Drsná matematika Martin Panák, Jan Slovák a „autorský kolektiv" i Projekt netradiční základní učebnice matematiky pro studenty přírodních věd, informatiky, ekonomie apod., přibližující podstatnou část matematiky v rozsahu čtyř semestrálních přednášek. Text by měl být dokončen a vydán v roce 2013. Práce na učebnici jsou podpořeny projektem Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ.1.07/2.2.00/15.0203) NVESTICE D O ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Obsah Kapitola 1. Rozcvička 5 1. Čísla a funkce 5 2. Kombinatorické veličiny 10 3. Diferenční rovnice 15 4. Pravděpodobnost 18 5. Geometrie v rovině 27 6. Relace a zobrazení 42 Kapitola 2. Elementární lineárni algebra 71 1. Vektory a matice 71 2. Determinanty 83 3. Vektorové prostory a lineárni zobrazení 93 4. Vlastnosti lineárních zobrazení 111 Kapitola 3. Linární modely a maticový počet 129 1. Lineárni procesy 129 2. Diferenční rovnice 131 3. Iterované lineárni procesy 138 4. Více maticového počtu 146 5. Rozklady matic a pseudoinverze 165 Kapitola 4. Analytická geometrie 189 1. Afmní a euklideovská geometrie 189 2. Geometrie kvadratických forem 207 3. Projektivní geometrie 213 iii Předmluva Příprava této učebnice byla motivována přednáškami pro informatické obory na Masarykově univerzitě, kde je celý program založen na precizním matematickém přístupu. Chtěli jsme proto rychle, ale zároveň pořádně, pokrýt zhruba tolik matematických metod, jako je obvyklé u větších kurzů v klasických technických oborech opřených o matematické metody. Zároveň jsme ale nechtěli rezignovat na úplný a matematicky korektní výklad. Chtěli jsme vedle sebe vyložit i obtížnější partie matematiky a spoustu elementárních i obtížnějších konkrétních příkladů, jak s uvedenými postupy ve skutečnosti pracovat. Nechtěli jsme přitom za čtenáře řešit, v jakém pořadí a kolik „teorie" či „praxe" pročítat. Z těchto podnětů vznikl dvousloupcový formát s oddělenými teoretickými úvahami a praktickými postupy, který kopíruje i skutečné rozdělení výkladu na přednáškách na „teoretické přednášky" a „demonstrovaná cvičení". Snažíme se tím vyjít vstříc jak čtenářům, kteří si napřed chtějí procvičit postupy při řešení úloh a teprve pak přemýšlet, proč a jak algoritmy fungují, tak těm druhým, kteří si napřed chtějí dělat jasno o tom proč a jak věci fungují a pak případně zkouší počítat příklady. Zároveň tím snad zbavujeme čtenáře stresu, že by měl přečíst úplně vše. Naopak, měl by mít radost z brouzdání textem a prožitku objevování vlastní cestičky. Text se přitom v obou svých částech snaží prezentovat standardní výklad matematiky s akcentem na smysl a obsah představovaných matematických metod. Řešené úlohy procvičují základní pojmy, ale zároveň se snažíme dávat co nej lepší příklady užití matematických modelů. Teoretický text je prezentován dosti kompaktním způsobem, mnoho prostoru je ponecháno pro dořešení podrobností čtenáři. Uváděné příklady se snaží pokrýt celou škálu složitosti, od banálních až po perličky ke skutečnému přemýšlení. Studenti navíc řešili a odevzdávali každý týden zadávané příklady. Čtenářům bychom rádi pomohli: • přesně formulovat definice základních pojmů a dokazovat jednoduchá matematická tvrzení, • vnímat obsah i přibližně formulovaných závislostí, vlastností a výhledů použití matematických nástrojů, • vstřebat návody na užívání matematických modelů a osvojit si jejich využití. K těmto ambiciózním cílům nelze dojít lehce a pro většinu lidí to znamená hledat si vlastní cestu s tápáním různými směry (s potřebným překonáváním odporu či nechutě). I proto je celý výklad strukturován tak, aby se pojmy a postupy vždy několikrát vracely s postupně rostoucí složitostí a šíří diskuse. Jsme si vědomi, že se tento postup může jevit jako chaotický. Domníváme se ale, že dává mnohem lepší šanci na pochopení u těch, kteří vytrvají. Vstup do matematiky je skoro pro každého obtížný — pokud už „víme", nechce se nám přemýšlet, pokud „nevíme", je to ještě horší. Jediný spolehlivý postup pro orientaci v matematice je hledat porozumnění v mnoha pokusech a to, pokud možno, při četbě v různých zdrojích. Určitě nepovažujeme tento text za dostatečný jediný zdroj pro každého. Doufáme, že může být dobrým začátkem a případně i dlouhodobým pomocníkem, zvláště pro ty, kdo se k jednotlivým částem budou znovu a znovu vracet. Pro ulehčení vícekolového přístupu ke čtení je text doprovázen emotivně laděnými ikonkami, které snad nejen oživí obvyklou strohou strukturu matematického textu, ale naznačí čtenáři, kde by složitější text měl být čten pozorněji, ale určitě ne přeskakován, případně kde by bylo možná lépe náročné pasáže přinejmenším napoprvé vůbec nečíst. Volba jednotlivých ikonek samozřejmě odráží hlavně pocity autorů. Přesto by postupně mohly být dobrým vodítkem pro čtenáře. Velice zhruba řečeno, používáme ikonky varující před pracností/složitostí/náročností, např. 1 Další označují ne úplně pohodovou zdlouhavost práce a potřebu trpělivosti či nadhledu, jako jsou tyto A konečně máme také ikonky vyjadřující pohodu nebo radost ze hry, třeba následující Snažili jsme se sloupce s příklady sepsat tak, aby byly čitelné prakticky víceméně samostatně. Bez ambicí pohrát si s hlubšími důvody, proč uváděné postupy fungují (nebo s prostým cílem „projít s písemkou"), by mělo skoro stačit probírat se jen příklady. Definice pojmů či popisy jejich vlastností používaných při řešení příkladů jsou v teoretickém sloupci zpravidla vyznačeny, aby o ně bylo možno snadno pohledem zavadit. Souvislost řešených příkladů s paralelně studovanou teorií je přitom spíše volná, snažili jsme ale ulehčit přeskakování „z teorie do praxe a zpět" co nejvíce. Příklady jsou vesměs řešené, u některých je řešení uvedeno až za celou kapitolou (čísla těchto příkladů jsou sázena kurzívou). Na konci každé kapitoly je pak uvedena ještě řada zajímavých doplňujících příkladů v širokém sloupci, které se z nejrůznějších důvodů nevešli do dvousloupcové sazby. Obsahově je celá učebnice ovlivněna představou, že pro praktické využití jsou velmi podstatné metody tzv. diskrétní matematiky, zatímco tzv. spojité modely jsou matematicky dobře uchopitelná přiblížení veskrze diskrétního světa kolem nás. Počítat koneckonců stejně umíme vždy jen s konečně mnoha racionálními čísly naráz. Bez spojité matematiky si lze ale těžko dobře představit koncepty jako konvergence procesu k limitnímu stavu nebo robustnost výpočtu. Bylo by bez ní také obtížné pracovat s odhady chyb při numerických procesech. Všechna témata a velmi podstatnou část textu jsme v létech 2005 - 2012 ověřovali při výuce studentů informatiky a později i matematiky na Masarykově univerzitě. Paralelně jsme přitom vytvořili také podklady pro praktické semináře matematického modelování a numerických metod. V nich se studenti věnují skutečnému využití výpočtových nástrojů a modelů. Závěrem stručně shrneme obsah celé učebnice. Samozřejmě předpokládáme, že si každý čtenář, případně přednášející, vybere témata a jejich pořadí. Pokusíme se proto zároveň vymezit bloky, se kterými lze takto nezávisle zacházet. Úvodní motivační kapitola se snaží ilustrovat několik přístupů k matematickému popisu problémů. Začínáme nejjednoduššími funkcemi (základní kombinatorické vzorce). Pak naznačujeme, jak pracovat se závislostmi zadanými pomocí okamžitých změn (jednoduché diferenční rovnice), užití kombinatoriky a množinové algebry diskutujeme prostřednictvím konečné klasické pravděpodobnosti. Předvádíme maticový počet pro jednoduché úlohy rovinné geometrie (práce s pojmem pozice a transformace) a závěrem vše trochu zformalizujeme {relace, uspořádní, ekvivalence). Nenechte se zde uvrhnout do chaotického zmatku rychlým střídáním témat — cílem je nashromáždit něco málo netriviálních námětů k přemýšlení a hledání jejich souvislostí i použití, ještě než zabředneme do úrovně problémů a teorií složitějších. Ke všem tématům této úvodní kapitoly se časem vrátíme. Další dvě kapitoly jsou věnovány základům počtu, který umožňuje práci s vícerozměrnými daty i grafikou. Jde o postupy tzv. lineární algebry, které jsou základem a konečným výpočetním nástrojem pro většinu matematických modelů. Nejprve probíráme jednoduché postupy pro práci s vektory a maticemi, třetí kapitola je pak věnována aplikacím maticového počtu v různých lineárních modelech (systémy lineárních rovnic, lineární procesy, lineární diferenční rovnice, Markovovy procesy, lineární regrese). Čtvrtá kapitola pak ilustruje použití maticového počtu v geometrických úlohách. Dozvíme se něco málo o afinní, euklidovské a projektivní geometrii. 2 V tomto okamžiku přerušíme diskusi diskrétních modelů a přejdeme ke spojitým. Chceme co nejnázorněji ukázat, že základní ideje, jak s funkcemi pracovat, bývají jednoduché. Stručně řečeno, velmi jednoduché úvahy spojené s popisem okamžitých změn sledovaných veličin umožňují dělat závěry pro jejich celkové chování. Složitosti se pojí skoro výhradně se zvládnutím rozumně velké třídy funkcí, pro které mají naše postupy být použitelné. Začínáme proto kapitolou, kde diskutujeme jaké funkce potřebujeme pro nelineární modely. Po polynomech a splajnech postupně diskutujeme pojmy spojitosti, limity posloupností a funkcí a derivace funkcí, připomeneme všechny základní elementární funkce a závěrem se seznámíme s mocninnými řadami. Tím je připravena půda pro klasický diferenciální a integrální počet. Ten prezentujeme v kapitole šesté s důrazem na co nejpřímočařejší pochopení souvislostí limitních procesů, integračních procesů a aproximací. Sedmá kapitola se věnuje náznakům aplikací a snaží se co nejvíce připomínat analogie k postupům jednoduché lineární algebry. Místo lineárních zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory tak pracujeme s lineárními operacemi mezi vektorovými prostory funkcí, definovanými buď integrálními nebo diferenciálními operátory. Zatímco diskusi diferenciální rovnic necháváme na později, zde studujeme nejprve aproximace funkcí s pomocí vzdálenosti definované integrálem (tzv. Fourierovy řady). Pak se věnujeme souvislostem s některými integrálními operátory (např. konvoluce) a integrálními transformacemi (zejména Fourirerova transformace). Po cestě si neodpustíme ilustraci obecného principu, že spojité modely jsou zpravidla ideovým podkladem a zároveň dobrou aproximací pro modely diskrétní. Poslouží nám k tomu stručné nahlédnutí na problematiky tzv. waveletů a diskrétní Fourierovy transformace. V osmé kapitole pokračujeme v našem stručném nastínění analytických spojitých metod, tentokrát pro modely s mnoha proměnnými. Nejprve rozšime základní postupy a výsledky týkající se derivací nafunkce více proměnných, včetně funkcí zadaných implicitně a tzv. vázaných extrémů. Hned poté rozšíříme teorii integrování o tzv. násobné integrály. Poté se věnujeme stručně modelům opřeným o známou změnu našich objektů, tj. diferenciálním rovnicím a malinko naznačíme obdobné problémy variační. Závěrem této kapitoly se pak stručně věnujeme numerickým přiblížením a odhadům. Devátá kapitola je věnována popisné statistice, matematické pravděpododobnosti a matematické statistice. Seznámíme se s pojmy pravděpodobnostní prostor, hustota pravděpodobnosti, normální rozdělení, střední hodnota, medián, kvantil, rozptyl, příklady diskrétních a spojitých rozdělení a budeme se náznakem věnovat statistickému zpracování dat, tj. výběrovým statistikým a jejich spolehlivosti. V další kapitole zamíříme zpět do světa diskrétních metod. Zabýváme se v ní základními pojmy a poznatky teorie grafů a jejich využitím v praktických problémech (např. prohledávání do šířky a hloubky, minimální pokrývající kostry, toky v sítích, hry popisované stromy). Závěrem se budeme zajímat o vytvořující funkce. Poslední kapitola se zabývá nejprve obecnými algebraickými strukturami s důrazem na elementární poznatky z teorie grup, okruhů polynomů. Zmíníme i něco málo aplikací v kódování. Dále se věnujeme úvodu do teorie čísel a vybrané aplikace, včetně šifrování informace. Pořádné poděkování všem zúčastněným, kteří nebudou přímo v autorském kolektivu, studentům apod. ??. ??. 2013, kolektiv autorů 3 KAPITOLA 1 Rozcvička „ hodnota, změna, poloha " — co to je a jak to uchopit? Cílem první kapitoly je uvést čtenáře do fascinujícího světa matematického myšlení. Vybíráme si k tomu co nej-konkrétnější příklady modelování reálných situací pomocí abstraktních objektů a souvislostí. Zároveň projdeme několik témat a postupů, ke kterým se postupně budeme vracet a v závěru kapitoly se budeme chvíli věnovat samotnému jazyku matematiky (se kterým budeme jinak zacházet spíše intuitivně). O co jednodušší jsou východiska a objekty, se kterými zde budeme pracovat, o to složitější je pochopit do důsledku jemnosti použitých nástrojů a postupů. Většinou je možné proniknout k podstatě věcí teprve v jejich souvislostech. Proto je také představujeme hned z několika pohledů zároveň. Přecházení od tématu k tématu se možná bude zdát jako zmatečné, ale to se jistě postupně spraví při našich návratech k jednotlivým úvahám a pojmům v pozdějších kapitolách. Název kapitoly lze chápat i jako nabádání k trpělivosti. I nejjednodušší úlohy a úvahy budou snadné jen pro ty, kteří už podobné řešili (a půjde pro ně jen o opakování znalosti ze střední školy). K postupnému poznání a ovládnutí matematického myšlení vede jen pozvolná a spletitá cesta. Začneme s tím nejjednodušším: obyčejnými čísly. 1. Čísla a funkce Lidé odjakživa chtějí mít jasno „kolik" něčeho je, případně „za kolik" to je, „jak dlouho" něco trvá apod. Výsledkem takových úvah je většinou nějaké „číslo". Za číslo přitom W/f1^ považujeme něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Například výsledek sčítání nezávisí na pořadí, v jakém čísla sčítáme, máme k dispozici číslo nula, které přičtením výsledek nezmění, číslo jedna, kterým můžeme násobit, aniž bychom změnili výsledek, apod. Nejjednodušším příkladem jsou tzv. čísla přirozerJá^iůi. deme je značit N = {0, 1, 2, 3, ...}. Všimněme si, že jsme mezi přirozená čísla vzali i nulu, jak je obvyklé zvláště v informatice. Počítat „jedna, dvě, tři, ..." se učí děti už ve školce. O něco později se setkáváme s čísly celými Z = {..., —2, — 1, 0, 1, 2, ...} a nakonec si zvykneme na A. Čísla a funkce S přirozenými, celými, racionálními a reálnými čísly již počítat umíme. Zamyslíme se, proč racionální čísla nestačí (byť v počítači s jinými doopravdy počítat neumíme) a připomeneme si tzv. čísla komplexní (protože ani s reálnými čísly si při výpočtech nevystačíme). 1.1. Najděte nějaké reálné číslo, které není racionální. Řešení. Jedna z mnoha možných odpovědí je *Jl. Již staří Řekové věděli, že předepíšeme-li plochu čtverce a2 = 2, pak nelze najít racionální a, které by předpisu vyhovovalo. Proč? Víme, že každé přirozené číslo n lze jednoznačným způsobem vyjádřit jako součin n = p^1 ■ pr^ ... prkk, až na pořadí v součinu, kde p\, ..., Pk jsou po dvou různá prvočísla. Pokud by tedy platilo (p/q)2 = 2 pro přirozená čísla p a q, pak tedy p2 = 2q2. Na levé straně máme v rozkladu na prvočísla 2r se sudým r (případně r = 0), na pravé straně ale bude vždy mocnina dvojky lichá. To je spor s naším tvrzením a tedy předpoklad nemůže platit a žádné racionální číslo nemůže mít za svoji druhou mocninu dvojku. □ 1.2. Najděte řešení rovnice x2 = b pro libovolné reálné číslo b. Řešení. Víme, že tato rovnice má vždy řešení x v oboru reálných čísel, pokud je b nezáporné. Jestliže je b = —1, pak ale zjevně takové reálné x existovat nemůže. Musíme proto najít větší obor čísel, ve kterém už řešení existovat bude. 5 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE pl. 3 K reálným číslům nejprve přidáme nové číslo i, tzv. imaginární jednotku a zkusíme dodefinovat sčítání a násobení tak, abychom |i na- dále zajistili obvyklé chování čísel, jak jsou shrnuty v odstavci 1. Jistě musíme umět nové číslo i násobit reálnými čísly a výsledky sčítat s jakýmikoliv reálnými čísly. Nutně proto musíme v novém číselném oboru komplexních čísel C pracovat s formálními výrazy z = a + i b. Aby byly splněny vlatnosti asociativity a distributivity, zavedeme sčítání tak, že se nezávisle sčítají reálné složky a imaginární složky. Stejně tak chceme násobení tak, jak by se násobily dvojčleny reálných čísel s jediným dodatečným pravidlem i2 = — 1, tj. (a + i b) + (c + i d) = {a + c) + i (b + d), (a + i b) ■ (c + i d) = (ac — bd) + i (bc + ad). □ Reálnému číslu a říkáme reálná složka komplexního čila z, reálnému číslu b pak imaginární složka, píšeme re(z) = a, im(z) = b. 1.3. Ověřte, že skutečně platí všechny vlastnosti (KG1-4), (01-4) a (P) skalárů z 1.1. Řešení. Nulou je číslo 0+/ 0, jedničkou číslo 1+i 0, které opět píšeme jako 0 a 1.Všechny vlastnosti se ověří přímočarým výpočtem. □ 1.4. Komplexní číslo je dáno dvojicí reálných čísel, jde tedy o bod v reálné rovině M2. Ukažte, že vzdálenost komplexního čísla z = a + ib od počátku je dána výrazem zž, kdež komplexně sdružené číslo a —i b. Řešení. Součin ,2 , r 2 zz (a2 + b2) + i (-ab + ba) ar + , je vždy reálné číslo a dává nám skutečně kvadrát vzdálenosti čísla z. od počátku 0. Platí tedy \z\2 = zz. □ 1.5. Interpretujte násobení imaginární jednotkou a vzetí komplexně sdruženého čísla jako geometrickou transformaci v rovině. Řešení. Imaginární jednotka i odpovídá bodu (0, 1) a všimněme si, že vynásobení jakéhokoliv čísla z = a + i b imaginární jednotkou dává výsledek i ■ (a + i b) = —b + i a což je v interpertaci v rovině otočení bodu z o pravý úhel v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček. Přiřazení komplexně sdruženého čísla je symetrie podle osy reálných čísel: z = (a + i b) h-> (a — i b) = ž- □ desetinná čísla a víme, co znamená 1.19-násobek ceny díky 19% dani z přidané hodnoty. 1.1. Vlastnosti čísel. Abychom mohli s čísly pracovat opravdu, musíme se jejich definici a vlastnostem věnovat pořádněji. V matematice se těm základním tvrzením o vlastnostech objektů, jejichž platnost předpokládáme, aniž bychom se zabývali jejich dokazovaním, říká axiomy. Vhodná volba axiomů předurčuje jak dosah z nich vycházející teorie, tak její použitelnost v matematických modelech skutečnosti. | Vlastnosti skalárů | Vlastnosti sčítání: | (KG1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechna a, b, c (KG2) a + b = b + a, pro všechna a, b (KG3) existuje 0 taková, že pro všechna a platí a + 0 = a (KG4) pro všechna a existuje b takové, že a + b = 0 Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Jsou to po řadě asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku (říkáme u sčítání také nulového prvku), existence inverzního prvku (říkáme u sčítání také opačného prvku k a a značíme ho —a). Vlastnosti násobení: (01) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b, c (02) a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (04) a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, b, c. Vlastnosti (01)-(04) se postupně nazývají asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku a distributivita sčítání vůči násobení. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Další vlastnosti násobení: (P) pro každé a ^ 0 existuje b takové, že a ■ b = 1. (01) je-li a ■ b = 0, potom buď a = 0 nebo b = 0. Vlastnost (P) se nazývá existence inverzního prvku vzhledem k násobení (tento prvek se pak značí a-1) a vlastnost (01) říká, že neexistují „dělitelé nuly". ^m^mmmmmmmmmmm Uvedli jsme si základní vlastnosti operací sčítání a násobení pro naše počty s čísly, která píšeme jako písmena a,b,c, .... Obě tyto operace fungují tak, že vezmeme dvě čísla a, b a aplikací sčí-tání nebo násobení dostaneme výsledné hodnoty a + b a a ■ b. Vlastnosti těchto operací budeme soustavně využívat, aniž bychom museli přesně vědět, s jakými objekty skutečně pracujeme. Tak se dostaneme k obecným matematickým nástrojům, je však vždy dobré mít představu o typických příkladech. 6 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují (KG4) (a případně neobsahují neutrální prvek, pokud někdo nulu do N nezahrnuje). Když komutativní okruh navíc splňuje i vlastnost (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). Poslední uvedená vlastnost (Ol) je automaticky splněna, pokud platí (P). Opačně to ovšem neplatí a tak říkáme, že vlastnost (Ol) je slabší než (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol). Hovoříme v takovém případě o oboru integrity. Všimněme si, že množina všech nenulových prvků v poli společně s operací násobení splňuje (Ol), (02), (03), (P), a je proto také komutativní grupa. Jen se místo sčítání mluví o násobení. Jako příklad můžeme vzít všechna nenulová reálná čísla. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat malá latinská písmena ze začátku nebo konce abecedy. Všechny vlastnosti (KG1)-(KG4), (01)-(04), (P), (01) z našich úvah je třeba brát jako axiomatickou definici příslušných matematických pojmů. Pro naše potřeby bude stačit si průběžně uvědomovat, že při dalších diskusích budeme důsledně používat pouze tyto vlastnosti skalárů a že i naše výsledky proto budou platné pro všechny objekty s těmito vlastnostmi. V tomto je pravá síla matematických teorií - nejsou platné jen pro konkrétní řešený příklad. Naopak, při rozumné výstavbě mají vždy univerzální použití. Budeme se snažit tento aspekt zdůrazňovat, přestože naše ambice mohou být v rámci daného rozsahu učebnice jen velice skromné. 1.2. Existence skalárů. K tomu, aby ale skutečně bylo možné budovat matematickou teorii, je třeba ověřit, že takové objekty mohou existovat. Pro pořádek si proto budeme postupně ukazovat, jak je možné zkonstruovat základní číselné obory. Pro konstrukci přirozených čísel začneme s předpokladem, že víme, co jsou to množiny. Prázdnou množinu si označíme 0 a definujeme (1.1) O := 0, n + 1 := n U {n} , neboli O:=0, 1 }, 2 := {O, 1}, ...,n + 1 := {O, 1, ...,n] Tímto zápisem říkáme, že pokud už máme definovaná všechna čísla O, 1, 2, ... n, pak číslo n + 1 definujeme jako množinu všech předchozích čísel. Přirozená čísla takto ztotožňujeme s počty prvků konkrétních množin. Číslo n je množina, která má n prvků a dvě přirozená čísla a, b jsou stejná, právě když příslušné množiny mají stejně prvků. V teorii množin se místo slovního spojení „počet prvků množiny" používá pojem „mohutnost 1.6. Využijte k popisu komplexních čísel úhel průvodiče a vzdálenost od počátku (tzv. gonimetrický tvar). Řešení. Komplexní čísla tvaru z = coscp + i sin/l3- Z pravoúhlého trojúhelníka v obrázku pak snadno spočteme sin(/l3 ^cos ^arccos ^ + sin( ( arcsin Zl '13// V W13, Převod komplexního čísla z goniometrického do algebraického je ještě jednodušší: 1 . V3~\ 3 . 3V3 Z2 = 3(cos(|)+/sin(|))=3^ + /.^=^ + , □ 1.9. Číslo (5 73 + 5i) ' zapište v co nejjednodušším tvaru. Řešení. Úpravy jako postupné umocňování nebo rozvoj podle binomické věty jsou v tomto případě časově náročné. Při vyjádření 5 73 + 5i = 10 + ^ = 10 (cos f + i sin f) užitím Moivreovy věty však snadno obdržíme (5V3 + 5i) 12 = 1012 (cos ^ + i sin ^f) = 1012. □ 7 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE 1.10. Vyjádřete z = cos 0 + cos f + i sin f v goniometrickém tvaru. Řešení. Abychom mohli vyjádřit z = \z\ (coscp + i sin n. 1.7. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí přeuspořádání, výběrů a tak podobně. Ve velké většině takovýchto problémů lze vystačit se „selským rozumem". Stačí vhodně používat pravidel součtu a součinu, která si ukážeme na následujících příkladech: 1.18. Maminka chce Jeníkovi a Mařence rozdělit pět hrušek a šest jablek. Kolika způsoby to může udělat? (Hrušky mezi sebou považujeme za nerozlišitelné, stejně tak jablka. Připouštíme, že některé z dětí nic nedostane.) Řešení. Pět hrušek samostatně může maminka rozdělit šesti způsoby. (Rozdělení je určeno tím, kolik hrušek dá Jeníkovi, zbytek připadne Mařence.) Šest jablek pak nezávisle sedmi způsoby. Podle pravidla součinu pak obě ovoce současně může rozdělit 6 • 7 = 42 způsoby. □ 1.19. Určete počet čtyřciferných čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2, nebo končí cifrou 2 a nezačínají cifrou 1. Řešení. Množina uvažovaných čísel je složená ze dvou disjunktních množin, totiž čísel, která začínají cifrou 1 a nekončí cifrou 2 (první množina) a čísel, která nezačínají cifrou 1 a končí cifrou 2. Celkový počet popsaných čísel dostaneme podle pravidla součtu tak, že sečteme počty čísel v těchto dvou množinách. V první z těchto množin máme čísla tvaru „1XXY", kde X je libovolná cifra a F je libovolná číslice mimo dvojky. Můžeme tedy provést deset voleb druhé cifry, nezávisle na tom můžeme provést deset voleb třetí cifry a opět nezávisle devět voleb poslední cifry. Tyto tři nezávislé volby jednoznačně určují dané číslo a podle pravidla součinu máme tedy 10 • 10-9 = 900 takových čísel. Obdobně ve druhé skupině máme 8 • 10 • 10 = 800 čísel (na první cifru máme pouze osm možností, neboť číslo nemůže začínat nulou a jedničku máme zakázánu). Celkem podle pravidla součtu je 900 + 800 = 1700 uvažovaných čísel. □ 1.20. Určete počet způsobů, jak lze na šachovnici (8x8 polí) postavit bílou a černou věž tak, aby se neohrožovaly (nebyly ve stejném řádku ani sloupci). Řešení. Nejprve umístíme např. bílou věž. Pro ni máme na výběr z 82 polí. Ve druhém kroku umístíme věž černou. Nyní máme „k dispozici" 72 polí. Podle pravidla součinu je výsledek 82 • 72 = 3 136. □ V následujících příkladech už budeme při řešení používat pojmů kombinace, permutace, variace (případně s opakováním), které jsme definovali. 1.21. Během schůze má vystoupit 8 řečníků. Stanovte počet všech pořadí, v nichž dva předem určení řečníci nevystupují ihned po sobě. 11 B. KOMBINATORIKA 2. KOMBINATORICKÉ VELIČINY Řešení. Označme si zmíněné dva řečníky jako osoby A a S. Pokud hned po vystoupení osoby A následuje vystoupení osoby B, můžeme na to nahlížet jako na projev jediného řečníka. Počet všech pořadí, v nichž vystupuje B ihned po A, je tedy roven počtu všech permutací ze sedmi prvků. Stejný je pochopitelně také počet všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po B. Neboť počet všech možných pořadí 8 řečníků je 8!, číslo 81 — 2-7! udává hledaný počet pořadí. □ 1.22. Kolik existuje přesmyček slova PROBLÉM takových, že v nich a) písmena B a R stojí vedle sebe, b) písmena B a R nestojí vedle sebe. Řešení, a) Dvojici písmen B a R můžeme považovat za jedno nedělitelné dvojpísmeno. Celkem tedy máme k dispozici šest různých písmen a šestipísmených slov složených z různých písmen je 6!. V našem případě však tento počet musíme ještě vynásobit dvěma, neboť naše dvojpísmeno může bít jak BR tak RB. Celkem dostáváme 2-6! různých přesmyček. b) 7! — 2 • 6! (doplněk části a) do počtu všech sedmipísmenných slov složených z různých písmen. □ 1.23. Kolika způsoby může sportovec umístit 10 různých pohárů do 5 polic, jestliže se na každou polici vejde všech 10 pohárů? Řešení. K pohárům přidáme 4 navzájem nerozlišitelné předměty, kupř. tužky. Počet všech různých pořadí pohárů a tužek je zřejmě 14 !/4! (tužky jsou nerozlišitelné). Každé umístění pohárů do polic ovšem odpovídá právě jednomu seřazení pohárů a tužek. Stačí třeba říci, že poháry před první tužkou v pořadí dáme do první police (při zachování pořadí), poháry před druhou tužkou do druhé police atd. To znamená, že číslo 14!/4! je výsledkem. □ 1.24. Určete počet čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Dvě různé cifry použité na zápis můžeme vybrat (j0) způsoby, ze dvou vybraných cifer můžeme sestavit 24 — 2 různých čtyřciferných čísel (dvojku odečítáme za dvě čísla složená pouze z jedné cifry). Celkem máme (j0) (24—2) = 630 čísel. Nyní jsme ale započítali i čísla začínající nulou. Těch je (j)(23 — 1) = 63. Celkově dostáváme 630 - 63 = 567 čísel. □ 1.25. Určete počet sudých čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Obdobně jako v předchozím příkladu se nejprve nebudeme ohlížet na cifru nula. Dostaneme tak (j)(24 — 2) + 5 • 5(23 — 1) čísel (nejprve počítáme čísla pouze ze sudých cifer, druhý sčítanec udává <*) g) = c"j (2) g:í) = ©+Gy (3) ELo g) =2" Důkaz. První tvrzení je zjevné přímo z formule (1.3). Jestliže vyčíslíme pravou stranu z tvrzení (2), dostáváme /n\ í n \ n\ n\ \ k j + n k + 1 + k\(n - k)\ ' (k + l)!(n (k + l)n\ + (n- k)n\ 1)! (k + l)!(n - k)\ _ (n + 1)! ~ (* + l)!(n -k)\ což je ale levá strana tohoto tvrzení. Tvrzení (3) dokážeme tzv. matematickou indukcí. Tento 0 typ důkazu je vhodný právě pro tvrzení, která říkají, že něco má platit pro všechna přiro-7OM zená čísla n. Matematická indukce se skládá ze dvou kroků. V prvním se tvrzení dokáže pro n = 0 (popřípadě n = 1 nebo další hodnoty ň). V druhém, tzv. indukčním, kroku předpokládáme, že tvrzení platí pro nějaké n (a všechny předešlé hodnoty), a za pomoci tohoto předpokladu dokážeme, že tvrzení platí i pro n + 1. Dohromady z toho pak vyvodíme, že tvrzení platí pro všechna přirozená n. Tvrzení (3) zjevně platí pro n = 0, protože Q = 1 = 2°. (Stejně tak je přímo vidět i pro n = 1.) Předpokládejme, že platí pro nějaké n a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) i (3). Dostaneme n + 1 E *=0 n + 1 k n + 1 E jt=0 n E k=-\ n k - 1 + n + 1 + E k=0 2" +2" = 2' n + 1 Všimněme si, že vzorec (3) udává počet všech podmnožin rc-prvkové množiny, neboť je počet všech jejích ^-prvkových podmnožin. Všimněme si také, že tvrzení (3) plyne přímo z (1.5) volbou a = b = 1. Tvrzení (4) dokážeme opět matematickou indukcí, podobně jako (3). Zjevně platí pro n = 0, čímž je hotov první krok. Indukční předoklad říká, že (4) platí pro něj aké n. Spočtěme nyní příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) a indukčního předpokladu. Dostaneme n + 1 E* *=0 n + 1 n + 1 n \ In k-l) + \k E* n , x n+l , x Ě(;hĚ<:)+í>(;; 12 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 2n i „„ o n — 1 . •\n—i (« + 1)2". Tím je proveden indukční krok, a tvrzení je dokázáno pro všechna přirozená n. □ Druhá vlastnost z našeho tvrzení umožňuje sestavit všechna kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 1 4 1 1 3 10 1 2 1 3 10 1 4 1 Všimněme si, že v jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých mocnin z výrazu (1.5), např. poslední uvedený řádek říká (a + b)5 = a5 + 5a4b + \0a3b2 + \0a2b3 + 5ab4 + b5. 1.8. Výběr s opakováním. Pořadí n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme permutace s opakovaním. Nechť je mezi n danými prvky p\ prvků prvního druhu, p2 prvků druhého druhu, ..., Pk prvků &-tého druhu, p\ + p2 + ■ ■ ■ + Pk = n, potom počet pořadí těchto prvků s opakováním budeme značit P(pi,...,pk). Podobně jako u permutací a kombinací bez opakování, pro výběr prvního z nich máme n možností, pro další n — 1 a tak dále, až po poslední, který zbude. Přitom ale za stejná považujeme pořadí nerozlišitelných objektů. Těch je pro každou skupinku o p{ objektech právě p{!, takže zřejmě platí ' Permutace s opakováním P(pi Pk) P\\--- Pk]- Volný výběr k prvků z n možností, včetně pořadí, nazýváme variace k-tého stupně s opakováním, jejich počet budeme značit V(n,k). Volný výběr v tomto případě znamená, že předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně možností, např. díky tomu, že vybrané prvky před dalším výběrem vracíme nebo třeba házíme pořád stejnou kostkou. Zřejmě platí | Variace s opakováním [ V(n,k) =nk Pokud nás výběr zajímá bez zohlednění pořadí, hovoříme o kombinacích s opakováním a pro jejich počet píšeme C(n, k). Zde se na první pohled nezdá tak jednoduché, jak výsledný počet zjistit. Důkaz následující věty je pro matematiku typický - podaří se nám nový problém převést na problém jiný, který jsme už dříve zvládli. V našem počet sudých čtyřciferných čísel složených ze sudé a liché cifry). Opět musíme odečíst čísla začínající nulou, těch je (23 — 1)4 + (22 — 1)5. Hledaný počet cifer tak je (24 - 2) + 5 • 5(23 - 1) - (23 - 1)4 - (22 - 1)5 = 272. □ 1.26. Na koncertě je 730 lidí. Mají někteří z nich stejné iniciály? (Neuvažujeme háčky ani čárky) Řešení. Písmen v abecedě (včetně CH) je 27. Počet všech možných iniciálu je tedy 272 = 729. Proto aspoň 2 lidé budou mít stejné iniciály. □ 1.27. Noví hráči se sejdou v jednom volejbalovém týmu (6 lidí). Kolikrát si při seznamování (každý s každým) podají ruce? Kolikrát si hráči podají ruce se soupeřem po odehrání zápasu? Řešení. Seznamuje se každá dvojice z šesti hráčů. Počet podání rukou je teda roven kombinaci C(2, 6) = (^) = 15. Po zápase si každý z šesti hráčů podá ruku šestkrát (s každým z šesti soupeřů). Počet je teda dohromady 62 = 36. □ 1.28. Jak se může rozesadit pět osob v pětimístném autě, když jen dva z nich mají řidičský průkaz? Jak se může rozesadit 20 cestujících a dva řidiči v 25-místném minibuse? Řešení. Na místě řidiče máme dvě možnosti a na zbylých místech už je pořadí libovolné, tzn. pro spolujezdce 4 možnosti, pro další místo 3, pak 2 a 1. Celkově 2.4! = 48 možností. Podobně v minibuse máme dvě možnosti na místě řidiče a druhý řidič plus cestující mohou na zbylých 24 místech sedět libovolně. Nejprve vybereme místa, která budou obsazená, tj. (^J) a na těchto místech může být 21! různých pořadí. Dohromady máme 2.(2 0 a n > 1 C(n,k) n+k-1 1 Důkaz. Důkaz je opřen o trik (jednoduchý, jakmile ho pochopíme). Uvedeme dva různé postupy. Představme si nejprve, že taháme postupně karty z balíku n různých karet a abychom mohli případně některou z nich vytáhnout vícekrát, přidáme si k balíku ještě k — 1 různých žolíků (alespoň jednou určitě chceme jednu z původních karet). Řekněme, že postupně vytáhneme r původních karet a s žolíků, tj. r + s = k. Zdá se, že bychom měli vymyslet postup, jak z těch s žolíků poznat, které karty nám zastupují. Ve skutečnosti nám ale stačí diskuse počtů možností takových voleb. K tomu můžeme použít matematickou indukci a předpokládat, že dokazovaná věta platí pro menší argumenty než jsou nuk. Skutečně, potřebujeme obsáhnout kombinace s-té třídy s opakováním z pouze r původních karet, což dává (r+k~r~1) = c71)' c°ž Je právě počet kombinací 5-tého stupně (bez opakování) ze všech žolíků. Tím je věta dokázána. Druhý přístup (bez matematické indukce): Na množině S = {ai, an}, ze které vybíráme kombinace, si zafixujeme uvedené pořadí prvků a pro naše volby prvků z 5 si připravíme n přihrádek, do kterých si již předem dáme v námi zvoleném pořadí po právě jednom prvku z S. Jednotlivé volby xt e S přidáváme do přihrádky, která již tento prvek obsahuje. Nyní si uvědomme, že pro rozpoznání původní kombinace nám stačí vědět, kolik je prvků v jednotlivých přihrádkách. Například, a I bbb I cc \ d ~ * | * * * | ** | *, vypovídá o volbě b, b, c z množiny S = {a, b, c, d}. V obecném případě výběru k prvků z n možných tedy máme řetězec n + k znaků a počet C(n, k) je roven počtu možných umístění přihrádek | mezi jednotlivé znaky. To odpovídá výběru n — 1 pozic z n + k — 1 možných. Protože je n + k k 1 n+k-1 n + k — 1 — k n+k-1 n - 1 je věta dokázána i podruhé. □ 14 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1. 7 el. 4 3. Diferenční rovnice V předchozích odstavcích jsme viděli vzorce, které zadávaly hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech (faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí předcházejících hodnot. Zatímco v odstavci 1.5 jsou kombinační čísla definována přímo spočítatelným výrazem, lze rozumět vztahům v 1.8 také tak, že místo hodnoty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné. Takto se skutečně velice často postupuje při matematické formulaci modelů, které popisují reálné sys-l-^y//, témy v ekonomice, biologii apod. My si tu povšimneme jen několika jednoduchých případů a budeme se k této tématice postupně vracet. 1.9. Lineární diferenční rovnice prvního řádu. Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz f(n + 1) = F(n, /(«)), kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených čísel. Známe-li „počáteční" hodnotu /(O), můžeme spočítat /(l) = F(0, /(O)), poté f (2) = F(l, /(l)) atd. Tímto postupným způsobem můžeme tedy nakonec spočítat hodnotu f (jí) pro libovolné n e N. Všimněme si, že tato úvaha je podobná konstrukci přirozených čísel z prázdné množiny nebo principu matematické indukce. Jako příklad může sloužit definiční formule pro faktoriál, tj- (n + 1)! = (n + 1) -n\ Vidíme, že skutečně vztah pro f(n + l) závisí na n i na hodnotě f (n). Dalším obzvlášť jednoduchým příkladem je f (n) = C pro nějaký pevný skalár C a všechna n a tzv. lineární diferenční rovnice (1.6) f(n + í) = a ■ f(n) + b, kde a ^ 0, a b jsou známé skaláry. Takovou diferenční rovnici umíme snadno řešit, je-li b = 0. Pak se totiž jedná o dobře známou rekurentní definici geometrické posloupnosti a platí /(l) = a/(0), f (2) = af(l) = a2f(0) atd. Máme tedy pro všechna n f (n) = ď f (Q). To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu, který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu. Dokážeme si obecný výsledek pro rovnice prvního řádu, které se podobají lineárním, ale připouští proměnné koeficienty a a b, množin pak má n! prvků (místa pro věže vybíráme postupně od prvního řádku - tam máme n možností, ve druhém pak již pouze n — 1 možností - jeden sloupec je již obsazen, ...). Podle principu inkluze a exkluze je počet hledaných rozestavení: 2nn - n\. □ 1.34. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní, že žádné dva z trojice týmů Zbrojovka Brno, Baník Ostrava a Sigma Olomouc spolu v tabulce „nesousedí"?(Ligu hraje 16 mužstev.) Řešení. První způsob. Hledaný počet spočítáme podle principu inkluze a exkluze tak, že od počtu všech možných tabulek odečteme počet tabulek, ve kterých sousedí některá dvojice z uvedených tří týmů a přičteme počet těch tabulek, ve kterých sousedí všechny tři týmy. Hledaný počet tedy je '3N 16! 2! • 15! + 3! • 14! = 13599813427200. Jiné řešení. Zmíněné tři týmy budeme považovat za „oddělovače". Zbylých třináct týmů musíme rozdělit tak, aby mezi libovolnými dvěma oddělovači byl alespoň jeden tým. Navíc zbylé týmy můžeme mezi sebou nezávisle permutovat a rovněžtak oddělovače. Celkem tedy dostáváme '14^ • 13! • 3! = 13599813427200 možnosti. □ el. 5 (1.7) f(n + !)=«„• f(n) + bn. 1.35. Pro libovolné pevné n e N určete počet všech řešení rovnice x\ + x2 H-----h xk = n v množině a) nezáporných b) kladných celých čísel. Řešení, a) Každé řešení {r\, ..., rk), ri = n můžeme jednoznačně zašifrovat jako posloupnost jedniček a nul, ve které napíšeme nejprve r\ jedniček, pak nulu, pak r2 jedniček, nulu a tak dále. Posloupnost bude celkem obsahovat n jedniček a k — 1 nul. Každá taková posloupnost navíc zřejmě určuje nějaké řešení dané rovnice. Je tedy řešení tolik, kolik je posloupností, tedy b) Hledáme-li řešení v oboru kladných celých čísel, tak si všimněme, že přirozená čísla x\, .. .xk jsou řešením dané rovnice, právě 15 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE když jsou celá nezáporná čísla y; = x; — 1, i = 1, ..., k, řešením rovnice yi + yi H-----\-yk=n-k. Těch je podle první části řešení ("kZ\)- ^ C. Diferenční rovnice Diferenční rovnice (jinak řečeno též rekurentní vztahy) jsou vztahy mezi členy nějaké posloupnosti, přičemž následující člen je dán pomocí členů předchozích. Vyřešit diferenční rovnici pak znamená najít explicitní vzorec pro n-tý (libovolný) člen dané posloupnosti. Rekurentní vztah nám totiž po zadání několika prvních členů posloupnosti zadává n-tý člen přímo pouze pomocí postupného vyčíslení všech předchozích členů. Pokud je následující člen posloupnosti určen pouze předchozím členem, hovoříme o diferenčních rovnicích prvního řádu. S nimi se můžeme v životě opravdu setkat, například, pokud si chceme zjistit dobu splácení nějaké půjčky při pevné měsíční splátce, nebo na- opak chceme zjistit výši měsíční splátky, zadáme-li si dobu, za ktpfcnB chceme půjčku splatit. 1.36. Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek rĚ 1. 6 by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu na bízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? Řešení. Označme Mirkovu měsíční splátku S. Po prvním měsíci splatí Mirek S korun, z nichž část půjde na vlastní splátku, část na splacení úroku. Částku, kterou bude Mirek dlužit po uplynutí k měsíců označme dk. Po prvním měsíci bude Mirek dlužit di = 300000 Obecně po uplynutí &-tého měsíce (1.1) dk = 4_! 0, 06 S + -^r- ■ 300000. 12 0,06 Podle vztahu (1.9) je dk dáno následovně 1 + 0, 06 12 300000 1 + 0,06 12 1 125 0706 Splacení po třech letech se rovná podmínce d36 = 0, odkud dostáváme (1.2) 300000 0,06 12 1. 9 (l + ^f )"36 9127. Nejdříve se ale zamysleme, co mohou takové rovnice popisovat. Lineární diferenční rovnici (1.6) můžeme pěkně interpretovat jako matematický model pro spoření nebo splácení úvěru s pevnou úrokovou mírou a a pevnou splátkou b (tyto dva případy se liší pouze znaménkem u parametru b). S proměnnými parametry dostáváme obdobný model, J!^ ovšem s proměnlivými j ak úroky, tak splátkami. M, Můžeme si představit třeba n jako počet měsíců, an bude vyjadřovat úrokovou míru v měsíci n, bn příslušnou splátku v měsíci n. Neděste se zdánlivě složitého sčítání a násobení v následujícím výsledku. Jde o typický příklad technického matematického tvrzení, kdy těžké je „uhodnout", jak zní. Naopak důkaz je už pak jen docela snadné cvičení na základní vlastnosti skalárů a matematickou indukci. Skutečně zajímavé jsou teprve důsledky, viz 1.11 níže. Ve formulaci používáme vedle obvyklých znaků pro součet také obdobné znaky pro součin rj. V dalším budeme vždy používat také konvenci, že pokud u součtu je množina uvedených indexů prázdná, pak je součet nula, zatímco u součinu je ve stejném případě výsledek jedna. 1.10. Tvrzení. Obecné řešení diferenční rovnice (1.7) prvního řádu s počáteční podmínkou f(0) = y q je dáno vztahem /n-l n-2 n-l (1.8) f(n) =[Y\ 1 k příliš rychlému a hlavně neomezenému růstu. primkydelirovinu Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu po- pulace Ap(n) = p(n + 1) — p(n) jen při malých hodnotách p, tj. Ap/p ~ r > 0. Pokud tedy budeme chtít nechat růst populaci o 5% za období při malém p, budeme r volit 0, 05. Při určité limitní hodnotě p = K > 0 ale naopak už populace neroste a při ještě větších už klesá (třeba protože zdroje pro její obživu jsou omezené, jedinci ve veliké populaci si navzájem překáží apod.). Předpokládejme, že právě hodnoty y„ = Ap(n)/p(n) se v závislosti na p(n) mění lineárně. Graficky si tedy tuto závislost můžeme představit jako přímku v rovině proměnných p a y, která prochází body [0, r] (tj. při p = 0 máme y = r) a [K, 0] (což dává druhou podmínku, že při p = K se populace nemění). Položíme proto Všimněme si, že rekurentní vztah (1.1) můžeme použít na náš příklad pouze tak dlouho, dokud budou všechna y(n) kladná, tj. dokud bude Mirek skutečně něco dlužit. 1.37. Uvažujme situaci z předchozího příkladu. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Řešení. Při označení q = 1, 005, c = 300000 nám podmínka dk = 0 dává vztah 2005 y K p + r. 2005 - c jehož logaritmováním obdržíme , ln2005-ln(2005-c) k = -, ln q což pro 5 = 5000 dává přibližně k = 71, 5, tedy splácení půjčky by trvalo šest let (poslední splátka by nebyla plných 5 000 Kč). □ 1.38. Určete posloupnost {yn }™=1, která vyhovuje následujícímu rekurentnímu vztahu y„+i = — + 1, n > 1, vi = 1. Lineární rekurentní vtahy se mohou vyskytnout například v geometrických problémech: 1.39. Na kolik nejvýše oblastí může dělit rovinu n přímek? Řešení. Označme hledaný počet oblastí pn. Pokud v rovině nemáme dánu žádnou přímku, je celá rovina jedinou oblastí, je tedy p0 = 1. Pokud je v rovině dáno n přímek, tak přidáním n + 1 přibude nejvýše (n + 1) oblastí: oblastí přibude právě tolik, kolika (původními) oblastmi bude přímka procházet (každou takovou oblast rozdělí na dvě části, jedna oblast tedy přibude). Přidaná přímka může mít nejvýše n různých průsečíků s n přímkami, které už v rovnině byly. Část přímky mezi libovolnými dvěma sousedními průsečíky prochází právě jednou oblastí, celkem může přidaná přímka procházet nejvýše n+1 oblastmi, tedy může přibýt maximálně n + 1 oblastí, navíc v rovině bylo před přidáním (n + l)-ní přímky nejvýše pn oblastí (tak jsme číslo pn totiž definovali). 17 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 4. PRAVDĚPODOBNOST Dosazením y„ za y a p(n) za p dostávame c+r-k' el. 7a p (n + 1) - p (n) p (n) --p(n) +r, tj. roznásobením dostáváme diferenční rovnici prvního řádu (kde hodnota p(n) vystupuje v první i v druhé mocnině) (1.10) p(n + l)=p(n)(\-^p(n)+r). Zkuste si promyslet nebo vyzkoušet chování tohoto modelu pro různé hodnoty r a K. Na obrázku je průběh hodnot pro parametry r = 0, 05 (tj. pětiprocentní nárůst v ideálním stavu), K = 100 (tj. zdroje limitují hodnotu na 100 jedinců) a p(0) jsou dva jedinci. 100: Celkem dostáváme rekurentní vztah pn+i = pn+(n + 1), ze kterého získáme explicitní formuli pro pn buď pomocí vzorce 1.10 nebo přímo: po + 1 i=\ Pn = Pn-1 + n = pn-2 + («-!)+« = = pn-3 + (n - 2) + (n - 1) + n = ■ ■ n (n + 1) n2 + n + 2 = 1 + —-- = - 2 2 □ Rekurentní vztahy mohou mít i složitější podobu než je rekurze prvního řádu. Uveďme si příklady kombinatorických úloh, při jejichž řešení se můžeme rekurze s výhodou využít. 1.40. Kolik existuje slov délky 12 složených pouze z písmen A a B, které neobsahují skupinu BBB7 Řešení. Nechť an značí počet slov délky n složených pouze z písmen A, B, neobsahujících skupinu BBB. Pak pro a„ (n > 3) platí rekurentní vztah dn — dn — \ -\- Cln—2 ~\~ dn—3> neboť slova délky n splňující danou podmínku musí končit buď na A, nebo na AB, nebo na ABB. Slov končících na A je právě an-\ (před posledním A může být libovolné slovo délky n — 1 splňující dtanqig podmínku. Obdobně pro zbylé dvě skupiny. Dále snadno vyčíslíme a\ = 2, a2 = 4, a3 = 7. Postupným dopočítáním a12 = 1705. -i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—r- 50 100 150 200 Všimněme si, že počáteční přibližně exponenciální růst se skutečně později zlomí a hodnota se postupně blíží kýženému limitu 100 jedinců. Pro p blízké jedné a K daleko větší než r bude pravá strana rovnice (1.10) přibližně p(n)(\ +r), tzn. chování je obdobné Malthusiánskému modelu. Naopak při p přibližně K bude pravá strana přibližně p(n). Pro větší počáteční hodnoty p než K budou hodnoty klesat, pro menší než K růst, takže systém bude zpravidla postupně oscilovat kolem hodnoty K. 4. Pravděpodobnost Teď se podíváme na jiný obvyklý případ skalárních pr> _ hodnot funkcí - sledované hodnoty často nejsou známy ani explicitně vzorcem, ani implicitně nějakým popisem. Jsou ■ií^ľ'l výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. 1.13. Co je pravděpodobnost? Jako jednoduchý příklad může sloužit obvyklé házení kostkou se šesti stěnami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. 18 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Pokud popisujeme matematický model takového házení „poctivou" kostkou, budeme očekávat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. Slovy to vyjadřujeme „každá předem vybraná stěna padne s pravděpodobností Pokud ale si třeba sami nožíkem vyrobíme takovou kostku z kusu dřeva, je jisté, že skutečné relativní četnosti výsledku nebudou stejné. Pak můžeme z velikého počtu pokusů usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že jsme proto náš matematický model skutečnosti pro naši kostku nevybrali dobře. V dalším budeme pracovat s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti v nejjednoduším přiblížení. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku. To ale neznamená, že by se takovým přemýšlením neměli zabývat matematikové (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později se vrátíme k pravděpodobnosti coby teorii popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinovaných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry. Matematická statistika pak umožňuje posuzovat, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou, resp. umožňuje určit parametry modelu tak, aby docházelo k co nejlepší shodě s pozorováním a zároveň umí odhadnout míru spolehlivosti zvoleného modelu. K matematické pravděpodobnosti i statistice ovšem budeme potřebovat dosti rozsáhlý matematický aparát, který budeme mezitím několik semestrů budovat. Na příkladu naší neumělé kostky si to můžeme představit tak, že v teorii pravděpodobnosti budeme pracovat s parametry pí pro pravděpodobnost jednotlivých hodnot stran a budeme požadovat pouze aby všechny tyto pravděpodobnosti byly nezáporné a jejich součet byl Pl + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1- Při volbě konkrétních hodnot p{ pro konkrétní kostku pak v matematické statistice budeme schopni odhadnout s jakou spolehlivostí tento model naší kostce odpovídá. Naším skromným cílem je teď pouze naznačit, jak abstraktně zachytit pravděpodobnostní úvahy ve formalizovaných matematických objektech. Následující odstavce tak budou ve své podstatě '^irf^^~ pouhými cvičeními v jednoduchých operacích nad množinami a jednoduché kombinatorice (tj. výpočtech počtu možností, jak mohou být splněny dané podmínky kladené na konečné množiny prvků). 1.14. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Q všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Q Též bychom mohli odvodit explicitní vzorec pro n-tý člen takto zadané posloupnosti, dle uvedené teorie. Charakteristický polynom dané rekurentní rovnice je x3 —x2 — x — 1 s jedním reálným a dalšími dvěma komplexními kořeny, které můžeme vyjádřit pomocí vztahů (1.15). □ 1.41. Skóre basketbalového utkání mezi týmy Česka a Ruska vyznělo po první čtvtině 12 : 9 pro ruský tým. Kolika způsoby se mohlo vyvíjet skóre? K výpočtu můžete použít výpočetní techniky. Řešení. Označíme-li P(k,i) počet způsobů, kterými se mohlo vyvíjet skóre basketbalového utkání, které skončilo k : l, tak pro k, l > 3 platí rekurentní vztah: P(k,l) = P(k-3,l) + P(k-2,l) + P(k-l,l) + P(k,l-l) + P(k,l-2) + P(k,l-3)- (Způsoby, kterými se mohlo vyvíjet utkání s výsledným skóre k : l rozdělíme na šest po dvou disjunktních podmnožin podle toho, které družstvo vstřelilo koš a za kolik bodů (1, 2, či 3).) Ze symetrie úlohy zřejmě platí P(k,i) = P(i,k)- Dále pro k > 3 platí: P(k,2) = P(k-?,,2) + P(k-2,2) + P(k-l,2) + P(k,l) + P(kfi), P(k,l) = P(k-3,1) + P(k-2,1) + P(k-l,l) + P(k,0), P(k,0) = P(k-3,0) + P(k-2,0) + P(k-1,0), což spolu s počátečními podmínkami P(o,o) = 1» P(i,o) = 1» P(2,o) = 2, ^(3,0) = 4, P(l,l) = 2, P(2,l) = P(l,l) + P(0,l) + ^(2,0) = 5, P(2,2) = ^(0,2) + ^(1,2) + P(2,i) + P(2,o) = 14, dává (12,9) 497178513. □ Poznámka. Vidíme, že rekurentní vztah v tomto příkladu má složitější formu, než kterou jsme se zabývali v teorii a tudíž neumíme vyčíslit libovolné číslo P(k,i) explicitně, nýbrž pouze postupným výpočtem od počátečních členů. Takové rovnice nazýváme parciální diferenční rovnice, protože členy posloupnosti jsou značeny dvěma nezávislými proměnnými (k,l). O lineárních rekurentních formulích (diferenčních rovnicích) vyšších řádů s konstantími koeficienty si povíme více v kapitole 3. D. Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Uveďme si několik jednoduchých příkladů na klasickou pravděpodobnost, kdy zkoumáme nějaký pokus, který má konečně mnoho 19 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST možných výsledků („všechny případy") a nás zajímá, kdy výsledek pokusu bude náležet nějaké podmnožině možných výsledků („příznivé případy"). Hledaná pravděpodobnost je pak rovna poměru počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Klasickou pravděpodobnost můžeme použít tam, kde předpokládáme (víme), že každý z možných výsledků má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane (například při hodech kostkou). 1.42. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šestibokou kostkou padne číslo větší než 4? Řešení. Všech možných výsledků je šest (tvoří množinu {1,2,3,4,5,6}), příznivé možnosti jsou dvě ({5,6}). Hledaná pravděpodobnost je tedy 2/6 = 1/3. □ 1.43. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy? Řešení. Pravděpodobnost spočítáme jako podíl počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Příznivé případy rozdělíme podle toho, kolik je v náhodně vybrané skupině mužů: mohou v ní být buď dva, nebo jeden muž. Skupinek o pěti lidech s jedním mužem je osm (záleží pouze na výběru muže, ženy v ní musí být všechny), skupinek se dvěma muži je potom c(8, 2) • c(4, 3) = (!|) • (3) (vybereme dva muže z osmi a nezávisle na tom tři ženy ze čtyř, tyto dva výběry můžeme nezávisle kombinovat a podle pravidla součinu dostáváme uvedený počet skupin). Všech možných skupin o pěti lidech pak můžeme sestavit c (12, 5) = (j2). Hledaná pravděpodobnost je tedy 8 + G)© (5) □ Uveďme si příklad, při jehož řešení není vhodné používat klasické pravděpodobnosti: 1.44. Jaká je pravděpodobnost toho, že čtenář této úlohy vyhraje příští týden alespoň milión dolarů v loterii? Řešení. Takováto formulace úlohy je neúplná, neposkytuje dostatek údajů. Předveďme „chybné" řešení Základní prostor všech možný jevů je dvouprvkový: buď vyhraje nebo nevyhraje. Příznivý jev je jeden (vyhraje), hledaná pravděpodobnost je tedy 1 /2 (a to je zjevně špatná odpověď). □ Poznámka. V předchozím příkladě je porušena základní podmínka použití klasické pravděpodobnosti, totiž to, že každý z elementárních jevů má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane. konečná množina s prvky a>i, ... ,a>„, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina Acíí představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže • Q e A (tj. základní prostor, je jevem), • je-li A, B e A, pak A \ B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl), • jsou-li A, B e A, pak AU B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení). Zjevně je i komplement Ac = Q\A jevu A jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů je opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A,Bcí2 platí A\(£l\B) = ADB. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A e A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k .4). Pro naše házení kostkou je Q = {1,2, 3, 4, 5, 6} a jevové poleje tvořeno všemi podmnožinami množiny Q. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako „padne liché číslo". Něco málo terminologie, která by měla dále připomínat souvislosti s popisem skutečných modelů: • celý základní prostor Q se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina 0 e A se nazývá nemožný jev, • jednoprvkové podmnožiny {&>} c ^ se nazývají elementární jevy, • společné nastoupení jevů AÍ7 i e /, odpovídá jevu Djg/Aj, nastoupení alespoň jednoho zjevů A;-, i e /, odpovídá jevu U;e/A;, • A, B e A jsou neslučitelné jevy, je-li A n B = 0, • jev A má za důsledek jev B, když A c B, 20 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Přestavte si příklady všech uvedených pojmů pro jevový prostor popisující házení kostkou nebo obdobně pro házení mincí! 1.15. Definice. Pravděpodobnostní prostor je trojice (Q, A, P), kde A je jevové pole podmnožin (konečného) základního prostoru Q, na kterém je definována skalární funkce P : A -» M s následujícími vlastnostmi: • P je nezáporná, tj. P (A) > 0 pro všechny jevy A, • P je aditivní, tj. P (A U B) = P (A) + P (B), kdykoliv je A, B e AaAf) B = 0, • pravděpodobnost jistého jevu je 1, tj. P (Q) = 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli A. Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. pro všechny jevy platí P(AC) = 1 - P(A). Dále můžeme matematickou indukcí snadno rozšířit aditiv-nost na jakýkoliv konečný počet vzájemně neslučitelných jevů Ai cfi,ie I, tj. P(Ui6/A/) = iel kdykoliv A;- n Aj = 0, pro všechna i ^ j, i, j e I. 1.16. Definice. Nechť Q je konečný základní prostor a ne- chť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v £2. Klasická pravděpodobnost je pravděpodobnostní prostor (Q, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A P (A) kde | A\ značí počet prvků množiny A e A. Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost, ověřte si samostatně všechny požadované axiomy. 1.17. Sčítání pravděpodobností. U neslučitelných jevů je J < „ sčítání pravděpodobností pro výskyt alespoň jednoho z nich přímo požadováno v základní definici pravdě-'$ podobnosti. Obecně je sčítání pravděpodobností pro ifí1 ' výskyty jevů složité. Problém totiž je, že pokud jsou jevy slučitelné, částečně máme v součtu pravděpodobností započteny příznivé výskyty vícekrát. Nejjednodušší je si nejprve představit situci se dvěma slučitelnými jevy A, B. Uvažme nejprve klasickou pravděpodobnost, kde jde vlastně o počítání prvků v podmnožinách. Pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z nich, tj. pravděpodobnost jejich sjednocení, je dána vztahem el,12a (1.11) P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A n B) protože ty prvky, které patří do množiny A i B, jsme nejprve započetli dvakrát a tak je musíme jednou odečíst. 1.45. Do řady v kině o In místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? Řešení. Všech možných rozmístění lidí v řadě je (2n)\, rozmístění splňujících podmínky je 2(n\)2: máme dvě možnosti výběru pozice mužů, tedy i žen - buď všichni muži budou sedět na lichých místech (a tedy ženy na sudých), nebo všchni muži na sudých (a tedy ženy na lichých místech); na nich jsou pak muži i ženy rozmístěny libovolně. Výsledná pravděpodobnost je tedy p(n) = -^7, p{2) = 0, 33, p(5) = 0, 0079, p(8) = 0, 00016. (2n)\ □ 1.46. Do výtahu osmipatrové budovy nastoupilo 5 osob. Každá z nich vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí. Jaká je pravděpodobnost, že vystoupí i) všichni v šestém poschodí, ii) všichni ve stejném poschodí, iii) každý v jiném poschodí? Řešení. Základní prostor všech možných jevů je prostor všech možných způsobů vystoupení 5 osob z výtahu. Těch je 85. V prvním případě je jediná příznivá možnost vystoupení, hledaná pravděpodobnost je tedy ^, ve druhém případě máme osm možností, hledaná pravděpodobnost je tedy ^ a konečně ve třetím je počet příznivých případů dán pětiprvkovou variací z osmi prvků (z osmi pater vybíráme pět, ve kterých se vystoupí a dále kteří lidé vystoupí ve vybraných poschodích), celkem je hledaná pravděpodobnost ve třetím případě rovna (viz 1.6 a 1.8) u(5,8) 8-7--4 V(5,8) 85 0,2050781250. □ 1.47. Náhodně vybereme celé kladné číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0,1,5a zároveň bude dělitelné číslem 5? Řešení. Čísel spňujích danou podmínku je 2 • 34 — 1 (kromě poslední cifry máme na každý řád na výběr ze tří cifer, případné číslice 0 na začátku slova nepíšeme. Všech celých kladných čísel menších než 105 je 105 — 1, podle klasické pravděpodobnosti dostáváme, že hledaná pravděpodobnost je 2-3*-1 10s —1 ' □ 21 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST 1.48. Princip inkluze a exkluze. Sekretářka má rozeslat šest dopisů šesti různým lidem. Dopisy pro různé adresáty vkládá do obálek s adresami náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden člověk dostane dopis určený pro něj? Řešení. Spočítejme pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že ani jeden člověk neobdrží správný dopis. Stavový prostor všech možných jevů odpovídá všem možným pořadím pěti prvků (obálek). Označíme-li jak obálky tak dopisy čísly od jedné do šesti, tak všechny příznivé jevy (tedy žádný dopis nepřijde do obálky se stejným číslem) odpovídají takovým pořadím šesti prvků, kdy i-tý prvek není na /-tém místě (/ = 1, ..., 6), tzv. pořadím bez pevného bodu. Jejich počet spočítáme pomocí principu inkluze a exkluze. Označíme-li Mt množinu permutací s pevným bodem / (permutace v Mt ale mohou mít i jiné pevné body), tak výsledný počet d permutací bez pevného bodu je roven d = 6! - |Mi U •• • UM6| Počet prvků průniku \Mix D- • -C\Mik\,k = 1, ..., 6, je (6—k)\ (pořadí prvků/i, ..., ik je pevně dáno, ostatních 6—k prvků řadíme libovolně). Podle principu inkluze a exkluze je |Mi U-..UM6| = Jj-l)k+lQj(6-k)\ a tedy pro hledaný počet d dostáváme vztah 6 d = 6!-£(-l)*+1(fW-*)! (-i)' k\ k=0 x ' k=0 Pravděpodobnost toho, že žádný člověk neobdrží „svůj" dopis je tedy E k=0 (-1)* k\ a hledaná pravděpodobnost pak 6 ■-E k=0 (-1)* k\ 53 144' □ Poznámka. Všimněme si, že odpověď na stejnou otázku, se s rostoucím počtem dopisů příliš nemění. Pro n dopisů je pravděpodobnost, že sekretářka nedá žádný do správné obálky ■-E k=0 (-1)* k\ 1 1 - -, e jak totiž uvidíme později, uvedená suma konverguje (blíží se) k hodnotě 1/e. Tentýž výsledek dostaneme i pro obecnou pravděpodobnost P na nějakém jevovém poli. Protože A n B a A \ B jsou nezávislé jevy, P (A) = P(A \B) + P(A n B), podobně pro B, ale také máme P (A UB) = P(A \B) + P(B \A) + P(A n B). Dosazením za pravděpodobnosti množinových rozdílů dostáváme opět vztah (1.11). Následující věta je přímým promítnutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší ko-nečné pravděpodobnosti a říká, jakým způsobem vícenásobné započítávání výsledků kompenzovat v obecném případě. Jde patrně o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Na obrázku je situace znázorněna pro tři množiny A, B, C a pro klasickou pravděpodobnost. Jednoduše šrafované oblasti v prostém součtu máme dvakrát, dvojitě šrafované třikrát. Pak ty jednoduše šrafované jednou odečteme, přitom ty dvojitě šrafované opět třikrát odečteme, proto je tam nakonec ještě jednou započteme. Obecně, díky aditivní vlastnosti pravděpodobnosti, si můžeme představit, že každý jev rozložíme na elementární (tj. jednobodové) jevy, jakkoliv ve skutečnosti nemusí jednoprvkové podmnožiny do uvažovaného jevového pole patřit. Pak je pravděpodobnost každého jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých elementárních jevů do něj patřících a můžeme při vyjádření pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho z jevů takto: sečteme všechny pravděpodobnosti výsledků pro všechna A; zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme odečíst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. 22 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1. 17 1.16 Věta. Buďte A\, ..., Ak e A libovolné jevy na základním prostom Q. s jevovým polem A Pak platí k k-l k p(uř=1Ai) = P(A^ - E E P(Ai n Ai) i — l i — l j=i + l k-2 k-l k + E E E PiAtHAjnAt) í'=1 j=i + l t=j+\ + (-i)l-1P(A1nA2n-nAt). Důkaz. Aby se výše naznačený postup stal důkazem, je zapotřebí si ujasnit, že skutečně všechny korekce, tak jak jsou popsány, jsou skutečně s koeficienty jedna. Místo toho můžeme snáze dát dohromady formálnější důkaz matematickou indukcí přes počet k jevů, jejichž pravděpodobnosti sčítáme. Zkuste si průběžně porovnávat oba postupy, mělo by to vést k vyjasnění, co to znamená „dokázat" a co „porozumět". Pro k = 1 tvrzení zjevně platí, vztah pro k = 2 je totožný s rovností (1.11) a tu jsme pro obecné pravděpodobnostní funkce již dokázali také. Předpokládejme tedy, že věta platí pro všechny počty množin až do pevně zvoleného k > 1. Nyní můžeme pracovat v indukčním kroku se vztahem pro k + 1 jevů, když sjednocení prvních k jevů bereme jako A ve vzorci (1.11) výše, zatímco zbývající jev hraje roli B: P(Uf+1Ai) = P((uř=1Ai)UAJt+1) k . = E( E ^(A/j n • • • n Aíj) 7=1 ^ 1<í'i < — 0, potom P(A1 n A2) = P(A2)P(A1\A2) = P(Ai)P(A2|Ai). Všechna tato čísla vyjadřují pravděpodobnost toho, že nastanou oba jevy A\ i A2, jenom jinými způsoby. Například v posledním případě nejprve sledujeme, zda nastane první jev. Potom za předpokladu, že ten první nastal, sledujeme zda nastane i ten druhý. Podobně, pro tři jevy A\, A2, A3 splňující P(Ai n A2 n A3) > 0, dostaneme P(Al n A2 n A3) = /5(A1)JP(A2|A1)JP(A3|A1 n A2). přidělenu jednu stranu mince. Té straně, jejíž strana mince padne, náleží mandát, o který se právě losovalo. Jaká je pravděpodobnost, že každá ze stran získá 100 mandátů? (mince je „poctivá") Řešení. Všech možných výsledků losování (uvažovaných jako dvou-setčlenné posloupnosti rubů a líců) je 2200. Pokud každá strana získá právě sto mandátů, je ve vylosované posloupnosti právě sto líců a sto rubů. Takových posloupností je (2[J[J) (taková posloupnost je jednoznačně určená výběrem sto členů z dvou set možných, na kterých budou např. líce). Celkem je hledaná pravděpodobnost (200\ 200! V100/ 2200 1001-100! 2200 0, 056. □ Následující příklad je jednoduchým modelem, který odhaduje pravděpodobnost úmrtí osoby při dopravní nehodě. 1.54. Ročně zahyne na silnicích v ČR přibližně 1200 českých občanů. Určete pravděpodobnost, že někdo z vybrané skupiny pěti set Čechů zemře v následujících deseti letech při dopravní nehodě. Předpokládejte pro zjednodušení, že každý občan má v jednom roce stejnou „šanci" zemřít při dopravní nehodě a to 1200/107. Řešení. Spočítejme nejprve pravděpodobnost, že jeden vybraný člověk v následujících deseti letech nezahyne při dopravní nehodě. Pravděpodobnost, že nezahyne v jednom roce, je (1 — y^). Pravděpodobnost, že nezahyne v následujících deseti letech, je pak (1 — jot)10- Pravděpodobnost, že v následujících deseti letech nezahyne nikdo z daných pěti set lidí, je opět podle pravidla součinu (jedná se o nezávislé jevy) (1 — y^-)5000. Pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že někdo z vybraných pěti set lidí zahyne, je tedy 5000 0,4512. □ Poznámka. Model, který jsme použili v předchozím příkladu k popisu zadané situace, je pouze přibližný. Problém spočívá v podmínce, že každý občan z vyšetřovaného vzorku má stejnou pravděpodobnost toho, že v průběhu roku zahyne, kterou jsme odhadli z počtu usmrcených osob za rok. Počet tragických nehod se totiž rok od roku mění a i kdyby se neměnil, tak se mění populace. Ukažme si jednu s nepřesností příkladu na jiném způsobu řešení: zahyne-li 1200 osob za rok, tak za deset let zahyne 12000. Pravděpodobnost toho, že konkrétní člověk zahyne v průběhu deseti let tedy můžeme odhadnout i zlomkem 12000/107. Pravděpodobnost, že konkrétní osoba nezahyne v průběhu 10 let je tedy (1 — j^) (to jsou první dva členy binomického rozvoje 25 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST (1 — Y^)10). Celkem dostáváme anolagicky jako v předchozím řešení odhad pravděpodobnosti 1 500 0,4514. Vidíme, že oba odhady jsou velmi blízké. Snaha použít matematických znalostí k výhře v nejrůznějších hazardních hrách je velmi stará. Podívejme se na jednoduchý příklad. 1.55. Alešovi zbylo 2500 Kč z pořádání tábora. Aleš není žádný ňou-ma: 50 Kč přidal z kasičky a rozhodl se jít hrát ruletu na automaty. Aleš sází pouze na barvu. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu je 18/37. Začíná sázet na 10 Kč a pokud prohraje, v další sázce vsadí dvojnásobek toho, co v předchozí (pokud na to ještě má, pokud ne, tak končí s hrou - byť by měl ještě peníze na nějakou menší sázku). Pokud nějakou sázku vyhraje, v následující sázce hraje opět o 10 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při tomto postupu vyhraje dalších 2550 Kč? (jakmile bude 2550 Kč v plusu, tak končí) Řešení. Nejprve spočítejme, kolikrát po sobě může Aleš prohrát. Za-číná-li s 10 Kč, tak na n vsazení potřebuje /n-l 10+20+- • -+10-2' n-l 10- £ 2' 10- w=0 2" - 1 2 - 1 10-(2"-l). Jak snadno nahlédneme, číslo 2550 je tvaru 10(2" — 1) a to pro n = 8. Aleš tedy může sázet osmkrát po sobě bez ohledu na výsledek sázky, na devět sázek by potřeboval již 10(29 — 1) = 5110 Kč a to v průběhu hry nikdy mít nebude (jakmile bude mít 5100 Kč, tak končí). Aby tedy jeho hra skončila neúspěchem, musel by prohrát osmkrát v řadě. Pravděpodobnost prohry při jedné sázce je 19/37, pravděpodbnost prohry v osmi po sobě následujících (nezávislých) sázkách je tedy (19/37)8. Pravděpodobnost, že v těchto osmi hrách vyhraje 10 Kč (při daném postupu) je tedy 1 — (19/37)8. Na to, aby vyhrál 2500 Kč, potřebuje 255 krát vyhrát po desetikoruně. Tedy opět podle pravidla součinu je pravděpodobnost výhry 1 0,29. Tedy pravděpodobnost výhry je nižší, než kdyby vsadil rovnou vše na jednu barvu. □ 1.56. Samostatně si můžete vyzkoušet spočítat předchozí příklad za předpokladu, že Aleš sází stejnou metodou jako v předchozím příkladě, končí však až v okamžiku, kdy nemá žádné peníze (pokud nemá na vsazení dvojnásobku částky prohrané v předchozí sázce, ale má ještě nějaké peníze, začíná sázet znovu od 10 Kč). Slovy to lze opět popsat tak, že pravděpodobnost výskytu všech tří jevů zároveň můžeme spočítat tak, že se nejprve zabýváme výskytem pouze prvního z nich, potom druhého za předpokladu, že první už nastal a naposledy třetího za předpokladu, že oba předešlé jevy již nastaly. Máme-li obecný počet k jevů A\, ..., Ak splňujících P(Ai n • • • n Ak) > 0, pak věta říká následující: P(Ain- • -nAjt) = P(Al)P(A2\Al)-■ .p(Ajt|Ain. • -nAjt-i). Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. 1.21. Geometrická pravděpodobnost. V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu M2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Q se známým obsahem vol Q (symbol „vol" je od anglického „volume", tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A c £2 a za jevové pole A bereme nějaký vhodný systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Q, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vybereme dvě hodnoty a < b v intervalu [0, 1] C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?". Volba čísel a, b je volbou libovolného bodu [a, b] ve vnitřku trojúhelníku Q s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (viz obrázek). 26 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.20a Úlohu si můžeme představit jako popis problému, kdy se hodně unavený účastník večírku nad ránem pokouší dvěma řezy rozdělit párek na tři díly pro sebe a své dva kamarády. Jaká je pravděpodobnost, že se na někoho dostane aspoň půlka? Odpověď je docela jednoduchá: Podobně jako u klasické pravděpodobnosti definujeme pravděpodobnostní funkci P : A -» M vztahem vol A P(A) =-, vol £2 kde A jsou podmnožiny v rovině, které odpovídají námi vybraným jevům. Potřebujeme tedy znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + ^, tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, ^], [0, 1], [j, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = \. Zkuste si samostatně odpovědět na otázku „pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina?". Metody Monte Carlo. Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě jv = 3, 1415..., která vyjadřuje poměr obsahu kruhu a druhé mocniny jeho poloměru. (Tady si také povšimněme východiska, které jsme nedokázali - proč by měl být obsah kruhu roven konstantnímu násobku druhé mocniny poloměru? Matematicky to budeme umět ukázat, až zvládneme tzv. integrování. Experimentálně si to ale můžeme ověřit níže uvedeným postupem s různými velikostmi strany čtverce.) Pokud zvolíme za Q jednotkový čtverec a za A průnik Q a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = \n. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost bodu [a, b] (určeného vygenerovanou dvojicí a, b) od počátku menší než jedna, tj. a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo ^n. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. 5. Geometrie v rovině V posledních odstavcích jsme intuitivně používali elementární pojmy z geometrie reálné roviny. Teď tf\J, budeme podrobněji zkoumat, jak se vypořádá-' vat s potřebou popisovat „polohu v rovině", resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. 1.57. Podmíněná pravděpodobnost. Nyní si procvičme tzv. „podmíněnou" pravděpodobnost (viz (??)). 1.58. Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2? Řešení. Označme jako B jev, že ani na jedné kostce nepadne dvojka, jev „padne součet 7" označme jako A. Množinu všech možných výsledků budeme značit opět jako Q. Pak \ac\b\ P(A\B) P(A n B) P (B) \b\ mi |A n b\ \b\ Číslo 7 může padnout čtyřmi různými způsoby, pokud nepadne dvojka, tedy |A n B\ = 4, \B\ = 5 ■ 5 = 25, tedy P(A\B) = —. V 1 ' 25 Všimněme si, že P(A) = ^, tedy jevy A a S jsou závislé. □ 1.59. Michal má dvě poštovní schránky, jednu na gmail.com a jednu na seznam.cz. Uživatelské jméno má stejné na obou serverech, hesla různá (ale nepamatuje si, které heslo má na kterém serveru). Při zadávání hesla při přístupu do schránky se splete s pravděpodobností 5% (tj. jestliže chce napsat zadat jemu známé slovo jako heslo, tak jej s pravděpodobností 95% skutečně správně na klávesnici zadá). Michal zadal na serveru seznam.cz jméno a heslo a server mu oznámil, že něco není vpořádku. Jaká je pravděpodobnost, že chtěl zadat správné heslo, ale pouze se „překlepnul" při zadávání? (Předpokládáme, že uživatelské jméno zadá vždy bez chyby.) Řešení. Označme A jev, že Michal fyzicky zadal na serveru seznam.cz špatné heslo. Tento jev je sjednocením dvou disjunktních jevů: A i : chtěl zadat správné heslo a přepsal se, A2 : chtěl zadat špatné heslo (to z gmail.com) a buď se přepsal nebo ne. Hledáme tedy podmíněnou pravděpodobnost P(Ai\A), ta je podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost rovna: PiAtDA) P(Ai) PÍAO P(Ai|A) = ——-- =-—— =-—-, P(A) P{AXUA2) P{Ax) + P{A2y potřebujeme tedy určit pravděpodobnosti P(A\) a P(A2). Jev A\ je konjunkcí (průnikem) dvou nezávislých jevů: Michal chtěl zadat správné heslo a Michal se při zadávání přepsal. Dle zadání je pravděpodobnost prvního z nich 1/2, druhého 1/20, celkem P{A\) = \ ■ = ^ (pravděpodobnosti násobíme, protože se jedná o nezávislé jevy). Dále je ze zadání P(A2) = \. Celkem P (A) = P(Ai) + P(A2) = 27 D. PRAVDĚPODOBNOST 5. GEOMETRIE V ROVINE _L _i_ I — 21 40 2 ~ 40 , a můžeme vyčíslit: P(Ai|A) f(Ai) P (A) i- i 40 _ 1 ?! ~ 21' 40 □ Nástrojem k tomu budou opět zobrazení, tentokrát to ale budou velice speciální pravidla přiřazující dvojicím hodnot (x, y) dvojice (w, z) = F(x, y). Zároveň půjde o předzvěst úvah z oblasti matematiky, které se říká lineární algebra a kterou se budeme podrobně zabývat v dalších třech kapitolách. Geometrická pravděpodobnost. Metodu geometrické pravděpodobnosti můžeme použít v případě, že daný základní prostor sestává z nekonečně mnoha elementárních jevů, které dohromady vyplňují nějakou oblast na přímce, rovnine, pro- 1-23. Vektorový prostor R2. Podívejme se na „rovinu" ja- storu (u které umíme určit její délku, obsah, objem, ...). Předpoklá- kožto na množinu dvojic reálných čísel (x, y) e M2. Bu- dáme, že pravděpodobnost toho, že nastane elementární jev z určité deme Jim říkat vektory v r2- Pro takové vektory umíme de" , , , „ , ,, N , finovat sčítání „po složkách", ti. pro vektory u = (x, y) a podoblasti je rovna pomeru její velikosti (délce, obsahu, ...) k velí- ^ _ ^ Jaderne kosti celého základního prostoru. 1.60. Z Těšína vyjíždí vlaky co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z tohoto směru přijíždějí také každé půl hodiny. Předpokládejme, že vlaky se mezi těmito dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychostí 72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se míjejí někde na trase. Nevyspalý hazardér Jarek si vybere jeden z těchto vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné než zmíněné vlaky na trati nejezdí.) Řešení. Vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy. Prostor všech možností je tedy interval (0, 1800 s), prostor „příznivých" možností je potom interval délky 7, 5 s ležící někde uvnitř předchozí úsečky. Pravděpodobnost uražení hlavy je tedy 7, 5/1800 = 0, 004. □ 1.61. Jednou denně někdy mezi osmou hodinou ranní a osmou hodin-nou večerní vyjíždí náhodně autobus z Koločavy do Užhorodu. Jednou denně ve stejném časovém rozmezí jezdí jiný autobus náhodně opačným směrem. Cesta tam trvá pět hodin, zpět též pět hodin. Jaká je pravděpodobnost, že se autobusy potkají, jezdí-li po stejné trase? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 12 x 12, Označíme-li doby odjezdu obou autobusů x, resp. y, pak se tyto na trase potkají právě když \x — y\ < 5. Tato nerovnost vymezuje v daném čtverci oblast „příznivých jevů". Obsah zbylé části spočítáme přímo jednodušeji, neboť je sjednocením dvou pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků o odvěsnách délky 7, tedy je roven 49, obsah části odpovídající „příznivým jevům" je tedy 144 — 49 = 95, celkem je hledaná pravděpodobnost p = = 0, 66. u + v = (x + x',y + y'). Protože pro jednotlivé složky platí všechny vlastnosti komutativní grupy, evidentně budou tyto vlastnosti platit i pro naše nové sčítání vektorů. Zejména tedy máme tzv. nulový vektor 0 = (0, 0), jehož přičtením k jakémukoliv vektoru v dostaneme opět vektor v. Záměrně teď používáme tentýž symbol 0 pro vektor i jeho skalární složky — z kontextu je vždy jasné, jakou „nulu" máme kdy na mysli. Dále definujeme násobení vektorů a skalárů tak, že pro a e M a v = (x, y) e M2 klademe a ■ v = (ax, ay). Zpravidla budeme znak • vynechávat a pouhé zřetězení znaků a v bude označovat skalární násobek vektoru. Přímo se ověří další vlastnosti pro násobení skaláry a, b a sčítání vektorů u, v, např. a (u + v) = a u+a v, (a+b)u = a u+bu, a(b u) = (ab)u, kde opět používáme stejný znak plus pro sčítání vektorů i skalárů. Tyto operace si můžeme dobře představit, jestliže uvažujeme vektory v jako šipky začínající v počátku 0 = [0, 0] a končící v bodě [x, y] v rovině. Takové šipky pak můžeme přikládat jednu - za druhou a to přesně odpovídá sčítání vektorů. Násobení skalárem a pak odpovídá natažení dané šipky na a-násobek. 28 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA I f "-v >-^> C-g— Nyní můžeme udělat podstatný krok: jestliže si zapama-í' ,. tujeme dva významné vektory e\ = (1, 0) a ej, = (0, 1), pak každý jiný vektor dostaneme jako (x, y) =xel+ye2. Výrazu napravo říkáme lineární kombinace vektoru e\ a e2. Dvojici vektorů e = (e\, e2) říkáme báze vektorového prostoru R2. Jestliže si ale vybereme jiné dva vektory u, v, které nejsou jeden násobek druhého, tj. jinou bázi v M2, budeme moci udělat totéž. Lineární kombinace w = x u + y v nám pro všechny různé dvojice (x, y) dá právě všechny vektory w v rovině. Nakonec můžeme nahlížet vektory jako naše šipky v abstraktní poloze, tj. zapomeneme na ztotožnění bodů v rovině s dvojicemi čísel. Jenom budou naše šipky všechny „upoutány" v bodě 0, který je zároveň nulovým vektorem. Zůstanou nám operace sčítání a násobení skaláry a teprve volbou báze e\, e2 ztotožníme naši rovinu šipek s R2. 1.24. Afinní rovina. Když si pevně vyvolíme nějaký vektor u s M2, můžeme jej přičítat (tj. coby šipku přikládat) k libovolnému bodu P = [x, ý]. Máme tak tedy s pevným vektorem definované posunutí, které každý bod roviny P zobrazí na P + u. □ 1.62. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. Řešení. Náhodné rozdělení tyče na tři díly je dáno dvěma body řezu, čísly x a y (nejprve tyč rozřízneme ve vzdálenosti x od počátku, nehýbeme s ní a dále ji rozřízneme ve vzdálenosti y od počátku). Pravděpodobnostní prostor je tedy čtverec C o straně 2 m. Umístíme-li čtverec C tak, aby dvě jeho strany ležely na kartézských osách v rovině, tak podmínka, že alespoň jeden díl má být nejvýše 20 cm dlouhý, nám vymezuje ve čtverci následující oblast O: O = {(x, y) e C| (x < 20) v (x > 180) v (y < 20) v (y > 180) v (I* - y|) < 20}. Jak snadno nahlédneme, zaujímá takto vymezená oblast ^ obsahu čtverce. □ 29 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE E. Geometrie v rovině 1.63. Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 — t, y = 1 + 3t, t e R. Řešení. Vektor (—1, 3) je směrovým vektorem přímky p. Proto vektor (3, 1) je jejím normálovým vektorem a obecná rovnice přímky p má tvar 3x + y + c = 0 pro jisté c e M. Tuto konstantu c určíme dosazením x = 2, y = 1 (přímka p prochází bodem [2, 1] daným volbou t = 0). Získáváme tak c = — 7 a následně výsledek 3x + y — 7 = 0. □ 1.64. Je dána přímka p : [2,0] + f (3, 2), t € R. Určete její obecnou rovnici a nalezněte průnik s přímkou q : [-1,2] + 5(1,3), s e R. Řešení. Souřadnice bodů na přímce jsou dány dle daného parametrického zadání jako x = 2 + 3ř a y = 0 + 2t. Vyloučením parametru t ze soustavy těchto dvou rovnic dostáváme obecnou rovnici přímky p: 2x - 3y - 4 = 0. Průnik s přímkou q získáme dosazením parametrického vyjádření bodů přímky q, tedy x = —1+sa.y = 2 + 3s, do obecné rovnice přímky p: 2(-l + s) -3(2 + 3^) -4 = 0, odkud s = —12/7 a dosazením do parametrického vyjádření přímky q dostáváme souřadnice průsečíku P: 19 22 P = [--,--]. 7 7 □ 1.65. Stanovte průsečík přímek p : x + y - 4 = 0, q : x = -1 + 2t, y = 2 + t, íei Řešení. Nejdříve poznamenejme, že směrovým vektorem přímky p je u p = (1,-1) (libovolný nenulový vektor kolmý k vektoru (1,1) z obecné rovnice přímky) a směrovým vektorem přímky q je uq = (2, 1). To, že vektor up není násobkem vektoru uq, pak zaručuje, že se přímky protínají (přímky nejsou rovnoběžné). Bod [x, y] je hledaným průsečíkem, právě když jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p a současně existuje reálné číslo ř, pro které x = -1 + 2ř, y = 2 + t. Dosadíme-li odsud do obecné rovnice p, obdržíme Zkusme teď úplně zapomenout na souřadnice a vnímat celou rovinu jako množinu, na které fungují naše posunutí. Takovou množinu A = R2 si můžeme představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O fco, yo] -). Předpokládejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a jenom ví, co to znamená posunout se o libovolný násobek nějakého vektoru u e R2. Takové rovině budeme říkat „afinní rovina". Aby mohl vidět kolem sebe „dvojice reálných čísel", musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne „bod [1, 0]" a jiný bod Ej_, kterému začne říkat „bod [0, 1]". Jinými slovy, zvolí si bázi e\ = (1, 0), e2 = (0, 1) mezi vektory posunutí. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí „a-krát ve směru e\" a pak ,,^-krát ve směru e2 " a takovému bodu bude říkat „bod [a, b]". Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít b-kiát ve směru e2 a pak teprve ve směru e\. To, co jsme popsali, se nazývá volba {afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a,b], kterou také budeme psát jako posunutí P — O. Budeme dále pracovat v pevně zvolených souřadnicích, tj. s dvojicemi reálných čísel, ale pro lepší orientaci budeme vektory zapisovat s kulatými závorkami místo hranatých u souřadnic bodů v afinní rovině. 30 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.24 1.25. Přímky v rovině. Když se náš pozorovatel umí posou-' „ vat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, "y>JB> co je to přímka. ,\!íf^$' Je to podmnožina p c A v rovině taková, že exis-i?S tují bod O a nenulový vektor v takové, že p = {P € A; P — O = t ■ v, t € Popišme si P = P (t) e p ve zvolených souřadnicích s volbou v = (a, P): x(t) = x0 + a ■ t, y(t) = y0+ p - t. Protože vektor v = (a, P) je nenulový, musí být aspoň jedno z čísel a, p různé od nuly. Když pro určitost předpokládáme, že třeba a / O, pak vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y a jednoduchým výpočtem dostaneme -fix + ay = -fíx0 + ay0. To je obecná rovnice přímky el.12 (1.13) ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) = (—fi, a) a směrového vektoru přímky v = (a, P) (-l+2ř)+ (2 + ř)-4 = 0. Této rovnici vyhovuje právě t = 1, což dává průsečík se souřadnicemi x = 1, y = 3. □ 1.66. Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0, a parametrickou rovnici přímky q procházející body [1, 3] a [—2, 1]. Řešení. Každá přímka rovnoběžná s přímkou x— 3 y +2 = Oje zadána rovnicí x - 3y + c = 0 pro nějaké ceM. Přímka p prochází bodem [2, 3]. Musí tedy platit 2-3-3 + c = 0, tj. c = 7. Pro přímku q lze ihned uvést její parametrické vyjádření q : [1, 3] + t (1 - (-2), 3 - 1) = [1, 3] + t (3, 2), t e R. □ 1.67. Zjistěte, zda některé z přímek pi : 2x + 3y — 4 = 0, /?2 : x — y + 3 = 0, pj, : —2x + 2y = —6, p4 : -x - | y + 2 = 0, p5 : x = 2 + í, y = -2 - í, t e M (ne)jsou totožné. Řešení. Je vidět, že -2 • {-x - l y + 2) = 2x + 3y - 4. Obecné rovnice p\ a p4 tudíž zadávají stejnou přímku. Normálový vektor přímky p\ je (2, 3), pro přímku p2 je (1, —1), pro p3 je (—2, 2) a pro p5 je (1, 1) (kolmý vektor k vektoru (1, —1)). Přímky p2 a p3 jsou rovnoběžné (normálový vektor jedné je násobkem normálového vektoru druhé). Další dvojice rovnoběžných přímek neexistují. Neboť soustava x - y + 3 = 0, -2x + 2y + 6 = 0 zjevně nemá řešení, přímky p\ a p$ tvoří jedinou dvojici totožných přímek. □ 1.68. Určete přímku p,která je kolmá k přímce q : 6x— 7y+13 = 0 a která prochází bodem [—6,7]. Řešení. Protože normálový vektor přímky q je směrový vektor přímky p, můžeme bezprostředně napsat výsledek p : x = -6 + 6t, y = 1 - It, t e R. el. 13 (1.14) aa +, □ 31 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE 1.69. Udejte příklad čísel a, b e M, pro něž je vektor u normálovým vektorem přímky AS, je-li A = [1, 2], B = [2b, b], u = (a — b, 3). Řešení. Směrovým vektorem přímky AS je (2b — \,b — 2) (tento vektor je vždy nenulový), a proto jejím normálovým vektorem je (2 — b, 2b — 1). Položíme-li 2-b = a-b, 2b -1=3, dostáváme a = b = 2. □ 1.70. Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p : 2x — y — 5 = 0, q : x + 2y — 5 = 0. Pokud se jedná o různoběžky, nalezněte souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Z obecných rovnic přímek p, q známe jejich normálové vektory (2, — 1), (1, 2). Přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor jedné násobkem normálového vektoru druhé, což zřejmě pro přímky p, q splněno není. Jde tedy o různoběžky. Průsečík nalezneme vyřešením soustavy 2x - y - 5 = 0, x + 2y - 5 = 0. Když z první rovnice vyjádříme y = 2x — 5 a dosadíme za y do druhé, získáme x + 2(2x - 5) - 5 = 0, tj. x = 3. Poté snadno určíme y = 2 • 3 — 5 = 1. Přímky se tak protínají v bodě [3, 1]. □ 2 se standardní soustavou souřadnic.' Z4 1.71. Uvažujme rovinu počátku [0, 0] je vyslán laserový paprsek ve směru (3, 1). Dopadne na zrcadlovou přímku p danou parametricky jako p: [4,3]+ř(-2, 1) a poté se odrazí (úhel dopadu je shodný s úhlem odrazu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q, danou parametricky jako q : [7,-10] +f (-1,6)? 1.25 Řešení. Směr paprsku svírá s přímkou p úhel 45°, odražený paprsek tedy bude kolmý na dopadající, jeho směrový vektor bude (1, —3) (Pozor na orientaci! Daný směrový vektor můžeme též získat například zrcadlením (osovou symetrií) podle kolmého vektoru k přímce p.) Paprsek dopadne v bodě [6,2], odražený paprsek tedy bude mít rovnici [6,2] + ř(l, -3), t > 0. Průnik přímky dané odraženým paprskem s přímkou q je bod [4, 8], což je mimo polopřímku, která je daná odraženým paprskem (t = —2). Odražený paprsek tedy přímku q neprotne. □ Výraz nalevo v rovnici přímky (1.13) můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v M, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Časem uvidíme, že vektor (a, b) je v tomto případě právě směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Proto bude směr kolmý na (a, b) právě tím směrem, ve kterém zůstává naše funkce F konstantní. Konstanta c pak určuje, kterou ze všech rovnoběžných přímek rovnice určuje. Mějme nyní dvě přímky p a q a ptejme se po jejich průniku pC\q. Ten bude popsán jako bod, splňující obě rovnice přímek současně. Pišme je takto ax + by = r d-15) ^, cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x, y] bodů P v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a F2 daných levými stranami jednotlivých rovnic (1.15). Můžeme tedy naše rovnice napsat jako jediný vztah F (v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině (v našich souřadnicích) zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zadané hodnoty w = (r, s). 1.26. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F, se kterými jsme pracovali při popisu průniku přímek, mají jednu velice podstatnou společnou vlastnost: respektují operace sčítání a násobení s vektory a skaláry, tj. respektují lineární kombinace: F (a ■ v + b ■ w) = a ■ F (v) + b ■ F(w) pro všechny a, b e M, v, w e M2. Říkáme, že F je lineárni zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 -> M2. Slovy lze podmínku také vyjádřit tak, že lineární kombinace vektorů se zobrazuje na tutéž lineární kombinaci jejich obrazů, tj. lineární zobrazení jsou ta zobrazení, která zachovávají lineární kombinace. 32 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Se stejným chovaním jsme se setkali i v rovnici (1.13) pro přímku, kde šlo o lineární zobrazení F : ť -> R a jeho předepsanou hodnotu c. To je také důvodem, proč jsou hodnoty zobrazení z = F(x, y) na obrázku vyobrazeny jako rovina v M3. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí tzv. matic a jejich násobení. Maticí rozumíme obdélníkové schéma skalárů, např. a b c d nebo v hovoříme o (čtvercové) matici A a (sloupcovém) vektoru v. Jejich násobení definujeme takto: 'a b\ íx\ íax + by^ ,c d) Vyj ~ \cx +dy A ■ v Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obr-držíme jako výsledek opět čtvercovou matici. Neumíme násobit vektor v zprava maticí A protože nám nevychází počty skalárů na řádcích v s počty skalárů ve sloupcích A. Umíme však napsat vektor y s w do řádku skalárů (tzv. transponovaný vektor) w T = (a b) a ten zprava našimi maticemi A nebo vektory v již násobit umíme. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení (propočítejte pro obecné matice A, S a vektor v detailně): (A • B) ■ v = A ■ (B ■ v). Místo vektoru v můžeme samozřejmě psát i libovolnou matici C správného rozměru. Stejně snadno je vidět i distributi-vita A - (B + C) = A - B + A - C, neplatí však komutativita a existují „dělitelé nuly". Např. 0 o)'[p l)~\0 OJ' \0 l)'[p o)~\0 Oj Zejména vidíme, že násobení vektorů pevnou maticí zadává linerání zobrazení, a naopak, pomocí hodnot lineárního zobrazení F na dvou pevných vektorech báze už dostaneme celé příslušné zobrazení. Body v rovině jsou tedy obecně vzory hodnot lineárních zobrazení F roviny do roviny, přímky jsou obecně vzory hodnot lineárních zobrazení z roviny do reálné přímky M. S maticemi a vektory umíme rovnice pro přímky a body psát w (a b) a b d Samozřejmě, ve zvláštních situacích tomu tak být nemusí. Tak třeba průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka (a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobrazení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor nuly 1.72. Z bodu [—2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1 ms"1 ve směru (3, 2) úsečka délky 1. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, —2] druhá úsečka délky 1 ve směru (—1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se? Řešení. Přímky, po kterých se pohybují dané úsečky, můžeme popsat parametrickým vyjádřením: p : [-2,0] + r(3,2), q : [5, -2]+5(-l, 1). Obecná rovnice přímky p je 2x - 3y + 4 = 0. Dosazením parametrického vyjádření přímky q získáme průsečík P = [1,2]. Nyní se snažme zvolit jediný parametr t pro obě úsečky tak, aby nám odpovídající bod na přímkách p, resp. q, popisoval polohu počátku první, resp. druhé, úsečky v čase t. V čase 0 je první úsečka v bodě [—2, 0], druhá v bodě [5, —2]. Za čas t sekund urazí první úsečka t jednotek délky ve směru (3, 2) druhá pak 2t jednotek délky ve směru (—1, 1). Odpovídající parametrizace jsou tedy p : [-2,0] + -S=(3,2), V13 [5, -2] + řV2(-l, 1). Počátek první úsečky dorazí do bodu [1, 2] v čase t\ = V13 s, počátek druhé úsečky v čase ř = 2a/2 s, tedy více než o půl vteřiny dříve. Tedy v době, kdy dorazí do průsečíku P počátek první úsečky, bude již konec druhé úsečky pryč a úsečky se tak nesrazí. □ 1.73. Rovinný fotbalista vystřelí míč z bodu F = [1, 0] ve směru (3, 4) na bránu (úsečku) ohraničenou body A = [23, 36] a B = [26, 30]. Směřuje míč do brány? Řešení. Vzhledem k tomu, že se situace odehrává v prvním kvadrantu, stačí uvažovat směrnice vektorů FA, (3,4), FB. Tvoří-li (v tomto pořadí) buďrostoucí nebo klesající posloupnost, míč směřuje na bránu. Tato posloupnost je 36/22, 4/3, 30/25, což je klesající posloupnost, míč tedy směřuje do brány. □ 1.74. Upravte (A - B)T ■ 2C ■ u, přičemž Řešení. Dosazením -2 5^ -1 1 A-B (A-B)1 -2 -1 5 1 2C '4 -4> ,8 10; 33 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE a násobením matic dostáváme -2 -1 5 1 (A - Bf ■ 2C ■ u 4 -4 8 10 -52 64 □ 1.75. Uvedte příklad matic A a B, pro něž (a) (A + B) ■ (A-B) ^ A- A-B ■ B; (b) (A + B) ■ (A + S) ^ A • A + 2A • B + B ■ B. el. 15 Řešení. Připomeňme, že uvažujeme dvojrozměrné (čtvercová^m#§ia ce A a B. Pro libovolné matice A a. B ovšem platí (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - A ■ B + B ■ A - B ■ B. Identitu (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - B ■ B tak dostaneme, právě když je —A ■ B + B ■ A nulovou maticí, tj. právě když matice A a. B komutují. Příkladem hledaných matic jsou tedy právě ty dvojice matic, které nekomutují (matice součinu se při záměně pořadí násobených matic změní). Můžeme např. zvolit l % -G í neboť při této volbě je 5\ _ /13 20N v20 13J' V5 1 Analogicky pro každou dvojici matic A, B platí (A + 5) • (A + 5) = A- A + A-B + B- A + B-B. To znamená, že (A + B) ■ (A + B) = A- A + A- B + A- B + B ■ B je splněno tehdy a jenom tehdy, když AB = B-A. Ve druhém případě jsou tak hledané dvojice matic A, B zcela totožné s případem prvním. □ A • B 1.25b 1.76. Rozhodněte, zda jsou zobrazení F, G : M —> I zeními n (x\ (2x+2y-A\ (;:(.v.) '(., 9v,3.)- lineární. Řešení. Pro libovolný vektor (x, y) el můžeme vyjádřit ' x zadaná přiřa- -2 -!)■$• c((í ? -KM 3 celou rovinu. V prvém případě to poznáme tak, že jsou nalevo v rovnicích (1.15) stejné výrazy až na skalární násobek (nebo jinak řečeno, řádky matice A jsou stejné až na skalární násobek). V takovém případě buď nebude v průniku příslušných přímek žádný bod (rovnoběžné různé přímky) nebo tam budou všechny body přímky (stejné přímky). Tuto podmínku může vyjádřit tak, že poměry a/c nb/d musí být stejné, neboli (1.16) ad — bc = 0. Všimněme si, že toto vyjádření už zahrnuje i případy, kdy c nebo d je nulové. 1.27. Determinant matice. Výrazu nalevo v (1.16) říkáme determinant matice A a píšeme pro něj det A ad — bc. Naši diskusi teď můžeme vyjádřit takto: Tvrzení. Determinant je skalární funkce det A definovaná na všech maticích A a rovnice A-v = u je jednoznačně řešitelná, právě když je det A / O. Zkuste promyslet, že pro tuto úvahu bylo podstatné, že pracujeme s polem skalárů. Například nad celými čísly obecně neplatí. Když prostě spočteme řešení rovnic s celočíselnými koeficienty (tj. matice A má pouze celočíselné vstupy), tak toto řešení celočíselné být nemusí. 1.28. Afinní zobrazení. Podíváme se, jak maticová symbolika umožňuje pracovat s jednoduchými zobrazeními v afinní rovině. Viděli jsme, že násobe-ľi. ním maticí je dáno linerání zobrazení. Posunutí v afinní rovině M2 o pevný vektor t maticové formě také snadno zapsat: (r, s) e M umíme v Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor t = (r, s), pak naše zobrazení bude mít tvar 'x\ (ax + by + rN vy) \cx +dy + sy Takto jsou popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Taková zobrazení nám umožní přepočítávání souřadnic vzniklých různými volbami počátků a bází \>, směrů pro posunutí. Co se stane, když náš pozorovatel z odstavce 1.23 bude tutéž rovinu shlížet z jiného bodu nebo si aspoň vybere jiné 2?2? Zkuste si promyslet, že na úrovni souřadnic to skutečně bude právě změna realizovaná pomocí afinního zobrazení. Časem budeme vidět obecné důvody, proč tomu tak je ve všech dimenzích. body E\ 34 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.29. Euklidovská rovina. Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Např. může věřit obvyklému vzorci pro velikost vektoru v = (a, b) \v\\ = V'a2 + b2 v jím zvolených afinních souřadnicích. Okamžitě pak můžeme definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: náš člověk se Y rozhodne o nějakých bodech E\ a E2, že jsou l-^-W/, od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech souřadných os pak jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Euklidovu (nebo Pythagorovu) větu. Odtud vyjde právě výše uvedený vzorec. o 1 Náš pozorovatel roviny může samozřejmě postupovat i jinak. Může použít nějaký standard pro skutečné měření vzdálenosti bodů P a Q v rovině a říci, že to je právě velikost vektoru Q — P, který potřebujeme na posunutí z P do Q. Pak si vybere nějaký z vektorů, které skutečně mají velikost 1 a třeba pomocí trojúhelníku o stranách s velikostmi 3, 4 a 5 zkonstruuje kolmý vektor o velikosti jedna a dále pokračuje jako výše. Odtud vyplývá, že obě zobrazení jsou afinní. Připomeňme, že afinní zobrazení je lineární, právě když se nulový vektor zobrazí sám na sebe. Neboť 3))-©- «(©)-(? zobrazení F je lineární, zobrazení G nikoli. □ 1.77. Buď dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF (vrcholy jsou označeny poradě v kladném smyslu) se středem v bodě S = [1,0] a vrcholem A = [0, 2]. Určete souřadnice vrcholu C. Řešení. Souřadnice vrcholu C získáme otočením bodu A okolo středu S šestiúhelníka o 120° v kladném smyslu: 'cos(120o) - sin(120°)N sin(120°) cos(120°) C (A — S) + S + [1,0] = [--VŠ,-1 2 □ 1.78. Buď dán rovnostranný trojúhelník s vrcholy [1, 0] a [0, 1] ležící celý v prvním kvadrantu. Určete souřadnice jeho třetího vrcholu. Řešení. Třetí souřadnice je [5 + ^, \ + ^] (otáčíme bod [1, 0] o 60° kolem bodu [0, 1] v kladném smyslu). □ 1.79. Určete souřadnice vrcholů trojúhelníka, který vznikne otočením rovnostranného trojúhelníka, jehož dva vrcholy jsou A = [1,1] a S = [2, 3] (třetí pak v polorovině dané přímkou AS a bodem S = [0, 0]) o 60° v kladném smyslu kolem bodu S. Řešení. Třetí vrchol trojúhelníka dostaneme např. otočením o 60° jednoho z vrcholů kolem druhého (ve správném smyslu). Hledané body mají pak souřadnice [— ^V3, V3 — \], [\ — ^V3, 4V3 + \], [1 - |V3, V3 + |]. □ 1.80. Určete úhel, který svírají vektory (a) u = (-3, -2), v = (-2,3); (b) u = (2, 6), v = (-3, -9). Řešení. Hledaný úhel

