logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Jednovýběrový t-test Jednovýběrový test rozptylu VII. Statistické testy o parametrech jednoho výběrů opakovanie logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jednovýběrové statistické testy srovnávají některou popisnou statistiku vzorku (průměr, směrodatnou odchylku) s jediným číslem, jehož význam je ze statistické hlediska hodnota cílové populace —Z hlediska statistické teorie jde o ověření, zda daný vzorek pochází z testované cílové populace. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy I H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti t t > t t t < t t |t| > t Průměr – cílová vs. výběrová populace (n-1) 1-α (n-1) α (n-1) 1-α/2 V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy II Rozptyl – cílová vs. výběrová populace H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti (n-1) nebo (n-1) V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Srovnání odhadu průměru s předpokládanou hodnotou II Aktivita enzymu v buňkách Při zjišťování aktivity enzymu v buňkách na vzorku 25 měření byl zjištěn průměr 3,5 jednotek a směrodatná odchylka 1. 1. otázka zní, zda se naměřené hodnoty našeho vzorku liší od výsledků dřívější rozsáhlé studie zaměřené na celou cílovou populaci, kde byla zjištěna průměrná aktivita 2,5 jednotky? • H0: x=m tedy test H0 zamítnuta při a£0,05 2. otázka – jakou minimální odchylku X od jiné hodnoty bychom zachytili při daných hodnotách? od jiné hodnoty bychom zachytili při daných hodnotách? 3. za předpokladu, že z praktického hlediska je významná odchylka již 0,2 jednotky, jaký minimální počet měření musíme provést, abychom ji byli schopni prokázat ? logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrový párový a nepárový t-test Neparametrické alternativy t-testu VII.b Statistické testy o parametrech dvou výběrů logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jedním z nejčastějších úkolů statistické analýzy dat je srovnání spojitých dat ve dvou skupinách pacientů. Na výběr je celá škála testů, výběr konkrétního testu se pak odvíjí od toho, zda je o srovnání párové nebo nepárové a zda je vhodné použít test parametrický (má předpoklady o rozložení dat) nebo neparametrický (nemá předpoklady o rozložení dat, nicméně má nižší vypovídací sílu). —Nejznámějšími testy z této skupiny jsou tzv. t-testy používané pro srovnání průměrů dvou skupin hodnot logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové I —Při použití two sample testů srovnáváme spolu dvě rozložení. Jejich základním dělením je podle designu experimentu na testy párové a nepárové. > —Základním testem pro srovnání dvou nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový two-sample t-test —Základním testem pro srovnání dvou závislých rozložení spojitých čísel je párový two-sample t-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové II Data Nezávislé uspořádání Párové uspořádání X1 X2 X1- X2 = D X1 X2 Design uspořádání zásadně ovlivňuje interpretaci parametrů (n = n2 = n1) logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Identifikace párovitosti (Korelace, Kovariance) X1 X2 X1 X2 X1 X2 r = 0,954 (p < 0,001) r = 0,218 (p < 0,812) Dvouvýběrové testy: párové a nepárové III logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Předpoklady nepárového dvouvýběrového t-testu —Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací —Nezávislost obou srovnávaných vzorků —Přibližně normální rozložení proměnné ve vzorcích, drobné odchylky od normality ovšem nejsou kritické, test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu, normalita může být testována testy normality —Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný (homoscedastic). Tento předpoklad je testován několika možnými testy – Levenův test nebo F-test. —Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické srovnání a ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické testy, ale poskytne prvotní představu. — 0 j(x) μ | logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet I 1.nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné, alternativní hypotéza je, že nejsou shodné, two tailed test 2.prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro zjištění odchylek od normality a nehomogenita rozptylu, provést F –test 3. F-test pro srovnání dvou výběrových rozptylů •Používá se pro srovnání rozptylu dvou skupin hodnot, často za účelem ověření homogenity rozptylu těchto skupin dat. •V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů (two tailed); v případě shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t-testu, v opačném případě není vhodné test počítat. H0 HA Testová statistika logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet II 3.Výpočet testové statistiky (stupně volnosti jsou ): 4. 