)
Pokud lze p osamostatnit =>• dosadíme a vyjádříme y = h (x).
Příklad 2.1. 2y' + siny - x = 0
Příklad 2.2. x = y' + lny'
Příklad 2.3. (y')2^' -y = 0
Příklad 2.4. (y')3 - 4xyy' + 8y2 = 0
Příklad 2.5. y = 2xy' + \x2 + (y')2
2.1   Lagrangeova rovnice
y = x f (y') + g(y')
(2.2)
7
y = xf(p) + g(p)
[zderivujeme podle x]
i     f, s .    df(p)   dp     dg(p) dp
p = y = f(p)+x—--— + —— —
dp      dx       dp dx
p ~ f(p) = U'(p)x +
[P ~ f(j>) Ý 0, x = x(p)\
dx f(p)
-x +
g'{p)
dp     p- f(jp)~ ' p - f(p) x = x(p) dosadíme do zadání.
2.2   Clairautova rovnice
y = xy' + g(y')
Speciální případ Lagrangeovy pro f(p) = p
P
(x + g'(p))
y = xp + g(p) dy dp
dx dx dp
x— + p + g (p)
dx
dx
0
1- t = ° ^ p = C ^ y = Cx + g{C)
2.   x = —g'{p) - parametrické vyjádření řešení.
y = -g'{p)p + g(p)
(2.3)
Příklad 2.7. y = xy' + 4
Domácí úkol: y = xy' — 2 — y' [y = Cx — 2 — C]
Příklad 2.8. y = xy' — lny'
8
Kapitola 3
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty
ay" + by' + cy = f(x)
(3.1)
a, b, c £ R, a/0
f{x) = 0 - homogenní rovnice
f{x) 7^ 0 - nehomogenní rovnice
1. ay" + by' + cy = 0
Řešení očekáváme ve tvaru y = C±y± + C2y2, kde y± a y2 jsou dvě různá řešení, pro která platí:
W
yi V2 y'i y'2
Konkrétní tvary funkcí y± a y2 najdeme pomocí charakteristické rovnice:
aX2 + bX + c = 0
(a) D > 0       Ai,A2 Él, Ai 7^ A2
(b) £ = 0       \ = -±
(c) D < 0       Aii2 = a ± /?i
ž/i = eAi:E   y2 = e
A21
ž/l = eA:E   y2 = ^eA:E
yi = eax cos /3x   y2 = eax sin /3x
(3.2)
Příklad 3.1. y" + 6y' + 13y = 0
Příklad 3.2. y" - Ay' + Ay = 0
Příklad 3.3. y" - 5y' + 6y = 0
9
2. ay" + by' + cy = f (x)
Řešení je ve tvaru: y = yo + yp, kde yo Je řešení příslušné homogenní rovnice a yp je jedno partikulární řešení.
Metody hledání yp: (a) Metoda variace konstant
yo = Cim + C122/2, Ch, C12 e m
ž/p = C2i(x)yi + C22(x)y2:
Coi(x)
C21(x) = j^dx, C22(a
JKidx,    C22{x) = jK2dx, kde
Kiyi + lf2y2 = 0 Kiy[ + K2y2 = f(x)
J y£ dx, kde W, W±, W2 jsou tzv. Wronckiány:
W
yi y2 y'i y'2
o y2
f(x) y'2
W2
yi o y'i m
Příklad 3.4. y" - 3y' + 2y = x2
(b) Metoda neurčitých koeficientů
i. f(x) = eaxQm{x)
yp = xkeaxQm(x), kde k udává násobnost a jako kořene char. rovnice.
ii. f{x) = eax{Pm{x) cos [3x + Qn{x) sin[3x)
y p = xkeax(Pq(x) cos fix + Qq{x) sin /3x), kde q = max{m, n};
= 1, když a ± /3i je kořenem char. rovnice = 0, když a ± /3i není kořenem char. rovnice.