M2 lze vcelku snadno uhádnout: Je-li totiž výsledkem matice se sloupci (a, c) a (b, d), pak první sloupec dostaneme násobením této matice s prvním vektorem báze (1,0) a druhý je vyčíslením na druhém vektoru báze (0, 1). 36 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Z obrázku je proto vidět, že pro rotaci o úhel \jj proti směru hodinových ruček jsou v matici sloupce 'a b\ /l\ /cos i/A (a b\ Í0\ í— sini/^ , c d)[o) = \sin ý) \c d) \\) = \ cos f Směr proti směru hodinových ruček označujeme jako kladný směr rotace, opačný je pak záporný. Proto dostáváme tvrzení: «__| Matice rotace | Rotace o předem daný úhel ý v kladném směru kolem počátku souřadnic je dána maticí R^,: cos ý — sini/A (x i-> Rý - v — . Nyní, když už víme, jak vypadá matice otočení v rovině, můžeme ověřit, že otočení zachovává vzdálenosti a úhly (definované předešlým vzorcem). Označíme-li obraz vek- toru v jako R,i vx cos ý — vy sm vx sin ý + vy cos ý) ' a podobně w' = R f ■ w, pak lze snadno přepočítat, že opravdu platí llw'11 = II ^ II V'XW'X + V'yw'y = VXWX + VyWy. Předchozí výraz lze pomocí vektorů a matic napsat následovně (Rý ■ w)T(Rf ■ v) = wTv. Transponovaný vektor (R^, ■ w)T je roven wT ■ R^, kde je tzv. transponovaná matice k matici R^,. To je matice, jejíž řádky tvoří sloupce původní matice a sloupce naopak tvoří x \ / cos

oo Řešení. Nechť (x, y)T je nadále libovolný reálný vektor. Pro matici A\ dostáváme což znamená, že lineární zobrazení, které tato matice zadává, je projekce na osu x. Podobně vidíme, že matice A2 určuje zrcadlení vzhledem k ose y, protože '' ^ SH7 Matici A3 lze vyjádřit ve tvaru 'cos

