Teoretická fyzika - Základy kvantové mechaniky Michal Lenc - podzim 2012 Obsah Teoretická fyzika - Základy kvantové mechaniky........................................................1 1. Velmi stručný přehled........................................................................................3 1.1 Základní pojmy......................................................................................................3 1.2 Maticový zápis......................................................................................................5 1.3 Vlastní vektory a vlastní hodnoty...........................................................................6 1.4 Nepříjemnost s rovinnou vlnou a Diracovou delta funkcí.......................................8 1.5 Příklad - lineární harmonický oscilátor..................................................................9 2. Princip superposice..........................................................................................12 2.1 Feynmanova formulace........................................................................................12 2.2 Formulace Landaua a Lifšice...............................................................................12 3. Matematický popis...........................................................................................13 3.1 Základní popis - Hilbertův prostor.......................................................................13 3.2 Axiomy...............................................................................................................13 3.3 Reprezentace, rozklad jednotky...........................................................................14 3.4 Vlnová funkce.....................................................................................................15 3.5 Maticová reprezentace.........................................................................................15 3.6 Zápis Schrôdingerovy rovnice v maticové reprezentaci........................................16 3.7 Relace neurčitosti................................................................................................18 4. Základní operátory v souřadnicové representaci...............................................19 4.1 Hamiltonův operátor (hamiltonián)......................................................................19 4.2 Operátory hybnosti a momentu hybnosti..............................................................20 4.3 Rovnice kontinuity..............................................................................................22 4.4 Ehrenfestův teorém..............................................................................................23 5. Schrôdingerova rovnice pro stacionární stavy..................................................24 5.1 Částice v potenciálovém poli - souřadnicová representace...................................24 5.2 Vodíkový atom....................................................................................................25 5.3 Elektron v homogenním magnetickém poli..........................................................29 6. Některé aproximace pro poruchy na čase nezávislé..........................................31 6.1 Rayleighova - Schrôdingerova metoda................................................................31 6.1.1 Nedegenero vané hladiny..................................................................................31 6.1.2 Degenerované hladiny......................................................................................32 6.1.3 Příp ad velmi blízkých hladin............................................................................33 6.2 Potenciální energie jako porucha..........................................................................33 6.3 Variační princip...................................................................................................37 6.4 Hartreeho - Fockova metoda selfkonzistentního pole...........................................37 6.5 Ritzova variační metoda......................................................................................39 7. Bornova - Oppenhaimerova aproximace..........................................................40 7.1 Obec ná teorie.......................................................................................................40 7.2 Molekula vodíku..................................................................................................43 7.2.1 Iont molekuly vodíku.......................................................................................43 7.2.2 Molekula vodíku..............................................................................................44 8. Kvasiklasická aproximace................................ ................................................46 8.1 Základní vztahy...................................................................................................46 8.2 Okrajové podmínky.............................................................................................47 8.3 Bohrovo - Sommerfeldovo kvantování.................................................................48 9. Poruchy na čase závislé....................................................................................49 9.1 Interakční reprezentace........................................................................................49 9.2 Fermiho zlaté pravidlo.........................................................................................50 9.2.1 Harmonický průběh časové závislosti poruchy.................................................50 10. Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru momentu hybnosti.........................52 11. Maticové elementy skaláru a vektoru, parita stavu...........................................55 12. Spin.................................................................................................................56 12.1 Rotace a komutační relace pro operátor momentu hybnosti..................................56 12.2 Spin.....................................................................................................................57 12.3 Spin a rotace........................................................................................................60 13. Princip nerozlišitelnosti částic..........................................................................61 14. Cesta k Bellovým nerovnostem........................................................................63 14.1 EPR paradox........................................................................................................63 14.2 Bohmova modifikace EPR pokusu.......................................................................65 14.3 Bellovy nerovnosti...............................................................................................67 14.4 Experimenty s fotony...........................................................................................70 15. Jakou dráhu prošla částice?..............................................................................72 15.1 Elementární popis interference dvou svazků........................................................72 15.2 Which-path (Welcher-Weg)?...............................................................................73 15.3 Interference fullerenů...........................................................................................76 1. Velmi stručný přehled 1.1 Základní pojmy V kvantové mechanice počítáme s Hamiltonovým operátorem, kde v klasickém výrazu pro Hamiltonovu funkci jsou souřadnice x a s ní sdružená hybnost p - uvažujeme jednorozměrný problém - nahrazeny lineárními operátory x a p, které splňují komutační relace [x, p] = x p - p x = i hl , (1-1) h je Planckova konstanta a 1 jednotkový operátor. V souřadnicové representaci je Hilbertův prostor stavů soustavy (stavových vektorů) tvořen kvadraticky integrovatelnými komplexními funkcemi souřadnice na intervalu (-00,00) . Skalární součin je definován jako (v,x)* = (x,v) = (x\v) = JV(x)y(x)dx . (1.2) (bra)(|ket) Snadno se přesvědčíme, že operátory xy/(x) = xy/(x) , pi//(x) = -dV/^ (1.3) 1 dx splňují komutační relace (1.1). Pro kvantovou mechaniku jsou důležité vlastnosti lineárních operátorů, zejména vlastnosti dvojice operátor - hermiteovsky sdružený operátor. Hermiteovsky sdružená matice je komplexně sdružená transponovaná matice. Pro operátory definujeme hermiteovské sdružení jako {x,Ô+v) = {iy,Ôx) , (1-4) v Diracově značení pak (x\0+\y/) = (y/\0\xj . (1.5) Je-li operátor roven svému hermiteovsky sdruženému, mluvíme o hermiteovském operátoru, Je-li inversní operátor (definovaný tak, že po vynásobení inversního a původního operátoru dostáváme jednotkový operátor) roven svému hermiteovsky sdruženému, mluvíme o unitárním operátoru. S použitím souřadnicové representace ukážeme, že operátory souřadnice a k ní sdružené hybnosti jsou hermiteovské. Máme co co {x\Ô+\y/) = {y/\Ô\z)* = \ j t//*(x)xz(x)dxl = J/(x)x^(x)dx = (^|Ô|^) (1.6) (x\o+\v) = (v\o\x) -f££^(x)**to] V ^dj(x) ^ (x)--—dx i dx / \^d/(xL ^(x)--—QX: i dx — od •/ _■> -od ji d x (1.7) i dx Je vhodné si pamatovat, že při hermiteovském sdružení dojde k záměně c^c* , |^/)^(^/| , ^1-»!^) , 0^0+ (1.8) a záměně pořadí všech prvků. Zatímco výraz (.