7.1.1 Teorie

Doposud jsme se zabývali integrály, jejichž integrační obory byly jednorozměrné. Nyní se posuneme o dimenzi výše a budeme se zabývat integrály, jejichž integrační obory budou dvourozměrné. Budeme integrovat funkce dvou proměnných přes část roviny $ D \subset \mathbb{R}^2 $ , kde $ D $ bude zpočátku čtverec, nebo obdélník, později i  jiná část roviny. Význam dvojného integrálu je analogický významu integrálu funkce jedné proměnné. Pouze zde není obsahem plochy, ale objemem tělesa vzniklého nad rovinou $ xy $ shora ohraničeného plochou definovanou funkcí $ f(x,y) $ s průmětem do části roviny $ xy $ , jak je znázorněno na Obrázku (1).

Obr. 1: Grafické znázornění významu dvojného integrálu

Je-li průmětem do roviny $ xy $ čtverec, nebo obdélník a  integrovaná funkce je konstantní, je výsledkem integrace dvojného integrálu objem vzniklého hranolu. Jedná-li se obecnou funkci dvou proměnných, je vzniklé těleso různě křivě seříznuté a výpočet pro normální objem hranolu už není možný. Vzpomeneme-li si ale na definici určitého integrálu funkce jedné proměnné, kdy jsme interval přes který jsme integrovali rozdělili na obdélníčky a počítali jejich obsah, bude dvojný integrál definován podobně. Pouze budeme těleso rozdělovat na hranoly a celkový objem tělesa bude součet jejich objemů, jak je znázorněno na obrázku. Další možnost využití je výpočet obsahu plochy ohraničené křivkami. Zde integrujeme funkci $ f(xy) = 1 $ , jak bude ukázáno v následujících příkladech.

Pro převod dvojných integrálů na dvojnásobný použijeme Fubiniho větu, kdy dvojný integrál převedeme na sled dvou jednorozměrných integrací. Tento převod můžeme použít pro tzv. standardní množiny, tedy množiny ohraničené přímkami na dvou stranách a spojitými funkcemi na zbývajících stranách. V případě složitější oblasti využijeme aditivity integrálů a oblast si rozdělíme na několik jednodušších. Samotný převod a řešení integrálu není složitou záležitostí, klíčovým úkolem je správně určit ohraničení integrační oblasti a její meze. Tento postup si ukážeme na několika příkladech řešení dvojného integrálu.