iii. f{x) = f\{x) + /2(x) + • • • + fn(x), kde jsou funkce tvaru i. nebo ii. ay" + by' + cy = fi(x), i = l,...,n => ypi
yP= yPi+ ž/pi H-----h ž/pn
Příklad 3.5. y" - 3y' + 2y = x2
Příklad 3.6. y" — 3y' + 2y = cos x + sin x
Příklad 3.7. y" - 3y' + 2y = x + 1 - e
-2x
10
Kapitola 4
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstatními koeficienty
(n) + aiy(n-l) + a2y("-2) + . . . + a^y' + any = (4.1
1. Homogenní: Řešení hledáme ve tvaru y = C\y\ + C22/2 + • • • + Cnyn. Příslušná charakteristická rovnice:
An + aiAn_1 + • • • + an_iA + a„ = 0
(a) A g m =>• í/j : eA:E, xeA:E,... xp~1eXx, kde n(A) = p je násobnost kořene
(b) A = a ± f3i =>• í/j:  ea:E cos/3x,..., xp~1eax cosftx ,n(X)=2p
eax sin /3x,..., xp~1eax sin /3x
Příklad 4.1. y'" - 2y" - y' + 2y = 0
Příklad 4.2. y(4) - y(3) + y(2) - y^ = 0      y(0) = y(1)(0) = 1; y(2)(0) = ž/(3)(0) = 0
Příklad 4.3. í/4) - 5í/3) + 6í/2) + 4?/1) - 8y = 0
2. Nehomogenní: y = yo + yP
(a) Metoda variace konstant
2/0 = C11Ž/1 + C\2y2 H-----h Ci„y„, Ca 6 M, i = 1,..., n
yP = C2i(a;)yi + C22(x)y2 H-----h C2n(x)yn:
C2i(x) = JKľdx, C22(x) = JK2dx, ...  C2n(x) = jKndx,
11
kde
Kiyi      + K2y2      H-----V Knyn      = O
Kiy[      +K2y'2      + • • • + Kny'n =0
Kiyt2) + K2yt2) + ■■■ + Kny$?-Q + K2y{r1] + • • • + Knyfr-V
O
m
Příklad 4.4. y'" - y" = x2
(b) Metoda neurčitých koeficientů
i. f(x) = eaxQm(x)
yp = xkeaxQm(x), kde n(a) = k.
ii. f{x) = eax(Pm(x) cos [3x + Qn(^) sm P%)
yp = xkeax(Pq(x) cos (3x + Qg(x) smkde g = max{m, n} a n(a ± /3i) = 2k.
iii. /(#) = fi(x) + /2(a;) + • • • + f mix), kde jsou funkce tvaru i. nebo ii. ay" + by' + cy = fi(x), i = l,...,m => ypi
yP = yPi+ yPi-\-----\- ypm
Příklad 4.5. y'" - y" = x2
n-2x
Příklad 4.6. y'" + 2y" + y' = -2e
Příklad 4.7. y^ - 2y^ + y^ = ex + x3
Pokud je u + iv řešením rovnice:
ž/n) + any(n_1) H-----h an-iy' + any = P(x)ea:E(cos/3x + ísin/3x)
pak u je řešením
y{n) + any(n_1) + ■■■ + an_iy' + any = Pix)eax cos (3x a u je řešením
y{n) + any(n_1) + ■■■ + an_iy' + any = Pix)eax sm/3x
P(x)e
(a+/3i)x
(4.2)
(4.3)
(4.4)
12
Příklad 4.8. y" — y = {x — 1) sin2x
Příklad 4.9. í/4) + 8í/2) + 16y = cos x
Příklad 4.10. y1" + y" + y1 + y = 2 cos x
13
Kapitola 5
Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstaními koeficienty
ý = Ay+b      y= (y1,y2,...,yny, A = (aij)?j=1
(5.1)
1. b = 0 - dostáváme n lineárně nezávislých řešení y1, y2, ■ ■ ■, yn, které tvoří fundamentální systém.
Obecné řešní je tvaru:
y = Ciyi + C2y2 H-----h Cnyn
kde
y,t = he"
h 7^ 0; A jsou vl. čísla matice A a h jsou příslušné vl. vektory.
