Výsledky:

1. $ \displaystyle{y = \dfrac{x^3 +2x^2 +7x -3}{2x^2}} $

   • $ D(f)= \mathbb{R}-\{ 0 \} $

     $ f(-x) \neq f(x) $ a  $ f(-x) \neq (-1)f(x) $ tedy funkce není ani sudá ani lichá

     Průsečík s osou $ y $ funkce nemá. Průsečík s osu $ x $ leží mezi $ \dfrac{1}{3} $ a  $ \dfrac{1}{2} $ . Jeho přesný výpočet je nalezením kořenu polynomu $ x^3 +2x^2 +7x -3 $ což je nad rámec našeho semináře.

   • $ y \prime = \dfrac{x^3 -7x +6}{2x^3} $ maxima jsou v  bodech $ x=-3 $ a  $ x=1 $ minimum v bodě $ x=2 $

   • $ y \prime \prime = \dfrac {7x - 9}{x^4} $ inflexní bod je pro $ x = \dfrac{9}{7} $

   • Asymptoty:

     • Bez směrnice

       • osa $ y $

         $$ \displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x^3 + 2x^2 +7x -3}{2x^2} = - \infty} $$
         $$ \displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{x^3 + 2x^2 +7x -3}{2x^2} = - \infty} $$

     • Se směrnicí

       • $$ k = \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{x^3 + 2x^2 +7x -3}{2x^3} = \dfrac{1}{2}} $$
         $$ q = \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{x^3 + 2x^2 +7x -3}{2x^2} - \dfrac{1}{2} x = 1} $$
         asymptota se směrnicí má tedy rovnici:
         $$ y= \frac{1}{2} x + 1 $$

   • Důležité funkční hodnoty

     Tab. 1:

     x	-3	1	2
     y	$ -\dfrac{7}{6} $	$ \dfrac{7}{2} $	$ \dfrac{27}{8} $

     Tab. 2:

     x	-3	1	2
     y	$ -\dfrac{7}{6} $	$ \dfrac{7}{2} $	$ \dfrac{27}{8} $

   • Graf funkce:

     

     Obr. 1: Graf funkce $ \displaystyle{y = \dfrac{x^3 +2x^2 +7x -3}{2x^2}} $ se zvýrazněnými lokálními extrémy a  asymptotami

2. $ \displaystyle{y = \dfrac{e^x}{x}} $

   • $ D(f)=\mathbb{R}-\{ 0 \} $

     $ f(-x) \neq f(x) $ a  $ f(-x) \neq (-1)f(x) $ tedy funkce není ani sudá ani lichá

   • $ y \prime = \frac{ e^x (x -1)}{x^2} $

     minimum v bodě $ x=1 $ funkční hodnota je $ y=e $

   • $ y \prime \prime = \frac {e^x (x^2 -x +1)}{x^3} $

     Funkce mění znaménko v bodě nespojitosti.

   • Asympptoty

     • Bez směrnice

       • Osa y:

         $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{e^x}{x} = \infty $$
         $$ \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^x}{x} = - \infty $$

     • Se směrnicí

       • $$ k = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{e^x}{x^2} = 0 $$
         $$ k = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x^2} = \infty $$
         $$ q = \lim_{x \rightarrow - \infty} \frac{e^x}{x} = 0 $$

         asymptota se směrnicí má tedy rovnici: $ y= 0x + 0 $ osa $ x $ pouze pro $ x \rightarrow - \infty $

   • Důležitým bodem je pouze lokální minimum v bodě $ [1;e] $ , další body pro tvorbu grafu si můžeme zvolit libovolně.

   • Graf funkce

     

     Obr. 2: Graf funkce $ \displaystyle{y = \dfrac{e^x}{x}} $ s  vyznačenými lokálními extrémy a asymptotami

3. $ \displaystyle{y = \dfrac{x}{e^x}} $

   • $ D(f)=\mathbb{R} $

     $ f(-x) \neq f(x) $ a  $ f(-x) \neq (-1)f(x) $ tedy funkce není ani sudá ani lichá.

     Průsečík s osou $ y $ je pro $ x=0 $ , tedy počátek souřadné soustavy.

   • $ y \prime = \dfrac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \dfrac{1 -x}{e^x} $

     maximum v bodě $ x=1 $ funkční hodnota je $ y=\frac{1}{e} $

   • $ y \prime \prime = \dfrac {x -2}{e^x} $

     Funkce má inflexní bod pro $ x=2 $ $ f(x) = \dfrac{2}{e^2} $

   • Asymptoty

     • Bez směrnice - zadaná funkce nemá

     • Se směrnicí

       • $$ k = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x}{xe^x} = 0 $$
         $$ k = \lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x}{xe^x} = \infty $$
         $$ q = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x}{e^x} = 0 $$
         asymptota se směrnicí má tedy rovnici: $ y= 0x + 0 $ osa $ x $ pouze pro $ x \rightarrow \infty $

   • Důležité body funkce: $ [0;0] $ , $ [1;\dfrac{1}{e}] $ , $ [2;\dfrac{2}{e^2}] $

   • Graf funkce:

     

     Obr. 3: Graf funkce $ \displaystyle{y = \dfrac{x}{e^x}} $ s  vyznačenými lokálními extrémy a asymptotami

4. $ \displaystyle{y = \dfrac{x}{x^2 -1}} $

   • $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1;1\} $

     Funkce je lichá $ f(-x) = (-1) \cdot f(x) $ .

     Funkce není periodická

     Průsečíky s osami $ [0,0] $ - počátek soustavy souřadnic.

