Řešení:

1. krok

   Nejdříve určíme definiční obor funkce. Jedná se o  racionální lomenou funkci, která má smysl v případě kdy je jmenovatel zlomku nenulový. Nalezneme tedy taková $ x $ , kdy je jmenovatel roven 0 a tyto vyloučíme z definičního oboru. Výraz $ x-1 = 0 $ je splněn pro $ x=1 $ . Definičním oborem funkce jsou tedy všechna reálná čísla, kromě 1. $ D(f)=\mathbb{R} - \{1\} $ . Protože z definičního oboru funkce vypadává jeden bod (1), ale opačný bod (-1) do definičního oboru patří, není splněna základní podmínka pro sudou nebo lichou funkci. Zadaná funkce tedy není ani \textbf{sudá} ani \textbf{lichá}. Funkce rovněž není periodická. Určení průsečíku s osami je velmi jednoduché. Dosadíme-li za $ x=0 $ do dané funkce, zjistíme že funkční hodnota $ y=-3 $ . Průsečík s osou $ y $ má souřadnice [0;-3]. Průsečík s osou $ x $ je řešením rovnice $ 0= \dfrac{2x+3}{x-1} $ . Řešením této rovnice je $ x=- \dfrac{3}{2} $ . Průsečík s osou $ x $ má tedy souřadnice [-3/2;0].

   Nakonec se podíváme na to, kdy jsou funkční hodnoty dané funkce kladné a kdy záporné. Nulovým bodem je průsečík s osou $ x $ , tedy $ x=- \dfrac{3}{2} $ . Započtením bodu nespojitosti zadané funkce máme definiční obor rozdělený na 3 intervaly: $ (-\infty, - \dfrac{3}{2}), \langle - \dfrac{3}{2};1), (1; \infty) $ . Nyní určíme znaménka funkce v daných intervalech. V  intervalu $ (-\infty, - \dfrac{3}{2}) $ nabývá čitatel zlomku záporných hodnot a jmenovatel také, výsledkem je tedy kladná hodnota zlomku pro všechna $ x $ z tohoto intervalu. V tomto intervalu je graf funkce nad osou $ x $ . V intervalu $ \langle - \dfrac{3}{2};1) $ nabývá čitatel kladných hodnot a jmenovatel záporných hodnot. Výsledkem je tedy záporná funkční hodnota zlomku. V tomto intervalu je graf funkce pod osou $ x $ (v nulovém bodě $ - \dfrac{3}{2} $ protíná osu $ x $ ). V posledním intervalu definičního oboru nabývají jak čitatel, tak jmenovatel kladných funkčních hodnot, takže výsledkem je kladná funkční hodnota zlomku na celém intervalu a graf dané funkce se nachází opět nad osou $ x $ . Výsledek si můžeme znázornit graficky na následujícím obrázku.

   

   Obr. 1: Grafické znázornění znaménka funkčních hodnot funkce $ y=\dfrac{2x+3}{x-1} $

2. krok

   Vypočítáme první derivaci funkce. Jedná se o derivaci racionální lomené funkce, takže budeme postupovat jako při derivování podílu dvou funkcí.

   $$ f ^\prime (x) = \dfrac{(2x+3)^ \prime . (x-1) - (2x+3) . (x -1) ^ \prime}{(x-1)^2} = \dfrac{2 . (x-1) - (2x+3) . 1}{(x-1)^2}= $$
   $$ = \dfrac{2x -2 -2x -3}{(x-1)^2} = \dfrac{-5}{(x-1)^2} $$

   Výsledná funkce nemá žádný nulový bod, má pouze jeden bod nespojitosti a to $ x=1 $ . Musíme tedy vyšetřit kladné a  záporné funkční hodnoty derivace ve dvou intervalech: $ (- \infty, 1) $ a  $ (1, \infty) $ . Pro oba intervaly platí, že čitatel funkce je záporný a jmenovatel je vždy kladný (druhá mocnina je vždy kladné číslo), výsledkem je tedy, že první derivace funkce je v celém definičním oboru záporná a funkce je v celém oboru klesající. Funkce nemá žádné lokální extrémy. Výsledek je graficky znázorněn na následujícím obrázku.

