6.1.1 Teorie

Doposud jsme řešili rovnice typu $ \displaystyle{f(x) = 0} $ , kde $ f(x) $ je libovolná funkce jedné proměnné. Řešením této rovnice bylo reálné číslo $ \alpha $ , případně množina čísel, která danou funkci splňují.

Nyní se podíváme na trochu jiný typ rovnic. Tyto rovnice jsme potkávali už dříve, zejména ve fyzice, ale většinou jsme viděli až jejich konkrétní řešení. Řešením diferenciálních rovnic není číslo, ani množina čísel, ale funkce. Problém si přiblížíme na následujícím příkladě. Pokusme se najít takovou funkci, aby její derivace byla rovna dvojnásobku její funkční hodnoty v každém bodě d jjejího definičního oboru. Tento problém můžeme matematicky zapsat následovně.

nebo také zkráceně:

Můžeme tedy říci, že diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí a jejími derivacemi.

Jak tedy budeme danou rovnici řešit? V tomto kurzu se naučíme řešit nejjednodušší typy diferenciálních rovnic a to diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Jak už vyplývá z názvu, budeme při řešení těchto rovnic oddělovat od sebe jednotlivé proměnné a po té budeme rovnici integrovat. Při řešení budeme tedy potřebovat znalosti z integrálního počtu funkce jedné proměnné. Jak už víme z integrování funkce jedné proměnné, při hledání primitivní funkce existuje nekonečně mnoho řešení, která se liší o tzv. integrační konstantu. Tato skutečnost se samozřejmě projeví i při řešení diferenciálních rovnic. Pokud tedy existuje nějaké řešení diferenciální rovnice, existují i další řešení, která se od nalezeného liší o nějakou konstantu. Při hledání všech řešení zadané diferenciální rovnice tedy hovoříme o obecném řešení diferenciální rovnice. Pokud ale máme na počátku zadané nějaké omezující podmínky pro zadané řešení, většinou nalezneme pouze jedno konkrétní řešení, a hovoříme o partikulárním řešení diferenciální rovnice, které splňuje zadané podmínky řešení. V tomto případě musíme nalézt konkrétní hodnotu integrační konstanty uvedené v obecném řešení.

Podívejme se tedy na naši diferenciální rovnici. Ještě je třeba připomenout, že derivaci funkce $ y´ $ lze také zapsat pomocí diferenciálů závislé a nezávislé proměnné $ y $ a  $ x $ , tedy $ \dfrac{dy}{dx} $ . Tento zápis budeme používat při řešení diferenciálních rovnic.

Obě strany rovnice integrujeme:

Integrační konstanty na obou stranách rovnice jsme spojili do jedné:

Pro lepší vyjádření závislosti převedeme $ \ln y $ na $ y $ odlogaritmováním obou stran rovnice.

Pro přehlednost můžeme vyjádřit konstantu $ e^c $ jako $ K $ .

Obecným řešením zadané diferenciální rovnice je tedy rovnice:

kde $ K $ je libovolné reálné číslo. Zadaná rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, jejichž část si můžeme znázornit graficky:

Obr. 1: Grafické znázornění části řešení diferenciální rovnice $ y´=2y $ .