(a) Ai,..., Am G R, n(Xi) = l,i = l,...,m
Yl = hie^x,y2 = h2eX2X, ...,yn = hmex™x
(b) n(Xi) =p>l
yťl = hieXiX, yi2 = h2xeXiX,..., yip = hpX^e^
(c) A = a ± /3i =>• A je vlastní vektor a platí eXxh = \i + vi
yi = v y\ = v
(5.2)
(5.3)
Příklad 5.1.   y[ =   yi — 2y2
y!2 = -yi + 2?/2
Příklad 5.2.   y[ = yx - y2 + y3
2/2=2/1+2/2- 2/3 2/3 =    - 2/2 + 2y3
14
Příklad 5.3.	y[ =	= yi-y2-y3
	y'2 =	= yi + y2
	ú-	= 3yi        + ž/3
Příklad 5.4.	y[-	= 2/i- 3y2
	y'2 =	= 3yi + í/2
Příklad 5.5.	y[ =	2/1 + 2/2
	2/2 =	-2yi + 3y2
2.        ^ O
y = y0 + yP (5-4)
(a) b{x) = Pm(x), pokud 0 není vl. číslo yp = Pm(x)
Příklad 5.6. y[ =  y± — y2 + x
2/2 = 22/i + 2/2 - 1
(b) b{x) = eaxPm(x). Zavedeme substituci: y = eaxu, po dosazení převedeme na předchozí případ.
Příklad 5.7. y[ = yi - 2y2 + ex
2/2=2/1+ 2^2 - xex
(c)   bi{x) = eaxPm{x) cos/3x 62(3;) = eaxPm(x) sm
Je-li y = u + iv řešením y1 = Ay+ e^a+%^xPm(x), pak u je řešením _/ = Ay + 61 (x) a v je řešením _/ = /ly+ 62(3;).
Příklad 5.8. y[ =        2/2 + cosx 2/2=2/1-2/2+ a;
15
Kapitola 6
Autonomní systémy
6.1   Lineární autonomní systémy v rovině
ý = Ay
Typy stacionárního bodu (0,0):
1. Ai, A2 £ m a AiA2 > 0 =>- uzel
2. Ai, A2 g m a AiA2 < 0 =>- sedlo
3. Aij2 = ±[3i =>• střed
4. Ai,2 = a ± 0i, a/0 =>• ohnisko Nulkliny: množiny, kde platí y^ = 0
Určení typu stacionárního bodu:
detA < 0 detA > 0 a
a a
Příklad 6.1.	x' = 3x + Ay
	y' = 2x + y
Příklad 6.2.	x' = 2y — 3x
	y' = x — Ay
Příklad 6.3.	x1 = Qx — 5y
	y' = x + 3y
16
=>• sedlo tiÁ2 - AdetA > 0 uzel tiÁ2 - AdetA < 0    =>- ohnisko trA = 0 =>- střed
Příklad 6.4.	x'	= 3x + y
	v1	= y - x
Příklad 6.5.	x1 y'	=  x-y = 2x — y
Příklad 6.6.	x1 y'	= 3x = 3y
6.2   Nelineární autonomní systémy v rovině
y'i	= /(ž/i, ž/2)
y'2	= S(ž/l,ž/2)
(
Stacionárni bod ý = (yi,y2) splňuje podmínku: /(yi,y2) = 0(2/1,2/2) = 0
Variační matice:
J(ž/l,ž/2) = ^
Ai, A2 jsou vl. čísla matice J(yi,y2):
1. pokud je det(J(yi, y2)) < 0 pak AiA2 < 0
2. pokud je det(J(yi, y2)) > 0 a navíc platí:
(a) 4det(J(yi,y2) < tr(J(yi,y2))2, pak tr(J(yi,y2)) < 0 pak Ai,2 < 0 tr(J(yi,y2)) > 0 pak Ai,2 > 0
(b) 4det(J(yi,y2) > ti(J(ýuý2))2, pak tr(J(yi,y2)) < 0 pak Ai,2 < 0 tr(J(yi,y2)) > 0 pak Ai,2 > 0
'df(yi,y2)
dyi 9g(y i,V2)
dyi
df(yi,y2)'
dy2 9g(yi,V2)
9y2
(
ý je sedlo;
ý je stabilní uzel; ý je nestabilní uzel;
ý je stabilní ohnisko; ý je nestabilní ohnisko;
tr(J(yi,y2)) = 0 pak ý je bod rotace nebo ohnisko.
17
Příklad 6.7.	x' = 3x + Ay — 5
	y' = 2x + y
Příklad 6.8.	x' = -2x + y - Qx3 + 9y5
	y' =   -x - 2y + 2x3 - 3y5
Příklad 6.9.	x' = x2 + y2 — 6x — 8y
	y' = x(2y — x + 5)
18