   

   Obr. 2: Grafické znázornění znaménka první derivace funkce $ y=\dfrac{2x+3}{x-1} $ s vyznačenými intervaly rostoucích a  klesajících částí

3. krok

   Zjistíme, kdy je graf funkce konvexní (nad tečnou) a kdy je konkávní (pod tečnou). K tomu potřebujeme znát druhou derivaci funkce.

   $$ f ^{\prime \prime} (x) = (f^ \prime (x))^ \prime = (\dfrac{-5}{(x-1)^2})^ \prime $$

   Na funkci můžeme nahlížet jako $ -5 $ násobek funkce $ (x-1)^{-2} $ a tak ji můžeme i derivovat.

   $$ (-5 . (x -1)^{-2})^ \prime = -5 . (-2) . (x-1)^{-3} . 1 = \dfrac{10}{(x-1)^3} $$

   $ -5 $ je konstanta, kterou jsme vytkli před derivaci, zbytek výrazu je složená funkce, kde vnější funkcí je -2 druhá mocnina a vnitřní funkcí je $ x-1 $ . Výsledná funkce nemá opět nulové body a má jen jeden bod nespojitosti a to je $ x=1 $ . Vyšetřujeme tedy opět dva intervaly: $ (- \infty, 1) $ a  $ (1, \infty) $ . Pro oba intervaly je čitatel zlomku vždy kladný, ale jmenovatel mění znaménko právě v bodě nespojitosti. Pro $ x < 1 $ je jmenovatel záporný a pro $ x > 1 $ je kladný. V  prvním intervalu je tedy graf funkce pod tečnou a ve druhém nad tečnou. Druhá derivace funkce nemá nulový bod, proto nemá funkce ani body inflexe. Výsledek tohoto kroku je graficky znázorněn na obrázku.

   

   Obr. 3: Grafické znázornění znaménka druhé derivace funkce $ y=\dfrac{2x+3}{x-1} $ s vyznačenými intervaly konvexních a  konkávních částí

4. Nyní nám zbývá určení asymptot ke grafu funkce. Zadaná funkce má jeden bod nespojitosti, kterým může procházet asymptota bez směrnice. Její existenci ověříme pomocí limit z  funkce pro $ x $ jdoucí k bodu nespojitosti zleva a zprava.

   $$ \lim _{x \rightarrow 1^-}\dfrac{2x+3}{x-1} = - \infty $$
   $$ \lim _{x \rightarrow 1^+}\dfrac{2x+3}{x-1} = \infty $$

   Přímka $ x=1 $ je tedy asymptotou bez směrnice ke grafu funkce $ y=\frac{2x+3}{x-1} $ . Nyní vyšetříme existenci asymptoty se směrnicí. Pro směrnici asymptoty platí vztah:

   $$ k = \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x} $$
   Určíme tedy limity pro $ x $ jdoucí do nekonečna.
   $$ k = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+3}{x(x-1)} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+3}{x^2 -x} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{x}{x^2}}= \dfrac{0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0 $$
   $$ k = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x+3}{x(x-1)} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x+3}{x^2 -x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x^2} + \dfrac{3}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{x}{x^2}}= \dfrac{0+0}{1-0}=\dfrac{0}{1}=0 $$

   Koeficient $ q $ asymptoty se směrnicí určíme následujícího vzorce:

   $$ q = \lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x) - kx $$

   Protože v našem případě je směrnice rovna 0, budeme počítat pouze limity dané funmce.

   $$ q = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+3}{x-1} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x}+ \dfrac{3}{x}}{\dfrac{x}{x}- \dfrac{1}{x}} = \dfrac{2 +0}{1 -0} = \dfrac{2}{1} = 2 $$
   $$ q = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x+3}{x-1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{2x}{x}+ \dfrac{3}{x}}{\dfrac{x}{x}- \dfrac{1}{x}} = \dfrac{2 +0}{1 -0} = \dfrac{2}{1} = 2 $$

   Asymptota se směrnicí má tedy tvar $ y=2 $ . Je to tedy přímka rovnoběžná s osou $ x $ protínající osu $ y $ v bodě $ [0,2] $ .