   • $$ (f(x))^ \prime = \dfrac{x^2 -1 - x \cdot 2x}{(x^2 -1)^2} = \dfrac{x^2 -1 - 2x^2}{(x^2 -1)^2} = - \dfrac{x^2 +1 }{(x^2 -1)^2} $$
     Funkce nemá nulové body a nabývá v  celém svém definičním oboru záporné hodnoty. Vyšetřovaná funkce je tedy v celém svém definičním oboru klesající.

   • $$ (f(x))^ {\prime \prime} = - \dfrac{2x(x^2 -1)^2 - (x^2 +1)(2(x^2 -1) \cdot 2x)}{(x^2 -1)^4} = - \dfrac{2x(x^2 -1) -4x(x^2 +1)}{(x^2 -1)^3} = $$
     $$ - \dfrac{2x^3 -2x - 4x^3 -4x}{(x^2 -1)^3} = \dfrac{x^3 +6x}{(x^2 -1)^3} = \dfrac{x(x^2 +6)}{(x^2 -1)^3} $$
     Funkce je konkávní v intervalech $ (- \infty -1) $ a  $ (0;1) $ . Funkce je konvexní v intervalech $ (-1; 0) $ a  $ (1; \infty) $ .

   • Asymptoty:

     • Bez směrnice

       $$ \lim _{x \rightarrow -1^-} \dfrac{x}{x^2 -1} = - \infty $$
       $$ \lim _{x \rightarrow -1^+} \dfrac{x}{x^2 -1} = \infty $$
       $$ \lim _{x \rightarrow 1^-} \dfrac{x}{x^2 -1} = - \infty $$
       $$ \lim _{x \rightarrow 1^+} \dfrac{x}{x^2 -1} = \infty $$
       Přímky $ x=-1 $ a  $ x=1 $ jsou asymptotami bez směrnice ke grafu funkce $ y = \dfrac{x}{x^2 -1} $ .

     • Se směrnicí

       $$ k = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x}{x(x^2 -1)} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{x^2 -1} = 0 $$
       $$ k = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x}{x(x^2 -1)} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x^2 -1} = 0 $$
       $$ q = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x}{x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{2x} = 0 $$
       $$ q = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x}{x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{2x} = 0 $$
       Osa $ x $ je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce $ y = \dfrac{x}{x^2 -1} $ .

   • Graf funkce

     

     Obr. 4: Graf funkce $ \displaystyle{y = \dfrac{x}{x^2 -1}} $ s vyznačenými asymptotami

5. $ \displaystyle{y = \dfrac{x^2}{x^2 -1}} $

   • $ D(f) = \mathbb{R} - \{-1;1\} $

     Funkce je sudá $ f(-x) = f(x) $ v celém definičním oboru funkce.

     Funkce není periodická.

     Nulovým bodem funkce je $ x=0 $ .

     Funkce nabývá kladných hodnot pro intervaly $ (- \infty ; -1) $ a  $ (1; \infty) $ . Záporné funkční hodnoty má funkce v intervalu $ (-1;1) $ .

   • $$ (f(x))^ \prime = \dfrac{2x(x^2 -1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 -1)^2} = $$
     $$ = \dfrac{2x^3 -2x - 2x^3}{(x^2 -1)^2} = \dfrac{-2x}{(x^2 -1)^2} $$

     Funkce ve jmenovateli je stále kladná, proto se zaměříme pouze na funkci v čitateli. Tato funkce nabývá kladných hodnot pro záporná čísla a záporných hodnot pro kladná čísla. Funkce je tedy pro $ x>0 $ klesající a pro $ x < 0 $ je rostoucí. V bodě $ [0;0] $ má tedy funkce lokální maximu.

   • $$ (f(x))^{\prime \prime} = (\dfrac{-2x}{(x^2 -1)^2})^ \prime = \dfrac{-2(x^2 -1)^2 +2x \cdot 2(x^2 -1) \cdot 2x}{(x^2 -1)^4} = $$
     $$ \dfrac{8x^2(x^2 -1) - 2(x^2 -1)^2}{(x^2 -1)^4} = \dfrac{6x^2 +2}{(x^2 -1)^3} $$
     Funkce v čitateli zlomku nabývá vždy kladných hodnot, proto vyšetříme pouze funkci ve jmenovateli. Druhá derivace mění znaménko v bodech $ -1 $ a  $ 1 $ . V intervalech $ (- \infty ; -1) $ a  $ (1; \infty) $ nabývá kladných funkčních hodnot - je tedy konvexní. V  intervalu $ (-1;1) $ nabývá záporných funkčních hodnot a je tedy konkávní.

   • Asymptoty

     • Bez směrnice

       $$ \lim _{x \rightarrow -1^-} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = \infty; \; \lim _{x \rightarrow -1^+} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = - \infty $$
       $$ \lim _{x \rightarrow 1^-} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = - \infty; \; \lim _{x \rightarrow 1^+} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = \infty $$
       Přímky $ x=-1 $ a  $ x=1 $ jsou tedy asymptotami bez směrnice ke grafu funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 -1} $ .

     • Se směrnicí

       $$ k = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{x(x^2 -1)} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x}{3x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2}{6x} = 0 $$
       $$ k = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{x(x^2 -1)} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x}{3x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2}{6x} = 0 $$
       $$ q = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{2x}{2x} = 1 $$
       $$ q = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2}{x^2 -1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{2x}{2x} = 1 $$
       Přímka $ y = 0x +1 $ tedy $ y=1 $ je asymptotou se směrnicí ke grafu funkce $ y=\dfrac{x^2}{x^2 -1} $ .

   • Graf funkce

     

     Obr. 5: Graf funkce $ \displaystyle{y = \dfrac{x^2}{x^2 -1}} $ s vyznačenými asymptotami a lokálními extrémy