1
Atom vodíku
Nejjednodušší soustava: p + e
Řešitelná exaktně
Kulová symetrie
Potenciální energie mezi p + e
r
e
V
0
2
4πε
−=
2
Polární souřadnice – využití kulové symetrie atomu
Ψ(x,y,z) → Ψ(r,θ, φ) x = ?
y = ?
z = r cos θ
3
Rozklad vlnové funkce
na radiální a angulární část
Ψn, l, m (r,θ, φ) = N × Rn, l (r) × χl, m(θ, φ)
Separace proměnných
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na vzdálenosti r
od jádra
χl, m(θ, φ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce závisí na
směru θ, φ
N = normalizační konstanta
aby platilo ∫| Ψ |2 dV = +1
normalizační podmínka, elektron určitě někde je,
pravděpodobnost = 1
4
Kvantová čísla
Hlavní kvantové číslo n, (nabývá hodnot 1 až ∞)
Vedlejší kvantové číslo l, (nabývá hodnot 0 až n −1)
l = 0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g), 5 (h), ........
Magnetické kvantové číslo ml, (nabývá hodnot + l, .....0, ..... −l)
Pro každé l je (2l + 1) hodnot ml
Spinové kvantové číslo ms (nabývá hodnot ±½)
Rn, l (r) závisí na kvantových číslech n a l
χl, m(θ, φ) závisí na kvantových číslech l a ml
5
Vlastní vlnové funkce atomu H
• řešení Schrödingerovy rce
• komplexní funkce souřadnic
x, y, z nebo lépe r, φ, θ
• nemají fyzikální význam
• mohou nabývat kladných i
záporných hodnot
• | Ψ |2 má význam hustoty
pravděpodobnosti výskytu e
6
Radiální část vlnové funkce atomu H
1 (p)
1 (p)
0 (s)
l
±1
0
0
ml
2 (Z/2a0) 3/2 (1 − Zr/2a0) exp(− Zr/2a0)2 (L)
2/√3 (Z/2a0) 3/2 (Zr/2a0) exp(− Zr/2a0)2 (L)
2 (Z/a0) 3/2 exp(− Zr/a0)1 (K)
Rn, l (r)n
7
Vlastní hodnoty energie elektronu
v atomu H typu
μ = redukovaná hmotnost systému jádro-elektron
e = elementární náboj, ε0 = permitivita vakua
Z – čím vyšší náboj jádra tím silněji je elektron vázán, nižší
energie, jednoelektronové ionty (He+, Li2+,....)
n – s rostoucím hlavním kvantovým číslem se e stává méně
stabilní
Odpovídá Bohrově rovnici!!
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n
ε
μ
−=
2
2
0
n
Z
EEn −=
8
Vlastní hodnoty E elektronu v atomu H typu
E1 = −13.6 eV
(13.6 eV = 1 Ry)
Energie závisí jen na n
E2 = ?
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n
ε
μ
−=
9
Hlavní kvantové číslo n
Určuje energii hladiny
vyšší n má vyšší energii - méně
stabilní
n stejné jako v Bohrově modelu
přípustné hodnoty 1 až ∞
Pro každé n existuje n2
degenerovaných hladin
Σ (2l + 1) = n2
l = 0
l = n − 1
10
Orbitální moment hybnosti
L = orbitální moment hybnosti (vektor)
L = m × v × r = p × r
( )1+= llL h
Popisuje pohyb elektronů v
orbitalech
L
11
Vedlejší kvantové číslo l
l orbital
0 s
1 p
2 d
3 f
4 g
5 h
6 i
7 j
8 k
L = orbitální moment hybnosti
L = m × v × r
Určuje typ orbitalu, (0 až n −1)
tyto orbitaly nejsou zaplněny
elektrony u atomů v
základním stavu
( )1+= llL h
12
Magnetické kvantové číslo ml
l orbital ml
0 s 0
1 p 1, 0, −1
2 d 2, 1, 0, −1, −2
3 f 3, 2, 1, 0, −1, −2, −3
4 g nejsou zaplněny
5 h elektrony u atomů v
6 i základním stavu
π2
h
mmL llz == h
Pro každé n existuje n2
degenerovaných hladin
13
Kvantování orbitálního momentu hybnosti
( )1+= llL h
π2
h
mmL llz == h
14
1sn = 1
543210l =
hgfdps
2p2sn = 2
n = 6
n = 5
n = 4
n = 3
6s
5s
4s
3s
6h6g6f6d6p
5g5f5d5p
4f4d4p
3d3p
Pro každé n existuje n2 degenerovaných hladin
15
Magnetické spinové kvantové číslo ms
Stern-Gerlachův experiment
S = h/2π [s (s +1)]½