^k) znamená v Diracově notaci skalární součin vektorů a \x) > výraz k)(;r| Je operátor, který převede libovolný vektor \W)k>=k>(W#»=W#>k> • Jako v každém vektorovém prostoru, tak i v našem Hilbertově prostoru můžeme zvolit bázi - soustavu lineárně nezávislých vektorů, kdy potom každý vektor prostoru lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze. Je výhodné zvolit ortonormální bázi. Dimenze Hilbertova prostoru tvořeného kvadraticky integrovatelnými komplexními funkcemi souřadnice na intervalu (-00,00) je spočetně nekonečná a nejznámější ortonormální bázi tvoří funkce 1 lhn)^n(x) ■Hn(x)exp x , n = 0,l,2, kde Hn(x) jsou Hermiteovy polynomy. Platí co frlh^^^J"Hi(x)Hj(x)eXP["X2]dX = Jij ' -00 Libovolný stav můžeme pak zapsat pomocí báze jako 00 k) = ZCn|hn) » Cn=(hnk) n = 0 neboli (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) kde Zn(x) Je dáno vztahem (1.10). Vektory báze zapsané jako funkce souřadnice x jsou v tomto případě reálné funkce, obecně to však být nemusí, proto raději v integrálu skalárního součinu pro výpočet cn píšeme znaménko komplexního sdružení. Jednotkový operátor vytvořený z vektorů báze má zápis i=2MH • Vidíme to snadno, zapíšeme-li jeho působení na libovolný vektor V) = Zln)(nlZci I1) = Zln)Zci H1) Zcn ln> = k) (1.14) (1.15) 1.2 Maticový zápis Zapišme působení operátoru na libovolný vektor zapsaný v nějaké bázi.Výsledkem je nový vektor | a} \a) = 0\/J) k>=ZaJ|j> (1.16) kde 0,=(i|0|j> . (1.17) Pro názornou představu (vezměme jen konečnou dimenzi Hilbertova prostoru) si teď zapíšeme v nějaké bázi stavový vektor jako sloupcový vektor (matice nxl) a operátor jako matici nxn f * \ \a) o, o V an J o, o 12 22 0(n-l)l 0(n-l)2 0„ 0„ o, l(n-l) o 2(n-l) O 2n 0(n-l)(n-l) 0(n-l)n O n(n-l) 0„ (1.18) Hermiteovsky sdružené objekty budou pak o„ o21 o* o* O O O* o* wln w2n o, o (n-l)l Wnl 0^)2 o;2 o o U(n-l)(n-l) Un(n-1) O, (n-l)n o (1.19) Výraz (<^|/?) vytváří skalární součin (ar|^) = (a1* a* ••• a^ a^) a výraz |/?)(<^| operátor (aľ ^ + a; b2 + • • •+a;_, bn_! + a; bn) (i .20) a\ ai a2 an-l anj: b2 aj b2 a2 Vl ai Vl ai V bn aľ bn a2 bl an-l bl an b2 Cl b2 K bn Cl bn K J (1.21) Vektory báze jsou o o |2> = 1 o |n-l) = o , |n> = o (1.22) takže jednotkovému operátoru odpovídá jednotková matice (\ O ••• O 6\ o 1 o o o o o o 1 o o 1 (1.23) J 1.3 Vlastní vektory a vlastní hodnoty Působení operátoru na některé vektory vede jen k vynásobení vektoru (komplexním) číslem A\a) = a\a) . (1.24) Takovému vektoru \a} říkáme vlastní vektor operátoru Ä a číslu a vlastní hodnota příslušná vlastnímu vektoru \a} . Zvolme nějakou bázi prostoru, v níž je vektor \a} vyjádřen jako i Zapišme vztah (1.24) násobený zleva vektorem | jako soustavu rovnic pro koeficienty ci ]rCi(j|Ä|i) = a]r(j^) => ^(A^-a^Jc^O . (1.26) Pro netriviální řešení musí být determinant soustavy roven nule a to dává rovnici pro vlastní hodnoty - přirozeně jen v principu, pokud je prostor nekonečně rozměrný. Většinou se postupuje tak, že základní rovnice (1.24) se napíše pro určitou konkrétní realizaci vektorů Hilbertova prostoru a vlastní hodnoty vyplynou z omezení na řešení této rovnice. Například pro vlnové funkce jedné proměnné představuje (1.24) obyčejnou diferenciální rovnici a vlastní hodnoty plynou z požadavku na to, aby řešením byla kvadraticky integrovatelná funkce (dostatečně rychlý pokles v nekonečnu, slabé singularity). Důležité je, že můžeme považovat za jednu z bází Hilbertova prostoru soustavu vlastních vektorů vhodného hermiteovského operátoru. Nástin důkazu je následující: Pro hermiteovský operátor ( A= A+) máme A\a\ = a. \a\ => (a, I A\a\ = a. (a, \a\ ] „ , , / li / ' = / u •/ i \ (a'-a:)Na'H • a27) ^ (aj | A|orJ = a. (a-|a^J Takže zvolíme-li i = j , je (cc} a musí být a; =a*, tj. vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálné. Zvolíme-li i^ j , je a; a musí být (cc} k) = 0, tj. vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám hermiteovského operátoru jsou ortogonální. Zvolíme-li tedy jako bázi soustavu normovaných vlastních vektorů hermiteovského operátoru A, můžeme psát jednotkový operátor podle (1.14) jako i=Sk>kl (L2g) n a samotný operátor jako n Často lze definovat i funkci operátoru zobecněním předchozího vztahu f(Á) = Zk)f(an)k| • (1-30) 1.4 Nepříjemnost s rovinnou vlnou a Diracovou delta funkcí Rovnice pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru hybnosti hdy/ (x) i dx (1.31) ma reseni Mx): -exp px (1.32) Volbu konstanty zdůvodníme níže. Funkce (1.32) jistě není na intervalu (-00,00) kvadraticky integrovatelná. Vlastních hodnot p je nespočetně mnoho - operátor má spojité spektrum. Korektně vzato, funkce (1.32) do námi uvažovaného Hilbertova prostoru nepatří. Přesto běžně v kvantové mechanice s rovinnými vlnami počítáme. Normování rovinných vln jsme zvolili tak, že pro skalární součin platí co (p'|p)= JVp'(x)Mx)dx=T- exp j Místo indexování celými čísly indexujeme spojitou proměnnou, vlastní funkce operátoru jsou ortogonální v tom smyslu, že jejich skalární součin je roven Diracově delta funkci rozdílu indexů (místo Kroneckerových delta indexů). Rovnice pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru souřadnice x^(x) = ^(x) má řešení i//4(x) = S(x-é;) . Normování volíme obdobně jako u vlastních funkcí operátoru hybnosti, tj. co co (?\š) = jV;/(x)^(x)dx= js(x-^)s(x-^)dx = s(^') . — co —co Jednotkový operátor zapisujeme v analogii s (1.14) jako co 1= j"|x)(x|dx (1.34) (1.35) (1.36) (1.37) nebo co Í=j|p)(p|dp . -co V analogii nalezení složek vektoru v bázi (1.12) píšeme (souřadnice jako spojitý index) (1.38) co co y/(yx) = (x\y/} =i> \yŕ) = | |x)(x|dx|^/) = | ^/(x)|x)dx (1.39) nebo (hybnost jako spojitý index) co co ^(p)=(pk> => k)= j"|p)(p|dpk)= JV(p)|p)dp (1.40) Vztah (1.32) pak můžeme zapsat jako {iTtfl) ^exp (1.41) Znovu zdůrazňujeme, že ani rovinná vlna, ani Diracova delta funkce nepatří při korektním přístupu do uvažovaného Hilbertova prostoru. Také není možné, aby nekonečně rozměrný Hilbertův prostor měl zároveň spočetnou (v našem případě {|hn)}i nespočetnou (v našem případě || x^j nebo || p^j. Přesto však při řešení standardních problémů kvantové mechaniky nevede nekorektní postup k chybným výsledkům. Je to pravděpodobně dáno příznivými vlastnostmi vzájemného vztahu prostoru ket vektorů a prostoru bra funkcionálů -matematicky korektní formulace je vytvořena po zavedení tzv. Gelfandova tripletu (také nazývaného rigged Hilbert space). 1.5 Příklad - lineární harmonický oscilátor Hamiltonián lineárního harmonického oscilátoru je H Hamiltonovy rovnice jsou d x _ <3H _ p dt <3p m Zavedeme bezrozměrnou proměnnou 2m 2 m© 2 p +-x (1.42) dp dt dli dx m oj x (1.43) f V/2 ' m co 1 v lh J x + i y/2 (1.44) Pro tuto proměnnou dostáváme snadno řešitelnou rovnici da dt + i<»a=0 =í> a = aexp[-iryt] , (1.45) kde a je libovolná komplexní konstanta. Vyjádříme-li souřadnici a hybnost pomocí a a a , dostáváme x = í-í-f (. + .•) , p=íf^f (.-a') . (1.46) \2mcoJ v 7 i ^ 2 j v 7 Po dosazení do (1.42) dostáváme H = -i(a a* + a* s^jha> . (1-47) Záměrně dbáme na pořadí součinitelů, protože tak můžeme hned napsat kvantově mechanický vztah - komplexně sdružená veličina odpovídá hermiteovsky sdruženému operátoru. Můžeme tedy vztahy (1.46) a (1.47) přepsat na íuí-*-jVí*) • p='í^iVi*) <>■«> \2mco J v 7 i ^ 2 j v ' a H =^(ää++ ä+ä)/žŕy . (1.49) Operátory ä a ä+jsou hermiteovsky sdružené, operátory fyzikálních veličin x, p a H jsou hermiteovské. Z komutační relace pro operátory x a p [x,p] = iM (1.50) dostaneme po dosazení z (1.48) komutační relaci pro operátory ä a á+ [á,á+] = i . (i.5i) Dosazením za áá+ ze (1.51) do (1.49) dostáváme pro Hamiltonův operátor lineárního harmonického oscilátoru výraz H=^N +^rjhco , Ň = á+á . (1.52) Operátor N má jako vlastní hodnoty nezáporná celá čísla. Důkaz není obtížný. Vezměme nějaký normovaný vlastní vektor |n) s vlastní hodnotou n. Máme tedy H Ň|n) = n|n) S n = (n|Ň|n) = ((n|á+)(a|n» = |(a|n))|2 > 0 . (1.53) Dále z komutačních relací N,ä Ň,ä ä+ Ň(ä+|n» = (n + l)(ä+|n)) I") -ä = (1.54) > Ň(ä|n» = (n-l)(ä|n)) . Je tedy ä+|n) vlastním vektorem operátoru N s vlastní hodnotou n + 1 a ä|n^ vlastním vektorem operátoru N s vlastní hodnotou n-1, tedy ä+|n) =/ln|n + l} , ä | n) = //n | n -1) . (1.55) Konstanty An a //n získáme z |yln|2 =|(ä+|n))|2 =((n|ä)(ä+|n)) = (n|ää+|n) = (n|Ň + Í|n) = n + l , |//n| = (ä|n)) =^n|ä+^ä|n)) = (n|ä+ä|n) = ^n|Ň|n) = n . Konstanty zvolíme jako reálná čísla a dostáváme tak konečné vyjádření působení kreačního ( ä +) a anihilačního (ä ) operátoru na vlastní vektory operátoru N ä+|n) = (n + l)V2|n + l) , a|n) = n1/2|n-l) . Přirozeně Ň|n) = ä+ä|n) = ä+(ä|n)) = n1/2ä+|n-l) = n|n) . Pro Hamiltonův operátor lineárního harmonického oscilátoru máme pak (1.57) (1.58) Vektor popisující základní stav s n = 0 splňuje ä|0) = 0 . Zapíšeme-li tento vztah s operátory v souřadnicové representaci, dostáváme rovnici dh^ + ^h0(x) = 0 , dx h (1.59) (1.60) (1.61) jejiz normovane reseni je ho (x) ' m co 1 v Ttfl j exp m co 2 x 2h (1.62) Funkce, odpovídající vyšším energiovým hladinám dostaneme podle (1.57) jako ti dlv,(xp f \1/2 í 1 m co 1 y2hn j Vito- m co dx (1.63) 2. Princip superposice 2.1 Feynmanova formulace 1. Pravděpodobnost P, že v ideálním experimentu nastane nějaký jev, je dána druhou mocninou absolutní hodnoty komplexního čísla tf>, které nazýváme amplitudou pravdepodobnosti P = |4 . (2.1) 2. Může-li k nějakému jevu dojít několika možnými způsoby, a nerozlišujeme-li v experimentu jednotlivé způsoby, je celková amplituda pravděpodobnosti jevu dána součtem amplitud pravděpodobnosti jednotlivých způsobů # = 2>. , P=M2 • (2-2) n 3. Může-li k nějakému jevu dojít několika možnými způsoby, a rozlišujeme-li v experimentu jednotlivé způsoby, je celková pravděpodobnost jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých způsobů P„=kľ , P=ZPn • (2-3) n 2.2 Formulace Landaua a Lifšice 1. Stav soustavy je popsán komplexní funkcí souřadnic konfiguračního prostoru *F(q), kvadrát modulu této funkce určuje hustotu pravděpodobnosti; |^(q)| dq je pravděpodobnost toho, že při experimentu nalezneme souřadnice v intervalu q,q+dq. Součet pravděpodobností všech možných hodnot souřadnic musí dát jednotku, je tedy pro vlnovou funkci j]Y(q)|2dq = l . (2.4) 2. Stav podsoustavy chrarakterizované souřadnicemi q, která je součástí soustavy popsané funkcí souřadnic konfiguračního prostoru Y(q,Q) je popsán maticí hustoty /?