5. Nyní již můžeme shrnout všechny indicie a můžeme načrtnout graf funkce. Protože zde máme pouze jeden průsečík s  osou, vyznačíme jej do souřadného systému. Potom vyznačíme asymptoty a podle vypočítaných limit můžeme nakreslit graf v  blízkosti asymptoty bez směrnice. Kladné a záporné funkční hodnoty zadané funkce, její rostoucí a klesající úseky a  konvexnost a konkávnost nás povedou v kreslení grafu. Výsledek je zobrazen na obrázku.

   

   Obr. 4: Graf funkce $ y=\dfrac{2x+3}{x-1} $ s vyznačenými asymptotami $ x=1 $ a  $ y=2 $

Řešení:

1. $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1;0\} $ . Jmenovatel nesmí být rovný 0, proto nesmí být $ x $ rovno 0, nebo $ x+1 $ rovno 0.

   Funkce není ani sudá ani lichá vzhledem k definičnímu oboru funkce.

   Není periodická.

   Průsečíky s osami: Dosadíme $ x=0 $ - průsečík s osou $ y $ , $ y=0 $ - průsečík s osou $ x $ . Pro $ x=0 $ není funkce definována, takže nemá průsečík s osou $ y $ . Pro průsečík s osou $ x $ nám stačí položit polynom v čitateli roven 0 a zjistíme, že řešením je $ x=- \dfrac{1}{2} $ .

   Znaménka funkce zjistíme dosazením za $ x $ vhodných čísel z intervalů. Viz obrázek

   

   Obr. 5: Grafické znázornění znaménka funkční hodnoty funkce $ y=\dfrac{2x + 1}{x^2 + x} $

2. Určíme první derivaci funkce.

   $$ f ^\prime (x) = (\dfrac{2x+1}{x^2+x})^\prime = \dfrac{2(x^2+x) - (2x+1)(2x+1)}{(x^2+x)^2}= $$
   $$ =\dfrac{2x^2 +2x -4x^2 -4x-1}{(x^2+x)^2}= \dfrac{-2x^2 -2x -1}{(x^2+x)^2} $$

   Nalezneme nulové body první derivace. Racionální lomená funkce je rovna 0 v případě, že funkce v čitateli je rovna 0. Hledáme tedy kořeny polynomu v čitateli nalezené funkce (řešíme rovnici $ -2x^2 - 2x -1 = 0 $ tedy $ 2x^2 +2x +1 = 0 $ ) Tento polynom nemá reálné kořeny a funkce tedy nemá nulové body. Zbývá nám vyšetřit, jestli funkce nemění znaménko v  bodech nespojitosti $ 0 $ a  $ -1 $ . \item Dosazením vybraných hodnot z intervalů zjistíme, že funkce první derivace má ve všech intervalech záporné hodnoty a je tedy v celém definičním oboru klesající. Vyšetřovaná funkce nemá tedy lokální extrémy. Výsledek je graficky znázorněn na následujícím obrázku

   

   Obr. 6: Grafické znázornění znaménka první derivace funkce $ y=\dfrac{2x + 1}{x^2 + x} $ s vyznačenými intervaly klesajích částí

3. Podíváme se kdy je vyšetřovaná funkce konvexní a kdy konkávní a vyhledáme inflexní body funkce, pokud existují. Jak jsme si sdělili již dříve, inflexní body jsou ty body, ve kterých má vyšetřovaná funkce extrémní první derivaci. Hledáme tedy extrémy první derivace funkce. Protože extrémy hledáme pomocí derivace, budeme potřebovat druhou derivaci vyšetřované funkce. Proto ji nyní určíme.