2+ + u\ — 2u\V\ + v\ + u\ — 2u2v2 + v\ = (Ui + ví)2 + (u2 + v2)2 + (Ui - ví)2 + (u2 - v2)2 = \\u+v\\2 + \\u-v\\2. □ 1.88. Ukažte, že složením lichého počtu středových souměrností v rovině dostaneme opět středovou symetrii. Řešení. Středovou souměrnost v rovině se středem 5 reprezentujme předpisem X S — (X — S), neboli X h-» 25 — X. (Obraz bodu X ve středové symetrii podle středu 5 dostaneme tak, že k souřadnicím bodu 5 přičteme souřadnice vektoru opačného k vektoru X — 5.) Postupnou aplikací tří středových souměrností se středy 5, T a U tak dostáváme X h» 25 - X 2T - (25 - X) ^ 2U - (27 - (25 - X)) = 2(U -T + 5) - X, celkem X ^ 2(U - T + 5) - X, což je středová souměrnost se středem 5 — T + U. Složení libovolného lichého počtu středových souměrností tak postupně redukujeme až na složení tří středových souměrností, jde tedy o středovou symetrii (v principu se jedná o důkaz matematickou indukcí, zkuste si jej sami zformulovat). □ 1.89. Sestrojte (2n + l)-úhelník, jsou-li dány všechny středy jeho stran. 1.26c Řešení. K řešení využijeme toho, že složením lichého počtu středových souměrností je opět středová souměrnost (viz předchozí příklad). Označme vrcholy hledaného (2n + 1)-úhelníka po řadě A\, A2, ..., A2n+i a středy stran (počínaje středem strany A\A2) postupně S\, S2, ... S2n+\. Provedeme-li středové souměrnosti po řadě podle těchto středů, tak bod A\ je zjevně pevným bodem výsledné středové souměrnost, tedy jejím středem. K jeho nalezení tedy stačí provést uvedenou středovou souměrnost s libovolným bodem X roviny. Bod A i leží pak ve středu úsečky XX', kde X' je obrazem bodu X ve zmíněné řádky původní matice. Vidíme tedy, že matice otočení splňují vztah ■ Rý = I, matice / (někdy píšeme prostě 1 a máme tím na mysli jednotku v okruhu matic), je tzv. jednotková matice 'l 0^ Tím jsme odvodili pozoruhodné tvrzení — matice F s vlastností, že F ■ Rý = I (budeme takové říkat inverzní matice k matici rotace R^) je maticí transponovanou k původní. To je logické, neboť inverzní zobrazení k rotaci o úhel ý je opět rotace, ale o úhel — ý, tj. inverzní matice je rovna matici R. cos(-ý) — sin(—ý) sin(—ý) cos(-ý) cos ý sin ý - sin ý cos ý Pokud bychom chtěli zapsat rotaci kolem jiného bodu P = O + w, P = [wx, wy], opět pomocí matice, snadno napíšeme potřebný vzorec pomocí posunutí: Stačí si k tomu uvědomit, že můžeme místo rotace kolem daného bodu P napřed posunout P do našeho počátku, pak provést rotaci a pak udělat opačné posunutí, kterým celou rovinu vrátíme tam, kde měla celou dobu být, viz obrázek. Počítejme tedy \-> v — w \-> • (v — w) \-> Rf ■ (v — w) + w cos ý(x — wx) — sin \js(y sin ý(x — wx) + cos \js(y - - Wy) + WX Wy)) + Wy 1.32. Zrcadlení. Dalším dobře známým příkladem zobra-zení, která zachovávají velikosti, je tzv. zrca-^-ií";-?*''' dlení vzhledem k přímce. Opět nám bude stačit WV r popsat zrcadlení vzhledem k přímkám prochá-zejícím počátkem O a ostatní se z nich odvodí pomocí posunutí, resp. rotací. Hledejme tedy matici zrcadlení vzhledem k přímce s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel ý s vektorem (1,0). Nejprve si uvědomme, že 7 - í1 ° z°-lo -1 38 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA l /VO D ? U /1 o -by f ö_n Obecně můžeme každou přímku otočit do směru vektoru (1,0) a tedy zapsat obecnou matici zrcadlení jako = ■ Zq ■ R-,/,, kdy nejprve otočíme maticí přímku do „nulové" polohy, odzrcadlíme maticí Z0 a vrátíme zpět otočením R^,. Můžeme proto (díky asociativitě násobení matic) spočíst: 'cos ý —sinÝ ^ 'sin i/r cos Videos ý sin ý sin ý —cos ý 'cos2 ý — sin2 ý 2 sin ý cos ý 'coslifr sin2i/f sin 2^ — cos 2^ 1 0 \ / cos ý sin ý 0 — ly sin i/r cos ý cos ý sin ý - sin i/f cos ý 2 sin i/f cos ý (cos2 i/f — sin2 ý) Použili jsme přitom obvyklé součtové vzorce pro goniometrické funkce. Povšimněme si také, že • Z0 je dáno: cos2i/f sin2i/f sin2i/f — cos2i/f 1 0 0 -1 cos2i/f — sin2i/f sin2i/f cos2i/f Toto pozorování lze zakreslit a zformulovat následovně * A' 61 2 ■ středové symetrii. Další vrcholy A2, ..., A2n+i získáme zobrazováním bodu A\ ve středových souměrnostech podle S\, . . . , S2n+\. □ 1.90. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li A = [-8, 1], B = [-2,0], C = [5,9]. Řešení. Víme, že obsah je roven polovině determinantu matice, jejíž první sloupec je dán vektorem B—Au druhý sloupec vektorem C —A, tj. determinantu matice -2-(-8) 5-(-8)N 0-1 9-1 Jednoduchý výpočet tak dává výsledek I ((_2 - (-8)) . (9 - 1) - (5 - (-8)) • (0 - 1)) Dodejme, že při záměně pořadí vektorů by hodnota determinantu měla opačné znaménko (její absolutní hodnota by tedy zůstala stejná) a že by se vůbec nezměnila, kdybychom vektory (při zachování pořadí) napsali do řádků. □ 1.91. Spočtěte obsah S čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [1, 1], [6, 1], [11, 4], [2,4]. Řešení. Nejprve si označme vrcholy (proti směru pohybu hodinových ručiček) A = [1,1], S = [6,1], C = [11, 4], D = [2, 4]. Pokud rozdělíme čtyřúhelník ABC D na trojúhelníky ABC a ACD, můžeme získat jeho obsah jako součet obsahů těchto trojúhelníků, a to vyčíslením determinantů 6-1 11-1 dl ~ i _ i 4_i 11 4 - - 1 1 5 10 0 3 10 1 3 3 kde ve sloupcích jsou postupně vektory B —A, C —A (pro d\) a C — A, D — A (pro d2). Potom 21. c _ , w) takto definovaného trojúhelníku A(i>, w), kde si pro určitost za P volíme počátek a posunutím se obsah stejně nemění. Ze zadání je vidět, že hledaná hodnota je polovinou plochy rovnoběžníku nataženého na vektory v a w a snadno se spočte (pomocí známého vzorečku: základna krát příslušná výška) nebo prostě vidí z obrázku, že nutně platí vol A(i> + v', w) = vol A(i>, w) + vol A(i/, w) vol A(av, w) = a vol A(v, w). -1 0 3 — Tt 5 — Tt 1 \ O Nakonec ještě přidáme k našemu zadání požadavek vol A(v, w) = — vol A(w, v), který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory (tj. jestli se na ni díváme shora nebo zespodu). Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) i—> det A splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou bázových vektorů e\ = (1,0) a e2 = (0,1) a díky linearitě je tedy každá možnost pro vol A jednoznačně určena už vyčíslením na těchto vektorech. Protože ale pro obsah, stejně jako pro determinant, je zjevně vol A(ei, e\) = vol A(e2, e2) = 0 (kvůli požadované antisymetrii), je nutně každá taková skalární funkce jednoznačně zadána hodnotou na jediné dvojici argumentů (e\, e2). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem 1 vol A(e\, e2) = -, 0 -2 5 — Tt 6 — Tt -2 -5 - Tt —Tt 2- 3 3-3 1 - (7t - 2) 3 - (7t - 2) -1-(5-tt)-0<0. Tato strana je tudíž vidět. Zbývají strany CD a D A. Pro ně dostáváme po řadě 3- 3 1-3 3 - (tt - 2) 4 - (tt - 2) 0 - (-2) • (5 - Tt) > 0, 1-3 -2-3 4 - (tt - 2) -2 - (tt - 2) -2 • (-tt) - (-5) • (6 - Tt) >0. Z bodu X jsou tedy vidět právě strany určené dvojicemi vrcholů [-2,-2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3]. □ 1.95. Uvedte strany pětiúhelníku s vrcholy v bodech [—2, —2], [-2,2], [1,4], [3,1] a [2,-11/6], které je možné vidět z bodu [300, 1]. Řešení. Pro zjednodušení zápisů „tradičně" položme A = [—2, —2], B = [2, —11/6], C = [3,1], D = [1,4], £" = [-2,2]. Strany BC a CD jsou zjevně z pozice bodu [300, 1] viditelné; naopak strany DE a E A být vidět nemohou. Pro stranu AB raději určeme -2-300 2^300 =_302.(_¥)_(_298).(_3)<0. Z 1 6 1 Odsud plyne, že tato strana je z bodu [300, 1] vidět. □ 1.96. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy A = [5, 6], B = [7, 8], C = [5, 8]. Určete, které jeho strany je vidět z bodu P = [0, 1]. Řešení. Uspořádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ručiček: [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí příslušných determinantů určíme, je-li bod [0, 1] „nalevo" či „napravo" od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orientované úsečky, > 0, B - P 1 7 C - P 5 7 A - P 5 5 B - P 7 7 C - P 5 7 A - P — 5 5 < 0. Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na přímce, stranu A B tedy nevidíme. Stranu BC rovněž tak nevidíme, na rozdíl od strany A C, pro kterou je příslušný determinant záporný. □ 1.97. Určete, které strany čtyřúhelníka s vrcholy A = [95, 99], B = [130, 106], C = [40, 60], D = [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0]. 41 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení. Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelníka („správné" pořadí vrcholů): ACBD. Po spočítání příslušných determinantů jako v předchozích příkladech zjistíme, že je vidět pouze strana CB. □ F. Zobrazení a relace 1.29 1.98. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence: i) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(0). ii) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(l). iii) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají. iv) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovnoběžné. v) M = N, kde (m ~ n), pokud S(m) + S(n) = 20, přičemž S(n) značí ciferný součet čísla n. vi) M = N, kde (m ~ n), pokud C(m) = C(n), kde C(n) = S(n), pokud je ciferný součet S(n) menší než 10, jinak definujeme C(n) = C(S(n)) (je tedy vždy C(n) < 10). Řešení. i) Ano. Ověříme tři vlastnosti ekvivalence: i) Reflexivita: pro libovolnou reálnou funkci / je /(O) = /(O). ii) Symetrie: jestliže platí /(O) = g(0), pak i g(0) = f(0). iii) Tranzitivita: jestliže platí /(O) = g(0) a g(0) = h(0), pak platí i /(O) = A(0). ii) Ne. Definovaná relace není reflexivní, např pro funkci sin máme sin 0 ^ sin 1 a není ani tranzitivní. iii) Ne. Relace opět není reflexivní (každá přímka protíná sama sebe) ani tranzitivní. iv) Ano. Třídy ekvivalence pak tvoří množinu neorientovaných směrů v rovině. v) Ne. Relace není reflexivní. 5(1) + 5(1) = 2. vi) Ano. tj. volíme orientaci a měřítko pomocí volby bázových vektorů a chceme aby jednotkový čvtverec měl plochu jedna. Vidíme tedy, že determinant zadává plochu rovnoběžníku určeného sloupci matice A a plocha trojúhelníku je tedy poloviční. 1.35. Viditelnost v rovině. Předchozí popis hodnot pro orientovaný obsah nám dává do rukou elegantní nástroj pro určování pozice bodu vůči orientovaným úsečkám. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v rovině R2 s určeným pořadím. Můžeme si ji představit jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim „levou" a „pravou". Pro daný bod chceme poznat, jestli je v té levé nebo pravé. Takové úlohy často potkáváme v počítačové grafice při řešení viditelnosti objektů. Pro zjednodušení si zde jen představme, že úsečku „je vidět" z bodů napravo a není vidět z těch nalevo (což odpovídá představě, že objekt ohraničený orientovanými hranami proti směru hodinových ručiček má nalevo od nich svůj vnitřek, přes který tedy není hranu vidět), obraázekje naopak! Máme-li dán nějaký bod C, spočtěme orientovanou plochu příslušného trojúhelníku zadaného vektory A — C a B — C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsečky, pak při obvyklé kladné orientaci proti směru hodinových ruček bude vektor A — C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu matice jejímiž sloupci jsou tyto dva vektory) bude kladná. Naopak, při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota determinantu a podle záporné hodnoty determinantu zjistíme, že je náš bod od úsečky napravo. Uvedený jednoduchý postup je skutečně často využíván pro testování polohy při standardních úlohách v 2D grafice. □ 1.99. Máme množinu {3, 4, 5, 6, 7}. Napište explicitně relaci i) a dělí b ii) a dělí b nebo b dělí a iii) a a b jsou soudělná 1.100. Nechť je na R2 definována relace R tak, že ((a, b), (c, d)) e R pro libovolná a, b, c, d e R, právě když b = d. Zjistěte, z|da.SeO 6. Relace a zobrazení V této závěrečné části úvodní motivační kapitoly se vrátíme k formálnímu popisu matematických struktur, budeme se je ale průběžně snažit ilustrovat na již známých příkladech. Zároveň můžeme tuto část brát jako cvičení ve formálním přístupu k objektům a konceptům matematiky. 42 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.36. Relace mezi množinami. Nejprve potřebujeme definovat kartézský součin A x B dvou množin A a B. Je to množina všech uspořádaných dvojic (a, b) takových, že a e A a b e B. Binární relací mezi množinami Aafi pak rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu A x 5. Často píšeme a ~R b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) e R, tj. že body a e A a & e 5 jsou v relaci i?. Definičním oborem relace je podmnožina Z) c A, D = {a € A; 3b e B, (a, b) e R}. Slovy vyjádřené, je to množina prvků a z množiny A takových, že existuje prvek b z množiny S tak, že (a, b) patří do relace R. Stručněji, jsou to takové prvky z A, které mají obraz v B. Podobně oborem hodnot relace je podmnožina I c 5, 7 = {ŕ e S; Ba e A, (a, ŕ) e i?}, to znamená takové prvky v S, které mají vzor v A. Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do množiny B. Je to případ, kdy pro každý prvek definičního oboru re-i^r^^ä lace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobrazení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních f uncí zavedli. Píšeme /:DCA^/CS, f (a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení / v bodě a. Dále říkáme, že / je • zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, • zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení • prosté (často také injektivní zobrazení), jestliže je D = A a pro každé bel existuje právě jeden vzor a e A, f (a) = b. Vyjádření zobrazení / : A -» B jakožto relace /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} známe také pod názvem graf zobrazení f. jedná o relaci ekvivalence. Pokud jde o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Řešení. Z ((a, b), (a, b)) e R pro všechna a, b e M plyne, že relace je reflexivní. Stejně snadno vidíme, že relace je symetrická, neboť v rovnosti (druhých složek) můžeme zaměnit levou a pravou stranu. Je-li ((a, b), (c, d)) e R a ((c, ď), (e, f)) e R, tj. platí-li b = d ad = f, lehce dostáváme splnění tranzitivní podmínky ((a, b), (e, /)) e R, tj. b = f. Relace R je relací ekvivalence, kdy body roviny jsou spolu v relaci, právě když mají stejnou druhou souřadnici (přímka jimi zadaná je kolmá na osu y). Příslušný rozklad proto rozdělí rovinu na přímky rovnoběžné s osou x. □ 1.101. Určete, kolik různých binárních relací lze zavést mezi množinou X a množinou všech jejích podmnožin, má-li množina X právě 3 prvky. Řešení. Nejprve si uvědomme, že množina všech podmnožin X má 23 = 8 prvků, a tudíž její kartézský součin s množinou X má 8 • 3 = 24 prvků. Uvažovanými binárními relacemi jsou právě podmnožiny tohoto kartézského součinu, kterých je celkem 224. □ 1.102. Uvedlte definiční obor D a obor hodnot I relace R = {(a, v), (b, x), (c, x), (c, u), (d, v), (/, y)} mezi množinami A = {a, b, c, d, e, f) a B = {x, y, u, v, w}. Je relace R zobrazení? Řešení. Přímo z definice definičního oboru a oboru hodnot relace dostáváme D = {a, b, c, d, f} C A, I = {x, y, u, v} C B. Nejedná se o zobrazení, protože (c, x), (c, u) e i?, tj. c e Z) má dva obrazy. □ 1.103. O každé z následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda se jedná o relaci uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání): Ra = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)}, Rh = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (a, d)}, Rc = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d)}, Rd = { (a, a), (b,b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}, Re = { (a ,a), (b,b), (c , c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c,d)}. Řešení. Ra je uspořádání, které není úplné (např. (a, c) <£ Ra ani (c, a) £ Ra). Relace Rh není antisymetrická (je totiž (a, d) e Rh i 43 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ (d, a) € R],), a tudíž se nejedná o uspořádání (jde o ekvivalenci). Relace Rc a Rd rovněž nejsou uspořádáními, protože nejsou tranzitivní (např. (a,b),(b,c) e Rc, Rd, (a, c) £ Rc, Rd) a dokonce ani reflexivní {{d, d) <£ Rc, (d, d) £ Rd). Relace Re je úplné uspořádání (pokud budeme (a, b) e R interpretovat jako a < b, pak a < b < c < d). □ 1.104. Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní, resp. surjektivní, jestliže (a) / : Z x Z -» Z, f((x, y)) = x + y - 10x2; (b) / : N -» N x N, f (x) = (2x, x2 + 10) . Řešení. Ve variantě (a) je uvedeno surjektivní zobrazení (postačuje položit x = 0), které není injektivní (stačí zvolit (x, y) = (0, —9) a (x, y) = (1, 0)). Ve variantě (b) se naopak jedná o injektivní zobrazení (obě jeho složky, tj. funkce y = 2x a y = x2 + 10, jsou evidentně rostoucí na N), které není surjektivní (např. dvojice (1, 1) nemá vzor). 1.105. Stanovte počet zobrazení množiny {1, 2} do množiny {a, b, c}. Kolik z nich je surjektivních a kolik injektivních? Řešení. Prvku 1 můžeme v rámci zobrazení přiřadit libovolně jeden ze tří prvků a, b, c. Podobně také pro prvek 2 máme tři možnosti. Podle (kombinatorického) pravidla součinu tak existuje celkem 32 zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c}. Surjektivní žádné z nich být nemůže, neboť konečná množina {a, b, c} má více prvků než množina {1, 2}. Při libovolném zobrazení prvku 1 (tři možnosti) obdržíme injektivní zobrazení, právě když prvek 2 zobrazíme na jiný prvek (dvě možnosti). Vidíme tedy, že injektivních zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c} je 6. □ 1.106. Určete počet injektivních zobrazení množiny {1,2,3} do množiny {1, 2, 3, 4}. Řešení. Libovolné injektivní zobrazení mezi uvažovanými množinami je dáno výběrem (uspořádané) trojice z množiny {1,2,3,4} (prvky ve vybrané trojici budou po řadě obrazy čísel 1, 2, 3) a obráceně každé injektivní zobrazení nám zadává takovou trojici. Je tedy hledaných injektivních zobrazení stejně jako možností výběru uspořádaných trojic ze čtyř prvků, tedy v(3, 4) = 4 • 3 • 2 = 24. □ 1.107. Určete počet surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3, 4} na množinu {1, 2, 3}. Řešení. Hledaný počet určíme tak, že od počtu všech zobrazení odečteme ta, která nejsou surjektivní, to jest ta, jejichž obor hodnot je buď jednoprvkovou nebo dvouprvkovou množinou. Všech zobrazení 1.37. Skládání relací a funkcí. U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li dvě zobrazení / :A^-8a g : B -> C, pak jejich složení g o f : A -> C je definováno (g o f)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} g^BxC, g = {(b, g(b))\ b e B} gof^AxC, gof = {(a,g(f(a)))-aeA}. Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předchozích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny „vzory" a "jh\k všechny „obrazy". Uvažme relace R c A x B, ^3%^- 5 c S x C. Potom S o Ä c A x C, S o R = {(a, c); 3b e B, (a, b) e R, (b, c) e 5}. Zvláštním případem relace je identické zobrazení iáA = {(a, a) e A x A; a e A] na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání s každou relací s definičním oborem nebo oborem hodnot A. 44 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Pro každou relaci i? c A x S definujeme inverzní relaci R-1 = {(b, a); (a, b) e R] c B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho in-vezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b e B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obražení, u obecných relací tomu tak být nemusí. 1.38. Relace na množině. V případě A = B hovoříme o relaci na množině A. Říkáme, že relace R je: • reflexivní, pokud idA c R, tj. (a, a) e R pro všechny a e A, • symetrická, pokud R~ľ = R, tj. pokud (a, b) e R, pak i (b, a) e R, • antisymetrická, pokud R~ľr\R c idA, tj. pokud (a, b) e R a zároveň (b, a) e R, pak a = b, • tranzitivní, pokud R o R c i?, tj. pokud z (a,b) e i? a (&, c) eií vyplývá i (a, c) e i?. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspořádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Relaci uspořádání obvykle značíme symbolem <, tj. skutečnost, že prvek a je v relaci s prvkem b, značíme a < b. je V (3, 4) = 34, zobrazení, jejichž oborem hodnot je jednoprvková množina, jsou tři. Počet zobrazení, jejichž oborem hodnot je dvouprvková množina, je (^) (24 — 2) ((^) způsoby můžeme vybrat obor hodnot a máme-li již dva prvky fixovány, máme 24 — 2 možností, jak na ně zobrazit čtyři prvky). Celkem je tedy počet hledaných surjektivních zobrazení (1.3) 34- í^)(24 - 2)- 3 = 36. □ 1.108. Určete počet surjektivních zobrazení / množiny {1,2,3,4,5} na množinu {1,2,3} takových, že /(l) = f (2). Řešení. Každé takové zobrazení je jednoznačně dáno obrazem prvků {1, 3, 4, 5}, těchto zobrazení je tedy přesně tolik, kolik je zobrazení surjektivních zobrazení množiny {1, 3, 4, 5} na množinu {1, 2, 3}, tedy 36, jak víme z předchozího příkladu. □ 1.109. Hasseův diagram uspořádání. Hasseův diagram daného uspořádání < na n -prvkové množině M je diagram s n vrcholy (každý vrchol odpovídá právě jednomu prvku množiny), přičemž dva vrcholy (prvky) a, b jsou spojeny (víceméně svislou) čarou (tak, že a je „dole" a b „nahoře"), právě když b pokrývá a, tj. a < ba. neexistuje c e M tak, že a < c & c < b. 1.110. Určete počet relací uspořádání na čtyřprvkové množině. Řešení. Postupně projdeme všechny možné Hasseovy diagramy uspořádání na nějaké čtyřprvkové množině M a spočítáme, kolik různých uspořádání (tj. podmnožin množiny M x M) má daný Hasseův diagram, viz obr.: A "V . \ f v • ] Ĺ 1 2 Y k é h l Z v í' Celkem tedy je 219 uspořádání na čtyřprvkové množině. □ 1.111. Určete počet relací uspořádání množiny {1, 2, 3, 4, 5} takových, že právě dvě dvojice prvků jsou nesrovnatelné. 1.112. Vypište všechny relace na dvouprvkové množině {1, 2}, jež současně nejsou reflexivní, jsou symetrické a nejsou tranzitivní. Řešení. Reflexní relace jsou právě ty, které obsahují obě dvojice (1, 1), (2, 2). Tím jsme vyloučili relace 45 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ {(1,1), (2, 2)}, {(1,1), (2, 2), (1,2)}, {(1,1), (2, 2), (2,1)}, {(1,1), (2, 2), (1,2), (2, 1)}. Zbývající relace, které jsou symetrické a nejsou tranzitivní, musejí obsahovat (1, 2), (2, 1). Pokud taková relace obsahuje jednu z těchto dvou uspořádaných dvojic, musí obsahovat rovněž druhou (podmínka symetrie). Kdyby neobsahovala ani jednu z těchto dvou uspořádaných dvojic, pak by očividně byla tranzitivní. Z celkového počtu 16 relací na dvouprvkové množině jsme tak vybrali {(1,2), (2,1)}, {(1,2), (2,1), (1,1)}, {(1,2), (2,1), (2, 2)}. Je vidět, že každá z těchto 3 relací není reflexivní, je symetrická a není tranzitivní. □ 1.113. Určete počet relací ekvivalence na množině {1, 2, 3, 4}. Řešení. Ekvivalence můžeme počítat podle toho, kolik prvků mají jejich třídy rozkladu. Pro počty prvků tříd rozkladu ekvivalencí na čtyř-prvkové množině jsou tyto možnosti: Počty prvků ve třídách rozkladu počet ekvivalencí daného typu 1,1,1,1 1 2,1,1 0 2,2 3,1 (í) 4 1 Celkem tedy máme 15 různých ekvivalencí. □ Poznámka. Obecně počet tříd rozkladu n -prvkové množiny udává Bellovo číslo Bn+k, pro které lze odvodit rekurentní formuli n Bn + \ = J2 ("k)Bk- k=0 1. 33 1.114. Kolik existuje relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace je libovolná podmnožina kartézského součinu množiny se sebou samou. Tento kartézský součin má n2 prvků, a je tedy počet všech relací na n -prvkové množině 2" □ 1.115. Kolik existuje reflexivních relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je reflexivní, právě když je diagonální relace AM = {(a, a), kde a e M} j ej í podmnožinou. U zbylých n2—n uspořádaných dvojic v kartézském součinu M x M máme nezávislou volbu, jestli daná dvojice v dané relaci bude či ne. Celkem tedy máme 2" " různých reflexivních relací na n -prvkové množině. □ 1.116. Kolik existuje symetrických relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je symetrická, právě když je její průnik s každou množinou {(a,b), (b, a), kde a ^ b, a, b e M} buď Zde je dobré si uvědomit, že relace <, tj. „býti ostře menší než", mezi reálnými (racionálními, celými, přirozenými) čísly není relace uspořádání, protože není reflexivní. Dobrým příkladem uspořádání je inkluze. Uvažme množinu 2A všech podmnožin konečné množiny A (značení je speciálním případem obvyklé notace BA pro množinu všech zobrazení z A do B; prvky množiny 2A jsou tedy zobrazení A -» {0, 1}, které "říkají", zda určitý prvek je či není v dané podmnožině). Na množině 2A máme relaci c danou vlastností „být podmnožinou". Je tedy X c Z právě, když je X podmnožinou v Z. Evidentně jsou přitom splněny všechny tři vlastnosti pro uspořádání: skutečně, je-li X c Y a zároveň Y c X musí být nutně množiny X a Y stejné. Je-li X c Y c Z je také X c Z a také reflexivita je zřejmá. Říkáme, že uspořádání < na množině A je úplné, když pro každé dva prvky a, b e A platí, že jsou srovnatelné, tj. buď a < b nebo b < a. Všimněme si, že ne všechny dvojice (X, Y) podmnožin v A jsou srovnatelné v tomto smyslu. Přesněji, pokud je v A více než jeden prvek, existují podmnožiny X a Y, kdy není ani X c Y ani ľcl Připomeňme rekurentní definici přirozených čísel N = {0, 1,2,3, ...}, kde 0 = 0, n + 1 = {0, 1,2, ...,n}. Na této množině N definujeme relaci < následovně: m < n, právě když m e n nebo m = n. Evidentně jde o úplné uspořádání. Např. 2 < 4, protože 2 = {0, {0}} s {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}} = 4. Jinak řečeno, samotná rekurentní definice zadává vztah n < n + 1 a tranzitivně pak n < k pro všechna k, která jsou tímto postupem definována později. 1.39. Rozklad podle ekvivalence. Každá ekvivalence R na množině A zadává zároveň rozklad množiny % A na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy ekvivalence. Pro libovolné a e A uvažujeme třídu (množinu) prvků, které jsou ekvivalentní s prvkem a, tj. Ra = {b e A; (a,b) e R}. Často budeme psát pro Ra prostě [a], je-li z kontextu zřejmé, o kterou ekvivalenci jde. Zjevně Ra = Rh, právě když (a, b) e R a každá taková třída ekvivalence je tedy reprezentována kterýmkoli v svým prvkem, tzv. reprezentantem. Zároveň Ra n Rh ^ 0, právě když Ra = Rh, tj. třídy ekvivalence jsou po dvou disjunktní. Konečně, A = UaeARa, tj. celá množina A se skutečně rozloží na jednotlivé třídy. Můžeme také třídám rozkladu rozumět tak, že třídu [a] vnímáme jako prvek a „až na ekvivalenci". 46 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1. 34 1.40. Konstrukce celých a racionálních čísel. Na přiroze- fných číslech umíme sice sčítat a víme, že přičtením nuly se číslo nezmění. Umíme i definovat odečítání, " při něm ale jen někdy existuje výsledek v množině N. Základní ideou konstrukce celých čísel z přirozených je tedy přidat k nim chybějící rozdíly. To můžeme udělat tak, že místo výsledku odečítání budeme pracovat s uspořádanými dvojicemi čísel, které nám samozřejmě vždy výsledek dobře reprezentují. Zbývá jen dobře definovat, kdy jsou (z hlediska výsledku odečítání) takové dvojice ekvivalentní. Potřebný vztah tedy je: (a,b) ~ (a',b') <í=^ a-b=a'-ť <í=^ a+ť = a'+b. Všimněme si, že zatímco výrazy v prostřední rovnosti v přirozených číslech neumíme, výrazy vpravo už ano. Snadno ověříme, že skutečně jde o ekvivalenci a její třídy označíme jako celá čísla Z. Na nich definujeme operaci sčítání (a s ní i odečítání) pomocí reprezentantů. Např. [(a,b)] + [(c,d)] = [(a + c,b + d)], což zjevně nezávisí na výběru reprezentantů. Lze si přitom vždy volit reprezentanty (a, 0) pro kladná čísla a reprezentanty (0,a) pro čísla záporná, se kterými se nám bude patrně počítat nejlépe. Tento jednoduchý příklad ukazuje, jak důležité je umět nahlížet na třídy ekvivalence jako na celistvý objekt a soustředit se na vlastnosti těchto objektů, nikoliv formální popisy jejich konstrukcí. Ty jsou však důležité k ověření, že takové objekty vůbec existují. U celých čísel nám už platí všechny vlastnosti skalárů (KG1)-(KG4) a (01)-(04), viz odstavce 1.1 a 1.3. Pro násobení je neutrálním prvkem jednička, ale pro všechna čísla a různá od nuly a jedničky neumíme najít číslo a~l s vlastností a ■ a~l = 1, tzn. chybí nám inverzní prvky pro násobení. Zároveň si povšimněme, že platí vlastnost oboru integrity (Ol), viz 1.3, tzn. je-li součin dvou čísel nulový, musí být alespoň jedno z nich nula. Díky poslední jmenované vlastnosti můžeme zkonstruovat racionální čísla Q přidáním všech chybějících inverzí zcela obdobným způsobem, jak jsme konstruovali Z z množiny N. Na množině uspořádaných dvojic (p, q),q ^ 0, celých čísel definujeme relaci ~ tak, jak očekáváme, že se mají chovat podíly p Iq: (p, q) ~ (p', q') p Iq = p'/q' p ■ q' = p' ■ q. Opět neumíme očekávané chování v prostřední rovnosti v množině Z formulovat, nicméně rovnost na pravé straně ano. Zjevně jde o dobře definovanou relaci ekvivalence (ověřte podrobnosti!) a racionální čísla jsou pak její třídy ekvivalence. Když budeme formálně psát p/q místo dvojic (p, q), budeme definovat operace násobení a sčítání právě pomocí formulí, které nám jsou jistě dobře známy. celá daná dvouprvková množina, nebo je tento průnik prázdný. Dvouprvkových podmnožin množiny M je Q) a pokud kromě průniků s těmito množinami ještě určíme průnik dané relace s diagonální relací AM = {(a, a), kde a e M}, je tímto daná relace jednoznačně určena. Celkem můžeme provést ("2) + n nezávislých voleb mezi dvěma alternativami: každá množina typu {(a, b), (b, á)\kde a, b e M, a ^ b} je buď podmnožinou dané relace, nebo ani jeden z jejich prvků v dané relaci neleží a každá dvojice (a, a), a e M, potom také buď v relaci leží nebo ne. Celkem tedy máme 2®+" symetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.117. Kolik existuje antisymetrických relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je antisymetrická, právě když její průnik s každou množinou {(a, b), (b, a)} a ^ b, a, b e M není dvoj-prvkový (jsou tedy tři možnosti jak průnik vypadá, buďje to množina {(a,b)}, nebo {(b,a)}, nebo je průnik prázdný). Průnik s diagonální relací pak může být libovolný. Určením těchto všech průniků je relace jednoznačně určena. Celkem máme 3(2)2" antisymetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.118. Určete počet relací na množině {1,2,3,4}, které jsou současně symetrické i tranzitivní. 1.119. Určete počet relací uspořádání na tříprvkové množině. 1.120. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4} takových, že prvky 1 a 2 jsou nesrovnatelné (tedy neplatí 1 < 2 ani 2 < 1, kde < je označení uvažované relace uspořádání). 1.121. Nechť pro libovolná celá čísla k, l platí (k,l) e R právě tehdy, když je číslo 4k — 41 celočíselným násobkem 7. Je takto zavedená relace R ekvivalence, uspořádání? Řešení. Uvědomme si, že dvě celá čísla jsou spolu v relaci R, právě když dávají stejný zbytek po dělení 7. Jde tedy o příklad tzv. zbytkové třídy celých čísel. Proto víme, že relace R je relací ekvivalence. Její symetrie (např. (3, 10), (10, 3) e Ä, 3 / 10) pak implikuje, že se nejedná o uspořádání. □ 1.122. Nechť je na množině = {3, 4, 5, ... ,n,n + 1, ...} definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo). Zjistěte, zdaje tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní. Řešení. Pro dvojici stejných čísel platí, že(n,n) £ R. Nejedná se tedy o reflexivní relaci. Být „soudělný" nebo „nesoudělný" pro dvojici čísel 47 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ z N je zřejmě vlastnost neuspořádané dvojice - nezávisí na uvedeHéftB pořadí uvažovaných čísel, a proto je relace R symetrická. Ze symetrie relace R plyne, že není antisymetrická (např. (3,5) e R, 3 ^ 5). Neboť je i? symetrická a (n, n) £ R pro libovolné číslo n e N, volba dvou různých čísel, která jsou spolu v této relaci, dává, že R není tranzitivní. lem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Zjfc. Nejjednodušší je tato procedura pro k = 2. To dostáváme Z2 = {0, 1}, kde nula reprezentuje sudá čísla, zatímco jednička čísla lichá. Opět lze snadno zjistit, že pomocí reprezentantů můžeme koerektně definovat násobení a sčítání na každém Z^. Věta. Zbytkové třídy Z^ jsou komutativním tělesem skalárů (tj. splňují i vlastnost (P) z odstavce 1.3), právě když je k prvočíslo. Pokud k prvočíslem není, obsahuje Z vždy dělitele nuly, není proto ani obor integrity. Důkaz. Okamžitě je vidět druhé tvrzení — jestliže x ■ y = k pro přirozená čísla x, y, pak samozřejmě je výsledek násobení příslušných tříd [x] ■ [y] nulový. Naopak, jsou-li x a k nesoudělná, existují podle tzv. Bez-outovy rovnosti, kterou dovodíme později (viz ??) přirozená čísla a a b splňující a x + b k = 1, což pro odpovídající třídy ekvivalence dává [a] ■ [x] + [0] = [a] ■ [x] = [1] a proto je [a] inverzním prvkem k [jc]. □ 48 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA G. Doplňující příklady k celé kapitole 1.123. Setkání se zúčastnilo šest mužů. Pokud si všichni navzájem potřásli rukama, vyčíslete počet potřesení. Řešení. Počet potřesení rukou zřejmě odpovídá počtu způsobů, jak lze vybrat neuspořádanou dvojici ze 6 prvků, tj. výsledek je c (6, 2) = (^) = 15. □ 1.124. Určete, kolika způsoby lze z 15 poslanců vybrat čtyřčlennou komisi, není-li možné, aby jistí 2 poslanci pracovali spolu. Řešení. Výsledek je = 1287. Obdržíme ho tak, že nejprve určíme počet všech možných výběrů čtyřčlenné komise, potom od něj odečteme počet těch výběrů, kdy oba zmínění poslanci budou vybráni (v takovém případě vybíráme pouze 2 další členy komise ze 13 poslanců). □ 1.125. Kolika způsoby můžeme rozdělit 8 žen a 4 muže do 2 šestičlenných skupin (v nichž nerozlišujeme pořadí - jsou neuspořádané) tak, aby v obou skupinách byl alespoň 1 muž? Řešení. Rozdělení 12 osob do 2 šestičlenných skupin bez jakýchkoli podmínek je dáno libovolným výběrem 6 z nich do první ze skupin, což lze provést (12) způsoby. Skupiny ale nejsou rozlišitelné (nevíme, která z nich je první), a proto je počet všech možných rozdělení ^ • (12). V (^j případech pak budou všichni muži v jedné skupině (volíme 2 ženy z 8, které skupinu doplní). Správná odpověď j e tudíž \ ■ O - (l) = 434. □ 1.126. Jaký je počet čtyřciferných čísel složených z číslic 1, 3, 5, 6, 7 a 9, ve kterých se žádná z cifer neopakuje? Řešení. K dispozici máme šest různých číslic. Ptáme se: Kolik různých uspořádaných čtveřic z nich můžeme vybrat? Výsledek je proto v (6, 4) = 6 • 5 • 4 • 3 = 360. □ 1.127. Řecká abeceda se skládá z 24 písmen. Kolik různých slov majících právě pět písmen z ní lze utvořit? (Bez ohledu na to, zda tato slova mají nějaký jazykový význam.) Řešení. Pro každou z pěti pozic ve slově máme 24 možností, neboť písmena se mohou opakovat. Výsledek je tedy V (24, 5) = 245. □ 1.128. K vytrvalostnímu závodu, v němž běžci vybíhají jeden po druhém s danými časovými odstupy, se přihlásilo k závodníků, mezi nimi také tři kamarádi. Stanovte počet startovních listin, v rámci kterých žádní dva z trojice kamarádů nestartují těsně po sobě. Pro jednoduchost uvažujte k > 5. Řešení. Ostatních k — 3 závodníků můžeme seřadit (k — 3)! způsoby. Pro uvažované tři kamarády pak máme k — 2 míst (začátek, konec a k — 4 mezer), na které je můžeme rozmístit v (k — 2, 3) způsoby. Podle (kombinatorického) pravidla součinu je tak výsledek (* - 3)! • (k - 2) ■ (k - 3) • (k - 4) = (k - 2)! • (k - 3) • (k - 4). 49 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ □ 1.129. Turnaje se zúčastní 32 lidí. Podle požadavků organizátorů se musí libovolným způsobem rozdělit do čtyř skupin tak, aby první skupina měla 10 účastníků, druhá 8, třetí také 8 a poslední čtvrtá potom 6. Kolika způsoby se mohou takto rozdělit? Řešení. Můžeme si představit, že z 32 účastníků vytvoříme řadu, kdy prvních 10 utvoří první skupinu, dalších 8 druhou atd. Celkem můžeme účastníky seřadit 32! způsoby. Uvědomme si ovšem, že na rozdělení do skupin nemá vliv, když zaměníme pořadí osob, které patří do stejné skupiny. Proto je počet navzájem různých rozdělení roven P(10,8,8,6) = Mf^. □ 1.130. Je potřeba ubytovat 9 osob v jednom čtyřlůžkovém, jednom třílůžkovém a jednom dvoulůžkovém pokoji. Zjistěte, kolika způsoby to lze provést. Řešení. Jestliže např. hostům ve čtyřlůžkovém pokoji, přiřadíme číslici 1, v třílůžkovém pokoji číslici 2 a v dvoulůžkovém číslici 3, pak vytváříme permutace s opakováním ze tří prvků 1, 2, 3, v nichž jednička se vyskytuje čtyřikrát, dvojka třikrát a trojka dvakrát. Příslušný počet permutací je /> (4, 3, 2) = db = 1260. □ 1.131. Určete počet způsobů, jak lze rozdělit mezi tři osoby A, S a C 33 různých mincí tak, aby osoby A a S měly dohromady právě dvakrát více mincí, než má osoba C. Řešení. Ze zadání vyplývá, že osoba C má obdržet 11 mincí. To lze provést způsoby. Každou ze zbývajících 22 mincí může získat osoba A nebo B, což dává 222 možností. Z (kombinatorického) pravidla součinu plyne výsledek (") • 222. □ 1.132. Kolika způsoby můžete mezi 4 chlapce rozdělit 40 stejných kuliček? Řešení. Přidejme ke 40 kuličkám troje zápalky. Poskládáme-li kuličky a zápalky do řady, rozdělí zápalky kuličky na 4 úseky. Náhodně seřaďme chlapce. Dáme-li prvnímu chlapci všechny kuličky z prvního úseku, druhému chlapci všechny kuličky z druhého úseku atd., je již vidět, že všech rozdělení je právě (433) = 12 341. □ 1.133. Podle kvality dělíme výrobky do skupin I, 77, 777, IV. Zjistěte počet všech možných rozdělení 9 výrobků do těchto skupin, která se liší počtem výrobků v jednotlivých skupinách. Řešení. Zapisujeme-li přímo uvažované devítičlenné skupiny z prvků I, II, III, IV, vytváříme 9) = 220. □ 50 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.134. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní pouze, že alespoň jeden z týmů z dvojice Ostrava, Olomouc je v tabulce za týmem Brna (ligu hraje 16 mužstev). Řešení. Nejprve určíme tři místa, na kterých se umístily celky Brna, Olomouce a Ostravy. Ty lze vybrat c(3, 16) = (g6) způsoby. Z šesti možných pořadí zmíněných tří týmů na vybraných třech místech vyhovují podmínce ze zadání čtyři. Pro libovolné pořadí těchto týmů na libovolně vybraných třech místech pak můžeme nezávisle volit pořadí zbylých 13 týmů na ostatních místech tabulky. Podle pravidla součinu je tedy hledaný počet tabulek roven '16> . • 4 • 13! = 13948526592000. 3 □ 1.135. Kolik je možných uspořádání (v řadě) na fotce volejbalového týmu (6 hráčů), když i) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe ii) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe a uprostřed iii) Gouald a Kamil nechtějí stát vedle sebe Řešení. i) Goualda a Bambu můžeme v tomto případě počítat za jednoho, rozlišíme jen jak stojí vzájemně. Máme 2.5! = 240 pořadí. ii) Tady je to podobnéjen pozice Goualda a Bamby je pevně daná. Dostáváme 2.4! = 48 možností. iii) Nejjednodušší je asi odečíst případy, kdy stojí vedle sebe (viz (i)) od všech pořadí. Dostaneme 6! - 2.5! = 720 - 240 = 480. 1.136. Házení mincí. Šestkrát hodíme mincí. i) Kolik je všech různých posloupností panna, orel ii) Kolik je takových, že padnou právě čtyři panny. iii) Kolik je takových, že padnou aspoň dvě panny. 1.137. Kolik existuje přesmyček slova BAZILIKA takových, že se v nich střídají souhlásky a samohlásky? Řešení. Protože souhlásky i samohlásky jsou v daném slově čtyři, tak se v každé takové pře-smyčce střídají pravidelně souhlásky a samohlásky. Slovo tedy může být typu BABABABA nebo ABABABAB. Na daných čtyřech místech můžeme pak samohlásky permutovat mezi sebou (P0(2, 2) = způsoby) a nezávisle na tom i souhlásky (4! způsoby). Hledaný počet je pak dle pravidla součinu 2 • 4! • ^rr = 288. □ 1.138. Kolika způsoby lze rozdělit 9 děvčat a 6 chlapců do dvou skupin tak, aby každá skupina obsahovala alespoň dva chlapce? Řešení. Rozdělíme zvlášť děvčata a chlapce: 29(25 — 7) = 12800. □ 51 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.139. Materiál je tvořen pěti vrstvami, každá z nich má vlákna v jednom z daných šesti směrů. Kolik takových materiálů existuje? Kolik je jich takových, že dvě sousední vrstvy nemají vlákna ve stejném směru? Řešení. 65 a 6 -55. □ 1.140. Na kružnici stojí n pevností (n > 3), očíslovaných po řadě čísly 1,..., n. V jeden okamžik §,, každá vystřelí na jednu ze dvou sousedních (pevnost 1 sousedí s pevností n). Označme P(n) počet možných výsledků střelby (za výsledek střelby považujeme množinu čísel právě těch v pevností, které byly při střelbě zasaženy, nerozlišujeme přitom mezi jedním a dvěma zásahy). Dokažte, že P(n) & P(n + 1) jsou nesoudělná. Řešení. Označíme-li zasažené pevnosti černým kolečkem a nezasažené bílým, úloha je ekvivalentní úloze určit počet všech možných obarvení n koleček, umístěných na kružnici, černou a bílou barvou tak, aby nebyla žádná dvě bílá kolečka „objedno". Pro lichá n je tento počet roven počtu K(n) obarvení černou a bílou barvou tak, aby žádná dvě bílá kolečka nestála vedle sebe (přečíslujeme pevnosti tak, že začneme u kolečka 1 a číslujeme popořadě vzestupně po lichých číslech a poté vzestupně po sudých). V případě sudého n je tento počet roven K(n/2)2, kvadrátu počtu obarvení n/2 koleček na obvodu kruhu tak, aby žádná dvě bílá nestála vedle sebe (barvíme nezávisle kolečka na lichých a na sudých pozicích). Pro K(n) snadno odvodíme rekurentní formuli K(n) = K(n — 1) + K(n — 2). Navíc snadno spočteme, že K(2) = 3, K(3) = 4, K(4) = 7, tedy K(2) = F(4) - F(0), K(3) = F(5) - F(l), K(4) = F(6) — F(2) a indukcí snadno dokážeme K(n) = F(n +2) — F(n — 2), kde F(n) značí n-tý člen Fibonacciho posloupnosti (F(0) = 0, F(l) = F(2) = 1). Navíc protože (K(2), K(3)) = 1, máme pro n > 3 obdobně jako u Fibonacciho posloupnosti (K(n), K(n - 1)) = (K(n) - K(n - 1), K(n - 1)) = = (K(n-2), K(n-!)) = ■■■ = 1. Ukážeme nyní, že pro každé sudé n = 2a je P(n) = K(a)2 nesoudělné jak s P (n + 1) = K(2a + 1), tak s P(n — 1) = K(2a — 1). K tomu stačí následující: pro a > 2 je totiž (K(a), K(2a + 1)) = (K(a), F(2)K(2a) + F(l)K(2a - 1)) = = (K(a), F(3)K(2a - 1) + F(2)K(2a -2) = ... = (K(a), F(a + l)K(a + 1) + F(a)K(a)) = = (K(a), F(a + 1)) = (F(a + 2) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a +2) - F(a + 1) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a) - F(a -2), F(a + 1)) = = (F(a - 1), F(a + 1)) = (F(a - 1), F (a)) = 1 (K(a), K(2a - 1)) = (K(a), F(2)K(2a - 2) + F(l)K(2a - 3)) = = (K(a), F(3)K(2a - 3) + F(2)K(2a - 4)) = = • • • = (K(a), F(a)K(a) + F(a - l)K(a - 1)) = = (K(a), F(a - 1)) = (F(a + 2) - F(a - 2), F(a - 1)) = = (F(a +2) - F (a), F(a - 1)) = 52 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA = (F(a + 2) - F (a + 1), F (a - 1)) = (F (a), F (a - 1)) = 1. Tím je tvrzení dokázáno. □ 1.141. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč (státní příspěvek se připisuje vždy až 1. května následujícího roku)? Řešení. Označme množství naspořených peněz po n-tém roce jako xn. Potom dostáváme (pro n > 2) následující rekurentní formuli (navíc předpokládáme, že každý měsíc je přesně dvanáctina roku) xn+i = 1, 03(x„) + 36000 + 1500+ 0, 03 • 3000 ( i + li + ... + Jľj + 12 12/ úroky z vkladů za aktuální rok + 0,03• 1 •1500 úrok ze státního příspěvku připsaného v aktuálním roce = l,03(x„) + 38115. Tedy n-2 xn = 38115 J](l, 03)'' + (1, 03)"-1jci + 1500, i=0 přičemž xx = 36000 + 0, 03 • 3000 (l + n + • • • + n) = 36585, celkem /(1,03)4-1\ , x5 = 38115 í Q3-j + (1,03)4-36585 + 1500 = 202136. □ 1.142. Poznámka. Ve skutečnosti úročení probíhá podle počtu dní, které jsou peníze na účtu. Obstarejte si skutečný výpis ze stavebního spoření, zjistěte si jeho úročení a zkuste si spočítat připsané úroky za rok. Porovnejte je se skutečně připsanou sumou. Počítejte tak dlouho, dokud sumy nebudou souhlasit... 1.143. Na kolik maximálně částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Pro maximální počet pn oblastí, na které dělí rovinu kružnice odvodíme rekurentní vzorec pn+1 = pn + 2n. Všimněme si totiž, že (n + l)-ní kružnice protíná n předchozích maximálně v 2n průsečících (a tato situace skutečně může nastat). 53 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Navíc zřejmě pi = 2. Pro počet pn tedy dostáváme p„ = pn-i + 2(n - 1) = p„-2 + 2(n - 2) + 2(n - 1) = ... n-l = pi + 2i = n2 — n + 2. □ 1.144. Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný prostor n rovin? Řešení. Označme hledaný počet r„. Vidíme, že r0 = 1. Podobně jako příkladu (1.39) uvažujme, že máme v prostoru n rovin, přidejme jednu další a ptejme se, kolik nejvýše částí prostoru přibude. Opět to bude přesně tolik, kolika původními částmi prostoru přidaná rovina prochází. Kolik to může být? Počet částí prostoru, kterými (n + l)-ní rovina prochází je roven počtu částí, na které je přidaná (n + l)-ní rovina rozdělena průsečnicemi s n rovinami, které v prostoru již byly rozmístěny. Těchto částí však může být podle předchozího příkladu nejvýše 1/2 • (n2 + n + 2), dostáváme tak rekurentní formuli n2 +n +2 fn + l = f n H--^-' Danou rovnici opět můžeme vyřešit přímo: (n - l)2 + (n - 1) + 2 n2 - n + 2 rn = r„_i H---- = r„_i H---- = (n - l)2 - (n - 1) + 2 n2 -n+2 = r„_2 +---+ ^- = n2 (n — l)2 n (n — 1) = r„_2 + — +---------- + 1 + 1 = 2 2 2 2 , n2 (n - l)2 (n - 3)2 n (n-l) (n - 2) " r""3 + 2+2 + 2 2 2 2 + + 1 + 1 + 1 = j h Y n n / — 1 i — l i — l n (n + l)(2n + 1) n (n + 1) = 1 H-----h n = 12 4 54 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA n3 + 6n + 5 6 ' kde jsme použili známého vztahu n (n + í)(2n + 1) ,-2 i = l který lze snadno dokázat matematickou indukcí. □ 1.145. Na kolik maximálně částí dělí trojrozměrný prostor n koulí? 1.146. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli x„ = x„_! + 2(n - 1), dále %\ = 2, tedy x„ = n(n — 1) + 2. □ 1.147. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 16 karet. Vyjádřete pravděpodobnost, že vybereme právě 10 červených a 6 černých karet. Řešení. Nejdříve si uvědomme, že nemusíme zohledňovat pořadí výběru karet. (Ve výsledném zlomku bychom uspořádané výběry získali tak, že bychom číslem 16! vynásobili čitatele i jméno- 16j. Podobně je počet všech možných výběrů 10 karet z 26 roven (^) a 6 karet z 26 pak (266). Neboť vybíráme nezávisle na sobě 10 karet z 26 červených a 6 karet z 26 černých, užití (kombinatorického) pravidla součinu dává výsledek =o, 118. □ 1.148. V urně je 7 bílých, 6 žlutých a 5 modrých koulí. Vylosujeme (bez vracení) 3 koule. Určete pravděpodobnost, že právě 2 jsou bílé. Řešení. Celkem máme (7+3+5) způsobů, jak lze vybrat 3 koule. Vylosovat právě 2 bílé umožňuje Q výběrů bílých a současně výběrů zbylé (třetí) koule. Podle pravidla součinu je tak počet způsobů, jak lze vylosovat právě 2 bílé, roven Q • Odsud již plyne výsledek ^ = 0, 283. □ 55 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.149. Z karetní hry o 108 kartách (2 x 52 + 4 žolíci) bez vracení vybereme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso nebo žolík? Řešení. Lehce můžeme určit pravděpodobnost opačného (komplementárního) jevu znamenajícího, že ve vybrané čtveřici není žádná z 12 uvažovaných karet (8 es a 4 žolíků). Tato pravděpodobnost je dána poměrem počtu výběrů 4 karet z 96 a počtu výběrů 4 karet ze 108, tj. je rovna (^f)/^8)- Opačný jev má tudíž pravděpodobnost (96) 1-^= 0, 380. □ 1.150. Při házení kostkou padla jedenáctkrát po sobě čtyřka. Uvedte pravděpodobnost, že padne podvanácté. Řešení. Předchozí výsledky (podle našich předpokladů) nijak neovlivňují, co padne na kostce při dalších hodech. Proto je hledaná pravděpodobnost 1 /6. □ 1.151. Z balíčku 32 karet náhodně vypadne 6 karet. Jaká je pravděpodobnost, že jsou všechny téže barvy? Řešení. K tomu, abychom získali výsledek = 1,234- 10"4, stačí nejprve zvolit jednu ze 4 barev a uvědomit si, že existuje (j!) způsobů, jak vybrat 6 karet z 8 této barvy. □ 1.152. Tři hráči dostanou po 10 kartách a 2 zbudou (z balíčku připraveného na mariáš nebo prší -32 karet, z toho 4 esa). Je pravděpodobnější, že někdo dostane listovou sedmu, osmu a devítku, nebo to, že zbyla dvě esa? Řešení. Protože pravděpodobnost, že nějaký z hráčů dostane uvedené tři karty, je rovna hodnotě zatímco pravděpodobnost, že zbudou dvě esa, je rovna číslu (?)' je pravděpodobnější, že nějaký z hráčů dostal zmíněné tři karty. Poznamenejme, že dokázat nerovnost Q (?) lze úpravou obou jejích stran, kdy opakovaným krácením (po vyjádření kombinačních čísel dle definice) lehce dostaneme 6 > 1. □ 1.153. Hodíme n kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čísly, která padnou, nebudou hodnoty 1, 3 a 6? Řešení. Úlohu můžeme přeformulovat tak, že n-krát po sobě hodíme 1 kostkou. Pravděpodobnost, že při prvním hodu nepadne 1, 3 nebo 6, je 1/2. Pravděpodobnost, že při prvním a druhém hodu nepadne 1, 3 ani 6, je zjevně 1 /4 (výsledek prvního hodu neovlivňuje výsledek druhého). Vzhledem k tomu, že jev určený výsledkem jistého hodu a jakýkoli jev určený výsledkem jiného hodu jsou vždy (stochasticky) nezávislé, hledaná pravděpodobnost je 1 /2". □ 56 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.154. Dva přátelé střílejí nezávisle na sobě do jednoho terče, každý po jednom výstřelu. Pravděpodobnost zásahu terče pro prvního je 0, 4, pro druhého je 0, 3. Nalezněte pravděpodobnost P jevu, že po střelbě bude v terči právě jeden zásah. Řešení. Výsledek stanovíme tak, že sečteme pravděpodobnosti těchto dvou neslučitelných jevů: trefil se první střelec a druhý nikoli; první střelec minul, zatímco druhý terč zasáhl. Při nezávislosti jevů (která se zachovává také tehdy, když uvažujeme komplementy některých zjevů) je pravděpodobnost společného nastoupení dána součinem pravděpodobností jednotlivých jevů. Užitím toho dostáváme p = 0, 4 • (1 - 0, 3) + (1 - 0, 4) • 0, 3 = 0, 46. □ 1.155. Dvanáctkrát po sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce? Řešení. Uvážíme-li, že při opakovaní téhož pokusu jsou jednotlivé výsledky nezávislé, a označíme-li pro i e {1, ..., 12} jako A;- jev „při /-tém hodu padly tři líce", určujeme P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(A12)). Pro každé / e {1, ..., 12} je však f(A;) = 1/8, neboť na každé ze tří mincí padne líc s pravděpodobností 1/2 nezávisle na tom, zda na ostatním mincích padl líc, příp. rub. Nyní již můžeme napsat výsledek □ 1.156. Z deseti karet, z nichž právě jedna je eso, namátkou vybereme kartu a vrátíme ji zpět. Kolikrát takový výběr musíme provést, aby pravděpodobnost, že aspoň jednou vybereme eso, byla větší než 0, 9? Řešení. Označme A; jev „při /-tém výběru bylo vytaženo eso". Neboť jednotlivé jevy A; jsou (stochasticky) nezávislé, víme, že P yU Aij = 1 - (1 - PiAO) ■ (1 - P(A2))... (1 - P(An)) pro každé n e N. Připomeňme, že hledáme n e N takové, aby platilo P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(An)) > 0, 9. Zřejmě je f(A;) = 1/10 pro libovolné / e N. Proto stačí vyřešit nerovnici !-(&)"> 0,9, ze které lze vyjádřit n > !oga n „, kde a > 1. loga 0,9 Vyčíslením potom zjistíme, že daný pokus musíme provést alespoň dvaadvacetkrát. □ 57 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.157. Texas holďem. Nyní spočítejme několik jednoduchých úloh týkajících se populární karetní hry Texas hold' em, jejíž pravidla zde nebudeme uvádět (pokud je čtenář nezná, snadno je dohledá na internetu). Jaká je pravděpodobnost, že i) jako startovní kominaci dostanu dvojici stejných symbolů? ii) ve své startovní dvojici karet budu mít eso? iii) na konci budu mít jednu z šesti nejlepších kombinací karet? iv) vyhraji, pokud držím v ruce eso a trojku (libovolné barvy), na flopu je eso a dve dvojky a na turnu je třetí trojka a všechny tyto čtyři karty mají různou barvu? (poslední karta river ještě není otočena) Řešení. i) Počet různých symbolů je 13 a jsou vždy čtyři (pro každou barvu jeden). Proto je počet dvojic se stejnými symboly 13(2) = 78. Počet všech možných dvojic je (1324) = 1326. Pravděpodobnost stejných symbolů je tedy jj = 0, 06. ii) Jedna karta je eso, to jsou čtyři možnosti a druhá je libovolná, to je 51 možností. Dvojice s oběma esama, kterých je (2) = 6 jsme ale takto započítali dvakrát. Dostáváme tedy 4.51 — 6 = 198 dvojic a pravděpodobnost je = 0, 15. iii) Spočítáme pravděpodobnosti jednotlivých nejlepších kombinací: ROYAL FLUSH: Takové kobinace jsou zřejmě jen čtyři - pro každou barvu jedna. Všech kombinací pěti karet je (552) = 2598960. Pravděpodobnost je tak rovna asi 1, 5.10-6. Hodně malá :) STRAIGHT FLUSH: Postupka, která končí nej vyšší kartou v rozmezí 6 až K, tj. 8 možností pro každou barvu. Dostáváme 259382960 = 1, 2.10-5. POKER: Čtyři stejné symboly -13 možností (pro každý symbol jedna). Pátá karta může být libovolná, to znamená 48 možností. Odtud: = 2> 4-10"4- FULL HOUSE: Tři stejné symboly 13(3) = 52 možností a k tomu dva stejné symboly je 12(2) = 72 možností. Pravděpodobnost je 2598960 ^ ^' 4-10-3. FLUSH: Všech pět karet stejné barvy znamená 4(1J3) = 5148 možností a pravděpodobnost STRAIGHT: Nejvyšší katrta postupky je v rozmezí 6 až A, tj. 9 možností. Barva každé karty je pak libovolná, tj. dohromady 9.45 = 9216 možností. Zde jsme ale započítali jak straight flush, tak i royal flush. Ty je potřeba odečíst. Pro zjištění pravděpodobnosti nějaké z šesti nejlepších kombinací to ale ani nemusíme dělat, jen první dvě kombinace nezapočteme. Celkově tedy dostáváme pravděpodobnost zhruba 3, 5.10-3 + 2.10-3 + 1, 4.10-3 + 2, 4.10-4 = 7, 14.10"3. iv) Evidentně je situace hodně dobrá a proto bude lepší spočítat nepříznivé situace, tj. kdy bude mít soupeř lepší kombinaci. Já mám v tuto chvíli full house ze dvou es a tří dvojek. Jediná kombinace, která by mmě mohla porazit v tuto chvíli je buď full house ze tří es a dvou dvojek nebo dvojkový poker. To znamená, že soupeř by určitě musel držet eso nebo poslední dvojku. Pokud drží dvojku a libovolnou jinou kartu, pak určitě vyhraje bez ohledu na kartu na riveru. Kolik je možností pro tuto kartu ke dvojce? 3 + 4 + -- -+ 4 + 2 = 45 (jednu trojku a dvě esa už mít v ruce nemůže). Včech zbylých kombinací je (426) = 1035 a pravděpodobnost takové prohry je tak 0,043. Pokud drží v ruce eso, pak se může stát následující. Pokud drží 58 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (zbylá) dvě esa, tak opět vyhraje, pokud na riveru nepřijde dvojka - pak by byl split poker. Pravděpodobnost (podmíněná) mé prohry je tedy -|f = 10~3. pokud drží soupeř v ruce eso a nějakou jinou kartu, než 2 a A, tak následuje remíza bez ohledu na river. Celková pravděpodobnost výhry je tak skoro 96 %. □ 1.158. Zjistěte pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padla alespoň na jedné kostce čtyřka, jestliže padl součet 7. Řešení. Příklad řešíme pomocí klasické pravděpodobnosti, kdy podmínku interpretujeme jako zúžení pravděpodobnostního prostoru. Ten má vzhledem k podmínce tedy 6 prvků, z čehož právě 2 jsou příznivé vyšetřovanému jevu. Správná odpověďje 2/6 = 1/3. □ 1.159. Hodíme dvěma kostkami. Určete podmíněnou pravděpodobnost, že na první kostce padla pětka za podmínky, že padl součet 9. Na základě tohoto výsledku rozhodněte o nezávislosti jevů „na první kostce padla pětka" a „padl součet 9". Řešení. Označíme-li jev „na první kostce padla pětka" jako A a jev „padl součet 9" jako H, pak platí P(A\H) = ^ = f = I. Uvědomme si, že součet 9 můžeme získat tak, že na první kostce padne 3 a na druhé 6, na první 4 a na druhé 5, na první 5 a na druhé 4 nebo na první 6 a na druhé 3. Z těchto čtyř (stejně pravděpodobných) výsledků jevu A vyhovuje právě jeden. Protože pravděpodobnost jevu A je očividně 1/6 / 1/4, nejsou uvedené jevy nezávislé. □ 1.160. Mějme balíček 32 karet. Vytáhneme-li dvakrát po jedné kartě, nalezněte pravděpodobnost, že druhá tažená karta bude eso, když první kartu vrátíme, a také tehdy, když ji do balíčku nevrátíme (druhou kartu potom vybíráme z balíčku 31 karet). Řešení. Pokud kartu do balíčku vrátíme, zjevně opakujeme pokus, který má 32 možných (stejně pravděpodobných) výsledků, přičemž právě 4 z nich vyhovují námi uvažovanému jevu. Vidíme, že tomto případě je hledaná pravděpodobnost 1/8. Ve druhém případě, kdy první kartu do balíčku nevrátíme, je ovšem hledaná pravděpodobnost stejná. Postačuje např. uvážit, že při vytažení postupně všech karet je pravděpodobnost vytažení esa jako první karty totožná s pravděpodobností, že druhá vytažená karta bude eso. Pochopitelně bylo možné využít toho, že máme zavedenu podmíněnou pravděpodobnost. Tak bychom mohli obdržet _± Ä. _1_ 28 _4_ _ 1 32 ' 31 32 ' 31 ~~ 8- □ 1.161. Uvažujme rodiny se dvěma dětmi a pro jednoduchost předpokládejme, že všechny možnosti v množině Q = {kk, kh, hk, hh}, kde k značí „kluk" a h znamená „holka" při zohlednění stáří dětí, jsou stejně pravděpodobné. Zaveďme náhodné jevy H\ - rodina má kluka, A\ - rodina má 2 kluky. Vypočtěte P {Ai\Hx). Podobně uvažujme rodiny se třemi dětmi, kdy je 59 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ £2 = {kkk, kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk, hhh}. Jestliže H2 - rodina má kluka i holku, A2 - rodina má nejvýše jednu holku, rozhodněte o nezávislosti náhodných jevů A2 a H2. Řešení. Uvážením, které ze čtyř prvků množiny Q (ne)vyhovují jevu A\, resp. H\, lehce získáváme p (a \h \ — P(MnHi) _ P(M) _ i _ i r yAi\ni) — p(Hi) — p(Hi) — j — 3. Dále máme zjistit, zda platí P (A2 DH2) = P (A2) ■ P (H2). Opět si stačí pouze uvědomit, že jevu A2 vyhovují právě prvky kkk, kkh, khk, hkk množiny Q, jevu H2 prvky kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk a jevu A2 n H2 prvky kkh, khk, hkk. Odtud plyne P (A2 n H2) = f = I ■ I = P (A2) ■ P (H2), což znamená, že jevy A2 a H2 jsou nezávislé. □ 1.162. Pětkrát jsme hodili mincí. Pokud padl líc, dali jsme do klobouku bílou kuličku. Když padl rub, dali jsme do téhož klobouku kuličku černou. Vyjádřete pravděpodobnost, že v klobouku je více černých kuliček než bílých, je-li v klobouku alespoň jedna černá kulička. Řešení. Zaveďme jevy A - v klobouku je víc černých kuliček než bílých, H - v klobouku je aspoň jedna černá kulička. Chceme stanovit P(A\H). Uvědomme si, že pravděpodobnost P (ířc) opačného jevu k jevu //je 2~5 a že pravděpodobnost jevu A je stejná jako pravděpodobnost P (Ac) jevu opačného (v klobouku je víc bílých kuliček). Nutně tedy P(H) = 1 - 2"5, P (A) = 1/2. Dále je P (A n H) = P (A), neboť jev H obsahuje jev A (jev A má za důsledek jev H). Celkem jsme obdrželi P(A\ff\ - P(Anm _ \ _ 16 r\ft\ri) - p(H) _ 5_31. □ 1.163. V osudí je 9 červených a 7 bílých koulí. Postupně vytáhneme 3 koule (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že první dvě budou červené a třetí bílá. Řešení. Příklad budeme řešit pomocí věty o násobení pravděpodobností. Nejprve požadujeme vytažení červené koule, což se podaří s pravděpodobností 9/16. Pokud byla poprvé vytažena červená koule, při druhém tahu vytáhneme znovu červenou kouli s pravděpodobností 8/15 (v osudí je 15 koulí, z toho 8 červených). Konečně, pokud byla dvakrát vytažena červená koule, pravděpodobnost, že potom bude vytažena bílá, je 7/14 (v osudí je 7 bílých koulí a 7 červených koulí). Celkem dostáváme 16 15 14 u' J- □ 60 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.164. V osudí je 10 koulí, a to 5 černých a 5 bílých. Postupně budeme losovat po jedné kouli, přičemž vytaženou kouli nevrátíme zpět. Stanovte pravděpodobnost, že nejprve vytáhneme bílou, poté černou, pak bílou a v posledním čtvrtém tahu opět bílou kouli. Řešení. Použijeme větu o násobení pravděpodobností. V prvním tahu vytáhneme bílou kouli s pravděpodobností 5/10, poté černou s pravděpodobností 5/9, následně bílou s pravděpodobností 4/8 a na závěr bílou s pravděpodobností 3/7. Dohromady to dává _5_ 5 4 3 _ _5_ 10 ' 9 ' 8 ' 7 ~~ 84- □ 1.165. Z balíčku 32 karet náhodně vybereme šestkrát po sobě po jedné kartě, a to bez vracení. Spočtěte pravděpodobnost, že první král bude vybrán až při šestém výběru. Řešení. Podle věty o násobení pravděpodobností je výsledek 28 27 26 25 24 J_ ^_ r> 0790 32 ' 31 ' 30 ' 29 ' 28 ' 27 ~~ U' u/z->- □ 1.166. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel menších než 1 bude menší než 3/7? Řešení. Je vidět, že jde o jednoduchý příklad na geometrickou pravděpodobnost, kdy jako základní prostor Q se nabízí čtverec s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1] (volíme dvě čísla mezi 0 a 1). Zajímá nás pravděpodobnost jevu udávajícího, že pro náhodně zvolený bod [x, y] v tomto čtverci bude platit x + y < 3/7; tj. pravděpodobnost toho, že zvolený bod se bude nacházet uvnitř trojúhelníku A s vrcholy [0, 0], [3/7, 0], [0, 3/7]. Nyní již snadno vyčíslíme PíA\ — ^2lá — /2 — JL ^ ' vol Q 1 98 • □ 1.167. Nechť je náhodně rozlomena tyč na tři části. Stanovte pravděpodobnost, že délka druhé (prostřední) části bude větší než dvě třetiny délky tyče před jejím rozlomením. Řešení. Nejprve si označme délku uvažované tyče jako d. Rozlomení tyče ve dvou místech je dáno volbou bodů, kde ji zlomíme. Označme jako x bod, ve kterém je první (např. blíže nějakému předmětu) zlom, a jako x + y bod, ve kterém je druhý zlom. To nám říká, že za základní prostor lze považovat množinu {[jc, y]; x e (0, d), y e (0, d — x)}, tj. trojúhelník s vrcholy v bodech [0, 0], [d, 0], [0, d]. Délka prostřední části je dána hodnotou y. Požadavek ze zadaní lze nyní zapsat v jednoduchém tvaru y > 2d/3, což odpovídá trojúhelníku s vrcholy [0, 2d/3], [d/3, 2d/3], [0, d]. Obsahy uvažovaných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků jsou d2/2 a (d/3)2/2, a proto je hledaná pravděpodobnost 3^-2 _ 1 ffl ~ 9' 2 □ 61 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.168. Tyč o délce 2 m je náhodně rozřezána na tři části. Nalezněte pravděpodobnost jevu, že třetí část měří méně než 1, 5 m. Řešení. Tento příklad je na užití geometrické pravděpodobnosti, kdy hledáme pravděpodobnost toho, že součet délek prvních dvou částí je větší než čtvrtina délky tyče. Určeme pravděpodobnost opačného jevu, tj. pravděpodobnost, když budou náhodně (a nezávisle na sobě) zvolena dvě místa, ve kterých bude tyč rozřezána, že budou obě v první čtvrtině tyče. Pravděpodobnost tohoto jevu je 1/42, neboť pravděpodobnost výběru místa v první čtvrtině tyče je zřejmě 1/4 a tento výběr se (nezávisle) jednou opakuje. Pravděpodobnost hledaného (opačného) jevu je tak 15/16. □ 1.169. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Menza má otevřeno od llh do 14h. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu příchodu (mezi llh a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se na obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 3x3. Označíme-li x dobu příchodu Mirka a y dobu příchodu Marka, tak tito se potkají, právě když \x — y\ < 1/2. Tato nerovnost vymezuje ve čtverci možných událostí oblast, jejíž obsah je roven 11 /36 obsahu čtverce. Tomuto zlomku je tedy rovna i hledaná pravděpodobnost. □ 1.170. Z Brna vyrazí náhodně někdy mezi polednem a čtvrtou hodinou odpolední Honza autem do Prahy a opačným směrem někdy ve stejném intervalu autem Martin. Oba si dávají půl hodiny pauzu v motorestu v polovině cesty (přístupném pro oba směry). Jaká je pravděpodobnost, že se tam potkají, jezdí-li Honza rychlostí 150 km/h a Martin 100 km/h? (Vzdálenost Brno-Praha je 200 km) Řešení. Označíme-li dobu odjezdu Martina x a dobu odjezdu Honzy y a pro menší výskyt zlomků v následujících výpočtech zvolíme za jednotku deset minut, tak stavovým prostorem bude čtverec 24 x 24. Doba příjezdu Martina do motorestu je x + 6, do příjezdu Honzy x + 4. Stejně jako v předchozím příkladu to, že se v motorestu potkají, je ekvivalentní tomu, že doby jejich příjezdu se neliší o více než o půl hodiny, tedy \(x + 6) — (y + 4)| < 3. Tato podmínka nám pak ve stavovém čtverci vymezuje oblast o obsahu 242 — j(232 + 192) (viz obr.) a hledaná pravděpodobnost je 4 i ! Z y ml ;< 1 ■: > % x r* y *fS 242 - i 232 + 192) 131 -^-- =-= 0,227. 242 576 □ 1.171. Mirek vyjede náhodně mezi desátou hodinou dopolední a osmou hodinou večerní z Brna do Prahy. Marek vyjede náhodně ve stejném intervalu z Prahy do Brna. Oběma trvá cesta 2 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že se po cestě potkají (jezdí po stejné trase)? 62 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Řešení. Řešíme naprosto analogicky jako v předchozím příkladě. Prostor všech možných jevů je čtverec lOx 10, Mirek, vyjíždějícív čase x, potká Marka, vyjíždějícího v čase y právě když \x—y\ < 2. Hledaná pravděpodobnost je p = = ^ = 0,36. 1.172. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že ze vzniklých dílů půjde sestavit trojúhelník. Řešení. Rozdělení tyče je dáno stejně jako v předchozím příkladě body řezu x a y a jevovým prostorem je opět čtverec 2x2. Aby z částí bylo možno sestavit trojúhelník, musejí jejich délky splňovat tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek libovolných dvou částí musí být větší než délka třetí části. Vzhledem k tomu, že součet délek je roven 2 m, je tato podmínka ekvivalentní podmínce, že každá s částí musí být menší než 1 m. To pomocí řezů x a y vyjádříme tak, že nesmí platit současně x < lay < 1 nebo současně x > lay > 1 (odpovídá podmínkám, že krajní díly tyče jsou menší než 1), navíc |x — y| < 1 (prostřední díl musí být menší nezjedná). Tyto podmínky splňuje vyšrafovaná oblast na obrázku a jak snadno nahlédneme, její obsah je 1 /4. □ □ 1.173. Je rovnice (b) 3, -2; 16, -7; (c) Ax\ + 2x2 = —2.X i — X2 = 7, -3 63 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ jednoznačně řešitelná (má právě 1 řešení)? Řešení. Soustava lineárních rovnic je jednoznačně řešitelná právě tehdy, když je nenulový determinant matice určené koeficienty na levé straně soustavy. Zvláště řečeno, absolutní členy (čísla na pravé straně) neovlivňují jednoznačnost řešení soustavy. Musíme tedy ve variantách (a) a (b) dostat stejnou odpověď. Protože 4 -73 1 -277 4- (-2V7) - (-73-l) ^0, = 4-(-l)-(2.(-2))=0, -2 -1 mají soustavy ve variantách (a) a (b) právě 1 řešení a poslední soustava nikoliv. Vynásobíme-li druhou rovnici v (c) číslem —2, vidíme, že tato soustava nemá řešení. □ 1.174. Vypočítejte obsah S čtyřúhelníku zadaného vrcholy [0,-2], [-1,1], [1,5], [1,-1]. Řešení. Při obvyklém označení vrcholů A = [0,-2], S = [1,-1], C = [1,5], D = [-1,1] a neméně obvyklém rozdělení čtyřúhelníku na trojúhelníky ABC nACD s obsahy S\ a 52, dostáváme S = St + S2 1-0 1-0 -1+2 5 + 2 + 1-0 5 + 2 -1-0 1+2 (7 - 1) + i (3 + 7) 1 1 5 1 1 5 2 10 13 + 2 -3 -5 □ 1.175. Určete obsah čtyřúhelníka ABCD s vrcholy A = [1, 0], B = [11, 13], C = [2, 5] a D = [-2, -5]. Řešení. Čtyřúhelník rozdělíme na dva trojúhelníky ABC a ACD. Jejich obsahy pak spočítáme pomocí patřičných determinantů, viz 1.34, 47 T" □ 1.176. Spočítejte obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech [5, 5], [6, 8] a [6, 9]. Řešení. Přestože takový rovnoběžník není zadán jednoznačně (není uveden čtvrtý vrchol), trojúhelník s vrcholy [5, 5], [6, 8] a [6, 9] musí být nutně polovinou každého rovnoběžníku s těmito třemi vrcholy (jedna ze stran trojúhelníku se stane úhlopříčkou rovnoběžníku). Proto je hledaný obsah vždy roven determinantu ň _ _ 1 1 1.4-1-3 = 1. 6-5 6-5 1 1 8-5 9-5 3 4 □ 64 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.177. Výčtem prvků zadejte S o i?, je-li R = {(2, 4), (4, 4), (4, 5)} C N x N, S = {(3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 4)} c N x N. Řešení. Uvážením všech výběrů dvou uspořádaných dvojic (2, 4), (4,1); (2, 4), (4, 4); (4, 4), (4,1); (4, 4), (4, 4) splňujících, že druhá složka první uspořádané dvojice, která je prvkem i?, je rovna první složce druhé uspořádané dvojice, která je prvkem 5, dostáváme SoR = {(2, 1), (2,4), (4, 1), (4,4)}. □ 1.178. Nechť je dána binární relace R = {(0,4), (-3,0), (5, tt), (5, 2), (0,2)} mezi množinami A = Z a B = M.. Vyjádřete i?-1 a R o R~x. Řešení. Ihned vidíme, že R-1 = {(4, 0), (0, -3), (tt, 5), (2, 5), (2, 0)}. Odtud pak dále RoR-1 = {(4, 4), (0, 0), (tt, tt), (2, 2), (4, 2), (tt, 2), (2, tt), (2, 4)}. □ 1.179. Rozhodněte, zdaje relace i? určená podmínkou (a) (a,b) e i? |a| < |i|; (b) (a,i) e i? M = |2i| na množině celých čísel Z tranzitivní. Řešení. V prvním případě relace R tranzitivní je, protože platí \a\< \b\, \b\< \c\ => \a\ < Ve druhém případě relace R tranzitivní není. Stačí např. uvážit, že (4,2), (2, 1) e/?, (4, 1) g/?. □ 1.180. Najděte všechny relace na M = {1, 2}, které nejsou antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní? Řešení. Hledané relace, jež nejsou antisymetrické, jsou čtyři. Jsou to právě ty podmnožiny {1,2} x {1, 2}, které obsahují prvky (1, 2), (2, 1) (jinak nemůže být podmínka antisymetrie porušena). Z těchto čtyř je tranzitivní pouze jediná relace {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = M x M, protože nezahrnutí dvojic (1, 1) a (2, 2) do tranzitivní relace by znamenalo, že nemůže obsahovat zároveň (1, 2) a (2, 1). □ 65 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.181. Existuje relace ekvivalence, která je současně relací uspořádání, na množině všech přímek v rovině? Řešení. Relace ekvivalence (příp. relace uspořádání) musí být reflexivní, a proto každá přímka musí být v relaci sama se sebou. Dále požadujeme, aby hledaná relace byla symetrická (ekvivalence) a zároveň antisymetrická (uspořádání). To dává, že přímka může být v relaci pouze sama se sebou. Zavedeme-li ovšem relaci tak, že dvě přímky jsou v relaci právě tehdy, když jsou totožné, dostaneme „velmi přirozenou" relaci ekvivalence i relaci uspořádání. Stačí si uvědomit, že je triviálně tranzitivní. Hledanou relací je právě identické zobrazení množiny všech přímek v rovině. □ 1.182. Určete, zda je relace R = {(k,l) e Z x Z; \ k | > \ l\] na množině Z ekvivalence, uspořádání. Řešení. Relace R není ekvivalencí: není symetrická (kupř. (6, 2) e R, (2, 6) <£ i?); není uspořádáním: není antisymetrická (mj. (2, —2) e R, (—2, 2) e R). □ 1.183. Ukažte, že průnik libovolných relací ekvivalence na libovolně dané množině X je rovněž relace ekvivalence a že sjednocení dvou relací uspořádání na X nemusí být relace uspořádání. Řešení. Postupně uvidíme, že průnik relací ekvivalence je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Všechny relace ekvivalence na X musí obsahovat dvojici (x, x) pro každé x e X, a proto ji musí obsahovat také daný průnik. Pokud v průniku ekvivalencí je prvek (x, y), musí v něm být rovněž prvek (y, x) (stačí využít toho, že každá ekvivalence je symetrická). To, že do průniku ekvivalencí náleží prvky (x, y) a (y, z), znamená, že se jedná o prvky každé z ekvivalencí. Z tranzitivnosti všech jednotlivých ekvivalencí již vyplývá, že do průniku náleží také prvek (x, z)-Zvolíme-li X = {1, 2} a relace uspořádání /?i = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1)} na X, dostáváme relaci /ř1U/ř2 = {(l,l),(2,2),(l,2),(2, 1)}, která zřejmě není antisymetrická, a tedy ani uspořádáním. □ 1.184. Na množině M = {1, 2, ..., 19, 20} je zavedena relace ekvivalence ~ tak, že a ~ b pro libovolná a, b e M právě tehdy, když první cifry čísel a, b jsou stejné. Sestrojte rozklad daný touto ekvivalencí. Řešení. Dvě čísla z množiny M jsou ve stejné třídě ekvivalence, právě když jsou spolu v relaci (první cifra je stejná). Rozklad jí určený se tedy skládá z množin {1, 10, 11,..., 18, 19}, {2, 20}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}. □ 1.185. Je dán rozklad se dvěma třídami {b, c}, {a, d, e} množiny X = {a, b, c, d, e}. Napište relaci ekvivalence R na množině X příslušnou tomuto rozkladu. Řešení. Ekvivalence R je určena tím, že v relaci jsou spolu ty prvky, které jsou ve stejné třídě rozkladu, a to v obou pořadích (R musí být symetrická) a každý sám se sebou (R musí být reflexivní). Proto R obsahuje právě 66 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (c, b), (a, d), (a, e), (d, a), (d, e), (e, a), (e, d). □ 1.186. Na následujících třech obrázkách jsou ikony spojeny čarami tak, jak by je možná přiřadili lidé v různých částech světa. Určete, zda jde o zobrazení, zdaje injektivní, surjektivní nebo bijektivní. Řešení. V prvním případě jde o zobrazení, které je surjektivní, ale není injektivní, protože had i pavouk jsou označeni jako jedovatí. Druhý případ není zobrazení ale jen relace, protože pes je určen jako domácí zvíře i na jídlo. V třetím případě máme opět zobrazení. Tentokrát není ani injektivní, ani surjektivní. □ 1.187. Mějme množinu {a,b, c,d} a na ní relaci {(a, a), (b,b), (a,b), (b,c), (c,b)}. Jaké členy je potřeba minimálně doplnit do této relace, aby to byla ekvivalence? Řešení. Postupně projdeme všechny tři vlastnosti, které definují ekvivalenci. Za prvé je to reflexivita. Musíme tedy doplnit dvojice {(c, c), (d,d)}. Za druhé symetrie -musíme doplnit (b,á) a za třetí musíme udělat tzv. tranzitivní obal. Protože je a v relaci s b a b v relaci s c, musí být i a v relaci s c. Nakonec tedy potřebujeme přidat (a, c) a (c, a). □ 1.188. Uvažme množinu čísel, které mají pět cifer ve dvojkovém zápisu a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jejich ciferný součet má stejnou paritu. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. Dostáváme dvě třídy ekvivalence (o osmi členech): [10000] = {10000, 10011, 10101, 10110, 11001, 11010, 11100, 11111} 67 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ odpovídá množině {16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31} a [10001] = {10001, 10010, 10100, 11000, 10111, 11011, 11101, 11110} odpovídá množině {17, 18, 20, 24, 23, 27, 29, 30}. □ 1.189. Uvažme množinu čísel, které mají tři cifry ve trojkové soustavě a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když v této soustavě i) začínají stejným dvojčíslím. ii) končí stejným dvojčíslím. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. i) Dostáváme šest tříprvkových tříd [100] = {100, 101, 102} odpovídá {9, 10, 11} [110] = {110, 111, 112} odpovídá {12, 13, 14} [120] = {120, 121, 122} odpovídá {15, 16, 17} [200] = {200, 201, 202} odpovídá {18, 19, 20} [210] = {210, 211, 212} odpovídá {21, 22, 23} [220] = {220, 221, 222} odpovídá {24, 25, 26} ii) V tomto případě máme devět dvouprvkových tříd [100] = {100, 200} odpovídá {9, 18} [101] = {101, 201} odpovídá {10, 19} [102] = {102, 202} odpovídá {11, 20} [110] = {110, 210} odpovídá {12, 21} [111] = {111, 211} odpovídá {13, 22} [112] = {112, 212} odpovídá {14, 23} [120] = {120, 220} odpovídá {15, 24} [121] = {121, 221} odpovídá {16, 25} 68 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA [122] = {122, 222} odpovídá {17, 26} □ 1.190. Pro jaký maximální definiční obor D a obor hodnot H je zobrazení bijektivní a jaká je v tom případě inverzní funkce? i) i ^ i4 ii) X H» x3 iii) x H» —r-r Řešení. i) D = [0, oo) a H = [0, oo) nebo také D = (—oo, 0] a íŕ = [0, oo). Inverzní funkce je ii) D = í/ = la inverze je x ^/x. iii) D = M \ {-1} a Íř = M \ {0}. Inverzní funkce je □ 1.191. Uvažme relaci na M x M. Bod je v relaci, pokud pro něj platí (x - l)2 + (y + l)2 = 1 Můžeme body popsat pomocí funkce y = f (x)? Nakreslete obrázek bodů v relaci. Řešení. Nemůžeme, protože např. y = — 1 má dva vzory: x = 0 a x = 2. Body leží na kružnici se středem v bodě (1, —1) s poloměrem 1. □ 69 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení cvičení 7.74. i) 1 - 3 - 2i + Ai = -2 + 2i, 1 • (-3) - 8/2 + 6/ + Ai = 5 + 10«, 1 + 2i, JA2 + (-3)2 = 5, = fi% = 1 . (-3) + 8/2 + 6/ - 4/25 = -ii + Ä/. z2 z2i 25 25 ii) 2 + /, 2/ 2, 1, ? = -2/. 7.38. y„ = 2(|)" - 2. 7.49. Jedná se o známý problém permutací s pevnými body. i) Pokud šest lidí dostne ten svůj, tak zákonitě i ten šestý, pravděpodobnost je tedy nulová. ii) Nechť M je množina všech uspořádání a jev A/ je uspořádám, kdy i-tý hráč dostane svůj krígl. Chceme spočítat \M — U/A/|. Dostáváme 7! J2l=0 ^p- — 1854. A pravděpodobnost je ^j^j — 103 = Q 37 280 iii) Vybereme, kteří tři dostanou ten svůj - — 35 možností. Zbylí čtyři musí dostat jiné než svoje. To je opět vzorec z minulého bodu, konkrétně jde o 4! 2J,t=o k\ ~ ^ možností. Máme tedy dohromady 9 • 35 — 315 možností a pravděpodobnost je — 1.99. i) (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (3, 6) ověřte, že jde o relaci uspořádání ii) opět (/, /) pro / — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3) ověřte, že jde o relaci ekvivalence iii) (/, /) pro / — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4) ověřte, že nejde o relaci ekvivalence, protože není splněna tranzitivita. 7.777. Tři různé Hasseovy diagramy vyhovujících uspořádání. Celkem 5! + 5! + 5!/4 — 270. 1.118. Relace uvedených vlastností je relací ekvivalence na nějaké podmnožině množiny {1, 2, 3, 4}. Celkem 1+4-1+ (:))-2+-5 +15 = 52. 7.779. 19. 7.720. 87. 7.736. i) 26 = 64 i0 (j) = 15 iii) Žádná panna je jedna možnost (q) — 1, jedna panna (j) — 6 možností. Posloupností s nejvýše jednou pannou je teda jen 7 a proto posloupností, kdejsou aspoň dvě panny je 64 — 7 — 57. 1.145. Maximální počet yn částí, na které rozdělí n kružnic rovinu, je yn — y«-i + 2(n — 1), yi = 2, tedy y„ — n2 - n + 2. Pro maximální počet pn částí, na které potom rozdělí n koulí prostor, pak dostáváme rekurentní vztah pn+i = p„+ y„, pi = 2, tedy celkem pn = |(n2 - 3n + 8). 70 KAPITOLA 2 Elementární lineární algebra neumíte ještě počítat se skaláry? — zkusme to rovnou s maticemi... Ha V minulé kapitole jsme se snad rozehřáli s relativně jednoduchými úlohami, k jejichž řešení nebylo potřeba složitých nástrojů. Vystačili jsme si přitom se sčítáním a násobením skalárů. V této a dalších kapitolách se postupně budeme věnovat jednotlivým tématům souvisleji. Hned tři kapitoly budou věnovány nástrojům pro práci s daty, kdy operace spočívají v obzvlášť jednoduchých úkonech se skaláry, jen je těch skalárů povíce naráz. Hovoříme o „lineárních objektech" a „lineární algebře". Jakkoliv to teď může vypadat jako hodně speciální nástroj, uvidíme později, že složitější objekty a závislosti stejně studujeme hlavně pomocí jejich „lineárních přiblížení". V této kapitole budeme pracovat přímo s konečnými po-j?^ sloupnostmi skalárů. Takové se objevují v praktických úlohách všude, kde máme objekty popisovány pomocí několika parametrů. Nedělejme si přitom problémy s představou, jak vypadá prostor s více než třemi „souřadnicemi". Smiřme se se skutečností, že malovat si budeme umět jednu, dvě nebo tři dimenze, ale představovat ty obrázky mohou jakýkoliv jiný počet. A když budeme sledovat jakýkoliv parametr u třeba 500 studentů (např. jejich studijní výsledky), budou naše data mít hned zrovna několikrát 500 položek a budeme s nimi chtít pracovat. Naším cílem bude vytvořit nástroje, které budou dobře fungovat nezávisle na skutečném počtu těchto položek. Také se neděsme slovních spojení jako pole či okruh skalárů K. Prostě si můžeme představit jakýkoliv konkrétní číselný obor. Okruhy skalárů pak za-hrnují i celá čísla Z a všechny zbytkové třídy, zatímco mezi poli jsou pouze I, Q, C a zbytkové třídy 1,k s prvočíselným k. Zvláštní je mezi nimi Z2, kde ze vztahu x = —x nemůžeme usoudit, že x = 0, zatímco u všech ostatních číselných oborů tomu tak je. 1. Vektory a matice Většinou se o vektorech hovoří pouze ve spojení s poli skalárů, protože obecná teorie je při existenci neivertibilních nenulových skalárů nesrovnatelně složitější. Jen v prvních dvou částech této kapitoly budeme pracovat s vektory a maticemi v kontextu konečných posloupností skalárů a tam bude A. Soustavy lineárních rovnic Na vektorové prostory půjdeme od lesa. Začneme s něčím známým, totiž soustavami lineárních rovnic. I za nimi jsou totiž skryty vektorové prostory. 2.1. A teď vám to pěkně natřeme. Firma zabývající se velkoplošnými nátěry si objednala 810 litrů barvy, která má obsahovat stejné množství červené, zelené a modré barvy (tj. 810 litrů černé barvy). Obchod může splnit tuto zakázku smícháním běžně prodávaných barev (má skladem jejich dostatečné zásoby), a to • načervenalé barvy - obsahuje 50 % červené, 25 % zelené a 25 % modré barvy; • nazelenalé barvy - obsahuje 12,5 % červené, 75 % zelené a 12,5 % modré barvy; • namodralé barvy - obsahuje 20 % červené, 20 % zelené a 60 % modré barvy. Kolik litrů od každé z uskladněných barev se musí smíchat, aby byly splněny požadavky zákazníka? Řešení. Označme jako • x - množství (v litrech) načervenalé barvy, které se použije; • y - množství (v litrech) nazelenalé barvy, které se použije; • z - množství (v litrech) namodralé barvy, které se použije. 71 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE Smícháním barev chceme získat barvu, která bude obsahovat 270 litrů červené barvy. Uvědomme si, že načervenalá barva obsahuje 50 % červené, nazelenalá obsahuje 12,5 % červené a namodralá 20 % červené barvy. Musí tudíž platit ,—— 0,5x + 0, 125y + 0,2z = 270. Analogicky požadujeme (pro zelenou a modrou barvu) 0,25x + 0,75y + 0,2z = 270, 0,25x + 0, 125y + 0,6z = 270. Nyní můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď budeme postupně vyjadřovat proměnné pomocí ostatních (z první rovnice je x = 540 — 0, 25y — 0, 4z, dosadíme za x do druhé a třetí rovnice a dostaneme dvě lineární rovnice o dvou neznámých 2, 75y + 0, 4z, = 540 a 0, 25y + 2z, = 540. Ze druhé rovnice vyjádříme z = 270 — 0, 125y a dosazením do první dostáváme 2, 7y = 432, neboli y = 160, odkud z = 270-0, 125-160 = 250 a x = 540-0, 25-160+0, 4-250 = 400. Druhým způsobem je zapsat si soustavu do matice, jejíž první řádek bude tvořen koeficienty u neznámých v první rovnici, druhý koeficienty ve druhé rovnici a třetí ve třetí. Je tedy matice soustavy 0,5 0,125 0,2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0,125 0,6 rozšířenou matici soustavy potom získáme z matice soustavy připsá ním sloupce pravých stran jednotlivých rovnic v systému: 0, 5 0, 125 0, 2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0, 125 0, 6 Jejím postupným upravováním pomocí tzv. elementárních řádkových úprav (odpovídají ekvivalentním úpravám rovnic, více viz 2.7) pak dostáváme: 0,5 0,125 0,2 0,25 0,75 0,2 0, 25 0, 125 0, 6 1 0,25 0,4 0 2,75 0,4 0 0,25 2 1 0,25 0,4 0 1 8 0 11 1,6 A opět zpětně vypočítáme -21600 y = 2 160 - 8 • 250 = 160, x = 540 - 0, 4 • 250 - 0, 25 • 160 = 400. Je tedy potřeba smísit po řadě 400 1, 160 1, 250 1 uvedených barev. zajímavé si i třeba případu celých čísel povšimnout. Bude přitom snad pěkně vidět, jak silné výsledky lze důsledným formálním uvažováním odvodit. 2.1. Vektory nad skaláry. Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů z K, kde pevně zvolené n e N budeme nazývat dimenzí. Skaláry umíme sčítat a násobit. Vektory budeme také sčítat, násobit však vektor budeme umět jen skalárem. To odpovídá představě, kterou jsme již viděli v rovině M2, kde sčítání odpovídalo skládání vektorů coby šipek vycházejících z počátku a násobení skalárem pak jejich patřičnému natahování. Násobení vektoru u = («!,...,«„) skalárem c tedy definujeme tak, že každý prvek rc-tice u vynásobíme stejným skalárem c a také sčítání vektorů definujeme po složkách. To znamená | ZÁKLADNÍ OPERACE S VEKTORY |_ u + v = (ai, ..., a„) + (bi, ..., b„) = (ai + bu ..., a„ + b„) c ■ u = c • (a\, ..., a„) = (c ■ d\, ... ,c ■ a„). Pro sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry budeme používat stále stejné symboly jako u skalárů samotných, tj. symboly plus a buď tečku nebo prosté zřetězení znaků. Konvence zápisu vektorů. Nebudeme, na rozdíl od mnoha jiných učebnic, v textu používat pro vektory žádné speciální značení a ponecháváme na čtenáři, aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spíše budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných či komponent a také pro sčítací indexy v součtech). Často budeme požadovat, aby skaláry byly z nějakého pole, viz 1.1, ale v této kapitole budeme vesměs pracovat s operacemi, které tento přepoklad nepotřebují. V literatuře se pak většinou místo o vektorových prostorech hovoří o modulech nad okruhy. U obecné teorie se ale v příští kapitole již zcela omezíme na pole skalárů. Pro sčítání vektorů v W zjevně platí (KG1)-(KG4) s nulovým prvkem 0=(0.....0)eK". Schválně zde používáme i pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. 72 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Vlastnosti vektorů Pro všechny vektory v, w e K" a skaláry a, b e (VI) a ■ (v + w) = a ■ v + a ■ w (V2) (a + b) ■ v = a ■ v + b ■ v (V3) a ■ (b ■ v) = (a ■ b) ■ v (V4) 1 • u = u platí 2.2 Vlastnosti (V1)-(V4) našich vektorů, coby n-tic skalárů v K", se snadno ověří pro kterýkoliv okruh skalárů K, protože při ověřování vždy používáme pro jednotlivé souřadnice vektorů pouze vlastnosti skalárů uvedené v 1.1 a 1.3. Budeme takto pracovat např. sl",Q",C", ale také Z", (Zk)",n = 1,2,3, .... 2.2. Matice nad skaláry. O něco složitějším objektem, který budeme při práci s vektory používat, jsou matice. _—^_Matice typu m/ti [ Maticí typu m /n nad skaláry schéma Asm řádky a n sloupci / all a12 &21 ^22 rozumíme obdélníkové Al« ^2« \Clm\ am2 nn j kde a,i pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Pro matici A s prvky útý používáme také zápis A = (%). Vektory (au, au, ..., ain) e W nazýváme (/-té) řádky matice A, i = 1, ..., m, vektory (a\j, a-ij, ■ ■ ■, amj) e Km nazýváme (7—té) sloupce matice A, j = 1, ... ,n. Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, ...,m} x {1, ...,n] -» K, kde A(i, j) = aij. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně právě vektory v K". I obecné matice lze chápat jako vektory v Km'n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = (ciij + bij), a ■ A = (a ■ a^) kde A = (q.ij), B = (bij), aéI. Matice — A = (—aij) se nazývá matice opačná k matici A a matice /O ... 0^ 0 = : v0 ... Oj se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení, že matice jsou jen specificky zapsané vektory: Čím více máme v soustavě rovnic, tím je druhý způsob řešení zpravidla výhodnější. □ 2.2. Vypočtěte Xi 1x\ -3*1 + 2x2 + 3x3 = 2, — 3x2 — x3 = —3, + x2 + 2x3 = —3. Řešení. Zadanou soustavu lineárních rovnic zapíšeme ve tvaru rozšířené matice 12 3 2 2 -3 -1 -3 -3 1 2-3 kterou pomocí elementárních řádkových transformací postupně převedeme na schodovitý tvar 1 2 1 7 3 -7 11 2 \ / 1 2 3 2 1 -011 1 -4 / \ 0 0 1 -1 Nejdříve jsme přitom dvojnásobek prvního řádku odečetli od druhého a jeho trojnásobek přičetli ke třetímu. Poté jsme sečetli druhý a třetí řádek (součet napsali do třetího řádku) a druhý řádek vynásobili číslem —1/7. Přejdeme nyní zpět k soustavě rovnic x\ + 2x2 + 3x3 = 2, x2 + X3 = 1, X3 = — 1. Ihned vidíme, že x3 = — 1. Dosadíme-li x3 = — 1 do rovnice x2 +x3 = 1, dostaneme x2 = 2. Podobně dosazení získaných hodnot X3 = — 1, x2 = 2 do první rovnice dává x\ = 1. □ Systémy lineárních rovnic tedy lze zapisovat v maticovém tvaru. Ale je to nějaká výhoda, když je stejně umíme řešit, aniž bychom hovořili o maticích? Ano je, o řešení můžeme hovořit koncepčněji a jazyk matic pak daleko lépe navádí k počítačovému zpracování problému. Zkusme si tedy osvojit lépe různé operace, které můžeme s maticemi provádět. Jak jsme viděli v předchozích příkladech, tak ekvivalentní úpravy lineárních rovnic odpovídají v řeči matic elementárním řádkovým (sloupcovým) úpravám. Dále jsme viděli, že převedeme-li těmito úpravami matici soustavy do schodovitého tvaru (tomuto procesu říkáme Gaussova eliminace, viz 2.7), tak je již vyřešení soustavy velmi jednoduché. Ukažme si to ještě na dalších příkladech, na kterých uvidíme, že soustava lineárních rovnic může mít nekonečně mnoho řešení. 73 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE 2.3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2x\ 3*i 3xi -7xi + + x2 16x2 5x2 7x2 + + + + 3x3 7X3 4x3 10X3 o, 0, 0, 0. 2 . 3 Řešení. Vzhledem k nulovosti pravých stran všech rovnic (jedná se tedy o homogenní systém) budeme upravovat pouze matici systému. Řešení nalezneme převodem na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových transformací, které odpovídají záměně pořadí rovnic, vynásobení rovnice nenulovým číslem a přičítání násobků rovnic. Navíc můžeme kdykoli od maticového zápisu přejít zpět k zápisu rovnic s neznámými x;. Nejprve docílíme toho, aby se proměnná %\ vyskytovala pouze v první rovnici. Zřejmě postačuje (—3/2)násobek prvního řádku přičíst ke druhému a ke třetímu řádku a jeho (7/2)násobek k poslednímu řádku, což v maticovém zápisu dává \ / 2 3 3 V -7 -1 16 -5 7 3 7 4 ■10/ / 2 -1 0 35/2 0 -7/2 V 0 7/2 3 \ 5/2 -1/2 1/2 / Odtud je vidět, že druhá, třetí a čtvrtá rovnice jsou násobky rovnice 7x2 + X3 = 0. Při maticovém zápisu můžeme např. (l/5)násobek druhého řádku přičíst ke třetímu a jeho (—1 /5)násobek k poslednímu řádku, čímž obdržíme schodovitý tvar / 2 -1 0 35/2 0 -7/2 V 0 7/2 3 \ 5/2 -1/2 1/2 / / 2 -1 3 \ 0 35/2 5/2 0 0 0 V o o o / 2 0 o -i 7 0 0 3 \ 1 0 0/ který jsme v posledním kroku zjednodušili tak, že jsme druhý řádek (druhou rovnici) vynásobili číslem 2/5. Přestože byly zadány čtyři rovnice pro tři neznámé, má celá soustava nekonečně mnoho řešení, neboť pro libovolné x3 e M mají zbylé rovnice 2xi X2 7x2 + + 3x3 x3 0, 0 řešení. Nahradíme tak proměnnou x3 parametrem t e M a vyjádřfJJě x2 1 -- X3 7 1 --1 1 a x\ 1 _ (x2 2 11 3x3) =--1. 7 Pokud ještě nahradíme t tvaru -Is, obdržíme výsledek v jednoduchém (xi, x2, x3) = (lis, s, —7s) , s e Tvrzení. Předpisy pro A + B, a ■ A, —A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (VI )—(V4). 2.3. Matice a rovnice. Velmi častý nástroj pro popis nějakých matematických modelů jsou systémy lineárních rovnic. Právě matice lze vhodně využít pro jejich zápis. Zavedeme si k tomu účelu pojem skalární součin dvou vektorů, který vektorům {a\, ..., an) a (xi, ..., x„) přiřadí jejich součin (ai a„) ■ (xi, Xn) — a\X\ -(-••• -\- anxn tj. postupně násobíme po dvou souřadnice vektorů a výsledky sčítáme. Každý systém m lineárních rovnic v n proměnných flllXi + úti2X2 + «21*1 + <222X2 + -|- a\nxn ~\~ a2nXn ^m\X\ ~\~ amjX2 -\- ' ' ' -\- amnxn — bm lze tedy vidět jako požadavek na hodnoty m skalárních součinů neznámého vektoru (xi, ..., x„) s vektory souřadnic (an, ..., ain). Vektor proměnných můžeme také vidět jako sloupec v matici typu n /1, a podobně hodnoty b\, ... ,bn můžeme vnímat jako vektor m a to opět jako jediný sloupec v matici typu n/1. Náš systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = u takto: din ( M \xn j \bn □ kde levou stranu interpretujeme jako m skalárních součinů jednotlivých řádků matice vytvářejících sloupcový vektor, jehož hodnotu rovnice určují. To znamená, že skutečně rovnost /-tých souřadnic zadává podmínku původní rovnice ailxl + • • • + Ginxn = b i a zápis A-x = u tak dává skutečně původní systém lineárních rovnic. 2.4. Součin matic. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, x jsme už zavedli počet s maticemi a viděli jsme, %'---'■} že s ním lze pracovat velice efektivně (viz 1.26). /Kh^fy' Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme í^jr^ť^-J— všechny nástroje již známé z roviny pro všechny dimenze n. Násobení matic je možné definovat pouze, když to rozměry sloupců a řádků v maticích dovolí, tj. když je pro ně definován skalární součin jako výše: 74 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Součin matic Pro libovolnou matici A = (útý) typu m/n a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad okruhem skalárů K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cik) jako matici typu m/q s prvky 2.4. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic 3xi xx —2x\ 2x\ + 3x3 — X2 + X3 — X2 + 4X3 + X2 — X3 5x4 X4 2x4 X4 -2, 0, -3. y flý^yj-, pro libovolné l < i < m,l < k < q Řešení. Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice 7=1 Je tedy prvek c[ik] součinu právě skalárním součinem z-tého řádku matice nalevo a /c-tého sloupce matice napravo. Například máme 2 1 1 -1 0 1 3 2 3 3 1 0 2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice. Matici (\ ... 0^ E = (Su) = 1, se vkk jednotková matice. Takto definovaným číslům <5;J se říkává Kroneckerovo delta. Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení, jejíž vlastnosti jsou velice podobné jako u skalárů: Tvrzení. Na množině všech čtvercových matic dimenze n nad libovolným okruhem skalárů K je definována operace násobení s následujícími vlast-feéi^ nosti okruhů (viz 1-3): (1) Platí asociativita násobení (Ol). (2) Jednotková matice E = (Si j) je jednotkovým prvkem pro násobení dle (03). (3) Platí distributivita sčítání a násobení (04). Obecně však neplatí axiomy (02) ani (Ol). Čtvercové matice pro n > 1 proto netvoří obor integrity, zejména tedy nejsou ani (nekomutativním) tělesem. Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): Protože skaláry jsou asociativní, distributivní i komutativní, můžeme pro tři matice A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p a C = (cu) typu p Iq spočíst A ■ B = (X>/./>Ä). B ■ C = (j^bjk.ck)j, (A ■ B) ■ C = ( J2( aiihik)Xkl ) = ( J2 aiihik -Ckl )' A ■ (B ■ C) = í aii ■ (J2 bJk -c«) ) = ( J2 aii -bik Xki ) • j k S ^j,k S V 1 3 1 4 -1 "3 / Záměnou pořadí řádků (rovnic) potom obdržíme matici / 1 1 V -2 \ -3 0 1 2 1 -1 -2 -1 4 3 0 3 kterou převedeme na schodovitý tvar. Nejprve přičteme (—2)násobek, 2násobek a (—3)násobek prvního řádku po řadě ke druhému, třetímu a čtvrtému řádku, čímž získáme 0 pod prvním nenulovým číslem v prvním řádku. Analogicky poté získáme 0 pod prvním nenulovým číslem ve druhém řádku tak, že tento řádek a jeho (—l)násobek přičteme po řadě ke třetímu a čtvrtému řádku. Takto dostaneme / 1 -1 1 -1 -2 ^ / 1 -1 1 -1 -2 \ 2 1 -1 -1 -3 0 3 -3 1 1 -2 -1 4 -2 0 0 -3 6 -4 -4 v 3 0 3 -5 -8 ) \o 3 0 -2 "2 / / 1 -1 1 -1 -2 \ (1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 -3 -3 0 0 3 -3 -3 \0 0 3 -3 "3 y/ \° 0 0 0 0 / Odtud vyplývá (čtvrtý řádek je pouhou kopií třetího - lze jej tedy „vynulovat"), že soustava bude mít nekonečně mnoho řešení, neboť dostáváme tři rovnice pro čtyři neznámé, které očividně budou mít právě jedno řešení pro každou volbu proměnné x4 e M. Neznámou x4 proto nahradíme parametrem t e M a od maticového zápisu přejdeme zpět k rovnicím X\ — X2 ~\~ X3 — t = —2, 3x2 — 3x3 + t = 1, 3x3 - 3ř = -3. Z poslední rovnice máme X3 = t — 1. Dosazení za X3 do druhé rovnice potom dává 1 3x2 - 3ř + 3 + t = 1, tj. x2 (2t - 2) Konečně podle první rovnice je 1 (2t - 2) + t - 1 - t = -2, tj. 1 (2t - 5). 75 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE (xi, x2, x3, x4) Množinu řešení můžeme tudíž zapsat (pro t = 3s) ve tvaru 5 2 \ 2s--, 2s--, 3s — 1, 3s , se. 3 3 ) Nyní se vraťme k rozšířené matici naší soustavy a upravujme ji dále užitím řádkových transformací tak, aby (při schodovitém tvaru) první nenulové číslo každého řádku (tzv. pivot) bylo právě číslo 1 a aby všechna ostatní čísla v jeho sloupci byla 0. Platí /1 -1 1 -1 -2 \ ( 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 1 -1 1/3 1/3 0 0 3 -3 -3 0 0 1 -1 -1 \o 0 0 0 o ) V 0 0 0 0 o ) /1 -1 0 0 -1 /1 0 0 -2/3 -5/3 \ 0 1 0 - -2/3 -2/3 0 1 0 -2/3 -2/3 0 0 1 -1 -1 0 0 1 -1 -1 \0 0 0 0 0 ) \0 0 0 0 0 přičemž nejdříve jsme vynásobili druhý a třetí řádek číslem 1/3, pak přičetli třetí řádek ke druhému a jeho (—1)násobek k prvnímu a na závěr přičetli druhý řádek k prvnímu. Z poslední matice snadno dostáváme výsledek /2/3\ + t X3 \X4J /-5/3\ 2/3 -1 0 V o / 2/3 1 V 1 / t e Volné proměnné jsou totiž ty, jejichž sloupce neobsahují žádného pi-vota (v našem případě neobsahuje pivota čtvrtý sloupec, je tedy volná čtvrtá proměnná, tj. používáme ji jako parametr). □ 2.5. Určete řešení systému rovnic 3x\ + 3x3 X\ — x2 -\- x3 —2x\ — x2 + 4x3 2x\ -\- x2 — X3 Řešení. Uvědomme si, že soustava rovnic v tomto příkladu se od soustavy z předešlého příkladu liší pouze v hodnotě 8 (místo — 8) na pravé straně první rovnice. Provedeme-li totožné řádkové úpravy jako v minulém příkladu, obdržíme 5^4 = 8, X4 = -2, 2^4 = 0, X4 = -3. / 3 0 3 -5 8 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 1 -1 1 -1 -2 2 1 -1 -1 -3 — 2 -1 4 -2 0 -2 -1 4 -2 0 V 2 1 -1 -1 "3 ) V 3 0 3 -5 8 / ( 1 _1 1 1 "2 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 3 -3 0 0 3 -3 -3 ^ 0 0 3 3 13 / \0 0 0 0 16; kde poslední úpravou bylo odečtení třetího řádku od čtvrtého. Ze čtvrté rovnice 0=16 vyplývá, že soustava nemá řešení. Vyzdvihněme, že Všimněme si, že jsme při výpočtu vycházeli z toho, že je jedno v jakém pořadí uvedené součty a součiny provádíme, tj. využívali jsme podstatně našich vlastností skalárů. Velmi snadno vidíme, že násobení jednotkovou maticí má skutečně vlastnost jednotkového prvku: /l 0 ••• 0\ 0 1 ••• 0 (c A ■ E \o o V a stejně pro násobení E zleva. Zbývá ukázat distributivitu násobení a sčítání. Opět díky distributivitě skalárů snadno spočteme pro matice A = (a^-) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (du) typu p/q A-(B + C) + cjk) [J2aij(bj (J2a'Jb>k) + (E W) I = A ■ B + A ■ C v j j (B + C)D = \ Y^(bjk +cjk)dk ^ k (J^bjkdu) + (J2cJkdu) I = B ■ D + C ■ D. Jak jsme již viděli v 1.26, dvě matice dimenze 2 nemusí komutovat: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (02) i (Ol). Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry. Pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) □ V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: ^ Asociativita a distributivita násobení matic Důsledek. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C A ■ (B + C) = A ■ B + A ■ C, kdykoliv jsou všechny uvedené operace definovány. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. 76 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.6 e2 . 0 2.7 2.6. Inverzní matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a-x = b umíme vyjádřit x = a~l - b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět i s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A~l a z definice je samozřejmé, že obě matice musí mít být čtvercové se stejnou dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice nebo také regulární čtvercová matice. V následujících odstavcích mimo jiné odvodíme, že B je inverzní k A, jakmile platí jedna z požadovaných identit (tj. druhá je pak důsledkem). Pokud A-1 aB"1 existují, pak existuje i inverze k součinu A • B (2.1) (A • B)- B~ Je totiž, díky právě dokázané asociativitě násobení, (B~l ■ A"1) • (A • B) = B~l ■ (A-1 ■ A) ■ B = E (A-B)- (B~l ■ A"1) = A ■ (B ■ B~l) ■ A"1 = E. Protože s maticemi umíme počítat podobně jako se ska-^ láry, jen mají složitější chování, může nám existence inverzní matice skutečně hodně pomoci s řešením systémů lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých sou- činem matic A • x an \Clfn\ íb, \bn a jestliže existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A-1 • u = A-1 ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. A-1 • u je hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A • A ~1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A-1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a různými vektory napravo. 2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Zkusme se praktičtěji zorientovat v předchozí úvaze o systémech rovnic a jejich maticích. Samozřejmě nás nalezení inverzní matice stojí jisté úsilí - větší než přímé vyřešení rovnice. Podstatné však je, že pokud máme mnohokrát za sebou řešit systémy se stejnou maticí A ale různými pravými stranami u, pak se nám nalezení A-1 opravdu hodně vyplatí. i) ii) při úpravě na schodovitý tvar obdržíme rovnici 0 = a pro nějaké a ^ 0 (tj. nulový řádek na levé straně a nenulové číslo za svislou čarou) právě tehdy, když soustava nemá řešení. □ B. Manipulace s maticemi V této podkapitole budeme pracovat pouze s maticemi, abychom si osvojili jejich vlastnosti. 2.6. Násobení matic. Provedlte násobení matic a zkontrolujte si výsledek. Všimněte si, že proto, abychom mohli dvě matice násobit je nutná a postačující podmínka, aby měla první matice stejně sloupců, jako druhá řádků. Počet řádků výsledné matice je pak dán počtem řádků první matice, počet sloupců je roven počtu sloupců druhé matice. -1 3)'(2 l) = (s 4)' ,2 l)'(-l 3) = (l 7 '1-12 1 . /J2 7 1 _5N 3 0 5 4 /' z 1 u j 13 1 iv) I -2 2 -1 3 1 -4/ \-3/ \\\ 1 -2 3 v) (1 3 -3) • j -2 2 -1 I = (-14 1 12), 2 -2)-^lj(-2). Poznámka.Body i) a ii) v předchozím příkladu ukazují, že násobení čtvercových matic není komutativní, v bodě iii) vidíme, že pokud můžeme násobit obdélníkové matice, tak pouze v jednom ze dvou možných pořadí. V bodech iv) a v) si pak všimněme, že (A-B)T = AT BT. 2.7. Nechť j e B Lze matici A převést na matici B pomocí elementárních řádkových transformací (pak říkáme, že jsou řádkově ekvivalentní)? Řešení. Obě matice jsou zřejmě řádkově ekvivalentní s trojrozměrnou jednotkovou maticí. Snadno se vidí, že řádková ekvivalence na množině všech matic daných rozměrů je relací ekvivalence. Matice A a B jsou tudíž řádkově ekvivalentní. □ 2.8. Řešte maticovou rovnici '2 5 X ■ 1 3 4 -ř 2 1 77 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE 2.9. Nalezněte libovolnou matici B, pro kterou je matice C = B ■ A ve schodovitém tvaru, jestliže /3 5 1 V7 2\ 3 0 V Řešení. Budeme-li matici A postupně násobit zleva elementárními maticemi (uvažte, jakým řádkovým úpravám toto násobení matic odpovídá) /O 0 1 0\ / ' 1 0 0 0\ Ei = 0 1 1 0 0 0 0 0 , E2 = -5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 v \ v 0 0 0 v (i 0 0 /1 0 0 0\ E3 = 0 -3 1 0 0 1 0 0 , E4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 \° 0 0 V-7 0 0 v (\ 0 0 0^ (l 0 0 0\ E5 = 0 0 1/3 0 0 1 0 0 , E6 = 0 0 1 -2 0 1 0 0 0 0 h 0 0 v (\ 0 0 0\ /l 0 0 0\ E1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 , E, = 0 0 1/4 0 0 1 0 0 -4 0 v 0 0 v obdržíme S = Ti 8 E 7 2? 6 E 5 2? 4 Ti 3 E 2 £"i /l -3-5 0 \ 0 1 9/4 1/4 0 0 0 0 \0 0 0 0 J /o o 0 1/12 1 -2/3 \0 -4/3 1 0\ -5/12 0 1/3 0 -1/3 1/ C = { □ a, 2.10. Komplexní čísla jako matice. Uvažme množinu matic a b -b a sčítání a násobení matic a dále ukažte, že přiřazení / : C a b -b a f (M ■ N) = f (M) ■ f (N) (na levých stranác rovností se jedná o sčítání a násobení matic, na pravých o sčítání a násobení komplexních čísel). Na množinu C spolu s násobením a sčítáním matic lze tedy Všimněte si, že C je uzavřená na tle ukažte, že přiřazení / : C -> C, \-> a + bi splňuje f(M + N) = f(M) + f(N) i Z hlediska řešení systémů rovnic A ■ x = m je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory u, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Zkusme se teď zamyslet nad možnostmi, jak zjednodušovat matici A tak, abychom se k řešení blížili. Začneme jednoduchými manipulacemi s řádky rovnic, které řešení ovlivňovat nebudou, a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám u čtvercové matice podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Pokud při našem postupu nějaké řádky úplně vypadnou (při úpravách se vynulují), bude to také dávat další přímé informace o řešení. Naše jednoduché úpravy jsou: j Elementární řádkové transformace j, • záměna dvou řádků, • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem, • přičtení řádku k jinému řádku. Těmto operacím říkáme elementární řádkové transformace. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému skutečně nemohou změnit množinu všech jeho řešení, pokud je náš okruh oborem integrity. Analogicky, elementární sloupcové transformace matic jsou • záměna dvou sloupců, • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem, • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gaussova eliminace proměnných. Gaussova eliminace proměnných |m Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: • Je-li aik = 0 pro všechna k = 1, ..., j, potom a^ = 0 pro všechna k > /, • je-li ci(i-\)j první nenulový prvek na (i — \)-ním řádku, pak cii j = 0. 1 důkaz. takto ŕ 0 0 Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá \ 0 0 aij 0 &2k ain ain 0 aip 78 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus, kterým se postupně, řádek za řádkem, blížíme k výslednému schodovitému tvaru: Algoritmus Gaussovy eliminace (1) Případnou záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to 7-tý sloupec. (2) Pro / = 2, ..., vynásobením prvního řádku prvkem atj, /-tého řádku prvkem a\} a odečtením vynulujeme prvek ciij na /-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro dosud neupravený zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Tím je tvrzení dokázáno □ Uvedený postup je skutečně právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Zcela analogickým postupem definujeme sloupcově schodovitý tvar matic a záměnou řádkových na sloupcové transformace obdržíme algoritmus převádějící matici na takový tvar. Poznámka. Gaussovu eliminaci jsme zformulovali pro J' ,. obecné skaláry z nějakého okruhu. Zdá se být přirozené, že ve schodovitém tvaru ještě vynáso - 1 bením vhodnými skaláry dosáhneme jednotkových 5 koeficientů na výsledné nenulové „diagonále" nad nulami v matici a dopočítáme řešení. To ale pro obecné skaláry nepůjde, představte si třeba celá čísla Z. Pro řešení systémů rovnic nemá ale vůbec uvedený postup rozumný smysl, když jsou mezi skaláry dělitelé nuly. Promyslete si pečlivě rozdíl mezi K = Z, K = M a případně Z2 nebo Z4. 2.8. Matice elementárních transformací. V dalším budeme už pracovat jen s polem skalárů K, každý nenulový skalár tedy má inverzní prvek. Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození /-tého a 7-tého řádku (resp. sloupce) (\ 0 o '•. \ 1/ nahlížet jako na těleso C komplexních čísel. Zobrazení / se pak nazývá izomorfismem (těles). Je tedy například 3 5 -5 3 69 13 -13 69 což odpovídá tomu, že (3 + 5/) • (8 — 9/) = 69 — 13/. 2.11. Vyřešte maticové rovnice 'l 3' 3 8 ■X, 1 2 3 4 X 2 • 1 3 3 8 1 2 3 4 Řešení. Zjevně neznámé X\ a X2 musejí být matice 2x2 (aby uvažované součiny matic existovaly a výsledkem byla matice 2x2). Položme X, X, a2 b2 c2 d2 a roznásobme matice v první zadané rovnici. Má platit cl\ + 3c 1 b\ + 3di 3ai + 8ci 3bt + 8 2.13. Vypočítejte inverzní matici k matici /l 0 -2> A =12 -2 1 \5 -5 2 2.14. Nalezněte inverzní matici k matici /8 3 0 0 0\ 5 2 0 0 0 0 0-100 0 0 0 1 2 \0 0 0 3 5/ 2.15. Zjistěte, zda existuje inverzní matice k matici /ll 1 1 \ 11-11 1-1 1 -1 V -i-i i/ Pokud ano, určete tuto matici C-1. □ , přičemž i je imaginární jednotka; 2.17. Napište inverzní matici k n x n matici (n > 1) (2-n 1 ••• 1 1 \ 1 2-n 1 V i 1 2-n 1 1 2-n) 81 C. DETERMINANTY 1. VEKTORY A MATICE C. Determinanty Ověřte si nejprve na následujícím příkladu, že umíte počítat determinanty matic 2 x 2 a 3 x 3 (pomoci Saarusova pravidla): 2.18. Určete determinanty matic: 2.19. Spočítejte determinant matice (\ 3 5 6\ 12 2 2 1112 VO 1 2 1/ Řešení. Začneme rozvíjet podle prvního sloupce, kde máme nejvíce (jednu) nul. Postupně dostáváme 5 2 1 3 1 2 1 1 1 0 1 2 Podle Saarusova pravidla 2 2 2 3 5 6 3 5 6 1 • 1 1 2 - 1 • 1 1 2 + 1 • 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 -2 _ 2 + 6 = 2. □ 2.20. Nalezněte všechny hodnoty argumentu a takové, že a 1 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 Pro komplexní a uvedte buď jeho algebraický nebo goniometrický tvar. Řešení. Spočítáme determinant rozvinutím podle prvního sloupce matice: D a 1 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 a 1 1 a ■ 1 a 1 0 0 —a dále rozvíjíme podle posledního řádku: 1 D = a ■ (—a) a 1 a 2, 2 -a (a 1)- 2 .10b Celkem dostáváme následující podmínku pro a: a — a + \ Substitucí t = a2, pak máme t2 — t + 1 s kořeny t\ cos(7r/3) + i sin(7r/3), t\ 1+íV3 2 cos(7r/3) — i sin(7r/3) cos(—7T/3) + i sin(—7T/3), odkud snadno určíme čtyři možné hodnoty parametru a: a\ = cos(7r/6) + i sin(7r/6) = -v/3/2 + i/2, a2 = cos(77r/6) + i sin(77r/6) = — -v/3/2 — i/2, a3 = cos(—it/6) + operacím s vektory vrátíme za chvíli v 2.24, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a^-) typu m/n rozumíme výraz Ci u kde c i jsou skaláry, u j H-----h ckuh = (čiji, ..., a ) jsou řádky (nebo (a U- amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou tyto řádky lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možností jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou tyto řádky lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme teď J' „ intepretovat tak, že počet výsledných nenulových „schodů" v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven počtu lineárně nezávislých řádků matice, resp. počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Označme Eh matici z věty 2.9 s h jedničkami na diagonále a předpokládejme, že dvěma různými postupy dostaneme různá h' < h. Pak ovšem podle našeho postupu budou existovat také invertibilní matice P a. Q takové, že P-Eh,-Q = Eh. V součinu ■ Q bude více nulových řádků ve spodní části matice, než kolik má být jedniček v Eh a přitom se k nim máme dostat už jen řádkovými transformacemi. Zvýšit počet lineárně nezávislých řádků ale pomocí elementárních řdáko-vých transformací nelze. Proto je počet jedniček v matici P ■ A ■ Q ve větě 2.9 nezávislý na volbě našeho postupu eliminace a je roven jak počtu lineárně nezávislých řádků v A, tak počtu lineárně nezávislých sloupců v A. Tomuto číslu říkáme hodnost matice a značíme je h (A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Věta. Nechť A je matice typum/n nadpolem skalárů K. Matice A má stejný počet h( A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoristmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi, právě když je její hodnost rovna počtu řádků m. 2.12. Matice jako zobrazení. Zcela stejně, jak jsme s maticemi pracovali v geometrii roviny, viz 1.29, můžeme každou čtvercovou matici A interpretovat jako zobrazení A : x A ■ x. Díky distributivitě násobení matic je zřejmé, jak jsou zobrazovány lineární kombinace vektorů takovými zobrazeními: A ■ (a x + b y) = a (A ■ x) + b (A ■ y). 82 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Přímo z definice je také vidět (díky asociativitě násobení matic), že skládání zobrazení odpovídá násobení matic v daném pořadí. Invertibilní matice tedy odpovídají bijektivním zobrazením. IVandermond 2 . 10c tady byla ještě ukázka matic rotací - patrně budou v příkladech, tak jsou tady vyprocentované Z tohoto pohledu je velice zajímavá věta 2.9. Můžeme ji číst tak, že hodnost matice určuje, jak velký je obraz celého W v tomto zobrazení. Skutečně, je-li A = P ■ Ek ■ Q s maticí Ek s k jedničkami jako v 2.9, pak invertibilní Q napřed jen bijektivně „zamíchá" n-rozměrné vektory v W, matice Ek pak „zkopíruje" prvních k souřadnic a vynuluje n — k zbývajících. Tento ,,/c-rozměrný" obraz už pak následně násobení invertibilní P nemůže zvětšit. 2.13. Řešení systémů lineárních rovnic. K pojmům dimenze, lineární nezávislost apod. se vrátíme ve třetí části této kapitoly. Již teď si ale můžeme povšimnout, co právě dovozené výsledky říkají o řešení systému lineárních rovnic. Jestliže budeme uvažovat matici systému rovnic a přidáme k ní ještě sloupec požadovaných hodnot, hovoříme o rozšířené matici systému. Postup, který jsme předvedli odpovídá postupné eliminaci proměnných v rovnicích a vyškrtání lineárně závislých rovnic (ty jsou prostě důsledkem ostatních). Dovodili jsme tedy kompletní informaci o velikosti množiny řešení systému lineárních rovnic v závislosti na hodnosti matice systému. Pokud nám při přechodu na řádkově schodovitý tvar zůstane v rozšířené matici více nenulových řádků než v matici systému, pak žádné řešení nemůže existovat (prostě se daným lineárním zobrazením do požadované hodnoty vůbec netrefíme). Pokud je hodnost obou matic stejná, pak nám při zpětném dopočtu řešení zůstane právě tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných n a hodností h (A). 2. Determinanty V páté části první kapitoly jsme viděli (viz 1.27), že pro čtvercové matice dimenze 2 nad reálnými čísly existuje skalární funkce det, která matici přiřadí nenulové číslo, právě když existuje její inverze. Neříkali jsme to sice stejnými slovy, ale snadno si to ověříte (viz odstavce počínaje 1.26 a vzorec (1.16)). Determinant byl užitečný i jinak, viz odstavce 1.33 a 1.34, kde jsme si volnou úvahou odvodili, že obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a že je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní uvidíme, že podobně lze postupovat v každé konečné dimenzi. V této části budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry. Naše výsledky o determinantech tedy budou vesměs platit pro všechny komutativní okruhy, zejména tedy třeba pro celočíslené matice. i sin(—it/6) = V3/2 -V3/2 + //2. i/2, a4 = cos(57t/6) + i sin(57r/6) □ 2.21. Vandermondův determinant. Dokažte vzorec pro tzv. Vander-mondův determinant, tj. determinant Vandermondovy matice: 1 1 .. 1 CL\ a2 .. V n = a\ a2 .. ■ al ď'1 a2 .. ■ <- n (aJ \ i. Řešení. Ukážeme opravdu nádherný důkaz indukcí, nad nímž srdce mate- f,, matika zaplesá. Pro n = 2 vztah triviálně platí. Nechť tedy platí pro determinant matice určené čísly a\, ... ,ak a dokážeme, x že platí i pro výpočet determinantu Vandermondovy matice určenou čísly a\, ..., ak+\. Uvažme determinant Vk+\ jako polynom P v proměnné ak+i. Z definice determinantu vyplývá, že tento polynom bude stupně k v této proměnné a navíc čísla a\,...,ak budou jeho kořeny: nahradíme-li totiž ve Vandermondově matici Vk+i poslední sloupec tvořený mocninami čísla ak+i libovolným z předchozích sloupců tvořeným mocninami čísla at, tak hodnota tohoto pozměněného determinantu je vlastně hodnotou Vandermondova determinantu (jakožto polynomu v proměnné ak+{) v bodě at. Tato je ovšem nulová, neboť determinant z matice se dvěma shodnými, tedy lineárně závislými, sloupci je nulový. To znamená, že at je kořenem P. Nalezli jsme tedy k kořenů polynomu stupně k, tudíž všechny jeho kořeny a P musí být tvaru P = C(ak+i — a\)(ak+i — a2) ■ ■ ■ (ak+i — ak), kde C je nějaká konstanta, resp. vedoucí koeficient polynomu P. Uvážíme-li však výpočet determinantu Vk+i pomocí rozvoje podle posledního sloupce, tak vidíme, že C = Vk, což už dokazuje vzorec pro Vk+\. □ Jiné řešení, (viz Návody a řešení cvičení) 2.22. Nenulovost determinantu čtvercové matice charakterizuje všechny invertibilní čtvercové matice: zjistěte, zdaje matice / 3 2-1 4 1 2 -2 2 4 V 2 3-4 2 \ -4 1 8/ invertibilní. 83 C. DETERMINANTY 2. DETERMINANTY Řešení. Matice je invertibilní (existuje k ní inverzní matice jlprávJa; tehdy, když ji lze pomocí řádkových transformací převést na jednotkovou matici. To je ekvivalentní např. s tím, že má nenulový determinant. Ten spočítáme pomocí Laplaceovy věty (2.32) například rozvojem podle prvního řádku: 3 2 -1 2 4 1 2 - -4 -2 2 4 1 2 3 -4 8 1 2 -4 4 2 -4 4 1 -4 3 • 2 4 1 2 • -2 4 1 + (-!)• -2 2 1 3 -4 8 2 -4 8 2 3 8 3-90 — 2 • 180 + (-1) • 110 -2 (- 100) = 0, tedy daná matice není invertibilní. □ 2.23. Nalezněte matici algebraicky adjungovanou a matici inverzní k matici /l 0 i 3 0 o\ 4 0 \0 7 0 8/ Řešení. Adjungovaná matice je / A A* = Al3 A23 a33 a43 A14 A34 A44 111 A12 A21 A22 A31 A32 \A41 A42 kde Aij je algebraický doplněk prvku atj matice A, tedy součin čísla (—l)í+J a determinantu trojrozměrné matice vzniklé z A vynecháním z-tého řádku a 7-tého sloupce. Platí 3 0 4 0 0 4 Au = 0 6 0 = -24, A12 = - 5 6 0 = 0,.. 7 0 8 0 0 8 1 0 0 1 0 2 A43 = 0 3 4 = 0, A44 = 0 3 0 = -12 5 0 0 5 0 6 Dosazením získáme /-24 0 20 0 \ T (-24 0 8 0 \ A* = 0 -32 0 28 0 -32 0 16 8 0 -4 0 20 0 -4 0 ^ 0 16 0 -12) 28 0 -12) Inverzní matici A" ~l určíme ze vztahu A 1 = |A|- 1 • A*. Determi- nant matice A je (rozvojem podle prvního řádku) roven |A| 10 2 0 0 3 0 4 5 0 6 0 0 7 0 8 3 0 4 0 3 4 0 6 0 + 2 5 0 0 7 0 8 0 7 8 16. 2.14. Definice determinantu. Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X, viz 1.7. Je-li X = {1, 2, ...,«}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 ... n vct(1) o (2) ... a (ji), Prvek x e X se nazývá samodružným bodem permutace er, je-li er(x) = x. Permutace er taková, že existují právě dva různé prvky x, y e X s a(x) = y, zatímco všechna ostajjní zje X2 jsou samodružná, se nazývá transpozice, zna-2Čňrieji (^, y)^S imozřejmě pro takovou transpozici platí také or(y^) = jfy odtud název. V dimenzi 2 byl vzorec pro determinant jednoduchý -vezmeme všechny možné součiny dvou prvků, po jednom z každého sloupce a řádku matice, opatříme je znaménkem tak, aby při přehození dvou sloupců došlo ke změně celkového znaménka, a výrazy všechny (tj. oba) sečteme: a b c d det A = ad — be. Obecně, uvažujme čtvercové matice A = (a^) dimenze n nad K. Vzorec pro determinant matice A bude také poskládaný ze všech možných součinů prvků z jednotlivých řádků a sloupců: _ j Definice determinantu |_ Determinant matice A je skalár det A = |A| definovaný vztahem |A| = ^2 sgníoOaio-d) • ala(1) ■ ■ ■ ana(n) kde £„ je množina všech možných permutací na {1, ...,«} a znaménko sgn pro každou permutaci a ještě musíme popsat. Každý z výrazů sgn(°r)fll a(b). Permutace a se nazývá i— sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (_i)P°cetinverzi a značíme ji sgn(er). Tolik tedy definice znamének našich členů determintu. Chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení o permutacích už je jasně vidět, že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Věta. Na množině X = {1,2, ... ,n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Každá transpozice mění paritu. Důkaz. Pro jednoprvkové a dvouprvkové X tvrzení samozřejmě platí. Budeme postupovat indukcí přes dimenzi. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci er(l) = a\, ..., a(n) = an. Podle indukčního předpokladu všechny permutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n — 1)!. V posledním z nich prohodíme a (n) — &n zä některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě, a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n(n — 1) =«! zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způsobem. Všimněme si, že poslední věta dokazovaného tvrzení se nezdá příliš důležitá pro jeho využití. Je však velice důležitou částí postupu v našem důkazu indukcí přes počet prvků v X. Zbývá tvrzení věty o paritách. Uvažme pořadí («1, ai+\, ..., a„), ve kterém je r inverzí. Pak zjevně je v pořadí («1, ..., ai+\, a.i, ..., a„) buď r — 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (a;, o,-) lze přitom získat postupným provedením (j — i) + (j — i — \) = 20 — 0 — 1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc již víme, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic. □ Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2, ...,«} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každé konečné množině X = {1, ...,«} s « prvky, n > 1, je právě jn \ sudých a ^n \ lichých permutací. / -3/2 0 1/2 0 \ 0 -2 0 1 5/4 0 -1/4 0 v 0 7/4 0 -3/4/ □ 2.24. Najděte algebraicky adjungovanou matici F*, je-li y S 0 , a, p, y, S e R. ,0 0 l) 2.25. Vypočítejte algebraicky adjungované matice k maticím /3 -2 0 -l\ (a) (b) 1 + i 2i 3-2/ 6 0 2 2 1 1 -2 -3 -2 \0 1 2 1 / přičemž i označuje imaginární jednotku. D. Soustavy lineárních rovnic podruhé Se soustavami lineárních rovnic jsme se již setkali na začátku kapitoly. Nyní se budeme věnovat této problematice podrobněji. Zkusme nejprve využít výpočtu inverzní matice k řešení systému lineárních soustav rovnic. 2.26. Účastníci zájezdu. Dvoudenního autobusového zájezdu se zúčastnilo 45 osob. První den se platilo vstupné na rozhlednu 30 Kč za dospělého, 16 Kč za dítě a 24 Kč za seniora, celkem 1116 Kč. Druhý den se platilo vstupné do botanické zahrady 40 Kč za dospělého, 24 Kč za dítě a 34 Kč za seniora, celkem 1 542 Kč. Kolik bylo mezi výletníky dospělých, dětí a seniorů? Řešení. Zaveďme proměnné x udávající „počet dospělých"; y udávající „počet dětí"; z udávající „počet seniorů". Zájezdu se zúčastnilo 45 osob, a proto x + v + z 45. Celkové vstupné na rozhlednu a do botanické zahrady při zavedení našich proměnných a při zachování pořadí činí 30x+16y+24z a 40x+ 24y + 34z. My je ovšem známe (1 116 Kč a 1 542 Kč). Máme tak 30x + 16y + 24z = 1116, 40x + 24y + 34z = 1542. Soustavu tří lineárních rovnic zapíšeme maticově jako 1 1 l\ M / 45 30 16 24 y = 1 116 ,40 24 34/ \zj \1542; 85 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY Řešením je neboť 2 .13b Slovně vyjádřeno, zájezdu se zúčastnilo 22 dospělých, 12 dětí, 11 seniorů. □ 2.27. Za pomoci výpočtu inverzní matice určete řešení soustavy x\ + x2 + x3 + x4 = 2, X\ -\- X2 — Xj — X4 = 3, X\ — X2 ~\~ X3 — X4 = 3, X\ — X2 — X3 + X4 = 5. Co když však matice soustavy není invertibilní? Potom nemůžeme k jejímu řešení inverzní matice využít. Taková soustava pak má jiný počet než jedno řešení. Jak možná čtenář již ví, tak systém lineárních rovnic buďnemá řešení, nebo má jedno řešení, nebo jich má nekonečně mnoho (například nemůže mít právě dvě řešení). Prostor řešení je buď vektorový prostor (v případě, že pravá strana všech rovnic v systému je nulová, hovoříme o homogenním systému lineárních rovnic) nebo afinní prostor, viz 4.1, (v případě, ze pravá strana alespoň jedné z rovnic je nenulová, hovoříme o nehomogenním systému lineárních rovnic). Ukažme si tedy různé možné typy řešení soustavy lineárních rovnic na příkladech. 2 . 12 2.28. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M má lineární systém X\ — CIX2 — 2^3 = b, x\ + (1 — a)x2 = b — 3, x\ + (1 — a)x2 + axj, = 2b — 1 (a) právě 1 řešení; (b) žádné řešení; (c) alespoň 2 řešení? Řešení. Soustavu „tradičně" přepíšeme do rozšířené matice a upravíme 1 —a —2 1 1 - a 0 1 1 — a a 2b — 1 Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r\ : X -» X platí a proto také sgn(er o rj) = sgn(er) • sgn(/j) sgn(or ) = sgn(o-). 2.16. Rozklad permutace na cykly. Dobrým nástrojem pro praktickou práci s permutacemi je jejich rozklad na tzv. cykly. __j Cykly | 1 Permutace a na množině X = {1, ...,«} se nazývá cyklus délky k, jestliže je možné najít prvky ai, ..., ak e X, 2 < k < n, takové, že er(a;) = ai+\, i = 1, ..., k — 1, zatímco a (ak) = a\ a ostatní prvky v X jsou pro a samodružné. Cykly délky dva jsou právě transpozice. Každá permutace je složením cyklů. Cykly sudé délky mají paritu — 1, cykly liché délky mají ^^^^^^^^^J Poslední tvrzení musíme ještě dokázat. Jestliže definujeme pro danou permutaci a relaci R tak, že dva prvky x, y e X jsou v relaci právě když or(x) = y pro nějakou iteraci permutace a, pak zjevně jde o relaci ekvivalence (ověřte si podrobně!). Protože je X konečná množina, musí pro nějaké i být al(x) = x. Jestliže zvolíme jednu třídu ekvivalence {x, a(x), ..., al~1(x)} c X a ostatní prvky definujeme jako samodružné, dostáváme cyklus. Evidentně je pak celá původní permutace X složením všech těchto cyklů pro jednotlivé třídy naší ekvivalence a je jedno v jakém pořadí cykly skládáme. Pro určení parity si nyní stačí povšimnout, že cykly sudé délky lze napsat jako lichý počet transpozic, proto mají paritu — 1. Obdobně cyklus liché délky dostaneme ze sudého počtu transpozic a proto mají paritu 1. 2.17. Jednoduché vlastnosti determinantu. Poznání vlast- ností permutací a jejich parit z předchozích odstavců nám teď umožní rychle odvodit základní vlastnosti determinantů. Pro každou matici A = (a^-) typu m/n nad definujeme matici transponovanou k A. Jde o = (a -■) s prvky a[- = a p , která je typu n/m. Čtvercová matice A s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = —AT, pak se A nazývá antisy-metrická. Jednoduché vlastnosti determinantů skaláry z I matici AT Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a^) platí následu-jícíc tvrzení: (1) \AT\ = \A\ (2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z \A\=0. [, pak 86 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\. (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem íieK, pak \B\ = a \A\. (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru akj = ckj + by a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (q,-) jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. (6) Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Důkaz. (1) Členy determinantů \A\ a \A | jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn(or)útMi) • a2a{2) ■ ■ ■ ana(n) přitom v AT odpovídá člen (na pořadí skalárů v součinu totiž nezáleží) Sgn((?)aa(l)l ■ ^a(2)2 • • • ^a(n)n — = Sgn( 4xq — 3x4 0. Těmto rovnicím totiž uvedené řešení vyhovuje pro každé t e R a vektory (2,-1,0,0), (0,2,0,-1), (0,0,4,-3) zadávající levé strany rovnic jsou zřejmě lineárně nezávislé (množina řešení obsahuje jeden parametr). 2.31. Stanovte hodnost matice □ /1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 \-2 -1 1 -v Poté stanovte počet řešení systému lineárních rovnic Xi -3*1 Xi + x2 + x3 — 2x2 — -^3 + 2x2 — 4X2 + x3 + a také všechna řešení systému + Xi -3xi Xi X2 + X3 — 2X2 — x3 + 2x2 — 4X2 + x3 + 2,x^ 2,x^ 2,x^ X4 X4 2,x^ 4, 5, 1, 3 o, o, o, o a systému Xi Xi Xi -2xi 3x2 2X2 + 2x3 x2 X2 + X3 1, -4, 1, -2. Řešení. Protože je det A = —10, tedy nenulový, jsou sloupce matice A lineárně nezávislé, a tudíž se její hodnost rovná jejímu rozměru. První z uvedených třech systémů je zadán rozšířenou maticí / 1 1 1 -2 4 \ -3 -2 -1 -1 5 0 2 0 1 1 v 1 -4 1 -2 3 ) Ovšem levá strana je právě AT s determinantem |A2 \A\ £ 0. Existuje tedy matice (AT) a soustava má právě 1 řešení (xi, x2, x3, x4)T = (AT)~l ■ (4, 5, 1, 3)T . Druhý ze systémů má totožnou levou stranu (určenou maticí AT) Je-li matice A v řádkovém schodovitém tvaru, pak v každém členu IAI je alespoň jeden součinitel prvkem pod diagonálou s výjimkou případu, kdy jsou všechny jen na diagonále. Pak je ale jediným nenulovým členem determinantu ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy, že determinant takové matice ve schodovitém tvaru je au • Ü22 ■ Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační metody, viz odstavec 2.7. Všimněme si také hezkého důsledku prvního tvrzení j&i^ předchozí věty o rovnosti determinantů matice a matice transponované. Zaručuje totiž, že kdy-^ .Cc. koliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o v>\í—» - determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. To můžeme hned použít pro odvození následujícího vzorce pro přímý výpočet řešení systémů lineárních rovnic: J Crammerovo pravidlo I Uvažme systém n linárních rovnic pro n proměn- | ných s maticí sytému A = (a;i) a sloupcem hodnot b = (b\, ..., bn), tj. v maticovém zápisu řešíme rovnici A ■ x = b. Jestliže existuje inverze A~l, pak jsou jednotlivé komponenty jediného řešení x = (xi, ..., x„) dány vztahem xi = \Ai\\A\-\ kde matice A; vznikne z matice systému A výměnou z-tého sloupce za sloupec hodnot b. mm^mmmmmmJi Skutečně, jak jsme viděli, inverze k matici systému existuje právě tehdy, když má systém jediné řešení. Jestliže tedy takové řešení x máme, můžeme za sloupec b dosadit do matice Ai příslušnou kombinaci sloupců matice A, tj. hodnoty bi = anxi+- ■ ■+ainxn. Pak ale odečtenímx,<--násobků všech ostatních sloupců zůstane v /-tém sloupci pouze x;-násobek původního sloupce z A. Číslo x; tedy můžeme vytknout před determinant a získáme rovnost | A, \ \ A \ ~1 = x, \ A \ \ A \ ~1 = x,■, což je požadované tvrzení. Dále si všimněme, že vlastnosti (3)-(5) z předchozí věty říkají, že determinant jakožto zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár, je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jako jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. s prvním. Protože absolutní členy na pravé straně lineárních syslžnlůl 88 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 1. 14a 2.19. Další vlastnosti determinantu. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x h-» A ■ x zadané čtvercovou maticí A na 1", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\, ... xn a jejich obrazy A ■ x\, ..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x A • x h-» B ■ (A- x) odpovídá násobení matic, je snad docela pochopitelná tzv. Cauchyova věta: _J Cauchyova věta | Věta. Nechť A = (a^), B = (bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ ■ \B\. Všimněme si, že z Cauchyovy věty a z reprezentace elementárních rakových transformací pomocí násobení vhodnými maticemi (viz 2.8), okamžitě vyplývají tvrzení (2), (3) a (6) z Věty 2.17. My teď tuto větu odvodíme ryze algebraicky už proto, že \A předchozí odvolávka na geometrický argument těžko může fungovat pro libovolné skaláry. Základním nástrojem je tzv. rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků či sloupců. Budeme proto potřebovat něco málo technické přípravy. Čtenář, který by snad tolik abstrakce nestrávil může tyto pasáže přeskočit a vstřebat pouze znění Laplaceovy věty a jejich důsledků. 2.20. Minory matice. Při úvahách o maticích a jejich vlastnostech budeme často pracovat jen s jejich WL JLY/ částmi. Budeme si proto muset zavést několik pojmů. J submatice a minory | Nechť A = (atj) je matice typu m/n a 1 < i\ < ... < h < rn, 1 < ji < ... < ji < n jsou pevně zvolená přirozená čísla. Pak matici / «/, M = at "■liji \aik.h ahh ■ ■ ■ aikji / typu k/l nazýváme submaticí matice A určenou řádky í'i, ..., /t a sloupci ji, ..., ji. Zbývajícími (m — k) řádky a (n — l) sloupci je určena matice M* typu (m — k)/(n — i), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = l je definován \M\, který nazýváme subdeterminant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = i je i M* čtvercová a \M*\ se nazývá doplněk minoru \M\, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár -----Nt+j'H-----. |^*| se nazývá algebraický doplněk k minoru \M\. neovlivňují počet řešení a protože každý homogenní systém má nulové řešení, dostáváme jako jediné řešení druhého systému uspořádanou čtveřici (jci, x2, x3, x4) = (0,0, 0,0). Třetí systém má rozšířenou matici / 1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 v -2 -1 1 "2/ což je matice A (pouze poslední sloupec je uveden za svislou čarou). Pokud budeme tuto matici upravovat na schodovitý tvar, musíme obdržet řádek ( 0 0 0 | a ) , kde a £ 0. Víme totiž, že sloupec na pravé straně není lineární kombinací sloupců na levé straně (hodnost matice je 4). Tento systém nemá řešení. □ 232. Vyřešte systém homogenních lineárních rovnic zadaný maticí /0 72 73 76 0 \ 2 2 73 -2 -75 0 2 75 273 -73 \3 3 73 -3 0 / 2.33. Určete všechna řešení systému 3xi xx xx + X2 2x2 x2 + x4 3x3 + 4x4 x3 -\- x4 x3 1, -2, 2, 1. 2.34. Vyřešte 3x - 5y + 2u + 4z = 2, 5x + ly - Au - 6z = 3, Ix - 4y + u + 3z, = 5. 2.35. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 3xi + 3x2 + x3 = 1, 2x\ -\- 3x2 — x3 = 8, 2x\ — 3x2 + xj, =4, 3x\ — 2x2 + xj, = 6 89 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY třech proměnných x\, x2, x3. 2.36. Stanovte počet řešení 2 soustav 5 lineárních rovnic AT -x = (1,2, 3, 4,5)r, AT -x = (1, 1, 1, 1, 1)T, kde (x\,X2,xs) a A '3 1 7 5 0> 0 0 0 0 1 k2 1 4 3 0; 2 . 14b 2.37. Nechť je dáno Najděte taková reálná čísla bi,b2,b3, aby systém lineárních rovnic A x = b měl: (a) nekonečně mnoho řešení; (b) právě jedno řešení; (c) žádné řešení; (d) právě 4 řešení. 2.38. Určete řešení soustavy lineárních rovnic ax\ + 4x2 +2x3 = 0, 2xi + 3x2 v závislosti na parametru a e M. x3 0, 2.39. V závislosti na hodnotě parametru a e M rozhodněte o počtu řešení soustavy /4 1 4 AA /2\ 2 3 6 8 ť x2 5 3 2 5 4 x3 = 3 \6 -1 2 w \-v 2.40. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic tří proměnných, jejíž množinou řešení je (a) {(0,0,0)}; (b) {(0,1,0), (0,0,0), (1,1,0)}; (c) {(x, 1,0); x e M}; (d) {(x, y, 2y); x,y elj. Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají vedoucí hlavní submatice, jejich determinanty vedoucí hlavní minory matice A. Zvolíme-li k po sobě jdoucích řádků a sloupců, počínaje /-tým řádkem, hovoříme o hlavních sub-maticích, resp. hlavních minorech. Při speciální volbě k = l = \, m=n říkáme příslušnému doplňkovému minoru algebraický doplněk Aij prvku aij matice A. 2.21. Laplaceův rozvoj determinantu. Pokud je \M\ \^ hlavní minor matice A řádu k, pak přímo z % definice determinantu je vidět, že každý z jednotlivých k\(n — k)\ sčítanců v součinu \M\ s jeho algebraickým doplňkem je členem determinantu \A\. Obecně, uvažme submatici M, tj. čtvercovou matici, určenou řádky i\ < i2 <••• Uvažme nejprve následující matici H di- menze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou ze (sub)matic A, B atd.) H A 0 -E B Mi an\ -1 \0 o b 0 \ -1 o n 'In Jnn/ Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě \H\ = \A\ ■ \B\. Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme K Mi an\ -1 a\n C\\ -ťnn Lnl 0 o Cln\ 0 V o -1 o ... o / Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat anb]_j +ai2b2j H-----Y aini neboli jde právě o prvky součinu A • B a \K\ = \H\. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme \K\ = (-1)"+1+-+2"|A-£| = (-l)2n(n+1)-|A-S| = \A-B\. Tím je Cauchyova věta bezezbytku dokázána. 2.41. Řešte soustavu lineárních rovnic v závislosti na reálných parametrech a, b. x +2y +bz x - y + 2z 3x — y a 1 1. E. Vektorové prostory Vlastnosti vektorového prostoru, kterých jsme si všimli u roviny či třírozměrného prostoru, ve kterém žijeme, má celá řada jiných množin. Ukažme si to na příkladech. 2.42. Vektorový prostor ano či ne? Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými prostory nad tělesem reálných čísel: i) Množina řešení soustavy xl + x2 + ' ' ' + X9S + x99 + ^100 = 100*11 xi + x2-\-----h x98 + x99 = 99*i, Xi + X2-\-----h *98 = 98*1, *i -\- x2 = 2*1. ii) Množina řešení rovnice x\ + x2 + - - - + *100 = 0 iii) Množina řešení rovnice x\ + 2x2 + 3*3 + • • • + lOOxioo = 1- iv) Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností. (Reálnou, resp. komplexní posloupností rozumíme zobrazení / : N -> M, resp. / : N -> C. O obrazu čísla n pak hovoříme jako o n-tém členu posloupnosti, většinou jej označujeme dolním indexem, např. an.) v) Množina řešení homogenní diferenční rovnice. vi) Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice. vii) {/ : R -+ R\f(\) = f (2) = c, c e R} Řešení. i) Ano. Jsou to všechny reálné násobky vektoru (1,1,1...,1), 1-,-' 100 jedniček tedy vektorový prostor dimenze 1 (viz dále (2.29)). 91 E. VEKTOROVÉ PROSTORY 2. DETERMINANTY ii) Ano. Jedná se o prostor dimenze 99 (odpovídá počtu volŘýúbo parametru řešení). Obecně je tvoří množina řešení libovolné homogenní soustavy lineárních rovnic vektorový prostor. iii) Ne. Např. dvojnásobek řešení x\ = 1, x,■ = 0, i = 2, ... 100 není řešením dané rovnice. Množina řešení však tvoří tzv. afinní prostor (viz (??)). iv) Ano. Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností tvoří zřejmě reálný, resp. komplexní, vektorový prostor. Sčítání posloupností a násobení posloupnosti skalárem je totiž definováno člen po členu, kde se jedná o vektorový prostor reálných, resp. komplexních, čísel. v) Ano. Abychom ukázali, že množina posloupností vyhovujících dané diferenční homogenní rovnici tvoří vektorový prostor, stačí ukázat, že je uzavřená vzhledem ke sčítání i násobení reálným číslem (neboť se jedná o podmnožinu v|qkjorpa vého prostoru) mějme posloupnosti (x7)^0 a (y7)°^0 vyhovující stejné homogenní diferenční rovnici, tedy <^nxn+k + ^n-lxn+k-l + • • • + <^0xk = 0 anyn+k + an-iyn+k-i + ■ ■ ■ + flOÄ = 0. 2.23. Determinant a inverzní matice. Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A ■ A~l = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy \A\ invertibilní skalár a díky Cauchyově větě platí |A_11 = |A|_1. My však nyní kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho věty umíme říci víc. | Vzorec pro inverzní matici |_ (ciij) dimenze A u jsou alge- Pro libovolnou čtvercovou matici A n definujeme matici A* = («*), kde a*-braické doplňky k prvkům a jí v A. Matici A* nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí (2.2) AA* = A*A = \A\ ■ E. Zejména tedy (1) A~l existuje jako matice nad okruhem skalárů K, právě když \A\~l existuje v K. (2) Pokud existuje A~l, pak platí A~ \AY A*. 1 Sečtením těchto rovnic dostaneme a„(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + y„+k-\) H-----h a0(xk + yk) = 0, tedy i posloupnost (xj + y7)°^0, vyhovuje stejné diferenční rovnici. Rovněž tak pokud posloupnost (xj)^0 vyhovuje dané rovnici, tak i posloupnost (uxj)^0 , kde ueK. vi) Ne. Součet dvou řešení nehomogenní rovnice anxn+k + an-\xn+k-\ + ' ' ' + a0xk = c a„y„+k + a„_i)>„-Hfc_i H-----h a0yk = c, c e R - {0} vyhovuje rovnici an(xn+k + yn+k) + an-l(xn+k-l + yn+k-l) + • • • + ao(xk + yŮ = 2c, zejména pak nevyhovuje původní nehomogenní rovnici. Množina řešení však tvoří afinní prostor, viz 4.1. vii) Je to vektorový prostor právě, když c = 0. Vezme-li dvě funkce / a g z dané množiny, pak (f+g)( 1) = (f+g)(2) = f(\) + g(\) = 2c. Má-li funkce f + g být prvkem dané množiny, musí být (/ + g)(l) = c, tedy 2c = c, tedy c = 0. Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A~l vyplývá invertibilita \A\ e K. Pro libovolnou čtvercovou matici A spočteme přímým výpočtem A ■ A* = (q7), kde ^2aikakj = ^2aikA k=l Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj \A\ podle /-tého řádku. Pokud i ^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je z-tý a y-tý řádek stejný a proto je q7 = 0. Odtud plyne A ■ A* = \A\ ■ E a dokázali jsme rovnost (2.2). Předpokládejme navíc, že \A \ je invertibilní skalár. Jestliže zopakujeme předešlý výpočet pro A* ■ A, obdržíme \A\~lA* ■ A = E. Proto náš výpočet skutečně dává inverzní matici A, jak je tvrzeno ve větě. □ Jako přímý důsledek této věty můžeme znovu ověřit Cra-mmerovo pravidlo pro řešení systémů lineárních rovnic, viz 2.18. Skutečně, pro řešení systému A ■ x = b stačí důsledně přečíst v rovnosti x = A-1 • b = \A\~lA* -b poslední výraz jako Laplaceův rozvoj determinantu matice Ai vzniklé výměnou /-tého sloupce v A za sloupec hodnot □ b. 92 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.24. Abstraktní vektorové prostory. Vraťme se teď na chvilku k systémům m lineárních rovnic pro n proměnných z 2.3 a předpokládejme navíc, že jde o homogenní systém rovnic A ■ x = 0, tj. an din Xi /0> \aml . . . amnJ \^n J \®/ Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je zřejmé, že součet dvou řešení x = (x\, ..., x„) a y = (yi, ..., y„) splňuje A-(x+y) = A- x+ A- y = Q a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a-x. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v W, viz 2.1. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a ,rozměr" tohoto prostoru je dán rozdílem počtu proměnných a hodností matice A. Můžeme tedy snadno mít při řešení 1000 souřadnic a jen jeden nebo dva volné parametry. Celý prostor řešení se pak bude chovat jako rovina nebo přímka, jak jsme je poznali již v 1.25 na straně 31. Už v odstavci 1.9 jsme ale potkali ještě zajímavější příklad prostoru všech řešení homogenní lineární diferenční rovnice (prvního řádu). Všechna řešení jsme dostali z jednoho pomocí násobení skaláry a jsou tedy také uzavřená na součty a skalární násobky. Tyto „vektory" řešení ovšem jsou nekonečné posloupnosti čísel, přestože intuitivně očekáváme, že „rozměr" celého prostoru řešení by měl být jedna. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze: «„„■—■..J Definice vektorového prostoru | Vektorovým prostorem V nad polem skalárů K rozumíme množinu, na které jsou definovány • operace sčítání splňující axiomy (KG1)-(KG4) z odstavce 1.1 na straně 6, • násobení skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4) z odstavce 2.1 na straně 72. Připomeňme také naši jednoduchou konvenci ohledně značení: skaláry budou zpravidla označovány znaky z počátku abecedy, tj. a, b, c, ..., zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z- Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu rc-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i, j, k, i budou nejčastěji označovat indexy výrazů. Abychom se trochu pocvičili ve formálním postupu, ověříme jednoduché vlastnosti vektorů, které pro rc-tice skalárů byly samozřejmé, nicméně teďje musíme odvodit z axiomů. 2.43. Zjistěte, zda je množina í/i ={(Xl,x2,x3) sR3; |jci| = \x2\ = \x3\] podprostorem vektorového prostoru R3 a množina U2 = {ax2 + c; a, c e R} podprostorem prostoru polynomů stupně nejvýše 2. Řešení.Množina U\ není vektorovým (pod)prostorem. Vidíme např., že je (1,1,1) + (-1,1,1) = (0,2,2) £ ř/i. Množina U2 ovšem podprostor tvoří (nabízí se přirozené ztotožnění s R2), protože {a\x2 + ci) + (a2x2 + c2) = (ax + a2) x2 + (ci + c2), k ■ (ax2 + c) = (ka) x2 + kc pro všechna čísla a\, c\, a2, c2, a, c, k e R. □ 2.44. Je množina ľ = {(l,i);iel)s operacemi © : V x V -> V, (1, y) © (1, z) = (1, z + y) pravšechna O : R x V -> V, z O (1, y) = (1, y • z) pro všechna vektorovým prostorem? F. Lineární závislost a nezávislost, báze 2.45. Výpočtem determinantu vhodné matice rozhodněte o lineární nezávislosti vektorů (1,2, 3, 1), (1,0, —1, 1), (2, 1, —1, 3) a (0, 0, 3, 2). Řešení. Protože 12 3 1 10-11 2 1-13 0 0 3 2 uvedené vektory jsou lineárně nezávislé 10 ^0, □ 2.46. Nechťjsou dány libovolné lineárně nezávislé vektory u, v, w, z ve vektorovém prostoru V. Rozhodněte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory u — Iv, 3u + w — z, u — 4v + w + 2z, 4v + 8u> + Az. Řešení. Uvažované vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé vektory (1,-2,0,0), (3,0,1,-1), (1, -4, 1, 2), (0, 4, 8, 4) v R4. Je však 1-200 3 0 1-1 1-412 0 4 8 4 -36 jL 0, 93 F. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI tudíž jsou uvažované vektory lineárně nezávislé. 2 . lt 2.47. Určete všechny konstanty a e M takové, aby polynomy ax2 + x +2, —2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve vektorovém prostoru Pj[x], polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3 nad reálnými čísly). Řešení. V bázi 1, x, x2 jsou souřadnice zadaných vektorů (polynomů) následující: (a, 1, 2), (—2, a, 3), (1, 2, a). Polynomy budou lineárně závislé, právě když bude mít matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi zadaných vektorů menší hodnost, než je počet vektorů, v tomto případě tedy hodnost dvě a menší. V případě čtvercové matice nižší hodnost než je počet řádkuje ekvivalentní nulovosti determinantu dané matice. Podmíka na a tedy zní a 1 -2 a 1 2 0, 2.25. Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme a, b, at e K, vektory u, v, u j e V. Potom (1) a ■ u = 0, právě když a = 0 nebo u = 0, (2) (— 1) - u = —u, (3) a ■ (u — v) = a ■ u — a ■ v, (4) (a — b) ■ u = a ■ u — b ■ u, (5) (YXi a,-) • (E7=i ui) = Eľ=i £7=iai' u>- Důkaz. Můžeme rozepsat (a + 0) • u a ■ u + 0 • u = a ■ u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0 • u = 0. Nyní u + (-1) • u (V= (1 + (-1)) • u = 0 • u = 0 a odtud —u = (—1) • u. Dále (v2, V3) a ■ (u + (— 1) • v) = a ■ u + (—a) ■ v = a ■ u — a ■ v, tj. a bude kořenem polynomu a3 — 6a — 5 = (a + l)(a2 — a — 5), tj. což dokazuje (3). Platí úloha má tři řešení a i ■1, a2,: 1±V21 □ 2.48. Vektory (1,2,1), (-1,1,0), (0,1,1) jsou lineárně nezávislé, a proto z nich lze sestavit bázi R3. Každý trojrozměrný vektor je tak nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1)? 2 . 17a 2.49. Vyjádřete vektor (5, 1,11) jako lineární kombinaci vektorů (3, 2, 2), (2, 3, 1), (1, 1, 3), tj. nalezněte čísla p, q,r e M, pro která je (5, 1, 11) = p (3, 2, 2) + q (2, 3, 1) + r (1, 1, 3). 2.50. Pro jaké hodnoty parametrů a, b, c e M. jsou vektory (1, 1, a, 1), (1, b, 1, 1), (c, 1, 1, 1) lineárně závislé? 2.51. Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze složená z vektorů u, v, w, z. Zjistěte, zda jsou vektory u — 3v + z, v — 5w — z, 3w — lz, u — w + z lineárně (ne)závislé. 2.52. Doplňte vektory 1 — x2 + x3, 1 + x2 + x3, 1 — x — x3 na bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 3. (v2.v3) (a — b) ■ u = a ■ u + (—b) ■ u = a ■ u — b ■ u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (VI). Zbývá(1): a-0 = a-(u—u) = a -u—a -u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p-u=0a.p^0, pak u = 1 • u = (p~l ■ p) ■ u = p~l -0 = 0. □ 2.26. Lineární (ne)závislost. V odstavci 2.11 jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: j Lineární kombinace a nezávislost j» Výrazy tvaru a\ ■ v\ + ■ ■ ■ + ak ■ vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\, ..., vk e V. Konečnou posloupnost vektorů v\, ..., vk nazveme lineárně nezávislou, jestliže jediná jejich nulová lineární kombinace je ta s nulovými koeficienty, tj. jestliže pro skaláry a\, ..., ak e K platí at ■ vi H-----h ak ■ vk = 0 a2 ak = 0. Je zjevné, že v nezávislé posloupnosti vektorů jsou všechny po dvou různé a nenulové. Množina vektorů M c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže každá konečná /c-tice vektorů v\, ..., vk e M je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. 94 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Přímo z definice vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako konečná lineární kombinace pomocí ostatních vektorů v M. Skutečně, alespoň jeden koeficient v příslušné nulové lineární kombinaci musí být nenulový a protože jsme nad polem skalárů, můžeme jím podělit a vyjádřit tak u něj stojící vektor pomocí ostatních. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je samozřejmě také lineárně nezávislá (požadujeme stejné podmínky na méně vektorů). Stejně snadno vidíme, že M c V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. 2.27. Generátory a podprostory. Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a náso-__i§ bení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Vút, b € K, Vi;, w € M, a ■ v + b ■ w € M. Rozeberme si hned několik příkladů: Prostor m-tic skalárů W" se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad M, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) e M2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1,0) + b ■ (0, 1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1,0), (72, 0) e R2 jsou lineárně závislé nad M, protože 72 ■ (1,0) = (72, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad M tedy tyto dva vektory „generují" jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je „větší". Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : M -» M a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (/ + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Mqo [x] a Mm[x] c M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou také např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy, tj. polynomy splňující f(-x) = ±f(x). Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení M -» M nebo všech zobrazení M -» V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje jjři pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť W{, i e /, jsou vektorové podprostory ve V, Í'J 1 a, b e K, u, v e níe/W;-. Pak pro všechny i e /, a ■ u + b ■ v e W,■, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v e níe/ W,■. 2.53. Tvoří matice '\ 0 1 -2, 1 4 \ í-5 0\ íl -2N o v 3 oj' vo 3 bázi vektorového prostoru čtvercových dvourozměrných matic? Řešení. Uvedené čtyři matice jsou jako vektory v prostoru 2x2 matic lineárně nezávislé. Vyplývá to z toho, že matice / 1 1 —5 1 \ 0 4 0 -2 10 3 0 \-2 -10 3 / je tzv. regulární, což je mimochodem ekvivalentní livovolnému z ná-sledujích tvrzení: její hodnost je rovna rozměru;ze z ní pomocí řádkových elementárních transformací obdržet jednotkovou matici; existuje k ní matice inverzní; má nenulový determinant, roven 116; jí zadaná homogenní soustava lineárních rovnic má pouze nulové řešení; každý nehomogenní lineární systém s levou stranou určenou touto maticí má právě jedno řešení; obor hodnot lineárního zobrazení, jež zadává, je vektorový prostor dimenze 4; toto zobrazení je injektivní). □ 2.54. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2+x + \. 2.55. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2 — x +1. 2.56. V M3 jsou dány podprostory U a V generované po řadě vektory (1,1,-3), (1, 2, 2) a (1, 1, -1), (1, 2, 1), (1, 3, 3). Nalezněte průnik těchto podprostoru. Řešení. Podprostor V má dimenzi pouze 2 (nejedná se tedy o celý prostor M3), neboť 0 a neboť libovolná dvojice z uvažovaných třech vektorů je očividně lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že také podprostor U má dimenzi 2. Současně je 111 1 2 1=2^0, -3 2 -1 a proto vektor (1, 1, — 1) nemůže náležet do podprostoru U. Průnikem rovin procházejících počátkem (dvojrozměrných podprostoru) v trojrozměrném prostoru musí být alespoň přímka. V našem případu je jím právě přímka (podprostory nejsou totožné). Určili jsme dimenzi průniku - je jednodimenzionální. Všimneme-li si, že 1 •(!, 1, -3) + 2- (1,2,2) = (3,5, 1) = 1 • (1, 1, -1)+2 • (1, 2, 1), 1 1 -1 1 1 1 1 2 1 = 1 2 3 1 3 3 -1 1 3 95 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ dostávame vyjádření hledaného průniku ve tvaru množiny všech skalárních násobků vektoru (3, 5, 1) (jedná se o přímku procházející počátkem s tímto směrovým vektorem). □ 2.57. Stanovte vektorový podprostor (prostoru M4) generovaný vektory m = (-1, 3, -2, 1), u2 = (2, -1,-1, 2), u3 = (-4, 7, -3, 0), «4 = (1,5, —5, 4). vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů u{ (tj. vybráním báze). Řešení. Sepíšeme vektory u{ do sloupců matice a obdrženou matici upravíme pomocí řádkových elementárních transformací. Takto získáme (-1 2 -4 !\ / 1 2 0 4\ 2 0 3 -1 7 5 -1 2 -4 i 0 4 - 4 5 -2 -1 -3 - -5 3 -1 7 5 0 -7 7 -7 V i 2 0 4/ -1 -3 -v \o 3 - 3 3 / /l 2 0 4\ 2 0 4 \ n 0 2 °\ 0 1 -1 5/4 0 1 -1 5/4 0 1 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 -1/4 0 0 0 1 \o 0 0 0 ) \o 0 0 \o 0 0 o) Odtud vyplývá, že lineárně nezávislejšou právě vektory u\, u2, ^4, tj. právě ty vektory odpovídající sloupcům, které obsahují první nenulové číslo nějakého řádku. Navíc odsud plyne (viz třetí sloupec) 2 • (-1, 3, -2, 1) - (2, -1, -1, 2) = (-4, 7, -3, 0). □ G. Lineární zobrazení 12.19 Jak popsat analyticky shodná zobrazení v rovině či prostoru j afié^e-rotace, osová symetrie či zrcadlení, nebo projekci třírozměrného prostoru na dvojrozměrné plátno? Jak popsat zvětšení obrázku? Co mají společného? Jsou to všechno lineární zobrazení. Znamená to, že zachovávají jistou strukturu roviny či prostoru. Jakou strukturu? Strukturu vektorového prostoru. Každý bod v rovině je popsán dvěma v prostoru pak třema souřadnicemi. Pokud zvolíme počátek souřadnic, tak má smysl mluvit o tom, že nějaký bod je dvakrát dál od počátku stejným směrem než jiný bod. Také víme, kam se dostaneme, posuneme-li se o nějaký úsek v jistém směru a pak o jiný úsek v jiném směru. Tyto vlastnosti můžeme zformalizovat, hovoříme-li o vektorech v rovině, či prostoru a o jejich násobcích, či součtech. Lineární zobrazení má pak tu vlastnost, že obraz součtu vektorů je součet obrazů sčítaných vektorů a obraz násobku vektoru je ten stejný násobek obrazu násobeného vektoru. Tyto vlastnosti právě mají zobrazení zmíněná v úvodu tohoto odstavce. Takové zobrazení je pak jednoznačně určeno tím, jak se chová na vektrorech nějaké báze (to je v rovině obrazem dvou vektorů neležících na přímce, v prostoru obrazem tří vektorů neležích v rovině). Zejména je tedy podprostorem průnik (M) všech podpro-storů W C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M c V. Říkáme, že množina M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostoru (M). Zformulujme opět několik jednoduchých tvrzení o generování podprostoru: Tvrzení. Pro každou neprázdnou podmnožinu M C V platí (1) (M) = {«i •«!+••• + ak ■ uk; k e N, at e K, u j e M, j = 1,...,*}; (2) M = (M), právě když M je vektorový podprostor; (3) jestliže N C M, pak (N) C (M) je vektorový podprostor. Podprostor (0) generovaný prázdnou podmnožinou je triviálni podprostor {0} C V. Důkaz. (1) Množina všech lineárních kombinací ci\U\ + • • • + akuk na pravé straně (1) je jistě vektorový podprostor a samozřejmě obsahuje M. Naopak, každá z jednotlivých lineárních kombinací nutně musí být v (M) a první tvrzení je dokázáno. Tvrzení (2) vyplývá okamžitě z (1) a z definice vektorového podprostoru a obdobně je z prvního tvrzení zřejmé i tvrzení třetí. Konečně, nejmenší vektorový podprostor je {0}, protože prázdnou množinu obsahují všechny podprostory a každý z nich obsahuje vektor 0. □ 2.28. Součty podprostoru. Když už máme představu o generátorech a jimi vytvářených podprostorech, měli bychom rozumět i možnostem, jak několik podprostoru může vytvářet celý vektorový prostor V. j Součty podprostoru | Nechť Vi, i e I, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V,), nazýváme součtem podprostoru V;. Značíme ^i e/ V;. Zejména pro konečný počet podprostoru V\, ..., Vk C V píšeme Vi + --- + Vjt = (ViUV2U-UVt>. i Vidíme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostoru můžeme vyjádřitjako lineární kombinaci vektorů zpod-prostorů V i. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostoru a pro konečný součet k podprostoru tak dostáváme Vi + V2 + ■ ■ ■ + Vk = {vi + ■ ■ ■ + vk; ví € Ví, i = 1, Součet W = V\ + • • • + Vk C V se nazývá přímý součet podprostoru, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V, D Vj = {0} pro všechny i ^ j. Ukážeme, že v takovém případě 96 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA lze každý vektor w e W napsat právě jedním způsobem jako součet w = vi -\-----\-vk, kde V{ e V,. Skutečně, pokud by tento vektor šlo zároveň vyjádřit, jako w = v[ + ■ ■ ■ + v'k, potom 0 = w - w = (vi - v[) H-----\-(vk- v'k). Pokud bude vt — v[ první nenulový člen na pravé straně, pak tento vektor z Vt umíme vyjádřit pomocí vektorů z ostatních podprostorů. To je ale ve sporu s předpokladem, že Vt má se všemi ostatními nulový průnik. Jedinou možností tedy je, že všechny vektory na pravé straně jsou nulové a tedy je rozklad wjednoznačný. Pro přímé součty podprostorů píšeme w = v. Vt. 2 .19a 2.29. Báze. Nyní máme vše připravené pro pochopení minimálních množin generátorů tak, jak j sme se s nimi vypořádali v rovině M2. báze vektorových prostorů [ Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, počet prvků báze nazýváme dimenzí V. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněroz-měrný. Píšeme dim V = k, k e N, případně k = oo. Abychom s takovou definicí dimenze mohli být spoVo-jeni, potřebujeme vědět, že různé báze téhož^pro-storu budou mít vždy stejný počet prvků. To skutečně brzy dokážeme. Všimněme si hned, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je „prázdnou" bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi &-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako &-tici v_ = (vi ... ,vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (v\, ..., vn) bazí V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných podprostorů V = (Vl) (vn). Okamžitým důsledkem výše odvozené jednoznačnosti rozkladu jakéhokoliv vektoru ve V do komponent v přímém součtu dává jednoznačné vyjádření w X\V\ + ■ ■ ■ + xnvn a dovoluje nám tedy po volbě báze opět vidět vektory jako n-tice skalárů. K tomuto pohledu se vrátíme v zápětí v odstavci 2.33, jak jen dokončíme diskusi existence bazí a součtů podprostorů v obecné poloze. A jak tedy zapsat nějaké lineární zobrazení / na vektorovém prostoru V? Začněme pro jednoduchost s rovinou M2: předpokládejme, že obraz bodu (vektoru) (1, 0) je (a, b) a obraz bodu (0, 1) je (c, d). Tím už je jednoznačně určený obraz libovolného bodu o souřadnicích (u, v): f((u, v)) = f(u(\, 0) + i,(0, 1)) = uf(\, 0) + u/(l, 0) = (ua, ub) + (vc, vd) = (au + cv, bu + dv), což můžeme výhodně zapsat následujícím způsobem: a c \ í u b d j [v au + cv bu + dv Lineární je tedy zobrazení jednoznačně dané maticí. Navíc pokud (e f\ máme další lineární zobrazení e, dané maticí . , tak snadno spočítáme (čtenář si jistě ze zájmu sám ověří), že jejich složení g o f , (ae + fc be + df i e dáno maticí . , , „ y ag + ch bg + dh To nás vede k tomu, abychom násobení matic definovali tímto způsobem, tedy aby aby aplikace zobrazení na vektor byla dána maticovým násobením matice zobrazení se zobrazovaným vektorem a aby složení zobrazení bylo dáno součinem matic jednotlivých zobrazení. Obdobně to funguje v prostorech vyšší dimenze. Zároveň tato úvaha znovu ukazuje to, co již bylo dokázáno v (2.5), totiž že násobení matic je asociativní, ale není komutativní, neboť tomu tak je u skládání zobrazení. To je tedy další z motivací, proč se zabývat vektorovými prostory a proč je s pojmem vektorového 2.58. Popišme si nejprve některá lineární zobrazení. Začneme několika příklady v prostorech malých dimenzí. Ve standardní bázi M2 uvažujme následující matice zobrazení / : M2 -> M2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostorů W c {(0,a); fl e Kj c K2 na podprostor V c {(a,0); a e M} c M2. Evidentně pro toto zobrazení / : M2 -> M2 platí / o / = / a tedy f hm f je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Mi [x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší a-krát, druhý b-kiát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva pod-prostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem. Např. volba a = 1, 97 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ b = — 1 odpovídá komplexní konjugaci x + iy h-» x — iy na dvoúrxÄQ měrném reálném prostom M2 ~ C v bázi (1,0- Toto je lineárni zobrazení reálného vektorového prostoru, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. V geometrii roviny jde o zrcadlení podle osy x. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi. Jako pro každé lineární zobrazení, které je bijekcí, umíme najít báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na začátku i konci. Zkusme však uvažovat matici C jako matici zobrazení g : C2 -» C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (1,0. Pro které bude platit .i ~o)-(\)=i-u> 8(v) = (°i o1)'(i To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má g matici i 0 K0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky ±a, a = cos(jjt)+i sin(^). Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Navíc, můžeme si označit reálnou a imaginární část vektoru u takto -i ■ v. K u = xu + iyu = Re u + i Im u + i a zúžení komplexního zobrazení g na reálný vektorový podprostor generovaný vektory xu a iyu (tj. násobení komplexní jednotkou i) je právě otočení o úhel jjr. Nyní zkusme přejít do lineárních zobrazení z M3 do M3. Jedním z nich je například rotace. 2.59. Nalezněte matici rotace v kladném smyslu o úhel jt/3 kolem přímky procházející počátkem s orientovaným směrovým vektorem (1, 1, 0) ve standardní bázi M3. Řešení. Uvedené otočení lze získat složením po řadě těchto tří zobrazení: • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu x); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy x; • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde na osu rotace). Matice výsledné rotace bude součinem matic odpovídajících uvedeným třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobrazení - prvnímu zobrazení odpovídá v součinu 2.30. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze koenčněroz-měrného prostoru V má přitom stejný počet prvků. Důkaz. První tvrzení ukážeme snadno indukcí přes počet generátorů k. Jedině nulový podprostor nepotřebuje žádný generátor a tedy umíme vybrat prázdnou bázi. Naopak, ^ nulový vektor vybrat nesmíme (generátory by byly lineárně závislé) a nic jiného už v podprostoru není. Abychom měli indukční krok přirozenější, probereme ještě přímo případ k = 1. Máme V = ({v}) au 7^ 0, protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} zároveň báze vektorového prostoru V. Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = (i>i, ..., vn+i). Jsou-li vi, ..., vn+i lineárně nezávislé, pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že a\V\ + • • • + cii- + lvi + l H-----h an +if«+i- Pak ovšem V = {v\, ..., u;_i, vi+\, ..., vn+\) a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). Zbývá ověřit, že báze mají vždy stejný počet prvků. Uvažujme bázi (v\, ..., vn) prostoru V a libovolný nenulový vektor u = a\V\ + s at 7^ 0 pro jisté i. Pak + a„v„ e V 1 / — (u ai (a\V\ H-----\-cii-1Vi-1 +ai+ivi+i -\-----\-a„vn)) a proto také (u,v\, ..., q+i, ..., v„) = V. Ověříme, že je to opět báze: Kdyby přidáním u k lineárně nezávislým vektorům v\, ..., t>;_i, vi+\, ..., v„ vznikly lineárně závislé vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací. To by znamenalo V = (vu ..., Ui-i, vi+1, ...,vn), což není možné. Takže jsme dokázali, že pro libovolný nenulový vektor u e V existuje i, 1 < i < n, takové, že (u, v\, ..., Vi-i, vi+\, ..., v„) je opět báze V. Dále budeme místo jednoho vektoru u uvažovat lineárně nezávislou množinu u\, ..., uk a budeme postupně přidávat u 1, u2, ..., vždy výměnou za vhodné vt podle předchozího postupu. Musíme přitom ověřit, že takové vt vždy bude existovat (tj. že se nebudou vektory u vyměňovat vzájemně). Předpokládejme tedy, že již máme umístěné u\, ...,U(_. Pak se ui+i jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých Vj. Pokud by pouze koeficienty u«i,...,«ť byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory u 1, ..., uí+i byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k < n tak po k krocích získáme bázi ve které z původní báze došlo k výměně k vektorů za nové. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z 98 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.20a nových vektorů ut, což znamená, že tyto nemohou být lineárně nezávislé. Zejména tedy není možné, aby dvě báze měly různý počet prvků. □ Ve skutečnosti jsme dokázali silnější tvrzení, tzv. Steinit-zovu větu o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi v a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů t>;, po jejichž záměně za zadané nové vektory opět dostaneme bázi. 2.31. Důsledky Steinitzovy věty o výměně. Díky možnosti volně volit a vyměňovat bázové vektory můžeme okamžitě dovodit pěkné (a intuitivně snad také očekávané) vlastnosti bazí vektorových prostorů: Tvrzení. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny. (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů. Malinko složitější, ale nyní snadno zvládnutelná, je situace kolem dimenzí podprostorů a jejich součtů: Důsledek. Nechť W,Wi,W2 C V jsou podprostory v prostoru V konečné dimenze. Pak platí (1) dim W < dim V, (2) V = W, právě když dim V = dim W, (3) dim Wi + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2). Důkaz. Zbývá dokázat pouze poslední tvrzení. To je zřejmé, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dim W\ = r > 1, dim W2 = s > 1 a nechť (wi ..., wt) je báze Wi n W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik triviální). Podle Steinitzovy věty o výměně lze tuto bázi průniku doplnit na bázi (wi, ..., wt, ut+i ..., ur) pro W\ a na bázi (wi ..., wt, vt+i, ..., vs) pro W2. Vektory matice nejvíce napravo. Takto dostaneme hledanou matici W\, Wt, Ut+1 . ur, vt+\ ...,vs jistě generují W\ + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť tedy a\Wi + Pak nutně + atwt + bt+iUt+i + ... ----\-brur +ct+ivt+i + + csvs (ct+i ■ vt+i H-----h cs ■ vs) = = at ■ wi H-----h at ■ wt + bt+i ■ ut+i + (JI V2 2 2 ■J2_ J2_ 2 2 0 o / 1 4 1 4 o V (i o o 1 o \ V3 / ví V! 0\ 2 2 U - V2 2 0 V2 2 0 o v- 4 4 3 4 V6 4 V_6 \ 4 _ VI 4 \ ) Uvědomme si, že výslednou rotaci bylo možné získat např. také složením následujících tří zobrazení: • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu y); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy y; • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa y přejde na osu rotace). Analogicky tak dostáváme 2 72 2 2 V_2 72 2 2 0 o o' o + br ■ ur □ 2.60. Matice obecné rotace vť. Ve vedlejším sloupci umí kolega v M3 popsat pouze matice rotace kolem souřadnicových os. V tomto sloupci umíme odvodit i matici obecné rotace v M3. Úvahu z předchozího příkladu totiž můžeme provést i s obecnými hodnotami. Uvažme libovolný jednotkový vektor (x, y, z). Rotace v kladném smyslu o úhel