(q,q'); /?(q,q)dq je pravděpodobnost toho, že při experimentu nalezneme souřadnice v intervalu q, q+dq a platí p(q,q') = jV(q,Q)*r(q',Q)dQ . (2.5) 3. Vede-li ve stavu s normovanou vlnovou funkcí ^n(q) nějaké měření fyzikální veličiny f k určitému výsledku fn, popisuje vlnová funkce *(q) = Z*.*.(q) , ZKľ = i (2-6) n n I stav, ve kterém naměříme hodnotu fn s pravděpodobností an . 4. Nachází-li se soustava před měřením ve stavu s normovanou vlnovou funkcí x¥n (q), potom při měření fyzikální veličiny f nalezneme s určitostí hodnotu fn , ale po měření bude soustava ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí On (q), a pravděpodobnost I |2 nalezení hodnoty fm v okamžitě následujícím měření bude bm , kde bm = jVm(qR(q)dq , I>m|2=l ■ (2-7) m 3. Matematický popis 3.1 Základní popis - Hilbertův prostor 1. Stav soustavy je popsán paprskem v Hilbertově prostoru H c|^, kde |^)eH,ceC. 2. Dynamické proměnné jsou representovány hermiteovskými operátory v tomto prostoru. Poznámky: K prostoru ket vektorů c\w) zkonstruujeme duální prostor bra vektorů pomocí jednoznačného zobrazení \cc)^(a\ , ca\a) + cfi\j3)<^ca{a\ + cfi(j3\ . (3.1) Skalární součin v Hilbertově prostoru H definuje vnitřní součin bra a ket vektorů (a\f3) = (\a)\0j) . (3.2) Připomeňme známé vlastnosti skalárního součinu (|f),c|g» = c(|f),|g» , (c|f),|g» = c'(|f),|g)) , (lf>.lí»=(lg>.lí>)' • Hermiteovsky sdružený operátor je definován pomocí vztahu (|f),Ô|g» = (Ô*|f>.|g» , (|f),ô|g» = (|g>,ô1f»* . (3.4) 3.2 Axiomy 1. Výsledkem měření fyzikální veličiny může být pouze jedna z vlastních hodnot odpovídajícího operátoru. 2. Nachází-li se soustava ve stavu, který odpovídá vlastní hodnotě operátoru Ä rovné an je pravděpodobnost toho, že měření veličiny B dá hodnotu j3m rovna |(/?m|an)| ' ^e A\an) = an\an) , B|/?m) =/?m|/?m) . (3.5) Obdobně pro spojité spektrum operátoru B je pravděpodobnost toho, že měření dá hodnotu z intervalu (0,0+á0) rovna |(/?|an)|2 d/? . 3. Operátory A a B odpovídající klasickým veličinám A a B splňují komutační relace A, B AB-BA=i/zC , (3.6) kde klasická veličina C je dána Poissonovou závorkou klasických veličin A a B C={A,B} = £ rdAdB dAdB^ (3.7) d q; d P; d P; d q; 3.3 Reprezentace, rozklad jednotky Vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálná čísla a vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální. Důkaz není obtížný. Pro hermiteovský operátor platí Á|a) = a|a> , (a; | A= (a;\a'* . (3.8) Po vynásobení první rovnice bra vektorem (a'| a druhé rovnice ket vektorem |a^ a odečtení dostáváme {a-a'*^(a.' |a^ = 0, odkud plyne tvrzení. Při výpočtech je užitečné, jsou-li vlastní vektory normovány na jednotku, tj. (a|a^ = l. Obecný stavový vektor pak můžeme napsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů nějakého hermiteovského operátoru (předpokládejme operátor s diskrétním spektrem) k} = Zcnk} . cn=(an|^> . (3.9) n Z normovači podmínky y/) = \ dostaneme kk> = ZZCnCl(am|an) => Z Cn Cl = 1 > n m n l = ZCnC;=Z(HanXank> = (HÍZ|anXan|]k> => O-IO) n n V n y Výše uvedený zápis jednotkového operátoru budeme velmi často využívat. 3.4 Vlnová funkce Velmi důležitým operátorem se spojitým spektrem je operátor souřadnice, který bude přirozeně mít jako vlastní hodnoty příslušné souřadnice Q|q) = q|q> . (3.11) Průmětem stavového vektoru do vlastního vektoru operátoru souřadnic je vlnová funkce ^(q)s(qk) . ^n(q) = (q|a„> • (3-12) V souřadnicové reprezentaci tedy píšeme ¥(q) = £cB¥n(q) , cn=JY(q)^;(q)dq (3.13) n a normovači podmínky máme vyjádřeny jako jVPm(q)VI/;(q)dq= Smn , £cnc;=j>(q)^(q)dq = l . (3.14) n Obdobně pro operátory se spojitým spektrem ¥(q) = Jcf¥f(q)df , cf=j¥(q)rf(q)dq (3.15) a j>f(q)Y;(q)dq = j(f-g) , Jcf c'f d f = j Y(q)Y* (q)d q = 1 . (3.16) 3.5 Maticová reprezentace Napíšeme ještě jednou nejdůležitější vztahy. Vlastní vektory hermiteovského operátoru tvoří ortonormální bázi (am|an> = ^mn > (a f | ag ) = S ( f " g ) , S|an>(an| = Í , J|af)(af|df=l . ^ Koeficienty rozkladu obecného stavového vektoru 11//) v dané bázi získáme jako Cn=(ank) > Cf=(af|^) • (3-18) V dané bázi lze vyjádřit působení operátoru na stavový vektor jako maticové násobení i*>=%> (a„k)=(aj]k>=i: , (3.19) V m / m tedy 15 kn)=ZBnmkm> • (3-20) m Matice operátoru v bázi tvořené jeho vlastními vektory je diagonální 4m=(an|Ä|am) = amJnm • (3-21) Pro komutující operátory A a B platí (ai|ÄS|ak)= (ai|ěZk}(ak|Áh) ' k k (3.22) a^ailBla^a^ailÉlaj) => (a; |B|aj) = (a; |B|a;) ó{) . 3.6 Zápis Schrodingerovy rovnice v maticové reprezentaci Pro jednoduchost uvažujme Hilbertův prostor konečné dimenze s ortonormální bází || n)|. Upravme Schrôdingerovu rovnici A|^(t)) = Hk(t)> (3.23) na i/^(m|^(t)) = (m|H^|n)(n|^(t)) . (3.24) CIL n Rovnici (3.23) jsme zleva vynásobili vektorem báze(m| a na pravé straně jsme vložili mezi hamiltonián a stavový vektor jednotkový operátor. S označením Cn(t) = (n|^(t)) , Hmn=(m|H|n> (3.25) přepíšeme (3.24) na i^ = ZHmnCn(t) . (3.26) Platí přirozeně Hmn=Hnm . (3.27) Pro koeficienty Cn (t) platí (opět trik s vložením jednotkového operátoru) i=H)kW)=H)Eln)(nlkW>=zc:(t)cn(t) . (3.28) n n Pro souřadnicovou reprezentaci jsou úvahy obdobné - jen dimenze je nekonečná a není spočetná. Maticové elementy hermiteovského operátoru souřadnice v bázi jeho vlastních vektorů jsou diagonální 16 (x2|x|x1) = x2(x2|x.) = x.(x2|x1) => (x2|x1)~ťy(x2-x1) . (3.29) Normování vektorů báze a jednotkový operátor jsou (x|y) = č(x-y) , J|x)(x|dx = Í . (3.30) Schrôdingerovu rovnici (3.23) napíšeme v souřadnicové bázi jako ih^J^- = j(x|H|y)^(y)dy , (3.31) kde jsme označili y/(x) = (x|y/) . (3.32) Časovou derivaci nyní píšeme jako parciální, aby byla odlišena od derivací podle prostorových souřadnic - to u diskrétní báze nebylo třeba. Jak vypadají komutační relace? Pro souřadnici a sdruženou hybnost máme xp - px = iM . (3.33) Postupnými úpravami dostaneme j(^|x|y>(y|p|x2)dy-J(x.|p|y)(y|x|x2)dy = i/z(x1|x2) , j(^|y|y>(y|p|x2)dy-J(x1|p|y)(y|x2|x2>dy = i/z(xi|x2) , (3.34) Jyj(x.-y)(y|p|x2)dy-Jx2(x1|p|y)j(y-x2)dy = i/zj(x1-x2) a tedy nakonec (x1-x2)(x1|p|x2) = i/zJ(x1 -xj => *dí(^ = iAdí(^ (3.35) i dxj dxj Jak je to s druhou mocninou? 'd= í(x|P|y)(y|^)dy= [ih d^*~ Y V(y)dy = ^M^l (3.37) J J dy i dx nebo 17 (x| p2 \w) = j(x|p2| y)(yk)dy = -h2 d2j(x-y) , . 7d2u/(x) V V(y)dy = -h2—p^- . (3.38) d y dxz 3.7 Relace neurčitosti Mějme dva hermiteovské operátory A a B. Jejich komutátor je antihermiteovský operátor i C , kde C je hermiteovský. Zavedeme označení pro střední hodnotu operátoru ^Ô^ = (i//\Ô | y/), přičemž ^|^ = 1 a definujeme neurčitost jako AO: (ô-(ô)y Zobecněnými relacemi neurčitosti nazýváme nerovnost 1 A AA B > (^[á,b]|^> K důkazu užijeme Schwarzovy nerovnosti (f|f>(s|s>H(f|g>ľ • |f> = (Ä-(Ä))k) , |g> = (B-(É))k> {^\\(^k-(}$(B-{B))\W) . Pro každý nezáporný operátor platí totiž (f +^g|Ô| f +^g)>0 , (g|Q|f) (f |Ô| f) >0 . Úpravou (ä-(ä))(b-(b)).d + 1č kde C a D jsou hermiteovské operátory (Ä-<Ä))(b-(b)) + (b-(b»(Ä-(Ä)) (Ä-(Ä»(b-(b))-(b-(b»(Ä-(Ä)); dospíváme konečně k výsledku (^r(ab)s(ď)vi(č>%i(čy-. i (3.39) (3.40) (3.41) (3.42) (3.43) (3.44) (3.45) 18 Rovnost (stavy s minimem neurčitosti) nastává tehdy, je-li splněno (Ä-(Ä^) = >l(B-(B^|^) , Á + Á*=0 . (3.46) Potom je (y/|Ď|y/) = 0 . (3.47) Nejznámějším příkladem jsou Heisenbergovy relace neurčitosti pro operátory souřadnice q a k ní příslušné hybnosti p AqAp>- V souřadnicové representaci A=q = x , B=p=-— , C=T i dx i A, B hl (q) = xo » (p)=Po > Aq = Jj Rovnice pro stav s minimální neurčitostí je pak h di//(x) i dx + Po y/(x) . Normovaným řešením je ys(x): 1 ji (x-Xq)2 (2^/4(JxfeXP^P°X"4(Jx)2 (3.48) (3.49) (3.50) (3.51) 4. Základní operátory v souřadnicové representaci 4.1 Hamiltonův operátor (hamiltonián) Vlnová funkce úplně určuje stav soustavy. Zadání vlnové funkce v určitém okamžiku musí tedy určovat její chování v budoucnosti, musí proto derivace ô^/ôt^ t lineárně záviset na ^(to) • Obecná závislost je (Schrôdingerova rovnice) ih— = HVP , (4.1) dt kde H je nějaký lineární operátor, faktor ih je vyčleněn pro korespondenci při kvasiklasické aproximaci. Tam předpokládáme vlnovou funkci ve tvaru = Aexp{iS//ž}, kde A je pomalu 19 se měnící amplituda a S/h rychle se měnící fáze vlny. S je klasický účinek (řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice), /zje Planckova konstanta. Potom in-=--¥ dt dt as ' dt VP = H dS_ dv ,r ,t (4.2) kde H je Hamiltonova funkce. Této fyzikální veličině přiřadíme operátor H . Hamiltonův operátor H je hermiteovský, což vidíme z následujících úprav — q,t dq= -^Íli^(q,t)dq+ q,t —^dq = d tJ1 1 ot I ot j j 4írHvP(q,t)]V(q,t)dq + ir^(q,t)HY(q,t)dq= (4.3) nJ L J nJ H -H Y(q,t)dq = 0 H = H 4.2 Operátory hybnosti a momentu hybnosti Uvažujme uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole. Hamiltonián soustavy se nezmění při paralelním přenosu soustavy o libovolnou vzdálenost, budeme však uvažovat jen infinitesimální posunutí, tj. transformaci —»rá +Sv . Při ní se vlnová funkce (souřadnicová reprezentace stavového vektoru) transformuje jako Y(fa+Jf) = Y(fa) + Jf.2VaY(fa) = ÔY(fa) , a Ô = Í + *r-£Va . (4.4) Tvrzení, že nějaká transformace nemění hamiltonián, znamená toto: transformujeme-li funkci H , je výsledek stejný, jako když působíme H na transformovanou funkci O . Je tedy O,H 0 V důsledku homogenity prostoru komutuje s hamiltoniánem operátor £VaH-H£Va=0 . (4.5) (4.6) Vzhledem k tomu, že invarianci vůči posunutí odpovídá v klasické mechanice zákon zachování hybnosti, bude operátor hybnosti úměrný operátoru V. Operátor hybnosti jedné částice je tedy P = -V (4.7) i 20 a pro kvasiklasickou vlnovou funkci PY = (VS)Y . (4.8) Uvažujme opět uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole. Hamiltonián soustavy se nezmění při otočení soustavy o libovolný úhel kolem libovolné osy, budeme však uvažovat jen infinitesimální pootočení, tj. transformaci —+ J(z)xra. Při ní se vlnová funkce transformuje jako Y(fa+Jf) = Y(fa) + 2(^xfa).VaY(fa) = ÔY(fa) , a 0 = l + ^-£řaxVa . V důsledku isotropic prostoru komutuje s hamiltoniánem operátor ^faxVa : a £řaxVaH-H£faxVa=0 . a a Bezrozměrný operátor momentu hybnosti jedné částice 1 je f = -i(řxV) . Operátor momentu hybnosti (rozměr Planckovy konstanty) je pak L = r x p = —r XV i a pro kvasiklasickou aproximaci tedy LY = (fxVS)vP . Připomeneme podmínku toho, aby operátor byl hermiteovský: (^|óV)-((y/|ô^))*=o . Pro operátor hybnosti je to1 y/(f)-V#?(f)dV Y Vv h (p (f)-V^(r)dV ^jv[^(f)^(f)]dV = y|^(f)^(f)ndS=0 (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) 1 JvVO(f)dV = JsO(f)ndS 21 Tato podmínka je splněna, je-li na hranici vlnová funkce nulová (při objemu s jistou symetrií také periodická). Pro nekonečný objem musí vlnová funkce dostatečně rychle klesat k nule. Pro operátor momentu hybnosti máme U(f). V kvantové mechanice je nenulová pravděpodobnost nalezení částice i v oblastech s E = 0 . (M) Budeme uvažovat obecný průběh potenciální energie s volbou nulové hladiny v kladném nekonečnu U(oo) = 0a s hodnotou U(-oo)=U0>0. Funkce U(x) má alespoň jedno minimum, kde nabývá záporné hodnoty Umin<0. Pro hodnoty energie, které odpovídající pohybu na klasicky ohraničené úsečce, tj. pro UminU0 máme opět spojité spektrum s rovinnými vlnami jako asymptotickým řešením. 5.2 Vodíkový atom Hamiltonián atomu vodíku je H =——Ar -—Ar--SĽ-. . (5.6) 2mp p 2rr^ e 4^0|fe-řp| Zavedením nových souřadnic a nových označení pro redukovanou hmotnost a celkovou hmotnost5 r=re-r , R =-, m =-^ , = + m (5.7) přejde (5.6) na H=_J^Ae_^Ar_^ . (3.8) 21% 2m 4ft£0r Ve Schrodingerově rovnici napíšeme energii jako E + h2 K2/(2mH ) a separujeme pohyb hmotného středu od vzájemného pohybu elektronu a protonu, takže hmotný střed se pohybuje jako volná částice a vzájemný pohyb je popsán rovnicí h2 Af^(r)-—í—^(ŕ) = E^(ŕ) . (5.10) 2m 4ft£0v 4 V některých modelových úlohách je v potenciální energii člen úměrný Diracově delta funkci U=u^J(x-a). Potom je spojitá pouze vlnová funkce a derivace má v bodě X=a nespojitost f;(a + 0)V(a-0) = 2mfu/ť. 5 Přísně vzato, podle Einsteinova vztahu ekvivalence energie a hmotnosti je IT^ C2 vodíku v základním stavu o 13,6eV menší než (mp +me^C2 25 Zapsáno ve sférických souřadnicích máme j_d_ r2 dr f dip dr 1 1 d f sin# dO siné* dl// ~o~0 i ay sin2 9 dep2 2m /z2 E + - ip=0 (5.11) a můžeme přistoupit k řešení rovnice metodou separace proměnných. Vlnovou funkci hledáme ve tvaru Vs(r,0,. V námi studovaném případě popisu atomu vodíku se pro jeho zásadní důležitost neobrátíme k hotovému matematickému výsledku, ale podíváme se podrobněji na jeho odvození. Substituce Hp) je d2u dp2 pro p^Opak -su = 0 , u = Aexpj-Vš' /? j + B expjVš' /? j d2u 1(1 + 1) n „ i+i ~ 1 dp2 P2 H Pl Nám vyhovují pouze konečná řešení, takže hledáme u (/?) ve tvaru u(p) = pl+1exp{-^p}f(p) Rovnice pro funkci f (/?) je tedy P^r + 2(l + l-^p)— + 2(l-VJ(l + l)) f =0 dp v i dp v '1 \df Hledáme řešení (5.24) ve tvaru řady (5.19) (5.20) (5.21) (5.22) (5.23) (5.24) (5.25) 27 Dosazení do rovnice a porovnání koeficientů u stejných mocnin /?j dává rekurentní vztah pro koeficienty Aj [j+2(l + l)](j+l)Aj+1-2[>/7(j+l + l)-l]Aj=0 . (5.26) Kdyby řada byla nekonečná, pro velké hodnoty j by bylo ^^^^Í^^ÉV-Al^^exp^,} (,27, J"1"1 J- j=0 j=0 J- a funkce u (/?) by tak v nekonečnu divergovala. Musí tedy existovat nějaké jmax, kdy řada končí, tedy kdy Au+1=0 =^> ^-n=jmax+l + l (5.28) Funkce f (/?) je tedy polynom stupně Jmax=n-1-1 . 2(j+l + l-n) (5.29) n[j+2(l+l)](j+l) J Objevilo se nám tak další kvantové číslo (hlavní kvantové číslo) n. Ze vztahu (5.29) plyne omezení na vedlejší kvantové číslo 1. Pokud hlavní kvantové číslo pevně zvolíme, musí být 1 = 0,1,...,n-1. Rovnice (5.24) v proměnné z = 2y[ěp má po dosazení yfš = \jn tvar d2w dw z—- + (21+ 2-z)-+ (n-l-l)w = 0 dz2 V ;dz V ; (5.30) a jejím řešením je hypergeometrická funkce W: F(-n+l+l,21 + 2,z) , F(a,y,z) = l + --+a[a + l) — + ... . (5.31) v ; x ' y\\ y(y+í) 2! Pro atom vodíku jsou normované vlnové funkce i//nlm s nejnižšími kvantovými čísly tedy 100 1/2 3/2 exp f x\ V aBj 210 1/2 5/2 r exp 200 1/2 3/2 2a exp B J V 2aBj V 2aBj COS0 , (5.32) W2 + i 8WV2af r exp í r ^ sin<9exp(+i<^) . 28 Fázové faktory jsou věcí konvence, je důležité si všimnout, že pouze pro s - stavy (stavy s 1=0) je ^n00(0)|^0. Proto například (Lambův posuv) dochází k rozštěpení hladin 2s^2 a 2 Pl/2 • Atom vodíku je jediným exaktně řešitelným případem - už pro helium si započtení interakce dvou elektronů vyžaduje zvláštní metody poruchového počtu. Nicméně zavedení kvantových čísel (čtvrté - spin - jsme zatím nepoužili) je nesmírně důležitým příspěvkem k popisu atomů obecně. 5.3 Elektron v homogenním magnetickém poli Hamiltonián elektronu v magnetickém poli, které popisujeme vektorovým potenciálem A a indukcí B = rot A je H =j^-V-eÄj -/2-B kde //je operátor magnetického momentu elektronu ~ eh s (5.33) ju 2m s (5.34) V této definici vystupuje operátor spinu. Protože se spinu budeme věnovat později, vezmeme jako skutečnost, že pro orientaci pole podél osy z bude možné napsat vlnovou funkci jako dvousložkovou veličinu - spinor (y/(ř,a=-y2)y a působení hamiltoniánu na jednotlivé složky bude f t, % V (5.35) H y/(x ,a) 1 2m h d _ --+ c B y i <3x r dz eBo- 2m dy2 2mdz2 m (5.36) Ve vztahu (5.36) už jsme zvolili konkrétni tvar vektorového potenciálu Ä=-Byex. Zajímavé možnosti spojené s různou volbou tohoto potenciálu nebudeme ale rozebírat. Dosadíme do stacionárni Schrôdingerovy rovnice H y/ = Ey/ vlnovou funkci ve tvaru, který bere v úvahu, že rovnice závisí pouze na souřadnici y y/ = exp -^-(Pxx+Pz z) x(y) (5.37) 29 Pro funkci Z (y) pak dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici d2Z , 2m dy2 h2 E - ťXŕft, m 2m 2 vMy-yo) (5.38) kde e B m y0 eB (5.39) Rovnice (5.38) je rovnice harmonického oscilátoru, můžeme proto hned napsat vlastní hodnoty energie n + — + <7 \frax (5.40) a také normované vlastní funkce 1 Zn(y): aB2nn! rexp (y-y0)2 2 a2 H V ab J (5.41) Poměrně snadno se přesvědčíme, že kromě konstanty y0 můžeme vytvořit také veličinu x0 = py/(eB) + x, jejíž operátor komutuje s hamiltoniánem H ô ■+x x^H 0 . ieB dy V klasickém popisu je bod (x^Vq) je středem kružnice poloměru pt/(eB), kde pt je velikost průmětu hybnosti p do roviny x - y. Ani pro velké hodnoty kvantového čísla nedostáváme |^n(y)| jako rozložení hustoty pravděpodobnosti soustředěné kolem klasické trajektorie. Je třeba si uvědomit značnou (nekonečnou) degeneraci pro danou energii -z lineární kombinace stavů příslušných dané energii už něco podobného vytvořit jde. Jaká je vlastně násobnost degenerace pro určité číslo n? Uzavřeme-li elektron do krychle objemu V = LxLyLz, je počet stavů s různými hodnotami (teď už diskrétními) pz v intervalu Apz roven Lz/(2^/z) Apz . Počet stavů pro px je obdobně Lx/(2^/z) Apx, ale interval Apx nesmí vést k tomu, aby bylo y0 > Ly , musí tedy být A px = e B Ly . Celkem je tedy počet stavů s danou hodnotou energie (ještě dvojnásobná degenerace daná rovností energie pro n+ 1/2 a (n + l)-l/2) 30 eBApz {Intíf V 6. Některé aproximace pro poruchy na čase nezávislé 6.1 Rayleighova - Schrôdingerova metoda 6.1.1 Nedegenerované hladiny Předpokládáme, že hamiltonián je na čase explicitně nezávislý. Je složen ze dvou částí H=H0+ik)K0)) > E=2>kE« . k=0 m (6.1) Porovnáním členů u stejné mocniny a dostaneme j(k-i)„(i) j,(P)(k) yE(k-uc(U_E(o)cw=yv / , m mm / , r 1 = 0 p k=0 mp p (6.2) V = (w mp \ (0) V ^(p0)) 0 . Členy pro k = 0, 1,2 dávají (E(0)-E(0))c(0)=0 , t m / m ' (6.3) E«c(o)+(E(o)_E(o)\c«=yv c(o) m \ m / m / j mp p ' p E(2)cW + E«c«+ÍEW-EWW2)=yv c« . m m \ m / m / , mp p p Počítáme opravu ke stavu Y*0^ . Stavový vektor budeme při výpočtu normovat podmínkou (případné normování (^l^ť) = 1 můžeme provést až po ukončení poruchové řady)8 (*Í>|*) = 1 ^> ci°)=Jmn , cížl)=0 . (6.4) Znamená to, že případné změny ve směru původního stavového vektoru neuvažujeme, počítáme jen se vznikem opravy v ortogonálním podprostoru k jednorozměrnému podprostoru nataženém na původní vektor *?) - 31 Řešením soustavy rovnic pro m=n máme E(o)=E(o) c(o)=1 E(1)=V„ , c«=0 , (6.5) p (2) _ Xip^pn E(0)-E( P(°)_Th(°) a řešením soustavy rovnic pro m*n pak :í2)=0 ,(o) (i) ,(2) z- 0 , c, V V m p pn E(o)_E(o) n m V V mn nn (6.6) (E(o)_E(o)^(o)_E(o)) (E(o)_E(o)^ 6.1.2 Degenerované hladiny Patří-li stav nj s-krát degenerované energiové hladině (E*0^ = E^ = ... = E*0^), je třeba vhodně vybrat příslušné vlnové funkce, tj. zvolit namísto původních nové (6.7) tak, aby byl operátor V pro nové vlnové funkce patřící degenerované hladině diagonální. Ve druhé z rovnic v (6.3) pro některý stav m=n; zdegenerované hladiny položíme c'°'=0 pro p ^ rij,..., ns. Koeficienty d;. získáme řešením soustavy rovnic V -E n,n. E(1) d = VV d uíj Z; ukj (i) v v v V -E n2 n2 v (i) V v v o . (6.8) Pro nejnižší opravné členy dostáváme (indexy n; už patří novým funkcím W'^^a předpokládáme, že degenerace už byla sejmuta, tj. V je v nových funkcích Y'*0^ diagonální aV^ ^Vn n . Pokud by tomu tak nebylo, je třeba postup opakovat až do úplného sejmutí degenerace. 