4. 4. 4. 4. 4.výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a a (obvykle a=0,05) 5.Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%), počet stupňů volnosti a s2 odpovídají předchozím vzorcům 6. 3. vážený odhad rozptylu > logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrový t-test - příklad —Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou zvýšenou dávkou potravy. Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy pak 24 ovcí. •Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme 54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně staré atd.), které náhodně rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů do pokusných skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky nazývaného randomizace). Poté co experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t-testu. Pro obě proměnné jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na kterých můžeme posoudit normalitu a homogenitu rozptylu, kromě okometrického pohledu můžeme pro ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity rozptylu pak F-test •Pokud platí všechny předpoklady Two sample nepárového t-testu, můžeme spočítat testovou charakteristiku, výsledné t je 2,43 s 52 stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01, tedy t> t0,975 (52)= a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost je pak 0,018. Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny s lepší výživou. • • • • •Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% konfidenční intervaly jako 1,59±2.01*(0,655) kg, což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 kg. To, že konfidenční interval nezahrnuje 0 je dalším potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování významnosti rozdílů mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké hodnotě zamítáme v případě, kdy 95% konfidenční interval rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto případě 0). > logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Neparametrické alternativy nepárového t-testu X1 X2 ALL Rank ALL X1 rank X2 rank 27 25 25 5 6 5 35 29 29 7,5 11 7,5 38 31 31 9 13 9 37 23 23 4 12 4 39 18 18 2 14 2 29 17 17 1 7,5 1 41 32 32 10 15 10 19 19 3 3 27 6 35 11 38 13 37 12 39 14 29 7,5 41 15 Mann Whitney U-test •Stejně jako řada jiných neparametrických testů počítá i tento test s pořadím dat v souborech namísto s originálními daty. Jde o neparametrickou obdobu nepárového t-testu a z těchto neparametrických testů má nejvyšší sílu testu (95% párového t-testu). •V případě Mann-Whitney testu jsou nejprve čísla obou souborů sloučena a je vytvořeno jejich pořadí v tomto sloučeném souboru, pak jsou hodnoty vráceny do původních souborů a nadále se pracuje již jen s jejich pořadím. •Pro oba soubory je tedy vytvořen součet pořadí a menší z obou součtů je porovnán s kritickou hodnotou testu, pokud je tato hodnota menší než kritická hodnota testu, zamítáme nulovou hypotézu shody distribučních funkcí obou skupin. •Podobným způsobem je počítán i Wilcoxon rank sum test (pozor, existuje ještě Wilcoxnův párový test!!!) logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Mann – Whitney U test - příklad —17 štěňat bylo trénováno v chození na záchod metodou pozitivního posilování (pochvala, když jde na záchod venku) nebo negativního (trest, když jde na záchod doma). Jako parametr bylo měřeno, za kolik dní je štěně vycvičeno. —nulová hypotéza je, že není rozdíl v metodách tréninku, tedy, že oběma metodami je štěně vycvičeno za stejnou dobu. —po srovnání rozložení + malý počet hodnot je vhodné použít neparametrický test —je vytvořeno pořadí sloučených hodnot —pořadí hodnot v jednotlivých skupinách dat je sečteno a menší ze součtů je použit pro srovnání s kritickou hodnotou testu —výsledkem testu je p > > logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Párový dvouvýběrový t-test – příklad —Byl prováděn pokus s dietou 11 diabetických psů, každý pes byl vystaven dvěma dietám s odlišným typem sacharidů (snadno vstřebatelné X pozvolna se rozkládající na glukózu), hodnoty krevní glukózy v průběhu jednotlivých diet mají být srovnány pro zjištění vlivu diety na hladinu krevní glukózy. Protože každý pes absolvoval obě diety, jde o párové uspořádání, kdy výsledky hodnoty v obou pokusech jsou spojeny přes pokusné zvíře. 1. 1.Nulová hypotéza zní, že skutečný průměrný rozdíl mezi oběma dietami je 0, alternativní hypotéza zní, že to není 0. 2.Pro každého psa je spočítán rozdíl mezi jeho hladinou glukózy při obou dietách a měly by být ověřeny předpoklady pro one sample t-test – tedy alespoň přibližně normální rozložení. 