s = ½
SZ = ms h/2π
S = spinový
moment
hybnosti
vakuum
Nehomogenní magnetické pole
Pícka s Ag
16
Magnetické spinové kvantové číslo ms
S = h/2π [s (s +1)]½
s = ½
SZ = ms h/2π
ms = ±½
17
Ψ = vlnová funkce
Vlnové funkce Ψ jsou řešením
Schrödingerovy rovnice
| Ψ |2 = hustota
pravděpodobnosti výskytu e
| Ψ |2 dV = pravděpodobnost
výskytu e v objemu dV,
rozložení elektronové hustoty
1s
18
Pravděpodobnost výskytu elektronu
Polární souřadnice
Rn, l (r) radiální část vlnové funkce
dV = 4πr2 dr (kulová slupka tloušťky dr)
Radiální distribuční funkce
P = 4πr2 | Ψ |2 dr = 4πr2 R2
n, l (r) dr
P = Pravděpodobnost
výskytu e v objemu
tvaru kulové slupky
tloušťky dr ve vzdálenosti r
19
Vlnová funkce
Hustota
pravděpodobnosti
Radiální rozložení
(distribuční fce)
Orbital
Vlnová funkce
mění znaménko
Distribuční funkce
má někde nulové hodnoty
20
Orbital
Polohu elektronu nelze určit přesně – Heisenbergův princip
lze ale stanovit pravděpodobnost výskytu elektronu
Radiální část vlnové funkce určuje pravděpodobnost výskytu e
směrem od jádra (do r = ∞) a počet nodálních ploch = místa
nulové hodnoty distribuční funkce
Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu (počet
nodálních rovin)
21
Orbital
Každému orbitalu (vlnové funkci) přísluší hodnota energie En
En = KE + V
Nízká potenciální energie, když je elektron blízko jádra
Vysoká kinetická energie pro elektron v malém orbitalu
Δx Δp ≈ h malé Δx , velké Δp, velká v, velká KE
22
s - orbitaly
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce, závisí jen na
vzdálenosti od jádra r
χl, m(θ, φ) = angulární (úhlová) část vlnové funkce, je
konstanta pro s-orbitaly (l = 0) = KULOVÝ TVAR
23
Atomový orbital 1s
Rn, l (r)
n = 1, l = 0
Vlnová funkce 1s
24
Radiální distribuční funkce
Rn, l (r) = radiální část vlnové funkce atomu H
4πr2 R2
n, l (r) = radiální distribuční funkce
rmax = nejpravděpodobnější poloměr
pro 1s rmax = a0 Bohrův poloměr
4πr2 R2
n, l (r)
25
4πr2R2
n,l(r)=radiálnídistribučnífunkce
26
27
Uzlové (nodální) plochy v radiální distribuční
funkci
Počet kulových uzlových (nodálních) ploch = n − l −1
Uzlová (nodální) plocha
• Vlnová funkce mění znaménko
• Radiální distribuční funkce nabývá nulové hodnoty
28
Účinek Z na radiální část vlnové funkce s
S rostoucím nábojem jádra se poloha maxima
pravděpodobnosti výskytu e přibližuje k jádru
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
0
3
0
ln, exp2(r)R
a
Zr
a
Z
Radiální distribuční funkce 1s
29
4πr2 (Rnl)2
30
Angulární část vlnové funkce p orbitalů
Angulární část vlnové funkce určuje tvar orbitalu
Stejná pro všechny hodnoty n
31
p - orbitaly
n = 2, l = 1, m = 1,0,−1
Angulární část vlnové funkce určuje tvar
Stejná pro všechny hodnoty n
32
p - orbitaly
x
y
z
pz
py
px
33
n = 2, l = 1, m = 0 n = 3, l = 1, m = 0
2p - orbitaly 3p - orbitaly
34
35
2p - orbitaly 3p - orbitaly
Vlnové funkce = Radiální × Angulární část
+
−
+
+
−
−
36
Angulární část vlnové funkce d orbitalů
37
d - orbitaly
dZ2
dX2-Y2
dXY
dXZ
dYZ
38
d - orbitaly
x
y
z
dZ2 x
y
z
dYZ
x
y
dX2-Y2
x
y
dXY
39
f - orbitaly
40
f - orbitaly
41
Uzlové (nodální) plochy a roviny
Kulové uzlové (nodálních) plochy = n − l −1
Platí pro s, p, d, f,....
radiální část vlnové funkce
Uzlové (nodálních) roviny
angulární části vlnové funkce :
Orbital Počet
s 0
p 1
d 2
f 3
. .