M má také dimenzi oo a nemá spočetnou bázi. 2.33. Souřadnice vektorů. Jestliže pevně zvolíme bázi (t>i, ..., vn) konečněrozměrného prostoru V, pak můžeme každý vektor w e V vyjádřit jako |KtO% lineární kombinaci v = a\V\ + ■ ■ ■ + anvn. 'ftir*~t~^~ Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: w = a\V\ + • • • + anvn = b\V\ + ■ ■ ■ + bnvn. Potom ale 0 = (en - b]) ■ vi H-----\-(a„ - b„) ■ v„ a proto a{ = b{ pro všechna i = 1. Dospěli jsme proto k závěru: V konečněrozměrném vektorovém prostoru lze každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor w e V ve zvolené bázi v = (vi, ..., v„) se nazývají souřadnice vektoru w v této bázi. Kdykoliv budeme mluvit o souřadnicích {a\, ..., an) vektoru w, které vyjadřujeme jako posloupnost, musíme mít pevně zvolenu i posloupnost bázových vektorů y_ = (i>i, ..., vn). Jakkoliv jsme tedy báze zavedli jako minimální množiny generátorů, ve skutečnosti s nimi budeme pracovat 100 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA jako s posloupnostmi (tedy s uspořádanými množinami, kde je pevně zadáno pořadí bázových prvků). přiřazení souřadnic vektorům Přiřazení, které vektoru u = a\Vi + ■ ■ ■ + a„v„ přiřadí jeho souřadnice v bázi y_, budeme značit stejným symbolem v : V -» K". Má tyto vlastnosti: (1) v(u + w) = v(u) + v(w); Vw, w e V, (2) v(a ■ u) = a ■ v(u); Va eK,V« e V. Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M : V -» KM (tj. souřadnice vektoru jsou zobrazení z M do K). Uvedené vlastnosti přiřazení souřadnic jsme viděli už dříve u zobrazení, kterým jsme v geometrii roviny říkali lineární (zachovávaly naši lineární strukturu v rovině). Než se budeme věnovat podrobněji závislosti souřadnic na volbě báze, podíváme se obecněji na pojem linearity zobrazení. 2.34. Lineární zobrazení. Pro jakékoliv vektorové tľ prostory (konečné i nekonečné dimenze), de-S&fQff linujeme „linearitu" zobrazení mezi prostory <í4§0é^t~ obdobně, jako jsme to viděli již v rovině M2: h.^^otm^ Definice lineárních zobrazení Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení / : V -» W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), Vu,veV (2) f(a ■ u) = a ■ f(u), Va ěK,¥uě V. Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: s maticí typu m /n nad K. Obraz Im/ := f (V) C W je vždy vektorový podpro-stor, protože lineární kombinace obrazů /(«/) je obrazem lineární kombinace vektorů u{ se stejnými koeficienty. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker/ := /_1({0}) C V, protože lineární kombinace nulových obrazů bude vždy zase nulovým vektorem. Podprostor Ker / se nazývá jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfis-mus. Podobně jako u abstraktní definice vektorových prostorů, opět je třeba ověřit zdánlivě samozřejmá tvrzení vyplývající z axiomů: Tvrzení. Nechť f : V —> W je lineární zobrazení mezi libovolnými vektorovými prostory nad týmž polem skalárů K. Pro 2.62. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. /O 1 0\ /O 1 1 \ Řešení. 002,21 3. □ \0 0 0/ \0 -1 -1/ 2.63. Ve standardní bázi v M3 určete matici rotace o 90° v kladném smyslu kolem přímky (ř, t,t), t e M, orientované ve směru vektoru (1, 1, 1). Dále určete matici této rotace v bázi £=((1,1,0), (1,0,-1), (0,1,1)). Řešení. Snadno určíme matici uvažované rotace a to ve vhodné bázi, totiž v bázi dané směrovým vektorem přímky a dále dvěma navzájem kolmými vektory v rovině x + y + z = 0, tedy v rovině vektorů kolmých k vektoru (1, 1, 1). Uvědomme si, že matice rotace v kladném smyslu o 90° v nějaké ortonormální bázi v M2 je 0 -1 1 0 , v orto- gonální s velikostmi vekorů k, l potom ^QJ' Zvolíme-li v rovině x + y + z = 0 kolmé vektory (1, — 1, 0) a (1, 1, —2) o velikostech 72 a y/6, tak v bázi / = ((1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 1, -2)) má /l 0 0 \ uvažovaná rotace matici I 0 0 — V3 I. Abychom získali ma- \0 1/V3 0 / tici uvažované rotace ve standardní bázi, stačí nám transformovat matici již známým způsobem. Matici přechodu T od báze / ke standardní dostaneme zapsáním souřadnic (ve standardní bázi) vektorů báze / do /i i i\ sloupců matice T: T = I 1 —1 II. Celkem tedy pro hledanou V o -V matici R máme '1 0 (2.3) (2.4) R r-|o o -VšI -T-1 vo i/VŠ o / 1/3 1/3 - V3/3 1/3 + V3/3\ 1/3 + V3/3 1/3 1/3 - V3/3 J/3-V3/3 1/3 + V3/3 1/3 / Tento výsledek můžeme ověřit dosazením do matice obecné rotace (2.1), normováním vektoru (1,1,1) dostáváme vektor (x, y, z) = (l/VŠ, l/VŠ, 1/V3), cos((p)y^ (1 — coí>(p)yz — xsinip \zx(1 — cos Z dvou lineárních zobrazení / : V^Wag: W^Z)e opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení / : V -> W je izomorfismus, právě když Im / = W a Ker / = {0} C V. Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. (3) Pro libovolné podprostory V\, V2 C V a lineární zobrazení / : V -> W platí f(Vi + V2) = /(Ví) + /(V2), /(Vi n v2) c /(vo n /(v2). (4) Zobrazení „přiřazení souřadnic" u : V -> K" dané libovolně zvolenou bází u = (u\, ..., un) vektorového prostoru V je izomorfismus. (5) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (6) Složení dvou izomorfismu je izomorfismus. '-TN Důkaz. Ověření prvního tvrzení je velmi snadné cvičení. Pro důkaz druhého si uvědomme, že je-li / Y^- lineární bijekce, pak je vektor w vzorem line-rání kombinace au +bv, tj. w = f~1(au+bv), právě když f(w) =au+bv = f (a ■ f-l(u) + b ■ f~\v)). Je tedy také w = af~l(u) + bf~l(v) a tedy je inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní, právě když Im / = W a pokud Ker / = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. 102 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Další tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! Zbý vaj ící body j sou j iž zřej mé. □ 2.36. Opět souřadnice. Uvažujme libovolné vektorové prostory V a W nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení / : V -» W. Pro každou u„) na V, v = (vi, v„) volbu bází u = (u\ V1 na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřad nic a celou situaci několika právě zmíněných zobrazení za chycuje následující diagram: Spodní šipka /„je definována zbylými třemi, tj. jako zobrazení jde o složení fu,v =vo f o u~l. Matice lineárního zobrazení Každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na vektorech báze u. Označme f(ux) = a\\ ■ v\ + a2\ • V2 H-----h amivm f(u2) = a12-v1+a22-v2-\-----h am2vm f(u„) — ai„ ■ vi + a2n ■ v2 + ■ ■ ■ + amnvm tj. skaláry tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot f(uj) zobrazení / na bázových vektorech vyjádření v bázi v na cílovém prostoru W. Matici A = (ciij) nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Pro obecný vektor u = x\u\ + • • • + xnun e V spočteme (vzpomeňme, že sčítání vektorů je komutativní a distributivní vůči násobení skaláry) f(u) = xi/(«i) H-----\-xnf(un) = xi(útni;i+- • ■+amivm) + ■ ■ ■ + x„(ai„vi+- ■ ■+amnvm) = (xiútn+- • ■+x„ai„)vi + ■ ■ ■ + (x\ami+- ■ ■+xnamn)vm. Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení /„„(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kr chápeme jako sloupce, tj. matice typu r/1 fu,v(u(w)) = v(f(w)) = A ■ u(w). Naopak, máme-li pevně zvoleny báze na V i W, pak každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení K" -> Km a tedy i zobrazení / : V -> W. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a.W, odpovídá každé volbě matice typu m/n právě jedno lineární zobrazení V -> W a 2.67. Uvažme komplexní čísla jako reálný vektorový prostor a za jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici následujících lineárních zobrazení: tonjugace, b) násobení číslem (2 + /). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 — /), (1 + /). Řešení. '\ 0 ,0 -1 a) b) V obou bazích je matice stejná a to Zamyslete se, proč tomu tak je. 1 □ 2.68. Určete matici A, která ve standardní bázi prostoru M3 zadává kolmou projekci do vektorového podprostoru generovaného vektory ux = (-1, l,0)a«2 = (-1,0, 1). Řešení. Nejprve poznamenejme, že uvedený podprostor je rovinou procházející počátkem s normálovým vektorem w3 = (1,1, 1). Uspořádaná trojice (1, 1, 1) je totiž očividným řešením soustavy —x\ + x2 =0, —x\ + x3 = 0, tj. vektor w3 je kolmý na vektory u\, u2. Podotkněme rovněž, že jsme tento příklad již vyřešili (matici A známe z dřívějšího příkladu). Při dané projekci se vektory ui a u2 musejí zobrazit na sebe a vektor u3 potom na nulový vektor. V bázi složené po řadě z vektorů u\, u2, m3 je proto matice této projekce '\ o o^ 0 1 o ^0 0 Oj Pomocí matic přechodu 1\ /_! 2 3 3 _ 1 _ l 3 3 3 III 3 3 3 od báze (u\, u2, u3) ke standardní bázi a od standardní báze k bázi («i, u2, u3) získáme -1 -1 1\ /l 0 0\ ' 1 2 1 0 1-010-0 1 1/ \0 0 0/ □ 103 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI 2.69. Napište matici zobrazení kolmé projekce do roviny procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 1, 1). 2 .25a Řešení. Obraz libovolného bodu (vektoru) x = (x\,x2,x3) e M v uvažovaném zobrazení získáme tak, že od daného bodu odečteme jeho kolmou projekci do normálového směru dané roviny, tedy do směru (1, 1, 1). Tato projekce p je dána (viz přednáška) jako (x, (1, 1, 1)) _ X\ + X2 + X3 Xi+X2+X3 Xi+X2+X3 1(1, 1, 1)|2 ~ 3 ' 3 ' 3 Výsledné zobrazení je tedy ,2x\ x2 -\- x3 2x2 X\ -\- x3 2*3 i 3 ' ~3 3 ' ~3~ (- X\ + x2 ) □ 2.70. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y — 2z, = 0. 2.71. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu 2x — y + 2z = 0. H. Vlastní čísla a vlastní vektory 2 al3. (1) Uvažme zobrazení 2.72. Vlastní čísla a vlastní vektory mohou sloužit k názornému po pisu lineárních zobrazení, zejména v s maticí ve standardní bázi Pak dostáváme —k 0 1 \A - kE\ = 0 1 — k 0 = -ŕ + x2 + x - i, 1 0 —k s kořeny k\t2 se spočtou: 1, k3 = — 1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou k = 1 -ť 2.26 0 -1/ \o o o s bází prostoru řešení, tj. všech vlastních vektorů s touto vlastní hodnotou «i = (0,1,0), u2 = (1,0,1). Podobně pro k = — 1 dostáváme třetí nezávislý vlastní vektor '\ 0 l\ /l 0 ŕ 0 2 0 - 0 2 0 1 0 1/ \0 0 0; u3 = (-1,0, 1). ukázali jsme bijekci mezi maticemi příslušného rozměru a lineárními zobrazeními V -> W. 2.37. Matice přechodu mezi souřadnicemi. Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bázemi, a za / identické zobrazení, vyjadřuje postup z předchozího odstavce vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u U = X\U\ -\-' ' ' -\- Xnlln v souřadnicích vzhledem ku a dosadíme za u{ jejich vyjádření pomocí vektorů z y_, obdržíme souřadné vyjádření x = (x\, ..., xn) téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přesklá-dat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Ve skutečnosti teď děláme totéž, co v předchozím odstavci pro speciální případ identického zobrazení idy na vektorovém prostoru V. Matice tohoto identického zobrazení je T a tedy nutně musí naznačený přímý výpočet dát x = T ■ x. Situace se zobrazena na diagramu: Výslednou matici T nazýváme matice přechodu od báze u vektorového prostoru V k bázi v téhož prostoru. Přímo z definice vyplývá: | výpočet matice přechodu |_ Tvrzení. Matici T přechodu od báze u k bázi v získáme tak, ze souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. 1 Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.38. Více souřadnic. Nyní si ukážeme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : W -> Z a označme příslušnou matici g^^. V W fu,v 8v_,w 104 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Složení go f na horním řádku odpovídá matici zobrazení W -» Kk dole a přímo spočteme (píšeme A pro matici / a B pro matici g ve zvolených bazích): 8v,w o fu,Áx) = w o g o v'1 o v o f o u~l = B ■ (A ■ x) = (B ■ A) ■ x = (g o /)„,„,(*) pro všechny x e W. Skládání obražení tedy odpovídá násobení příslušných matic. Všimněte si také, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Stejný postup nám dává odpovědna otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V V f W fu,v W kde T je matice přechodu od w' k u a S je matice přechodu od 1/ k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S^AT. Ve speciálním případě lineárního zobrazení / : V -» V, tj. zobrazení má stejný prostor V jako definiční obor i obor hodnot, vyjadřujeme zpravidla / pomocí jediné báze u prostoru V. Pak tedy přechod k nové bázi w' s maticí před-chodu T od u/ k u bude znamenat změnu matice zobrazení na A' = T~1AT. 2.39. Lineární formy. Obzvlášť jednoduchým a zároveň důležitým případem lineárních zobrazení jsou tzv. lineární formy. Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem skalárů K 'jLj^=— do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V, je přiřazení jednotlivé /-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou. Přesněji řečeno, pro každou volbu báze v = (i>i, ..., vn) máme k dispozici lineární formy v* : V -» K takové, že v*(vj) = tj. nula pro různé indexy i a. j a. jednička pro stejné. Vektorový prostor všech lineárních forem na V značíme V* a říkáme mu duální prostor vektorovému prostoru V. Předpokládejme nyní, že prostor V má konečnou dimenzi n. Bázi V* sestavenou z přiřazování jednotlivých souřadnic jako výše nazýváme duální báze. Skutečně se jedná o bázi prostoru V*, protože jsou tyto formy zjevně lineárně nezávislé (prověřte si!) a je-li a libovolná forma, pak platí pro každý vektor u = x\V\ + ■ ■ ■ + x„v„ a(u) = x\a(v\) + • • • + x„a(v„) = íx(i;i)i;*(h) H-----h a(vn)v*(u) a je tedy a lineární kombinací forem v*. Při pevně zvolené bázi {1} na jednorozměrném prostoru skalárů K jsou s každou volbou báze v na V lineární formy a ztotožněny s maticemi typu l/n, tj. s řádky y. Právě komponenty těchto řádků jsou souřadnicemi obecných lineárních forem v duální bázi v*. Vyčíslení takové formy na vektoru je V bázi u\, u2, «3 (všimněte si, že w3 musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky předchozí větě aui,u2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má / diagonální matici Celý prostor M3 je přímým součtem vlastních podprostorů, M3 = V\ © V2, dim V\ = 2, dim V2 = 1. Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení /. Vlastní podprostor V\ je navíc přímým součtem jednorozměrných vlastních podprostorů, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (takový další rozklad nemá tedy již žádný geometrický význam). (2) Uvažme lineární zobrazení / : R2[x] -> R2[x] definované derivováním polynomů, tj. /(I) = 0, f(x) = 1, f(x2) = 2x. Zobrazení / má tedy v obvyklé bázi (1, x, x2) matici Charakteristický polynom je \A — k ■ E\ = —A3, existuje tedy pouze jediná vlastní hodnota, k = 0. Spočtěme vlastní vektory: Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polynomem 1. 2.73. Příklad i se změnou báze. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice /l 1 f^ A = 1 2 1 V 2 h Popište toto zobrazení a napište jeho matici v bázi: ei = [1,-1,1] e2 = [1,2,0] e3 = [0, 1, 1] Řešení. Charakteristický polynom dané matice je = —k3 + 4k2 -2k = -k(k2 -4k + 2). 1 - k 1 0 1 2 — k 1 1 2 1 - k Kořeny tohoto polynomu, vlastní čísla, udávají, kdy nebude mít matice 105 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI plnou hodnost, tedy soustava rovnic bude mít i jiné řešení než řešení x = (0, 0, 0). Vlastní čísla tedy jsou 0, 2 + a/2, 2 — a/2. Spočítejme vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním hodnotám: • 0: Řešíme tedy soustavu '1 1 0\ /jcA 1 2 1 \\x2 = 0 12 1/ \jc3/ Jejím řešením je jednodimenzionální vektorový prostor vlastních vektorů ((1, —1, 1)). • 2 + a/2: Řešíme soustavu (1 + V2) 1 0 \ /xA 1 -72 1 \\x2 = 0. 1 2 -(1 + V2)/ VsJ Řešením je jednodimenzionální prostor ((1,1 + a/2, 1 + V2)>. • 2 — a/2: Řešíme soustavu '(a/2-1) 1 0 1 V2 1 1 2 (72 - 2.28 0. Řešením je prostor vlastních vektorů ((1, 1 — a/2, 1 — \/2)). Daná matice má vlastní čísla 0,2+a/2 a 2 — a/2, kterým přísluší po řadě jednorozměrné prostory vlastních vektorů ((1, —1, 1)), ((1,1 + a/2, 1 + a/2)) a ((1, 1 - a/2, 1 - a/2)). Zobrazení tedy můžeme interpretovat jako projekci podél vektoru (1, -1, 1) do roviny dané vektory (1, 1 + a/2, 1 + a/2) a (1, 1 -a/2, 1 — a/2) složenou s lineárním zobrazením daným „natažením" daným vlastními čísly ve směru uvedených vlastních vektorů. Nyní jej vyjádřeme v uvedené bázi. K tomu budeme potřebovat matici přechodu T od standardní báze k dané nové bázi. Tu získáme tak, že souřadnice vektorů staré báze v bázi nové napíšeme do sloupců matice T. My však snadněji zapíšeme matici přechodu od dané báze k bázi standardní, tedy matici T~l. Souřadnice vektorů nové báze pouze zapíšeme do sloupců: Potom pak dáno vynásobením příslušného řádkového vektoru y se sloupcem souřadnic x vektoru w e V v bázi u: ot(u) = y - x = yxxx -\-----h ynxn. Zejména tedy vidíme, že pro každý konečněrozměrný prostor V je V* izomorfní prostoru V. Realizace takového izo-morfismu je dána např. naší volbou duální báze ke zvolené bázi na prostoru V. V tomto kontextu tedy znovu potkáváme skalární součin řádku n skalárů se sloupcem n skalárů, j ak j sme s ním pracovali již v odstavci 2.3 na straně 74. U nekonečně rozměrného prostoru se věci mají jinak. A Např. už nejjednodušší příklad prostoru všech polynomů K[x] v jedné proměnné je vektorovým prostorem se spočetnou bazí s prvky vt = x1 a stejně jako výše můžeme definovat lineárně nezávislé formy v*. Jakýkoliv formální nekonečný součet YlT=o ai vľ Je nyní dobře definovanou lineární formou na K[x], protože bude vyčíslován vždy pouze na konečné lineární kombinaci bázových polynomů x1, i = 0, 1, 2, .... Spočetná množina všech v* tedy není bazí. Ve skutečnosti lze ukázat, že tento duální prostor ani spočetnou bázi mít nemůže. 2.40. Velikost vektorů a skalární součin. V úvahách o geometrii roviny M2 jsme již v první kapitole v od-rf stavci 1.29 pracovali nejen s bázemi a lineár-sz. nimi zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení těchto pojmů jsme také použili skalárního součinu dvou vektorů v = (x, y) a v' = (x', ý) ve tvaru u ■ v = xx' + yyf. Skutečně, souřadné vyjádření pro velikost v = (x, y) je dáno IMI = a/x2 + y2 = y/v - v, zatímco (orientovaný) úhel