   $$ (\dfrac{2x+1}{x^2 + x})^{\prime \prime} = (- \dfrac{2x^2 +2x +1}{(x^2 +x)^2})^ \prime = - \dfrac{(4x+2)(x^2 +x)^2 - (2x^2 +2x +1)(2(x^2+x)(2x+1)}{(x^2+x)^4} $$
   $$ = - \dfrac{2(2x+1)(x^2 + x) - 2(2x+1)(2x^2 +2x +1)}{(x^2+x)^3} = - \dfrac{2(2x+1)(x^2 +x -2x^2 -2x -1)}{(x^2+x)^3} $$
   $$ = - \dfrac{2(2x+1)(-x^2 -x -1)}{(x^2+x)^3} = - \dfrac{(-1)\cdot 2 \cdot (2x+1)(x^2 +x +1)}{(x^2 +x)^3} = \dfrac{2(2x+1)(x^2 +x +1)}{(x^2 +x)^3} $$

   Ne vždy se vyplatí vše roznásobit. Jak ukazuje předchozí derivování. Nulové body druhé derivace nalezneme tak, že položíme součin funkcí v čitateli roven 0. Součin je roven 0 v  případě, že alespoň jeden z činitelů je roven nule. Výraz $ x^2 +x +1 = 0 $ nemá řešení v  $ \mathbb{R} $ a výraz $ 2x+1 =0 $ má pouze jedno řešení $ x = - \dfrac{1}{2} $ .

   Vyšetříme znaménka druhé derivace v intervalech $ (- \infty ; -1); (-1; - \dfrac{1}{2}); \langle - \dfrac{1}{2};0); (0; \infty) $ . Výsledky šetření jsou shrnuty v následujícím obrázku

   

   Obr. 7: Grafické znázornění znaménka druhé derivace funkce $ y=\dfrac{2x + 1}{x^2 + x} $ s vyznačenými intervaly konvexních a konkávních částí

4. Asymptoty bez směrnice.

   $$ \lim _{x \rightarrow 0 ^+} \dfrac{2x+1}{x^2 +x} = \infty $$
   $$ \lim _{x \rightarrow 0 ^-} \dfrac{2x+1}{x^2 +x} = - \infty $$

   Přímka $ x=0 $ je asymptotou bez směrnice ke grafu funkce $ \dfrac{2x+1}{x^2 +x} $ .

   Nyní vyšetříme bod $ x=-1 $ .

   $$ \lim _{x \rightarrow -1 ^+} \dfrac{2x+1}{x^2 +x} = \infty $$
   $$ \lim _{x \rightarrow -1 ^-} \dfrac{2x+1}{x^2 +x} = - \infty $$

   Přímka $ x=-1 $ je rovněž asymptotou bez směrnice ke grafu funkce $ \dfrac{2x+1}{x^2 +x} $ . Asymptoty se směrnicí:

   $$ k = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x+1}{x(x^2+x)} =\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2}{3x^2 + 2x} = 0 $$
   $$ k = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+1}{x(x^2+x)} =\lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2}{3x^2 + 2x} = 0 $$

   Pro výpočet limit jsme využili l´ Hospitalova pravidla. Nyní ještě musíme vypočítat koeficient $ q $ .

   $$ q = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x+1}{(x^2+x)} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2}{(2x+1)} = 0 $$
   $$ q = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x+1}{(x^2+x)} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2}{(2x+1)} = 0 $$

   Přímka $ y=0 $ , tedy osa $ x $ je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce $ \dfrac{2x+1}{x^2 +x} $ .

5. Nyní nám zbývá dopočítat funkční hodnotu pro inflexní bod. Dosazením $ x = - \dfrac{1}{2} $ do funkce získáme $ y=0 $ . Spojením všech dosavadních znalostí nakreslíme graf. Výsledek je znázorněn na obrázku

   

   Obr. 8: Graf funkce $ y=\dfrac{2x + 1}{x^2 + x} $ s vyznačenými asymptotami

Řešení:

1. Funkce není definována pro $ x=-2 $ a  $ x=2 $ . $ D(f) = \mathbb{R} - \{-2;2\} $ .

   Jedná se o sudou funkci. $ (-x)^2 = x^2 $ .