32 ľ(°) - Th(°) ' /L t7(0)_t7(0) ,(o) <"=o ,(1) v_ E(o)_E(o) (6.9) V V ni p p "i V -V ^ E(0)-E(0) 6.1.3 Případ velmi blízkych hladin Pro určitost uvažujme o dvou blízkých hladinách, odpovídajících stavům m a n. Z poruchového členu isolujeme příslušné maticové elementy, tedy V = Vj + V2 , H=H1+V2 , H^Ho+X , V, = Vmm I m) (m| + Vnn | n) (n | + Vmn | m> (n | + Vnm | n> (m| . Platí tedy (m|V21 m> = (n|V21 n) = (m|V21 n) = (n|V21 m) = 0 , V1|k^m,n) = 0 . Potom bude H1|k^m,n) = E<0)|k^m,n) , H1|m) = E«|m)+Vnm|m> , E« = EÍ°)+Vm H1|n) = E«|n>+Vmn|n> , E« = E<°> + Vnn Rovnice pro vlastní hodnoty H1[a|m) + /?|n)] = s[a|m) + /?|n)] V E(1)-s \ vmn cy E^-e V m nm mn n vede k výslednému rozštěpení hladin E« + E« m n rE«_E(in m n 1/2 (6.10) (6.11) (6.12) (6.13) (6.14) 6.2 Potenciální energie jako porucha Jako neporušenou úlohu uvažujeme pohyb volné částice, popsaný Helmholtzovou rovnici 33 (6.18) 1/2 A¥0)(f) + k2¥0)(f) = 0 , k = _P = (2mE) (615) Pohyb v potenciálovém poli, které považujeme za poruchu je popsán Schrôdingerovou rovnicí AvP(f) + k2vP(f) = ^U(f)vP(f) . (6.16) Řešení této rovnice můžeme napsat ve tvaru Y(f) = ¥°)(f)-^JG(f-r;)U(r;)Y(r;)dsr; , (6.17) kde G je Greenova funkce Helmholtzovy rovnice AG(ř-rj) + k2G(ř-r;) = -J(s)(ř-r;) , . . 1 explik Ir-rl) G f-ŕj) = ---n, 1 " , s = 3 , An |r_r| G(f-r;) = ÍH«{k|f-f|} , s = 2 , G(f-r;) = ^exp{ik|f-f|} , s = l . Schrodingerovu rovnici pak řešíme iteracemi ^■+1)(r) = ^°)(r)-^jG(r-í)U(í)^(í)d^ , n = 0,l,... . (6.19) Zůstaneme-li pouze u základní iterace (n = 0), nazývá se toto přibližné řešení pohybu v potenciálovém poli Bornova aproximace. Předpokládáme tedy ^P'0^ (f) ve tvaru rovinné vlny a zajímáme se o vlnovou funkci daleko od oblasti působení potenciálu, tedy pro Greenovu funkci klademe , , expíikr} f ^ G(r,rj) = —f-^-exp -ikrrnf , s = 3 , , , (l+i)expíikr) ( G(f,r) = -^-; . n ^xpí-ikr-nJ , s = 2 , (6.20) V ! 4^kr 1 ] 2k V exponentu jsme aproximovali , . iexpíikr} ( ^ ^ ■» G(r'ri) =-ŕ,-^-exp(-ikrrnf) , s = l 34 r -r, = r f - 2 V/2 l-2nf ± + \ v r r y r-rif-rj , (6.21) přičemž jsme označili jako nf =r/r jednotkový vektor ve směru pozorování. Dopadající rovinná vlna je pak (f) = exp|ik-f j = expjikr fí;-nf | , (6.22) s označením jednotkového vektoru ve směru dopadu n; =k/k . Vlnová funkce je pak Y (r) = expjikr n; -nf j + 2tz f v V8"1)/2 f (n; ,nf )exp{ikrj (6.23) kde f , nf) je amplituda rozptylu f (n;,nf): m -exp^ Ixh2 1 { 4 Amplituda rozptylu v Bornově aproximaci je ^^|jexp{-ikr;-nf}u(r;)Y(r;)dsr; . (6.24) fB(ni,nf) m -exp^ -^í^ljexp{ik^-(^-nf)}u(fi)dsfi . (6.25) Ixh2 1 [ 4 V trojrozměrném případě dostáváme pro amplitudu rozptylu dopředu (n; =nf) výraz (6.26) To je reálná veličina, což je v rozporu s optickým teorémem a omezuje to platnost jinak velmi užitečné aproximace na případ velmi slabého rozptylu. Podíl pravděpodobnosti toho, že rozptýlená částice projde za jednotku času plošným elementem dS = r2 dQ a hustoty toku částic v dopadajícím svazku nazveme diferenciálním účinným průřezem der |2 á<7 = f (fí; ,nf) dQf (6.27) Jako příklad uvedeme výpočet amplitudy rozptylu v Bornově aproximaci pro Yukavův potenciál ve třech rozměrech 9 Optický teorém je pozoruhodný vztah, který spojuje celkový účinný průřez a imaginární část amplitudy k rozptylu ve směru dopadající vlny 3| f (0)| = —— dává 2n, po substituci cosi9=x máme J exp[2ikrsin(<9/2)x]dx: exp (2 i k r sin(0/2)) - exp (- 2 i k r sin(0/2)) 2ikrsin(#/2) Zbývá dopočítat f (n;,ňf) = co Amplituda rozptylu je tedy ma 1 f (ň^ňf): (6.28) 2/*2(i/2)2+k2sin2(#/2) Pro rozptyl na coulombovském potenciálu (A = 0) dostáváme Rutherfordův účinný průřez (označíme h k = p = mv) dQf der. Ruth a 2 m v2 sin 4# ' (6.29) 36 6.3 Variační princip Uvažujme variační úlohu J ={y/\Ú\y/)-B{{y/\y/)-\) , ÓJ =0 . (6.30) Variace vzhledem k energii, která zde vystupuje jako Lagrangeův multiplikátor, dává normovači podmínku. Variace vzhledem k dává Schrôdingerovu rovnici S T -=0 => (V/\V/)-l = 0 , *J <6'31) S ^=0 (H-E)|^ = 0 Striktně vzato variace bra vektoru a jemu příslušného ket vektoru nejsou nezávislé, ale ve variačním počtu s nimi budeme formálně počítat jako s nezávislými veličinami, neboť platí (ô(y/\)\a) + (f3\(ô\y/)) = 0 |ar) = 0 , (/?| = 0 . (6.32) 6.4 Hartreeho - Fockova metoda selfkonzistentního pole Pro výpočet mnohaelektronových systémů je vhodná metoda selfkonzistentního pole. Předpokládáme, že spinově nezávislý Hamiltonův operátor soustavy s N elektrony je tvořen částí vyjadřující interakci elektronu s vnějším polem a členem, popisujícím vzájemnou interakci elektronů soustavy H=H1 + H2 , H^^H; , H2=^ZXk i=l -^i,k=l (6.33) FT %2 Ai+eV(r7) , Yik 6 1 2m 4^o K"Fk Pro vlnovou funkci volíme pak (ľj, Sj, r2, s2,..., rN , sN ,) ^n,(r2,s2) ^n2(f2,s2) ^nN(ř2,S2) ^nN(4^N) (6.34) Jednočásticové vlnové funkce můžeme psát jako součiny souřadnicových a spinových funkcí. Budeme požadovat, aby jednočásticové funkce byly ortonormální. Variační funkcionál má v takovém případě tvar 37 N N i=l i=l 1 N 9 Z ÍK (fOXk ^ (í)^ (4) d3i; d3rk - í ,k—1 (6.35) i#k 1 ^ Z <*U ÍK fi)^ (Fk)Xk ^ (fk)^ (ŕ;) d3ŕ:d3fk ,k = l i*k Po variaci dostáváme soustavu rovnic ^+eV(f) + 7TrŽ <(F)F^^P)d3? 2m 0 k=l k-i r -r ,2 N 4^^0 k=i r -r (6.36) ^ni(r) = Ei^(f) Pro celkovou energii (není prostým součtem energií E;, neboť tak by byla coulombovská interakce započtena dvakrát) obdržíme výraz -— Af +eV(r)+-^-V wl (f')—^n (f')d3F '0 k=l ./ k-i ^ (f) (6.37) %7t S, 0 k=l k-i r - r Pro atom se Z protony v jádře a dvěma elektrony dostáváme h2 Ze2 1 e2 2m r 4^-£-0r 4 ;r ď0 1 <(f)i^Mř')d3ř' r -r 4^,/s'S2 <(f')rr^^(f')d3r-' r -r h2 A Ze2 1 e2 ' -A,---+ ^n2(r) = Ei^n,(r) , 2 m 1 4 ^ s0 r 4 f0 K(f')i7^[^,(F')d3r" r - r (6.38) ■ô. r -r ^n,(f)=E2^n2(f) • Při konkrétních výpočtech je výhodné použít rozkladu 38 rrj-H=É^T4Íx:(^^1)Xm(^^2) • (6-39) |ri ľ2\ 1 = 0 Zi 1 r> m=-l 6.5 Ritzova variační metoda Je zřejmé, že pro nejmenší hodnotu energiového spektra platí nerovnost E0 = ZlnXnk> ' H|n) = En|n) . (6.41) n Potom °3 co Z|(nk>|En Z|(nk)|2(En-E0) 1=—^-= -+E0>E0 . (6.42) |2 I / i v |2 3°M 2>M n=0 n=0 Budeme tedy minimalizovat hodnotu funkcionářů J na podprostoru zkušebních vektorů. Tento podprostor parametrizujeme M parametry am, takže redukujeme minimalizaci funkcionářů J na hledání minima funkce JC^.....^)^^--"^^!^--"-^ . (6.43) {iy(a,,...,aM)\y/(a„...,aM)) Zvláštní pozornosti si zaslouží případ, kdy parametry am jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze M-rozměrného podprostoru příslušného Hilbertova prostoru M \y/{ax,...,aM)) = Yja)\!) • (6.44) j=i V tomto případě dostáváme M J (ai,...,aM) = ^--- (6.45) j Z podmínky dJ (ax,...,aM) da{ dostáváme soustavu rovnic 0 , i = l,...,M (6.46) 39 (6.47) Můžeme si také představit, že úloha je převedena na nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů projekce Hp hamiltoniánu do tohoto podprostoru M (6.48) s aproximací Schrôdingerovy rovnice ňp\Ú) = Ep\A) . (6.49) Promítneme-li totiž (6.49) postupně do vektorů (6.44), dostaneme soustavu M homogenních algebraických rovnic (6.47), která má řešení pro w(H-Ep)|4) - (^|(H-ep)|^m> W(h-ep)|^) - (^m|(h-ep)|^m> (6.50) Vektory báze mohou být parametrizovány s parametry /?s a vůči těmto parametrům lze pak minimalizovat příslušný funkcionál. Významnou aplikací je metoda LCAO pro výpočet elektronových stavů v molekulách. Molekulární vlnová funkce elektronu se konstruuje jako lineární kombinace vlnových funkcí elektronu jednotlivých atomů. Pro molekulu s M atomy hledáme tedy jednoelektronové vlnové funkce ve tvaru a těchto vlnových funkcí užijeme při vytváření mnohaelektronové vlnové funkce. (6.51) 7. Bornova - Oppenhaimerova aproximace 7.1 Obecná teorie Pro výpočet stacionárních stavů molekul je vhodná Bornova-Oppenhaimerova aproximace. Předpokládáme, že spinově nezávislý Hamiltonův operátor soustavy s N elektrony a M jádry je tvořen částí vyjadřující kinetickou energii jader, dále pak elektronovou částí obsahující kinetickou energii a vzájemnou interakci elektronů, a nakonec interakční částí, popisující interakci elektronů s jádry a vzájemnou interakci jader 40 Vlnovou funkci hledáme ve tvaru Kíf)'{Ř}) = ^({f}'{Ř})X({Ř}) > kde funkce ;^{r},{Řjj je řešením rovnice (7.2) ,2 M Ý N „2 N 2mi=1 8Ä-ffoi>k=1 r;-rk 8^^0 r>r=1 -R^ I ^2 NM 0 i=l r=l ^({f}'{Ř})=U({Ř})^((f}'{Ř}) J/(P}.