0 a ||u||2 = (v, v) = 0 pouze při v = 0. Číslu ||u|| = s/(v, v) říkáme velikost vektoru v. Vektory v a w e V se nazývají ortogonální nebo kolmé, jestliže (v, w) = 0. Píšeme také v _L w. Vektor v se nazývá normovaný, jestliže ||t>|| = 1. Báze prostoru V složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze. Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. Skalární součin se také často zapisuje pomocí obvyklé tečky, tj. (u, v) = u ■ v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného (stejně jsme značili součin matic a také někdy součin skalárů). Protože je skalární součin lineární v každém ze svých argumentů, bude jistě úplně určen již svými hodnotami na dvojicích bázových vektorů. Skutečně, zvolme si bázi u = (ui, ..., un) prostoru V a označme (Ui,Uj). s jí a Pak ze symetričnosti skalárního součinu plyne Síj z linearity součinu v každém z argumentů dostáváme: (Ev'"'-EV;"-; = zZx'>'i{"'- ui) = J2suxiyj- i j i,j i,j Pokud je báze ortonormální, je matice S jednotkovou maticí Tím jsme dokázali následující užitečné tvrzení: skalární součin a ortonormální báze Tvrzení. Skalární součin je v každé ortonormální bázi dán v souřadnicích výrazem (x, y) =xT ■ y. Pro každou obecnou bázi prostoru V existuje symetrická matice S taková, že souřadné vyjádření skalárního součinu je (x, y) S-y. 2 . 33b 2.41. Ortogonální doplňky a projekce. Pro každý pevně zvolený podprostor W C V v prostoru se skalárním součinem definujeme jeho ortogonální doplněk takto W1- = {u € V; alt) pro všechny v e W}. Přímo z definice je zjevné, že W1- je vektorový podprostor. Jestliže W C V má bázi («!,..., uk), je podmínka pro W1-dána jako k homogenních rovnic pro n proměnných. Bude tedy mít W1- dimenzi alespoň n—k. Zároveň ale u e IVniy1 a pro matici B zobrazení v nové bázi pak máme (viz 2.38) /O 5 2 B = TAT'1 = ( 0 -2 -1 \0 14 l □ 2.74. Naleznete vlastní čísla a jim příslušné vektorové prostory vlastních vektorů matice: -1 0 0 5 5 6 3 2.75. Určete charakteristický polynom \A—XE\, vlastní čísla a vlastní vektory matice ŕA -1 6^ 2 1 6 v2 -1 2.76. Stanovte vlastní hodnoty matice /-13 5 4 2\ 0 -10 0 -30 12 9 5 \-12 6 4 1/ 2.77. Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními čísly k\ = 6 a k2 = 1 takové, aby násobnost k2 jako kořene charakteristického polynomu byla 3 a aby (a) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 3; (b) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 2; (c) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 1. 2.78. Víte-li, že čísla 1,-1 jsou vlastní hodnoty matice /-ll 5 4 l\ -3010 -21 11 8 2 \-9 5 3 1/ uvedlte v echna ře ení charakteristické rovnice | A — k E \ = 0. Nápověda: Označíme-li kořeny polynomu | A — k E \ jako k\, k2, k3, k4, je | A | = ki ■ k2 ■ k3 ■ k4, tr A = ki + k2 + k3 + k4. 2.79. Pro libovolnou n x n matici A je její charakteristický polynom \ A — k E \ stupně n, je tedy tvaru | A - k E I = cn kn + c„_i k"-1 + ■ ■ ■ + a k + c0, cn^0, přičem platí cn = (-!)", c„_i = (-l)"-1trA, c0 = |A|. Jestliže je matice A trojrozměrná, obdržíme | A - k E I = -k3 + (tr A) k2 + ci k + I A |. 107 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI Volbou X = 1 dostávame \A-E\ = _i + trA+ci + |A|. Odsud získáváme vyjádření \A-XE\ = -A3 + (trA)A2 + (|A-£'| + l-trA-|A|)A + |A|. Využijte toto vyjádření k určení charakteristického polynomu a vlastních hodnot matice 2.80. Vypočítejte A5 a A"3, je-li 0 ■1 1 2 0 1 2.81. Bez počítání napište spektrum lineárního zobrazení / : M3 -» M3 zadaného přiřazením (jci, x2, x3) h-» (xi + x3, x2, x\ + x3). 2.82. Pauliho matice. Ve fyzice se stav částice se spinem ^ popisuje Pauliho maticemi. Jsou to následující matice 2x2 nad komplexními čísly '0 l\ /O -A íl 0 i o]'ff2 = li o]'CT3= 0 -1 2 . 33a Ukažte, že pro komutátor matic (značený hranatými závorkami) platí [cti, a2] := o\o2— 4 0 V 2.84. Lze vyjádřit matici B 5 6 6 5 znamená (u,u) = 0 a tedy i u = 0 podle definice skalárního součinu. Zřejmě je tedy vždy celý prostor V přímým součtem v = wew±. Lineární zobrazení / : V -> V na libovolném vektorovém prostoru se nazývá projekce, jestliže platí / o f = f. V takovém případě je pro každý vektor v e V v = f (v) + (v- f (v)) e Im(/) + Ker(/) = V a je-li v e Im(/) a f (v) = 0, pak je i v = 0. Je tedy předloží součet podprostorů přímý. Říkáme, že / je projekce na podprostor W = Im(/) podél podprostorů U = Ker(f). Slovy se dá projekce popsat přirozeně takto: rozložíme daný vektor na komponentu ve W a v U a tu druhou zapomeneme. Je-li na V navíc skalární součin, říkáme že jde o kolmou projekci, když je jádro kolmé na obraz. Každý podprostor W V tedy definuje kolmou projekci na W. Je to projekce na W podél W^, která je dána pomocí jednoznačného rozkladu každého vektoru u na komponenty uw e W ä U iy± e W-1, tj. lineární zobrazení, které uw +uw± zobrazí na uw- 2.42. Existence ortonormální báze. Povšimněme si, že na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru jistě existují skalární součiny. Prostě si stačí vybrat libovolnou bázi, prohlásit ji za ortonormální a hned jeden dobře definovaný skalární součin máme. V této bázi pak skalární součiny počítáme podle vzorce v Tvrzení 2.40. Umíme to ale i naopak. Máme-li zadán skalární součin na vektorovém prostoru V, můžeme vcelku jednoduše početně využít vhodných kolmých projekcí a jakoukoliv zvolenou bázi upravit na ortonormální. Jde o tzv. Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Cílem této procedury bude z dané posloupnosti nenulových generátorů v\, ..., vk konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu nenulových generátorů pro V. | Grammova-Schmidtova ortogonalizace Tvrzení. Nechť (u\, ..., uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (v\, ..., vk) takový, že Vi e ..., Ui), i = 1, ..., k. Získáme je následující procedurou: • Nezávislost vektorů Ui zaručuje, že u\ ^ 0; zvolíme v\ = U\. • Máme-li již vektory v\, ..., vi potřebných vlastností, zvolíme vi+\ = ui+i -\-a\V\ +• • • -\-aiVi, kde at = — ^j^r~. 108 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Důkaz. Začneme prvním (nenulovým) vektorem v\ a spočteme kolmou projekci v2 do {viŕ C {{vuv2}). Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v\. Ve všech dalších krocích budeme postupovat obdobně. V £-tém kroku tedy chceme, aby pro ví+i = uí+i + a\V\ + ■ ■ ■ + aivi platilo (vi+i, v i) = 0, pro všechny i = !,...,£. Odtud plyne 0 = (Ui+i + atvi H-----h aivi, vt) = {uí+]_, vt) + ^(i;,, vt) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. □ Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V, stačí vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze. V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e\, ..., en) prostoru V. Pak každý vektor v = x\e\ + • • • + xnen splňuje a platí tedy vždy (2.3) v = (ei,xiei H-----\-xnen) ( (3 = «3 «3 • V\ IlUlll 1 1 3' ~3' Máme tedy celkem vi vi u\ ■ v2 1 1 v2 = u3 v2 í-\\ í-l\ /-1\ 1 -1 -1 0 , v2 = 2 -1 \°) \ 3 / 109 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ Dodejme, že pro jednoduchost příkladu lze bezprostředně uvésž ožt8» gonální bázi z vektorů (l,-l,0,0)r, (0,0, l,-l)r, (1, 1,-1,-l)r nebo (-1, 1, 1,-l)T , (1,-1, 1,-l)r, (-1,-1, 1,1)3 □ 2.87. Ve vektorovém prostoru M4 jsou dány trojrozměrné podpro-story U = u2, w3), V = (vi, v2, v3), přičemž (\\ (\\ /l\ (1 ^ (1 \ 1 1 0 1 -1 1 , u2 = 0 , "3 = 1 -1 1 w v) v) v3 = (1, —1, —1, l)T. Určete dimenzi a libovolnou bázi podprostoru u n v. ,_ | 2 . 2 7 a Řešení. Do podprostoru ř/ n V náleží právě ty vektory, které je mozne obdržet jako lineární kombinaci vektorů u{ a také jako lineární kombinaci vektorů t>;. Hledáme tedy čísla xx, x2, x3, yi, y2, y3 e M taková, aby platilo /1\ 1 1 w tj. hledáme řešení soustavy Xi + x2 (1\ (1\ ( 1 ^ ( 1 ^ /1 \ 1 + x3 0 i + y2 -i -1 0 1 = yi -i i -1 v) w K1) xx xx xx + x2 + x3 + x2 x2 + x3 yi + y2 + v3, yi - y2 - y3, -yi + y2 - y3, -yi - y2 + y3. Při maticovém zápisu této homogenní soustavy (a při zachování pořadí proměnných) je /l i i -1 -1 -1\ /l 1 1 -1 -1 - -1\ 1 1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 2 2 1 0 1 1 -1 1 0 -1 0 2 0 2 v> 1 1 1 1 -v 1 1 1 1 - -v /l 1 1 -1 -1 -is /l 1 1 -1 -1 - -1\ 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 - -1 0 0 - -1 0 2 2 0 0 1 0 -2 - -2 0 1 3 1 !y ^0 0 0 1 1 1 / /l 1 1 0 0 0 \ /l 0 0 0 0 2 \ 0 1 1 0 0 - 2 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 - -2 - 2 0 0 1 0 -2 -2 [o 0 0 1 1 1/ 1^0 0 0 1 1 l) 2.43. Úhel dvou vektorů. Jak jsme již zmínili, úhel dvou lineárně nezávislých vektorů musí být stejný, když je budeme uvažovat v dvourozměrném podprostoru, který generují, nebo v okolním prostoru větším. Ve své podstatě je proto pojem úhlu dvou vektorů nezávislý na dimenzi okolního prostoru a pokud si zvolíme ortonormální bázi, jejíž první dva vektory budou generovat tentýž podprostor jako dané vektory u a. v, můžeme doslova převzít definici z rovinné geometrie. I bez volby báze tedy musí platit: - j Úhel dvou vektorů |> Úhel

K, kde pro jakékoliv vektory u, v, w, z a skaláry a,b, c & d platí, stejně jako u skalárního součinu a(au + bv, cw + dz) = aca(u, w) + ada(u, z) + bc a(v, w) + bd a(v, z)- Pokud navíc platí a(u, w) = a(w, u), hovoříme o symetrické bilineární formě. Jestliže záměna argumentů vede k obrácení znaménka výsledku, hovoříme o antisymetrické bilineární formě. Již v rovinné geometrii jsme zavedli determinant jako bilineární antisymetrickou formu a, tj. a(u, w) = —a(w, u). Obecně víme z věty 2.17, že je determinant v dimenzi n možno nahlížet jako «-lineární antisymetrickou formu. Jako u lineárních zobrazení je zřejmé, že každá k-lineární forma je úplně určena svými hodnotami na všech /c-ticích bázových prvků v pevné bázi. V analogii k lineárním zobrazením tyto hodnoty můžeme vnímat jako /c-rozměrné analogie matic. Ukážeme si to v případě k = 2, kde půjde doopravdy o matice, jak jsme je zavedli. 110 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Matice bilineární formy Jestliže zvolíme bázi u na ľ a definujeme pro danou bilineární formu a skaláry atj = Uj), pak zjevně dostaneme pro vektory v, w se souřadnicemi x a y (jakožto sloupce souřadnic) n a (v, w) = ^2 atjXtyj = yT ■ A ■ x, kde A je matice A 2.29 íj=i (aij). Přímo z definice matice bilinerání formy je vidět, že forma je symetrická nebo antisymetrická, právě když má tutéž vlastnost její matice. Každá bilineární forma a na vektorovém prostoru V definuje zobrazení V -» V*, v h-» a( , u), tj. dosazením pevného vektoru v za druhý argument dostáváme lineární formu, která je obrazem tohoto vektoru. Zvolíme-li pevně bázi na ko-nečněrozměrném prostoru V a duální bázi na V*, pak jde o zobrazení y h-» (x h-» yT ■ A ■ x). 4. Vlastnosti lineárních zobrazení Podrobnějším rozborem vlastností různých typů lineárních zobrazení se nyní dostaneme k lepšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. 2.45. Začneme čtyřmi příklady v nejnižší zajímavé di-ins> _ menzi. Ve standardní bázi roviny R2 se standardním skalárním součinem uvažujme následující matice zobrazení •W///"'1 f \ R2 ^ M2: 1 0 0 0 B 0 1 o o c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W C {(0,a); a e R} c R2 na podprostor V C {(a, 0); a e R} C R2, tj. projekce na osu x podél osy y. Evidentně pro toto zobrazení / : R2 -> R2 platí / o / = / a tedy zúžení /1 v daného zobrazení na obor hodnot je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Ri[x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x) (derivacemi se budeme podrobně zabývat v kapitole páté, viz ??). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší út-krát, druhý b-kiát. Tady se nám tedy celá rovina Dostáváme tak řešení x\ = — 2t, X2 = —2s, X3 = 2s + 2t, yi = — s — t, y2 = s, yj, t, s e R. Odtud dosazením získáváme obecný vektor průniku (x\ + x2 + x3\ X\ + X2 X\ + X3 \ x2 + x3 Vidíme, že / 0 \ -2t - 2s 2s v 2t ) dim U n V u n y /0\ /0\ -1 -1 1 ' 0 w V1/1 □ 2.88. Uvedte nějakou bázi podprostoru vektorového prostoru reálných matic 3x2. Tuto bázi doplňte na bázi celého prostoru. Řešení. Připomeňme, že bázi podprostoru tvoří množina lineárně nezávislých vektorů, které generují uvažovaný podprostor. Protože celý podprostor U je generován pouze prvními dvěma maticemi. Ty jsou potom lineárně nezávislé (jedna není násobkem druhé), a tak zadávají bázi. Chceme-li ji doplnit na bázi celého prostoru reálných matic 3x2, musíme najít další čtyři matice (dimenze celého prostoru je zjevně 6) takové, aby výsledná šestice byla lineárně nezávislá. Můžeme využít toho, že známe např. standardní bázi prostoru reálných matic 3x2, který lze přímo ztotožnit s R6. Sepíšeme-li dva vektory báze U a vektory standardní báze celého prostoru v tomto pořadí, výběrem prvních 6 lineárně nezávislých 111 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 4 3 0 1 0 0 5 4 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 vektorů dostaneme hledanou bázi. Pokud však uvážíme, že kupř. 1, můžeme ihned bázového vektory 'i 2^ 3 4 podprostoru U doplnit maticemi (vektory prostoru matic) ^0 0\ /O 0\ /O 0\ /O 0> 10, 0 1, 0 0, 0 0 vo o/ \o o) \i o) \o 1, na bázi. Upozorněme, že výše uvedený determinant lze vyčíslit velmi snadno - je roven součinu prvků na diagonále, neboť matice je v dolním trojúhelníkovém tvaru (nad diagonálou jsou všechny prvky nulové). □ 2.89. Napište něj akou bázi reálného vektorového prostoru matic 3x3 nad M s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice matice '12 0 0 2 0 1 -2 -3, v této bázi. 2.90. Zavedte nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z předchozího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která je indukovaná Vámi zavedeným součinem. 2.91. Určete nějakou bázi vektorového prostoru antisymetrických reálných čtvercových matic typu 4x4. Uvažte standardní skalární součin v této bázi a pomocí tohoto součinu vyjádřete velikost matice /0 3 1 0\ -3012 -1-1 0 2 \0 -2-2 0/ 2.92. Najděte ortogonální doplněk U1- podprostoru U = {(x\, x2, x3, X4); x\ = x3, xj = x3 + 6x4} c M4. Řešení. Ortogonální doplněk U1- tvoří právě ty vektory, které jsou kolmé na každé řešení soustavy xx rozpadá na dva podprostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem (první příklad byl speciální případem s a = 1, b = 0). Např. volba a = 1, b = — 1 odpovídá osové symetrii (zrcadlení) podle osy x, což je totéž jako komplexní konjugace x + iy 1-» x — iy na dvourozměrném reálném prostoru E2~Cv bázi (1,0- Toto je lineární zobrazení dvourozměrného reálného vektorového prostoru C, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi a na první pohled je vidět, že žádný jednorozměrný podpro-stor není zobrazením zachováván. Taková rotace je bijekcí roviny na sebe, proto jistě umíme najít (různé) báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na definičním oboru i oboru hodnot. Zkusme však uvažovat matici D jako matici zobrazení g : C2 -» C2 ve standardní bázi komplexního vektorového prostoru C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (—i, 1), pro které bude platit g(v) 0 -1 1 0 0 -1 1 o ■1 1 ■ u, -1 ■ v. To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má zobrazení g matici K i 0 0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a = cos(ijr) + / sin(jjt) a kmoplexně sdružené ä. Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Tomu lze snadno porozumět, když si označíme reálnou a imaginární část vektoru u takto xu + iyu = Re u -\- i Im u + i x2 x3 x3 6x4 0, 0. Vektor v je komplexně sdružený k u. Zajímá nás zúžení zobrazení g na reálný vektorový podprostor V = M2 n (u, v) c C2. Evidentně je V = {u + ú, i(u - ú)) = {xu, -yu) celá reálná rovina M2. Zúžení zobrazení g na tuto rovinu je právě původní zobrazení dané maticí A a z definice násobení komplexní jednotkou jde o otočení o úhel ^jt v kladném smyslu ve vztahu ke zvolené bázi xu, —yu (ověřte si přímým výpočtem a uvědomte si také, proč případné prohození pořadí vektorů u a. v povede k témuž výsledku, byť v jiné reálné bázi!). 112 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.30 2.46. Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení. Klíčem k popisu zobrazení v předchozích příkladech byly odpovědi na otázku „jaké jsou vektory "^tzz^ splňující rovnici f(u) = a-m pro nějaké vhodné skaláry a?". Zvolme tedy pevně lineární zobrazní / : V -» V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bázích, jde o výraz A ■ x — a ■ x = (A — a ■ E) ■ x = 0. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A — a E invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty aéI, pro které naopak A—a E invertibilní není, a nutnou a dostatečnou podmínkou je (viz Věta 2.23) e2.1 (2.4) det(A - a ■ E) = 0. Jestliže považujeme k = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů '. Vlastní čísla a vlastní vektory Skaláry k vyhovující rovnici f(u) = k ■ u pro nenulový vektor u e V nazýváme vlastní čísla zobrazení f, příslušné nenulové vektory u pak vlastní vektory zobrazení f. Jsou-li u, v vlastní vektory příslušné k témuž vlastnímu číslu k, pak i pro jejich jakoukoliv lineární kombinaci platí f (au + bv) = af(u) + bf(v) = k(au + bv). Proto tvoří vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu k, společně s nulovým vektorem, netriviální vektorový podprostor Vx, tzv. vlastní podprostor příslušný k. Např., je-li k = 0 vlastním číslem, je jádro Ker / vlastním podprostorem V0- Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení /. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností z odstavce 2.38 a Cauchyovy věty 2.19 pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic matici A' = P~l A P s invertibilní maticí P a \P~lAP - kE\ = \P~lAP - P~lkEP\ = \P~1(A- kE)P\ = \p-1\\(A-kE\\P\ = \A- kE\, protože násobení skalárů je komutativní a = li5!-1. Z těchto důvodů používáme pro matice a zobrazení společnou terminologii: ir-j Charakteristický polynom matice a obražení _^ Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom | A — kE\ e K„[A] charakteristický polynom matice A. Vektor je ovšem řešením této soustavy tehdy a jenom tehdy, když je kolmý na oba vektory (1,0, —1,0), (0, 1, —1, —6). Je tedy U1- = {a ■ (1, 0, -1, 0) + b ■ (0, 1, -1, -6); a, b e R}. □ 2.93. Určete, zda jsou podprostory U = ((2, 1, 2, 2)) a V = ((-1,0, -1,2), (-1,0, 1,0), (0,0, 1, -1)) prostoru M4 na sebe kolmé. Pokud ano, je R4 = U © V, tj. je U1- = V? Řešení. Vektor, který zadává podprostor U, je kolmý na každý ze tří vektorů, které generují V. Podprostory jsou tak na sebe kolmé. Avšak není pravda, že R4 = U © V. Podprostor V je totiž pouze dvojdimenzionální, protože (-1,0, -1,2) = (-1,0, 1,0) -2(0,0, 1, -1). □ 2.94. V závislosti na parametru t e R stanovte dimenzi podprostoru U vektorového prostoru R3, je-li U generován vektory (a) ui = (1, 1, 1), u2 = (í,t,\), m3 = (2, 2,0; (b) ui = (t,t,t), u2 = (-4ř,-4ř, 40, u3 = (-2, -2, -2). Řešení. V prvním případu je dim U = 2 pro t e {1,2}, jinak je dim U = 3. Ve druhém případu je dim U = 2 pro t ^ 0 a dim U = 1 pro t = 0. □ 2.95. Sestrojte ortogonální bázi podprostoru ((1,1,1,1), (1,1,1,-1), (-1,1,1,1)) prostoru R4. Řešení. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem lze obdržet výsledek ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, -3), (-2, 1, 1,0)). □ 2.96. V prostoru R4 nalezněte nějakou ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1,0, 1,0), (0, 1,0, —7), (4, —2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, —1), (1, 1, -5, 3), (3,2, 8, -7). Řešení. Při zachování pořadí podprostoru ze zadání jsou ortogonálními bázemi např. ((1,0, 1,0), (0, 1,0, -7)) a ((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2)). 113 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ □ 2.97. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M jsou vektory (1,1,2,0,0), (1,-1,0, l,a), (1,0,2,3,-2) v prostoru M5 po dvou ortogonální? Řešení. Výsledek je a = 9/2, b = - 1+6 + 4 + 0 + 0 = 0, —5, neboť musí mj. platit 1-6 + 0 + 3-2a =0. □ 2.98. V prostoru M5 uvažujte podprostor generovaný vektory (1,1,-1,-1,0), (1,-1,-1,0,-1), (1,1,0,1,1), (—1, 0, — 1, 1, 1). Najděte nějakou bázi jeho ortogonálního doplňku. Řešení. Hledaná báze obsahuje jediný vektor. Jejím nějaký nenulový skalární násobek vektoru (3, -7, 1, -5,9). □ 2 . 30a 2.99. Popište ortogonální doplněk podprostoru V prostoru M4, jeli V generován vektory (-1, 2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2,3, -2,5). Řešení. Ortogonální doplněk (komplement) V7"1 je množina všech skalárních násobků vektoru (4, 2, 7, 0). □ 2.100. V prostoru M5 určete ortogonální doplněk WL podprostoru W, jestliže (a) W = {(r + s + ř, -r + ř, r + s, -t, s + t); r, s, t e (b) W je množina řešení soustavy rovnic x\ — x3 = 0, x\ X3 — X4 + X5 = 0. Řešení. (a) W1- = <(1, 0, -1, 1, 0), (1, 3, 2, 1, -3)) ; (b) W1- = <(1, 0, -1, 0, 0), (1, -1, 1, -1, 1)). □ 2.101. Nechť jsou v prostoru M4 dány vektory (1,-2,2,1), (1,3,2,1). Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého M4. (Můžete k tomu využít Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.) Řešení. Hledaných doplnění je pochopitelně nekonečně mnoho. Jedním (skutečně jednoduchým) je např. (1,-2,2,1), (1,3,2,1), (1,0,0,-1), (1,0,-1,1). Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice A. Jeli A matice zobrazení / : V -» V v jisté bázi, pak \A — XE\ nazýváme také charakteristický polynoni^obraz^ní^^^^^^^ Protože je charakteristický polynom lineárního zobrazení / : V -» V nezávislý na volbě báze V, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné k skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení /, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména jako jednoduché cvičení na počítání determinantů vyjádříme koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin (předpokládáme dim V = n a matici zobrazení A = (útý) v nějaké bázi): i n — l *2 + vislé. \A-k-E\= (-1)"A" + (-\)n-l(an + • • • + ann) ■ k + --- + \A\-k°. Koeficient u nejvyšší mocniny říká jen, zda je dimenze prostoru V sudá nebo lichá. O determinantu matice zobrazení jsme už zmiňovali, že vyjadřuje, kolikrát dané lineární zobrazení zvětšuje objemy. Zajímavé je, že i součet diagonálních členů matice zobrazení nezávisí na volbě báze. Nazýváme jej stopa matice a značíme TrA. Stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. Ve skutečnosti to natolik překvapivé není, protože v kapitole osmé si jako příklad na metody diferenciálního počtu ukážeme, že stopa je ve skutečnosti lineárním přiblížením determinantu v okolí jednotkové matice, viz ??. V dalším si uvedeme několik podstatných vlastností vlastních podprostoru. 2.47. Věta. Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V —> V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezá- Důkaz. Nechť a\, ... ,ak jsou různé vlastní hodnoty j.1 „ zobrazení / a u\, ..., uk vlastní vektory s těmito vlastními hodnotami. Důkaz provedeme indukcí přes počet lineárně nezávislých vektorů mezi zvolenými, f5 Předpokládejme, že u\, ..., ui jsou lineárně nezávislé a ul+i = JZ CíUí je jejich lineární kombinací. Alespoň i = 1 lze zvolit, protože vlastní vektory jsou nenulové. Pak ovšem f(ul+1) = al+1 ■ ul+1 = al+1 ■ q • ut, tj. f(ul+1) = ^al+1 ■ Ct ■ ut = • /("/) = XIQ ' ai ' Ui' Odečtením druhého a čtvrtého výrazu v rovnostech dostáváme 0 = $ľí=i(ai+i ~ ai)' ci' ■ uiVšechny rozdíly vlastních hodnot jsou však nenulové a alespoň jeden koeficient q je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí U\, . . . , Ui, takže i vektor ul+i musí být lineárně nezávislý na předchozích. □ 114 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Na právě dokázané tvrzení se můžeme podívat jako na rozklad lineárního zobrazení / na součet jednoduchých zobrazení. Pro vesměs různé vlastní hodnoty kt charakteristického polynomu budeme dostávat jednorozměrné vlastní pod-postory Vii. Každý z nich pak zadává projekci na tento invariantní jednorozměrný podprostor, na němž je zobrazení dáno jako násobení vlastním číslem A;. Celý prostor V je tak rozložen na přímý součet jednotlivých vlastních podpro-storů. Navíc lze tento rozklad na vlastní podprostory snadno spočíst: ' báze z vlastních vektorů Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů charakteristického polynomu zobrazení f : V -» V, na n— rozměrném prostoru V, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici. Tato báze je určená jednoznačně až na pořadí prvků. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — Xi ■ E), kde A je matice f ve zvolené bázi. 2 . 44 2.48. Invariantní podprostory. Viděli jsme, že každý vlastní vektor v zobrazení / : V -» V generuje podprostor (v) C V7, který je zobrazením / zachováván. Obecněji říkáme, že vektorový podprostor W C V je invariantní podprostor pro lineární zobrazení /, jestliže platí f(W) C W. Jestliže je V konečněrozměrný vektorový prostor a vybereme nějakou bázi (u\, ..., uk) podprostorů W, můžeme ji vždy doplnit na bázi (u\, ..., uk, uk+\, ■ ■ ■, un) celého V a v každé takové bázi má naše zobrazení matici A tvaru 3a (2.5) C D kde S je čtvercová matice dimenze k, D je čtvercová matice dimenze n — k a C je matice typu n/(n — k). Naopak, jestliže je v nějaké bázi (u\, ..., un) matice zobrazení / tvaru (2.5), je W = (u\, ..., uk) invariantní podprostor zobrazení /. Pochopitelně bude v naší matici zobrazení (2.5) sub-matice C nulová právě tehdy, když bude i podprostor (uk+i, ..., un) generovaný doplněnými vektory báze invariantní. Z tohoto pohledu jsou vlastní podprostory lineárního zobrazení extrémní případy invariantních podprostorů a zejména v případě existence n = dim V různých vlastních čísel zobrazení / dostáváme rozklad V na přímý součet n vlastních podprostorů. V příslušné bázi z vlastních vektorů má pak naše zobrazení diagonální tvar s vlastními čísly na diagonále. □ 2.102. Nalezněte nějakou ortonormální bází podprostorů Vet, kde V = {(x\, x2, x3, x4) e M4 | x\ + 2x2 + x3 = 0}. Řešení. Vidíme, že čtvrtá souřadnice se v omezení na podprostor nevyskytuje, bude tedy vhodné volit jeden z vektorů hledané ortonormální báze vektor (0, 0, 0, 1) a redukovat problém do prostoru M3. I dále se zkusíme vyhnout počítání: vidíme, že položíme-li druhou souřadnici rovnu nule, tak ve vyšetřovaném prostoru leží vektory s opačnou první a třetí souřadnicí, zejména jednotkový vektor (-^, 0, — -pj, 0). Na tento vektor je kolmý libovolný vektor, který má stejnou první a třetí souřadnici. Abychom se dostali do uvažovaného podprostorů, volíme druhou souřadnici rovnu záporné hodnotě součtu první a třetí souřadnice a normujeme, tedy volíme vektor (-^, — ^,0) a jsme hotovi. □ 2.103. Věta (2.50) nám dává do ruky nástroje, jak poznat matici rotace v M3: má tři různá vlastní čísla s absolutní hodnotou 1, jedno z nich je přímo číslo 1 (jemu příslušný vlastní vektor je osa rotace). Argument zbylých dvou, tedy nutně komplexně sdružených, vlastních čísel potom udává úhel rotace v kladném smyslu v rovině určené bazí ux +ul, i[ux - ÍZX]. Určete, jaké lineární zobrazení zadává matice Řešení. Již známým postupem zjistíme, že matice má následující vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory: 1, (1,2,0); 3 + ^5i, 1, (1, 1 +i, -1 0; \ - \i, (1, 1 - i, -1 + 0- Jde tedy o 5 1 ' v ' 1 ' '-"5 5 matici rotace (všechna vlastní čísla mají absolutní hodnotu 1 a jedna z vlastních hodnot je přímo 1), navíc víme, že se jedná o rotaci o arccos(|)) = 0, 2957T a to v kladném smyslu. □ 115 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 2 . 36 | 2.49. Ortogonální zobrazení. Podívejme se teď na speciální případ zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u e V. Definice ortogonálních zobrazení j,. Lineární zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u e V (f (u), f (u)) = (u, u). Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V -» V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A-1. Z linearity / a ze symetrie skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost (f(u + v), f(u + v)) = (f(u), f(u)) + (f(v), f (v)) + 2(f(u),f(v)). Proto všechny ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v e V (f(u),f(v)) = (u,v). V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme ve Větě 1.33 dokázali, že lineární zobrazení M2 -» M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a taje ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A-1 = AT. Obecně, ortogonální zobrazení / : V -» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f (u)) = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Je tedy vždy v takovém případě dimenze oboru hodnot alespoň taková, jako je dimenze definičního oboru /. Pak ovšem je dimenze obrazu rovna dimenzi oboru hodnot a víme, že / : V -> Im / je bijekce. Pokud Im/ W, doplníme ortonormální bázi na obrazu / na ortonormální bázi cílového prostoru a matice zobrazení bude obsahovat čtvercovou regulární matici A doplněnou nulovými řádky na potřebnou velikost. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru K" toto: (A • x)T ■ (A • y) = xT ■ (AT ■ A) ■ y = xT ■ y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Dokázali jsme tak následující tvrzení: -| Matice ortogonálních zobrazení j. 1 116 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNI LINEÁRNI ALGEBRA Důkaz. Skutečně, jestliže zachováva / velikosti, musí mít uvedenou vlastnost v každé ortonormální bázi. Naopak, předchozí výpočet ukazuje, že vlastnost matice v jedné bázi už zaručuje zachovávání velikostí. □ Čtvercovým maticím, které splňují rovnost AT = A~l říkáme ortogonální matice. Důsledkem předchozí věty je také popis všech matic přechodu S mezi ortonormálními bázemi. Každá totiž musí zadávat zobrazení W -» W zachovávající velikosti a splňují tady také právě podmínku 5_1 = ST. Při přechodu od jedné ortonormální báze ke druhé se tedy matice (libovolných) lineárních zobrazení mění podle vztahu A' = STAS. 2.50. Rozklad ortogonálního zobrazení. Podívejme se nyní podrobněji na vlastní vektory a vlastní čísla ortogonálních zobrazení na reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Uvažujme pevně zvolené ortogonální zobrazení / : V -» V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako s maticí rotace D v příkladu 2.58. Nejprve se ale podívejme obecně na invariantní podpro-story ortogonálních zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor W C V a ortogonální zobrazení / : V -» V platí f(W) C W, pak také platí pro všechny v e W^, w e W (f(v), w) = (f(v), f o f~\w)) = (v, f~\w)) = 0 protože i f~l(w) e W. To ale znamená, že také f (W^) C W-1. Dokázali jsme tedy jednoduché, ale velice důležité tvrzení: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru je také invariantní. Kdyby byla vlastní čísla ortogonálního zobrazení reálná, zaručovalo by už toto tvrzení, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení f na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Nicméně většinou nejsou vlastní čísla ortogonálních zobrazení reálná. Musíme si proto pomoci opět výletem do komplexních vektorových prostorů. Zformulujeme rovnou výsledek: Rozklad ortogonálních zobrazení Věta. Nechť f : V —> V je ortogonální zobrazení na prostoru se skalárním součinem. Pak všechny kořeny charakteristického polynomu f mají velikost jedna a existuje rozklad V na jednorozměrné vlastní podprostory odpovídající vlastním číslům X = ± 1 a dvourozměrné podprostory P^l, na kterých působí f rotací o úhel rovný argumentu komplexního čísla X v kladném směru. Všechny tyto různé podprostory jsou po dvou ortogonální. 117 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme pracovat s pro-c\Lg^, storem V = W" se standardním skalárním sou--*ár " činem. Zobrazení tedy bude dáno ortogonální ^g^jPs matici A, kterou můžeme stejně považovat za matici lineárního zobrazení na komplexním prostoru Cm (která je jen shodou okolností reálná). Zaručeně bude existovat právě m (komplexních) kořenů charakteristického polynomu, včetně jejich algebraické násobnosti (viz tzv. základní věta algebry, ??). Navíc, protože charakteristický polynom zobrazení bude mít výhradně reálné koeficienty, budou tyto kořeny buď reálné, nebo půjde o dvojice komplexně sdružených kořenů k a k. Příslušné vlastní vektory v Cm k takové dvojici komplexně sdružených vlastních čísel budou řešením dvou komplexně sdružených systémů homogenních lineárních rovnic, neboť příslušné matice systémů rovnic jsou celé reálné, až na samotná dosazená vlastní čísla. Evidentně proto budou také řešení těchto systémů komplexně sdružené vektory. Nyní využijeme skutečnost, že ke každému invariantnímu podprostoru je i jeho ortogonální doplněk invariantní. Nejprve si najdeme všechny vlastní podprostory V±1 příslušné k reálným vlastním hodnotám a zúžíme naše zobrazení na ortogonální doplněk k jejich součtu. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme předpokládat, že naše ortogonální zobrazení nemá žádná reálná vlastní čísla a že je dim V = 2n > 0. Zvolme nyní nějaké vlastní číslo k a označme ux vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k = a + i/3, f3 ^ 0. Zcela stejně jako v případě rotace v rovině zadané v odstavci 2.58 maticí D nás zajímá reálná část součtu dvou jednorozměrných podprostoru (ux) ®{úx), kde úx je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k. Jde o průnik uvedeného součtu komplexních podprostoru s M2", který je generovaný vektory ux + úx a i(ux — úx), tj. reálný vektorový podprostor Px c M2" generovaný bazí danou reálnou a imaginární částí ux xx=ľeux, -yx = -imux. Protože A ■ (ux + úx) = kux +kúx a. podobně s druhým bázovým vektorem, jde zjevně o invariantní podprostor vůči násobení maticí A a dostáváme A ■ xx = otxx + fíyx, A-yx = -ayx + fixx. Protože naše zobrazení zachovává velikosti, musí být navíc velikost vlastní hodnoty k rovna jedné. To ale neznamená nic jiného, než že zúžení našeho zobrazení na Px je rotací o argument vlastní hodnoty k. Všimněme si, že volba vlastního čísla k místo k vede na stejný podprostor se stejnou rotací, pouze ji dostaneme vyjádřenou v bázi xx, yx, tj. musíme v souřadnicích rotovat o úhel s opačným znaménkem. Důkaz celé věty tím dokončen, protože zúžením našeho zobrazení na ortogonální doplněk a opakováním předchozí úvahy dostaneme celý rozklad po n krocích. □ 118 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNI LINEÁRNI ALGEBRA K myšlenkám tohoto důkazu se ještě vrátíme v kapitole třetí, když budeme studovat komplexní rozšíření euklidovských vektorových prostorů, viz 3.23. Poznámka. Specielně v dimenzi tři musí být alespoň jedno vlastní číslo ±1, protože je trojka liché číslo. '"^"T^"'*1 ovšem příslušný vlastní podprostor je osou Ctr rotace trojrozměrného prostoru o úhel daný ar-v'/lr-r- gumentem dalších vlastních čísel. Zkuste si rozmyslet, jak poznat, kterým směrem jde rotace a také, že vlastní číslo — 1 znamená ještě dodatečné zrcadlení podle roviny kolmé na osu rotace. K diskusi vlastností matic a lineárních zobrazení se budeme vracet. Před pokračováním obecné teorie si napřed ukážeme v následující kapitole několik aplikací, ještě ale uzavřeme naši diskusi obecnou definicí: * Spektrum lineárního zobrazení _ 32 2.51. Definice. Spektrum lineárního zobrazení f : V -» V (resp. matice) je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jakožto kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení (matice) je , největší z absolutní hodnot vlastních čísel. V této terminologii můžeme naše výsledky o ortogonálních zobrazeních zformulovat tak, že jejich spektra jsou vždy celá podmnožinou jednotkové kružnice v komplexní rovině. To znamená, že v reálné části spektra mohou být pouze hodnoty ±1, jejichž algebraické a geometrické násobnosti jsou stejné. Komplexní hodnoty spektra pak odpovídají rotacím ve vhodných dvourozměrných podprostorech, které jsou na sebe po dvou kolmé. j. doplňující príklady k cele kapitole 4. vlastnosti lineárních zobrazeni ves0016 J. Doplňující příklady k celé kapitole 2.105. Řešte soustavu x\ -\- X2 ~\~ X3 -\- X4 — 2X5 2X2 + 2x3 + 2x4 — 4X5 — x\ — X2 — X3 -\- X4 -\- 2x5 —2xi + 3x2 + 3x3 — 6x5 Řešení. Rozšířená matice soustavy je 3, 5, 0, 2. / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 -1 -1 -1 1 2 0 V "2 3 3 0 -6 2/ Přičtením prvního řádku ke třetímu a jeho dvojnásobku ke čtvrtému a poté přičtením (—5/2)násobku druhého řádku ke čtvrtému obdržíme /1 1 1 1 -2 3 \ / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 5 5 2 -10 8 / 0 0 -3 0 -9/2 / Poslední řádek je zřejmě násobkem předposledního, a tak jej můžeme vynechat. Pivoti se nacházejí v 1., 2. a 4. sloupci, proto jsou volné proměnné X3 a X5, které nahradíme reálnými parametry t, s. Uvažujeme tak soustavu Xi + x2 2x2 + + t 2t + + X4 2s 4s 3, 5, 3. Víme tedy, že x4 = 3/2. Druhá rovnice dává 2x2 + 2t + 3 - 4s = 5, tj. x2 = 1 - t + 2s. z první potom plyne xi + 1 - t + 2s + t + 3/2 - 2s = 3, tj. Xi = 1/2. Celkem máme (2.5) (Xi, X2, X3, X4, X5) (1/2, \ -t + 2s,t, 3/2, s), t,s € Také v tomto příkladu znovu uvažujme rozšířenou matici a převeďme ji pomocí řádkových úprav do schodovitého tvaru, kde první nenulové číslo v každém řádku je 1 a kde ve sloupci, ve kterém tato 1 je, jsou ostatní čísla 0. Ještě připomeňme, že čtvrtou rovnici, jež je kombinací prvních třech rovnic, budeme vynechávat. Po řadě vynásobením druhého a třetího řádku číslem 1 /2, odečtením třetího řádku od druhého a od prvního a odečtením druhého řádku od prvního získáme 0 1 1 1 1 -2 3^ 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3^ 1 1 1 0 -2 3/2 0 1 1 0 -2 1 0 0 0 1 0 3/2 1 0 0 0 0 0 110-2 0 0 0 1 0 120 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Pokud opět zvolíme s (t, s € M), dostaneme odsud obecné řešení (2.5) ve stejném tvaru, a to bezprostředně. Uvažte příslušné rovnice Xi x2 + 2s 1/2, 1, 3/2. □ 2.106. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic zadané rozšířenou maticí / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5/ Řešení. Uvedenou rozšířenou matici upravíme na schodovitý tvar. Nejprve první a třetí řádek opíšeme a do druhého řádku napíšeme součet (—2)násobku prvního a 3násobku druhého řádku a do čtvrtého řádku součet 5násobku prvního a (—3)násobku posledního řádku. Takto získáme / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 -3 -1 -2 6 0 5 -4 3 1 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5 ) ^ 0 6 1 14 0/ Opsání prvních dvou řádků a přičtení 5násobku druhého řádku k 3násobku třetího a jeho 2násobku ke čtvrtému řádku dává 2 -1 -17 -1 / 3 0 0 -1 -4 1 1 -2 3 14 3 \ 1 0/ / 3 0 0 V 0 o o 1 -2 -1 10 3 \ 33 12/ Pokud první, druhý a čtvrtý řádek opíšeme a ke třetímu přičteme čtvrtý, dostaneme / 3 3 2 1 3 ( 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -17 -1 33 0 0 -18 9 45 0 -1 10 12 ) \0 0 -1 10 12 / Dále je (řádkové úpravy jsou již „obvyklé") / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -18 9 45 0 0 2 -1 -5 \o 0 -1 10 12 J V 0 0 1 -10 -12 J / 3 3 2 1 3 / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 1 -10 -12 0 0 1 -10 -12 0 2 -1 -5 J \0 0 0 19 19 / Vidíme, že soustava má právě 1 řešení. Určeme ho zpětnou eliminací / 3 0 0 o o 1 o 1 -2 -10 3 \ -12 / 3 0 0 0 o 1 o o o 0 1 2 \ 8 -2 1 / 121 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ / 3 3 0 0 6 \ /1 1 0 0 2 \ 0 -3 0 0 6 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 1 ) v 0 0 0 1 1 / /1 0 0 0 4 \ 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 v 0 0 0 1 1 ) Výsledek je tak X\ = 4, x2 = —2, x3 = —2, Xi\ = 1. 2.107. Uvedlte všechna řešení homogenního systému x + y = 2z + v, z + 4w + v = 0, — 3« =0, z = —v 4 lineárních rovnic 5 proměnných x, y, z, u, v. Řešení. Systém přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci budou koeficienty u x, ve druhém sloupci koeficienty u y, až v pátém sloupci koeficienty u v, přičemž všechny členy v každé rovnici převedeme na levou stranu. Tímto způsobem přísluší systému matice /l 1 -2 0 -l\ 0 0 14 1 0 0 0-30 \0 0 1 0 1 / Přičteme-li (4/3)násobek třetího řádku ke druhému a odečteme-li poté druhý řádek od čtvrtého, obdržíme /l 1 -2 0 -l\ /l 1 -2 0 -l\ 0 0 1 4 1 0 0 1 0 1 000 -3 0 ~000 -3 0 \0 0 1 0 1/ \0 00 0 OJ Dále vynásobíme třetí řádek číslem —1/3 a přičteme 2násobek druhého řádku k prvnímu, což dává /l 1 -2 0 -l\ /l 1 0 0 l\ 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 00 0 -3 0 ~00010 \0 0 0 0 0 / \0 0 0 0 0/ Z poslední matice můžeme přímo vypsat všechna řešení ř, s e neboť máme matici ve schodovitém tvaru, přičemž první nenulové číslo v každém řádku je 1 a ve sloupci, kde se taková 1 nachází, jsou na ostatních pozicích 0. Výše uvedené řešení ve tvaru lineární kombinace dvou vektorů je určeno právě sloupci bez prvního nenulového čísla nějakého řádku, tj. druhým a pátým sloupcem, kdy volíme 1 jako druhou složku pro druhý sloupec a jako pátou složku pro pátý sloupec a kdy čísla v příslušném sloupci bereme s opačným znaménkem a umisťujeme je na /x\ /-1\ /-1\ y 1 0 z = t 0 + s -1 u 0 0 \v) \°) V 1 / 122 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA pozici danou sloupcem, ve kterém je první 1 v jejich řádku. Dodejme, že výsledek je ihned možné přepsat do tvaru (x, y, z, u, v) = (—t — s, t, —s, 0, s) , t,s € M. □ 123 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI Řešení cvičení 2.8. Taková matice X existuje právě jedna, a to 18 -32 5 - 10 -4\ 2.13. A-1 = 1 12 -5 V> 5 -v (2 -3 0 0 o\ -5 8 0 0 0 2.14. 0 0 -1 0 0 0 0 0 -5 2 0 0 3 -v (0 1 1 o\ 2.15. C"1 = 1 2 0 1 1 -1 0 0 -i 0 V -1 -1 1 2.76. V prvním případě dostáváme -i_l (3 -i A" ve druhém potom 2 \i 1 '14 8 5> 2 1 1 1 1 01 2.17. Platí A = /o i 1 ... 1\ 1 0 1 ... 1 1 1 0 ■-. 1 V 1 1 0/ n - 1 2.18. -3,17,-1 2.27. Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků a následným rozvojem podle prvního sloupce obdržíme V„(xi,x2,.....x„) — 1 x\ 0 X2 — x\ AŤ — Xj 0 JCfi x\ x^ x^ X^ X ^2 Xy • 2 0 %n %1 xn Xj" ,-r1 -Ji-l _ „"-I „n-1 _ „"-I Xj Xj Vytkneme-li z /-tého řádku x!+i — jq pro / e {1, 2, ..., n — 1}, dostaneme V„(xi,x2,----x„) 1 x2 + xi ... T!}Zo 4~j~2 x[ (x2 - xi) ■ ■ • (x„ - Xl) 1 xn -\- x\ ... 2~2j—0Xn 124 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Odečtením od každého sloupce (počínaje posledním a konče druhým) x\-násobku předcházejícího lze docílit úpravy 1 X2 + x\ 1 x„ + x\ 1 x-. n-j-2 i xn~2 x2 xl~2 Proto V„(xi,x2, ■ ■ ■, xn) — (x2 -xi) ■ ■ ■ (xn -xi) V„-i(x2, ... ,x„). Neboť je zřejmě V2{xn—\, Xw) — xn xn—\, platí (uvažme matematickou indukci) V n (-*" i • xi----,x„)— Yi (xi ~ ■ 1 1, vyhovují danému vztahu. Vztah také splňuje jejich libovolná tzv. lineární kombinace, tedy posloupnost cn = san + tbn, s, t e M. Čísla s a t můžeme zvolit tak, aby výsledná kombinace splňovala dané počáteční podmínky, v našem případě c\ = \, C2 = 1. Pro jednoduchost je vhodné navíc ještě dodefinovat nultý člen posloupnosti jako c0 = 0 a spočítat s a t z rovnic pro c0 a c\. Zjistíme, že* = -7I'ř = 7!atedy r--1 (i + Všy - (i - Všy Bmet (3.2) pn = -—-. - 2"(V5) Takto zadaná posloupnost splňuje danou rekurentní formuli a navíc počáteční podmínky c0 = 0, c\ = 1, jedná se tedy o tu jedinou posloupnost, která je těmito požadavky zadána. Všimněte si, že hodnota vzorce (3.2) je celočíselná pro libolné přirozené n (zadává totiž celočíselnou Fibonacciho posloupnost), i když to tak na první pohled nevypadá. □ IniProdukt 3.2. Zjednodušený model chování hrubého národního produktu. Uvažujme diferenční rovnici (3.3) yk+2 - a(l + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k. Konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají obyvatelé k dispozici, utratí, a konstanta b popisuje, jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktu je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = |,& = |,yo = l,yi = l. Řešení. Nejprve budeme hledat řešení homogenní rovnice (pravá strana nulová) ve tvaru r*. Číslo r musí být řešením charakteristické V pevně zvolených souřadnicích pak máme matici A zobrazení cp a souřadné vyjádření vektoru b. Jak jsme si povšimnuli už v úvodu druhé kapitoly, množina všech řešení tzv. homogenní úlohy A ■ x = 0 je vektorovým podprostorem. Pokud je dimenze V konečná, řekněme n, a dimenze obrazu zobrazení cp je k, pak řešením této soustavy pomocí převodu na řádkově schodovitý tvar (viz 2.7) zjistíme, že dimenze podprostoru všech řešení je právě n — k. Skutečně, protože sloupce matice zobrazení jsou právě obrazy bázových vektorů, je v matici systému právě k lineárně nezávislých sloupců a tedy i stejný počet lineárně nezávislých řádků. Proto nám zůstane při převodu na řádkový schodovitý tvar právě n — k nulových řádků. Při řešení systému rovnic nám tak zůstane právě n — k volných parametrů a dosazením vždy jednoho z nich s hodnotou jedna a vynulováním ostatních získáme právě n—k lineárně nezávislých řešení. Všechna řešení jsou pak dána právě všemi lineárními kombinacemi těchto n — k řešení. Každé takové (n — &)-tici řešení říkáme fundamentální systém řešení daného homogenního systému rovnic. Dokázali jsme: Věta. Množina všech řešení homogenního systému rovnic A ■ x = 0 pro n proměnných s maticí A hodnosti k je vektorovým podprostorem v W dimenze n — k. Každá báze tohoto podprostoru tvoří fundamentální systém řešení daného homogenního systému. 3.2. Nehomogenní systémy rovnic. Uvažme nyní obecný systém rovnic A ■ x = b. Znovu si uvědomme, že sloupce matice A jsou ve skutečnosti obrazy vektorů standardní báze v W v lineárním zobrazení cp odpovídajícím matici A. Pokud má existovat řešení, musí být b v obrazu cp a tedy musí být lineární kombinací sloupců v A. Jestliže tedy rozšíříme matici A o sloupec b, můžeme, ale nemusíme, také zvětšit počet lineárně nezávislých sloupců a tedy i řádků. Pokud se tento počet zvětší, pak b v obrazu není a tedy systém rovnic nemůže mít řešení. Jestliže ale naopak máme stejný počet nezávislých řádků i po přidání sloupce b k matici A, znamená to, že sloupec b musí být lineární kombinací sloupců matice A. Koeficienty takové kombinace jsou právě řešení našeho systému rovnic. Uvažme nyní dvě pevně zvolená řešení x a y našeho systému a nějaké řešení z systému homogenního se stejnou maticí. Pak zjevně A-(x-y) = b-b = 0 A ■ (x +z) = 0 + b = b. Můžeme proto shrnout: 130 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.2a 3.3. Věta. Řešení nehomogenního systému lineárních rovnic A- x = b existuje právě, když přidáním sloupce b k matici A nezvýšíme počet lineárně nezávislých řádků. V takovém případě je prostor všech řešení dán všemy součty jednoho pevně zvoleného partikulárního řešení systému a všech řešení systému homogenního se stejnou maticí. 3.4. ??? ...následuje výklad několika modelů založených na systémech rovnic / lineární procesy, může být 4-5 stran 3.2b 3.5. 999 2. Diferenční rovnice Diferenčními rovnicemi jsme se stručně zabývali již v první kapitole, byť pouze těmi prvního řádu.Nyní si ukážeme obecnou teorii pro lineární rovnice s konstantními koeficienty, která poskytuje nejen velmi praktické nástroje, aleje také pěknou ilustrací pro koncepty vektorových podprostorů a lineárních zobrazení. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k ^ 3.10 3.6. Definice. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k je dána výrazem a0x„ + a\xn-\ H-----Y akxn-k =0, a0 ^ 0 ak ^ 0, kde koeficienty at jsou skaláry, které mohou případně i záviset na n. Říkáme také, že taková rovnost zadává homogenní lineární rekurenci řádu k a často zapisujeme hledanou posloupnost jako funkci f in) = --f(n - 1) a0 -f(n-k). a0 Řešením této rovnice nazýváme posloupnost skalárů , pro všechna i e N, případně i e Z, které vyhovují rovnici s libovolným pevným n. Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot x; jsou určeny i všechny ostatní hodnoty jednoznačně. Skutečně, pracujeme nad polem skalárů, takže hodnoty a$ i ak jsou inverti-bilní a proto z definičního vztahu lze vždy spočíst hodnotu xn ze známých ostatních hodnot a stejně tak pro xn_k. Indukcí tedy okamžitě dokážeme, že lze jednoznačně dopočíst všechny hodnoty jak pro kladná tak pro záporná celá n. Prostor všech nekonečných posloupností x; je vektorový prostor, kde sčítání i násobení skaláry je dáno po složkách. Přímo z definice je zjevné, že součet dvou řešení homogenní lineární rovnice nebo skalární násobek řešení je opět řešení. Stejně jako u homogenních systémů lineárních tedy vidíme, že množina všech řešení je vektorový podprostor. Počáteční podmínka na hodnoty řešení je dána jako k-rozměrný vektor v Kk. Součtu počátečních podmínek odpovídá součet příslušných řešení a obdobně se skalárními násobky. Dále si všimněme, že dosazením nul a jedniček do rovnice x2 - a(l + b)x +ab = 0, tj. x2 - x + ^ = 0, která má dvojnásobný kořen Všechna řešení homogenní rovnice jsou potom tvaru a(^)n + bn(^)n. Dále si všimněme, že najdeme-li nějaké řešení nehomogenní rovnice (tzv. partikulární řešení), tak pokud k němu přičteme libovolné řešení homogenní rovnice, obdržíme jiné řešení nehomogenní rovnice. Lze ukázat, že takto získáme všechna řešení nehomogenní rovnice. V našem případě (tj. pokud jsou všechny koeficienty i nehomogenní člen konstantami) je partikulárním řešením konstanta y„ = c. Dosazením do rovnice máme c — c + jc = 1, tedy c = 4. Všechna řešení diferenční rovnice 1 yk+2 - yk+i + -•>;* = 1 jsou tedy tvaru 4 + a(^)n + bn(^)n. Požadujeme y0 = yi = 1 a tyto dvě rovnice dávají a = b = —3, tedy řešení naší nehomogenní rovnice je Ä=4-3Q)"-3„QV' Opět, protože víme, že posloupnost zadaná touto formulí splňuje danou diferenční rovnici a zároveň dané počáteční podmínky, jedná se vskutku o tu jedinou posloupnost, která je těmito vlastnostmi charakterizována. □ V předchozím příkladu jsme použili tzv. metodu neurčitých koeficientů. Ta spočívá v tom, že na základě nehomogenního členu dané diferenční rovnice „uhodneme" tvar partikulárního řešení. Tvary partikulárních řešení jsou známy pro celou řadu nehomogenních členů. Např. rovnice (3.4) yn+k + fli)>„+*_! H-----h akyn = Pm(n), kde P (m) je polynom stupně n a příslušná charakteristická rovnice má reálné kořeny má (skoro vždy) partikulární řešení tvaru Qm (n), Qm (n) je polynom stupně m. Další možnou způsobem řešení je tzv. medota variace konstant, kdy nejprve najdeme řešení k y(n) = ^Cifiin) i = l zhomogenizované rovnice a poté uvažujeme konstanty q jako funkce ci (jí) proměnné n a hledáme partikulární řešení dané rovnice ve tvaru k y(n) = ^2ci(n)f(n). i = l 131 A. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE Ukažme si na obrázku hodnoty f pro i < 35 a rovnicí 9 f(n) = -f(n - 1) 3 1 -f(n - 2) + -, 4J ' 2 /(O) = /(l) = 1. 3.11 0 5 10 15 20 25 30 35 Dále si procvičme, jak řešit lineární diferenční rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Posloupnost vyhovující dané rekurentní rovnici druhého řádu je dána jednoznačně, pokud zadáme navíc nějaké dva její sousední členy. Znovu si povšimněme dalšího využití komplexních čísel: pro určení explicitního vzorce pro n-tý člen posloupnosti reálných čísel můžeme potřebovat výpočty s čísly komplexními (to nastává tehdy, pokud má charakteristický polynomLSiiél diferenční rovnice komplexní kořeny). 3.3. Nalezněte explicitní vzorec pro posloupnost vyhovující následující lineární diferenční rovnici s počátečními podmínkami: xnjr2 = 2xn -\- n, X\ = 2, x2 = 2. Řešení. Zhomogenizovaná rovnice je xn_|_2 = 2xn. Její charakteristický polynom je x2 — 2, jeho kořeny jsou ±V2. Řešení zhomogenizované rovnice je tedy tvaru a(V2)n + b(-V2)n, pro libovolné a,beR. Partikulární řešení budeme hledat metodou neurčitých koeficientů. Nehomogenní část dané rovnice je lineární polynom n, partikulární řešení proto budeme nejprve hledat ve tvaru lineárního polynomu v proměnné n, tedy kn + l, kde k, l e M. Dosazením do původní rovnice dostáváme k(n + 2) + l = 2(kn +l)+n. Porovnáním koeficientů u proměnné n na obou stranách rovnice dostáváme vztah k = 2k + 1, tedy k = — 1, porovnáním absolutních členů pak vztah 2k + l = 21, tedy l = —2. Celkem je tedy partikulárním řešením je posloupnost —n — 2. zadávaných počástečních k hodnot snadno získáme k lineárně nezávislých řešení naší rovnice. Jakkoliv jsou tedy zkoumané vektory nekonečné posloupnosti skalárů, samotný prostor všech řešení je konečněrozměrný, předem víme, že jeho dimenze bude rovna řádu rovnice k, a umíme snadno určit bázi všech těchto řešení. Opět hovoříme o fundamentálním systému řešení a všechna ostatní řešení jsou právě jejich lineární kombinace. 3.7. Řešení homogenních rekurencí s konstantními koeficienty. Těžko bychom hledali univerzální postup, jak hledat řešení obecných homogenních lineárních diferenčních rovnic, tj. přímo spočítatelný výraz pro obecné řešení xn. V praktických modelech ale velice často vystupují rovnice, kde jsou koeficienty konstantní. V tomto přípdě se daří uhodnout vhodnou formu řešení a skutečně se nám podaří najít k lineárně nezávislých možností. Tím budeme mít problém vyřešený, protože všechny ostatní budou jejich lineární kombinací. Pro jednoduchost začneme rovnicemi druhého řádu. Takové potkáváme obzvlášť často v praktických problémech, kde se vyskytují vztahy závisející na dvou předchozích hodnotách. Lineární diferenční rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty tedy rozumíme předpis (3.1) f(n + 2) = a ■ f(n + 1) + b ■ f (n) + c, kde a, b, c jsou známé skalární koeficienty. Např. v populačních modelech můžeme zohlednit, že jedinci v populaci dospívají a pořádně se rozmnožují až o dvě období později (tj. přispívají k hodnotě f (n +2) násobkem b ■ f (n) s kladným b > 1), zatímco nedospělí jedinci vysílí a zničí část dospělé populace (tj. koeficient a může být i záporný). Navíc si je třeba někdo pěstuje a průběžně si ujídá konstantní počet c < 0. Speciálním takovým příkladem s c = 0 je např. Fibo-nacciho posloupnost čísel y0, y\, ..., kde yn+2 = y„+i + y„. Jestliže při řešení matematického problému nemáme žádný nový nápad, vždy můžeme zkusit, do jaké míry funguje známé řešení podobných úloh. Zkusme proto dosadit do rovnice (3.1) s koeficientem c = 0 podobné řešení jako u rovnic lineárních, tj. f (ji) = k" pro nějaké skalární k. Dosazením dostáváme k' n+2 ak n + l bk" =kn(k2 -ak-b) =0. Tento vztah bude platit buď pro k = 0 nebo při volbě hodnot kt = ^(a + V'a2 + 4b), k2 = ^(a - y'a2 + 4b). Zjistili jsme tedy, že skutečně opět taková řešení fungují, jen musíme vhodně zvolit skalár k. To nám ale nestačí, protože my chceme naj ít řešení pro j akékoliv počáteční hodnoty / (0) a /(l), a zatím jsme našli jen dvě konkrétní posloupnosti splňující danou rovnici (a nebo dokonce jen jednu, pokud je ^2 = ^l)- 132 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET el. 9 3.11a Jak jsem již dovodili i u zcela obecných lineárních reku-rencí, součet dvou řešení f\(n) a f2(n) naši rovnice f(n + 2) — a ■ f (n + \) — b ■ f (n) = 0 je zjevně opět řešením téže rovnice a totéž platí pro konstatní násobky řešení. Naše dvě konkrétní řešení proto poskytují daleko obecnější řešení f(n) = Ci*? + C2k\ pro libovolné skaláry C\ a C2 a pro jednoznačné vyřešení konkrétní úlohy se zadanými počátečními hodnotami /(O) a /(l) nám zbývá jen najít příslušné konstanty C\ a C2. (A také si musíme ujasnit, zda to pro všechny počáteční hodnoty půjde). 3.8. Volba skalárů. Ukažme si, jak to může fungovat alespoň na jednom příkladě. Soustředíme se přitom na problém, že kořeny charakteristického polynomu nevychází obecně ve stejném oboru skalárů, jako jsou koeficienty v rovnici. 1 (3.2) -i + -2yn yn+2 = y„H y0 = 2,yi= 0. V našem případě je tedy Ai_2 = ^(1 ± -v/3) a zjevně y0 = Ci + C2 = 2 73) yi ici(l + V3) + ic2(l je splněno pro právě jednu volbu těchto konstant. Přímým výpočtem C\ jediné řešení f(n) = (1 1 — \ V3, C2 = 1 + \V3 a naše úloha má ^V3W1 + 73)" + (1 + ^V3W1 - 73)" 3 2 3 2" Všimněme si, že i když nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými koeficienty vypadají složitě a jsou vyjádřena pomocí iracionálních (případně komplexních) čísel, o samotném řešení dopředu víme, že je celočíselné též. Bez tohoto „úkroku" do většího oboru skalárů bychom ovšem obecné řešení napsat neuměli. S podobnými jevy se budeme potkávat velice často. Obecné řešení nám také umožňuje bez přímého vyčíslování konstant diskutovat kvalitativní chování posloupnosti čísel /(«), tj. zda se budou s rostoucím n blížit k nějaké pevné hodnotě nebo budou oscilovat v nějakém rozsahu nebo utečou do neomezených kladných nebo záporných hodnot. 3.9. Obecný případ homogenních rekurencí s konstantními koeficienty. Zkusme nyní stejně jako v případě druhého řádu dosadit volbu xn = k" pro nějaký ( zatím neznámý) skalár k do obecné homogenní rovnice z definice 3.6. Dostáváme pro každé n podmínku k"-k(a0kk +aikk- • • • + fljt) = 0 což znamená, že buď k = 0 nebo je A kořenem tzv. charakteristického polynomu v závorce. Charakteristický polynom ale už není závislý na n. Řešení dané nehomogenní diferenční rovnice druhého řádu bez počátečních podmínek jsou tedy tvaru a{~j2)n + b{—~j2)n — n — 2, a, b e R. Nyní dosazením do počátečních podmínek určíme neznámé a, b e R. Pro početní jednoduchost použijeme malého triku: z počátečních podmínek a daného rekurentního vztahu vypočteme člen x0 : x0 = \ (x2 — 0) = 1. Daný rekurentní vztah spolu s podmínkami x0 = 1 a %\ = 1 pak zřejmě splňuje tatáž posloupnost, která splňuje původní počáteční podmínky. Máme tedy následující vztahy pro a, b: x0: fl(v/2)0 + Ŕ(-v/2)°-2= 1, tedy a+ b = 3, x\ : ~j2a — ~j2b = 5, jejichž řešením dostáváme a = 6+54"^, b = ^—|^. Řešením je po- sloupnost □ 3.4. Určete reálnou bázi prostoru řešení homogenní diferenční rovnice -"-«+4 = -"-«+3 -"-« + 1 -*-«> Řešení. Charakteristický polynom dané rovnice je x4 — x3 — x + 1. Hledáme-li jeho kořeny, řešíme reciprokou rovnici x4 - x3 - x + 1 = 0 Standardním postupem nejprve vydělíme rovnici výrazem x2 a poté zavedeme substituci t = x + tedy t2 = x2 + + 2. Obdržíme rovnici t2 - t - 2 = 0, s kořeny t\ = — 1, t2 = 2. Pro obě tyto hodnoty neznámé t pak řešíme zvlášť rovnici danou substitučním vztahem: 1 x + - = -1. X \ + = cos(2tt/3) + Ta má dva komplexní kořeny x\ = i sin(27r/3) a x2 = — \ — i& = cos(27r/3) — i sin(27r/3). Pro druhou hodnotu neznámé t dostáváme rovnici x + - = 2 x s dvojnásobným kořenem 1. Celkem je tedy bazí hledaného vektorového prostoru posloupností, které jsou řešením dané diferenční rovnice, následující čtveřice posloupností: {—\ + i'VŠ}^, {—\ — 133 A. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE ř'V3}^i>{l}^i (konstantní posloupnost) a {n}™=1. Hledáme-li však reálnou bázi, musíme nahradit dva generátory (posloupnosti) z této báze s komplexními hodnotami generátory reálnými. Protože tyto generátory jsou geometrické řady, jejichž libovolné členy jsou komplexně sdružená čísla, můžeme vzít jako vhodné generátory posloupnosti dané polovinou součtu, resp. polovinou /-násobku rozdílu, daných komplexních generátorů. Takto dostaneme následující reálnou bázi řešení: {1}^ (konstantní posloupnost), {n}^=v {cos(« • 2tt/3)}^=1, {&m(n-27c/3)}?=1. □ 3.5. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: Xn+2 = Xn + 1 + 2xn + 1, X\ = 2, X2 = 2. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b2". Partikulárním řešením je konstanta —1/2. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b2n Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = —5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost --(-1)" + -2""1 - -. 6 ' 3 2 □ 3.6. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje následující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2xnjr2 = —xn+\ + x„ + 2, x\ = 2, X2 = 3. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b(1/2)". Partikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b(^j +1. Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = l,b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost (_iy+ 4 +1. □ Předpokládejme, že má charakteristický polynom k různých kořenů k\, ..., kk. Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q na M nebo M na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné rovnici. Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení xn = C^ž)"- Abychom byli uspokojeni, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení. K tomu nám postačí ověřit nezávislost dosazením k hodnot pro n = 0, ..., k — 1 pro k možností k{. Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným (ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a jakékoliv /c-tice různých ki je determinant takovéto matice nenulový, viz příklad 2.21 na straně 83. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá. Nalezli jsme tedy fundamentální systém řešení homogenní diferenční rovnice v případě, že všechny kořeny jejího charakteristického polynomu jsou po dvou různé. Uvažme nyní násobný kořen k a dosaďme do definiční rovnice předpokládané řešení xn = nk". Dostáváme podmínku a0nkn H----+ak(n- k)kn~k = 0. Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu, kterou značíme apostrofem: k(a0kn +■■■+ akk"-ky = 0 a hned na začátku kapitoly páté uvidíme, že kořen polynomu / je vícenásobný právě, když je kořenem i jeho derivace /'. Naše podmínka je tedy splněna. Při vyšší násobnosti l kořenu charakteristického polynomu můžeme postupovat obdobně a využijeme skutečnosti, že £-násobný kořen je kořenem všech derivací polynomu až do l — 1 včetně. Derivace přitom postupně vypadají takto: f(X)=a0kn + ---+akk"-k f'(k) = aonk"-1 + ■■■+ ak(n - k)kn-k~l f"(k) = a0n(n - l)kn~2 + ■■■+ ak(n - k)(n -k- \)kn~k f(l+1) =a0n...(n- í)kn~1-1 + ... + ak(n -k)...(n-k- £)A"-^_1 Podívejme se na případ trojnásobného kořenu k a hledejme řešení ve tvaru n2k". Dosazením do definiční podmínky dostaneme rovnost a0n2kn + ---+ak(n- k)2kn~k = 0. Zjevně je levá strana rovna výrazu k2 f"(k) + kf'(k) a protože je k kořenem obou derivací, je podmínka splněna. Indukcí snadno dokážeme, že i obecnou podmínku pro hledané řešení ve tvaru xn = nlkn, a{)nlkn + ...ak(n- kfkn~k = 0, 134 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET dostaneme jako vhodnou lineární kombinaci derivací charakteristického polynomu začínající Xl+l f{l+l) + ^Xl£(£ + l)fW + ... a dostali jsme se tedy blízko k úplnému důkazu následující: Věta. Každá homogenní lineární diferenční rovnice řádu k nad libovolným číselným oborem K obsaženým v komplexních číslech K má za množinu všech řešení k—rozměrný vektorový prostor generovaný posloupnostmi x„ = nlXn, kde X jsou (komplexní) kořeny charakteristického polynomu a mocniny £ probíhají všechna přirozená čísla od nuly až do násobnosti příslušného kořenu X. Důkaz. Výše použité vztahy násobnosti kořenů a derivací uvidíme později, a nebudeme tu dokazovat tvrzení, že každý komplexní polynom má právě tolik kořenů, včetně násobnosti, jaký má stupeň. Zbývá tedy ještě dokázat, že nalezená /c-tice řešení je lineárně nezávislá. I v tomto případě lze induktivně dokázat nenulovost příslušného determinantu, jako jsme zmiňovali u toho Vandermondova výše. □ 3.12 | 3.10. Reálné báze řešení reálných differenčních rovnic. Pro rovnice s reálnými koeficienty povedou reálné počáteční podmínky vždy na reálná řešení. Přesto ale budou příslušná fundamentální řešení z právě odvozené věty často existovat pouze v oboru komplexním. Zkusme proto najít jiné generátory, se kterými se nám bude pracovat lépe. Potože jsou koeficienty charakteristického polynomu reálné, každý jeho kořen bude buď také reálný nebo musí kořeny vystupovat po dvou komplexně združených. Jestliže si řešení popíšeme v goniometrickém tvaru jako X" = \X|" (cos n