. .
Pouze s-orbitaly
mají nenulovou
hodnotu vlnové
funkce na jádře
42
Energie orbitalů v H atomu
Energeticky degenerované hladiny
n
2
2
22
0
4
8 n
Z
h
eN
E A
n
ε
μ
−=
Energie závisí pouze na n
43
Emisní spektra atomů H
Degenerované hladiny –
Neštěpené čáry ve spektru H
3p → 2s = 3d → 2p
44
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Ve víceelektronových atomech nejsou
energetické hladiny degenerované
Energie závisí na n a l
45
Energie orbitalů ve víceelektronových atomech
Stabilnější orbital
(nižší energie)
Madelungovo pravidlo
(platí po Ca)
1. Nižší (n + l)
2. Při rovnosti n + l
nižší n
3p 4s
4p 3d
46
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
2s a 2p penetrují 1s
2s penetruje více než 2p
E(2s) < E(2p)
ale maxima r(2s) > r(2p)
1s
2p 2s
47
Víceelektronové atomy – Penetrace a stínění
Čím se elektron průměrně nachází blíže k jádru, tím je
pevněji vázán a má nižší energii
E(2s) < E(2p)
r(2s) > r(2p)
48
Relativní energie orbitalů s, p, d
E(3s) < E(3p) < E(3d)
r(3s) > r(3p) > r(3d)
49
Slaterovy orbitaly
Orbitaly pro víceelektronové atomy - přibližné
• orbitaly (vlnové funkce) vodíkového typu
• azimutální část: stejná jako u H
• radiální část:
R (r) = N r n*−1 exp(− Z* r/n*)
Z* = efektivní náboj jádra
Náboj působící na elektron = náboj jádra (Z+) – náboj ostatních el.
n* = efektivní kvant. číslo (pro K, L, M = n)
Ei = − N (Z*i /ni) N = 1313 kJ mol −1
50
Efektivní náboj jádra
Z* = Z − σ
σ = stínící konstanta, součet pro všechny elektrony
(1s)(2s,2p)(3s,3p)(3d)(4s,4p)(4d)(4f)(5s,5p)(5d)(5f)...
Slaterova pravidla:
e napravo nestíní, nepřispívá k σ
Uvnitř skupiny stíní 0.35 (1s jen 0.30)
n − 1 (s,p) stíní 0.85
n − 2 a nižší stíní 1.00
Pokud je elektron v d nebo f, vše nalevo stíní 1.00
51
Efektivní náboj jádra
Z* = efektivní náboj jádra
Z* = Z − σ
Náboj působící na elektron = náboj jádra (Z+) – náboj
ostatních elektronů
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8(3d)1
σ(3d) = 0 x (0.35) + 8 x 1.00 + 10 x 1.00 = 18
Z* = 19 − 18 = 1
K (1s)2(2s,2p)8(3s,3p)8 (4s)1
σ(4s) = 0 x (0.35) + 8 x 0.85 + 10 x 1.00 = 16.8
Z* = 19 − 16.8 = 2.2
52
0
2
4
6
8
10
12
14
16
H He Li Be Be C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr
Efektivní náboj jádra
Efektivní náboj
Z* He (1s)2
σ(1s) = 1 x (0.30) = 0.30
Z* = 2 − 0.30 = 1.70
53
Efektivní náboj
Z*
1s elektrony nejsou stíněny
Ostatní
elektrony ve
vyšších
orbitalech
jsou stíněny
54
Poloměr maximální
elektronové hustoty
r(2s) > r(2p)
r(3s) ~ r(3p)
55
Energie orbitalů 2s a 2p
Blízká pro lehké prvky
56
Elektronová konfigurace atomu v základním
stavu
Aufbau (výstavbový) princip:
Elektronové hladiny se zaplňují
elektrony v pořadí rostoucí
energie tak, aby měl atom co
nejnižší celkovou energii
Pauliho princip:
Žádné dva elektrony nemohou mít
všechna 4 kvantová čísla stejná.
Hundovo pravidlo:
V degenerovaných orbitalech je
stav s max. počtem nepárových
spinů nejstabilnější.
57
58
Elektronová konfigurace C
59
Elektronová konfigurace valenční slupky
(Ne)
60
Energie
orbitalu
Obsazení orbitalů
elektrony může
změnit pořadí energií
Počínaje Sc,
3d orbitaly mají nižší
energii než 4s
61
4s
62
63
Elektronová konfigurace valenční slupky
(Ar)
64
Ionizační energie