3.Je spočítána testová charakteristika, výpočet vlastně probíhá jako one-sample t-test, kde je zjišťována významnost průměru diferencí obou souborů jako rozdíl mezi touto hodnotou a nulou (nula je hodnota, kterou by průměrná diference měla nabývat, pokud platí nulová hypotéza). T=4.37 s 10 stupni volnosti, skutečná hodnota p=0,0014 a tedy na hladině p=0,05 můžeme nulovou hypotézu zamítnout 4. 4. 4. 4. 4.Závěrem můžeme říci, že nulová hypotéza neexistence rozdílu mezi oběma dietami byla zamítnuta, což znamená, že high-fibre dieta má významný vliv na snížení hladiny krevní glukózy. 5. > logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Neparametrická obdoba párového t-testu —Wilcoxon test —Jsou vytvořeny diference mezi soubory, je vytvořeno jejich pořadí bez ohledu na znaménko a poté je sečteno pořadí kladných a pořadí záporných rozdílů. Menší z těchto dvou hodnot je srovnána s kritickou hodnotou testu a pokud je menší než kritická hodnota testu, pak zamítáme hypotézu shody obou souborů hodnot. Pro test existuje aproximace na normální rozložení, ale pouze pro velká n>25. Před zásahem Po zásahu Změna Absolutní pořadí 6 2 4 10 2,5 3 -0,5 1,5 6,3 5 1,3 6 8,1 9 -0,9 5 1,5 2 -0,5 1,5 3,4 4 -0,6 3 2,5 1 1,5 8 1,11 2 0,89 4 2,6 4 -1,4 7 1 3 -2 9 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Wilcoxonův test – příklad I člověk A B diference pořadí 1 142 138 4 4,5 2 140 136 4 4,5 3 144 147 -3 3 4 144 139 5 7 5 142 143 -1 1 6 146 141 5 7 7 149 143 6 9,5 8 150 145 5 7 9 142 136 6 9,5 10 148 146 2 2 A…….parametr krve před podáním léku B…….parametr krve po podání léku W+ …… Σ pořadí kladných rozdílů = 51 W- …… = 4 W = min(W+;W-) = 4 počet párů = n = 10 Pokud je W menší než kritická hodnota testu, pak zamítáme hypotézu shody distribučních funkcí obou skupin. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Wilcoxonův test – příklad II —Byla testována nová dieta pro laboratorní krysy, při pokusu byl zjišťován její vliv na různých liniích krys, bylo proto zvoleno párové uspořádání kdy krysy v obou dietách jsou spojeny přes svoji linii, tj. na začátku byly dvojice krys stejné linie, jedna z nich byla náhodně přiřazena k dietě, druhá z dvojice pak do druhé diety. — 1.nulová hypotéza je, že váha krys není ovlivněna použitou dietou, alternativní, že ovlivnění dietou existuje 2.spočítáme diference – tyto diference jsou nenormální a proto je vhodné využít neparametrický test 3.Spočítáme sumu pořadí kladných a záporných diferencí, zde je menší suma záporných diferencí – 31 4.výsledkem výpočtu je p>0,05 a tedy nemáme dostatečné důkazy pro zamítnutí nulové hypotézy, nelze říci, že by nová dieta byla efektivnější než stará 5.pro doplnění výsledků je vhodné zjistit také skutečnou velikost rozdílu hmotností ve skupinách, např. ve formě mediánu — logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Znaménkový test – příklad I • Párově uspořádaný experiment pro nominální data I. Dva preparáty, každý na ½ listu - sledovaná veličina: počet skvrn (hodnoceno pouze jako rozdíl) Počet skvrn A V V M V V M M V V V B M M V M M V V M M M V – větší; M – menší n = 10 listů s rozdílnými výsledky A je větší: + n+ = 7 jev B je menší: - n- = 3 min(n+; n-) = 3 II. dvě protilátky z různých zdrojů (A;B) – aplikované na vzorek s antigenem n = 10 A + + - + - + - + + - B - - + - + + - - + - n – nenulových rozdílů: 6 A: n+ = 4 A: n- = 2 min(n+; n-) = 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Znaménkový test – příklady II —Na konferenci veterinářů bylo předneseno,že průměrný čas konzultace je 12 minut. Následovala debata, zda je lepší použít medián nebo průměr. Jeden z nich se rozhodl ověřit teorii, že průměrná konzultace trvá 12 minut na vlastní praxi a zaznamenal si trvání svých 43 konzultací. K otestování hypotézy, že podíl konzultací kratších a delších než 12 minut použil znaménkový test. Délka konzultace Počet <12 22 12 6 >12 15 Celkem 43 Další výpočet probíhá obdobně jako v případě klasického znaménkového testu na diferencích dvou skupin dat. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: schéma analýzy Nezávislé uspořádání neparametrické testy testy: ANO NE ANO t-test nezávislý aproximace Man - Whitney Mediánový test normalita ? homogenita rozptylu ? NE transformace NE c2 test Kolmogorov-Smirnov test Shapiro-Wilks test F-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: schéma analýzy Párové uspořádání neparametrické testy testy: ANO Diference D t-test párový Znaménkový test Wilcoxonův test normalita ? NE transformace NE c2 test Kolmogorov-Smirnov test Shapiro-Wilks test