l:l, 2,3,4 — -^-• Nyní si všimněme, že kořeny charakteristické rovnice jsme mohli „uhodnout" rovnou. Je totiž x5 + 1 = (x + l)(x4 - x3 + x2 - X + 1), a tedy jsou kořeny polynomu x4 — x3 + x2 — x + 1 i kořeny polynomu x5 + 1, což jsou páté odmocniny z —1. Takto dostáváme, že řešením charakteristikého polynomu jsou čísla xi 2 = cos^isin^) ax34 = cos^) ± sin(^-). Tedy reálnou bází prostoru řešení dané diferenční rovnice je například báze posloupností cos^), sin^), cosiny1) a sin(3jp-), CQ- jSQU sjny akosmy argumentů příslušných mocnin kořenů charakteristického polynomu. Všimněme si, že jsme mimochodem odvodili algebraické výrazy pro cos(fO = 1±fi, sin(fO = ^10~2^, cos(^) = a sin(^) = 710+2^ (vzhledem k tomu, že všechny kořeny rovnice mají absolutní hodnotu 1, tak jsou to reálné, resp. imaginární, části příslušných kořenů). □ 3.8. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici x„+2 = 2x„+i — 2x„ se členy x\ =2, x2 = 2. Řešení. Kořeny charakteristického polynomu x2 — 2x + 2 jsou 1 + i a 1 — i. Báze (komplexního) vektorového prostoru řešení je tedy tvořena posloupnostmi y„ = (1 + ;')" a z„ = (1 — /)"■ Hledanou posloupnost můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci těchto poslopností (s komplexními koeficienty). Je tedy x„ = a ■ yn + b ■ zn, kde a = a\ + ia2, 135 A. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE b = b\ + ib2. Z rekurentního vztahu dopočteme x0 = \ (2xi — x2) = 0 a dosazením «=0a« = ldo uvažovaného vyjádření xn dostáváme 1 = xq = ci\ + + b\ + ib2 2 = xi = («i + /fl2)(l + 0 + (bi + 1*2)(1 - 0. a porovnáním reálné a komplexní složky obou rovnic dostáváme lineární soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých CL\ + b\ = 1 a2 + b2 = 0 a\ - a2 + b\ + b2 = 2 ai + a2 — b\ + b2 = 0 s resenim a\ = b\ = b2 = | a a2 posloupnost vyjádřit jako 1 -112. Celkem můžeme hledanou (--l-i)(i + iy+ {l- + l-i)(i-iy. Posloupnost můžeme však vyjádřit i pomocí reálné báze (komplexního) vektorového prostoru řešení, totiž posloupností un = \(y„ + zn) = (V2)"cos(f) a vn = \i(Zn - y„) = (72)" sin(f). Matice přechodu od komplexní báze k reálné je T :-- 2l 3 . 14 1 1 inverzní matice je T 1 = ~. ), pro vyjádření posloupnosti xn pomocí reálné báze, tj. souřadnice (c, d) posloupnosti xn v bázi {«„, vn}, pak máme máme tedy alternativní vyjádření posloupnosti x„, ve kterém se nevyskytují komplexní čísla (ale zase jsou v něm odmocniny): JtB = (V2)-cos(^) + (V2)-sin(^), které jsme samozřejmě mohli získat též řešením dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c, d, totiž 1 = xq = c ■ uq + d ■ vq = c a 2 = x\ = c • u\ + d • v\ = c + d. □ 3.9. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici xn+2 = 3x„+i + 3x„ se členy x\ = 1 a x2 = 3. 3.10. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: Xn-^-2 — xn + l , , X\ — 1, X2 — 5. Postupujeme tak, že najdeme jedno řešení a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících systémů homogenních. Skutečně takto dostáváme řešení a protože je rozdíl dvou řešení nehomogenní rovnice zjevně řešením homogenní, dostáváme takto řešení všechna. U systémů lineárních rovnic se mohlo stát, že nemusel vůbec mít řešení. To u našich diferenčních rovnic možné není. Zato ale bývá nesnadné nalézt to jedno potřebné partikulární řešení nehomogenního systému, pokud je chování skalárních koeficientů v rovnici složité. Omezíme se tu na jediný případ, kdy příslušný homogenní systém má koeficienty konstantní a b(n) je polynom stupně s. Řešení pak lze hledat ve tvaru polynomu x„ = q?o + din + • • • + asns s neznámými koeficienty a,■, i = 1, ..., s. Dosazením do diferenční rovnice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin n dostaneme systém s + 1 rovnic pro s + 1 proměnných a i. Pokud má tento systém řešení, našli jsme řešení našeho původního problému. Pokud řešení nemá, může stačit zvětšit stupeň s hledaného polynomu. Např. rovnice xn — x„_2 = 2 nemůže mít konstantní řešení, ale dosazením xn = a0+ain dostáváme řešení a i = 1 (a koeficient a0 může být libovolný) a proto je obecné řešení naší rovnice x„ = Ci +C2(-1)" +n. Všimněme si, že skutečně matice příslušného systému rovnic pro polynom nižšího stupně nula ie nulová a rovnice 0-a0 = 2 doplnit pořádněji diskusi řešitelnosti nema resem. pomoci variace konstant... 3.12. Lineární filtry. Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti ■) i ^-n + li • • • i -X-l, Xq, X\, . . . , Xn a budeme, podobně jako u systémů lineárních rovnic, pracovat s operací T, která zobrazí celou posloupnost x na posloupnost z = Tx se členy Zn ü{)Xn + a\xn-\ + ■ ■ ■ + akxn- S posloupnostmi x můžeme opět pracovat jako s vektory vzhledem ke sčítání i násobení skaláry po složkách. Pouze bude tento velký vektorový prostor nekonečněrozměrný. Naše zobrazení T je zjevně lineárním zobrazením na takovém vektorovém prostoru. Posloupnosti si představme jako diskrétní hodnoty nějakého signálu, odečítané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace T pak může být filtrem, který signál zpracovává. Bude nás zajímat, jak odhadnout vlastnosti, které takový „filtr" bude mít. Signály jsou velice často ze své podstaty dány součtem několika částí, které jsou samy o sobě víceméně periodické. Z naší definice je ale zřejmé, že periodické posloupnosti x„, tj. posloupnosti splňující pro nějaké pevné přirozené číslo p 136 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.15 budou mít i periodické obrazy z = T x Zn+p = aOxn+p + a\xn-\+p + ' ' ' + akxn-k+p = ClQXn + a\X„-i + • • • + akXn_k = Zn se stejnou periodou p. Pro pevné zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní periodické posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a které budou utlumeny na nulové hodnoty. V druhém případě tedy hledáme jádro našeho lineárního zobrazení T. To je ale dáno právě homogenní diferenční rovnicí aoxn + a\xn-\ + • • • + akxn-k kterou jsme se naučili řešit. 0, a0 0 ak ^ 0, 3.13. Špatný equalizer. Jako příklad uvažujme velmi jednoduchý lineární filtr zadaný rovnicí Zn (T x)n — Xn+2 + x„. Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny na následujících čtyřech obrázcích pro postupně se zvyšující frekvenci periodického signálu xn = cos(cpn). Červený je původní signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem. Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba signály jsou samozřejmě rovnoměrnými sinusovkami. Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně silný jako původní, dochází k dramatickému doplnit podrobný posuvu fáze signálu. Levné equalizery skutečně podobně výpočet pomocí špatně f ungují. uvedených nástrojů 3.11. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti ix«}^Li vyhovující následujícím podmínkám: ~xn+3 = 2xn+2 + 2xn + i + X„, X\ = 1, X2 = 1, Xj, = 1. 3.12. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti ix«}^Li vyhovující následujícím podmínkám: — xn+3 = 3x„+2 + 3x„ + i + X„, X\ = 1, X2 = 1, X3 = 1. B. Populační modely Populační modely, kterými se budeme zabývat, budou rekurentní vztahy ve vektorových prostorech. Neznámou veličinou tedy nebude posloupnost čísel nýbrž posloupnost vektorů. Roli koeficientů pak budou hrát matice. Začneme s jednoduchým (dvourozměrným) příkladem. 3.13. Spoření. S kamarádem spoříme na společnou dovolenou následujícím způsobem. Na začátku dám 10 EUR a on 20 EUR. Každý další měsíc pak dá každý z nás tolik, co minulý měsíc plus polovinu toho, co dal ten druhý z nás předchozí měsíc. Kolik budeme mít za rok dohromady naspořeno? Kolik peněz budu platit dvanáctý měsíc? Řešení. Obnos peněz, který budu platit n-tý měsíc já označím xn a to, co bude platit kamarád označím y„. První měsíc tedy dáme x\ = 10, yi = 20. Pro další platby můžeme psát rekurentní rovnice: xn + l yn+i xn ~\~ 2^n yn 2Xn Pokud označíme společný vklad zn = xn+yn, pak sečtením uvedených rovnic dostaneme vztah zn +i Zn ~\~ ^Zn \zn- To je geometrická řada a dostáváme tedy z„ = 3.(|)" 1. Za rok budeme mít celkem naspořeno z i +Z2+- ■ -+Zi2-Tento částečný součet umíme lehce spočítat 3(l + - + --- + (-)n) .(I)12 1 1 772, 5. Za rok tedy dohromady naspoříme přes 772 euro. Rekurentní soustavu rovnic popisující systém spoření můžeme napsat pomocí matice následovně xn + l \ _ I 2l| Xn Kyn+i) ~ \\ l) \yn, Jde tedy opět o geometrickou řadu. Jejími prvky jsou teď ovšem vektory a kvocient není skalár, ale matice. Řešení lze nicméně najít obdobně 137 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY Mocninu matice působící na vektor (jci , yi) můžeme nalézt, když vyjá- 3.16 dříme tento vektor v bázi vlastních vektorů. Charakteristický polynom 1 n„.,,„^x^„;„™^.,, _3 1 ^.Přišlu- matice je (1 — X) — j — 0 a vlastní čísla jsou tedy Ai 2 šné vlastní vektory jsou po řadě (1, 1) a (1, —1). Pro počáteční vektor (xi, yi) = (1,2) spočítáme a proto 3 " 2 n-l 1 2 1 ' 2 «-i To znamená, že já zaplatím 12. měsíc Xl2 12 12 130 □ eur a můj kamarád v podstatě stejně. Poznámka. Předchozí příklad lze řešit i bez matice následujícím přepsáním rekuretní rovnice: Xn = Xn + jyn = jXn + jZn- Předcházející příklad byl vlastně modelem růstu (v daném případě růstu množství naspořených peněz). Nyní přejděme k modelům růstu popisujícím primárně růst nějaké populace. Leslieho model růstu, který jsme detailně rozebrali v teorii, velmi dobře popisuje nejen populace ovcí (podle kterých byl sestaven), ale uplatňuje se například i při modelování následujích populací: 3.14. Zajíci podruhé. Ukažme si, jak můžeme Leslieho modelem popsat populaci zajíců na louce, kterou jsme se zaobírali v příkladu (3.1). Uvažujme, že zajíci umírají po dovršení devátého měsíce věku (v původním modelu byl věk zajíců neomezen). Označme počty zajíců (resp. zaječic) podle stáří v měsících v čase t (měsíců) jako x\(ŕ), x2(t),..., x9(t), tak počty zajíců v jednotlivých věkových skupinách budou po jednom měsíci x\(t + 1) = x2(ř) + x3(ř) + • • • + x9(t), Xi(t + 1) = Xi-\(t), pro i = 2,3, ..., 10, neboli /*l(í +1)\ ŕ 1 1 1 1 1 1 1 x2(ř+ 1) i 0 0 0 0 0 0 0 0 x2(ř) x3(ř+ 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 x3(ř) x4(ř+ 1) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x4(ř) x5(ř+ 1) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x5(ř) x6(ř+ 1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x7(ř+ 1) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x7(ř) xx(t+ 1) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 n(t) \x9(ř+ 1)/ Vo 0 0 0 0 0 0 1 0/ \x9(ř)/ Charakteristický polynom uvedené matice je X9 — X1 — X6 — X5 — X4 — X3 —X2 —X—1. Kořeny této rovnice nejsme schopni explicitně vyjádřit, jeden z nich však velmi dobře odhadnout, Xi = 1, 608 (proč muls menší než (>/5 + l)/2)?). Populace bude tedy podle tohoto modelu růst přibližně s geometrickou řadou 1, 608ř. 3. Iterované lineární procesy 3.14. Iterované procesy. V praktických modelech se často setkáváme se situací, kdy je vývoj systému v jednom časovém období dán lineárním procesem, zajímáme se ale o chování systému po mnoha iteracích. Často přitom samotný lineární proces zůstává pořád stejný, z pohledu našeho matematického modelu tedy nejde o nic jiného než opakované násobení stavového vektoru stále stejnou maticí. Zatímco pro řešení systémů lineárních rovnic jsme potřebovali jen minumum znalostí o vlastnostech lineárních zobrazení, k pochopení chování iterovaného systému budeme účelně používat znalosti vlastních čísel, vlastností vlastních vektorů a další strukturní výsledky. V jistém smyslu se pohybujeme v podobném prostředí jako u lineárních rekurencí a skutečně můžeme náš popis filtrů v minulých odstavcích takto také popsat. Představme si, že pracujeme se zvukem a uchováváme si stavový vektor -k+l) všech hodnot od aktuální až po poslední, kterou ještě v našem lineárních filtru zpracováváme. V jednom (ve vzorkovací frekveci audio signálu mimořádně krátkém) časovém intervalu pak přejdeme ke stavovému vektoru f «+i +i' -k+2), kde první hodnota xn+\ = a\xn + ■ ■ ■ + akxn-k+\ je spočtena jako u homogenních diferenčních rovnic, ostatní si jen posunujeme o jednu pozici a poslední zapomeneme. Příslušná čtvercová matice řádu k, splňující Yn+i = A ■ Yn, bude vypadat takto: a2 . a-k\ 1 0 . 0 0 0 1 ' 0 0 \o 0 . 1 0/ Pro takovou jednoduchou matici jsme si odvodili explicitní postup pro úplné řešení otázky, jak vypadá formule pro řešení. Obecně to tak snadno nepůjde ani pro velice podobné systémy. Jedním z typických případů je studium dynamiky populací v různých biologických systémech. Všimněme si také, že vcelku pochopitelně má matice A za charakteristický polynom právě p(X) = Xk — aiXk~l — ■ ■ ■ — ak (snadno dovodíme pomocí rozvoje podle posledního sloupce a rekurencí). To je snadno vysvětlitelné přímo, protože řešení xn = X", X ^ 0 vlastně nyní znamená, že matice A vynásobením převede vlastní vektor (Xk, ..., X)T na jeho A-násobek. Musí být tedy X vlastním číslem matice A. 3.15. Model růstu populací. Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod.) rozdělený do m skupin (třeba podle stáří, fází 138 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vývoje hmyzu apod.). Stav X„ je tedy dán vektorem X„ = (u\, ..., um)T závisejícím na okamžiku ŕ„, ve kterém systém pozorujeme. Lineárni model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru Xn na Xn+i = A ■ Xn při přírůstku času z tk na tk+i. Uvažujme jako příklad tzv. Leslieho model růstu, ve kterém vystupuje matice / fl h h ■ ■ ■ fm-l fm\ ti 0 0 ... o o 0 r2 0 ... 0 0 A = 0 0 r3 ' • • 0 0 ' \0 0 0 ... rm_! 0/ jejíž parametry jsou svázány s vývojem populace rozdělené do m věkových skupin tak, že ft označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v /-té skupině ftN jedinců nových, tj. ve skupině první), zatímco r; je relativní úmrtnost /-té skupiny během jednoho období. Pochopitelně lze použít takový model s libovolným počtem věkových skupin. Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a čísla r jsou mezi nulou a jedničkou (a pokud jsou všechna rovna jedné, jde vlastně o lineární rekurenci s konstantními koeficienty). Než se pustíme do obecnější teorie, trochu si pohrajeme s tímto konkrétním modelem. Přímým výpočtem pomocí Laplaceova rozvoje podle posledního sloupce spočteme charakteristický polynom pm (k) matice A pro model s m skupinami: pm(k) = det(A-kE) = -Apm_1(A)+(-l)m_1/mTi ... rm_i. Vcelku snadno dovodíme indukcí, že tento charakteristický polynom má tvar PmW = (—l)m(km — a\km 1 — ••• — am-\k — am) s vesměs nezápornými koeficienty a\, ... ,am, pokud jsou všechny prametry r; a ft kladné. Např. je vždy am = f m t\ ■ ■ ■ tm — 1 - Zkusme kvalitativně odhadnout rozložení kořenů polynomu pm, detaily budeme umět přesně vysvětlit a ověřit až po absolvování příslušných partií tzv. matematické analýzy v kapitole páté a později. Vyjádříme si pm(k) = ±km(l-q(k)) kde q(k) = a\k~l + ■ ■ ■ + amk~m je ostře klesající a nezáporná funkce pro k > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné k, pro které bude q(k) = 1 a tedy také pm (k) = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné reálné vlastní číslo. Pro skutečné Leslieho modely populací bývají všechny koeficienty r; i /} mezi nulou a jedničkou a typicky nastává 3.15. Jezírko. Mějme jednoduchý model jezírka, ve kterém žije populace bílé ryby (plotice, ouklej, podoustev, ostroretka atd.). Předpokládáme, že druhého roku se dožije 20 % rybího plůdku a od tohoto stáří už jsou ryby schopny se reprodukovat. Z mladých ryb přežije z druhého do třetího roku přibližně 60 % a v dalších letech je už úmrtnost zanedbatelná. Dále předpokládáme, že roční přírůstek nových plůdků je třikrát větší než počet ryb (schopných reprodukce). Tato populace by evidentně jezírko brzy přeplnila. Rovnováhu chceme dosáhnout nasazením dravé ryby, např. štiky. Předpokládejme, že jedna štika sní ročně asi 500 dospělých bílých ryb. Kolik štik pak musíme do jezírka nasadit, aby populace stagnovala? Řešení. Pokud označíme p počet plůdku, m počet mladých ryb a r počet dospělých ryb, pak je stav populace v dalším roce popsán následovně: p\ / 3m + 3r \ m I I 0, 2p I , r J y0, 6m + rr J kde 1 — r je relativní úmrtnost dospělé ryby způsobená štikou. Příslušná matice popisující tento model je tedy 0 3 3\ 1,2 0 0 0 0,6 r j Pokud má populace stagnovat, pak musí mít tato matice vlastní hodnotu 1. Jinými slovy, jednička musí být kořenem charakteristického polynomu této matice. Ten je tvaru k2(r — k)+0, 36—0, 6.(r —k) = 0. To znamená, že r musí splňovat r - 1 +0, 36-0, 6(r - 1) = 0 0, 4r - 0, 04 = 0 Do dalšího roku tedy může přežít jen 10 % z dospělých ryb a zbytek by měla sníst štika. Označíme-li hledaný počet štik x, pak dohromady sní 500x ryb, což by mělo odpovídat podle předchozího výpočtu 0, 9r. Poměr počtu bílé ryby ku počtu štik by tedy měl být r- = ^j. To je přibližně jedna štika na 556 kusů bílé ryby. □ Obecněji můžeme zpracovat předcházející model takto: 3.16. Nechť je v populačním modelu dravec-kořist určen vztah mezi počtem dravců Dk a kořisti Kk v daném a následujícím měsíci (k e N U {0}) lineárním systémem (a) Djt+i = 0,6Dk + 0,5*:*, Kk+l = -0,l6Dk + 1,2 Kk\ (b) Djt+i = 0,6 Dk + 0,5*:*, Kk+l = -0.175D* + 1,2*:*; 139 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY (c) Dk+i Kk+i 0,6Dk + 0,5**, -0, 135 D* + l,2Kk. Analyzujte chovaní tohoto modelu po velmi dlouhé době. Řešení. Všimněme si, že jednotlivé varianty se od sebe navzájem liší pouze v hodnotě koeficientu u Dk ve druhé rovnici. Můžeme proto všechny tři případy vyjádřit jako :s)-(aJií) •(£:)• »«"■ kde budeme postupně klást a = 0, 16, a = 0, 175, a = 0, 135. Hodnota koeficientu a zde reprezentuje průměrný počet kusů kořisti zahubených jedním (očividně „nenáročným") dravcem za měsíc. Při označení bezprostředně dostáváme Dk Kk 0,6 0,5 a 1,2 D0 K0 keN. Pomocí mocnin matice T tak můžeme určit vývoj populací dravce a kořisti po velmi dlouhé době. Snadno stanovíme vlastní čísla (a) Xi (b) Xi (c) Xi 1, A2 = 0,8; 0, 95, X2 = 0, 85; 1,05, A2 = 0,75 matice T a jim (při zachování pořadí) příslušné vlastní vektory (a) (5,4)r, (5,2)r; (b) (10,7)r, (2, l)T; (c) (10,9)r , (10, 3)T. Pro k € N tudíž platí (a) 3. lř 5 5 4 2 1 0 0 0, 8 (b) (c) 10 2 7 1 10 10 9 3 0,95 0 1,05 0 0 0, 85 0 0,75 10 2 7 1 10 10 9 3 situace, kdy jediné reálné vlastní číslo Xi je větší nebo rovno jedné, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel jsou ostře menší nezjedná. Jestliže začneme s libovolnýmn stavovým vektorem X, který bude dán jako součet vlastních vektorů X = X\ + • • • + Xm s vlastními hodnotami A;, pak při iteracích dostáváme Ak ■ X = X\X\ + ... XkmXm, takže za předpokladu, že < 1 pro všechna i > 2, budou všechny komponenty ve vlastních podprostorech velmi rychle mizet, kromě kompomenty XiX\. Rozložení populace do věkových skupin se tak budou rychle blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu k\. Například pro matici (uvědomme si význam jednotlivých koeficientů, jsou převzaty z modelu pro chov ovcí, tj. hodnoty r zahrnují jak přirozený úhyn tak případné aktivity chovatelů na jatkách) 0.2 0 0.8 0 0 / 0 0.95 0 0 0 V vyjdou vlastní hodnoty přibližně 0.8 0 0 0.7 0 0.6 0 0 0 0.6 0\ 0 0 0 0/ 1.03, 0, -0.5, -0,27 + 0.74/, -0.27 -0.74/ s velikostmi 1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78 a vlastní vektor příslušný dominantnímu vlastnímu číslu je přibližně x = (30 27 21 14 8). Zvolili jsme rovnou jediný vlastní vektor se součtem souřadnic rovným stu, zadává nám proto přímo výsledné procentní rozložení populace. Pokud bychom chtěli místo tříprocentního celkového růstu populace setrvalý stav a předsevzali si ujídat více ovce třeba z druhé věkové skupiny, řešili bychom úlohu, o kolik máme zmenšit r2, aby bylo dominantní vlastní číslo rovno jedné. 3.16. Matice s nezápornými prvky. Reálné matice, které nemají žádné záporné prvky mají velmi speciální vlastnosti. J ť ť J J ť tady by se hodilo Zároveň jsou skutečně časté v praktických modelech. Nazna- trochu historie, číme proto teď proto tzv. Perronovu-Frobeniovu teorii, která -L a näznäciiTie cäsi se právě takovým maticím věnuje. naznačíme cast výsledků Perrona, k Začneme definicí několika pojmů, abychom mohli naše obecneja situaci se úvahy vůbec formulovat. vůbec nedopracujeme. Kladné a primitivní matice Definice. Za kladnou matici budeme považovat takovou čtvercovou matici A, jejíž všechny prvky a^ jsou reálné a ostře kladné. Primitivní matice je pak taková čtvercová matice A, jejíž nějaká mocnina Ak je kladná. Odtud dále pro velká k plyne 140 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Připomeňme, že spektrálním poloměrem matice a nazývame maximum absolutních hodnot všech jejích (komplexních) vlastních čísel. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení na (konečněrozměrném) vektorovém prostoru rozumíme spektrální poloměr jeho matice v některé bázi. Normou 2 matice Aeř nebo vektoru x e W rozumíme součet absolutních hodnot všech jejich prvků. U vektorů x píšeme pro jejich normu \x\. Následující výsledek je mimořádně užitečný a snad i dobře srozumitelný. Jeho důkaz se svou náročností dosti vymyká této učebnici, uvádíme ale alespoň jeho stručný nástin. Pokud by čtenář měl problém s plynulým čtení nástinu důkazu, doporučujeme jej přeskočit. Věta (Perronova). Jestliže je a primitivní matice se spektrálním poloměrem ÄeK, pak je X jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice a, který je ostře větší než absolutní hodnota kteréhokoliv jiného vlastního čísla matice a. K vlastnímu číslu k navíc existuje vlastní vektor x s výhradně kladnými prvky x;-. (a) Náznak důkazu. V důkazu se budeme opírat o intuici inspirováno materiálem na webu, viz http://www- users.math.umd.edu/ elementární geometrie. Částečně budeme použité koncepty ~mmb/475/spec.pdf fe upřesňovat už v analytické geometrii ve čtvrté kapitole, některé analytické aspekty budeme studovat podrobněji v kapitolách páté a později, přesné důkazy některých analytických kroků v této učebnici nepodáme vůbec. Snad budou následující úvahy nejen osvětlovat dokazovaný teorém, ale budou také samy o sobě motivací pro naše další studium geometrie i matematické analýzy. Začneme docela srozumitelně znějícím pomocným lemmatem: Lemma. Uvažme libovolný mnohostěn P obsahující počátek 0 e W1. Jestliže nějaká iterace lineárního zobrazení ý : M" -» W1 zobrazuje P do jeho vnitřku, pak je spektrální poloměr zobrazení ý ostře menší než jedna. Uvažme matici a zobrazení ý ve standardní bázi. Protože vlastní čísla ak jsou k-té mocniny vlastních čísel matice a, můžeme rovnou bez újmy na obecnosti předpokládat, že samotné zobrazení ý již zobrazuje P do vnitřku P. Zjevně tedy nemůže mít ý žádnout vlastní hodnotu s absolutní hodnotou větší než jedna. Důkaz dále povedeme sporem. Předpokládejme, že existuje vlastní hodnota k s |A| = 1. Máme tedy dvě možnosti. Buďje kk = 1 pro vhodné k nebo takové k neexistuje. Obrazem f je uzavřená množina (to znamená, že pokud se body v obrazu budou hromadit k nějakému bodu y v W, bude y opět v obrazu) a hranici P tento obraz vůbec nepro-tíná. Nemůže tedy mít ý pevný bod na hranici P ani nemůže existovat žádný bod na hranici, ke kterému by se mohly libovolně blížit body v obrazu. První argument vylučuje, že by nějaká mocnina k byla jedničkou, protože to by takový pevný bod na hranici P jistě existoval. Ve zbývajícím případě jistě existuje dvourozměrný podprostor w C M", na nějž se ý zužuje coby rotace o iracionální argument a jistě existuje bod 5 5\ (1 0\ (5 5 4 2) ' [O 0)'\4 2 j_ /-10 25\ 10 l -8 20/ ' (b) (c) 10 2\ (0 0 7 1) ' \0 0 0 0 0 0 10 10\ /1,05* 0 9 3) ' \ 0 0 1,05* /-30 100 27 90 10 2 7 1 10 10 9 3 60 neboť právě pro velká & e N můžeme položit (a) (b) (c) 1 0 0 0, 8 0,95 0 0 0,85 i oy o oř o o o o 1,05 0 V _ /1,05* o^ 0 0,15) ~ V 0 Oj Podotkněme, že ve variantě (b), tj. pro a = 0, 175, nebylo nutné vlastní vektory počítat. Obdrželi jsme tak (a) 'BA 1 /-10 25\ /zV .KkJ~ 10 V-8 20J'{k0/ = J_(5 (-2A, + 5K0f 10 \4 (-2D0 + 5K0), (b) 'DA _ (0 0\ (D0\ /0> ykk) ~\0 OJ' \Kq) \0) ' (c) 'Dk\ _ L05* /-30 100 .Kj™ 60 V -27 90 D0 K0 60 1,05* /10(-3A) + lOKo) 60 \9(-3D0 + lOKo) Tyto výsledky lze interpretovat následovně: (a) Pokud 2Dq < 5Kq, velikosti obou populací se ustálí na nenulových hodnotách (říkáme, že jsou stabilní); jestliže 2Z)0 > 5K0, obě populace vymřou. 141 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY (b) Obě populace vymřou. (c) Pro3D0 < 10 K0 nastáva populační exploze obou druhů; pro 3 A) > 10v?o °bě populace vymřou. To, že extrémně malá změna velikosti a může vést ke zcela odlišnému výsledku, je zapříčiněno neměnností hodnoty a v závislosti na velikosti obou populací. Poznamenejme, že toto omezení, kdy a v našich modelech považujeme za konstantní, nemá oporu ve skutečnosti. Přesto získáváme odhad velikosti a pro stabilní populace. □ 3.17. Poznámka. Jiný model soužití populací dravce a kořisti poskytuje model pánů Lotky a Volterra, který popisuje vztah mezi populacemi soustavou dvou obyčejných diferenciálních rovnic. Podle tohoto modelu obě populace oscilují, což je i v souladu s pozorováními. Nyní uveďme poněkud obsáhlejší model. 3.18. Model šíření jednoletých bylin. Budeme uvažovat rostliny, které na začátku léta vykvetou, na jeho vrcholu vyprodukují semena a samy uhynou. Některá ze semen vyklíčí ještě na konci podzimu (ozimé rostliny), jiná přečkají zimu v zemi a vyklíčí na začátku jara (jarní rostliny). Ozimé rostlinky (sazenice), které přes zimu nezmrznou, jsou na jaře větší než jarní a většinou z nich vyrostou větší rostliny než z jarních sazenic. Větší rostlina vyprodukuje více semen. Pak se celý vegetační cyklus opakuje. Rok je tedy rozdělen na čtyři vegetační období a v každém z těchto období můžeme rozlišit několik „forem" rostliny: Období stadia rostliny začátek jara začátek léta vrcholné léto podzim malé a velké sazenice malé, střední a velké kvetoucí rostliny semena sazenice a přezimující semena Označme x\(t), resp. x2(t), počet malých, resp. velkých, sazenic na začátku jara roku ř a y\(t), resp. y2(t), resp. y3(t), počet malých, resp. středních, resp. velkých rostlin v létě téhož roku. Z malých sazenic mohou vyrůst malé nebo střední rostliny, z velkých sazenic mohou vyrůst střední nebo velké rostliny. Kterákoliv ze sazenic samozřejmě může uhynout (uschnout, být spasena krávou a podobně) a nevyroste z ní nic. Označme bij pravděpodobnost, že ze sazenice j-té velikosti, j = 1,2, vyroste rostlina i-té velikosti, / = 1,2,3. Pak je 0 < bn < 1, bn = 0, 0 < 0 < b hi < 1, 0 < b22 < 0, '32 < 1, bn + hi < 1, hi = 0, , *22 + h2 < 1 (promyslete si, co každá z těchto nerovností vyjadřuje). Pokud pravděpodobnost považujeme za klasickou, můžeme bn vypočítat jako podíl y v průniku W s hranicí P. Pak by ale byl bod y libovolně přesně přiblížen body z množiny (y) při průchodu přes všechny iterace a tedy by musel sám být také v obrazu. Došli jsme tedy ke sporu a lemma je ověřeno. Nyní se dáme do důkazu Perronovy věty. Naším prvním krokem bude ověření existence vlastního vektoru, který má všechny prvky kladné. Uvažme za tím účelem tzv. standardní simplex {x = (xi l,Xi > 0, i = 1, Protože všechny prvky v matici A jsou nezáporné, obraz A ■ x bude mít samé nezáporné souřadnice stejně jako x a alespoň jedna z nich bude vždy nenulová. Zobrazení x h-» \A ■ x\~l(A ■ x) proto zobrazuje S do sebe, Toto zobrazení S ^ S splňuje všechny předpoklady tzv. Browerovy věty o pevném bodě a proto existuje vektor y e 5 takový, že je tímto zobrazením zobrazen sám na sebe. To ale znamená, že A ■ y = Xy, X = \A ■ y\ a našli jsme vlastní vektor, který leží v S. Protože ale má nějaká mocnina Ak podle našeho předpokladu samé kladné prvky a samozřejmě je také Ak-y = Xky, všechny souřadnice vektoru y jsou ostře kladné (tj. leží ve vnitřku 5) a X > 0. Abychom dokázali zbytek věty, budeme uvažovat zobrazení zadané maticí A ve výhodnější bázi a navíc ho vynásobíme konstantou A-1: B = X~l(Y~l -A-Y), kde F je diagonální matice se souřadnicemi y; vektoru y na diagonále. Evidentně je B také primitivní matice a navíc je vektor z = (l,...,l)rjejím vlastním vektorem. Jestliže nyní dokážeme, že \i = 1 je jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice B a všechny ostatní kořeny mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna, bude Perronova věta dokázána. K tomu se nám teď bude hodit dříve dokázané pomocné lemma. Uvažujme matici B jako matici lineárního zobrazení, které zobrazuje řádkové vektory («i u„) h-» u ■ B tj. pomocí násobení zprava. Díky tomu, že je z = (1, ..., 1)T vlastním vektorem matice B, je součet souřadnic řádkového vektoru v n n Uibi> = J2Ui = 1> i,j=l i = l kdykoliv je m e 5. Proto toto zobrazení zobrazuje simplex S na sebe a má také jistě v S vlastní (řádkový) vektor w s vlastní hodnotou jedna (pevný bod, opět dle Browerovy věty). Protože nějaká mocnina Bk obsahuje samé ostře pozitivní prvky, je nutně obraz simplexu S v k-té iteraci zobrazení daného B uvnitř S. To už jsme blízko použití našeho lematu, které jsme si pro důkaz připravili. Budeme i nadále pracovat s řádkovými vektory a označme si P posunutí simplexu S do počátku pomocí vlastního 142 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vektoru w, který jsme právě našli, tj. P = —w + S. Evidentně je P mnohostěn obsahující počátek a vektorový pod-prostor V C W generovaný P je invariantní vůči násobení maticí B násobením řádkových vektorů zprava. Zúžení našeho zobrazení na P tedy splňuje předpoklady pomocného lemmatu a proto nutně musí být všechny jeho vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší než jedna. Ještě se musíme vypořádat se skutečností, že právě uvažované zobrazení je dáno násobením řádkových vektorů zprava maticí B (zatímco nás původně zajímalo chování zobrazení, daného B pomocí násobení sloupcových vektorů zleva). To je ale ekvivalentní násobení transponovaných sloupcových vektorů transponovanou maticí B obvyklým způsobem zleva. Dokázali jsem tedy vlastně potřebné tvrzení o vlastních číslech pro matici transponovanou k naší matici B. Transponování ale vlastní čísla nemění. Dimenze prostoru V je přitom n — 1, takže důkaz věty je ukončen. □ 3.17. Jednoduché důsledky. Následující velice užitečné tvrzení má při znalosti Perronovy věty až překvapivě jednoduchý důkaz a ukazuje, jak silná je vlastnost primitívnosti matice zobrazení. Důsledek. Jestliže A = (a^) je primitivní matice a x e W1 její vlastní vektor se samými nezápornými souřadnicemi a vlastní hodnotou k, pak k > Oje spektrální poloměr A. Navíc platí foj^Oij 0. Z Perronovy věty víme, že spektrální poloměr \i je vlastním číslem a zvolme takový vlastní vektor y k \i, že rozdíl x — y má samé kladné souřadnice. Potom nutně pro všechny mocniny n 0 < A" ■ (x — y) = k"x — \ŕy, ale zároveň platí k < \i. Odtud již vyplývá k = \i. Zbývá odhad spektrálního poloměru pomocí minima a maxima součtů jednotlivých sloupců matice. Označme je 6min a 6max, zvolme za x vektor se součtem souřadnic jedna a počítejme: aUxj — X ~ ^ i,j=\ i=\ n / n \ n příznivých výsledků (z malé vyrostla malá rostlina) a všech možných výsledků (počet malých sazenic), tj. b\\ = y\(t)/x\(t). Odtud yi(ř) = bnxi(t). Analogicky dostaneme rovnost y3(0 = 632x2(0 • Označíme-li na chvíli y2ti(t), resp. ^2,2(0 počet středních rostlin vyrostlých z malých, resp. velkých sazenic, je yi(t) = 3^2,1 (0 + ^2,2(0 a 621 = y2,i(0M(0, 622 = y2,2(ť)/x2(t) a tedy y2(t) = b2lxx(t) + 622x2 (ŕ) • Označíme ^11 0\ (yi(ty B=\b21 622 I , x(í) = I ) , y(ŕ) = I y2(0 a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru y(r) = Bx(t). Označíme-li po řadě c\\, c\2 a c13 počty semen, které vyprodukuje jedna malá, střední a velká rostlina, a z (ŕ) celkový počet vyprodukovaných semen v létě roku t, platí z(t) = cnyi(0 +c12y2(t) +c13y3(t), nebo v maticovém tvaru z(t) = Cy(t) při označení C = (en C12 ci3) . Aby matice C popisovala modelovanou realitu, budeme předpokládat, že platí nerovnosti 0 < en < cl2 < ci3. Označme nakonec w\(ť) a w2(t) počet semen, které vyklíčí ještě na podzim a počet semen, která přezimují, v tomto pořadí, ad\\, resp. d2i pravděpodobnost, že semeno vyklíčí na podzim, resp. nevyklíči (prezimuje), a fn, resp. ^22 pravděpodobnost, že ozimá sazenice, resp. že přezimující semeno během zimy nezmrzne. Pravděpodobnosti vyklíčení dn, d2i zřejmě musí splňovat nerovnosti 0 < dn, 0 < d2i, dn + d2i = 1, a poněvadž rostlinka snáze zmrzne, než semeno ukryté v zemi, budeme o pravděpodobnostech fi 1, /22 přežití zimy předpokládat 0 < fn < /22 < 1- Při označení D dn d2i fn 0 0 f 22 w(t) U>2(0 143 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY RelPrirPop dostaneme podobnými úvahami jako výše rovnosti w(t) = Dz(t), x(t + 1) = Fw(t). Poněvadž násobení matic je asociativní, můžeme pro počty jednotlivých stadií rostlin v následujícím roce z předchozích rovností sestavit rekurentní formule: x(t + 1) =Fw(t) = F{Dz(t)) = (FD)z(t) = (FD){Cy(t)) = =(FDC)y(t) = (FDC)(Bx(t)) = (FDCB)x(t), □ Všimněme si, že např. všechny Leslieho matice z 3.15, kde jsou všechny uvažované koeficienty /} a tj ostře kladné, jsou primitivní a tedy na ně můžeme plně použít právě odvozené výsledky. Perronova-Frobeniova věta je zobecněním Perronovy věty na obecnější matice, které tu nebudeme uvádět. Další informace lze najít např. v 99 3.20 y(t + 1) =Bx(t + 1) = B{Fw(t)) = (BF)w(t) = (BF){Dz(i)) =(BFD)z(t) = (BFD)(Cy(t)) = (BFDC)y(t), z(t + 1) =Cy(t + 1) = C(Bx(t + 1)) = (CB)x(t + 1) = (CB){Fw(t)) =(CBF)w(t) = (CBF)(Dz{t)) = (CBFD)z(t), W(t + 1) =Dz(t + 1) = D(Cy(t + 1)) = (DC)y(t + 1) = =(DC)(Bx(t + 1)) = (DCB)x(t + 1) = (DCB)(Fw(t)) = ==(DCBF)w(t). Při označení 3.18. Markovovy řetězce. Velice častý a zajímavý případ lineárních procesů se samými nezápornými prvky v matici je matematický model systému, který se může nacházet v m různých stavech s různou pravděpodobností. V jistém okamžiku je systém ve stavu i s pravděpodobností x; a k přechodu z "možného stavu i do stavu j dojde s pravděpodobností ř;j. Můžeme tedy proces zapsat takto: V čase n je systém popsán pravděpodobnostním vektorem (ui(n), um(n)) Ax = FDCB, Ay = BFDC, je zjednodušíme na formule CBFD, Ah DCBF, To znamená, že všechny komponenty vektoru x jsou reálná nezáporná čísla a jejich součet je roven jedné. Komponenty udávají rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých možností stavů systému. Rozdělení pravděpodobností pro čas n + 1 bude dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu T = (Mj), tj. T *-« + ! Xfi. x(ř+l) = Axx(t), y(ř+l) = Ayy(t), z(ř+l) = Azz(t), w(ř+l) = Aw(t) Z těchto formulí již můžeme vypočítat složení populace rostlin v libovolném období libovolného roku, pokud známe složení populace v nějakém období počátečního (nultého) roku. Nechť je například známo složení populace v létě, tj. počet z(0) vysetých semen. Pak složení populace na začátku jara ř-tého roku je Protože předpokládáme, že vektor x zachycuje všechny možné stavy a proto s celkovou pravděpodobností jedna přejde opět do některého z nich, budou všechny sloupce matice T tvořeny také pravděpodobnostními vektory. Takovému procesu říkáme (diskrétní) Markovův proces. Všimněme si, že každý pravděpodobnostní vektor x je skutečně Markovovým procesem zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna: x(t) = Axx(t - 1) A2xx(t 2) A'_1jc(1) = A'_1F«;(0) ř-l E- 1. --A'-1 FDz,(0). Povšimněme si, že matice Az = CBFD je typu lxl; není to tedy matice, ale skalár. Můžeme tedy označit k = Az, vypočítat (3.5) k = CBFD = (en cn c13) b2i \o = (cubn + cnb2i cnb22 + ci3b32) (y-^ŕfei) = = bncndnfn + b2XcX2dnj\x + b22cX2d2Xf22 + b32cX3d2Xf22 Nyní můžeme v plné síle použít Perronovu-Frobeniovu teorii. Protože je součet řádků matice T vždy roven vektoru (1, ..., 1), je zcela elementárně vidět, že matice T — E je singulární a jednička proto bude zaručeně vlastním číslem matice T. Pokud je navíc T primitivní matice (tj. např. když jsou všechny prvky nenulové), z Důsledku 3.17 víme, že je jednička jednoduchým kořenem charakteristického polynomu a všechny ostatní mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna. Věta. Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost, splňují: 144 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.21 vymazat příslib, pokud to nenastane, a nahradit odkazem do literatury • existuje jediný vlastní vektor x c je pravděpodobnostní • iterace Tkx$ se blíží k vektoru xm pro jakýkoliv počáteční pravděpodobnostní vektor xq. Důkaz. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadnic vlastního vektoru dovozené v Perronově větě. Pokud jsou algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice T stejné, pak druhé tvrzení okamžitě vyplývá z toho, že absolutní hodnoty všech ostatních vlastních čísel musí být ostře menší než jedna. Skutečně, za uvedeného předpoladu na vlastní čísla lze každý počáteční vektor x0 napsat jako součet vlastních vektorů matice T a při iterovaném působení matice T na počátečním vektoru x0 všechny komponenty rychle vymizí, kromě té jediné s vlastním číslem 1. Ve skutečnosti ale i při různé algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel dojdeme ke stejnému závěru pomocí podrobnějšího studia tzv. kořenových podprostorů pro maticí T, ke kterým se dostaneme v souvislosti s tzv. Jordánovým rozkladem ještě v této kapitole, viz poznámka ??. □ 3.19. Iterace stochastických matic. Matice Markovových procesů, tj. matice jejichž všechny sloupce mají součet svých komponent roven jedné se nazývají stochastické matice. Standardní úlohy spojené s Markovovými procesy zahrnují odpovědi na otázky po očekávané střední době přechodu mezi předem určenými stavy systému apod. Momentálně nejsme na řešení těchto úloh připraveni, vrátíme se ale k této tématice později. Přeformulujeme předchozí větu do jednoduchého, ale asi docela překvapivého důsledku. Konvergencí k limitní matici v následujcím tvrzení myslíme skutečnost, že když si předem určíme možnou chybu e > 0, tak najdeme hranici na počet iterací k po níž už všechny komponenty uvedené matice se od té limitní budou lišit o méně než e. Důsledek. Nechť T je primitivní stochastická matice z Mar-kovova procesu a xm je stochastický vlastní vektor k dominantnímu číslu 1 jako ve větě výše. Pak iterace Tk konvergují k limitní matici T^, jejíž všechny sloupce jsou rovny x^. Nyní se ještě na rozlučku s Markovovými procesy zamyslíme se nad problémem, zda existují pro daný systém stavy, do kterých se má systém tendenci dostat a setrvat v nich. O stavu systému řekneme, že je přechodový, jestliže v něm systém setrvává s pravděpodobností ostře menší než jedna. Za absorbční označíme stav, ve kterém systém setrvává s pravděpodobností 1, a do kterého se lze dostat s nenulovou pravděpodobností z kteréhokoliv z přechodových stavů. Konečně, Markovův řetězec Xn je absorpční, jestliže jsou jeho všechny jeho stavy buď absorpční nebo přechodové. Je-li v absorpčním Markovově řetězci prvních r stavů systému absorpčních, pro stochastickou matici T systému to znamené, že se rozpadá na „blokově" horní trojúhelníkový , pro vlastní číslo 1, který a předchozí výpočet uspořádat do výhodného tvaru x(t) (FDCB)'-1 FDz(O) FD(CBFD)'-lz(0) FD(CBFD)'-2 CBFDz(O) FDA'^ziO) = X'-'FDziO); t-i tímto způsobem zůstanou pouze dvě násobení matic. Uvedeme konkrétní hodnoty matic B,C, D, F; jedná se o parametry hypotetické rostliny, které ale byly inspirovanou skutečnou trávou Vulpia ciliata: B }ol Í6i),C = (1 10 100)' ° = (<$ 0,05 0 0 0,1 Nyní můžeme vypočítat jednotlivé matice, které zobrazují vektor popisující složení populace v nějakém vegetačním období na vektor složení populace v temže období následujícího roku: '0,0075 0,0750 0,7500\ íy - , 0,0325 0,3250 3,2500 , 0,0325 0,6500\ 0,0650 1,3000/ x ,0,0100 0,1000 1,0000/ 1,3325, Ah '0,0325 1,3000\ v0,0325 1,3000/' Hodnota A = Az = 1,3325 vyjadřuje meziroční relativní přírůstek populace. Přesvědčete se, že každá z matic Ax, Ay, Aw má jedinou nenulovou vlastní hodnotu k = 1,3325; ostatní vlastní hodnoty jsou rovny 0. Ukážeme ještě jedno využití uvedeného modelu. Může nás zajímat, jak „pružně" reaguje meziroční relativní přírůstek k na na změnu jednotlivých „demografických parametrů", jak např. změna pravděpodobnosti přežití semene přes zimu ovlivní meziroční přírůstek. Tuto otázku poněkud upřesníme. Za pružnost reakce charakteristiky k na parametr s, označenou e (k, s) prohlásíme relativní změnu hodnoty k vztaženou k relativní změně parametru s. Ještě přesněji: označíme k (s) meziroční přírůstek závislý na parametru s. Potom A k (s) = k(s + As) — k(s) vyjadřuje absolutní změnu relativního přírůstku k při absolutní změně parametru s o As. Relativní změna k tedy je A k (s)/k (s). Relativní změna přírůstku parametru s je As/s. Hledaná pružnost je tedy podíl těchto relativních změn, tj. Ak(s)/k(s) s k(s + As) - k(s) e(k, s) =- =--. As/s k(s) As Konkrétně, meziroční relativní přírůstek populace závislý na přežití semen přes zimu je podle (3.5) M/22) = d2i(b22Cu + 632^13) /22 + dn(bn ci 1/11 +^21^12/11) a pro konkrétní zvolené hodnoty ostatních parametrů M/22) = 13/22 + 0,0325. 145 B. POPULAČNÍ MODELY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Poněvadž /22 = 0,1, můžeme počítat A(0,1) = 1,3325, A(0,l+As) = l,3325+13As, AA(0,1) = \3As, takže 0,1 \3As e(k, 0,1) = , — = 0,976. tvar 1,3325 As Analogicky můžeme spočítat pružnost reakce relativního přírůstku k populace na ostatních „demografických parametrech". Výsledky jsou shrnuty v tabulce parametr pružnost reakce parametr pružnost reakce bu 0,006 Cil 0,006 b2i 0,019 C12 0,244 b22 0,225 Cl3 0,751 b23 0,750 fn 0,024 dn 0,024 fn 0,976 d2i 0,976 Z ní můžeme vidět, že přírůstek k je nejvíce ovlivňován množstvím přezimujících semen (parametr d2i) a jejich přežíváním (parametr /22). Toto zjištění není nijak překvapivé, zemědělcům je tento fakt dobře známý již od neolitu. Výsledek však ukazuje, že matematický model skutečně nějak adekvátně realitu popisuje. Další zajímavé a detailně popsané modely růstu nalezne čtenář v souboru příkladů za touto kapitolou. 3.30 3.19. Uvažujte následující Leslieho model: farmář chová ovce. Porodnost ovcí je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, pět ovcí na ovci mezi dvěma a třemi lety věku a dvě ovce na ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po čtyřech letech posílá farmář ovce na jatka. Farmář by rád ještě prodával (živá) jehňátka do jednoho roku na kožešinu. Jakou část jehňátek může každý rok prodat, aby mu velikost stáda zůstávala z roku na rok stejná? V jakém poměru budou potom rozděleny počty ovcí v jednotlivých věkových skupinách? Řešení. Matice daného modelu (bez zásahu farmáře) je /0 2 5 2\ 0 0 0 0 \0 0 \ 0) Farmář může ovlivnit kolik ovcí do jednoho roku mu ve stádu zůstane do dalšího roku, může tedy ovlivnit prvek Z12 matice L. Zkoumáme tedy model /0 2 5 2\ a 0 0 0 0 2 o 0 o 1 2 kde E je jednotková matice, jejíž rozměr je dán počtem absorpčních stavů, zatímco R je kladná matice a Q nezáporná. V každém případě iteracemi této matice budeme pořád dostávat stejný blok nulových hodnot v levém dolním bloku a tedy zcela jistě nebude primitivní, např. R + R Q2 Q I o takových maticích lze získat hodně informací pomocí plné Perronovy-Frobeniovy teorie a se znalostí pravděpodobnosti a statistiky také odhadovat střední doby, po kterých se systém dostane do jedhodo z abosrpčních stavů apod. 4. Více maticového počtu Na vcelku praktických příkladech jsme viděli, že porozumění vnitřní struktuře matic a jejim vlastnostem je silným nástrojem pro konkrétní výpočty nebo analýzy. Ještě více to platí pro efektivitu numerického počítání s maticemi. Proto se budeme zase chvíli věnovat abstraktní teorii. Budeme přitom zkoumat další speciální typy lineárních zobrazení na vektorových prostorech ale také obecný případ, kdy je struktura zobrazení popsána tzv. Jordánovou větou. 3.20. Unitární prostory a zobrazení. Už jsme si zvykli, že je užitečné pracovat rovnou v číselném oboru komplexních čísel a to i v případě, kdy nás zajímají jen reálné objekty. Navíc v mnohých oblastech jsou komplexní vektorové prostory nutnou součástí úvah. Jasným příkladem je například tzv. kvantové počítání, které se stalo velmi akční oblastí teoretické informatiky, přestože kvantové počítače zatím zkonstruovány ve funkční podobě nebyly. Proto navážeme na ortogonální zobrazení a matice z konce druhé kapitoly následující definicí: I Unitární prostory | Definice. Unitární prostor je komplexní vektorový prostor V spolu se zobrazením V x V -» C, (u, v) 1-» u ■ v, které splňuje pro všechny vektory u, v, w e V a skaláry a e C (1) u ■ v = v ■ u (zde pruh značí komplexní konjugaci) (2) (au) ■ v = a(u ■ v) (3) (u + v) ■ w = u ■ w + v ■ w (4) je-li íí /0, pak u ■ u > 0 (zejména je výraz reálný). Toto zobrazení nazýváme skalární součin na V. Reálné číslo y/v ■ v nazýváme velikostí vektoru v a vektor je normovaný, jestliže má velikost jedna. Vektory u a. v nazýváme ortogonální, jestliže je jejich skalární součin nulový, bázi sestavenou z po dvou ortogonálních a normovaných vektorů nazýváme ortonormální báze V. 0/ 146 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Na první pohled jde o rozšíření definice euklidovských vektorových prostorů do komplexního oboru. Nadále budeme také používat alternativní značení (u, v) pro sklaární součin vektorů u a. v. Zcela stejně jako v reálném oboru také okamžitě z definice vyplývají násludující jednoduché vlastnosti skalárního součinu pro všechny vektory ve V a skaláry vC: u ■ u e M u ■ u = 0 právě tehdy, když u = 0 u ■ (av) = ä(u ■ v) u ■ (v + w) = u ■ v + u ■ w u ■ 0 = 0 • u = 0 i j i J kde poslední rovnost platí pro všechny konečné lineární kombinace. Podrobné ověření je skutečně jednoduchým cvičením, např. první vztah plyne okamžitě z definiční vlastnosti (1)- Standardním příkladem skalárního součinu na komplexním prostoru C" je (xi, ..., xn)T ■ (yi, ..., xn)T = xiýi H-----\-xnýn. Díky konjugování souřadnic druhého argumentu toto zobrazení splňuje všechny požadované vlastnosti. Prostor C" s tímto skalárním součinem budeme nazývat standardní unitární prostor v dimenzi n. Maticově můžeme tento skalární součin psát jako x ■ y = ýT - x. Zcela obdobně jako u euklidovských prostorů a ortogonálních zobrazení budou důležitá lineárních zobrazení, která respektují skalární součiny. _| Unitární zobrazení | Lineární zobrazení

e a, a, ŕ e K (z distributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (vi, ..., fj-) je nějaká báze (a), vybraná z prvků a, («1,..., «i) ortonormální báze vzniklá z Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vektorů (vi, ..., vk). Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně {uk+\, ..., un) = (u\, ..., uic)~L = A1- a a c (uk+i, ■ ■ ■, u,,)1- (jak plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li m _L (uk+i, ---, un), pak u je nutně lineární kombinací vektorů u i, ..., uk, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů v\, ..., vk, což je ekvivalentní příslušnosti u do (a). (8) : Je pouze ekvivalentní formulací existence ortonormální báze. □ 3.22. Důležité vlastnosti velikosti. Nyní máme vše připraveno pro základní vlastnosti spojené s naší definicí velikostí vektorů. Hovoříme také o normě definované skalárním součinem. Všimněme si také, že všechna tvrzení se týkají vždy konečných množin vektorů a jejich platnost proto nezávisí na dimenzi prostoru V, ve kterém se vše odehrává. Věta. Pro libovolné vektory u, v v prostoru V se skalárním součinem platí (1) \\u+v\\ < || m ||+ || ľ || Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (trojúhelníková nerovnost) (2) \u ■ v\ < ||m|| ||f || Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (Cauchyova nerovnost) (3) pro každý ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) platí INI2 > \u -ei|2 + ••• + \u -ek\2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek)je vektor u v podprostorů e (e\, ... ,ek) právě když ||M||2 = |M-e1|2 + --- + |M-^|2. (Parsevalova rovnost) (5) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) a u e V je vektor w = (u ■ 00 blíží nule a proto se stav ustálí na a ^j' > tedy složce počátečního vektoru ve směru prvního vlastního vektoru. Koeficient a lze jednoduše vyjádřit pomocí počátečních počtů aut: a = ^±f^. □ 3.23. Sledovanost televizí. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1 /6 diváků první stanice ke druhé stanici, 1 /5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory. 3.24. Studenti na přednášce. Studenty můžeme rozdělit řekněme do tří skupin - na ty, co jsou přítomni na přednášce a vnímají, na ty, co jsou rovněž přítomni, ale nevnímají a na ty, co sedí místo přednášky v hospodě. Nyní budeme hodinu po hodině sledovat, jak se mění počty studentů v těchto skupinách. Základem je vypozorovat, jaké jsou jednotlivé pravděpodobnosti změn stavu studenta. Dejme tomu, že by to mohlo být následovně: 149 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Ruleta Student, který vnímá: s pravděpodobností 50% zůstane vnímat, 40% přestane vnímat a 10% odejde do hospody. Student, který je na přednášce a nevnímá: začne vnímat s pravděpodobností 10%, zůstane ve stejném stavu 50%, odejde do hospody 40%. Student, který sedí v hospodě má nulovou pravděpodobnost, že se vrátí na přednášku. Jak se bude tento model vyvíjet v čase? Jak se situace změní, pokud budeme předpokládat aspoň desetiprocentní pravděpodobnost toho, že se student vrátí z hospody na přednášku (tu ovšem samozřejmě nevnímá)? Řešení. Ze zadání se jedná o Markovovův proces s ma-/0,5 0,1 0\ ticí I 0,4 0,5 0 I. Její charakteristický polynom je \0, 1 0,4 1/ (0,5 - A)2(l - k) - 0, 4(1 — k) = 0. Evidentně je tedy 1 vlastní číslo této matice (další kořeny jsou pak 0,3 a 0,7). Postupem času se tedy studenti rozdělí do skupin tak, že stav bude popsán příslušným vlastním vektorem. Ten je řešením rovnice -0,5 0,1 0\ /x\ 0, 4 —0, 5 0 I j y I = 0, což jsou právě násobky vektoru 0, 1 0,4 0/ \z) (0.0.1). Jinými slovy, všichni studenti po čase skončí v hospodě. Tento výsledek je zřejmý i bez počítání - tím, že je nulová pravděpodopnost odchodu studenta do školy, se budou studenti postupně hromadit v hospodě. Přidáním desetiprocentní možnosti odchodu studenta do školy se toto změní. Příslušná matice bude '0, 5 0, 1 0 \ 0, 4 0, 5 0, 1 I. Opět platí, že se stav usáli na vlastním vektoru v0, 1 0,4 0,9/ příslušnému vlastnímu číslu 1. Ten je v tomto případě řešením rovnice -0,5 0, 1 0 0, 4 -0, 5 0, 1 0, 1 0,4 -0, 1 Řešením je například vektor (1, 5, 21). Poměrné rozložení studentů v 3.33 jednotlivých skupinách pak dá násobek tohoto vektoru, který ma sou čet složek roven 1, tj. vektor J=, |^). Opět tedy většina studentů ^27' 27' 27^ skončí v hospodě, někteří ale ve škole budou. □ 3.25. Ruleta. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá 800 Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici. Řešení. V průběhu a na konci hry může mít hráč pouze následující peněžní obnosy (v Kč): 0,100,200,400, 800. Budeme-li nadanou situaci nahlížet jako na Markovův proces, toto budou jeho stavy a snadno také (2): Definujme vektor w : 0< |M|2= NI2 0< IMI2IM|2 = u-v v-v (u-v N ii-n 2 (« • v) v\\z v, tzn. w _L v a počítejme 2(u ■ v)(u ■ v) + (u ■ v)(u ■ v) l\\v\\2 > \u ■ v\2 a rovnost na- Odtud již přímo plyne, že |N|2|| stane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a. v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat ||w + i;||2 = ||«||2 + ||i;||2 + «-i; + i;-« = IN|2 + IM|2 + 2Re(M-i;) < ||M||2+||i,||2 + 2|M.i;| < |N|2 + N|2 + 2|NIN = (INI + IMI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu || u + v || < || m || + || f ||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, ze. u a v jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (e\, ..., ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (e\, ..., en) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u e V n n k INI2 = J](w -ediU—e-) = J^\u -ei\2 > -gil2 i — l i — l i — l To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ■ e{ =0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v e {e\, ..., ek) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (ei, ... ,en). Nechť («i, ..., un) a (x\, ..., xk, 0, ..., 0) jsou souřadnice u av v této bázi. Pak u-v -xx\2-\-----\-\uk -x,t|2+N+1|2H-----H«„|2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě jednotlivých vektorů x\ = u\, ..., xk = uk. □ 3.23. Vlastnosti unitárních zobrazení. Vlastnosti ortogonálních zobrazení mají přímočarou obdobu v komplexním oboru. Můžeme je snadno zformulovat a dokázat společně: Tvrzení. Uvažme lineární zobrazení (endomorfismus) cp : V —> V na prostoru se skalárním součinem. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) cp je unitární nebo ortogonální transformace (2) cp je lineární isomorfismus a pro každé u, v e V platí cp(u) ■ v = u ■ cp~l(v) (3) matice A zobrazení cp v libovolné ortonormální bázi splňuje A~l = AT (pro euklidovské prostory to znamená A~l = AT) (4) matice A zobrazení cp v některé ortonormální bázi splňuje A~l = AT 150 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (5) řádky matice A zobrazení (p v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem (6) sloupce matice A zobrazení cp v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem Důkaz. (1) =>■ (2): Zobrazení

■ (3): Standardní skalární součin je v W vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x ■ y = xT Eý, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení

- (4): Je-li A1 = A~l v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (cp(u) ■ v = (Ax)TEý = x1EA~ly = u ■ cp~l(v)) a tedy i (3). (4) =>■ (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení

■ (6): Protože pro determinant platí |ArA| = \E\ = |AAr| = |A||A| = 1, existuje inverzní matice A-1. Přitom je AATA = A, proto i ATA = E což vyjadřuje právě (6). (6) =>■ (1): Ve vybrané ortonormální bázi je sestavíme jeho matici: 3: a + ab + ab2 a + ab a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A" /l 0 o o o\ o o o b 1/ a snadno zjistíme, že hra skončí s pravděpodobností a + ab + ab2 = 0, 885 prohrou a s pravděpodobností cca 0, 115 výhrou 800 Kč. (Maticí A°° vynásobíme počáteční vektor (0, 1, 0, 0, 0) a dostáváme vektor (a + ab + ab2, 0, 0, 0, b3).) □ 3.26. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že pravděpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití výpočetního software určete A100. 3.27. Roztržitý profesor. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1 /2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. V práci chodí na oběd do restaurace a zpět. Po skončení práce odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene). Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech po ránu deštník bude nalézat v restauraci? (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od rána do rána.) Řešení. '11/16 3/8 l/4> 3/16 3/8 1/4 1/8 1/4 1/2, Spočítejme třeba prvek a\, tedy pravděpodobnost, že deštník začne den doma a skončí doma (bude tam i druhý den ráno): deštník může putovat třemi disjunktními cestami: D Profesor ho hned ráno zapomene doma: p\ = j. 151 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU DPD Profesor si ho vezme do práce, pak ho zapomene vzít na oběd a poté ho večer odnese domů: p2 = \ ■ \ ■ \ = |. DPRPD Profesor bere deštník všude a nikde ho nezapomene: p3 = 1 j_ i i 2 ' 2 ' 2 ' 2 J_ 16" 16" Celkem a\ = p\ + p2 + p3 Vlastní vektor této matice příslušný dominantní vlastní hodnotě 1 je (2, 1, 1), je tedy hledaná pravděpodobnost 1/(2 + 1 + 1) = 4. □ 3.28. Algoritmus na určování důležitosti stránek. Internetové vyhledávače umí na internetu vyhledat (skoro) všechny stránky obsahující dané slovo či frázi. Jak ale setřídit vyhledané stránky tak, aby uživatel dostal pokud možno seznam seřazený podle relevance daných stránek? Jednou z možností je následující algortitmus: soubor všech nalezených stránek považujme za systém a každou z nalezených stránek za jeden z jeho možných stavů. Popíšeme náhodné procházení těchto stránek jako Markovův proces. Pravděpodobnosti přechodu mezi jednotlivými stránkami jsou dány odkazy: každý odkaz, řekněme ze stránky A na stránku B určuje pravděpodobnost (l/(celkový počet odkazů ze stránky A)), se kterou se dostaneme ze stránky A na stránku B. Pokud z některé stránky nevedou žádné odkazy, tak ji uvažujeme jako stránku, ze které vedou odkazy na všechny ostatní. Tímto dostaneme pravděpodobnostní matici M (prvek m;i odpovídá pravděpodobnosti, se kterou se dostaneme z i-té stránky na j-tou). Bude-li tedy človeJLnM. hodně klikat na odkazy v nalezených stránkách (pokud se dostane na stránku, ze které nevede odkaz, vybere si náhodně další), tak pravděpodobnost toho, že se v daný okamžik (dostatečně vzdálený od počátku klikání) bude nalézat na i-té stránce odpovídá i-té složce jednotkového vlastního vektoru matice M, odpovídajícího vlastnímu číslu 1. Podle velikosti těchto pravděpodobností pak určíme důležitost jednotlivých stránek. Tento algoritmus lze modifikovat tím, že budeme předpokládat, že uživatel po nějaké době přestane klikat z odkazu na odkaz a opět začne náhodně na nějaké nové stránce. Řekněme, že s pravděpodobností d vybere náhodně novou stránku a s pravděpodobností (1-d). V takovéto situaci je nyní pravděpodobnost přechodu mezi libovolnými dvěma stránkami 5; a S j nenulová, je to totiž d/n+(l-d)/(celkový počet odkazů ze stránky Si), pokud ze stránky 5; vede odkaz na Sj, pokud ne, tak je tato pravděpodobnost d/n (1/n, pokud z 5; nevedou žádné odkazy), podle Frobeniovy-Perronovy věty je vlastní hodnota 1 jednonásobná a dominantní, takže jí odpovídající vlastní vektor je jediný (pokud bychom volili pravděpodobnosti přechodu pouze způsobem z předchozího odstavce, tak by tomu tak nemuselo být). libovolné, pak (piv) -(p((p~l(u)) = v -(p~l(u). Protože je zúžení (p\V také unitární, musí to tedy být bijekce, zejména je (p~l(u) e U. Pak ovšem (p(v) ■ u = 0, protože v e U-1. To znamená, že i (p(v) e U^. Odtud ovšem v komplexním oboru okamžitě dotáváme užitečný Důsledek. Nechť (p : V -» V je unitární zobrazení komplexních vektorových prostorů. Pak je V ortogonálním součtem jednorozměrných vlastních podprostorů. Důkaz. Jistě existuje alespoň jeden vlastní vektor v e V. Pak je zúžení (p na invariantní podprostor (v)1- opět unitární a jistě má opět nějaký vlastní vektor. Po n takovýchto krocích obdržíme hledanou ortogonální bázi z vlastních vektorů. Po vynormování vektorů získáme ortonormální bázi. □ Nyní už je možné snadno pochopit detaily důkazu spektrálního rozkladu ortogonálního zobrazení z 2.50 na konci druhé kapitoly — reálnou matici ortogonálního zobrazení interpretujeme jako matici unitárního zobrazení na komplexním rozšíření euklidovského prostoru a pečlivě sledujeme důsledky struktury kořenů reálného charakteristického polynomu nad komplexním oborem. Automaticky přitom dostáváme invariantní dvourozměrné podprostory zadané dvojicemi komplexně sdružených vlastních čísel a tedy příslušné rotace pro zúžené původní reálné zobrazení. 3.24. Duální a adjungovaná zobrazení. Při diskusi vektorových prostorů a lineárních zobrazení jsme již ve druhé kapitole letmo zmínili duální vektorový prostor V* všech lineárních forem na vektorovém prosotru V, viz 2.39. Pro každé lineární zobrazení mezi vektorovými prostory Ý '■ V -» W můžeme přirozeně definovat zobrazení ty* '■ W* -» V* vztahem {v, ý*(a)) = (ý(v), a), kde ( , ) značí vyčíslení formy (druhý argument) na vektoru (první argument), v € V a. a € W* jsou libovolné. Zvolme si báze paľ.tcnaWa matici A pro zobrazení ty v těchto bazích. Pak snadno spočteme v duálních bazích matici zobrazení ý* v příslušných duálních bazí na duálních prostorech. Skutečně, definiční vztah říká, že pokud bychom reprezentovali vektory z W* v souřadnicích jako řádky skalárů, pak je zobrazení ý* je dáno toutéž maticí jako ty, pokud jí násobíme řádkové vektory zprava: (Ý(v), a) = (ai, ..., an) ■ A (v, \v"/ {v, Ý*(a)). To znamená, že maticí duálního zobrazení ý* je transponovaná matice AT, protože a ■ A = (AT ■ aT)T. 152 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Předpokládejme nadále, že se pohybujeme ve vektorovém prostoru se skalárním součinem. Jestliže tedy zvolíme pevně jeden vektor v e V, dosazování vektorů za druhý argument ve skalárním součinu nám dává zobrazení v -» v* = Hom(V, K) v b v i-» (w i-» (v, w) e K). Podmínka nedegenerovanosti skalárního součinu nám zaručuje, že toto zobrazení je bijekcí. Zároveň víme, že jde skutečně o lineární zobrazení nad komplexními nebo reálnými skaláry, protože jsme pevně zvolili druhý argument. Na první pohled je vidět, že vektory ortonormální báze jsou takto zobrazeny na formy tvořící bázi duální, a každý vektor můžeme prostřednictvím skalárního součinu chápat také jako lineární formu. V případě vektorových prostorů se skalárním součinem proto převádí naše ztotožnění vektorového prostoru se svým duálem také duální zobrazení ý* na zobrazení ý* '■ W -» v zadané formulí (ý(u), v) = {u, ý*(v)), kde stejným značením závorek nyní myslíme skalární součin. Tomuto zobrazení se říká adjungované zobrazení k \jr. Ekvivalentně lze brát poslední vztah za definici zobrazení ý*, např. dosazením všech dvojic vektorů ortonormální báze za vektory u a. v dostáváme přímo všechny hodnoty matice zobrazení ý*. Předchozí výpočet pro duální zobrazení v souřadnicích nyní můžeme zopakovat, pouze musíme mít na paměti, že v ortonormálních bazích na unitárních prostorech vystupují souřadnice druhého argumentu konjugované: (ý(v), w) = (wi,..., wn) ■ a ■ at ■ (v, ý*(w)) Vidíme proto, že je-li a matice zobrazení ý v ortonormální bázi, pak matice adjungovaného zobrazení ý* je matice transponovaná a konjugovaná, kterou značíme a* = ät. Zvláštním případem lineárních zobrazení jsou tedy ty, které jsou rovny svému adjungovanému zobrazení: ý* = ý. Takovým zobrazením říkáme samoadjungovaná. Ekvivalentně můžeme říci, že jsou to ta zobrazení, jejichž matice a v jedné a tedy ve všech ortonormálních bazích splňují a = a*. V případě euklidovských prostorů jsou samoadjungovaná zobrazení tedy ta, která mají v některé ortonormální bázi (a pak už všech) symetrickou matici. Často se jim proto říká symetrické matice a symetrická zobrazení. V komplexním oboru se maticím splňujícím a = a* říká hermiteovské matice. Všimněme si, že hermiteovské matice tvoří reálný M Pro názornost uvažme stránky A, B, C a D. Odkazy vedou z A na B a na C, z B na C a z C na A, z D pak nikam. Uvažujme, že pravděpodobnst toho, že uživatel náhodně zvolí novou stránku je 1/5. Potom by matice M vypadala následovně: /1/20 1/20 17/20 l/4\ 9/20 1/20 1/20 1/4 9/20 17/20 1/20 1/4 \l/20 1/20 1/20 1/4/ Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (305/53, 175/53, 315/53, 1), důležitost stránek tedy bude stanovena v pořadí podle velikosti jeho odpovídajících složek, tedy C > a > B > D. 3.29. Na základě teploty ve 14.00 se rozdělují dny na teplé, průměrné a chladné. Dle celoročních statistik následuje po teplém dni teplý v polovině případů a průměrný ve 30 % případů, po průměrném dnu průměrný ve 40 % případů a chladný ve 30 % případů, po chladném dnu chladný v polovině případů a ve 30 % případů průměrný. Bez dalších informací zjistěte, kolik lze během roku očekávat teplých, průměrných a chladných dnů. Řešení. Pro každý den musí nastav právě jeden ze stavů „teplý den", „průměrný den", „chladný den". Pokud vektor xn má za složky pravděpodobnosti toho, že jistý (označený jako n-tý) den bude teplý, průměrný, chladný (při zachování pořadí), potom složky vektoru /0,5 0,3 0,2\ xn+l = 0, 3 0, 4 0, 3 • x„ \0,2 0,3 0,5/ udávají postupně pravděpodobnosti, že následující den bude teplý, průměrný, chladný. Pro ověření stačí dosadit /i\ M x„ = 0 , x„ = 1 , x„ = 0 W W vi. přičemž např. pro třetí volbu musíme dostat pravděpodobnosti, že po chladném dnu bude následovat teplý, průměrný, chladný (v tomto pořadí). Vidíme tak, že úloha je Markovovým řetězcem s pravděpodobnostní maticí přechodu ^0,5 0,3 0^ 0,3 0,4 0,3 v0,2 0,3 0,5, Neboť jsou všechny prvky této matice kladné, existuje pravděpodobnostní vektor k němuž se blíží vektor x„ pro zvětšující se n nezávisle na tom, jaký byl vektor xn pro mnohem menší n. Navíc podle důsledku Perronovy-Frobeniovy věty je x^ vlastním vektorem matice T pro vlastní číslo 1. 153 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Má tedy platit xL = 0,5*^ + 0,3x^ + 0,2x1 xl = 0,3x^ + + 0,3x1 x3 = 0,2x1 + 0,3x1 + 0,5x1 1 = 4, + x2 + x3 kde poslední podmínka znamená, že vektor x^ je pravděpodobnostní. Snadno se vypočítá, že tato soustava má jediné řešení 1 _ 2 _ 3 _ 1 XQO — XQO — XQO — ^ ' Lze tedy očekávat přibližně stejný počet teplých, průměrných a chladných dnů. Zdůrazněme, že součet všech čísel z libovolného sloupce matice T musel být roven 1 (jinak by se nejednalo o Markovův proces). Protože TT = T (matice je symetrická), je součet všech čísel z libovolného řádku matice také roven 1. O matici s nezápornými prvky a s vlastností, že součet čísel v každém řádku a rovněž součet čísel v každém sloupci je 1, mluvíme jako o dvojnásobně (dvojitě, dvojně) stochastické. Důležitou vlastností každé dvojnásobně stochastické regfl^řg^" matice (pro jakýkoli rozměr - počet stavů) je, že jí příslušný vektor Xoo má všechny složky stejné, tj. po dostatečně dlouhé době vyhodnocování se všechny stavy v odpovídajícím Markovově procesu jeví jako stejně časté. □ 3.30. Jirka má ve zvyku si každý večer zaběhat. Má tři trasy - krátkou, střední a dlouhou. Pokud si někdy zvolí krátkou trasu, následující den si to vyčítá a rozhodne se libovolně (tj. se stejnou pravděpodobností) pro dlouhou, nebo střední. Jestliže si v některý den zvolí dlouhou trasu, v následujícím dnu volí zcela libovolně jednu z tras. Pokud běžel středně dlouhou trasu, cítí se dobře a druhý den si se stejnou pravděpodobností vybere buď střední, nebo dlouhou. Předpokládejte, že takto běhá každý večer už velmi dlouhou dobu. Jak často volí krátkou a jak často dlouhou trasu? Jaká je pravděpodobnost, že si zvolí dlouhou trasu, když si ji zvolil přesně před týdnem? Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se třemi možnými stavy, a to volbami krátké, střední a dlouhé trasy. Toto pořadí stavů dává pravděpodobnostní matici přechodu 0 0 1/3N 1/2 1/2 1/3 ,1/2 1/2 1/3, Stačí si uvědomit, že např. druhý sloupec odpovídá volbě střední trasy v minulém dnu, která znamená, že s pravděpodobností 1 /2 bude opět vektorový podprostor v prostoru všech komplexních matic, není však podprostorem v komplexním oboru. Poznámka. Obzvlášť zajímavý je v této souvislosti následující postřeh. Jestliže hermiteovskou matici A vynásobíme imaginární jednotkou, dostáváme matici B = i A, která má vlastnost B* = i ÄT = —B. Takovým maticím říkáme anti-hermiteovské. Tak jako je tedy každá reálná matice součtem své symetrické a antisymetrické části 1 1 2-(A + A') + -(A je v koplexním oboru obdobně 1 1 2(A + A*) + -(A AT), A*), tj. můžeme vyjádřit každou komplexní matici právě jedním způsobem jako součet A = B + iC s hermiteovskými maticemi B a C. Jde o obdobu rozkladu komplexního čísla na reálnou a ryze imaginární komponentu. V řeši lineárních zobrazení to tedy znamená, že každý komplexní lineární automorfismus můžeme takto jednoznačně vyjádřit pomocí dvou samoadjungovaných zobrazení. 3.25. Spektrální rozklad samoadjungovaných zobrazení. Uvažujme samoadjungované zobrazení ý '■ v -» v s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako v 2.50. Opět se nejprve obecně podíváme na invariantní podprostory samoadjungovaných zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor w C v a samoadjungované zobrazení ý '■ v ~* v platí ý(w) C w, pak také platí pro všechny v e w^, w e w (Ý(v), w) = (v, Ý(w)) = 0- To ale znamená, že také ^(W-1) C w^. Uvažme nyní matici A samoadjungovaného zobrazení v nějaké ortonormální bázi a A • x = kx pro nějaký vlastní vektor x e C". Dostáváme k {x, x) = {Ax, x) = {x, Ax) = k (x, x). Kladným reálným číslem (x, x) můžeme krátit a proto musí být Ä = k, tj. vlastní čísla jsou vždy reálná. Komplexních kořenů má charakteristický polynom det(A — k E) tolik, kolik je dimenze čtvercové matice A, a všechny jsou ve skutečnosti reálné. Dokázali jsme tak důležitý obecný výsledek: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru pro samoadjungované zobrazení je také invariantní. Navíc jsou všechna vlastní čísla samoadjungované matice A vždy reálná. Ze samotné definice je zřejmé, že zúžení samoadjungovaného zobrazení na invariantní podprostor je opět samoadjungované. Předchozí tvrzení nám tedy zaručuje, že bude vždy existovat báze v z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení 154 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Ý na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou navíc kolmé, protože z rovností Ý(u) = Ý(v) = lJiV vyplývá X{u, v) = (ý(u), v) = {u, ý(v)) = fi{u, v). Obvykle bývá náš výsledek formulován pomocí projekcí na vlastní podprostory. O projektoru P : V -» V říkáme, že je kolmý, je-li Im P _L Ker P. Dva kolmé projektory P, Q jsou vzájemně kolmé, je-li Im P _L Im Q. Věta (O spektrálním rozkladu). Pro každé samoadjungo-vané zobrazení \js : V ^ V na vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze z vlastních vektorů. Jsou-li X\, ..., Xk všechna různá vlastní čísla f a P i, ..., Pt příslušné kolmé a navzájem kolmé projektory na vlastní podprostory, pak f = XlPl +... + xkPk. Dimenze obrazů těchto projektorů je přitom vždy rovna algebraické násobnosti vlastních čísel 3.26. Ortogonální diagonalizace. Zamysleme se, jak vypadají zobrazení, pro která lze najít ortonormální bázi jako v předchozí větě o spektrálním rozkladu se nazývají normální. Pro euklidovský případ je to snadné: diagonální matice jsou zejména symetrické, jedná se tedy právě o samoadjungovaná zobrazení. Jako důsledek získáváme tvrzení, že ortogonální zobrazení euklidovského prostoru do sebe je ortogonálně di-agonalizovatelné právě, když je zároveň samoadjungované (jsou to právě ta samoadjungovaná zobrazení s vlastními hodnotami ±1). U komplexních unitárních prostorů je situace složitější. Uvažme libovolné lineární zobrazení cp : V -» V unitárního prostoru a nechť cp = + iř? Je (jednoznačně daný) rozklad cp na hermiteovskou a antihermiteovskou část. Máli cp ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici D, pak D = reD+nmD, kde reálná a imaginární část jsou právě matice ý a f] (plyne z jednoznačnosti rozkladu). Zejména tedy platí ý °f] = < zcpocp* = cp* ocp. Zobrazení cp : V -» V s poslední uvedenou vlastností se nazývají normální. Vzájemné souvislosti ukazuje následující věta (pokračujeme ve značení tohoto odstavce): Tvrzení. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (1) cp je ortogonálně diagonalizovatelné (2) cp* o cp = cp o cp* (tj. cp je normální zobrazení) (3) ý 0 t] = i] 0 ý (4) Pro matici A = (a^) zobrazení cp v nějaké ortonormální bázi a jejích m = dimV vlastních čísel A; platí E,,Kl2 = ET=i l** l2- Stručný důkaz. Implikaci (1) =)- (2) jsme již diskuto- vali. zvolena střední trasa (druhý řádek) a s pravděpodobností 1 /2 bude zvolena dlouhá trasa (třetí řádek). Neboť je 1/6 1/6 1/9^ 5/12 5/12 4/9 v5/12 5/12 4/9y můžeme využít důsledků Perronovy-Frobeniovy věty pro Markovovy procesy. Není obtížné vypočítat, že vlastním vektorem, který přísluší vlastnímu číslu 1 a který je pravděpodobnostní, je právě 1 3 rT Hodnoty 1/7,3/7,3/7 pak udávají po řadě pravděpodobnosti, že v náhodně určeném dnu volí trasu krátkou, střední, dlouhou. Nechť si Jirka v jistý den (v čase n e N) vybere dlouhou trasu. Tomuto rozhodnutí odpovídá pravděpodobnostní vektor xn = (0, 0, 1)T . Pro následující den tedy platí /O 0 1/3S xn+l = 1/2 1/2 1/3 \l/2 1/2 1/3, až po sedmi dnech je xn+i = T1 ■ 0 = T6 ■ |y3 Vyčíslením dostáváme jako složky xn+1 hodnoty 0,142 861225...; 0,428 569 387...; 0,428 569 387... Tedy pravděpodobnost, že zvolí dlouhou trasu za podmínky, že si ji zvolil před sedmi dny, činí přibližně 0, 428 569 ~ 3/7 = 0, 428 571. □ 3.31. Výrobní linka nefunguje spolehlivě: jednotlivé výrobky se od sebe co do kvality nezanedbatelně liší. Navíc jistý pracovník ve snaze zvýšit kvalitu neustále zasahuje do výrobního procesu. Při rozdělení výrobků do tříd I, II, III podle kvality se zjistilo, že po výrobku třídy I následuje výrobek stejné kvality v 80 % případů a třídy II v 10 % případů, po výrobku třídy II se nezmění kvalita v 60 % případů a změní se na třídu I ve 20 % případů a že po výrobku třídy III následuje výrobek stejné kvality v polovině případů a se stejnou četností pak výrobky tříd I, II. Spočtěte pravděpodobnost, že 18. výrobek je třídy I, pokud 16. výrobek v pořadí náležel do třídy III. Řešení. Nejprve úlohu vyřešme bez uvážení Markovova řetězce. Sledovanému jevu vyhovují případy (16. výrobek je třídy III) • 17. výrobek byl zařazen do třídy I a 18. do třídy I; • 17. výrobek byl zařazen do třídy II a 18. do třídy I; 155 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU • 17. výrobek byl zařazen do třídy III a 18. do třídy I po řadě s pravděpodobnostmi • 0, 25 • 0, 8 = 0, 2; • 0, 25 • 0, 2 = 0, 05; • 0, 5 • 0, 25 = 0, 125. Lehce tak získáváme výsledek 0, 375 = 0, 2 + 0, 05 + 0, 125. Nyní na úlohu nahlížejme jako na Markovův proces. Ze zadání plyne, že pořadí možných stavů „výrobek je třídy I", „výrobek je třídy II", „výrobek je třídy III" odpovídá pravděpodobnostní matice přechodu 0,8 0,2 0,25\ 0, 1 0, 6 0, 25 I . 0, 1 0, 2 0, 5 / Situaci, kdy výrobek patří do třídy III, zadává pravděpodobnostní vektor (0, 0, 1)T. Pro následující výrobek dostáváme pravděpodobnostní vektor 0,25\ /0,8 0,2 0,25\ /0\ 0,25 = 0, 1 0,6 0,25 0 0, 5 / \0, 1 0,2 0,5 / \1/ a pro další výrobek v pořadí potom vektor 0,375\ /0, 8 0,2 0,25\ /0,25\ 0, 3 I = I 0, 1 0, 6 0, 25 0,25 , 0, 325/ \0, 1 0, 2 0, 5 / \ 0, 5 / jehož první složka je hledanou pravděpodobností. Doplňme, že první metoda řešení (bez zavedení Markovova procesu) vedla k výsledku zřejmě rychleji. Uvědomme si, jak výrazně by se však první metoda znepřehlednila, kdybychom např. místo 18. výrobku uvažovali 20., 22. nebo až 30. výrobek v pořadí. Ve druhé metodě se lze omezit na do jisté míry „bezmyšlenkovité" násobení (umocňování) matic. Při zavedení Markovova procesu jsme také současně vyšetřovali situace, kdy 18. výrobek náleží do tříd II a III. □ 3.32. Opakovaně házíme hrací kostkou. Napište pravděpodobnostní matici přechodu T pro Markovův řetězec „maximální počet ok dosažených do n-tého hodu včetně" pro pořadí stavů 1, ..., 6. Poté určete T" pro každé n e N. Řešení. Ihned můžeme uvést T = /l/6 0 0 0 0 0\ 1/6 2/6 0 0 0 0 1/6 1/6 3/6 0 0 0 1/6 1/6 1/6 4/6 0 0 1/6 1/6 1/6 1/6 5/6 0 \l/6 1/6 1/6 1/6 1/6 V (2) •<=>- (3): Stačí provést přímý výpočet qxp* = (ý + if])(ý ~ i*)) = ý2 + + Ktfý ~ ý1!) cp* cp = (ý — + i*)) = ý2 + + kýv — Odečtením dostaneme 2i(r)ý — Ýw)- (2) =>■ (1): Nechť m e V je vlastní vektor normálního zobrazení cp. Pak cp(u) ■ cp(u) = {cp*cp(u), u) = {cpcp*(u), u) = cp*(u) ■ cp*(u) zejména tedy \cp(u)\ = \cp*(u)\. Je-li

