KOMENTÁŘE A OPRAVY K TEXTU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA I MARTINA KOLÁŘE JIŘÍ ZELINKA 1. Fourierovy řady str.7: Výpočet koeficientů pro komplexní tvar Fourierovy řady vychází ze snadno odvoditelného vztahu (eikx , eimx ) = π −π eikx e−imx dx = 2π m = k 0 m = k Pak není problém zjistit, že ck = (f(x), eikx ) = 1 2π π −π f(x)e−ikx dx str.10: Zhruba ve třetině strany odspodu ve vztahu, který končí = 1 2 je za integrálem navíc člen f(x + u). Na konci důkazu Dirichletovy věty o bodové konvergenci dostáváme vlastně Fourierův koeficient pro funkci g, kterou by pro úplnou korektnost bylo ještě potřeba dodefinovat na zbytku intervalu (např. nulovou hodnotou). Riemannovo-Lebesgueovo lemma, které v dalším textu chybí, říká, že Fourierovy koeficienty konvergují k nule pro rostoucí n. Tato skutečnost ovšem bezprostředně plyne z L2 teorie, neboť součet druhých mocnin absolutních hodnot Fourierových koeficientů je konečný. str.13: Besselova nerovnost také říká, že posloupnost Fourierových koeficientů leží v prostoru l2 str.14: V posledním vztahu v důkazu Věty 1.3.6 mají být meze v sumě od m + 1 do n. V Lemmatu 1.3.7 má sčítací index k v sumě začínat nulou. 2 KOMENTÁŘE A OPRAVY K TEXTUSPEKTRÁLNÍ ANALÝZA IMARTINA KOLÁŘE3 str.16: Mezi důležité vlastnosti symetrických operátorů patří ta, že jeho vlastní hodnoty jsou reálné. Důkaz tohoto tvrzení je poměrně jednoduchý. str.18: Operátor, kterým se definují Legendrovy polynomy, má i vlastní hodnotu rovnou nule. Její vlastní funkce je pak funkce c1 log x+1 x−1 + c2, která na krajích intervalu (−1, 1) jde k ±∞. Dá se dokázat, že jedinými ohraničenými vlastními funkcemi tohoto operátoru jsou polynomy. Pak se lehce odvodí, pro jaké vlastní hodnoty tyto polynomy existují. Ověření, že funkce d dxn (x2 − 1)n skutečně splňují operátorovou diferenciální rovnici není zcela jednoduché. Dá se to dokázat např. s použitím funkce ωn+1(x) = d dxn (x2 − 1)n+1 , přičemž si dvojím způsobem vyjádříme její druhou derivaci a oba vztahy porovnáme. Když už je řeč o Legendrových polynomech, můžeme uvést i rekurentní vztah, který se zpravidla používá pro jejich výpočet: Pn+1(x) = 2n + 1 n + 1 xPn(x) − n n + 1 Pn−1(x). str.20: V předpokladech Fejérovy věty chybí f(−π) = f(π). Bez tohoto předpokladu není možné spojitě periodicky rozšířit vně intervalu [−π, π]. str.26: V Lemmatu 2.1.2 je spojitost funkce f dokonce stejnoměrná. str.31: Ve třetím vztahu shora na konci má být ξ místo x. str.32: Druhý vztah dospodu pro ˆφ lze snadno dokázat použitím definičního vztahu pro Fourierovu transformaci. Vyhneme se tak problémům se současným posunem argumentu a jeho násobe- ním. str.33: V integrálu v Definici 2.2.4 má být dx místo dξ. str.36: V důkazu Centrální limitní věty má být na dvou místech ξ → 0 místo ξ → ∞ str.45: V posledním vztahu před sekcí 4.3 chybí znaménko −. Diracova delta funkce δ0 je distribuce, pro níž δ0(φ) = φ(0), 4 JIŘÍ ZELINKA což na prostoru funkcí C∞ 0 (R) je spojitý lineární funkcionál. Je jasné, že tento funkcionál není reprezentován žádnou „slušnou funkcí g, pro níž by platilo δ0(φ) = ∞ −∞ g(x)φ(x)dx. Nicméně hodnotu φ(0) dostaneme jako limitní hodnotu pro ε → ∞ konvoluce φ s nějakou vhodnou aproximací identity (viz sekce 2.2). Proto si lze Diracovu funkci představit jako limitu aproximace identity pro ε → ∞, což by byla funkce všude nulová s nekonečnou hodnotou v nule, přičemž její integrál přes celou reálnou osu je roven jedné.