{Ŕ})^({f}'{Ŕ})d{f} = 1 (7.3) Variační úloha pro funkci X^jŘjj má pak v tomto případě tvar =0 , X X ({R})d{R} (7.4) Z uvedeného funkcionářů můžeme pak odvodit pro pohyb jader "Schrôdingerovu rovnici" Ml . . *2Z^rA,+u({Ř})-E X ({Ř}) = 0 . (7.5) -2Mr r Pro dvouatomovou molekulu (předpokládáme, že těžiště je v klidu) označíme relativní souřadnici a redukovanou hmotnost jako M, M„ R — Rj - Rj , ju a rovnice (7.5) se zjednoduší na 2ju A+U(R)-E Mj+M2 X(Ř) = 0 . (7.6) (7.7) 41 Standardní substituce x(ř) = ^Mykm(©,o) R (7.8) vede k rovnici h2 d2 2//dR2 + Ueff(R,K)-E SK(R) = 0 , (7.9) kde Ueff(R,K)=U(R) + /z2K(K + l) 2//R2 (7.10) Blízko rovnovážného stavu pak ponecháme jen nejnižší členy rozvoje efektivního potenciálu U^K^U^Ro^ + ^R-R,)2 , Q2=ld2U*fo'K) (7U) Dosazením (7.11) do (7.9) dostáváme rovnici harmonického oscilátoru. Struktura energiových hladin dvouatomové molekuly je tak tvořena třemi členy - elektronovým, rotačním a vibračním E = E(el) + E(r) + E(v) 1 E(el) =U(R0) , EW = BK(K + 1) , Ew =hQ. v+| (7.12) Ve vztahu (7.12) jsme zavedli konstantu B = /z2/'^2//R^), která určuje škálu rotačních hladin energie. Typické hodnoty pro základní molekuly jsou uvedeny v Tabulce 1. Tabulka 1 ^"-"--■^^ molekula eV^^^^^ H2 N2 o2 -U(Ro) 4,7 7,5 5,2 hQ 0,54 0,29 0,20 103B 7,6 0,25 0,18 42 7.2 Molekula vodíku 7.2.1 Iont molekuly vodíku Nejprve budeme studovat jednodušší případ, a to iont molekuly vodíku. V tomto případě má hamiltonián v Bornově - Oppenhaimerově aproximaci tvar H h2 r, =r 2m 4^s0r1 4xs0r2 4xs0R (7.13) R, , f2=f-R2 , R=R1-R2 . Při malé vzdálenosti protonů by se měla vlnová funkce chovat podobně jako vlnová funkce elektronů v heliovém atomu, při velké vzdálenosti protonů by měla vlnová funkce jen s malou pravděpodobností obsahovat stav, kdy oba elektrony jsou lokalizovány kolem jednoho protonu. Vlnové funkce budeme tedy hledat ve tvaru Vy(ř) = aV/!i(ř1) + /3Vyb(řb) , j]y/a (rj)|2d3ř = j]y/b (ř2)|2d3ř = 1 , \af + \/3f + afľ S (Ř) + a /3S* (Ř) = 1 S(R): (7.14) ^[r~ŔJ^Ír+ÍŔjd3r Hledáme teď parametry a a /?, které splňují normovači podmínku a realizují minimum funkce J = \af Haa + |/f Hbb +a/í Hba + a /?Hab , Haa=j^:(r;)H^a(r;)d3f , Hbb = jVb* (f2) H Wh (f2)d3f , (7.15) Hba=j^(f2)H^a(r;)d3f , Hab=j^:(r;)H^b(f2)d3f . Situaci podstatně zjednodušíme, hledáme-li vlnovou funkci základního stavu. Za vlnové funkce vezmeme (f_ v/2 v^aBy (7.16) exprd MF): a vzhledem k symetrii budeme uvažovat jen symetrické a antisymetrické kombinace ( 1 v2(1±S), Pro maticové elementy hamiltoniánu dostáváme [#(ii)±#(r2)] , S=j^(ri)^(r2)d3f (7.17) 43 Haa " Hbb Hba " Hab ma, \y2 +y(y-l) + — - yC 2 p ~y2S+y(y-2)E+^- (7.18) Zde jsme označili p = yR/aB a zavedli integrály překryvový S (/?), CoulombůvC(/?)a výměnný E(/?) C(p)rj ^(rlMr2) d3f = l(l-(l + /7)exp{-2/7}) d3f = (l + p)exp{-p} . (7.19) Minimalizujeme tedy výrazy tí mat i 2 | r , r(r-i)-rC(/7)+/(r-2)E(/?)" V p 1 + S(p) i 2 , r , r(r-i)-rC(/7)-r(r-2)E(/?)" 2r p l-S(p) (7.20) Pro J. nenajdeme minimum, pro J+ máme jedno minimum. V okolí významných bodů lze psát 2 R^O /*<{l.2380-0.2026(R-2.0033) R^R^ , 1 R -> x l/R R -> 0 ■J+ ~^-0.5865+0.0468(R-2.0033)2 R^R^ . -1/2 R ^ oo mat /z2 (7.21) 7.2.2 Molekula vodíku Opět v Bornově - Oppenhaimerově aproximaci vezmeme za elektronový hamiltonián výraz 44 45 h1 [-a(p)y + j3(p) r2 ma a(p)- 2[l + C(p)] + 4S(p)E(p)-C2(p)-E2(p) j 1 + S2(p) p l-S2(/7) + 2S(/7)E(/7) 1 + S» (7.27) 8. Kvasiklasická aproximace 8.1 Základní vztahy Řešení Schrodingerovy rovnice dt 2m -A+U hledáme ve tvaru Y(f,t)= A(f,t)exp|is(f,t)J Dosazením (8.2) do (8.1) dostáváme dS .^dA 1 ./-„\2 ih A^-i^+-LA(vsľ-^AAS-^VS.VA+UA Ä* dt 3t 2m 1 ; 2m m Oddělení členů u sudých a lichých mocnin /z dává as+(vsf+u_ťAA=0 dt 2m 2mA SA AS 1 - - A — +A-+ —VS-VA=0 . dt 2m m 2m AA=0 (8.1) (8.2) (8.3) (8.4) Zanedbáme-li člen s h2(„kvantový potenciál") a označímep= A2, můžeme rovnice přepsat na Hamiltonovu - Jacobiho rovnici a rovnici kontinuity ÔS H(vS,f) , d p dt v i dt Ve stacionárním jednorozměrném případě je řešením f VS^ P- m (8.5) 46 ^(x) = ^expj^jpdxj + ^exp|--^jpdxj , p = ^2m(E-U) , ^(x) = -^exp|-||p|dx| + -^exp|--J'|p|dx| , |p| = >/2m(U-E) . (8.6) Podmínka platnosti aproximace je, aby příspěvek „kvantového potenciálu" byl malý, v tomto případě ji lze vyjádřit jako dÁ dx E xE x>b Kvasiklasická řešení v jednotlivých oblastech jsou (8.8) íl Ci „Ji ^(x)=2^expj4|p|dxj ' ^(x)=7íe^ípdT7íexpUípd =iexpfe!pdx}+JexpHípdx}'Hx) B exp 4íipidx (8.9) V okolí bodů obratu je 2VP E-U(x)*—(x-a) , E-U(xW-^Jx-b) . W 2m V ; W 2m V ; V tomto okolí (ale stále dostatečně daleko od bodů obratu) můžeme psát (8.10) C, \2CC ■ í \3/2] C2 exp<^-i(x-a) >+ 2 la. ha(x-a)1^4 [ 3 D \ 20. 1/4 exp<^--i(x-a) 3/2 ■Jň0(b-x) 1/4 expi B (b-x) 3/2 D, -exp^ J ylňjŠ(b-xf 2Pt„ u\*/A exp- 3 '20 (8.11) (b-x) 3/2 ■(x-b)-' 24ňff(x-bf '13 Při analytickém prodloužení odmocnin do komplexní roviny použijeme zápisu 47 #>e(0,;r) => x-b =/?exp{i#>} , a - x = /?exp|i(^-^)} , x-b = pexp|i(^-2^-)| , a - x = pexp|i(^-^-)} Obchodem bodů obratu v horní (spodní) polorovině dostáváme podmínky spojitosti C2=^exPiiTr ' D2 =T-exPi-iTi 2 [ 4J 2 [ 4 rxp{_if} ' Di=fexpK a nakonec tedy ttJ 2 a 8.3 Bohrovo - Sommerfeldovo kvantování Připomeňme, že v klasické mechanice máme pro periodu výraz T=^ = (£dt = 2 co J b b dx 2m v dx dE v =- , T = 0—dx dp dp dE Kvasiklasická vlnová funkce normovaná na jedničku je z (8.6) a (8.13) (8.12) (8.13) 1 b -\pdx-- = nx , B = (-l)nA . (8.14) (8.15) ^H-C0SWpdx~í} ■ (8-l6) podmínku kvantování (8.14) napíšeme jako -L(f pdx=n + | . (8.17) Dále pak S = (j) pdx je plocha uvnitř uzavřené trajektorie ve fázovém prostoru. Podělíme-li tuto plochu výrazem 2xh, dostaneme počet kvantových stavů n s energiemi menšími, než je energie na uvažované trajektorii. Můžeme říci, že v kvasiklasické aproximaci odpovídá jednomu kvantovému stavu buňka fázového prostoru velikosti 2xh. Pro počet stavů v elementárním objemu fázového prostoru dostáváme AN = Aqi...AqsAPl...Aps g) (2xh)s Odečtením kvantových podmínek pro dvě sousední energiové hladiny dostáváme 48 (j)p(E + AE)dx-(j)p(E)dx= AEO—^-dx , dE 2tz (8.19) AE-= l7ľh => AE = hco co 9. Poruchy na čase závislé 9.1 Interakční reprezentace Budeme počítat v interakční reprezentaci. Předpokládáme, že hamiltonián je složen ze dvou částí H =H0 +V : H0 je na čase nezávislá základní část (neporušený hamiltonián), V je interakční část, která může explicitně záviset na čase (porucha). Platí Hmt=exPÍÍH0tVexpí-ÍH0tl , | Yint> = expfiH01 V) i ^ (t)> = | ^ (t)> Odtud dále K(0) = s>,o)|^o)) Š(t,0) = Í--JHint(t1)dt1-- Hmt(tl)JHmt(t2)dt2 dt1 + (9.1) i/z^Š(t,0) = Hint(t)Š(t,0) , Š(0,0) = 1 (9.2) i —int VI/--1 4-2 k n ^ 0 Jako bázi zvolíme vlastní vektory hamiltoniánu H0 H0|On) = En|On) , K(t)) = 2>n(t)|On) . (9.3) n Vlnovou funkci ve Schrodingerově representaci zapíšeme dvěma způsoby I = exp^-i H01 j I Yint (t)) = 2 cn (t) exp^-i En t j | On) , | W) = exp^-i H01 j Š (t, 0) I Yint (0)) = (9.4) £ £ cm (0) exp^-i En t j | On > (On | Š (t, 0) | Om > a promítnutím do |Ok) dostáváme pro ck(t) (vektor ^^(t)) není normován na jednotku!) 49 ck(t) = Icn(0)(Ok|Š(t,0)|On) n S označením Vkn (t) = (Ok|v(t)|On)máme pak (9.5) ck(t) = IX(0) h Vkn(t,)exp|l(Ek-E11)t1|dt1-i-2 Vkm(t1)exp|^(Ek-Em)t1|J Vmn(t2)exp|^(Em-En)t2|dt2 d t, +. (9.6) Přímým dosazením za | Yint. (t)^ z (9.3) do (9.1) a promítnutím do |On^ dostáváme Zi^m(0l^> = Zcm(t)Hint(t)|Om> , i^cn(t) = 2Vnm(t)exp|i(En-Em)t|cm(t) . (9.7) 9.2 Fermiho zlaté pravidlo Předpokládejme, že v čase t = 0 je soustava v určitém stavu (počátečním) | Oj ^, takže pro koeficienty cik (0) = Jik. Počítejme pravděpodobnost přechodu do (konečného) stavu |Of^ různého od |Oj^, tedy koeficient cfj;j(t). Přidaný index i zvýrazňuje, že počítáme přechod z tohoto počátečního stavu. S označením hcon=Eí-Ei pak máme v prvním přiblížení . t c f [i] (t) = ~\\vf i (ti) exp{i co{ j tj} d tj . ä- 9.2.1 Harmonický průběh časové závislosti poruchy. Pro harmonickou poruchu V (t) = F exp{-i cot} + F + exp{i cot} dostáváme (9.8) c f [i] (t) = — jVf j (tj) exp{i co,j tj} d tj 1 exp{i(ŕyfi-ŕy)tj -1 i exp{i(ŕy-ŕyif )tj-1 — Ff.---F (9.9) h c0fi - co h 11 co-m, 50 Zvláštní pozornost zasluhuje případ, kdy co^cori nebo co^co^ . Počítejme pravděpodobnost přechodu za jednotku času, definovanou vztahem wf m = lim Ze (9.9) dostáváme ...(<) 2 sin2(ť»fi -co (con-co/2) |^Ffi Fif exp{-iť»t} + Ff*; F;*f expjiřyt} S využitím vztahu )t/l 2 sin2(řyfi+řy)t//2 L ^~*Í f 2 ^ ((cofi+co)/2) sin2ť»fi t/2-sin2ť»t/2 (con/2)2-(co/2)2 S(x) = lim sin !(xt) dostáváme S((ct>n-oo)ll) + |F; f |2 f; + /l) [FfiFif +F;iFi;]j(řyfi/2) To znamená 2^ Ffi| í?(Ef -E; +hcoj 2^ (9.10) (9.11) (9.12) (9.13) Fif|2 j(E;-Ef +hco) (9.14) pro absorpci (Ef = Ei+hco a exp{-iť»t}) nebo emisi (Ef = Ei-hco a expjiřyt}) fotonu a 2n wf[i] = —|Ffi+F;;| ^(Ef-E;) (9.15) pro stacionární poruchu (co = 0). Při přechodech do finálního stavu, který leží ve spojitém spektru s hustotou stavů dv{ nebo i pro diskrétní spektrum s velmi blízkými energiemi počítáme Z wn[i]=jdwf[i] , (9.16) {n|En»Ef} kde hustota pravděpodobnosti přechodu za jednotku času je dwf; 51 dw dw _27t Ffi| ó(ef-E;-hco}&v{ =1ĺE- Ff.| ó(e{-E;-Ä<»)/?(Ef )dEf , 2;r (9.17) Fif| ŕ?(Ef-E;+Äť»)di/f =-^—Fif| j(Ef-E;/?(Ef)dEf . Princip detailní rovnováhy říká, že vzhledem k platí wf[i] _ wi[f] p(Ef) P(E;) (9.18) (9.19) 10. Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru momentu hybnosti V předchozích částech jsme se s operátorem momentu hybnosti letmo setkali a také jsme v některých případech brali v úvahu spin elektronů. Teď úvahy poněkud zpřesníme. Jednotkový axiální tenzor eikl nabývá hodnotu 1 pro indexy {ikl}, které vznikly sudým počtem transpozicí z {123}, hodnotu -1 pro indexy {ikl}, které vznikly lichým počtem transpozicí z {123} a hodnotu 0 v ostatních případech. Platí 4 4 4 ^ikl ^rst 4r 4S 4t 4, 4 s* ^rkl = 24 ^ikl ^rsl 4 4 4r 4s (10.1) Poznámka: používáme zde Einsteinovu sumační symboliku, tj. sečítáme přes indexy, které se v daném členu vyskytují opakovaně. Pomocí tenzoru eikl zapíšeme operátor momentu hybnosti a jeho komutační relace jako Ä1i = %i 4 Pi . Snadno také ukážeme, že :i^iki qi li'pk Pl (10.2) i,k ^jki i; qk Pi - ^jki qk Pi i; = ^jki qk i; Pi + i ejkl %m qm p, - ^jkl 4k Pl Í = í^jkl ffilm 4k Pm + í^jkl %m 4m Pl = 1 (^j Pí " 4 P j ) = Í k 3 jk Íc Definujeme (10.3) (10.4) 52 Pro tyto operátory platí komutační relace X\\ = 0 , II" =i > X>i~_ =1+ , , XS-'_ Operátor čtverce momentu hybnosti můžeme psát jako f2 = 21 f + f2 - f = 21 f + f2 + í + - z z - + z V souřadnicové reprezentaci (ve sférických souřadnicích) je 1 (10.5) (10.6) 1 :-J=exp{M f ô . n ô ^ — + icot$— dx9 d(py 1 f 1 =^eXP^_Í^ --+ lCOt$- dx9 d

