Řešení:

Vyšetřovaná funkce je definovaná na celém $ \mathbb{R}^2 $ . Nejprve určíme první derivace funkce podle jednotlivých proměnných. Při derivování hledíme na druhou proměnnou jako na konstantu.

Obě parciální derivace položíme rovny 0 a vyřešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.

Z druhé rovnice vyplývá, že $ y = \displaystyle{\dfrac{2}{x}} $ a dosazením do první rovnice dostaneme rovnici:

Tato rovnice má čtyři kořeny $ x_1 = -1 $ , $ x_2 = 1 $ , $ x_3 = -2 $ , $ x_4 = 2 $ . Dosazením do druhé rovnice vypočítáme odpovídající hodnoty proměnné $ y $ . Tedy $ y_1 = -2 $ , $ y_2 = 2 $ , $ y_3 = -1 $ a  $ y_4 = 1 $ . Máme zde tedy čtyři podezřelé body se souřadnicemi: A[-1;-2], B[1;2], C[-2;-1] a D[2;1].

Nyní určíme druhé parciální derivace:

Parciální derivace $ z _{xy} $ a  $ z_{yx} $ jsou vždy stejné, tento fakt nám může sloužit jako kontrola správnosti výpočtů derivací. Hessova matice má tedy tvar:

Determinant Hessovy matice - Hessián má tvar $ 36x^2 - 36y^2 $ . Dosazením souřadnic podezřelých bodů do Hasiánu ověříme, jedná-li se o lokální extrémy. Pro bod A[-1;-2] je Hessián roven -108. Zde tedy podle definice nemá vyšetřovaná funkce extrém. Pro bod B[1;2] je Hessián roven opět -108. Ani zde nemá vyšetřovaná funkce extrém. Dosazením souřadnic bodu C[-2;-1] získáme hodnotu Hessiánu rovnu 108. V tomto bodě se tedy nachází extrém $ z_{xx} = -12 $ jedná se tedy o maximum. Dosazením souřadnic bodu D[2;1] získáme hodnotu Hessiánu rovnu 108. V tomto bodě se tedy nachází extrém $ z_{xx} = 12 $ jedná se tedy o minimum.

Graf zadané funkce je znázorněn na následujícím obrázku:

Obr. 1: Graf funkce $ z = x^3 + 3xy^2 - 15x -12y + 5 $ s vyznačeným maximem v bodě $ C[-2;-1] $ a minimem $ D[2;1] $

Řešení:

Parciální derivace prvního řádu mají tvar:

Obě derivace položíme rovny 0 a vypočítáme souřadnice podezřelých bodů: \begin{eqnarray*} 3x^2 -3y & = & 0 \\ 3y^2 -3x & = & 0 \\ \\ x^2 & = & y \\ y^2 & = & x \\ \\ y^4 & = & y\\ y(y^3 -1) & = & 0\\ \\ y_1 = 0 & , & y_2 = 1\\ \\ x_1 = 0 & , & x_2 = 1\\ \end{eqnarray*}

Nyní určíme druhé derivace:

Hessián má tedy tvar: $ 6x \cdot 6y - (-3)^2 $

Po dosazení souřadnic bodů A[0;0] a B[1;1] získáme hodnotu Hessiánu -9 pro bod A a 25 pro bod B. Je tedy zřejmé, že v bodě A  není extrém, ale v bodě B ano. Podle hodnoty $ z_{xx} $ , v bodě B je rovna 6, je zde minimum.

Obr. 2: Graf funkce $ z = x^3 + y^3 -3xy +6 $ s vyznačeným minimem v bodě $ B[1;1] $

Řešení:

Parciální derivace prvního řádu mají tvar:

Obě derivace položíme rovny 0 a vyřešíme soustavu rovnic: \begin{eqnarray*} 3x^2 + 6x + 4y & = &0 \\ 4x +2y & = & 0\\ \\ 3x^2 + 6x + 4y & = &0 \\ 2x +y & = & 0\\ \\ y & = & -2x \\ 3x^2 + 6x -8x & = & 0 \\ 3x^2 -2x & = & 0\\ x(3x - 2) & = & 0 \\ x_1 = 0 & , & x_2 = \dfrac{2}{3}\\ y_1 = 0 & , & y_2 = - \dfrac{4}{3} \end{eqnarray*}

Podezřelé body mají souřadnice: $ A[0;0] $ , $ B[\dfrac{2}{3};-\dfrac{4}{3}] $ .

Nyní určíme parciální derivace druhého řádu:

Hessián má tedy tvar $ 12x + 12 - 16 = 12x -4 $ . Dosazením souřadnic dostáváme pro bod $ A[0;0] $ hodnotu -4 a pro bod $ B[\dfrac{2}{3};-\dfrac{4}{3}] $ hodnotu 4. V bodě A tedy nemá zadaná funkce extrém. V bodě B se extrém nachází a jedná se o minimum (hodnota $ z_{xx} $ je rovna 10).

Obr. 3: Graf funkce $ z = x^3 + 3x^2 + 4xy + y^2 $ s vyznačeným nalezeným minimem v bodě $ B[\dfrac{2}{3};-\dfrac{4}{3}] $

Řešení:

Parciální derivace prvního řádu mají tvar:

Obě derivace položíme rovny 0 a vyřešíme soustavu rovnic:

\begin{eqnarray*} 6x^2 + y^2 + 10x & = & 0 \\ 2xy + 2y & = & 0 \\ \\ 2y(x+1) & = & 0 \\ y = 0 & , & x = -1 \\ \end{eqnarray*} Pro $ y=0 $ : \begin{eqnarray*} 6x^2 +10x & = & 0 \\ 3x^2 + 5x & = & 0 \\ x(3x + 5) & = & 0 \\ x_1 = 0 & , & x_2 = - \frac{5}{3} \\ \end{eqnarray*} Pro $ x = -1 $ : \begin{eqnarray*} 6 + y^2 -10 & = & 0 \\ y^2 & = & 4 \\ y_1 = 2 & , & y_2 = -2 \\ \end{eqnarray*} Získali jsme tedy 4 body se souřadnicemi: $ A[0;0] $ , $ B[- \dfrac{5}{3};0] $ , $ C[-1;2] $ a  $ D[-1;-2] $ .

Parciální derivace druhého řádu mají tvar:

Hessián má tedy tvar: $ (12x + 10)(2x + 2) - 4y^2 $ . Dosazením souřadnic podezřelých bodů dostáváme následující hodnoty: pro A je Hessián 20, pro bod B nabývá hodnoty $ \dfrac{40}{3} $ , pro C a pro D je -16. V bodech C a D tedy není extrém. V bodě A je minimum, protože zde je hodnota $ z_{xx} $ 10, v bodě B je maximum, protože zde je hodnota $ z_{xx} $ -10.

Obr. 4: Graf funkce $ z = 2x^3 + xy^2 + 5x^2 + y^2 $ s vyznačeným nalezeným minimem v bodě $ A[0;0] $ a maximem v bodě $ B[- \dfrac{5}{3};0] $