Naše znalosti získané při hledání extrémů funkcí jedné proměnné rozšíříme o další dimenzi na funkce dvou proměnných. Extrémy funkcí více proměnných jsou definovány analogicky extrémům funkcí jedné proměnné. Při jejich hledání budeme postupovat zcela analogicky, tedy s využitím derivací zadané funkce. Budeme zde ale využívat derivace podle jednotlivých proměnných - parciální derivace. Stejně jako u funkcí jedné proměnné i zde platí, že ve stacionárních bodech jsou parciální derivace prvního řádu rovny 0. Pro rozhodování je-li podezřelý bod skutečně maximem nebo minimem využijeme vlastností parciálních derivací druhého řádu. Pro funkci dvou proměnných musíme tedy nalézt dvě parciální derivace prvního řádu a čtyři parciální derivace druhého řádu, z nichž jsou dvě identické. Uspořádáním parciálních derivací druhého řádu do matice získáme tzv. Hessovu matici příslušné funkce a její determinant nazýváme Hessián. Nabývá-li Hessián v podezřelém bodě kladné hodnoty, má zadaná funkce v daném bodě extrém. Naopak, nabývá-li Hessián záporné hodnoty v daném bodě, funkce zde extrém nemá. V případě, že v zadaném bodě nabývá Hessián hodnotu rovnou 0, neumíme o extrému použitým způsobem rozhodnout. O jaký extrém se jedná, tedy maximum nebo minimum, rozhoduje znaménko parciální derivace druhého řádu podle první proměnné a to následovně: je-li tato derivace v zadaném bodě záporná - nachází se v daném bodě lokální maximum, je-li kladná - nachází se v daném bodě lokální minimum.
Derivace funkce $ z=f(x,y) $ podle proměnných budeme značit následovně:
Parciální derivace prvního řádu:
Podle proměnné $ x $ - $ \displaystyle{z_x} $
Podle proměnné $ y $ - $ \displaystyle{z_y} $
Parciální derivace druhého řádu:
Podle proměnné $ x $ - $ \displaystyle{z_{xx}} $
Podle proměnné $ y $ - $ \displaystyle{z_{yy}} $
Podle proměnné $ x $ a proměnné $ y $ - $ \displaystyle{z_{xy}} $
Podle proměnné $ y $ a proměnné $ x $ - $ \displaystyle{z_{yx}} $ , platí že $ \displaystyle{z_{yx} = z_{xy}} $
Hessova matice má pro funkci dvou proměnných $ z=f(xy) $ tvar:
$$ \left (\begin{array}{cc} z_{xx} & z_{xy} \\ z_{yx} & z_{yy} \end{array} \right ) $$
Determinant příslušné Hessovy matice - Hessián - má tvar:
$$ z_{xx} \cdot z_{yy} - z_{xy} \cdot z_{yx} = z_{xx} \cdot z_{yy} - (z_{xy})^2 $$