V, kterou dokážeme později v 3.32. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení cp : V -> V ortonormální báze, ve které má cp horní trojúhelníkovou matici. Na její diagonále pak musí být právě všechny vlastní hodnoty cp. Jak jsme již ukázali, výraz ^i . |aí7|2 nezávisí na volbě ortonormální báze, proto z předpokládané rovnosti vyplývá, že všechny prvky mimo diagonálu musí být v této matici nulové. □ V termínech matic zobrazení dostáváme: zobrazení je normální právě, když jeho matice v některé ortonormální bázi (a ekvivalentně v každé) splňuje AA* = A*A. Takové matice nazýváme normální matice. Poznámka. Všimněme si, že pro počet s lineárními zobrazeními na komplexním unitárním prostoru lze poslední větu chápat také jako zobecnění běžných počtů s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (roli reálných čísel zde hrají sa-moadjungovaná zobrazení). Roli komplexních jednotek pak hrají unitární zobrazení. Zejména si všimněme analogie k jejich tvaru cos t + i sin t s vlastností cos2 t + sin2 t = 1: Důsledek. Unitární zobrazení na unitárním prostoru V jsou právě ta normální zobrazení, pro která výše užívaný jednoznačný rozklad cp = \js + irj splňuje Ý2 -\- rj1 = iáV 156 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Důkaz. Pro unitární je qxp* = id V = (p*(p a tedy qxp* = (ý + ir])(ý — iri) = \jj2 + Q + rj1 = idV. Naopak, pro normální poslední výpočet ukazuje, že opačná implikace platí také. □ 3.27. Nezáporná zobrazení a odmocniny. Nezáporná reálná čísla jsou právě ta, která umíme psát jako druhé mocniny. Zobecnění takového chování pro matice a zobrazení lze vidět u součinů B = A* ■ A (tj. složení zobrazení ý* o ý): (B ■ x, x) = (A* • A ■ x, x) = (A ■ x, A ■ x) > 0 pro všechny vektory x. Navíc zjevně B* = (A* • A)* = A* ■ A = B. Hermiteovských maticím B s takovou vlastností říkáme pozitivně semidefinitní a pokud nastane nulová hodnota pouze pro x = 0, pak jim říkáme pozitivně definitní. Obdobně hovoříme o pozitive definitních a a positivně semidefinitních zobrazeních ý '■ V ~* V- Pro každé pozitivně semidefmitní zobrazení ý '■ v ~* V umíme najít jeho odmocninu, tj. zobrazení r] takové, že r) o r) = ý. Nejjednodušeji to uvidíme v ortonormální bázi, ve které bude mít ý diagonální matici. Taková podle našich předchozích úvah vždy existuje a matice A zobrazení i/> v ní bude mít na diagonále nezáporná reálná vlastní čísla zobrazení ý. Kdyby totiž bylo některé z nich záporné, nebyla by splněna podmínka nezápornosti již pro některý z bázových vektorů. Pak ovšem stačí definovat zobrazení r] pomocí matice B s odmocninami příslušných vlastních čísel na diagonále. 3.28. Spektra a nilpotentní zobrazení. Na závěr této části se vrátíme k otázce, jak se mohou chovat lineární zobrazení v úplné obecnosti. Budeme i nadále pracovat s reálnými nebo komplexními vektorovými prostory. Připomeňme, že spektrum lineárního zobrazení f : V -» V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Lineární zobrazení / : V -» V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení /* je identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení /. Zobrazení / : V -» V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze (u\, ..., u„) prostoru V taková, že f(u\) = 0 a /(«;) = Ui-i pro všechna i = 2, ..., n. Jinými slovy, matice / v této bázi je tvaru /O 1 0 . 0 0 1. kde první sloupec je určen stavem 1 a pravděpodobností 1/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1) a pravděpodobností 1/6 jeho přechodu do libovolného ze stavů 2, ... ,6 (po řadě padne 2, ... ,6), druhý sloupec je zadán stavem 2 a pravděpodobností 2/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1 nebo 2) a pravděpodobností 1 /6 pro přechod do jakéhokoli ze stavů 3, ..., 6 (padne 3, ..., 6), až poslední sloupce získáme ze skutečnosti, že stav 6 je trvalý (pokud již padla šestka, nemůže padnout vyšší počet ok). Rovněž pro n e N lze přímo určit ( ar (§)"-(*)" (§)" (í)"-®" 00"-(t)n (*)"-(*' «)"-(»" uí uí «)"-«: V '"(Í)" MŠ)" '"(Í)" (i)" 0\ 0 o o o 1/ Hodnoty v prvním sloupci totiž odpovídají postupně pravděpodobnostem, že n-krát po sobě padne 1, n-krát po sobě padne 1 nebo 2 a alespoň jednou 2 (odečítáme proto pravděpodobnost uvedenou v prvním řádku), n-krát po sobě padne 1, 2 nebo 3 a alespoň jednou padne 3, až v posledním řádku je pravděpodobnost, že aspoň jednou během n hodů padne 6 (tu lze snadno určit z pravděpodobnosti opačného jevu). Podobně např. ve čtvrtém sloupci jsou postupně nenulové pravděpodobnosti jevů „ř2-krát po sobě padne 1, 2, 3 nebo 4", „rc-krát po sobě padne 1, 2, 3, 4 nebo 5 a alespoň jednou 5" a „alespoň jednou během n hodů padne 6". Interpretace matice T jako matice přechodu jistého Markovova procesu tak umožňuje rychlé vyjádření mocnin T", íieN. □ 3.33. Sledujte určitou vlastnost daného živočišného druhu, která je podmíněna nezávisle na pohlaví jistým genem - dvojicí alel. Každý jedinec získává po jedné alele od obou rodičů zcela náhodně a nezávisle na sobě. Existují formy genu dané různými alelami a, A. Ty určují tři možné stavy aa, a A = Aa, AA vyšetřované vlastnosti. (a) Předpokládejte, že každý jedinec jisté populace se bude rozmnožovat výhradně s jedincem jiné populace, ve které se vyskytuje pouze vlastnost podmíněná dvojicí a A. Právě jeden jejich (náhodně zvolený) potomek bude ponechán na stanovišti a také on se bude rozmnožovat výhradně s jedincem té jiné populace atd. Stanovte výskyt kombinací aa, aA, AA v uvažované populaci po dostatečně dlouhé době. (b) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (a), pokud je jiná populace tvořena pouze jedinci s dvojicí alel A A. 157 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU (c) Náhodně zvolené dva jedince opačného pohlaví zkřížíte. Z jejich potomstva opět náhodně vyberete dva jedince opačného pohlaví, které zkřížíte. Pokud takto budete pokračovat velmi dlouho dobu, vypočtěte pravděpodobnost, že oba křížení jedinci budou mít dvojici alel AA, příp. aa (proces křížení skončí). (d) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (c) bez kladení podmínky, že křížení jedinci mají stejné rodiče. Pouze tedy křížíte jedince jisté velké populace mezi sebou, potom křížíte potomky mezi sebou atd. Řešení. Případ (a). Jedná se o Markovův proces zadaný maticí '1/2 1/4 0 1/2 1/2 1/2 0 1/4 1/2, přičemž pořadí stavů odpovídá pořadí dvojic alel aa, a A, AA. Hodnoty v prvním sloupci plynou z toho, že potomek jedince s dvojicí alel aa a jedince s dvojicí alel a A má s pravděpodobností 1 /2 dvojici aa a s pravděpodobností 1 /2 dvojici a A. Analogicky postupujeme pro třetí sloupec. Hodnoty ve druhém sloupci potom vyplývají z toho, že každý ze čtyř případů dvojic alel aa, a A, Aa, AA je stejně pravděpodobný u jedince, jehož oba rodiče mají dvojici alel a A. Uvědomme si, že na rozdíl od počítání pravděpodobností, kdy musíme rozlišovat dvojici a A od Aa (která z alel pochází od kterého z rodičů), vlastnosti podmíněné dvojicemi a A a Aa jsou samozřejmě stejné. Pro určení výsledného stavu stačí nalézt pravděpodobnostní vektor, který přísluší vlastnímu číslu 1 matice T, protože matice '3/8 1/4 1/8N 1/2 1/2 1/2 ,1/8 1/4 3/8, splňuje podmínku Perronovy-Frobeniovy věty (všechny její prvky jsou kladné). Hledaný pravděpodobnostní vektor je 1 1 \xT v4' 2' 4, což již dává pravděpodobnosti 1/4, 1/2, 1/4 výskytu po řadě kombinací aa, a A, AA po velmi dlouhé (teoreticky nekonečné) době. Případ (b). Pro pořadí dvojic alel A A, aA,aa nyní dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu /l 1/2 Q\ 7=0 1/2 1 \0 0 Oj Ihned vidíme všechna vlastní čísla 1, 1/2 a 0 (odečteme-li je od diagonály, hodnost obdržené matice nebude 3, tj. touto maticí zadaná homogenní soustava bude mít netriviální řešení). Těmto vlastním číslům Je-li f (v) = a ■ v, pak pro každé přirozené k je fk(v) = ak ■ v. Zejména tedy může spektrum nilpotentního zobrazení obsahovat pouze nulový skalár (a ten tam vždy je). Přímo z definice plyne, že každé cyklické zobrazení je nilpotentní, navíc je jeho stupeň nilpotentnosti roven dimenzi prostoru V. Operátor derivování na polynomech, D(xk) = kŕ~l, je příkladem cyklického zobrazení na Kn [x] pro libovolné n. Kupodivu to platí i naopak a každé nilpotentní zobrazení je přímým součtem cyklických. Důkaz tohoto tvrzení nám dá hodně práce, proto napřed zformulujeme další výsledky a pak se teprve dáme do technické práce. Ve výsledné větě o Jordánově rozkladu vvystupují vektorové (pod)prostory a lineární zobrazení na nich s jediným vlastním číslem k a maticí (k 1 0 ... 0\ Ok 1 ... 0 \0 0 0 ... kJ Takovýmto maticím (a odpovídajícím invariantním podpro-storům) se říká Jordánův blok. Věta (Jordánova věta o kanonickém tvaru). Nechť V je vektorový prostor dimenze n a f : V -» V je lineární zobrazení s n vlastními čísly včetně algebraických násobností. Pak existuje jednoznačný rozklad prostoru V na přímý součet pod-prostorů V = V i © • • • © Vk takových, že f (Ví) C Ví, zúžení f na každé Ví má jediné vlastní číslo kt a zúžení f — A, • id na Ví je buď cyklické nebo nulové zobrazení. Věta tedy říká, že ve vhodné bázi má každé lineární zobrazení blokově diagonální tvar s Jordánovými bloky podél diagonály. Celkový počet jedniček nad diagonálou v takovém tvaru je roven rozdílu mezi celkovou algebraickou a geometrickou násobností vlastních čísel. Všimněme si, že jsme tuto větu plně dokázali v případech, kdy jsou všechna vlastní čísla různá nebo když jsou geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel stejné. Také jsme ji plně dokázali pro unitární a samoadjungovaná zobrazení. Také si všimněme, že v situaci, kdy jsou vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší nezjedná, opakované působení lineárního zobrazení na jakémkoliv vektoru v z jednoho z pod-prostorů Ví ve větě vede k rychlému zmenšování všech jeho souřadnic nad všechny meze. Skutečně, předpokládejme pro jednoduchost, že na celém V; je naše zobrazení cyklické, příslušná vlastní hodnota je k a v\, ..., vi nechť je příslušná báze. Pak podmínka z věty říká, že f(v2) = kv2 + v\, f2(vj) = k2v2 + kvi + kvi, a podobně pro ostatní vt a vyšší mocniny. V každém případě při iterování dostáváme stále vyšší a vyšší mocniny k u všech nenulových komponent. 158 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3. 37 3.37a Zbytek této části je věnován důkazu Jordánovy věty a několika k tomu potřebným pojmům. Je výrazně obtížnější než dosavadní text a čtenář jej může případně přeskočit až do začátku 5. části této kapitoly. 3.29. Kořenové prostory. Na příkladech jsme viděli, že vlastní podprostory popisují dostatečně geometrické vlastnosti jen některých lineárních zobrazení. Zavedeme nyní jemnější nástroj, tzv. kořenové podprostory. Definice. Nenulový vektor u e V se nazývá kořenovým vektorem lineárního zobrazení cp : V -» V, jestliže existuje a e K a celé číslo k > 0 takové,že (cp — a-idv)k(u) =0,tj./c-tá iterace uvedeného zobrazení zobrazuje u na nulu. Množinu všech kořenových vektorů příslušných k pevnému skaláru k doplněnou o nulový vektor nazýváme kořenovým prostorem příslušným ke skaláru k e K, značíme TZx ■ Je-li u kořenový vektor ah definice je vybráno nejme-nší možné, pak (cp — a ■ idy)*-1 (u) je vlastní vektor s vlastní hodnotou a. Je tedy TZx = {0} pro všechny skaláry k, které neleží ve spektru zobrazení cp. Tvrzení. Pro lineární zobrazení cp V -» V platí (1) Pro každé k e Kje IZi C V vektorový podprostor. (2) Pro každé k, fi e K je IZi invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení (cp — fi ■ idy), zejména tedy je IZi invariantní vzhledem k cp. (3) Je-li fi ^ k, pak (cp — fi ■ idy)|^ je invertibilní. (4) Zobrazení (cp — k ■ idy)|^ je nilpotentní. Důkaz. (1) Ověření vlastností vektorového podprostoru je jednoduché a ponecháváme jej čtenáři. (2) Předpokládejme, že (cp — k ■ idv)k(u) = 0 a uvažme v = (cp — fi ■ idv)(u). Pak (cp—k ■ idv)k(v) = = (Cp - k ■ Ídy)k((cp - k ■ idy) + (k — fl) ■ ÍdV)(u) = (cp — k ■ idy)*+1(«) + (k — fi) ■ (cp — k ■ idv)k(u) = o (3) Je-li u € Ker(cp — n ■ idy)|^, pak (cp — k-Ídy)(«) = (cp — fl-Ídy)(«) + (fl — k)-U = (fl — k) ■ U Odtud 0 = (cp — k ■ idy)*(M) = (fi — k)k -Maje tedy nutně u = 0 pro k 7^ fi. (4) Zvolme bázi e\,...,ep podprostoru TZx- Protože podle definice existují čísla kt taková, že (cp — k- idv)ki (e{) = 0, je nutně celé zobrazení (cp — k ■ idy)|^ nilpotentní. □ 3.30. Faktorové prostory. Našim dalším cílem je ukázat, že dimenze kořenových prostorů je vždy rovna algebraické násobnosti příslušných vlastních čísel. Nejprve však zavedeme šikovné technické nástroje. Definice. Nechť U c V je vektorový podprostor. Na množině všech vektorů ve V definujeme ekvivalenci takto: i>i ~ v2 právě tehdy, když vi — v2 e U. Axiomy ekvivalence přísluší po řadě vlastní vektory Proto je fl -1 1 \ fl 0 0\ fl -1 1 7= 0 1 -2 0 1/2 0 0 1 -2 \0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1 'i-i i \ fi o o\ fi i ŕ 0 1 -2 0 1/2 0 0 1 2 v0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 l, Odsud pro libovolné n e N plyne fl -1 1 \ fl 0 0\" fl 1 V T" =10 1 -2 0 1/2 0 0 1 2 \0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 l, '1-1 1 \ fl 0 0\ fl 1 v 0 1 -2 0 2"" 0 0 1 2 v0 0 1 / \0 0 0/ \0 0 1, Zřejmě pro velká neN můžeme nahradit 2~" za 0, což implikuje 'i i i\ /ii ŕ 0 1 2 = 0 0 0 v0 0 1/ \0 0 Oy Pokud tedy plodí potomky jedinci původní populace výhradně s členy populace, ve které se vyskytuje pouze dvojice alel AA, nutně po dostatečně velkém počtu křížení dojde k tomu, že dvojice aAnaa zcela vymizí (bez ohledu na jejich původní četnost). Případ (c). Tentokráte budeme mít 6 možných stavů (v tomto pořadí) AA, AA; aA,AA; aa,AA; aA,aA; aa,aA; aa,aa, přičemž tyto stavy jsou dány různými případy genotypů rodičů. Matice odpovídajícího Markovova řetězce je (l 1/4 0 1/16 -1 M 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 o 1 / \o 0 0 o o o o 1/2 0 1/4 0 0 1/4 1/8 1/4 1/4 1/16 0 0 0 1/4 1/2 1/4 0\ 0 0 0 0 Pokud budeme např. uvažovat situaci (druhý sloupce), kdy jeden z rodičů má dvojici alel AA a druhý a A, pak zjevně může nastat každý ze čtyř případů (jde-li o dvojice alel jejich dvou náhodně zvolených potomků) AA, AA; AA,aA; aA, AA; aA,aA 159 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU se stejnou pravdepodobností. Pravděpodobnost setrvání ve druhém stavu je proto 1/2 a pravděpodobnost přechodu ze druhého stavu do prvního je 1/4 a do čtvrtého také 1 /4. Nyní bychom měli opět určit mocniny T" pro velká n e N. Uvážením podoby prvního a posledního sloupce ihned zjistíme, že 1 je vlastním číslem matice T. Velmi lehce lze najít vlastní vektory (l,0,0,0,0,0)r, (0,0,0,0,0, l)T příslušné vlastnímu číslu 1. Přechodem ke čtyřrozměrné podmatici matice T (vynecháním právě prvního a šestého řádku a sloupce) nalezneme poté zbylá vlastní čísla 1 1 l-y/5 l + VŠ 2' 4' 4 ' 4 ' Vzpomeneme-li si na řešení příkladu nazvaného Mlsný hazardér, nemusíme T" počítat. V tomto příkladu jsme dostali stejné vlastní vektory příslušné číslu 1 a ostatní vlastní čísla měla rovněž absolutní hodnotu ostře menší 1 (jejich přesné hodnoty jsme nevyužívali). Dostáváme tak totožný závěr, že proces se blíží k pravděpodobnostnímu vektoru (a, 0,0, 0,0, 1 -af , kde a e [0, 1] je dáno výchozím stavem. Protože pouze na první a šesté pozici výsledného vektoru mohou být nenulová čísla, stavy |3.37b aA,AA; aa, AA; aA,aA; aa,aA po mnohonásobném křížení vymizí. Uvědomme si dále (plyne z předešlého a z příkladu Mlsný hazardér), že pravděpodobnost toho, aby proces končil A A, A A, se rovná relativní četnosti výskytu A v počátečním stavu. Případ (d). Nechť hodnoty a, b, c e [0, 1] udávají (při zachování pořadí) relativní četnosti výskytu dvojic alel AA, a A, aa v dané populaci. Chceme získat vyjádření relativních četností dvojic AA, aA, aa v potomstvu populace. Probíhá-li výběr dvojic pro páření náhodně, lze při velkém počtu jedinců očekávat, že relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel AA (u obou) je a2, relativní četnost páření jedinců, z nichž jeden má dvojici alel A A a druhý a A, je 2a b, relativní četnost páření jedinců s dvojicemi alel a A (u obou) je b2 atd. Potomek rodičů s dvojicemi AA, AA musí dvojici alel AA zdědit. Pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi AA, a A bude mít AA, je zřejmě 1/2 a pravděpodobnost, že potomek rodičů s dvojicemi a A, a A bude mít A A, je pak 1 /4. Jiné případy pro potomka s dvojicí alel A A uvažovat nemusíme (pokud má jeden rodič dvojici alel aa, potomek nemůže mít dvojici AA). Relativní četnost výskytu dvojice alel AA v potomstvu jdou ověřit snadno. Množina V/U tříd této ekvivalence, spolu s operacemi definovanými pomocí reprezentantů, tj. [v] + [w] = [v + w], a-[u] = [a-u], tvoří vektorový prostor, který nazýváme faktorový vektorový prostor prostoru V podle podprostoru U. Ověřte si korektnost definice operací a platnost všech axiomů vektorového prostoru! Třídy (vektory) ve faktorovém prostoru V/U budeme často označovat jako formální součet jednoho reprezentanta se všemi vektory podprostoru U, např. u+U e V/U, u e V. Nulový vektor ve V/U je právě třída 0 + U, tj. vektor u e V reprezentuje nulový vektor ve V/U právě, když je u e U. Jako jednoduché příklady si rozmyslete V/{0} = V, V/V = {0} a faktorový prostor roviny M2 podle libovolného jednorozměrného podprostoru, kde každý jednorozměrný podprostor U C M2 je přímka procházející počátkem, třídy ekvivalence jsou rovnoběžky s touto přímkou. Tvrzení. Nechť U C V je vektorový podprostor a u\, ..., u„ je taková báze V, ze u\, ..., uk je báze U. Pak dim V/U = n — k a uk+\ + U, ..., u„ + U je báze V/U. Důkaz. Protože V = (u\, ..., dotsun), je i V/U = {u\ + U, ... ,un + U). Přitom ale je prvních k generátorů nulových, takže je V/U = (uk+i + U, ... ,un + U). Předpokládejme, že ak+i ■ (uk+i + U) + ■ ■ ■ + an ■ (un + U) = (ak+i - uk+i + ■ ■ - + an - un) + f/ = 0e V/U. To je ale ekvivalentní příslušnosti lineární kombinace vektorů uk+i, ... ,un do podprostoru U. Protože U je generováno zbylými vektory, je nutně tato kombinace nulová, tj. všechny koeficienty a{ jsou nulové. □ 3.31. Indukovaná zobrazení na faktorových prostorech. Předpokládejme, že U C V je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení cp : V -> V a zvolme bázi u\, ..., un prostoru V, že prvních k vektorů této báze je bazí U. V této bázi má cp polorozpadlou matici A = ^ ^j. Pak budeme umět dokázat následující tvrzení: Lemma. (1) Zobrazení cp indukuje lineární zobrazení cpv/u : V/U -+ V/U, cpv/u (v + U) = cp(v) + U s maticí D v indukované bázi uk+\ + U, ..., u„ + U na V/U. (2) Charakteristický polynom cpv/u dělí charakteristický polynom cp. Důkaz. Pro v, w e V, u e U, a e K máme cp(v + u) e cp(v) + U (protože U je invariantní), (cp(v) + U) + (cp(w) + U) = cp(v + w) + U a a ■ (cp(v) + U) = a ■ cp(v) + U = cp(a ■ v) + U (protože cp je lineární), je tedy zobrazení cpV/u dobře definované a lineární. Navíc je přímo z definice matice zobrazení patrné, že matice cpV/u v indukované bázi na V/U je právě matice D (při počítání obrazů bázových prvků nám koeficienty z matice C přispívají pouze do třídy U). Charakteristický polynom indukovaného zobrazení cpV/u je tedy \D — k ■ E\, zatímco charakteristický polynom původního zobrazení^ je \A — k ■ E\ = \B — k ■ E\\D - k ■ E\. □ 160 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.37c Důsledek. Nechť V je vektorový prostor nad K dimenze n a nechť cp : V -» V je lineární zobrazení, jehož spektrum obsahuje n prvků (tj. všechny kořeny charakteristického polynomu leží v K a počítáme je včetně násobnosti). Pak existuje posloupnost invariantních podprostorů {0} = Vo C V\ C • • • C V„ = V s dimenzemi dim V; = i. V bázi u\, ..., u„ prostom V takové, že Vi = (u\, ..., u{), má cp horní trojúhelníkovou matici: Ai ••• \ 0 ... kn kde k\, ..., k„ je posloupnost prvků spektra. Důkaz. Konstrukci podprostorů Ví provedeme induktivně. Nechť ki, ... ,kn jsou prvky ve spektru zobrazení cp, tzn. charakteristický polynom zobrazení cp je tvaru (k — k\) ■ ■ ■ ■ ■ (k — kn). Zvolme Vb = {0}, V\ = {u\), kde u\ je libovolný vlastní vektor s vlastní hodnotou k\. Podle předešlé věty je charakteristický polynom zobrazení cpv/vx tvaru (k — k2).....(k — kn). Předpokládejme, že jsme již sestrojili lineárně nezávislé vektory u\, ..., uk a invariantní podpro-story Ví = («i ..., Ui), i = 1, ..., k < n, takové, že charakteristický polynom cpv/Vk je tvaru (k — kk+i).....(k — kn) a cp(ui) e (ki ■ Ui + Ví-i) pro všechna i = 1, ..., k. Zejména tedy existuje vlastní vektor uk+i + Vk e V/Vk zobrazení cpv/Vk s vlastní hodnotou kk+i. Uvažme nyní prostor Vk+i = ..., uk+i). Kdyby byl vektor uk+i lineární kombinací vektorů u\, ..., uk, znamenalo by to, že uk+i + Vk je nulová třída v V/Vk, to ale není možné. Je proto dim Vk+i = k + 1. Zbývá studovat indukované zobrazení cpV/vk+l ■ Charakteristický polynom tohoto zobrazení je stupně n — k — 1 a. dělí charakteristický polynom zobrazení cp. Přitom doplněním vektorů u\, ..., uk+i do báze V dostaneme polorozpadlou matici zobrazení cp s horní trojúhelníkovou submaticí B v horním levém rohu, jejíž diagonální prvky jsou právě skaláry k\, ..., uk+i. Proto mají kořeny charakteristického polynomu indukovaného zobrazení požadované vlastnosti. □ 3.32. Poznámky. Pokud existuje rozklad celého prostoru V na přímý součet vlastních podprostorů, existuje báze z vlastních podprostorů a předchozí věta vlastně neříká vůbec nic zajímavého. Její síla ovšem spočívá v tom, že jediným jejím předpokladem je existence dim V kořenů charakteristického polynomu (včetně násobností). To je ovšem zaručeno, je-li pole K algebraicky uzavřené, např. pro komplexní čísla C. Přímým důsledkem pak jsou zajímavá tvrzení o determinantu a stopě zobrazení: jsou vždy součinem, resp. součtem prvků ve spektru. Tuto skutečnost můžeme použít i pro všechny reálné matice. Můžeme je totiž vždy považovat za komplexní, spočítat potřebné, a protože determinant i stopa jsou algebraické výrazy v prvcích matice, výsledkem budou právě hledané reálné hodnoty. je tedy , 1 , 1 , b2 a1 ■ 1 + 2ab---\-b • - = a +ab-\--. 2 4 4 Analogicky stanovíme postupně relativní četnosti dvojic a A aaa\ potomstvu ve tvarech b2 ab + bc + 2ac -\-- 2 a b2 c2 + bc + —. 4 Na tento proces můžeme nahlížet jako na zobrazení T, které transformuje vektor (a, b, c)T. Platí (a\ / a2 + ab + b2/4 b I \ab+bc + 2ac + b2/2 c) \ c2 + bc + b2/4 Podotkněme, že za definiční obor (a pochopitelně i obor hodnot) T vlastně bereme pouze vektory ( a\ , kde a, b, c e [0, 1], a +b + c = 1. Chtěli bychom zadat operaci T pomocí násobení vektoru (a,b,c)T jistou konstantní maticí. To však očividně není možné (zobrazení T není lineární). Nejedná se tedy o Markovův proces a nelze zjednodušit určování, co se stane po velmi dlouhé době, jako v předešlých případech. Můžeme ale vypočítat, co se stane, když aplikujeme zobrazení T dvakrát po sobě. Ve druhém kroku dostáváme a2 +ab +b2/4 T : | ab + bc + 2ac + b1 /2 | | tf | , kde c2 + bc + b2 j4 b2\2 ( b2\ ( b2 t2l=[a2 + ab + —j + la2 + ab + —j lab +bc + 2ac + — 1/ b2 + — I ab + bc + 2ac -\-- 4 V 2 f2 = [a2 +ab + — J \ ab + bc + 2ac + — ) + u2\ / h2 + [ab+bc+ 2ac + — I lcz + bc + — ) + 9 -2\ / 9 b2\ 1 / u2 + 2[az + ab + —j I cz + bc + — I + -1 ab + bc + 2ac + — , / 9 b2\2 ( b2\ ( 7 b2 ^ = ^cz + bc + —j + lab + bc + 2ac + — j I cl + bc + — 1 / b2^ + — I ab + bc + 2ac + — 161 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Lze ukázat (využitím a + b + c = 1), že b2 b2 b2 tl=a2+ab-\--, ŕ? = ab + bc + 2ac-\--, £=c2 + bc-\--, 2 4 2 4 tj- a2 + ab + 62/4 \ / a2 + ab + 62/4 7 : | ab + 6c + 2ac + b2/2 h» \ab + bc+2ac + b2/2 c2 + bc + b2/4 J \ c2 + bc + b2/4 Získali jsme tak překvapivý výsledek, že dalším aplikováním transformace T se vektor obdržený v prvním kroku nezmění. To znamená, že výskyt uvažovaných dvojic alel je po libovolně dlouhé době totožný jako v první generaci potomstva. Pro velkou populaci jsme tak dokázali, že evoluční vývoj by se realizoval během jediné generace, kdyby nedocházelo k mutacím nebo k selekci. □ 3.34. Nechť jsou dány dvě urny, které obsahují dohromady n. bílých a n černých koulí. V pravidelných časových intervalech je z obou uren vylosována jedna koule a přemístěna do druhé urny, přičemž počet koulí v obou urnách je na začátku (a tedy po celou dobu) právě n. Zadejte tento Markovův proces pravděpodobnostní maticí přechodu T. Řešení. Tento příklad se používá ve fyzice jako model prolínání dvou nestlačitelných kapalin (již v roce 1769 ho zavedl D. Bernoulli) nebo analogicky jako model difúze plynů. Stavy 0, 1, ..., n budou odpovídat kupř. počtu bílých koulí v jedné pevně zvolené urně. Tento údaj totiž současně zadává, kolik černých koulí je ve zvolené urně (všechny ostatní koule jsou pak ve druhé z uren). Pokud v jistém kroku dojde ke změně stavu j e {1, ...,«} na j — 1, znamená to, že ze zvolené urny byla vytažena bílá koule a z druhé černá. To se stane s pravděpodobností ■2 J Přechodu ze stavu j e {0, 1} do j +1 odpovídá vytažení černé koule ze zvolené urny a bílé z té druhé s pravděpodobností n ~ i n- j (n- j)2 Soustava zůstane ve stavu j e {1, ..., n — 1}, jestliže z obou uren byly vytaženy koule stejné barvy, což má pravděpodobnost J n — + - J 2j (n - j) Dodejme, že ze stavu 0 se nutně (s pravděpodobností 1) přechází do stavu 1 a že ze stavu n se s jistotou přechází do stavu n — 1. Uvážením Když je na vektorovém prostoru V zadán skalární součin, můžeme v každém induktivním kroku důkazu předchozího tvrzení využít skutečnosti, že vždy V/Vk — a B u i—> (u + Vk) e V/Vk. To znamená, že v každé třídě rozkladu V/Vk existuje právě jeden vektor z V^. Skutečně, tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostoru v unitárním prostoru - pokud u, v e jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do Vk n VkL, tedy jsou stejné. Můžeme tedy jako reprezentanta uk+i nalezené třídy, tedy vlastního vektoru zvolit právě vektor z V^. Touto modifikací dojdeme k ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v tvrzení o triangulovatelnosti. Proto existuje i taková ortonormální báze: Důsledek (Schurova věta o ortogonální triangulovatelnosti). Nechť

V je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s m = dim V vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru V taková, že cp v ní má horní trojúhelníkovou matici s vlastními čísly X\, ... ,Xmna diagonále. 3.33. Věta. Nechť cp V kořenových prostorů V je lineární zobrazení. Součet příslušných různým vlastním hodnotám XV ..., Xk je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu X dimenze podprostoru IZi rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořenových prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ e 1Zxx, ... ,uk e 1Zxk platí «! + ••• + «£ =0. Pro vhodné j pak (cp — kk ■ iávy (uk) = 0 a zároveň jsou yt = (cp — kk ■ iávy (ui) nenulové vektory v 1Zxi ,i = 1 — 1, pokud w; jsou nenulové, viz. předchozí věta. Přitom ale k yi H----+ yk-i = ^2(cp - h ■ \áv)J(ui) = 0 i=\ a tedy podle indukčního předpokladu jsou všechny y; nulové. Pak ovšem i uk = 0 a lineární nezávislost je dokázána. Zbývá ukázat, že dimenze každého kořenového prostoru TZx je rovna algebraické násobnosti kořenu k charakteristického polynomu. Nechť tedy je k vlastní hodnota cp, označme cp zúžení cp\fix a ý V/IZx —> V/TZx nechť je zobrazení indukované cp na faktorovém prostoru. Předpokládejme, že dimenze IZx je menší než násobnost kořenu k charakteristického polynomu. Podle věty ?? to znamená, že A je i vlastní hodnotou zobrazení ý. Nechť (v + IZx) £ V/TZx je příslušný vlastní vektor, tj. ifriv+Hx) = ^(v+7lx) což podle definice značí v £ IZx a cp(v) = k-v + w pro vhodné w e IZx - Máme tedy w = (cp — k-idv)(v) a (cp —k-iávy (w) = Opro vhodné j. Celkem tedy (cp — k- idy)i+1 (v) = 0 což je ve sporu s volbou v £ IZx- Tím jsme dokázali, že dimenze TZx je rovna násobnosti kořene k charakteristického polynomu cp. □ 162 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Důsledek. Pro každé lineární zobrazení cp : V -» V, jehož celé spektrum je v K, je V = IZ^ © • • • © lZin přímým součtem kořenových podprostorů. Zvolíme-li vhodně báze těchto podprostorů, pak cp má v této bázi blokově diagonální tvar s horními trojúhelníkovými maticemi v blocích a vlastními hodnotami na diagonále. 3.34. Nilpotentní a cyklická zobrazení. Nyní již máme skoro vše připraveno pro diskusi kanonických tvarů matic. Zbývá jen vyjasnit vztah mezi cyklickými a nilpotentními zobrazeními a poskládat dohromady již připravené výsledky. Věta. Nechť cp V -» V je nilpotentní lineární zobrazení. Pak existuje rozklad V na přímý součet podprostorů V = V\ © • • • © Vk takových, že zúžení cp na kterýkoliv z nich je cyklické. Důkaz. Ověření je docela jednoduché a spočívá v konstrukci takové báze prostoru V, že akce zobrazení cp na bázových vektorech přímo ukazuje rozklad na cyklická zobrazení. Postup bude ale poněkud zdlouhavý. Nechť k je stupeň nilpotentnosti zobrazení cp a označme Pi = im(cpi), i = 0, ..., k, tzn. výše uvedeného dostáváme hledanou matici í° T = - nL 2- l(n - 1) 0 (n - l)2 0 0 V0 0 o o 22 2 • 2(n - 2) 0 0 0 o o o 2 • (n - 2)2 (n - l)2 22 0 2- (n - 1)1 1 {0} = Pk C Pk-i C • • • C Pi C Po V. „k-1 epk-l Pr0St0rU Pk-U Vyberme libovolnou bázi ex kde pk_i > 0 je dimenze Pk-i - Z definice plyne, že Pk-i c Kercp, tj. vždy 1/4 3/8 1/4 ,3/8 3/8 1/2, 1/2 0 l/3\ /0> 0 1 1/2 )(l 1/2 0 1/6/ \0> 163 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU veshj 3 916 bude prostřední sloupec matice B" vždy (pro n e N) vektorem (0, 1, 0)T, tj. matice B nemůže být regulární. Součin /1/3 1/2 0 0 \ M / 0 \ 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ 0 a w o a/6 + b/3 \5a/6 + 2b/3j a, b e implikuje, že matice D2 bude mít v pravém horním rohu nulovou dvourozměrnou (čtvercovou) submatici. Opakováním této implikace dostáváme, že stejnou vlastnost mají matice D3 = D ■ D2, D4 = D ■ D3, ..., D" = D ■ D"-1, ..., tudíž matice D není regulární. Matice E je permutační (v každém řádku a sloupci má právě jeden nenulový prvek, a to 1). Není obtížné si uvědomit, že mocniny permutační matice jsou opět permutační matice. Matice E proto také není regulární. To lze rovněž ověřit výpočtem mocnin E2, E3, E4. Matice E4 je totiž jednotková. □ 3.36. Dva hráči A, B hrají o peníze opakovaně jistou hru, která může skončit pouze vítězstvím jednoho z hráčů. Pravděpodobnost výhry hráče A je v každé jednotlivé hře p e [0, 1 /2) a oba sází vždy (v libovolné hře) jen 1 Kč, tj. po každé hře s pravděpodobností p dá 1 Kč hráč B hráči A a s pravděpodobností 1 — p naopak 1 Kč dá hráč A hráči B. Hrají ovšem tak dlouho, dokud jeden z nich nepřijde o všechny peníze. Jestliže má hráč A na začátku x Kč a hráč B má y Kč, určete pravděpodobnost, že hráč A vše prohraje. Řešení. Tato úloha se nazývá Ruinovaní hráče. Jedná se o speciální Markovův řetězec (viz také příklad Mlsný hazardér) s mnoha důležitými aplikacemi. Hledaná pravděpodobnost činí (3.6) ■ - te) Povšimněme sijakáje tato hodnota pro konkrétní volby p,x, y. Kdyby hráč B chtěl mít téměř jistotu a požadoval, aby pravděpodobnost, že hráč A s ním prohraje 1 000 000 Kč, byla alespoň 0,999, potom stačí, aby měl 346 Kč, je-li p = 0, 495 (či 1 727 Kč, je-li p = 0, 499). Proto je ve velkých kasinech možné, aby „vášniví" hráči mohli hrát téměř spravedlivé hry. □ 3.37. V rámci jisté společnosti fungují dvě navzájem si konkurující oddělení. Vedení společnosti se rozhodlo, že každý týden bude poměřovat relativní (vzhledem k počtu zaměstnanců) zisky dosažené těmito dvěma odděleními. Do oddělení, které bude úspěšnější, pak budou přeřazeni dva pracovníci z druhého oddělení. Tento proces má probíhat tak dlouho, až jedno z oddělení zanikne. Získali jste zaměstnání v této společnosti a můžete si vybrat jedno z těchto dvou oddělení, Předpokládejme dále, že již máme sestrojenu bázi pod-prostoru Pk-i takovou, že ji můžeme poskládat do schématu ek~l ■ ' Pk-i e\~\ ■ ek~2 ■ ' Pk-i ek~2 Pk-\- H' • ek~2 ■ ' Pk-2 e\~\ ■ k-3 ' ' Pk-\ ek~3 Pk-l- H' • k-3 ' ' Pk-2 k-i ei ' • k-l ' ' Pk-\ k-l Pk-l- H' • k-l ' ' Pk-2 'Ä-2+ľ Qk-l ~Pk-2+ľ ak-3 "Pk-3 k-l k-i 1 Pk-3 ' ' ' ' Pk- kde hodnota zobrazení cp na libovolném bázovém vektoru se nachází nad ním, nebo je nulová, pokud nad zvoleným vektorem báze již nic není. Pokud je Pk-i ^ V, opět musí existovat vektory e k-l-l k-l el ' • • • ' ~Pk- vektory „k-l-\ -Pk-t , které se zobrazují na epk_t a můžeme je doplnit do báze Pk_i_i, řekněme „k-l-l „k-l-l Pk-í+^' " " " ' pk-e-i' Přitom postupným odečítáním hodnot iterací zobrazení

n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení cp obsahuje dk(k) Jordánových bloků řádu k s vlastní hodnotou k, pak defekt matice (J -d1(k)+2d2(k) + k-Efit ..£dl(k) + £dl+1(k) + ... 164 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Odtud spočítáme n - n(X) = dx(k) + 2d2(X) H----+ Id^X) + ídw(k) + .. dk(X) = r*_i(A.) - 2rk(X) + rk+l(X) (kde poslední řádek vznikne kombinací předchozího pro hodnoty l = k - 1, k, k + 1). 3.36. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kanonického tvaru byl sice konstruktivní, nedává nám ale dokonale efektivní algoritmický postup pro jejich hledání. Nyní shrneme již odvozený postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení cp V -» V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má cp diagonální matici. (4) Nechť k je vlastní hodnota s geometrickou násobností menší než algebraickou a v\, ..., vk nechť jsou příslušné vlastní vektory. To by měly být vektory na horním okraji schématu z důkazu věty 3.34, je ovšem nutné najít vhodnou bázi aplikacemi iterací cp — k ■ idy. Zároveň přitom zjistíme ve kterém řádku se vektory nacházejí a najdeme lineárně nezávislá řešení u>; rovnic (cp — k id) (x) = v{ z řádků pod nimi. Postup opakujeme iterativně (tj. pro u>; atd.). Najdeme tak „řetízky" bázových vektorů zadávajících podprostory, kde cp — k id je cyklické. Postup je praktický pro matice, kde násobnosti vlastních hodnot jsou malé, nebo aspoň diskutované stupně nilpotentnosti jsou malé. Např. pro matici (2 0 ŕ A = 0 2 1 \0 0 2y dostaneme dvourozměrný podprostor vlastních vektorů ((1,0,0), (0,1,0)). Potřebujeme proto najít řešení rovnic (A—2E)x = (a, b, 0)T pro vhodné konstanty a, b. Tento systém je ovšem řešitelný pouze pro a = b a jedno z možných řešení je v = (0, 0, 1), a = b = 1. Celá hledaná báze pak je (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0). Všimněme si, že jsme měli spoustu voleb a bazí s požadovanými vlastnostmi je tedy mnoho. 5. Rozklady matic a pseudoinverze V minulé části jsme s soustředili na geometrický popis struktury zobrazení. Teď naše výsledky přeložíme do jazyku tzv. rozkladů matic, což je obzvlášť důležité téma pro numerické postupy a maticový počet obecně. I při počítání s reálnými čísly užíváme pro zjednodušení rozklady na součiny. Nejjednodušším je vyjádření každého reálného čísla jednoznačně ve tvaru a = sgn(út) • \a\, kde budete pracovat. Chcete si zvolit to, které nebude v důsledku vnitropodnikové konkurence zrušeno. Jaká bude Vaše volba, když jedno oddělení má nyní 40 zaměstnanců, druhé 10 a když odhadujete, že to v současnosti menší z nich bude mít větší relativní zisky v 54 % případů? Další využití Markovových řetězců viz příloha za kapitolou. D. Rozklady matic 3.38. Vyvraťte nebo dokažte: • Nechť A je čtvercová matice n x n. Pak je matice AT A je symetrická. • Nechť čtvercová matice A má pouze kladné reálné vlastní hodnoty. Pak je A symetrická. 3.39. Nalezněte LU-rozklad následující matice: -2 1 0 -4 4 2 x -6 1 -1, Řešení. '\ 0 0\ 1-2 1 0> 2 1 0 0 2 2 v3 "I 1/ \0 0 1, Nejprve vynásobíme matice odpovídající Gaussově eliminaci, dostáváme tak pro původní matici A, XA = U, kde X je dolní trojúhelníková daná zmíněným součinem, U horní trojúhelníková. Z této rovnosti máme A = X~1U, což je hledaný rozklad (musíme tedy spočítat inverzi k X). □ /l 1 0 3.40. Nalezněte L [/-rozklad matice I 1 —1 2 V- 1 -h 3.41. Ray-tracing. V počítačové 3D-grafice se obraz zobrazuje pomocí algoritmu Ray-tracing. Základem tohoto algoritmu je aproximace světelných vln paprskem (přímka) a aproximace zobrazovaných objektů mnohostěny. Ty jsou tedy ohraničeny rovinami a je potřeba spočítat, kam se na těchto rovinách odráží světelné paprsky. Z fyziky přitom víme, jak se paprsky odráží - úhel odrazu je roven úhlu dopadu. Paprsek světla ve směru v = (1, 2, 3) dopadá na rovinu určenou rovnicí x + y + z = 1- V jakém směru se paprsek odrazí? Řešení. Jednotkový normálový vektor k rovině je« = -^(1,1,1). Vektor určující směr odraženého paprsku vR bude ležet v rovině určené vektory v,n. Můžeme jej tedy vyjádřit jako lineární kombinaci těchto vektorů. Zároveň nám pravidlo úhel odrazu je roven úhlu dopadu jinými slovy říká, že (v, n) = — (vR, n). Odtud dostaneme kvadratickou rovnici pro koeficienty lineární kombinace. 165 D. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Příklad můžeme vyřešit i jednoduším, geometrickým způsobem. Z obrázku můžeme přímo odvodit,že vR = v — 2{v, n)n a v našem případě dostáváme vR = (—3, —2, I)- □ 3.40 3.42. Najděte Jordánův tvar matice A a napište příslušný rozklad. Jaká je geometrická interpretace rozkladu této matice? -1 ť -6 4, -1 ť -4 3 i) A ii) A Řešení. i)Nejprve spočítáme charakteristický polynom matice A \A - XE\ -1 A 1 4-A A2 - 3A + 2 Vlastní čísla matice A jsou kořeny tohoto polynomu, to znamená A.i,2 = 1,2. Prtotože matice je řádu dva a máme dvě různé vlastní hodnoty, je Jordánův tvar diagonální matice J = ^ ^ ■ Vlastní vektor (x, y) příslušný vlastní hodnotě 1 splňuje 0 = (A — E)x = 6 3) i^y)' ^' = ^' ^° Jsou Právě násobky vektoru (1,2). Podobně zjistíme, že vlastním vektorem k vlastní hodnotě 2 je (1, 3). Matici P pak dostaneme napsáním těchto vlastních vektorů do sloupců, tí-P 1 1 ,2 3, matice k P má tvar P~l ■1 1 ■6 4 Pro matici A pak máme A = P ■ J ■ P 1. Inverzní a dohromady pak dostáváme 1 1 2 3 1 0 0 2 ■1 3.41 -2 1 Tento rozklad nám říká, že matice A určuje takové lineární zobrazení, které má v bázi vlastních vektorů (1,2), (1,3) výše uvedený diagonální tvar. To znamená, že ve směru (1,2) se nic neděje a ve směru (1, 3) se každý vektor protáhne na svůj dvojnásobek. ii) Charakteristický polynom matice A je v tomto případě |A - XE\ 1 — A 1 -4 3 — A Dostáváme tedy dvojnásobný kořen A (x, y) splňuje 0 = (A — E)x = -- A2 - 2A + 1 = 0 1 a příslušný vlastní vektor -2 1 -4 2 To jsou, opět jako v minulém příkladu, násobky vektoru (1, 2). To, že řešením této rovnice nejsou dva lineárně nezávislé vektory, říká, že Jordánův tvar v tomto případě nebude diagonální, ale bude to matice '1 r ,0 1. Bázi, ve které má matice A tento tvar, tvoří vlastní vektor tj. jako součin znaménka a abolutní hodnoty. V dalším textu si uvedeme stručně přehled několika takových rozkladů pro různé typy matic, které bývají nesmírně užitečné při numerických výpočtech s maticemi. Například jsme vhodný rozklad pro pozitivně semidefmitní symetrické matice využili v odstavci 3.27 pro konstrukci odmocniny z matice. 3.37. LU-rozklad. Začneme přeformulováním několika výsledků, které jsme už dávno odvodili. V odstavcích 2.7 a 2.8 jsme upravovali matice nad skaláry z libovolného pole na řádkový schodovitý tvar. K tomu jsme používali elementární úpravy, které spočívaly v postupném násobení naší matice invertibilními dolními trojúhelníkovými maticemi Ph které postihovaly přičítání násobků řádků pod právě zpravová-vaným. Předpokládejme pro jednoduchost, že naše matice A je čtvercová a že při Gausově eliminaci nejsme nuceni přehazovat řádky a proto všechny naše matice Pt mohou být dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách. Konečně, stačí si povšimnout, že inverzní matice k takovýmto Pt jsou opět dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách a dostáváme U = P ■ A = Pk ■ ■ ■ Pí ■ A kde U je horní trojúhelníková matice a tedy A = L-U kde L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále a U je horní trojúhelníková. Tomuto rozkladu se říká LU-rozklad matice A. V případě obecné matice můžeme při Gausově eliminaci na řádkově schodovitý tvar potřebovat navíc permutace řádků, někdy i sloupců matice. Pak dostáváme obecněji A = P ■ L U Q, kde P a. Q jsou nějaké permutační matice. 3.38. Poznámky. Přímým důsledkem Gausovy eliminace bylo také zjištění, že až na volbu vhodných bází na definičním oboru a oboru hodnot je každé zobrazení / : V -» W zadáno maticí v blokově diagonálním tvaru s jednotkovou matici, s rozměrem daným dimenzí obrazu /, a s nulovými bloky všude kolem. To lze přeformulovat takto: Každou matici A typu m /n nad polem skalárů K lze rozložit na součin E 0 0 0 Q, kde P a Q jsou vhodné invertibilní matice. Pro čtvercové matice jsme v 3.28 ukázali při diskusi vlastností lineárních zobrazení / : V -» V na komplexních vektorových prostorech, že každou čtvercovou matici A dimenze m umíme rozložit na součin A = P ■ B ■ P~l kde B je blokově diagonální s Jordánovými bloky příslušnými k vlastním číslům na diagonále. Skutečně jde o pouhé přepsání Jordánovy věty, protože násobení maticí P a její inverzí z opačných stran odpovídá v tomto přípaě právě změně 166 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET báze na vektorovém prostoru V a citovaná věta říká, že ve vhodné bázi má každé zobrazení Jordánův kanonický tvar. Obdodně jsme tedy při diskusi samoadjungovaných zobrazení dokázali, že pro reálné symetrické nebo komplexní Hermiteovské matice existuje vždy rozklad na součin A = P ■ B ■ P*, kde B je diagonální matice se všemi (vždy reálnými) vlastními čísly na diagonále, včetně násobností. Skutečně, jde opět o součin s maticemi vystihující změnu báze, nicméně připouštíme nyní pouze změny mezi mezi ortonormálními bázemi a proto i matice přechodu P musí být ortogonální. Odtud P'1 = P*. Pro reálná ortogonální zobrazení jsme odvodili obdobné vyjádření jako u symetrických, pouze naše B bude blokově diagonální s bloky rozměru dva nebo jedna vyjadřujícími buď rotaci nebo zrcadlení nebo identitu vzhledem k příslušným podprostorům. 3.39. Věta o singulárním rozkladu. Nyní se vrátíme k obecným lineárním zobrazením mezi (obecně různými) vektorovými prostory. Jestliže na nich je definován skalární součin a omezíme se přitom na ortonormální báze, musíme postupovat o hodně rafinovaněji, než v případě bazí libovolných Věta. Nechť A je libovolná matice typu m/n nad reálnými nebo komplexními skaláry. Pak existují čtvercové unitární matice U a V dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D dimenze r, r < min{m, n}, takové, Že 'D 0^ 0 0, usv* a r je hodnost matice A A*. Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel di matice AA*. Pokud je A reálná matice, pak i matice U a V jsou ortogonální. Důkaz. Předpokládejme nejprve m < n a označme

ušfe3 = U\f~BUT a W := UVT,tj. P=|-10 ONO ±0111 o Pseudoinverzní matice je dána výrazem A( ^ 'l 0 0\ 0 2 0 I. Máme tedy ,0 0 0/ t(-D VS'UT, kde S □ 3.45. QR rozklad. QR rozklad matice A se dobře hodí v případě, když je dán systém lineárních rovnic Ax = b, který sice nemá řešení, ale my potřebujeme najít jeho co nejlepší přiblížení. Chceme tedy minimalizovat II Ax — b\\. Podle Pythagorovy věty máme ||Ax — b\\2 = || Ax — b\\ ||2 + ||6jJ|2, kde b jsme rozložili na b\\, které patří do obrazu matice A a na b±, které je k tomuto obrazu kolmé. Projekci To je aleje ekvivalentní tvrzení, že prvních r sloupců matice A V je ortogonálních a zbývající jsou nulové, protože mají nulovou velikost. Označme nyní prvních r sloupců v\, ..., vr e W". Platí tedy (ví,Ví) = d{, i = 1, ..., r a normované vektory u i = -jjjVi tvoří ortonormální systém nenulových vektorů. Doplňme je na ortonormální bázi u_ = u\, ... ,un celého Km. Vyjádříme-li naše původní zobrazení zobrazení

n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou všechny naše kroky v důkazu výše také realizovány v reálném oboru. □ Tento důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní a můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních, resp. ortogonálních, matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 3.40. Geometrická interpretace singulárního rozkladu. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Přeformulujme si tuto větu v reálném případě geometrietěji. Pro příslušné lineární zobrazení

W" mají singulární hodnoty skutečně jednoduchý geometrický význam: Nechť K c M" je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem cp(K) pak vždy bude (případně degenerovaný) m-rozměrný elipsoid. Singulární čísla matice A jsou přitom velikosti hlavních poloos a věta navíc říká, že původní sféra vždy připouští ortogonální sdružené průměry, jejichž obrazem budou právě všechny poloosy tohoto elipsoidu. Pro čtvercové matice je vidět, že A je invertibilní právě, když všechna singulární čísla jsou nenulová. Poměr nej-většího a nejmenšího singulárního čísla je důležitým parametrem pro robustnost řady numerických výpočtů s maticemi, např. pro výpočet inverzní matice. Poznamejme také, že existují rychlé metody výpočtů, resp. odhadů, vlastních čísel, proto je se singulárním rozkladem velmi efektivně pracovat. 3.41. Věta o polárním rozkladu. Věta o singulárním rozkladu je východiskem pro mnoho mimořádně užitečných nástrojů. Uvažujme nyní nad několika přímými důsledky (které samy o sobě jsou dosti netriviální). Tvrzení věty říká pro libovolnou matici A, ať už reálnou nebo komplexní, A = USW* s diagonální S s nezápornými reálnými čísly na diagonále a unitárními U,W. Pak ovšem také A = USU*UW* a pojmenujme si matice P = USU*, V = UW*. První z nich, P je hermiteovská (v reálném případě symetrická) a pozitivně semidefmitní, protože jde jen o zápis zobrazení s reálnou diagonální maticí S v jiné ortonormální bázi, zatímco V je coby 168 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET součin dvou unitárních opět unitární (v reálném případě ortogonální). Navíc A* = WSU* a tedy AA* = USSU* = P2 a naše matice f je vlastně odmocninou ze snadno spočítatelné hermiteovské matice A A*. Předpokládejme, že A = PV = QU jsou dva takové rozklady matice A na součin positivně semidefinitní hermiteovské a unitární matice a předpokládejme, že A je invertibilní. Pak ovšem je AA* = PVV*P = P2 = QUU*Q = Q2 pozitivně definitní a pro to jsou matice Q = P = VAÄ* jednoznačně určené a invertibilní. Pak ovšem také U = V = P~lA. Beze zbytku jsme tedy odvodili velice užitečnou analogii rozkladu reálného čísla na znaménko (ortogonální matice v případě dimenze jedna jsou právě ±1) a absolutní hodnotu (matice P, ke které umíme odmocninu). Věta (Věta o polárním rozkladu). Každou čtvercovou komplexní matici A dimenze n lze vždy vyjádřit ve tvaru A = P ■ V, kde P je hermiteovská a positivně definitní čtvercová matice téže dimenze a V je unitární. Přitom P = V AA*. Jeli A invertibilní, je rozklad jednoznačný a V = (V AA*)-1 A. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, je P symetrická a V ortogonální. Když budeme tutéž větu aplikovat na A* místo A, dostaneme tentýž výsledek, ovšem s obráceným pořadím hermite-ovských a unitárních matic. Matice v příslušných pravých a levých rozkladech budou samozřejmě obecně různé. V komplexním případě je analogie s rozkladem čísel ještě zábavnější — pozitivně semidefinitní P hraje opět roli absolutní hodnoty komplexního čísla, unitární matice V pak má jednoznačné vyjádření jako součet V = Vr + i V, s her-miteovkými Vr a V, s vlastností V2 + V2 = E, tj. dostáváme plnou analogii goniometrického tvaru komplexních čísel (viz závěrečná poznámka v 3.26). Všimněme si ale, že ve vícerozměrném případě je podstané, v jakém pořadí tento „goniometrický tvar" matice píšeme. Jde to oběma způsoby, výsledky jsou ale obecně různé. Pro řadu praktických aplikací bývá rychlejší použití tzv. QR rozkladu matic, který je obdobou Schurovy věty o ortogonální triangulaci: 3.42. Věta. Pro každou komplexní matici A typu m/n existuje unitární matice Q a horní trojúhelníková matice R takové, že A = QT R. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou Q i R reálné. Důkaz. V geometrické formulaci potřebujeme dokázat, že pro každé zobrazení

