Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Ústav teoretické tyziky and astrofyziky Masarykova Univerzita, Brno September 12, 2012 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Hydrodynamika - podstatná část astrofyziky Popis kinematiky a dynamiky tekutin v souvislosti s působením vnějších i vnitřních sil: ►• Rovnice kontinuity (zákon zachování hmotnosti) f + v.př = o ►• Pohybová rovnice (zákon zachování hybnosti, momentu hybnosti) dpv + V ■ pvv = -Vp + pf (+fví Rovnice energie Stavové rovnice -f- + V-peV = -pV- V. ot p = pa2, atd. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Principy konečných diferencí ► Jednoduchý příklad - 1-D transportní rovnice: Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov 0 Hydrodynamik? podstatná část Petr Kurfürst astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Principy konečných diferencí ► Jednoduchý příklad - 1-D transportní rovnice: df df A di + Udx=° Numerická reprezentace / na diskrétní síti: x0, x,, ..., xN (x0 < x, < x2 < ... < xN) ř, = f0 + Ař, f2 = ř, + Ař = f0 + 2Ař, ..., tn = h + nAt Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Principy konečných diferencí ► Jednoduchý příklad - 1-D transportní rovnice: df df A di + Udx=° Numerická reprezentace / na diskrétní síti: x0, x,, ..., xN (x0 < x, < x2 < ... < xN) ř, = f0 + Ař, f2 = ř, + Ař = f0 + 2Ař, ..., tn = h + nAt Numerické řešení veličiny f (x = x;, ř = tn) označíme f". Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Principy konečných diferencí Jednoduchý příklad - 1-D transportní rovnice: df df A di + Udx=° Numerická reprezentace / na diskrétní síti: x0, x,, ..., xN (x0 < x, < x2 < ... < xN) fi = fo + Ař, f2 = ř, + Ař = f0 + 2Ař, ..., tn = h + nAt Numerické řešení veličiny f (x = x;, ř = tn) označíme f". Taylorův rozvoj /: t, * ^df(x,t) tř d2fíx,t) ^,.3, f(x + h, t) = f(x, t) + h—^ + ďy ' + 0{tf) + . í. « t, * ^df(x,t) tř d2fíx,t) ^,.3, /(x - h, t) = f(x, t) - h-^- + 27^^ - 0{hz) + . Principy konečných diferencí Typy diferencí pro aproximace derivací 1. řádu: (f"+i - f")/Ax dopředně diference (f" - f"-i )/Ax zpětné diference (f"+i -/y"_i)/2Ax centrálnídiference df_ dx . di", dx . di", dx , Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Principy konečných diferencí Typy diferencí pro aproximace derivací 1. řádu: df n — = (f"+i - f")/Ax dopředně diference áx . df n — = (f" - f_i)/Ax zpětné diference áx . df n — = -^-i)/2Ax centrálnídiference áx j Příklad diferenčního schématu pro aproximace derivací 2. řádu: £[ = «+i-2f+ ^i)/(Ax)2 Principy konečných diferencí ►• Diferenční schéma uvedené transportní (advekční) rovnice: Ař 2Ax ►• časový člen - dopředná diference, advekční člen - centrální diference Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Principy konečných diferencí Diferenční schema uvedené transportní (advekční) rovnice: Ař 2Ax časový člen - dopředná diference, advekční člen - centrální diference Po jednoduché úpravě dostáváme diferenční rovnici: fti+\ _ f n ^Af ,,n fn \ Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Principy konečných diferencí ►• Diferenční schéma uvedené transportní (advekční) rovnice: Ař 2Ax ►• časový člen - dopředná diference, advekční člen - centrální diference ►• Po jednoduché úpravě dostáváme diferenční rovnici: ' ~ 1 ~ 2A>r ;+1 ~~ *■ Jak můžeme výpočet této rovnice naprogramovat? Principy konečných diferencí program explicit integer i, ni, t, dt parameter (ni = 100) double precision x(ni), u(ni), f(ni) parameter (dt = 1 .d0, u = 1.2d0) do i = 1 ,ni x(i) = dfloat(i) if (i.le.ni/2) then f(i) = 1.d0 else f(i) = 0.1d0 endif end do Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Principy konecnych diferencf t = O.dO do t = t+dt do i = 2,ni-1 f(i) = f(i)-u(i)*dt*(f(i+1)-f(i-1))/(x(i+1)-x(i- )) end do f(1) = f(1) f(ni) = f(ni-1) do i = 1 ,ni write (100,*) x(i), f(i) end do write (100,*) write (100,*) if (t.gt.200) exit end do Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů end program explicit 1 -00.O Principy konečných diferencí Ale: toto jednoduché a přehledné (tzv. explicitní) schéma je bohužel vždy numericky nestabilní: Radiál velocity 1 1 I Vr(r) - cíl = 0.5 \ l ll l 1.4 1.2 1 I08 ^ 0.6 0.4 0.2 0 10 20 30 40 50 r/R* 60 70 80 90 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 von Neumannova analýza stability ► Předpokládejme poruchy stability (periodické perturbace, vibrace) vlnového charakteru ve tvaru kde £(/() je amplituda vlny k je vlnové číslo libovolné hodnoty. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr von Neumannova analýza stability Předpokládejme poruchy stability (periodické perturbace, vibrace) vlnového charakteru ve tvaru kde £(/() je amplituda vlny, k je vlnové číslo libovolné hodnoty. Pokud |£| > 1, pro n —>• oo bude |£|" —> oo, schéma je nestabilní Pokud |£| < 1, schéma je stabilní. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 von Neumannova analýza stability ► Předpokládejme poruchy stability (periodické perturbace, vibrace) vlnového charakteru ve tvaru kde £(/() je amplituda vlny, k je vlnové číslo libovolné hodnoty. ►• Pokud |£| > 1, pro n —>• oo bude |£|" —> oo, schéma je nestabilní. ► Pokud |£| < 1, schéma je stabilní. ► Po dosazení poruchové vlnové funkce do explicitního řešení dostáváme 2AX Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schema Komplexnější schemata Modelování fyzikálních procesů von Neumannova analýza stability ► Předpokládejme poruchy stability (periodické perturbace, vibrace) vlnového charakteru ve tvaru kde £(/() je amplituda vlny, k je vlnové číslo libovolné hodnoty. ►• Pokud |£| > 1, pro n —>• oo bude |£|" —> oo, schéma je nestabilní. ► Pokud |£| < 1, schéma je stabilní. ► Po dosazení poruchové vlnové funkce do explicitního řešení dostáváme - e po vydělení ^ne'k'Ax: Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schema Komplexnější schemata Modelování fyzikálních procesů s 2Ax von Neumannova analýza stability tedy ŕ , .uAt . , . ř = 1 — /-sin kAx. s Ax Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 von Neumannova analýza stability tedy ŕ , .uAt . , . ř = 1 — /-sin kAx. s Ax Protože \a + ib\ = Va2 + b2, bude lď = 1 + my sin kAx. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schema Komplexnější schemata Modelování fyzikálních procesů 1 von Neumannova analýza stability tedy ŕ , .uAt . , . ř = 1 — /-sin kAx. s Ax Protože \a + ib\ = Va2 + b2, bude Je zřejmé, že v případě explicitního schématu musí vždy platit \í\ > 1, toto schéma je tedy vždy nestabilní. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schema Komplexnější schemata Modelování fyzikálních procesů 1 Laxova metoda Člen f" v explicitním řešení lze nahradit aritmetickým průměrem sousedních hodnot: uAt.,n von Neumannova analýza stability v tomto případě dává: ř = cos kAx — i^^- sin kAx, s Ax o o í uAt\2 o \£\ = cos kAx+ I 1 sin /(Ax. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Laxova metoda Člen f" v explicitním řešení lze nahradit aritmetickým průměrem sousedních hodnot: uAt.,n von Neumannova analýza stability v tomto případě dává: ř = cos kAx — i^^- sin kAx, s Ax o o í uAt\2 o \£\ = cos kAx + I 1 sin /(Ax. Schéma je zjevně stabilní, pokud Courantovo číslo (Courant-Friedrichs-Levyho číslo - cfl) < 1 (Courantůvteorémstability). Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Laxova metoda Stejná rovnice, modelovaná Laxovou metodou: Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Radial velocity Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Modelování fyzikálních procesů 1 Laxova metoda Ještě jednou porovnání explicitních řešení s různými hodnotami Courantova čísla (cfl=0.5): 1.4 1.2 i Vr(r) — Cfl=0.5 Radial velocity 50 r/R, Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Laxova metoda ► Ještě jednou porovnání explicitních řešení s různými hodnotami Courantova čísla (cfl=1.8): Laxova metoda ► Ještě jednou porovnání explicitních řešení s různými hodnotami Courantova čísla (cfl=0.5), ► stabilizace 2. derivací b(f"+, - 2ff + ff_,), b = 0.25 (totožné s Laxovou metodou): Radiál velocity 1.4 1.2 1 Vr(r) - Cfl = 0.5, b = 0.25 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 50 r/R. 1 Laxova metoda ► Ještě jednou porovnání explicitních řešení s různými hodnotami Courantova čísla (cfl=1.2), *■ stabilizace 2. derivací b(f"+, - 2ff + ff_,), b = 0.6 (totožné s Laxovou metodou): Radiál velocity 1.4 1.2 1 Vr(r) - cfí=L2,b = 0.6 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 50 r/R. 1 Metoda zpětného kroku (upwind method) V advekčním členu použijeme zpětnou diferenci: h - Ti--:—(Tj - // 1J 7 — í Ax von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl=a): £ = 1 — oi + oi cos kAx — i a. sin kAx, |£|2 = (1 -a + aCOS/(Ax)2 + a2SÍn2/(Ax, Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Metoda zpětného kroku (upwind method) ► V advekčním členu použijeme zpětnou diferenci: *■ von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl=a): £ = 1 — 01 + 01 cos kAx — i a. sin kAx, |£|2 = (1 -a + aCOS/(Ax)2 + a2SÍn2/(Ax, ► Z požadavku |£|2 < 1 vyplývá 2a(1 - a)(1 - COS kAx) > 0. ► Protože a > 0, cos kAx < 1, schéma bude stabilní, pokud opět Courantovo číslo a < 1. Metoda zpětného kroku (upwind method) Stejná rovnice, modelovaná metodou zpětného kroku: Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Radial velocity Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Modelování fyzikálních procesů 1 Lax-Wendroffova metoda ►• Dvoukroková metoda, kombinace Laxova a explicitního schématu. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfúrst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 •OQ.O Lax-Wendroffova metoda ► Dvoukroková metoda, kombinace Laxova a explicitního schématu. 1. krok (Laxův): f" 1 1 UAt. n n. Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schemata Modelování fyzikálních procesů 4 □ ► 4 fj ► < * ► 1 o<\o Lax-Wendroffova metoda Dvoukroková metoda, kombinace Laxova a explicitního schématu. 1. krok (Laxův): Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astrcncnický kurs 10.-14. ľáfí 2012, Vyškov Petr KurfOrst řn+l_1,.„ fn> 1 UAt. n fi+i -2^+fi'-2^F{,+y~'] 2. krok (explicitní): +, = n _ U^i(fn+-2 _ fn+-2) Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Lax-Wendroffova metoda ►• Dvoukroková metoda, kombinace Laxova a explicitního schématu. 1. krok (Laxův): 2K 2. krok (explicitní): von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl=a): £ = 1 — 2a sin ^/(Ax(asin -^kAx + / cos ^/(Ax), |£ |2 = 1 - 4a2 sin2 ^/(Ax(1 - a2 sin2 ^kAx - cos2 ^/(Ax). Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Lax-Wendroffova metoda ►• Dvoukroková metoda, kombinace Laxova a explicitního schématu. 1. krok (Laxův): 2K 2. krok (explicitní): von Neumannova analýza stability v tomto případě dává (cfl=a): £ = 1 — 2a sin ^/(Ax(asin -^kAx + / cos ^/(Ax), |£ |2 = 1 - 4a2 sin2 ^/(Ax(1 - a2 sin2 ^kAx - cos2 ^/(Ax). Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Z požadavku |£|2 < 1 opět vyplývá a < 1. 1 -00.O Lax-Wendroffova metoda Stejná rovnice, modelovaná Lax-Wendroffovou metodou: Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Radial velocity Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Metoda zpětného kroku Modelování fyzikálních procesů 1 Implicitní schema Hodnoty veličiny / na pravé straně rovnice jsou počítány v čase *n+1 . _ f n U At lfn+\ fn+1, Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 4 □ ► 0 A_A+ < 0 interr = interpolant hydrodynamické veličiny na opačném rozhraní: intern = p/_, + c/W(ra(/) - rĎ(;_,) - uaii) dt/2) advekční schéma: dt Pi = Pr A Vm ■(/nřerr,+1ua(,+1)ra(,+1) - internua(i)Ta(i] Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Komplexnější schemata Opět stejná advekční rovnice, modelovaná výše uvedenou metodou, cfl = 0.5: Radial velocity 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 O Vr(r) - cfl =0.5 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 100 r/R, 1 Komplexnější schemata Opět stejná advekční rovnice, modelovaná výše uvedenou metodou, cfl = 0.9: Radial velocity 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 O Vr(r) - cfl =0.9 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 100 r/R, 1 Komplexnější schemata Opět stejná advekční rovnice, modelovaná výše uvedenou metodou, cfl = 1.2: Radial velocity 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 O Vr(r) - cfl = 1.2 Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 100 r/R, 1 Modelování fyzikálních procesů Riemannova rázová trubice (neviskózní případ): Radial velocity 1.6 1.4 1.2 1 a 0.8 0.6 0.4 0.2 JÍ cfenft) m efrj Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Modelování fyzikálních procesů Riemannova rázová trubice (viskózni případ): Radial velocity 1.6 1.4 12 1 a 0.8 0.6 0.4 0.2 O cfenft) vid efrj Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Modelování fyzikálních procesů ► Sluneční koronální vítr (Parkerova rovnice): Radiál velocity 4OOOO0 350000 300000 250000 =1 200000 150000 ÍOOOOO 50000 o Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Modelování fyzikálních procesů Další možná úskalí - příklad hvězdného disku nesprávně nastavené Courantovo číslo: Radiál velocity den(r) vr(r) vp(r) Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 10 100 t/R 4 U > < _F ► < __ ► 1 Závěr Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Numerické výpočty metodami konečných diferencí - vhodné pro deterministické procesy Celá řada dalších metod a schémat Modelování principiálně náhodných jevů (záření) na zcela jiném principu (např. Monte Carlo) Dostupné hotové programy (kódy) (např. ZEUS, Pencil pro hd, TLUSTÝ, CMFGEN pro modelování hvězdných atmosfér, atd.) Uspokojivý výsledek pouze při splnění mnoha podmínek Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů 1 Závěr Literatura: - Michael J. Thompson, An Introduction to Astrophysical Fluid Dynamics - Michael I. Norman Karl-Heinz A. Winkler, 2-D Eulerian Hydrodynamics with Fluid Interfaces, Self-Gravity and Rotation - Randall J. Leveque, Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1 Závěr Děkuji za pozornost Numerické výpočty metodami konečných diferencí Podzimní astronomický kurs, 10.-14. září 2012, Vyškov Petr Kurfürst Hydrodynamika -podstatná část astrofyziky Principy konečných diferencí von Neumannova analýza stability Laxova metoda Metoda zpětného kroku Lax-Wendroffova metoda Implicitní schéma Komplexnější schémata Modelování fyzikálních procesů Závěr 1