) , y/(v,3,(p)= f(v,3)$>h((p) , 1 0m(^) = -žŤ=exP{imW lz=m = 0,±l,±2, Osa z není nijak preferována, takže průmět momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze celočíselných hodnot. Tento výsledek není rozporný, neboť vlastní funkce jsou pro různé směry různé. Označme teď jako 1 největší možnou hodnotu m pro danou vlastní hodnotu X operátoru 12. Buď |/lm^ vlastní vektor operátoru lz s vlastní hodnotou m a současně vlastní vektor 12 s vlastní hodnotou X. Potom Tz f+1 Am) = i (íz +1)| Am) = (m + l)f+1 Am) , ízí |^m) = í+(íz -l)|^m) = (m-l)í+|^m) , (10.9) \Am+l) = cJ+\Am) , |ylm-l) = C_f \Am) . Pro m = 1 musí tedy vzhledem k tomu, že 1 je nejvyšší možná hodnota m být 53 l+|^l) = 0 , 2U+|^l) = ^l2-lz2-lzpi) = 0 , f2 \Al) = A\Al) , íz2|^l) = l2|^l) , íz|>U) = l|>U) (10.10) Dostáváme tedy pro vlastní hodnoty operátoru l2 hodnoty X = 1(1+1), vlastní hodnoty l2 nezávisí na m. Vlastní vektory operátoru 12 v souřadnicové reprezentaci dostaneme nejsnadněji přímým řešením rovnice n j o (10.11) 1 d sin^d^ shii9 á3 1(1 + 1)—0lm(.9) = O . 2 "\ sin2 S Řešením jsou přidružené Legandreovy polynomy Em (cos$). S uvážením normovací podmínky m+|m| ,\ ,21 + 1 (i-H)i P,m(cos,9)exp{imp} . (10.12) An y(l + |m|)! Jiný způsob dává maticová formulace. Souřadnicová reprezentace vznikla projekcí Xm («9,^) = («9^|lm). Počítejme maticový element 12 podle (10.6). Máme ( M=l 1(1 + 1) = 2(1 m|í+ ^|l//)(l//| f |lm) + m2-m = \M = -l J 2(lm|l+|l m-l)(lm-l|l |lm) + m2 - m , (lm-l|l_|lm) = (lm|l+|lm-l) ,(10.13) (lm|f+ |l m-l) = (l m-l|f |l m) : j(l + m)(l-m+l) Dále pak l+|ll) = 0 , -^^-lcotl9011(l9) = O ®nW=(-iy (21 + 1)! sin13 21!! (10.14) f |lm+l) = (lm|f |lm+l)|lm> , f^|ll) = '(l + m)!1 54 Všechny úvahy prováděné pro moment hybnosti jedné částice 1 platí samozřejmě i pro celkový moment soustavy L É = ZÍ • (10-15) a 11. Maticové elementy skaláru a vektoru, parita stavu Uvažujme opět uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole nebo částici ve vnějším centrálním poli. Hamiltonián takové úlohy se nezmění při otočení souřadnicové soustavy o libovolný úhel kolem libovolné osy (procházející středem), a v důsledku této izotropie prostoru komutuje s hamiltoniánem H operátor momentu hybnosti L. Při otočení se však obecně nezmění skalární veličina f, a také její operátor f bude tedy komutovat s operátorem momentu hybnosti f ,L 0 . (11.1) Matice operátoru f je vzhledem k L a M diagonální a na M nezávislá. Diagonalita plyne z komutativnosti f a L. Nezávislost na M snadno ukážeme: označme N soubor zbývajících maticových indexů (kvantových čísel), charakterizujících stav soustavy. Z komutativnosti f a L+ a nezávislosti maticových elementů L+ na N dostáváme (n'lm+i| f |nlm+i)(nlm+i|lJnlm) = \ ii n i +i / (U2) (n'lm+i|l+|n'lm)(n'lm|f|nlm) , tedy maticové elementy operátoru f nezávisí na M. Pro hamiltonián to znamená 2L+1 násobnou degeneraci energiových hladin. Uvažujme teď o vektorové fyzikální veličině, které přísluší operátor V. Komutační relace s operátorem momentu hybnosti L budou stejné, jako komutační relace operátoru vektoru souřadnic, tedy ^,Vk] = i%1V . (11.3) Maticové elementy vektoru mohou být odlišné od nuly jen pro hodnoty L a M lišící se nejvýše o jednotku (výběrová pravidla). Máme například 55 (M2|Lz^|M)(M|Vz|M1) = (M2|VzLz|M1> M => M2(M2|Vz|M1) = M1(M2|Vz|M1> , (M2|Lk2|M)(M|V+|M1>= (M2|V+Lz|M1) + (M2|V+|M1> (11.4) M => M2(M2|V+|M1) = (M1+1)(M2|V+|M1> , (M2|Lz^|M)(M|V |M,)= (M2|VLk|M1>-(M2|V_|M1> M => M2(M2|V|M1> = (M1-1)(M2|V|M1> . Operátor parity definujeme jako (ř|(p>)) = (-r>) . (11.5) Jeho vlastní hodnoty jsou P = l a P=-l, jak snadno vidíme z P2|^ = |^. Parita stavů částice charakterizovaných 1 a m je (-1)1, protože při prostorové inverzi se sférické souřadnice a vlastní funkce Ylm , (p) = q>\ 1 m) transformují takto: r—»-r , r^r , S^-tz-S , (p^xp + n , Pm (cosl9)exp{im^| (116) -> P1m(cos(^-l9))exp{im(^ + ^-)} = (-l)1P1m(cosl9)exp{im^} . Z hlediska parity rozlišujeme skalární veličiny na pravé skaláry a pseudoskaláry a vektorové veličiny na polární vektory a axiální vektory podle toho, jestli s operátorem parity komutují nebo antikomutují. Stavy se sudou paritou označme |g^, stavy s lichou paritou |u). Výběrová pravidla pro libovolný operátor O dostaneme ze vztahů (p2|p{|g)(g| + |u>(u|}Ô|p1) = (p2|g>(g|Ô|p1>-(p2|u>(u|Ô|p1> , (P2|ÓP{|g>(g| + |U>(U|}|p1> = (p2|Ô|g>(g|p1)-(p2|Ô|u>(u|p1> a relací PÔg-ÔgP=0 , PÔU+ÔUP=0 . (11.8) 12. Spin 12.1 Rotace a komutační relace pro operátor momentu hybnosti Budeme si všímat pouze infinitezimálních rotací o úhel A tf>. Pro rotace kolem os kartézské soustavy souřadnic v trojrozměrném eukleidovském prostoru máme 56 f 1 o o O l-^-J- -A0 2 O A 2 ; o 2 O 1 -A A A(j) O ! m 2 y (12.1) ^(A^): 2 A^ O -A0 O Ä o 2 O 1 Tyto rotace můžeme zapsat pomocí operátoru momentu hybnosti jako 1 Ri (A) = 1 - i J; A^ -1 J;2 (A^)2 , kde n o 0^ í° 0 0^ í° 0 0 í° -i °1 i = 0 1 0 > Jx = 0 0 -i > J> 0 0 0 i 0 0 v0 0 h i Oy v"1 0 Oy 0 o, Konečné rotace pak napíšeme jako n exp {-i Jt #} (12.2) (12.3) (12.4) (12.5) 12.2 Spin Komutační relace pro složky momentu hybnosti můžeme psát ve vektorové formě íxí =if . (12.6) Částice může mít kromě tohoto orbitálního momentu ještě vnitřní moment hybnosti. Pro jeho operátor platí s X S = 1 s s ,r 0 , s,p 0 , s,l 0 . (12.7) První vztah říká, že spin má charakter momentu impulsu, další vztahy vyjadřují to, že jde o vnitřní moment impulzu, který nijak nesouvisí se souřadnicí a impulzem částice. Definujeme dále operátor celkového momentu hybnosti 57 j=l+s , j x j = i j . (12.8) Obdobně jako pro orbitální moment dostaneme pro spin sz|ssz) = sz|ssz) . s2|ssz) = s(s + l)|ssz> , sz =-s,-s + l,...,s-l,s . Rozdíl je ovšem v tom, že projekce orbitálního momentu m musela nabývat celočíselných hodnot. U spinu toto neplatí. Protože však projekce spinu tvoří posloupnost čísel lišících se o jedničku, musí být rozdíl 2s mezi maximální a minimální hodnotou roven nule nebo celému kladnému číslu. Jsou tedy možné hodnoty spinu částic s = 0,1/2,1,... Například spin 1/2 mají leptony (elektron a positron, px leptony a neutrina) a kvarky, spin 1 fotony, W a Z bosony a gluony. Operátor spinu může být reprezentován maticemi. Pro s = 0je možný pouze jediný spinový stav sz =0, reprezentace je triviální, tvoří ji nulový vektor § = [šx,Šy,Šz] = [0,0,0] . (12.10) Pros = l/2jsou možné pouze dva spinové stavy, sz=±l/2, a reprezentace je realizována Pauliho maticemi (o n 1 o , 1 , 1 s =— a 0 polární a azimutální úhly charakterizující jednotkový vektor, máme pro spinor s průmětem 1/2 do jednotkového vektoru 60 cos—hi 2 ťI 2Í • 0 J .4} -sin—exp< -i — 2 H 2 (12.23) Vzhledem k „neobvyklému" výskytu polovičních úhlů ukážeme působení rotací na spinory ještě jiným způsobem. Operátory spinu zapíšeme nyní jako 1 š.^O+X-H-X+l] ■ s,4D->W-l+X-0 š.40+>M-I-X-|] (12.24) Transformace spinoru při rotaci kolem osy z o úhel tf> Ŕz 0) = exp{i šz <£) , |o-)R = Ŕz(^)|o-) = exp{išz^}|o-) , |+)R = exp{išz^}|+) = exp|i|||+> , |->R=exp{išz^}|-) = exp|-i|||-). Pro operátory spinu tak dostáváme 1 (12.25) exp|i| |+)("|exp|i|U exp|-)(+|exp : cos^ š - siný š V 2 °p{-'|}|->M«p(-í|}-«p(i|}l+><-|«p(i|| sin^ š + cos^ š , _ 1 szR-- exp{i4|+)(+|exp{-i4-exp{-i4|->(-|exPU] (12.26) 13. Princip nerozlišitelnosti částic Pro kvantovou teorii soustav tvořených více stejnými částicemi je základním tvrzením princip nerozlišitelnosti. Uvažujme soustavu tvořenou dvěma částicemi. Podle principu nerozlišitelnosti musí být stavy, které se liší pouze pořadím částic, identické. Jejich stavové vektory se tedy mohou lišit pouze fází expjia} . Pro vlnovou funkci dvoučásticové soustavy musí tedy platit |£,£) = exp{ia}|£,£) = exp{2ia}|£,£) => 61 Částice s exp{ia} = l, popisované symetrickými vlnovými funkcemi nazýváme bosony, částice s exp{ia} = -l, popisované antisymetrickými vlnovými funkcemi nazýváme fermiony. V relativistické kvantové teorii lze ukázat, že částice s poločíselným spinem jsou fermiony, částice s celočíselným spinem bosony. Pro soustavu Nbosonů máme (£,£,...,£N|Pl,p2,...,pN) = N! Z(a|p.>(4|p2>-(^|pn) • (13.2) Sumace se provádí přes permutace {ij ^ ,...,iN| množiny {1,2,...N}, Nk je počet stejných stavů pk . Pro dvě částice máme (£ I Pi» p2> = (£ | Pi>fe | P2K, P2 + ^(telp1>fc|p2>+telp2>fe|p1»(i-^1P2) • Pro soustavu N fermionů pak ..,£N|Pl,p2,...,pN) = félPi) fé|Pi> - fé|P.