dále spočítáme '1 2\ J_ Přibližné řešení pak splňuje Rx = Q Tb a to v našem případě znamená 5x + 9y = 9 (přibližné řešení tedy není jednoznačné). QR rozklad matice A je □ 3.46. Minimalizujte \\Ax — b\\ pro A V 0 I a napište QR rozklad matice A. Řešení. Normalizovaný první sloupec matice A je 000 e\ = ( — 1 I. Z druhého sloupce odečteme jeho složku ve l, směru e\. Máme 169 D. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Tím jsme vyrobili ortogonální vektor, který normujeme a dostaneme e2 = 7J2 I 1 I ■ Třetí sloupec matice A je už lineárně závislý (můžeme ověřit spočítáním determinantu). Hledaná sloupcově-ortogonální matice je tedy 1 , 2 0 Q = — -1 V3 V6 ■1 Dále spočítáme R = QTA -1 Velo V3 -73 3.46 Vě^O 3V3 -3737 2 -1 -1 ô^-^(o V3 -V3. Řešením rovnice i?x = QTb je x = y = z. Násobky vektoru (1, 1, 1) tedy minimalizuji \\Ax — b\\. Zahrazení určené maticí A je projekce na rovinu s normálovým vektorm (1, 1, 1). 3 . 47 □ Uvažme obrazy /_i, proto ve vyjádření (p(e{) v bázi u vystupují pouze vektory u 1, ..., u,■. Zahrazení cp má proto ve standardní bázi na W a ortonormální bázi u na Km horní trojúhelníkovou matici R. Přechod k bázi u na W" odpovídá násobení ortogonální maticí Q zleva, tj. R = Q A, ekvivalentně A = Q*R. □ Závěrem této části textu si všimněme mimořádně užitečné a důležité aplikace našich výsledků pro přibližné numerické výpočty. 3.43. Definice. Nechť A je reálná matice typu m/n a nechť 'D 0^ ,0 o, je její singulární rozklad (zejména D je invertibilní). Matici Z)-1 0^ 0 o, nazýváme pseudoinverzní matice k matici A. A = USV*, S A(-D := ygu* g Jak ukazuje následující věta, je pseudoinverze důležité zobecnění pojmu inverzní matice. 3.44. Věta. Nechť A je reálná nebo komplexní matice typu m/n. Pak pro její pseudoinverzní matici platí: (1) Je-li A invertibilní (zejména tedy čtvercová), pak A(-1) = A"1. (2) pro pseudoinverzi A(_1) platí, že A(_1)A i AA(_1) jsou hermiteovské (v reálném případě) symetrické a AA (-D A, A'-^AA (-D a 4(-D i(-D (3) Je-li A matice systému lineárních rovnic Ax = b, s pravou stranou b e W", pak vektor y = A(_1)6 e K" minimalizuje velikost II Ax — b\\ pro všechny vektory x e K". Důkaz. (1): Je-li A invertibilní, pak je matice S = U*AV také invertibilní a přímo z definice je $ = 5_1. Odtud vyplývá A(_1)A = AA(_1) = E. (2): Přímým výpočtem dostáváme SS'S = S a S'SS' = 5", proto AA(_1)A = USV*VS'U*USV* = USgSV* = USV* = A a analogicky pro druhou rovnost. Dále (AA(_1))* = (USS'U*)* = U(S')*S*U* = U(SS')*U* = USS'U* = AA(_1) a podobně se ukáže (A(_1)A)* = A(_1)A. 170 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET (3): Uvažme zobrazení^ : K" -» Km,x h-» Ax, a přímé součty K" = (Ker cp)1- © Kercp, Km = Imcp © (líru?)-1. Zúžené zobrazení cp := ^(Ker^ : (Kercp)1- -» Imcp je lineárni isomorfismus. Zvolíme-li vhodně ortonormální báze na (Ker cp)1- almip a doplníme je na ortonormální báze na celých prostorech, bude mít cp matici S a cp matici D z věty o singulárním rozkladu. Pro dané b e W" je bod z e Imcp minimalizující vzdálenost \\b — z\\ (tj. realizující vzdálenost od podprostoru p(b, Imcp)) právě komponenta z = b\ rozkladu b = b\ +b2,bi e Imcp, b2 e (Imcp)-1. Přitom ale ve zvolené bázi je zobrazení cp{~l\ původně zadané ve standardních bazích pseudoinverzí A(_1), dáno maticí S z věty o singulárním rozkladu, zejména je cp{~l) (\mcp) = (Kercp)1- a D~l matici zúžení (py^y a (p^^ ^± je nulové. Je tedy skutečně cpocp(-1\b)=cp(cp(-1\z))=z a důkaz je ukončen. □ Lze také ukázat, že matice A(_1) minimalizuje výraz ||AA(_1) - E\\2 tj. součet kvadrátů všech prvků uvedené matice. 3.45. Lineární regrese. Aproximační vlastnost (3) předchozí věty je velice užitečná v případech, kdy máme najít co nejlepší přiblížení (neexistujícího) řešení přeurčeného systému Ax = b, kde A je reálná matice typu m/n a m je větší než n. Např. máme experimentem dáno mnoho naměřených reálných hodnot b j a chceme najít lineární kombinaci několika funkcí f i, která bude co nejlépe aproximovat hodnoty b j. Skutečné hodnoty zvolených funkcí v bodech y j e M zadají matici clí j = fj(yi), jejíž sloupce jsou dány hodnotami jednotlivých funkcí /} v uvažovaných bodech, a naším úkolem je tedy určit koeficienty x j e M tak, aby součet kvadrátů odchylek od skutečných hodnot m n m n J> - C^xjfjtyi)))2 = £(*.■ - (£ w))2 i=i j=i i=i j=i byla minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí fi takovou, abychom „dobře" proložili zadané hodnoty bi. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A{~l)b. Abychom měli konkrétnější představu, uvažujme pouze dvě funkce f\(x) = x, f2(x) = x2 a předpokládejme, že „naměřené hodnoty" jejich neznámé kombinace g(x) = y\x + y2x2 v celočíselných hodnotách pro x mezi 1 a 10 jsou bT = (1.44 10.644.4814.5631.1239.2054.8871.28 85.92104.16). Tento vektor vzniknul výpočtem hodnot x + x2 v daných bodech posunutých o náhodné hodnoty v rozmezí ±8. Matice A = (bij) je tedy v našem případě rovna '1 234 5 6 7 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100, 171 D. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE a hledané koeficienty v kombinaci jsou Výsledné proložení je možné dobře vidět na obrázku, kde zeleně jsou proloženy zadané hodnoty b lomenou čarou, zatímco červený je graf příslušné kombinace g. Výpočty byly provedeny v systému Maple pomocí příkazu leastsqrs(B,b). Pokud jste s Maplem (nebo jiným podobným softwarem) spřáteleni, zkuste si zaexperimentovat s podobnými úlohami. x 172 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 173 D. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 174 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET E. Doplňující příklady k celé kapitole 3.47. Model vývoje populace velryb. Pro vývoj populace jsou podstatné samice a u nich není důležitý věk, ale plodnost. Z tohoto hlediska můžeme samice rozdělit na novorozené neboli juve-nilní, tj. dosud neplodné samice, mladé plodné samice, dospělé samice s nej větší plodností a samice postmenopauzní, které již plodné nejsou, ale mají velký význam při ochraně mláďat nebo vyhledávání zdrojů potravy. Budeme modelovat vývoj takové populace v čase. Za časovou jednotku zvolíme dobu dosažení dospělosti. Novorozená samice, která tuto dobu přežije, dospěje k plodnosti. Vývoj mladé samice do plné plodnosti a vývoj dospělé samice k menopauze závisí na podmínkách prostředí. Přechod do další plodnostní kategorie je tedy náhodný jev. Stejně je náhodným jevem i úmrtí samice. Mladá plodná samice má za jednotku času průměrně méně mláďat, než samice plodná. Tyto poznatky vyjádříme formalizovane. Označme xi(t), resp. x2(t), resp. x3(t), resp. x4(ř), množství juvenilních, resp. mladých, resp. plně plodných, resp. postmenopauzních, samic v čase t. Množství může vyjadřovat počet jedinců, ale také počet jedinců vztažených na jednotkový areál (tzv. populační hustotu), případně také celkovou biomasu a podobně. Dále označme p\ pravděpodobnost, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval a tedy během něho dospěje, a p2, resp. p3, pravděpodobnost, že během jednotkové doby mladá, resp. plně plodná, samice, která neuhyne, dospěje do následující kategorie, tj. mladá do plné plodnosti a plně plodná k menopauze. Dalším náhodným jevem je umírání (pozitivně řečeno: přežívání) samic, které nedospějí do další kategorie; označme pravděpodobnosti přežití po řadě q2, q3 a q4 pro mladé, plně plodné a postmenopauzní samice. Každé z čísel p\, p2, p3, q2, q3, q4 jakožto pravděpodobnost je z intervalu [0, 1]. Mladá samice může přežít, dospět do plné plodnosti nebo uhynout; tyto jevy jsou neslučitelné, společně tvoří jev jistý a možnost úmrtí nelze vyloučit. Platí tedy p2 + q2 < l.X podobných důvodů platí p3 + q3 < 1. Nakonec ještě označíme f2, resp. f3 průměrný počet dcer mladé, resp. plně plodné, samice. Tyto parametry splňují nerovnost 0 < f2 < f3. Očekávaný počet novorozených samic v následujícím časovém období je součtem dcer mladých a plně plodných samic, tj. xx(t + 1) = f2X2(t) + f3X3(t). Označme na okamžik x2,i(ř + 1) množství mladých samic v čase t + 1, které byly v předchozím období, tj. v čase t juvenilními, a x2_2(r + 1) množství mladých samic, které již v čase t byly plodné, jednotkový časový interval přežily, ale nedosáhly plné plodnosti. Pravděpodobnost p\, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval, můžeme vyjádřit jako klasickou, tj. jako poměr x2,i(ř + l)/xi(ř), a podobně můžeme vyjádřit pravděpodobnost q2 jako poměr x2]2(t + \)/x2(t). Poněvadž mladé samice v čase t + 1 jsou právě ty, které dospěly z juvenilnŕho stádia, a ty, které již plodné byly, přežily a nedospěly k plné plodnosti, platí x2(t + 1) = x2,i(ř + 1) +x2,2(ř + 1) = pixi'ť) +q2x2(t). Analogicky odvodíme očekávaný počet plně plodných samic jako x3(t + 1) = p2x2(t) + q3x3(t) a očekávaný počet postmenopauzních samic x4(t + 1) = p3x3(t) + q4x4(t). 175 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 10 20 30 40 Obrázek i. Vývoj populace kosatky dravé. Na vodorovné ose je čas v letech, na svislé velikost populace. Jednotlivé plochy zobrazují množství j u venil-ních, mladých, plně plodných a postmenopauzních samic v tomto pořadí zdola. Nyní můžeme označit /O f2 h A = x(t) (xx(t)\ x3(t) \x4(t) J a předchozí rekurentní formule přepsat v maticovém tvaru 0\ Pl /0\ f0,0043\ 0,9775 0,9111 0 0 1 0,9111 0 0,0736 0,9534 0 0 0,0736 V 0 0 0,0452 0,9804y W ) / 0 0,0043 0,1132 0 \ //0,0043> /0,01224925\ 0,9775 0,9111 0 0 0,9111 0,83430646 0 0,0736 0,9534 0 0,0736 0,13722720 V 0 0 0,0452 0,9804/ v0,00332672y x(2) a tak můžeme pokračovat dále. Výsledky výpočtu můžeme také znázornit graficky; to je provedeno na obrázku 1. Vyzkoušejte si výpočet a grafické znázornění jeho výsledků i pro jiné počáteční složení 176 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET populace. Výsledkem by mělo být pozorovaní, že celková velikost populace roste jako exponenciální funkce, poměry velikostí jednotlivých plodnostních tříd se postupně ustálí na konstantních hodnotách. Matice A má vlastní hodnoty ki = 1,025441326, k2 = 0,980400000, A3 = 0,834222976, A4 = 0,004835698, vlastní vektor příslušný k největší vlastní hodnotě k\ je w = (0,03697187, 0,31607121, 0,32290968, 0,32404724); tento vektor je normován tak, aby součet jednotlivých složek byl roven 1. Porovnejte vývoj velikosti populace s exponenciální funkcí F(t) = k[x0, kde x0 je celková velikost počáteční populace. Vypočítejte také relativní zastoupení jednotlivých plodnostních kategorií v populaci po jisté době vývoje a porovnejte ho se složkami vlastního vektoru w. Shoda je způsobena pouze tím, že matice A má jednu vlastní hodnotu, která má absolutní hodnotu největší z absolutních hodnot všech vlastních hodnot matice A, a tím, že vektorový podprostor generovaný vlastními vektory příslušnými k vlastním hodnotám k2, A3, k4 má s nezáporným orthantem jednoprvkový průnik (pouze nulový vektor). Struktura matice A však sama nezaručuje takto jednoduše předvídatelný vývoj, je totiž tzv. reducibilní (viz ??). 3.48. Model růstu populace bodláků Dipsacus sylvestris. Tuto rostlinu můžeme vidět ve čtyřech podobách. Buď jako kvetoucí rostlinu nebo jako růžici listů, přičemž u růžic můžeme rozlišit trojí velikost - malé, střední a velké. Životní cyklus této jednodomé víceleté byliny můžeme popsat následovně. Kvetoucí rostlina vyprodukuje v pozdním létě větší množství semen a uhyne. Ze semen některá vyklíčí ještě v temže roce a vyroste z nich růžice listů, nejčastěji střední velikosti. Jiná semena zůstanou v zemi a přezimují. Některá z přezimujících semen na jaře vyklíčí a vyroste z nich růžice listů; poněvadž jsou ale prezimovaním oslabena, bude tato růžice s nejvyšší pravděpodobností malá. Většina z přezimujících semen zůstane v zemi, a ta z nich, která přežijí, na jaře vyklíčí a vyrostou z nich malé růžice. Po třech nebo více zimách „spící" (odborně řečeno dormantní) semena hynou, ztrácí schopnost vyklíčit. Podle podmínek prostředí, kde rostlina roste, může malá nebo střední růžice listů do dalšího roku vyrůst, kterákoliv z růžic může zůstat ve své velikostní kategorii nebo uhynout - uschnout, být sežrána nějakým hmyzem a podobně. Střední nebo velká růžice může v následujícím roce vykvést. Kvetoucí rostlina produkuje semena a celý cyklus se opakuje. Abychom mohli předpovídat, jak rychle se bude populace uvažovaných bodláků v krajině šířit, potřebujeme popsané procesy nějak kvantifikovat. Botanici zjistili, že kvetoucí rostlina vyprodukuje průměrně 431 semen. Pravděpodobnosti klíčení různých semen, růstu růžic listů a vykvetení jsou shrnuty v tabulce: 177 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE jev pravděpodobnost semeno vyprodukované rostlinou uhyne ze semene vyroste malá růžice v temže roce ze semene vyroste střední růžice v temže roce ze semene vyroste velká růžice v temže roce ze semene přezimujícího rok vyroste malá růžice ze semene přezimujícího rok vyroste střední růžice ze semene přezimujícího rok vyroste velká růžice ze semene přezimujícího dva roky vyroste malá růžice semeno po prvním prezimovaní uhyne malá růžice přežije a nevyroste střední růžice přežije a nevyroste velká růžice přežije a nevyroste z malé růžice vyroste střední z malé růžice vyroste velká ze střední růžice vyroste velká střední růžice vykvete velká růžice vykvete 0,172 0,008 0,070 0,002 0,013 0,007 0,001 0,001 0,013 0,125 0,238 0,167 0,125 0,036 0,245 0,023 0,750 Povšimněme si, že všechny relevantní jevy v životním cyklu rostliny mají pravděpodobnost přiřazenu a že se jedná o jevy neslučitelné. Budeme si představovat, že populaci pozorujeme vždycky na začátku vegetačního roku, řekněme v březnu, a že ke všem uvažovaným jevům dochází ve zbytku času, dejme tomu od dubna do února. V populaci se vyskytují kvetoucí rostliny, růžice tří velikostí, vyprodukovaná semena a semena dor-mantní jeden nebo dva roky. Toto pozorování by mohlo svádět k tomu, že populaci rozdělíme do sedmi tříd - semena čerstvá, dormantní první rok a dormantní druhý rok, růžice malé střední a velké, kvetoucí rostliny. Avšak z vyprodukovaných semen se v temže roce vyvinou buď růžice nebo semena přezimují. Čerstvá semena tedy netvoří samostatnou třídu, jejíž velikost bychom na začátku roku mohli určit. Označme tedy: %\ (ŕ) — počet semen dormantních první rok na jaře roku ř *2(0 — počet semen dormantních druhý rok na jaře roku ř x3(t) — počet malých růžic na jaře roku t x4(t) — počet středních růžic na jaře roku t x5(t) — počet velkých růžic na jaře roku t x6(t) — počet kvetoucích rostlin na jaře roku t Počet vyprodukovaných semen v roce t je 431x6(ř). Pravděpodobnost, že semeno zůstane jako dormantní první rok, je rovna pravděpodobnosti, že ze semena nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 - (0,008 + 0,070 + 0,002 + 0,172) = 0,748. Očekávaný počet semen dormantních jednu zimu v následujícím roce tedy je Pravděpodobnost, že semeno, které již jeden rok bylo dormantní, zůstane dormantním i druhý rok je rovna pravděpodobnosti, že ze semena dormantnŕho jeden rok nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 — 0,013 — 0,007 — 0,001 — 0,013 = 0,966. Očekávaný počet semen dormantních dvě zimy v následujícím roce tedy bude Malá růžice může vyrůst ze semena bezprostředně, ze semena dormantního jeden rok nebo dormantního dva roky. Očekávaný počet malých růžic vyrostlých bezprostředně v roce t je roven xi(t + 1) = 0,748 • 431x6(ř) = 322,388x6(ř). x2(t + 1) = 0,966x!(ř). 178 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 0,008 • 431x6(ŕ) = 3,448x6(ŕ). Očekávaný počet malých růžic vyrostlých ze semen dormantních jeden a dva roky je 0,013xi (ř) a 0,010x2(ŕ). S těmito nově vyrostlými malými růžicemi jsou v populaci rostlin také malé růžice starší, které nevyrostly; těch je 0,125x3(r). Celkový očekávaný počet malých růžic tedy je x3(t + 1) = 0,013x^0 + 0,010x2(r) + 0,125x3(r) + 3,448x6(r). Analogicky určíme očekávaný počet středních a velkých růžic x4(t + 1) =0,007x^0 + 0,125x3(ř) + 0,238x4(r) + 0,070 • 431x6(r) = =0,007xi (ř) + 0,125x3 (ř) +0,238x4(ř) + 30,170x6, x5(t + 1) =0,245x4(ř) +0,167x5(ř) +0,002 • 431x6(ř) = =0,245x4 (ř) +0,167x5 (ř) +0,862x6(ř). Kvetoucí rostlina může vyrůst ze střední nebo velké růžice. Očekávaný počet kvetoucích rostlin tedy bude x6(t + 1) = 0,023x4(ř) + 0,750x5 (ř). Dospěli jsme tedy k šesti rekurentním formulím pro jednotlivé složky populace studované rostliny. Označíme nyní / 0 0 0 0 0 322,388\ (xi(t)\ 0,966 0 0 0 0 0 x2(t) 0,013 0,010 0,125 0 0 3,448 , x(ř) = x3(ř) 0,007 0 0,125 0,238 0 30,170 x4(ř) 0,008 0 0,038 0,245 0,167 0,862 x5(t) V 0 0 0 0,023 0,750 o ) \*6(0 / a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru vhodném pro výpočet x(t + 1) = Ax(ř). Pokud známe počty jednotlivých složek populace v nějakém počátečním roce t = 0, můžeme vypočítat očekávané počty rostlin a semen v letech následujících. Můžeme také počítat celkový počet jedinců 6 n(t) v čase t, n(t) = ^ Xi(t), relativní zastoupení jednotlivých složek Xi(t)/n(t), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i=\ a meziroční relativní změnu populace n(t + \)/n(t). Výsledky takového výpočtu pro patnáct let a případ, že na nějakou lokalitu jsme přesadili jednu kvetoucí rostlinu, jsou uvedeny v tabulce 1. Na rozdíl od populace velryb by nyní obrázek nebyl příliš přehledný, počty rostlin jsou oproti počtům semen zanedbatelné, v obrázku by splynuly. Matice A má vlastní hodnoty X.i = 2,3339 A2 = -0,9569 + 1,4942i A3 = -0,9569 - 1,4942i Vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě k\ je A-4 k6 0,1187 + 0,1953i 0,1187 -0,1953i -0,1274 w (0,6377, 0,2640, 0,0122, 0,0693, 0,0122, 0,0046); tento vektor je normován tak, aby součet jeho složek byl roven jedné. Vidíme, že s rostoucím časem t se relativní změna velikosti populace přibližuje vlastní hodnotě k\, relativní zastoupení jednotlivých složek populace se přibližují složkám normovaného vlastního vektoru příslušného k vlastní hodnotě 179 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE t XI x2 x3 XA x5 Xg n{t) 1 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1 322,39 0,00 3,45 30,17 0,86 0,00 356,87 2 0,00 311,43 4,62 9,87 10,25 1,34 337,50 3 432,13 0,00 8,31 43,37 5,46 7,91 497,18 4 2550,50 417,44 33,93 253,07 22,13 5,09 3 282,16 5 1 641,69 2463,78 59,13 235,96 91,78 22,42 4514,76 6 7 227,10 1585,88 130,67 751,37 107,84 74,26 9 877,12 7 23 941,29 6981,37 382,20 2486,25 328,89 98,16 34 218,17 8 31646,56 23 127,29 767,29 3 768,67 954,73 303,85 60 568,39 9 97 958,56 30570,58 1 786,27 10381,63 1 627,01 802,72 143 126,78 10 258 788,42 94627,97 4570,24 27 597,99 4358,70 1 459,04 391 402,36 11 470376,19 249 989,61 9 912,57 52970,28 10991,08 3 903,78 798 143,52 12 1258 532,41 454383,40 23 314,10 134915,73 22317,98 9 461,62 1 902 925,24 13 3 050314,29 1215 742,31 56442,70 329 291,15 55 891,57 19 841,54 4727 523,56 14 6396675,73 2946603,60 127 280,49 705 398,22 133 660,97 49 492,37 10359 111,38 15 15 955 747,76 6179188,75 299182,59 1 721 756,52 293 816,44 116469,89 24566161,94 *2(0 x3(ř) x4(ř) *s(0 x6(t) n(t + 1) ř n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 356,868 1 0,903 0,000 0,010 0,085 0,002 0,000 0,946 2 0,000 0,923 0,014 0,029 0,030 0,004 1,473 3 0,869 0,000 0,017 0,087 0,011 0,016 6,602 4 0,777 0,127 0,010 0,077 0,007 0,002 1,376 5 0,364 0,546 0,013 0,052 0,020 0,005 2,188 6 0,732 0,161 0,013 0,076 0,011 0,008 3,464 7 0,700 0,204 0,011 0,073 0,010 0,003 1,770 8 0,522 0,382 0,013 0,062 0,016 0,005 2,363 9 0,684 0,214 0,012 0,073 0,011 0,006 2,735 10 0,661 0,242 0,012 0,071 0,011 0,004 2,039 11 0,589 0,313 0,012 0,066 0,014 0,005 2,384 12 0,661 0,239 0,012 0,071 0,012 0,005 2,484 13 0,645 0,257 0,012 0,070 0,012 0,004 2,191 14 0,617 0,284 0,012 0,068 0,013 0,005 2,371 15 0,650 0,252 0,012 0,070 0,012 0,005 Tabulka i. Modelovaný vývoj populace bodláku Dipsacus sylvestris. Velikosti jednotlivých složek populace, celková velikost populace, relativní zastoupení jednotlivých složek a relativní přírůstky velikosti. x\. Každá nezáporná matice, která má nenulové prvky na stejných pozicích jako matice a je primitivní. Vývoj populace tedy zákonitě spěje ke stabilizované struktuře. 3.49. Nelineární model populace. Prozkoumejte podrobně vývoj populace pro nelineární model z učebnice (1.12) a hodnoty K = 1 a i) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(l) = 0,2 Ü) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 2 iii) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 3 iv) míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0,2 v) míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0,2 Spočítejte několik prvních členů a odhadněte, jak bude populace dále růst. Řešení. 180 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET i) Prvních deset členů posloupnosti p(n) je v následující tabulce. Odtud je vidět, že velikost populace konverguje k hodnotě 1. n P(n) 1 0,2 2 0,36 3 0,5904 4 0,83222784 5 0,971852502 6 0,999207718 7 0,999999372 Graf vývoje populace pro r = 1 a p(\) = 0, 2: ii) Pro počáteční hodnotu p(\) =2 dostaneme p(2) = 0 a dál už se populace měnit nebude. iii) Pro p(\) = 3 dostáváme n P(n) 1 3 2 -15 3 -255 4 -65535 a odtud je vidět, že populace bude klesat pode všechny meze. iv) Pro míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme n P(n) 1 0,2 2 0,552 3 1,0960512 4 0,864441727 5 1,122242628 6 0,820433675 7 1,144542647 8 0,780585155 9 1,157383491 10 0,756646772 11 1,161738128 12 0,748363958 !3 1,162657716 14 0,74660417 Vidíme, že místo konvergence dostáváme v tomto případě oscilaci-po nějaké době bude populace přeskakovat mezi hodnotami 1,16 a 0,74. Graf vývoje populace pro r = 2, 2 a p(\) = 0, 2 pak vypadá následovně: v) Pro míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme 181 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE n P(n) 1 0,2 2 0,68 3 1,3328 4 0,00213248 5 0,008516278 6 0,033847529 7 0,131953152 8 0,475577705 9 1,223788359 10 0,402179593 11 1,123473097 12 0,707316989 13 1,328375987 14 0,019755658 15 0,077851775 16 0,293224403 17 0,91495596 18 1,148390614 19 0,63715945 20 1,330721306 21 0,010427642 22 0,041384361 23 0,160399447 V tomto případě je už situace složitější-populace začne oscilovat mezi více hodnotami. Abychom lépe viděli mezi kterými, bylo by potřeba spočítat ještě víc členů. Pro členy z tabulky máme následující graf □ 3.50. V laboratoři je prováděn pokus se stejnou pravděpodobností úspěchu i neúspěchu. Pokud se pokus podaří, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu 0, 7. Jestliže skončí první pokus neúspěchem, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu pouze 0, 6. Dále se bude pokračovat v provádění pokusů, kdy úspěšnost předešlého znamená, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 7, a jeho neúspěšnost způsobí, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 6. Pro libovolné n e N stanovte pravděpodobnost, že n-tý pokus se podaří. Řešení. Zaveďme pravděpodobnostní vektor kde x\ je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu a x2 = \ —x\ je pravděpodobnost jeho neúspěchu. Podle zadání je a zřejmě také _ /0, 7 0, 6\ /l/2\ _ /l3/20\ Xl ~ {O, 3 0,4)' \l/2) ~\ 7/20 ) ■ Při označení /7/10 3/5\ V3/10 2/5J 182 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET platí ves013666 (3.7) *-« + ! T-x„, n e N, ves013665 neboť pravděpodobnostní vektor xn+\ závisí pouze na xn a tato závislost je totožná jako pro x2 a.x\. Ze vztahu (3.7) bezprostředně plyne (3.8) T T x n-l Tn-xu n > 2, n e N. Proto vyjádříme T", n e N. Jedná se o Markovův proces, a tudíž je 1 vlastní číslo matice T. Druhé vlastní číslo 0, 1 vyplývá kupř. z toho, že stopa (součet prvků na diagonále) je rovna součtu všech vlastních čísel (každé vlastní číslo bereme tolikrát, jaká je jeho algebraická násobnost). Těmto vlastním číslům pak přísluší vlastní vektory Dostáváme tak T = tj. pro n e N je 1 1 o 0 1/10 1 o 0 1/10 1" o 0 10"" Dosazení a roznásobení dává 1 (2 +10-3 V1 " 10~ Odtud, z (3.7) a (3.8) plyne 1 -i' 3 U 2 - 2 • 10"" 1 + 2 • 10"" 1 1 3 + 6-10" n e N. n e N. 6-10" Zvláště vidíme, že pro velká n je pravděpodobnost úspěchu ři-tého pokusu blízká 2/3. □ 3.51. Student na koleji je značně společensky unaven (v důsledku toho není schopen plně vnímat smyslové podněty a koordinovat své pohyby). V tomto stavu se přesto rozhodne, že na právě probíhající večírek pozve známou, která má pokoj na jednom konci chodby. Na opačném konci chodby však bydlí někdo, koho pozvat rozhodně nehodlá. Je ovšem natolik „unaven", že rozhodnutí udělat krok zvoleným směrem se mu podaří realizovat pouze v 53 ze 100 pokusů (ve zbylých 47 jde přesně na opačnou stranu). Za předpokladů, že vyjde v polovině chodby a že vzdálenost k oběma dveřím na koncích chodby odpovídá jeho 20 krokům, stanovte pravděpodobnost, že nejdříve dorazí ke správným dveřím. 183 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.52. Nechť n e N osob hraje tzv. tichou poštu. Pro jednoduchost předpokládejte, že první osoba zašeptá druhé právě jedno (libovolně zvolené) ze slov „ano", „ne". Druhá osoba pak potichu řekne třetí osobě to ze slov „ano", „ne", o kterém si myslí, že ho řekla první osoba. Takto to pokračuje až k n-té osobě. Jestliže pravděpodobnost toho, že při libovolném předání se zamění (nechtě, úmyslně) šířené slovo na to druhé, je p e (0, 1), stanovte pro velká n e N pravděpodobnost, že n-tá osoba určí správně slovo zvolené první osobou. Řešení. Na tuto úlohu lze nahlížet jako na Markovův řetězec se dvěma stavy nazvanými Ano a Ne, kdy řekneme, že proces je ve stavu Ano v čase m e N, pokud si m-tá osoba bude myslet, že předávané slovo je „ano". Pro pořadí stavů Ano, Neje pravděpodobnostní matice přechodu Součin matice Tm~ a pravděpodobnostního vektoru počáteční volby první osoby potom udává pravděpodobnosti toho, co si bude myslet m-tá osoba. Mocniny této matice ovšem počítat nemusíme, neboť všechny prvky matice T jsou kladná čísla. Navíc tato matice je dvojnásobně stochastická. Víme tudíž, že pro velká n e N bude pravděpodobnostní vektor blízký vektoru (1/2, 1 /2)T. Pravděpodobnost, že n-tá osoba řekne „ano", je proto přibližně stejná jako pravděpodobnost, že řekne „ne", a to nezávisle na tom, pro které slovo se rozhodla první osoba. Pro velký počet zúčastněných tak platí, že zhruba polovina z nich uslyší „ano" (zopakujme, že nezávisle na tom, které slovo bylo na začátku vybráno). Pro úplnost zjistěme, jak by úloha dopadla, kdybychom předpokládali, že pravděpodobnost záměny „ano" na „ne" je u libovolné osoby p e (0, 1) a pravděpodobnost záměny „ne" na „ano" je obecně odlišné q e (0, 1). V tomto případě pro stejné pořadí stavů dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu Rovněž tentokrát při dostatečném počtu lidí nezáleželo na volbě slova, kterou učinila první osoba. Stručně řečeno, v tomto modelu platí, že nezáleží na původním rozhodnutí, protože o tom, jakou informaci si lidé předávají, rozhodují oni sami; přesněji řečeno, lidé sami rozhodují o četnosti výskytu „ano" a „ne", pokud je jich dostatečný počet (a chybí-li jakékoli ověřování). Doplňme ještě, že výše uvedený závěr byl experimentálně ověřen. V psychologických pokusech byl mj. jedinec opakovaně vystaven vjemu, který šlo vnímat dvěma různými způsoby, a to v časových intervalech zaručujících, aby si subjekt pamatoval předešlý vjem. Viz např. „T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy, Praha, Academia 1981", kde je uveden experiment, v němž je zábleskem osvětlován v pevných časových odstupech nejednoznačný obraz (třeba náčrt krychle vnímatelný jako nadhled i podhled). Takový proces je totiž Markovovým řetězcem s maticí přechodu která vede (pro velká n e N) k pravděpodobnostnímu vektoru blízkému vektoru \p + q p + q což kupř. plyne z vyjádření matice kde p,q e (0, 1). □ 184 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.53. V jisté hře si můžete vybrat jednoho ze dvou soupeřů. Pravděpodobnost, že porazíte lepšího, je 1/4, zatímco horšího ze soupeřů porazíte s pravděpodobností 1/2. Soupeři ale nejsou rozlišeni, a tak nevíte, který z nich je ten lepší. Čeká Vás velké množství her (pro každou můžete zvolit jiného soupeře) a samozřejmě chcete dosáhnout celkově co největšího podílu vítězných her. Uvažte tyto dvě strategie: 1. Pro první hru si vyberete soupeře náhodně. Pokud nějakou hru vyhrajete, pokračujete se stejným soupeřem; jestliže ji prohrajete, změníte pro další hru soupeře. 2. Pro první dvě hry si vyberete (jednoho) soupeře náhodně. Dále se řídíte výsledkem předchozích dvou her, kdy na další dvě hry změníte soupeře, právě když obě předchozí prohrajete. Kterou ze strategií (moudře) zvolíte? Řešení. Obě strategie jsou vlastně Markovovým řetězcem. Pro jednoduchost horšího ze soupeřů označujme jako osobu A a lepšího ze soupeřů jako osobu B. V prvním případě pro stavy „hra s osobou A", „hra s osobou 5" (a toto jejich pořadí) dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu '1/2 3/4^ ,1/2 1/4, Tato matice má všechny prvky kladné, a proto stačí najít pravděpodobnostní vektor x^, který přísluší vlastnímu číslu 1. Platí 3 2X T .5 5, Jeho složky odpovídají pravděpodobnostem, že po dlouhé řadě her bude soupeřem osoba A, resp. B. Lze tedy očekávat, že 60 % her bude hráno proti horšímu ze soupeřů. Neboť 2 _ 3 1 2 1 5 = 5 ' 2 + 5 ' 4' vítězných her bude kolem 40 %. Pro druhou strategii zaveďme stavy „dvě hry po sobě s osobou A" a „dvě hry po sobě s osobou 5", které vedou na pravděpodobnostní matici přechodu '3/4 9/16N 1/4 1/16, Snadno určíme, že nyní je 9 4 13' 13, Proti horšímu ze soupeřů by se tak hrálo (9/4)krát častěji než proti lepšímu z nich. Připomeňme, že pro první strategii to bylo (3/2)krát častěji. Druhá strategie je proto výhodnější. Ještě poznamenejme, že při druhé strategii bude přibližně 42,3 % her vítězných. Stačí totiž vyčíslit 11 9 1 4 1 0, 423 = — =---+---. 26 13 2 13 4 □ 3.54. Petr se pravidelně setkává se svým kamarádem. Je ovšem „proslulý" svou nedochvilností. Snaží se ale změnit, a proto platí, že v polovině případů přijde včas a v jedné desetině případů dokonce ještě dříve, pokud na minulé setkání přišel pozdě. Jestliže minule přišel včas nebo dříve, než měl přijít, vrátí se ke své „bezstarostnosti" a s pravděpodobností 0,8 dorazí pozdě a pouze s pravděpodobností 0,2 včas. Jaké je pravděpodobnost, že na dvacáté setkání přijde pozdě, když na jedenácté přišel včas? 185 E. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se stavy „Petr přijde pozdě", „Petr přijde včas", „Petr přijde dříve" a s pravděpodobnostní maticí přechodu (pro uvedené pořadí stavů) /0,4 0,8 0, 8\ T = 0,5 0,2 0,2 . \0, 1 0 0/ Jedenácté setkání je určeno pravděpodobnostním vektorem (0, 1, 0)T (s jistotou víme, že Petr přišel včas). Dvacátému setkání pak odpovídá pravděpodobnostní vektor /0\ /0,571578 368\ T9 1 = 0,371316 224 . \0/ \0, 057 105 408/ Hledaná pravděpodobnost je tudíž 0, 571 578 368 (přesně). Dodejme, že je /0, 571 316224 0,571578 368 0,571578 368\ T9 = 0,371512832 0,371316224 0,371316224 . \0,057170944 0,057105 408 0,057105 408/ Odtud vidíme, jak málo záleží na tom, zda přišel na jedenácté setkáni pozdě (první sloupec), včas nebo dříve (druhý a současně třetí sloupec). □ 3.55. Dva studenti A a S tráví každé pondělní odpoledne hraním jisté počítačové hry o to, kdo z nich večer zaplatí společnou útratu v restauraci. Hra může rovněž skončit remízou, kdy večer oba platí právě polovinu útraty. Výsledek předešlé hry částečně ovlivňuje hru následující. Pokud tedy před týdnem vyhrál student A, potom s pravděpodobností 3/4 vyhraje opět a s pravděpodobností 1 /4 skončí hra remízou. Remíza se opakuje s pravděpodobností 2/3 a s pravděpodobností 1 /3 vyhraje ve hře následující po remíze student B. Pokud před týdnem vyhrál student B, pak s pravděpodobností 1 /2 své vítězství zopakuje a s pravděpodobností 1/4 vyhraje student A. Nalezněte pravděpodobnost, že dnes bude každý platit polovinu útraty, jestliže první hru před velmi dlouhou dobou vyhrál student A. Řešení. Vlastně je zadán Markovův proces se stavy „vyhraje student A", „hra skončí remízou", „vyhraje student 5" (v tomto pořadí) pravděpodobnostní maticí přechodu /3/4 0 l/4\ T = 1/4 2/3 1/4 . V 0 1/3 1/2/ Chceme najít pravděpodobnost přechodu z prvního stavu do druhého po velkém počtu n e N kroků (týdnů). Matice T je regulární, protože / 9/16 1/12 5/16 \ T2 = 17/48 19/36 17/48 . \ 1/12 7/18 1/3 / Stačí tak najít vlastní pravděpodobnostní vektor x^ matice T příslušný vlastnímu číslu 1. Snadno lze spočítat, že _ /2 3 2 X°° ~ Vř 7' 7 Víme, že vektor x^ se jen velmi málo liší od pravděpodobnostního vektoru pro velká n a téměř nezávisí na počátečním stavu, tj. pro velká n e N můžeme klást /2/7 2/7 2/7\ T" « 3/7 3/7 3/7 . \2/7 2/7 2/7/ 186 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET_ Hledaná pravděpodobnost je prvkem této matice na druhé pozici v prvním sloupci (je druhou složkou vektoru jc^). Poměrně rychle jsme nalezli výsledek 3/7. □ 187 e. doplňující príklady k cele kapitole 5. rozklady matic a pseudoinverze 3.9. 2\/3 sin(n • (tt/6)) — 4cos(n • (jr/6)). -3(-l)" - 2cos(« • (2tt/3)) - 2-v/3sin(n • ((2tt/3)). (-l)"(-2«2 + 8n -7). 2aX — 2a 3.10. xn 3.11. x„ 3.12. x„ 3.20. Leslieho matice daného modeluje (úmrtnost v první skupině označíme a) '0 2 2\ a 0 0 ^0 1 0) Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, neboli polynom X3 má mít kořen 1, t.j a — 1/4. 3.23. 1 5 4 5 Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (|, 1). Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se poměr diváků se ustálí na poměru 6:5. 3.26. Stejně jako v (3.25) skončí hra po třech sázkách. Jsou tedy opět všechny mocniny A, počínaje A3 shodné. > 100 3.37. Můžeme využít výsledku úlohy označované jako Ruinovaní hráče. Pravděpodobnost, že zanikne to oddělení, které má nyní 40 zaměstnanců, je podle tohoto příkladu rovna 1 _ ( 0.46 f 1 \ 1-0,46,/ /l 7/8 3/4 1/2 o\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \o 1/8 1/4 1/2 1/ ,25 = 0, 56. 1 _ / 0.46 \ 1 \ 1-0,46,/ Stačilo dosadit p — 1 — 0, 54, y — 10/2 a x — 40/2 do (3.6). Prozíravější je tedy zvolit v tuto chvíli menší oddělení. 3.38. • Tvrzení je pravdivé. (B := A A, bij — (i-tý řádek A ) • (j-tý sloupec A)= bji — (j-tý řádek AT) ■ (i-tý sloupec A)=(j-tý sloupec A) ■ (i-tý řádek AT) Tvrzení zřejmě neplatí. Uvažte např. A n 1 .0 1 3.40. 1 / \0 0 0 3.57. Znovu se jedná o speciální případ Ruinovaní hráče. Stačí zadání vhodně přeformulovat. Pro p — 0, 47, y — 20 a x — 20 z (3.6) plyne výsledek .20 1 0,917 = - 1 V 1-0,47 J V 1-0,47 J 188 KAPITOLA 4 Analytická geometrie poloha, incidence, projekce ? — a zase skončíme u matic... Vrátíme se teď k úlohám elementární geometrie z podobného pohledu, jako když jsme zkoumali polohy bodů v rovině v 5. části první kapitoly, viz 1.23. Budeme se nejprve zajímat o vlastnosti objektů vymezených pomocí bodů, přímek, rovin apod. Podstatné přitom bude vyjasnění, které vlastnosti závisí či nezávisí na pojmu velikosti vektorů. V další části pak použijeme lineární algebru pro studium objektů, které už lineárně definované nejsou. Opět přitom budeme potřebovat trochu více maticového počtu. Výsledky budou naprosto zásadní později při diskusi technik pro optimalizace, tj. hledání extrémů funčkních hodnot. Projektivní rozšíření afinních prostorů nám v závěru kapitoly ukáže, jak lze překvapivě dosáhnout zjednodušení i stability algoritmických postupů typických pro práci s počítačovou grafikou. 1. Afinní a euklideovská geometrie Když jsme si ujasňovali dopady obecné teorie na systémy rovnic v první části předchozí kapitoly, zjistili jsme v ostavci 3.1, že všechna řešení nehomogenních systémů rovnic sice netvoří vektorové podprostory, vždy ale vznikají tak, že k jednomu jedinému řešení přičteme celý vektorový prostor řešení příslušné homogenní soustavy. Naopak, rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je vždy řešením homogenní. Obdobně se chovají lineární difereční rovnice, jak jsme viděli již v odstavci 3.11. Návod na teoretické uchopení takové situace dává již diskuse geometrie roviny, viz odstavec 1.25 a dále. Tam jsme totiž popisovali přímky a body jako množiny řešení systémů lineárních rovnic. Přímka pro nás pak byla „jednorozměrným" prostorem, přestože její body byly popisovány dvěmi souřadnicemi. Parametricky jsme ji zadávali tak, že k jednomu bodu (tj. dvojici souřadnic) jsme přičítali násobky pevně zvoleného směrového vektoru. Stejně budeme postupovat i teď v libovolné dimenzi. ___^_j Standardní afinní prostor [ 4.1. Afinní prostory. Standarní afinní prostor A„ je množina všech bodů v W = A„ spolu s operací, kterou k bodu A = (a\,...,an) e A„ a vektoru v = (vi, ..., vn) e W = V přiřadíme bod A + v = (ai + vi, ..., a„ + v„) e R" = A„. A. Afinní geometrie 4.1. Napište parametrické vyjádření přímky určené rovnicemi x - 2y + z = 2, 2x + y - z = 5 vl3. Řešení. Zřejmě postačuje vyřešit uvedenou soustavu rovnic. Můžeme ale postupovat také odlišně. Potřebujeme totiž najít nenulový (směrový) vektor, který bude kolmý na (normálové) vektory (1, —2, 1), (2, 1, —1). Vektorový součin (1, -2, 1) x (2, 1, -1) = (1,3,5) ovšem takový vektor dává. Všimneme-li si, že např. uspořádaná trojice (x, y, Z) = (2,-1,-2) vyhovuje dané soustavě, dostaneme výsledek [2,-1,-2]+ t (1,3, 5), íel. □ 4.2. Rovinu q : [0, 3, 2, 5] + t (1, 0, 1, 0) + s (2, -1, -2, 2), í,sel ve čtyřrozměrném eukleidovském prostoru zadejte implicitně. 189 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE 4.3. Parametricky vyjádřete průnik následujících rovin v M3: er:2x+3y — z + 1 = 0 a p : x — 2y + 5 = 0. Řešení. Úkolem je najít soustavu lineárních rovnic čtyř proměnných x, y, z, u (čtyři proměnné jsou dány dimenzí prostoru), jíž budou vyhovovat právě souřadnice bodů uvedené roviny. Poznamenejme, že hledaná soustava bude obsahovat 2 = 4—2 lineárně nezávislé rovnice. Příklad vyřešíme tzv. eliminací parametrů. Body [x, y, z, u] e q splňují x = t + 2s, y = 3 — s, z = 2 + t - 2s, u = 5 + 2s, přičemž í,s é1. Odtud můžeme ihned přejít k maticovému zápisu /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 2 0 0 0 -1 5/ kde první dva sloupce jsou směrové vektory roviny, za svislou čarou následuje záporně vzatá jednotková matice a za druhou svislou čarou jsou souřadnice bodu [0, 3, 2, 5]. Tento přepis vzniká tak, že na výše uvedenou soustavu rovnic nahlížíme jako na soustavu rovnic pro neznámé t, s, x, y, z, u a všechny členy přitom převádíme na jednu stranu rovnic. Získanou matici převedeme pomocí elementárních řádkových transformací do tvaru, kdy před první svislou čarou bude maximální možný počet nulových řádků. Přičtením (—1)násobku prvního a současně (—4)násobku druhého řádku ke třetímu řádku a dvojnásobku druhého ke čtvrtému řádku dostáváme /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 \0 2 0 0 0 -1 5 ) /1 2 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 3 0 0 1 4 -1 0 -10 \0 0 0 -2 0 -1 11 ) Odkud plyne výsledek x + 4y - z - 10= 0, -2y - u + 11 = 0. Koeficienty za první svislou čarou v řádcích, které jsou před touto svislou čarou nulové, určují totiž koeficienty obecných rovnic roviny. Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: (1) A + 0 = A pro všechny body A e A„ a nulový vektor 0 e y (2) A+(v+w) = (A+v)+w pro všechny vektory v, w e V, A e A„ (3) pro každé dva body A, B e A„ existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej B — A, někdy také AB. Vektorový prostor M." nazýváme zaměření afinního prostoru Všimněme si několika formálních nebezpečí. Používáme stejný symbol „+" pro dvě různé operace: přičtení vektoru ze zaměření k bodu v afinním prostoru, ale také sčítání vektorů v zaměření V = W. Také nezavádíme zvláštní písmena pro samotnou množinu bodů afinního prostoru, tj. A„ pro nás představuje jak samotnou množinu bodů, tak i celou strukturu definující afinní prostor. Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru A„ od jeho zaměření V, když se jedná jakoby o stejné W? Jde o velice podstatný formální krok k pochopení geometrie vř: Geometrické objekty jako přímky, body, roviny apod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině W a už vůbec ne na tom, že pracujeme s n-ticemi skalárů. Potřebujeme jen umět říci, co to znamená pohybovat se „rovně v daném směru". K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat „rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, „prostorovou" pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat &-ticemi souřadnic. Tento pohled je zachycen v následující definici: Nadále nebudeme rozlišovat AaV v označení. Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B, C v afinním prostoru A (4) A - A = 0 e V (5) B - A = -(A- B) (6) (C - B) + (B - A) = (C - A). 4.1a 4.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů V, spolu se zobrazením V x V V, (A, v) A + v, splňujícím vlastnosti (l)-(3) výše. Pro libovolný pevně zvolený vektor v e V je tak definováno posunutí rv : A —> „4. jako zúžené zobrazení rv : V ~ V x {v} V, A ^ A + v. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. 190 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Skutečně, (4) vyplýva z toho, že A + 0 = 0 a takový vektor musí být jednoznačný (první a třetí definiční vlastnost). Postupným přičtením B — A a. A — B k A (v uvedeném pořadí), zjevně dostaneme podle druhé definiční vlastnosti opět A, tedy jsme přičetli nulový vektor a to dokazuje (5). Obdobně z platnosti (2) a jednoznačnosti vyplýva (6). Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu A0 e A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = Aq + x\u\ + • • • + x„u„. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq, u\, ..., u„) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a bazí zaměření u. Hovoříme také o afinním repéru (Aq, u). Slovy můžeme shrnout situaci takto: Afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq, u) jsou souřadnicemi vektoru A—Aq v bázi u zaměření V. Volba afinního souřadného systému ztotožňuje n-rozměrný afinní prostor A se standardním afinním prostorem A 4.3. Afinní podprostory. Jestliže si vybereme v A j en body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu). Dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Definice. Neprázdná podmnožina Q C A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B e Q} c V vektorovým podprostorem a pro libovolné A e Q,u e f je A + u e Q. Je podstatné mít obě podmínky zahrnuty v definici, protože je snadné najít příklady podmnožin, které budou splňovat první, ale nikoliv druhou. Přemýšlejte např. o přímce v rovině s vyjmutým jedním bodem. Pro libovolnou množinu bodů M c A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B - A; B, A e M}) c V všech vektorů generovaných rozdíly bodů z M. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). Přímo z definic je také zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M c A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Afinní podprostory si můžeme pěkně popsat pomocí jejich zaměření, jakmile si zvolíme jeden jejich bod Aq e M v generující množině bodů M. Skutečně, dostáváme (M) = {Aq + v; v e Z(M) c Z(A)}, tj. pro generování afinního podprostorů vezmeme vektorový podprostor Z (M) v Upozorněme, že kdybychom např. přepsali soustavu rovnic do matice / 1 0 0 0 0 10 0 0 0 10 V 0 0 0 1 která odpovídá situaci, kdy proměnné x, y, z, u zůstávají na levé straně rovnic, totožná úprava 1 2 0 \ 0 -1 3 1 -2 2 0 2 5/ j 1 0 0 0 1 2 0 \ / 1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 0 1 0 0 0 -1 3 0 0 1 0 1 -2 2 -i -4 1 0 0 0 -10 0 0 1 0 2 5 ) V 0 2 0 1 0 0 11 / dává výsledek ve tvaru 4y 2y + + 10, 11. Jinak řečeno, při přepisování soustavy do matice je nutné zohledňovat, zda svislá čára odděluje levou stranu rovnic od pravé (či nikoliv). Nabízí se, že metoda eliminace parametrů může být zdlouhavá a že se při jejím použití lze snadno dopustit chyb(y). V tomto příkladu jsme přitom hledali pouze dva lineárně nezávislé normálové vektory, tj. vektory kolmé na vektory (1, 0, 1, 0), (2, —1, —2, 2). Pokud bychom si uvědomili, že takovými vektory jsou např. (0, 2, 0, 1), (—1, 0, 1, 2), dosazením x = 0, y = 3, z = 2, u = 5 do rovnic 2y + u = a, —x + z + 2u = b 12, následně hledané implicitní vyjá- bychom obdrželi a dření 11, b 2y + + + u 2u 11, 12. □ 4.4. Nalezněte parametrické vyjádření roviny procházející body A = [2, 1,1], S = [3,4,5], C = [4,-2,3]. Poté parametricky vyjádřete otevřenou polorovinu obsahující bod C a vymezenou přímkou zadanou body A, B. Řešení. K parametrickému vyjádření roviny potřebujeme jeden bod ležící v této rovině a dva směrové (lineárně nezávislé) vektory. Stačí zvolit bod A a vektory B - A = (1, 3, 4) a C - A = (2, -3, 2), které jsou očividně lineárně nezávislé. Bod [x, y, z] náleží do dané roviny právě tehdy, když existují čísla í, s ě R, pro která je x =2 + \-t +2-s, y = \ +3 ■ t - 3 ■ s, z = l + 4-r + 2-s; tj. hledané parametrické vyjádření roviny je [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), (,seK. 191 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Volba s = 0 zjevně dává přímku, která prochází body A, B. Pro t = 0, s > 0 dostáváme polopřímku začínající v bodě A a procházející bodem C. Libovolně pevně zvolené t e M. a měnné s > 0 pak zadávají polopřímku s počátkem na hraniční přímce a s body v polorovině, ve které se nachází bod C. To znamená, že hledanou otevřenou polorovinu můžeme vyjádřit parametricky takto □ [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), í e 1, s > 0. 4.5. Určete vzájemnou polohu přímek p : [1,0, 3] + t (2,-1,-3), řeK, q : [1, 1, 3] + s (1,-1, -2), sel Řešení. Hledejme společné body zadaných přímek (průnik podpro-storů). Dostáváme soustavu 1 + 0 -3 - 2t t 3t 1 + 1 - 3 - s, s, 2s. Z prvních dvou rovnic vyplývá, že t = 1, s = 2. To ovšem nevyhovuje třetí rovnici. Soustava tak nemá řešení. Neboť směrový vektor (2, —1, —3) přímky p není násobkem směrového vektoru (1, —1, —2) Q- přímky q, přímky nejsou rovnoběžné. Jedná se proto o mimoběžk-y^ 61 4.6. Pro jaká čísla a e M jsou přímky p : [4, -4, 8] + ř (2, 1, -4). q : [a, 6, -5] + s (1, -3, 3) různoběžné? t e ] s e Řešení. Přímky jsou různoběžné tehdy a jenom tehdy, když má soustava 4 + 2t = a + s, -4 + t = 6 - 3s, 8 - 4t = -5 + 3s právě 1 řešení. V maticovém zápisu řešíme (první sloupec odpovídá proměnné t, druhý pak s) 2 1 ■1 a - 4 \ / 1 2 -4 1 0 0 Vidíme, že soustava má právě 1 řešení tehdy a jenom tehdy, když je druhý řádek násobkem třetího. To je splněno pouze pro a = 3. Dodejme, že průsečíkem je v tomto případě bod [6, —3, 4]. □ zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M y A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A e A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty jediného bodu A se všemi vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z(Q) je afinní podprostor v A„ a ..., uk) je báze Z(Q) c M". Pak vyjádření podprostorů Q = {A + řii 0}, (4) obecněji k- rozměrné poloprostory a = {P + t\ ■ v\ + ■■■ + tk-vk; tu...,tkeR,tk> 0}, (5) ) úhly v dvojrozměrných podprostorech = {P +1\ ■ v\ + h ■ V2\ h > 0, ř2 > 0}, atd. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal K,(M) množiny M. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K(M) = {Mi + • • • + tsAs; J^ti = L ř* > 0, Ať e M] i = l Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ř;-, i = 1, .., s\, tj, j = 1,..., s2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že si = s2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e(tlAl + --- + tsAs) + (l-e)(ťlAl + --- + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů Ai,...,As nemůže být menší než S. Samotné body A; odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j ^ i a ř;- = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A\, ..., as_i je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod a = t\A\ + • • • + tsAs é 5, í, / 1, a afinní kombinace €(fiAi + --- + fs_iAs_i) + (l-€(l-fs))As, 0 < e < T4-. řádky jsou tvořeny souřadnicemi daných vektorů, hodnost nižší než tři; v tomto případě se tedy jedná o matici která má hodnost dva). Dané body tedy leží v rovině. □ 4.10. Na kolik částí mohou dělit prostor (M3) tři roviny? Pro každou možnost popište odpovídající případ. 4.11. Rozhodněte, zda leží bod [2, 1,0] uvnitř konvexního obalu bodů [0, 2, 1], [1, 0, 1], [3, -2, -1], [-1,0, 1]. Řešení. Sestavíme nehomogenní lineární soustavu, pro koeficienty t\, h, h, t a,, afinní kombinace daných bodů, která dává první bod (jsou určeny jednozačně, pokud dané body neleží v rovině). /Ol 3 -l\ /řA Í2\ 2 0 -2 0 h _ 1 11-11 t3 ~ 0 \i i i i / w W Poslední rovnice udává, že jde o afinní kombinaci. Jejím řešením dostáváme (ři, ř2, Í3, t4) = (1,0, 1/2,-1 /2), nejedná se tedy o konvexní kombinaci, (nelze odvodit pomocí projekcí na jednotlivé osy). □ 4.12. Nalezněte předpis afinního zobrazení / daného ve standardní bázi v M2 jako /<*■*>=(o!)(::;)+(: v souřadné soustavě dané bází m = {(1, 1), (—1, 1)} a počátkem [2, 0]. Řešení. Matice přechodu od dané báze u ke standardní bázi k je 1 -1 1 1 Matici zobrazení v bázi ([2, 0], u) získáme tak, že nejprve transformujeme souřadnice v bázi ([2, 0], u) na souřadnice ve standardní bázi, tedy v bázi ([0, 0], (1, 0), (0, 1)), poté aplikujeme matici zobrazení / ve standardní bázi a na závěr výsledek transformujeme zpět do souřadnic v bázi ([2, 0], u). Transformační rovnice přechodu od suouřadnic yi, y2 v bázi ([2, 0], u) k souřadnicím x\, x2 v standardní bázi jsou Odtud máme, že 1 -1 1 1 1 -1 1 1 ::: + o 2i \ 2 2 Mt 195 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Pro předpis zobrazení pak dostáváme /(Ji, y2) 1 i ~\ \ 2 2 2 0 -1 1 2 1 0 1 + + + + □ 4 . 8 4.13. Mějme dánu standardní souřadnou soustavu v prostoru M3. Agent K sídlí v bodě S o souřadnicích [0,1,2] a ústředí mu přidělilo pro používání souřadnou soustavu s počátkem S a bází {(1, 1,0), (-1,0, 1), (0, 1,2)}. Agent Sokol bydlí domě D na kótě [1, 1, 1] a používá souřadnou soustavu s bází {(0, 0, 1), (-1,1, 2), (1, 0, 1)}. Agent K žádá Sokola o schůzku v cihelně, která leží podle jeho souřadné soustavy v bodě [1, 1, 0]. Kam má přijít Sokol (podle jeho souřadnic)? Řešení. Matice přechodu od báze agenta K k Sokolově bázi (při stejných počátcích) je /-4 2 -1 7=1 0 1 \2 -1 1 / Vektor (0, 1, 2) má tedy souřadnice T ■ (0,1, 2)T = (0, 2, 1)T, posunutím počátku (přičteme vektor (—1,0, 1)) dostáváme výsledek (-1,2,2). □ 4.14. Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné z přímek, druhý pak na druhé z nich) p : [1,1,1]+ ř(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + ř(l, 1, 1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1, 0, 0]. Řešení. Nalezneme průsečík hledané příčky s přímkou q (nazveme jej Q). Hledaná příčka obsahuje nějaký bod na přímce p a bod [1,0,0], nutně tedy leží v rovině p určené tímto bodem a přímkou p, tedy v rovině [1, 1, 1] + ř(2, 1,0) + ^(0, 1, 1). Bod Q je pak průnikem této roviny s přímkou q. Ten nalezneme vyřešením soustavy 1 + 2t = 2 +u 1 + t + s = 2 +u 1 + s = u Levé strany rovnic reprezentují postupně všechny tři souřadnice libovolného bodu roviny p, pravé pak souřadnice libovolného bodu na q Jde o úsečku s krajními body určenými parametry e = 0 (bod A,) a e = 1/(1 — řs) (bod v konvexním obalu bodů A\, ..., As_i). Bod A je vnitřním bodem této úsečky s parametrem e = 1. □ Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body Aq, ..., A* konvexního mnohostěnu v obecné poloze, dostáváme právě k-rozměrný simplex. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. Zvláštním příkladem jsou konvexní mnohostěny generované jedním bodem a konečně mnoha vektory: Nechť u\, ..., uk, jsou libovolné vektory v zaměření W, A e A„ je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Vk(A; u\, ..., uk) c A„ je množina Vk(A; u\, ..., uk) = {A + H-----h ckuk; 0 < q < 1}. Jsou-li vektory u\,...,uk nezávislé, hovoříme o k-rozměrném rovnoběžnostěnu Vk(A; u\, ..., uk) c A„. Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. 4.10. Příklady standardních afinních úloh. (l)Kpodpro-storu zadanému implicitně nalézt parametrický popis a naopak: Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Naopak, zapíšeme-li parametrický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry t\, ..., tk vyeliminovat a získáme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. (2) Nalézt podprostor generovaný několika podprostory Qi, ■ ■ ■, Qs (obecně různých dimenzí, např. v R3 nalézt rovinu danou bodem a přímkou, třemi body apod.) a zadat jej implicitně či parametricky: Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem A; v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Q = A1 + (Z({A1 Ak}) + Z(Q1) + --- + Z(QS)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na parametrický tvar. V konkrétních situacích bývají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. (3) Nalézt průnik podprostoru Q\, ..., Qs: Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jednoho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém neřešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. 196 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostorů. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostorů více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. (4) Nalezení příčky mimoběžek p, qv Aj, procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření): Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběmi mimoběžkami. Výsledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme zadán jeho bod A e r, pak afinní podprostor generovaný p a A jebuďpřímka (A e p) nebo rovina (A ^ p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny (p U A) s q a r = ({A, B}). Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q c (p D A), máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li místo bodu dán směr u e M", tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z(p) + (u) c M". Opět, pokud q c Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Q s g a úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. Řešení mnoha dalších standardních geometrických úloh spočívá v používání výše uvedených kroků. 4.11. Afinní zobrazení. Zobrazení / : A -» B mezi afinními prostory nazýváme afinní zobrazení, jestliže mezi jejich zaměřeními existuje lineání zobrazení cp : Z (A) -» Z(B) takové, že pro všechny A e A, v e Z (A) platí f(A + v) = f(A) + cp(v). Zobrazení / a cp jsou jednoznačně zadána touto vlastnostní a libovolně zvolenými obrazy (dim^l +1) bodů v obecné poloze. Pro libovolnou afmní kombinaci bodů řoAo + - • -+ts As e A pak dostaneme f(t0A0 + ■■■ + tsAs) = = /(A0 + ři(Ai - A0) + • • • + ts(As - A0)) = /(A0) + h dostáváme souřadné vyjádření afinního zobrazení / : A -» B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz f(A0) počátku souřadnic v A v souřadnicích na £>, tj. vyjádřit vektor f(A0) — Bq v bázi v jako sloupec souřadnic y0 a vše ostatní je pak určeno násobením maticí zobrazení

yo + Y ■ x, kde y0 je jako výše a F je matice zobrazení p(A,C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Aq, e) mají body A = A0+aiei-\-----\-anen, B=A0+biei~\-----Ybnen vzdálenost ^J2~2"=l(ai — bi)2. (5) Je—li dán bod A a podprostor Q v £„, pak existuje bod P e Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)1- pro libovolný B e Q. (6) Obecněji, pro podprostory 1Z a Q v £„ existují bod P e Q a Q e 1Z minimalizující vzdálenosti bodů B e Q a A e 1Z. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)1- pro libovolné body B e QaAelZ. Důkaz. První tři vlastnosti vyplývají přímo z vlastností velikosti vektorů v prostorech se skalárním součinem, čtvrtá plyne přímo z vyjádření skalárního součinu v libovolné ortonormální bázi. Podívejme se na vztah pro minimalizaci vzdleností p( A, B) pro B e Q. Vektor A — B se jednoznačně rozkládá na A — B = u\ + u2, u\ e Z(Q), u2 e Z(Q)1■. Přitom u2 nezávisí na volbě B e Q, protože případná změna bodu B se projeví přičtením vektoru ze Z(Q). Nyní zvolme P = A+(—u2) = B+ui e Q. Dostáváme ll"il|2 + ll"2l|2> \u2\ Odtud již vyplývá, že nejmenší možné vzdálenosti je skutečně dosaženo, a to právě pro náš bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2ll- Obdobně ukážeme obecný výsledek. Pro volbu libovolných bodů A e UaB e Qje jejich rozdíl dán jako součet vektorů ux e Z{11) + Z(Q) a u2 e (Z(11) + Z(Q))±, přičemž komponenta u2 nezávisí na volbě bodů. Přičtením vhodných vektorů ze zaměření 1Z&Q zjevně obdržíme body A' a B', jejichž vzdálenost je právě ||«2ll- D Rozšíříme nyní náš stručný přehled elementárních úloh v analytické geometrii. 4.14. Příklady standardních úloh. (1) Najděte vzdálenost bodu A e £n odpodprostoru Q C £„: Postup při řešení je dán ve větě 4.13. (2) V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Připomeňme, že na úrovni rovinné geometrie jsme s odchylkami vektorů již pracovali (viz např. 2.43). Najdeme vektor u e M2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v 4.19. V eukleidovském prostoru M4 stanovte vzdálenost bodu A = [2, —5, 1, 4] od podprostoru U : 4x\ — 2x2 — 3x3 — 2x4 + 12 = 0, 2xi — X2 — 2x3 — 2x4 + 9 = 0. Řešení. Nejdříve nalezneme libovolný bod podprostoru U (řešení soustavy). Např. je B = [0, 3, 0, 3] e U. Víme, že vzdálenost A od U se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do ortogonálního doplňku zaměření podprostoru U. Ortogonální doplněk zaměření U ovšem známe (zadává tento podprostor) -jako množinu (lineárních kombinací normálových vektorů) V := {t (4, -2, -3, -2) + s (2, -1, -2, -2); ř, s e R}. Potřebujeme najít kolmý průmět Pa-b vektoru A — B do V, který náleží do V, a proto je PA-B = a (4, -2, -3, -2) + b (2, -1, -2, -2) pro jisté hodnoty a, b e M. Zjevně musí platit (A — B — Pa-b) -L V, tedy ((A _ B) _ Pa_b) j_ (4; _2, -3, -2), ((A — B) — Pa-b) ±(2,-1,-2, Dosazením za A — B a Pa-b odsud vyplývá -2) ((2, -8, 1, 1) - o(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(4, -2,-3,-2) =0, ((2, -8, 1, 1) - o(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(2, -1, -2, -2)) = 0; tj- (2, -8, 1, l)-(4, -2, -3, -2) -a(4, -2, -3, -2)-(4, -2, -3, -2) -b(2, -1, -2, -2)-(4, -2, -3, -2) = 0, ((2, -8, 1, l)-(2, -1, -2, -2)) -a(4, -2, -3, -2)-(2, -1, -2, -2) -b(2, -1, -2, -2)-(2, -1, -2, -2 = 0. Vyčíslíme-li tyto skalární součiny, obdržíme soustavu 19 - 33a - 206 = 0, 20a 13b 0, 199 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE která má jediné řešení a = 3, b = — 4. Je tudíž PA-b = 3 (4, -2, -3, -2) - 4 (2, -1, -2, -2) = (4, -2, -1,2), přičemž II /Vb II = V42 + (-2)2 + (-l)2 + 22 = 5. Připomeňme, že vzdálenost A od í/ je rovna 11 Pa-b 11=5. □ 4.20. Ve vektorovém prostoru M4 spočtěte vzdálenost v bodu [0, 0, 6, 0] od vektorového podprostoru U : [0, 0, 0, 0] + h (1, 0, 1, 1) + h (2, 1, 1, 0) + ŕ3 (1, -1, 2, 3), ti,t2, h e M Řešení. Úlohu budeme řešit postupem založeným na tzv. problému nejmenších čtverců. Vektory generující U napíšeme do sloupců matice /l 2 1 \ A = 4 . 15 0 1 -1 1 1 2 \1 0 3 J a bod [0,0,6,0] nahradíme jemu odpovídajícím vektorem b = (0, 0, 6, 0)T. Budeme řešit soustavu A ■ x = b, tj. soustavu lineárních rovnic X\ + 2x2 + x3 = 0, x2 — x3 = 0, x\ + x2 + 2x3 = 6, xi + 3x3 = 0, právě metodou nejmenších čtverců. (Upozorněme, že tato soustava nemá řešení-jinak by vzdálenost byla rovna 0.) Systém A-x = b vynásobíme zleva maticí AT. Rozšířená matice soustavy A7' • A-x = AT - b pak je 3 3 6 3 6 3 6 3 15 12 Pomocí elementárních řádkových transformací ji postupně převedeme na schodovitý tvar 3 3 6 3 6 3 6 3 15 Provedeme-li ještě zpětnou eliminaci ■1 0 0 0 můžeme ihned napsat řešení x = (2 - 3ř, ř, i) T mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. (3) Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Postup je uveden v důkazu předposledního bodu věty 4.13. (4) V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A e p, B e q. Komponenta vektoru A — B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q))1- má velikost rovnu vzdálenosti p a q. (5) V £3 najděte osu dvou mimobězek p a q: Osou zde rozumíme příčku, která realizuje nejmenší možnou vzdálenost daných mimobězek pomocí bodů průniku. Opět lze postup dovodit z důkazu věty 4.13 (poslední bod). Nechť r] je podprostor generovaný jedním bodem A e p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z{q))L. Pokud nejsou přímky p a q rovnoběžné, půjde o rovinu. Pak průnik r] n q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q))1- dávají parametrický popis hledané osy. Pokud jsou přímky rovnoběžné, bude mít úloha nekonečně mnoho řešení. 4.15. Odchylky. Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £„ zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Připomeňme, že odchylku dvou vektorů jsme definovali na konci třetí části druhé kapitoly, viz 2.43. Skutečně, z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 MINI < 1, měla tedy smysl definice odchylky cp(u, v) vektorů u, v e V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem vztahem cos (p(u, v) u ■ v u v 0 < cp(u, v) < 2jt. To je zcela v souladu s praxí v dvourozměrném euklidovském prostoru M2 a naší filozofií, že pojem týkající se dvou vektorů je ve své podstatě záležitostí dvourozměrné geometrie. Ve vícerozměrných prostorech je proto odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (nebo je nula) a náš definiční vztah odpovídá zvyklostem ve všech dimenzích. V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne u — v\ |M||2 + |M|2-2(M.i;) NI2 + INI2 2IIm II II u II cos cp(u, v). To je patrně dobře známá kosinová věta z rovinné geometrie. Dále platí pro každou ortonormální bázi e_ zaměření V a nenulový vektor u e V vztah ||«||2 = této rovnice číslem ||«||2 dostáváme \u-et\ . Podělením 1 = ^(cos U2. Zobrazení ý '■ U2 -> U\ nechť vznikne podobně z kolmého průmětu na U\. Tato zobrazení mají v bazích (e\, matice ek) a ( U\ má tedy symetrickou pozitivně semidefmitní matici AT A a ý je zobrazení adjungované k cp. Viděli jsme, že každé takové zobrazení má pouze nezáporná reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále, viz 3.25 a 3.27. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = cp(U\, U2). Věta. V předchozím označení nechť X je největší vlastní hodnota matice AT A. Pak cos2 a = X 202 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Důkaz. Nechť u e ř7i je vlastní vektor zobrazení \jr o cp příslušný největší vlastní hodnotě k. Uvažme všechna vlastní čísla k\, ..., kk (včetně násobnosti) a nechť u = (u\, ..., un) je příslušná ortonormální báze U\ z vlastních vektorů. Můžeme přímo předpokládat, že A = k\, u = u\. Potřebujeme ukázat, že odchylka libovolného v e U\ od ř/2 je nejméně tak velká jako odchylka u od ř/2- Tzn. že kosinus příslušného úhlu nesmí být větší. Podle předchozího lemmatu stačí diskutovat odchylku u a cp(u) e U2 a přitom víme, že ||w|| = 1. Zvolme tedy v e U\, v = a\U\ + • • • + akuk, ELi«2 = IIHI2 = 1-Pak \\(p(v)f = (p{v) ■ (p{v) = iý o (piv)) ■ v < || V o (piv)|| ||v|| = \\Ýo(piv)\\. Předchozí lemma navíc dává i vzorec pro odchylku a vektoru v od podprostoru U2 Mv)\\ cos a Ml Mv)\l Protože jsme zvolili za k\ nej větší z vlastních hodnot a součet kvadrátů souřadnic af je jedna, dostáváme (cosa)2 = \\^)2 k\ + J]a2(A2-A2)i(A;ki), ...,Vk(A;uu ...,uk) v euklidovských podprostorech A + (u i),..., A + ("i, • • •, Uk)- Jsou-li «i, ..., uk lineárně závislé definujeme objem VolPk = 0. Jinak uvažujeme jako při Grammově-Schmidtově ortogona-lizaci («1, . . . ,Uk) = (Ui, . . . , Uk_i)®(Ui, Mí-_1)-Ln(M1, . . . , Uk). V tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako uk = u'k + ek kde ek _L {u\, ..., uk_i). Absolutní hodnotu objemu rovnoběžnostěnu definujeme induktivně tak, abychom naplnili představu, že jde o součin objemu „základny" a „výšky": |Vo1|7MA;ki) = ||ui|| | Vol\Vk(A- uu...,uk) = \\ek Hl Vol \Vk-dA; «i, ..., Kjt-i). Je-li «!,...,«„ báze souhlasná s orientací V, definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu Vo\Vk(A; uu ..., un) = | Vol\Vk(A; uu ..., un), v případě neosuhlasné báze klademe Vo\Vk(A; uu...,un) = -| Vol\Vk(A; w„). Následující tvrzení objasňuje naše dřívější poznámky, že determinant je v jistém smyslu nástroj vyjadřující objem. První tvrzení totiž říká právě, že na ^-rozměrném prostoru dostaneme objem rovnoběžnostěnu nataženého na k vektorů tak, že jejich souřadnice (v ortonormální bázi) napíšeme do sloupců matice a spočteme determinant. Výrazu ve druhém tvrzení se říká Grammův determinant. Jeho výhoda je, že je zcela nezávislý na volbě báze a zejména se s ním proto lépe pracuje v případě k menšího než je dimenze celého prostoru. Věta. Nechť Q C £„ je euklidovský podprostor a nechť (e\, ..., ek) je jeho ortonormální báze. Pak pro libovolné vektory u\, ..., uk e Z(Q) a A e Q platí 204 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (1) Vol n (A; m (2) (Vol H (A; k i Důkaz. Matice uk) = det «1 • e\ \u\-ek .. (u\ ■ U\ , uk))2 \u\ ■ ek det uk ■ ei uk ■ ek/ uk ■ U\ uk- uk uk ■ e\ uk-ekl má ve sloupcích souřadnice vektoru u \, ortonormální bázi. Platí uk ve zvolené \A\2 = \A\\A\ = \A'\\A\ = \A'A\ (U\ ■ U\ ... Uk ■ U\ = det : : \U\ • Uk . . . llk • Ukj Vidíme tedy, že pokud platí (1), platí i (2). Přímo z dennice je neorientovaný objem roven součinu |Vol|7>jt(A;Mi "*)= I|1>1||||1>2||...||U*II, kde v\ u\, v2 u2 + afvi, vk uk + a, vi H----+ Ajt-i^i-i je výsledek Grammova-Schmidtova ortogonalizač-nŕho procesu. Je tedy (v\ ■ v\ 0 (Vol n (A; k i uk)Y det det 0 \vi ■ vk ••• Vk-Vk) Vk ■ Vi\ Vk-Vk/ Označme B matici jejíž sloupce jsou souřadnice vektorů vi, ..., vk v ortonormální bázi e. Protože v\, ..., vk vznikly z u i, ..., uk jako obrazy v lineární transformaci s horní trojúhelníkovou maticí C s jedničkami na diagonále, je B = CA a \B\ = \C\\A\ = \A\. Pak ovšem \A\2 = \B\2 = \A\\A\, proto Vol Vk (A; u\, ..., uk) = ±|A|. Přitom pokud j sou vektory u\, ..., uk závislé vyjde objem nulový, pokud jsou nezávislé, pak znaménko determinantu je kladné právě když je báze u\, ..., uk kompatibilní s orientací danou bazí e. □ V geometrické formulaci dostáváme jako velice důžitý důsledek následující tvrzení: 4.20. Důsledek. Pro každé lineární zobrazení cp : V —> V euklidovského vektorového prostoru V je det cp roven (orientovanému) objemu obrazu rovnoběžnostěnu určeného vektory ortonormální báze. Obecněji, obraz rovnoběžnostěnu V určeného libovolnými dim V vektory má objem roven det cp-násobku původního objemu. Použité znaménko nerovnosti vyplývá z Cauchyovy nerovnosti, přičemž víme, že rovnost nastává právě pro ř = c(u x v), c e M. Velikost objemu hledaného rovnoběžnostěnu tedy může být maximálne rovna velikosti obsahu rovnoběžníka daného vektory u, v (tj. velikosti vektoru (u x v)). Rovnost nastane právě když (u x v) t = ±- \(u xv)\ □ 4.32. Určete patu kolmice spuštěné z bodu [0, 0, 7] na rovinu p : [0,5,3] + (l,2, l)ř + (-2, 1,1)5. 4.33. V eukleidovském prostoru M5 stanovte vzdálenost rovin Q! : [7, 2, 7, -1,1] + h (1, 0, -1, 0, 0) + sx (0, 1, 0, 0, -1), q2 : [2, 4, 7, -4, 2] + t2 (1, 1, 1, 0, 1) + s2 (0, -2, 0, 0, 3), kde t\, s\, t2, s2 e M, a poté vzdálenost rovin cti : [0, 1, 2, 0, 0] + px (2, 1, 0, 0, 1) + qx (-2, 0, 1, 1, 0), ct2 : [3, -1, 7, 7, 3] + p2 (2, 2, 4, 0, 3) + q2 (2, 0, 0, -2, -1), kde /);. c/:. p2, q2 e R. Řešení. Případ Qi, q2. Nejprve určíme ortogonální doplněk součtu zaměření zadaných dvou rovin tak, že směrové vektory rovin napíšeme do řádků matice a tuto matici pomocí elementárních řádkových transformací převedeme na schodovitý tvar. Tím dostaneme / 1 0 -1 0 0 \ / 1 0 -1 0 0 \ 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 \ 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 / 0 1 1 1 \ 0 -2 0 0 3 / Hledaný ortogonální doplněk tak je ((0, 0, 0, 1, 0)). (Pochopitelně bylo očividné, že vektor (0,0,0, 1,0) náleží do uvažovaného ortogonálního doplňku. Úpravou na schodovitý tvar jsme v ak zjistili, že ortogonální doplněk je jednodimenzionální.) Vzdálenost rovin je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A\ — A2 do pod-prostoru ((0,0,0,1,0)) pro libovolné body A\ e q\, A2 e q2. Zvolme kupř. Ai = [7, 2, 7, -1, 1], A2 = [2, 4, 7, -4, 2]. Zřejmě je kolmý průmět A, - A2 = (5, -2, 0, 3, -1) do ((0, 0, 0, 1, 0)) roven (0, 0, 0, 3, 0). Velikost vektoru (0, 0, 0, 3, 0) dává výslednou vzdálenost 3. Případ cti, ct2. Součet zaměření rovin o\, a2 je generován směrovými vektory. Označme je U\ V\ (2, 1,0, 0, 1), (2,2,4, 0, 3), u2 = (-2, 0, 1, 1,0), u2 = (2,0, 0,-2,-1). 205 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE Nalezněme body X\ e o\, X2 e a2, ve kterých se vzdálenost roviinžiia a2 realizuje. Vime, že je X] — X2 [0, 1,2,0, 0] - [3, -1,7,7,3] + qxu2 - p2vx - q2v2 (-3, 2, -5, -7, -3) + piui + qiu2 - p2vt - q2v2 a že má platit X2,ui) =0, X2, ui ) = 0, :^i xx X2,u2) =0, X2,t>2) =0, tj- ((-3, 2, -5, -7, -3), Mi) + pi (ui,ui) + qi (u2,ux) - p2 (ví, ui) - q2 (v2, ui) = 0, ((-3, 2, -5, -7, -3), u2 ) + pi {«i, u2 ) + qi {u2, u2 ) - p2 (vu u2) - q2 {v2, u2) = 0, ((-3, 2, -5, -7, -3), vi ) + pi (ui, vi ) +qi (u2, vi ) - P2 ( vu fi ) - q2 (v2, ui ) = 0, ((-3,2, -5, -7, —3), u2) +pi (uuv2) +qx (u2,v2) - P2 { vi, v2 ) - q2{v2,v2) =0. Vyčíslením těchto skalárních součinů získáváme soustavu lineárních rovnic 6pt - \qx - 9p2 - 3q2 = 7, -4pi + 6qi + 6q2 = 6, 9pi - 33p2 - q2 = 31, 3pt - 6qi - p2 - 9q2 = -11, kterou vyřešíme pomocí řádkových transformací v maticovém zápisu / V 9 3 0 -9 0 -33 -1 7 \ / 1 0 0 0 0 10 0 0 0 10 y o o o i o \ -i -i 2 ) 31 -11 / Ře ením této soustavy je tedy čtveřice (pi, qi, p2, q2) = (0, -1, -1, 2). Určili jsme Xl-X2 = (-3, 2, -5, -7, -3)-u2+Vl-2v2 = (-3, 4, -2, -4, 2). Velikost vektoru (—3, 4, —2, —4, 2) a současně vzdálenost rovin o\, a2 činí 7 = V(-3)2 + 42 + (-2)2 + (-4)2 + 22. 4.21. Vnější a vektorový součin vektorů. Předchozí úvahy úzce souvisí s tzv. vnějším tensorovým součinem vektorů. Nebudeme zacházet podrobně do této technicky poněkud nepřehledné oblasti, ale zmíníme alespoň případ vnějšího součinu n = dim V vektorů u\, ..., un e V. Nechť (u\j, ..., u„j)T jsou souřadná vyjádření vektorů u j v nějaké pevně zvolené ortonormální bázi V a. M nechť je matice s prvky (wí7). Pak determinant \M\ nezávisí na volbě báze a jeho hodnotu nazýváme vnějším součinem vektorů «i, ..., un a značíme [«i, ..., «„]. Vnější součin je tedy právě orientovaný objem příslušného rovnoběžnostěnu, viz 4.19. Přímo z definice nyní vyplývají užitečné vlastnosti vnějšího součinu (1) Zobrazení («!,..., un) \-> \u\, ..., un] je antisymet-rické ři-lineární zobrazení. Tzn., že je lineární ve všech argumentech a výměna dvou argumentů se vždy projeví změnou znaménka výsledku. (2) Vnější součin je nulový právě, když jsou vektory «i,...,m„ lineárně závislé (3) Vektory u\, ..., un tvoří kladnou bázi právě, když je jejich vnější součin kladný. V technických aplikacích ve M3 se často používá velmi úzce související operace, tzv. vektorový součin, který dvojici vektorů přiřazuje vektor třetí. Uvažme obecný euklidovský vektorový prostor V dimenze n > 2 a vektory hi,...,h„_i e V. Dosadíme-li těchto n — 1 vektorů jako prvních n — 1 argumentů n-lineárnrhho zobrazení definovaného pomocí determinantu při výpočtu objemu výše, pak nám zbude jeden volný argument, tj. lineární forma na V. Protože však máme k dispozici skalární součin, odpovídá každá lineární forma právě jednomu vektoru. Tento vektor v e V nazveme vektorový součin vektorů u\, ..., w„_i, tj. pro každý vektor w e V platí (v, «;) = [«!,..., m„_i, w]. Značíme v = u\ x ... x u„-\. Jsou-li v nějaké ortonormální bázi souřadnice našich vektorů v (vi w (Xi , xn) a. u i (u U- l«7 ) , naše definice má vyjádření yixi H-----h ynxn «ii *nl "l(n-l) x\ ln(n — l) Xn . Odtud je přímo vidět, že vektor v je zadán jednoznačně a jeho souřadnice spočteme formálním rozvojem tohoto determinantu podle posledního sloupce. Zároveň jsou přímo z definice očekávatelné následující vlastnosti vektorového součinu: Věta. Pro vektorový součin v = u\ x ... x w„_i platí (1) v e («i, ..., Un-x)1- 206 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (2) v je nenulový vektor právě, když jsou vektory u\, ..., m„_i lineárně nezávislé (3) velikost \\v\\ vektorového součinu je rovna absolutní hodnotě objemu rovnoběžníku V(0; u\, ..., w„_i) (4) (u\, ..., u„-i, v) je souhlasná báze orientovaného euklidovského prostom V. Důkaz. První tvrzení plyne přímo z definičního vztahu pro v, protože dosazením libovolného vektoru u j za w máme nalevo skalární součin v ■ u j a napravo determinant s dvěma shodnými sloupci. Hodnost matice s n — 1 sloupci u j je dána maximální velikostí nenulového minoru. Minory, které zadávají souřadnice vektorového součinu jsou stupně n—l a tím je dokázáno tvrzení (2). Jsou-li vektory u\,...,un-\ závislé, pak platí i (3). Nechť jsou tedy nezávislé, v je jejich vektorový součin a zvolme libovolnou ortonormální bázi (e\, ..., e„_i) prostoru {u\, ..., m„_i). Z již dokázaného vyplývá, že existuje nějaký násobek (\/a)v, 0 ^ a e M, takový, že (ei, ..., ek, (\/a)v) je ortonormální báze celého V. Souřadnice našich vektorů v této bázi jsou (u U- '(«-1)7 (0, 0, a)1 Proto je vnější součin \u\, vektorového součinu) ., m„_i, v] roven (viz. definice [UU m„_i, V] un "(«-1)1 0 Wl(n-l) U "(h-1)(h-1) o 0 a = {v, v) = a . Rozvojem determinantu podle posledního sloupce zároveň obdržíme a2 = a VolP(0; uu z'„_i). Odtud už vyplývají obě zbylá tvrzení věty. □ 2. Geometrie kvadratických forem V analytické geometrii roviny jsou po přímkách jako další nejjednodušší křivky na řadě tzv. kuželosečky. Jsou v kartézkých souřadnicích zadány kvadratickými rovnicemi a podle koeficientů poznáme, zda jde o kružnici, elipsu, parabolu nebo hyperbolu, případně ještě může jít o dvě přímky nebo bod (degenerované případy). Uvidíme, že naše nástroje umožní vcelku účinnou klasifikaci takovýchto objektů v libovolných konečných dimenzích i práci s nimi. 4.22. Kvadriky v £„. V analogii k rovnicím kuželoseček v rovině začneme poznámkami o objektech v euklidovských bodových prostorech, které jsou v dané ortnonormální bázi zadány kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. Vzdálenost qi od q2 jsme určovali odlišným způsobem ne vzdálenost cti od ct2. Uvedené metody jsme samozřejmě mohli použít v obou případech. Zkusme znovu vypočítat vzdálenost rovin cti , ct2 postupem použitým k vyčíslení vzdálenosti rovin q\, q2. Hledejme tedy ortogonální doplněk vektorového podprostoru generovaného vektory (2,1,0,0,1), (-2,0,1,1,0), (2,2,4,0,3), (2,0,0,-2,-1) Snadno získáme / 2 1 0 0 1 \ -2011 0 2 2 4 0 3 \ 2 0 0 -2 -1 / / 1 0 0 0 3/2 \ 0 10 0-2 0 0 10 1 \ 0 0 0 1 2 / odkud dostáváme ortogonální doplněk ((—3/2, 2, —1, —2, 1)), příp. jej raději zapišme jako ((3, —4, 2, 4, —2)). Připomeňme, e vzdálenost cti vůči CT2 se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru (rozdílu libovolného bodu cti a libovolného bodu ct2) u = (3, -2, 5, 7, 3) = [3, -1, 7, 7, 3] - [0, 1, 2, 0, 0] do tohoto ortogonálního doplňku. Označme zmíněný kolmý průmět u symbolem pu a polo me v = (3, —4, 2, 4, —2). Zřejmě je pu = a ■ v pro nějaké a e M a má platit (u — pu, v ) = 0, tj. (u, v) — a (v, v) = 0. Vyčíslení dává 49 — a ■ 49 = 0. Je tudí pu = 1 • v = v a vzdálenost rovin cti , ct2 je rovna \\Pu\\ = V32 + (-4)2 + 22 + 42 + (-2)2 = 7. Ukázalo se, že výpočet vzdálenosti pomocí ortogonálního doplňku součtu zaměření byl v předešlém příkladu „rýchlej ší cestou k výsledku". Pro roviny q\ a q2 tomu bude nepochybně stejně. Druhá metoda ovšem dává body, ve kterých se vzdálenost realizuje (body, kde si jsou roviny nejblíže). Nalezněme proto s její pomocí takové body v případě rovin q\, q2. Označme Ul = (1, 0, -1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0, -1), ui = (1, 1, 1,0, 1), v2 = (0, -2, 0, 0, 3). Body X\ e Qi, X2 e q2, ve kterých se vzdálenost rovin realizuje, můžeme vyjádřit jako Xi = [7, 2, 7, -1,1] + ri«i + siu2, X2 = [2, 4, 7, -4, 2] + t2vi + s2v2, a tedy Xl-X2= [7, 2,7,-1, 1] - [2,4, 7,-4, 2] +hui + SiU2 - t2vt - s2v2 = (5, —2, 0, 3, —1) + t\Ui + s\u2 — t2v\ — s2v2. 207 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Skalární součiny (X1-X2,u1)=0, (X1-X2,v1)=0, X2,u2) = 0, X2,v2) =0 pak vedou na soustavu lineárních rovnic 2ři = -5, 2s\ + 5s2 = 1, -4f2 - s2 = -2, -5si - t2 - \3s2 = -1 s jediným řešením t\ jsem tak 5 41 X1 = [7,2,7,-l,l]--Ml + yM2 5/2, Sl = 41/2, ř2 = 5/2, s2 9 45 19 2 2 -1, -8. Získali 39" X2 = [2,4,7, -4,2] + -v, Sv2 9 45 19 39 2' T' T' ~ ' ~T Nyní ji snadno ověříme, že vzdálenost bodů X\, X2 (a současně yzáá-lenostrovinní, 62) je II -X2|| = || (0, 0, 0, 3, 0) || =3. □ 4.34. Najděte průnik kolmé roviny spuštěné z bodu A = [1,2,3,4] e R4 na rovinu q : [1, 0, 1, 0] + (1, 2, -1, -2)s + (1, 0, 0, l)ř, s.íel. Řešení. Nalezněme nejprve kolmou rovinu k q. Její zaměření bude kolmé na zaměření q, pro vektory (a, b, c, d) patřící do jejího zaměření dostáváme tedy soustavu rovnic (a,b, c,d) ■ (1,2,-1, -2) = 0 = a+2b-c-2d = 0 (a,b,c,d) ■ (1,0, 0, 1) =0 = a+d = 0. Jejím řešením je dvojdimenzionální vektorový prostor ((0, 1, 2, 0), (—1, 0, —3, 1)). Rovina r kolmá k rovině q procházející bodem A má tedy parametrické vyjádření r : [1, 2, 3, 4] + (0, 1, 2, 0)« + (-1,0, -3, l)u, w,u e M. Průnik rovin potom můžeme získat pomocí obou parametrických vyjádření. Pro parametry popisující průnik tedy dostáváme soustavu rovnic: 1 + s + t 2s 1 -s -2s + t 1 - v 2 + u 3 + 2u 4 + v, 3v která má jediné řešení (musí tomu tak být, protože sloupce matice soustavy jsou dány lineárně nezávislými vektory zaměření obou rovin) s = -8/19, t = 34/19, u = -54/19, v = -26/19. Dosazením hodnot parametrů s a t do parametrického vyjádření roviny q pak dostaneme souřadnice průniku [45/19, —16/19, 11/19, 18/19] (stejný Zvolme v £„ pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (jci, ..., xn)T bodů A e £n / ' dijXiXj + ^ ' 2ciiXi +1 0, kde bez újmy na obecnosti můžeme rovnou předpokládat symetrii ciij = a ji. Tuto rovnici můžeme zapsat jako f(u) + g(u) +a = 0 pro kvadratickou formu / (tj. zúžení symetrické bilineární formy F na dvojice stejných argumentů), lineární formu g a skalár a e M a předpokládáme že alespoň jeden z koeficientů atj je nenulový (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). Začněme s kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou / : R" x R" -> R. Stejně dobře můžeme přemýšlet o obecné symetrické bilineární formě na libovolném vektorovém prostoru. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f(x) na vektoru x = x\e\ +• • • +xnen dána vztahem f(x) = F(x,x) = ^2xiXjF(ei,ej) xT - A kde A = (a,ij) je symetrická matice s prvky = Fie^ Cj). Takovýmto zobrazením / říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Jestliže změníme bázi 6i na jinou bázi e[, ..., e'n, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S ■ x1 (zde S je příslušná matice přechodu) a tedy f(x) = (S-x'y ■A.(S-x') (ST • A • 5) • x'. Předpokládejme opět, že je na našem vektorovém prostoru zadán skalární součin. Předchozí výpočet pak můžeme shrnout slovy, že matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy / se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je 5_1 = ST). Tento výsledek můžeme intepretovat také jako následující pozorování: Tvrzení. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah (p \-> F, F(u, u) = {(p(u), u) zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V. Důkaz. Skutečně, bilineární forma s pevně zadaným druhým argumentem je lineární formou au = F( , u) a v přítomnosti skalárního součinu je nutně dána vztahem a(u)(v) = v ■ w pro vhodný vektor w. Klademe cp(u) = w. Přímo ze vztahu v souřadnicích výše pak vyplývá, že

0 (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar a^x[2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné X\. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v\ = u\, opět dostaneme výraz f = f\ + h, kde f\ závisí pouze na x[, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(v\,v\) = an. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'22 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření / = /i+/2+^,kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buďprovedeme n—1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme /-tém kroku bude prvek au dosud získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s 7-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci a^ = 0 pro všechny j > /. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk ^ Os j > /, k > /, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ajk ^ 0. Použijeme pak transformaci v j = u j + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk — Xj, ostatní zůstávají). Pak h(vj, Vj) = h(uj, Uj) +h(uk, uk) +2h(uk, uj) = 2ajk ^ 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). □ pak totiž obdržíme

0 zatímco pro v e Q)&f(v) < 0. Nutně tedy platí P f) Q = {0} a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) < n, tj. p < q. Opačnou volbou podprostoru však získáme i q < p. Je tedy p nezávislé na volbě polární báze. Pak ovšem pro dvě matice se stejnou hodností a stejným počtem kladných koeficientů v diagonálním tvaru příslušné kvadratické formy získáme stejný analytický tvar. □ Při diskusi symetrických zobrazení jsme hovořili o defi-nitních a semidefitních zobrazeních. Tatáž diskuse má jasný 212 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE smysl i pro symetrické bilineární formy a kvadratické formy. Kvadratickou formu / forma na reálném vektorovém prostoru V nazýváme (1) positivně definitní, je-li f(u) > 0 pro všechny íí / O (2) positivně semidefinitní, je-li f(u) > 0 pro všechny u e V (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny « / O (4) negativně semidefinitní, je-li /(w) < 0 pro všechny m e (5) indefinitní, je-li /(i/) > Oa/(u) < 0 pro vhodné w, i; e y. Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu přísluané kvadratické formy. 3. Projektivní geometrie V mnoha elementárních textech o analytické geometrii autoři končí afinními a euklidovskými objekty popsanými výše. Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv. Tak třeba při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. Dalším dobrým důvodem pro hledání širšího rámce geometrických úloh a úvah je požadovaná robustnost a jednoduchost numerických operací. Daleko jednodušší jsou totiž operace prováděné prostým násobením matic a velice těžko se totiž od sebe odlišují malinké úhly od nulových, proto je lepší mít nástroje, které takové odlišení nevyžadují. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. 4.26. Projektivní rozšíření afinní roviny. Začneme tím nejjednodušším zajímavým případem, geometrií v rovině. Jestliže si body roviny A2 představíme jako rovinu z = 1 v V?, pak každý bod P naší afinní roviny představuje vektor u = (x, y, 1) e M3 a tím i jednorozměrný podprostor (u) c M3. Naopak, skoro každý podprostor v M3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Projektivní rovina V2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v M3. Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek a alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů vV2) a z (4.2) již plyne (2/3,2/3,0,2/3,1) co&cp (1,0,0,1,1) JI 3 ' tj. = 0, 49 (^28°) □ C. Geometrie kvadratických forem 4.38. Určete polární bázi formy / : M3 -2x\x2 + x| + 4x2X3 + 6x|. Řešení. Její matice je , f(xu x2,x3) = 3x2 + Podle bodu (1) Lagrangeova algoritmu provedeme úpravy 1 , 2 f(x\, x2, x3) -(3xí + x2)2 + -xf + 4x2x3 + 6x| 1,32 , = 3)? + 2(3^2 + 2ys) 1 3 ,2 , J 2 = 3*1 + ~2z2 a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 z3 = y3 = x3, z2 = -y2 + 2y3 = -x2 + 2x3, z\ = yi = 3*i + x2 Pokud by ale např. f(xi, x2, x3) = 2xix3 + x|, tj. matice je pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: yi = x2, y2 = %\, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z\ = yi, z2 = y2, z3 = y3 — y2. Pak f(xl,x2,x3) = z\ + 2z2(z3 + z2) = z2 + ^(2z2 + z3)2 - ^z2. Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). □ 4.39. Nalezněte polární bázi kvadratické formy / : je ve standardní bázi dána předpisem f(X\, X2, X3) = XiX2 + XiX3. I, která 213 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Řešení. Aplikací uvedeného Lagrangeova algoritmu dostávame: f(xX, x2, X-}) = 2xXX2 + x2x3 provedeme substituci podle bodu (4) algoritmu y2 — x2 — xx, yx — x\, y3 = 2xx(xx + y2) + (xx + y2)x3 = 2x\ + 2xiy2 + xxx3 + y2x3 = 1 1,1,1, substituce yx — 2xx + y2 + jx3 = 2yi ~2~ú- g-*? + y2*3 = ^yf - 2(-y2 - -x3y + -4 = substituce y3 = Ay2 — ix3 Příklad. V afinním prostoru M2 uvažujme dvě přímky Lx : y — x — l=0a L2:y — jc + 1 = 0. Jestliže budeme body přímek Lx a L2 chápat jako konečné X3 body v projektivním prostoru V2, budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice 1 2)f +ň V souřadnicích yx, y3, x3 má tedy daná kvadratická forma diagonální tvar, to znamená že báze příslušná těmto souřadnicím je polární bází dané kvadratické formy. Pokud ji máme vyjádřit musíme získat matici přechodu od této polární báze ke standardní bázi. Z definice matice přechodu jsou pak její sloupce bázovými vektory polární bázi. Matici přechodu získáme tak, že buď vyjádříme staré proměnné (xx, x2, x3) pomocí nových proměnných (yx, y3, x3), nebo ekvivalentně vyjádříme nové proměnné pomocí starých (což jde jednodušeji), pak ale musíme spočítat inverzní matici. Máme yx = 2xx + y2 + \x3 = 2xx + (x2 - xx) + \x3 a y3 = iy2 — ^x3 = —\x\ + \x3 — jx3. Matice přechodu od standardní báze ke zvolené polární je tedy Pro inverzní matici pak máme , . 3 3 2 -1 | J_ 4 1 3 3 2 v0 0 1 Jedna z polárních bazí dané kvadratické formy je tedy například báze {(1/3, 1/3, 0), (-2/3, 4/3, 0), (-1/2, 1/2, 1)}. □ 4.40. Určete typ kuželosečky dané rovnicí: 3x2 — 3xix2 + x2 — 1 = 0. Řešení. Pomocí algoritmu úpravy na čtverec postupně dostáváme: 3x2 - 3xíX2 + x2 - 1 = - ^x2)2 - ^ + x2 - 1 = 1 , 4 3 1 , 1 = -yf - -i-x2 - -) + - - i = V1 3 4 T 3 1 2 4 2 2 Podle uvedeného seznamu kuželoseček se tedy jedná o hyperbolu. □ Li : y 0, L2 : y - x + z = 0. Podívejme se, jak budou rovnice těchto přímek vypadat v souřadnicích v afinní rovině, která bude dána jako y = 1. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic: L[:l 0, L2: 1 x +z = 0 Nyní jsou „nekonečné" body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L[ a L2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky Lx, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu (a to v bodě (1:1: 0)). 4.27. Projektivní prostory a transformace. Postup z roviny se přirozeným způsobem zobecňuje na každou konečnou dimenzi. Volbou libovolné afinní nadroviny A„ ve vektorovém prostoru W+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P e A„ s jednorozměrnými podprostory, které tyto generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní rovinu rovnoběžnou s A„ a říkáme jim „nekonečné body" v projektivním rozšíření V„ afinní roviny A„. Zjevně je vždy množina nekonečných bodů v V„ projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Abstraktněji hovoříme o projekti-vizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme V(V) = {P C V; P je jednorozměrný vektorový podprostor}. Volbou libovolné báze w ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na V(V) tak, že pro P eV(V) použijeme jeho libovolný nenulový vektor m e V a souřadnice tohoto vektoru v bázi u. Afinní přímka má tedy ve svém projektivním rozšíření pouze jediný bod (oba konce se „potkají" v nekonečnu a projektivní přímka vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nekonečných bodů atd. Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení «-rozměrného afinního prostoru A„ C V(V). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v opačném směru v příkladu projektivní roviny. Každé prosté lineární zobrazení r : Vx -> V2 mezi vektorovými prostory samozřejmě zobrazuje jednorozměrné podprostory na jednorozměrné podprostory. Tím vzniká zobrazení na projektivizacích T : V(VX) -> V(V2). Takovým zobrazením říkáme projektivní zobrazení. Jinak řečeno, projektivní zobrazení je takové zobrazení mezi projektivními prostory, že v každé soustavě homogenních souřadnic na definičním oboru i obrazuje toto zobrazení zadáno násobením vhodnou maticí. Obecněji, pokud naše pomocné lineární zobrazení není prosté, definuje projektivní zobrazení pouze mimo 214 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE svoje jádro, tj. na bodech, jejichž homogenní souřadnice se nezobrazují na nulu. 4.28. Perspektivní projekce. Velmi dobře jsou výhody projektivní geometrie vidět na perspektivní projekci M3 -» M2. Bod (X, Y, Z) „reálného světa" se promítá na bod (x, y) na průmětně takto: X y Y 'r -f 0 0 0^ 0-/00 0 0 10; To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení Vj, -» V2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W) h» (x : y : z) = (—fX : — fY : Z), tj. popsané prostou lineární formulí (X\ Y Z W Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro všechny konečné body vM3 C V3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Navíc jsme odstranili problémy s body, jejichž obraz leží v nekonečnu. Skutečně, je-li Z-ová souřadnice skutečného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. 4.29. Afinní a projektivní transformace. Invertibilní projektivní zobrazení projektivního prostoru V„ na sebe odpovídají v homogenních souřadnicích invertibilním maticím dimenze n + í. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci právě, když se liší o konstantní násobek. Jestliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost určuje nekonečné body, budou transformace, které zachovávají konečné body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být až na první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afinních souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Matice projektivních transformací zachovávajících konečné body tedy mají tvar: /l 0 0\ kde b = (bi, ..., bn)T e W a A = (a^) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, x\, ..., xn) je právě obecná afinní transformace. 4.30. Projektivní klasifikace kvadrik. Závěrem ještě poznámka o složitějších objektech studovaných v afinní geometrii nejlépe prostřednictvím projektivních rozšíření. Jestliže popíšeme kvadriku v afinních souřadnicích pomocí obecné 4.41. Určete rovnici kuželosečky (a poté její typ), která prochází body [-2,-4], [8,-4], [0,-2], [0,-6], [6,-2]. Řešení. Do obecné rovnice kuželosečky aux2 + «22 y2 + 2ai2xy + a\x + a2y + a = 0 postupně dosadíme souřadnice zadaných bodů. Takto obdržíme soustavu 4au + 16^22 + 16^12 — 2úti — 64útn + 16^22 — 64úti2 + 8«! — 4a22 -36a22 - 36fln + 4út22 — 24úti2 + 6a\ — V maticovém zápisu provedeme úpravy (4 16 16 -2 -4 l\ 64 16 -64 8 -4 1 0 4 0 0 -2 1 0 36 0 0 -6 1 \36 4 -24 6 -2 1/ 4a2 + a = 0, 4a2 + a = 0, 2a2 + a = 0, 6a2 + a = 0, 2a2 + a = 0. 16 -2 -4 -64 8 -4 0 0 -2 0 0 -6 -24 6 -2 16 -2 -4 0 0 -2 0 4 0 0 64 -8 12 0 0 0 24 \0 0 0 0 1 \ 1 -9 -36 27 3 -2/ /48 0 0 0 0 -l\ 0 12 0 0 0 -1 0 0 64 0 0 0 0 0 0 24 0 3 \0 0 0 0 3 -2/ Hodnotu a můžeme zvolit. Zvolíme-li a = 48, dostaneme au = 1, «22 = 4, a\2 = 0, a\ = —6, «2 = 32. Kuželosečka má tudíž rovnici x2 + 4y2 -6x + 32y + 48 = 0. V této rovnici doplníme výrazy x2 — 6x, 4y2 + 32y na druhé mocniny dvojčlenů, což dává resp. (x - 3)2 + 4(y + 4)2 (x-3)2 (y+4)2 52 (I)2 25 = 0, 1 =0. Vidíme, že se jedná o elipsu se středem v bodě [3, —4]. □ 215 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 4.42. Pomocí doplnění na čtverce vyjádřete kvadriku -x2 + 3y2 + z2 + 6xy - 4z, = 0 ve tvaru, ze kterého lze vyčíst její typ. Řešení. Všechny členy obsahující x připojíme k —x2 a provedeme doplnění na čtverec. Tím získáme -(x - 3y)2 + 9y2 + 3y2 + z2 - 4z = 0. Žádné „nežádoucí" členy obsahující y nemáme, a proto postup opakujeme pro proměnnou z, což dává -(x - 3y)2 + 12y2 + (z - 2)2 - 4 = 0. Odtud plyne, že existuje transformace proměnných, při které obdržíme (rovnici můžeme nejdříve vydělit 4) rovnici -ŕ + f +-z2 -i = o. □ kvadratické rovnice, viz výše, jejím přepsáním v homogenních souřadnicích dostaneme vždy výlučně homogenní výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu. Důvod je ten, že pouze takové homogenní výrazy budou mít pro homogenní souřadnice smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (x0, x\, ..., xn). Hledáme tedy takový, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme původní výraz. To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům - žádny ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x2, ke konstantnímu členu. Získáme tak dobře definovanou kvadratickou formu na našem pomocném vektorovém prostoru W+1, ale jsme už vůči libovolné volbě báze klasifikovali. Zkuste si samostatně převést tuto klasifikaci do projektivní i afinní podoby. (Hezké a náročné cvičení na závěr semestru!) 216 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 217 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 218 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Řešení cvičení 4.3. Přímka (2ŕ, t, It) + [-5, 0, -9]. 4.3. [3,2, l][8/3, 8/3,2/3]. 4.70. 2, 3, 4, 6, 7, 8. Polohy rovin, které realizují dané počty si rozmyslete samostatně. 4.27. Pro normálový vektor (a, b, c) hledaných rovin máme rovnice a + b = 0 (kolmost na p) a volbou a — —b — 1 (vektor (0, 0, 1) nevyhovuje podmínkám, takže vhodným pronásobením můžeme dosáhnout — j, celkem pak hledané rovnice přímek jsou x — y ± Vó —1=0. 4.32. (-1,3,2). podmínky a — —b — 1) pak dostáváme z podmínky pro odchylku V3v/2+e2 219