   Funkce není periodická.

   Průsečíky s osami: pro $ x=0 $ je $ y=0 $ . Graf funkce tedy prochází počátkem soustavy souřadnic. Nulový bod je $ x=0 $ , body nespojitosti jsou $ x=-2 $ a  $ x=2 $ . Podíváme se tedy jak mění funkce své znaménko v jednotlivých intervalech. Výsledek je na obrázku

   

   Obr. 9: Grafické znázornění znaménka funkčních hodnot funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 - 4} $

2. Určíme první derivaci funkce.

   $$ y^ \prime = (\dfrac{x^2}{x^2 -4})^ \prime = \dfrac{2x(x^2 -4) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 -4)^2} = \dfrac{2x(x^2 -4 -x^2)}{(x^2 -4)^2} = \dfrac{-8x}{(x^2 -4)^2} $$
   Derivace funkce není definovaná, stejně jako původní funkce, pro $ x = \pm 2 $ .

   Nulovým bodem derivace je $ x=0 $ .

   Společné šetření intervalů definičního oboru vytvořených nulovým bodem a body nespojitosti je znázorněn na obrázku

   

   Obr. 10: Grafické znázornění znaménka první derivace funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 - 4} $ s vyznačenými intervaly rostoucích a klesajících částí

3. Určíme druhou derivaci funkce:

   $$ (\dfrac{x^2}{x^2 -4})^{\prime \prime} = (\dfrac{-8x}{(x^2 -4)^2})^ \prime = \dfrac{-8(x^2 -4)^2 - ((-8x)\cdot 2 (x^2 -4) \cdot 2x)}{(x^2 -4)^4} $$
   $$ = \dfrac{8(x^2 -4)(-(x^2 -4) + 4x^2)}{(x^2 -4)^4} = \dfrac{8(x^2 -4)(3x^2 +4)}{(x^2 -4)^4} = \dfrac{8(3x^2 +4)}{(x^2 -4)^3} $$

   Výraz v čitateli druhé derivace je stále kladný, proto vyšetříme jmenovatele zlomku. Výraz $ x^2 -4 $ je kladný pro $ x \in (- \infty ; -2) \cup (2; \infty) $ a v intervalu $ (-2; 2) $ je záporný.

   Zjištěné údaje jsou graficky znázorněny na obrázku

   Funkce nemá inflexní body, protože body v nichž přechází z konvexní na konkávní a naopak jsou body nespojitosti funkce.

   

   Obr. 11: Grafické znázornění znaménka druhé derivace funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 - 4} $ s vyznačenými intervaly konvexních a konkávních částí

4. Asymptoty bez směrnice

   $$ \lim _{x \rightarrow -2^-} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = \infty \qquad \lim _{x \rightarrow -2^+} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = - \infty $$
   $$ \lim _{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = - \infty \qquad \lim _{x \rightarrow 2^+} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = \infty $$
   Přímky $ x=-2 $ a  $ x=2 $ jsou asymptotami bez směrnice ke grafu funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 -4} $ .

   Asymptoty se směrnicí

   $$ k = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{x(x^2 -4)} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{x^3 -4x} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{4}{x^2}} = \dfrac{0}{1 -0} = 0 $$
   $$ k = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{x(x^2 -4)} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{x^3 -4x} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{4}{x^2}} = \dfrac{0}{1 -0} = 0 $$
   $$ q = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{1-\frac{4}{x^2}} = \dfrac{1}{1}= 1 $$
   $$ q = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{x^2 -4} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{1-\dfrac{4}{x^2}} = \dfrac{1}{1}= 1 $$

   Přímka $ y = 0x +1 $ tedy $ y=1 $ je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce $ y = \dfrac{x^2}{x^2 -4} $ .

5. Nakreslíme graf funkce. Výsledek je znázorněn na obrázku

   

   Obr. 12: Graf funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 - 4} $ s vyznačenými asymptotami a zvýrazněným lokálním maximem