1. Hledání extrémů funkce dvou proměnných
Vyšetřete lokální extrémy funkce: $ z = x^2 + y^2 -2x -4y +12 $
Vyšetřete lokální extrémy funkce: $ x^2 y^2 - x^2 - y^2 $
Vyšetřete lokální extrémy funkce: $ z = (3x -x^3)(y^2 + 1) $
Vyšetřete lokální extrémy funkce: $ z = xy(4-x-y) $
Řešení:
$ z = x^2 + y^2 -2x -4y +12 $
Parciální derivace prvního řádu
$ z_x = 2x -2 $
$ z_y = 2y -4 $
Podezřelý bod: A[1;2]
Parciální derivace druhého řádu:
$ z_{xx} = 2 $
$ z_{xy} = 0 $
$ z_{yx} = 0 $
$ z_{yy} = 2 $
Hessián: $ 2 \cdot 2 - 0 > 0 $ , tedy v bodě A je lokální extrém a protože $ z_{xx} > 0 $ jedná se o lokální minimum.
$ z = x^2 y^2 - x^2 - y^2 $
Parciální derivace prvního řádu:
$ z_x = 2xy^2 - 2x $
$ z_y = 2yx^2 - 2y $
Podezřelé body: A[0;0], B[1;1], C[1;-1], D[-1;1], E[-1;-1]
Parciální derivace druhého řádu:
$ z_{xx} = 2y^2 -2 $
$ z_{xy} = 4xy $
$ z_{yx} = 4xy $
$ z_{yy} = 2x^2 -2 $
Hessián má tvar: $ (2y^2 -2)(2x^2 -2) - 16x^2 y^2 $
Lokální maximum v bodě A[0;0].
$ z = (3x -x^3)(y^2 + 1) $
Parciální derivace prvního řádu:
$ z_x = (3-3x^2)(y^2 + 1) $
$ z_y = 2y(3x - x^3) $
Podezřelé body: A[1;0], B[-1;0]
Parciální derivace druhého řádu:
$ z_{xx} = -6x(y^2 +1) $
$ z_{xy} = 2y(3-3x^2) $
$ z_{yx} = 2y(3-3x^2) $
$ z_{yy} = 2(3x-x^3) $
Hessián: $ (-6x(y^2 +1))(2(3x-x^3)) - (2(3x-x^3))^2 $
Extrém není v žádném nalezeném bodě.
$ z = xy(4-x-y) $
Parciální derivace prvního řádu:
$ z_x = y(4-x-y) - xy $
$ z_y = x(4-x-y) -xy $
Podezřelé body: $ A[0;4] $ , $ B[4;0] $ , $ C[0;0] $ , $ D[\dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}] $ .
Parciální derivace druhého řádu:
$ z_{xx} = -2y $
$ z_{xy} = 4 -2y -2x $
$ z_{yx} = 4 -2y -2x $
$ z_{yy} = -2x $
Hessián: $ 4xy - (4 -2y -2x)^2 $
Lokální minimum v bodě $ D[\dfrac{4}{3}; \dfrac{4}{3}] $ .