> ÍTte|p2> ( fc|pN> ••• (4|Pn> tj. Slaterův determinant. Pro dvě částice (£>£|Pi»P2) = ^(fe|p1>fc|p2>-te|p2>fc|p1)) • (35) Proměnné č, zahrnují jak souřadnice částice, tak její spinový stav. Často počítáme s vlnovou funkcí, která je součinem souřadnicové a spinové funkce a je symetrická při záměně souřadnic a antisymetrická při záměně spinových proměnných nebo naopak. Pro dva elektrony například symetrickou souřadnicovou funkci násobíme antisymetrickou spinovou funkcí nebo antisymetrickou souřadnicovou funkci vly2 Aa v0y2 62 ^(a) (í > F2 ) = ^ [Va (í ) (f2 ) " (*i ) ^a (F2 )] násobíme některou ze tří možných symetrických spinových funkcí 2(S)(SZ1,SZ2): Ja v0y2 + v0y2 roi roi Funkce vzniklé násobením souřadnicové a spinové části jsou lineárními kombinacemi Slaterových determinantů. Tak například ¥a)(r;,f2)S«(szl,sz2) = -^ Mí) Vafi) 1 W2 2 ^b(ri) ft Mí) bJ2 Připomeneme si také, že operátor složky z spinu je ifi oVi ol i f i o V i ol vO -1,, VO 1,2 vO -1,2 (13.6) Působením na jednotlivé spinové funkce zjišťujeme, že jsou to vlastní funkce tohoto operátoru a vlastními hodnotami 0 (pro Z*a^) a 1, 0 a -l(pro tři různé ). 14. Cesta k Bellovým nerovnostem 14.1 EPR paradox V roce 1935 uveřejnili Einstein, Podolsky a Rosen - odtud zkratka EPR - článek10, který (spolu s následující Bohrovou odpovědí11) ovlivnil na více jak půl století úvahy o tom, jak úplný je kvantově mechanický popis fyzikální reality (tj. vývoje zkoumané soustavy). EPR navrhli myšlený experiment (skutečný experiment dovolil pokrok v experimentálních možnostech až v roce 1982), který se týkal měření na dvou identických volných částicích ve stavu, popsaném vlnovou funkcí A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47 (1935), 777-780. 11 N. Bohr: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 48 (1935), 696-702. 63 1/2 r m 4xht exp< i m , s2 n -(X,-Xj + Xn)-- 4ht\ i -2 -o; 4 (14.1) Lepší představu dává rozklad této funkce do rovinných vln co i Wx. ,xJt) = —í— p(x1-x2 + x0)--1 m >dp (14.2) Einstein, Podolsky a Rosen uvažují v článku o stavu v t = 0, kdy Y(x1,x2) 27tfl exp\^p(xl-x2 + x0)idp = ó(xl-x2 + x0) (14.3) Budeme měřit hybnost první částice. Měření samozřejmě povede ke změně vlnové 12 funkce . Všimněme si, že vlnovou funkci (14.3) můžeme chápat jako co J(x1-x2 + x0)= jzp(x1)Z-P(x2-x0)dp , -co kde xv Jsou vlastní funkce operátoru hybnosti (14.4) (14.5) Změříme-li tedy hybnost první částice a získáme hodnotu P , má s jistotou druhá částice hodnotu -P jzp(xi)ví/(xľx2)dxi (2xh)1/2 exp{~t? ^ + x°)dx' = (14.6) Pro názornost rozepíšeme postup podrobněji. Vlnovou funkci zapisujeme v souřadnicové representaci, takže pro stavový vektor máme |Y) = j{|£>|^(£,£)d£d£ . 12 Obecný předpis je následující: naměříme-li pro operátor O vlastní hodnotu CO, změní se původní stav („kolaps vlnové funkce") | lf/j na {{co\If/f) | ^) > kde | CO) je příslušný vlastní vektor: O | CO) = Co\co) . Změnu stavu danou měřením tedy popisujeme nikoliv Schrôdingerovou rovnicí, ale jako působení projekčního operátoru CO)(CO\ na stavový vektor XfA . 64 Naměřili jsme na první částici vlastní hodnotu operátoru hybnosti P , na druhé částici jsme neměřili. Projekční operátor popisující měření, kterým působíme na stavový vektor je tedy (|p)(p|),í2 ■ Nakonec vytvoříme v souřadnicové representaci vlnovou funkci z výsledného (tj. po měření) stavového vektoru promítnutím do vlastních vektorů operátorů souřadnic T ^(x^X^^ (^(^^ , tedy po dosazení z (14.3) a (14.5) pro druhou částici skutečně výsledek (14.6). Nyní změníme úmysl a budeme měřit polohu první částice. Postup počítání bude plně analogický tomu při měření hybnosti. Vlnovou funkci (14.3) můžeme také chápat jako 00 J(x1-x2 + x0)= J^x(x1)^x(x2-x0)dx , (14.7) -00 kde funkce tf>x jsou vlastní funkce operátoru souřadnice Q^(x) = x^(x) = ^(x) , ^(x) = S(x-š) . (14.8) Změříme-li tedy polohu první částice a získáme hodnotu X, nachází se s jistotou druhá částice v X + Xg 00 00 JVxW^ySi.'Od-Si = J í5"(x1-X)ř5"(x1-x2 + x0)dx1 = -□o -00 (14.9) j(X-x2 + x0) . Vzdálenost částic v době měření může být taková, že druhá částice leží v prostorupodobné oblasti v soustavě první částice - lze tedy vyloučit jakýkoliv přenos informace o tom, kterou ze sdružených veličin (hybnost nebo souřadnici) budeme u první částice měřit. Přesto je potom pro druhou částici přesně dána hodnota její hybnosti nebo souřadnice. EPR docházejí k závěru, že proto nemůže být kvantově mechanický popis úplný - popis částice obsahuje nějaké skryté parametry (hidden variables), které v kvantovém popisu chybějí. 14.2 Bohmova modifikace EPR pokusu Připravit experimentálně stavy popsané vlnovou funkcí (1.1) není možné. Velmi důležitý krok učinil proto Bohm13, když navrhl modifikovanou, ale v principu identickou verzi pokusu. Předpokládejme, že máme molekulu se dvěma atomy, z nichž každý má spin §22.16. 13 David Bohm: Quantum Theory (první vydání Prentice-Hall 1951, novější vydání Dover Publications), 65 h/2 , přitom celkový spin molekuly je nulový. Molekulu rozštěpíme způsobem, který nemění celkový moment hybnosti. Atomy se začnou vzdalovat a jejich vzájemná interakce se stává zanedbatelnou - celkový spin je však stále nulový. Až budou atomy vzdáleny prostorupodobným intervalem, provedeme na prvním z nich měření projekce spinu do osy z . Je-li zjištěná orientace kladná, víme s jistotou, že orientace spinu druhé částice je záporná. Můžeme se však také rozhodnout, že budeme měřit projekci spinu do osy x a opět, naměříme-li určitou orientaci, víme s jistotou, že druhá částice má orientaci zápornou. To ale podle EPR znamená, že částice nese skrytou informaci o spinu, kterou kvantová mechanika neobsahuje. Nejprve uvedeme několik připomenutí popisu spinu. Spinový stav částice se spinem h/2 můžeme popsat pomocí vlastních hodnot operátoru průmětu spinu do osy z hfl OVl) hfl) h ~ i \ h, \ -o-J + z) = -| + z) 0 -1 (14.10) 0 -1 2 h , i v h, x hfl 0 V ti) h(0\ — a7 -z) = —-z) , — 2 z| 1 21 1 2 Vlastní vektory průmětu spinu do libovolného směru dostaneme otočením vektoru průmětu spinu do osy z v rovině x-z o polární úhel 9 a pak otočením o azimutální úhel (p v rovině x-y h _ ~ i ^v h\ ^\ —n (14.11) h _ ~ i ^\ h\ ^\ —n- (14.12) Spinový stav dvou částic charakterizujeme stavy dvěma kvantovými čísly, dané vlastními hodnotami dvou komutujících operátorů - druhé mocniny operátoru celkového spinu S2 = S2 + S22 + 2 Sj • S2 a jeho průmětu do osy z Sz = Slz + S2 66 S21 s,m) = s(s +l)/z21 s ,m^ , Sz | s ,m^ = m/z| s ,iri) (14.13) Trip letový stav s s = l a m=-1,0,1 můžeme zapsat jako 1'-1> = |-Z>1|-Z>2'I1'°) = -^{I + Z>1|-Z)2+|-Z)1I + Z)2}'I1'1> = I + Z)1I + Z>2 (14-14) a pro nás důležitý singletový stav s s = 0 , m=0 jako 0.0> = -^{l + z>1|-z>2-|-z>J + z>2} (14.15) Vzhledem k transformačním vztahům plynoucím z(14.11)a(14.12) v \.q>]\ 0, . . 0, + z^ = exp i— « cos—| + ry - sin—|-rm v r . (-a ,-b ,-c) N2 ( + ä*,+b ,-c) <=> (-a,-b,+c) N3 í + a,-b , + c) <=> í-a,+b,-c) N4 í+ a,-b ,-c) <=> ŕ—a,+b,+c) N5 ŕ—a,+b,+c) <=> í+ a,-b ,-c) N6 í-a,+b,-čj <=> í+ a,-b , + c) N7 í-a,-b , + c) <=> ŕ + a ,+b ,-c) N8 1 — a,—b ,-c) <=> í + a,+b , + c) Výsledek měření Boba závisí na tom, jaké měření zvolí Alice. Jak ale bylo řečeno, rozhodnutí provádí Alice až poté, co jsou částice odděleny prostorupodobným intervalem. Pokud si částice nese ve skrytých parametrech informaci o spinové orientaci, můžeme uvažovat o osmi skupinách částic uvedených v tabulce. Jednoduchým sečtením počtu částic v odpovídajících skupinách dojdeme k tomu, jaká je pravděpodobnost p(+a|+b) toho, že Alice naměří pro první částici orientaci +a a Bob naměří pro druhou částici orientaci +b . Vybereme tři vhodné kombinace N.+R p(+a|+b) = ^f^ , P(+a| + c) = i^^ , P(+c|+b): N3 + N7 (14.18) Je zřejmé, že p(+á|+b) exP["w2] v2í exp[ipa/2] 0 -exp[-i^a/2] >/21 exp[i^/2] +b exP[-i%/2] exP[-i%/2] a/2 l exp[i%/2] exp[i^/2] Pro amplitudu pravděpodobnosti dostáváme A(+á|+b) = ^(+b;|(+a1|{| + a1>|-a2)-|-a1>| + á2)}: (+ áj I + ä;)(+b2 j - a2^ - (+ ä; I - á^+b, | + a2 J 1 v2" a dále A(+a1+b>^M.n/2] eXp[-ln/2])(--H^])^S1„^ Nakonec '(+á|+b)= A(+á|+b) = —sin —--- = — sin - 2 2 2 2 (14.20) Podobně postupujeme při výpočtu dalších dvou pravděpodobností (při výpočtu P ( + c|+b j je přirozeně výhodné zvolit za n vektor c ). Máme tak 1 . 2%c+^cb — sin - p(+a|+b): (14.21) P(+a| + c) = lsin2^ , P(+c|+b) = -sin2^ . v 1 ' 2 2 1 1 ) 2 2 Zjevné narušení Bellovy nerovnosti (14.19) dostáváme například pro cos— < 2 2 2 (14.22) 69 14.4 Experimenty s fotony Je mnohem jednodušší připravit singletový stav dvou fotonů než například dvou protonů. Proto všechny přesné experimenty byly prováděny s fotony. V experimentech se ověřují složitější varianty Bellovy nerovnosti, které jsou například méně citlivé na nedokonalosti detektorů. Uvedeme důkaz15 jednoho z mnoha výsledků. S označením pravděpodobností koincidencí při detekci obou fotonů po průchodu polarizátory orientovanými ve směru a (Alice) a b (Bob) - oba P++ (a ,b j, žádný P ^a ,b j, pouze Alice P+ (a,b) a pouze Bob P+^a,b) - vytvoříme veličinu E(á,b) = P++ (á,b) + P (á,b) - P+ (á,b) - P + (á,b) Pro čtyři orientace se počítá S(a,á\b,b;)= E(á,b)±E(a,b/) + E(á/,b) + E(á/,b/) . (14.23) Bellova nerovnost je v tomto případě s(á,á/,b,b/)<2 . (14.24) Uveďme předem, že kvantově mechanický výpočet dává =SQM(0°,45o,22,5o,67,5°) = 2V2 (14.25) a je experimentálně potvrzen. Předpokládejme tedy existenci skrytého parametru X s rozložením pravděpodobnosti výskytu f (/l), |d/l f (/l) = l. Výraz pro E (a,b j můžeme přepsat na E(á,b)= dA f (^){P+(á,^)-P_(á,^)}{p+(b,^)-P_(b,^)J . Veličiny P jako pravděpodobnosti nabývají hodnot mezi nulou a jedničkou, takže pro veličiny A a B platí nerovnosti |A(á,/l)| <=> <=> s <=> s-<=> s = Následující obrázek ukazuje, že experimenty dokazující narušení Bellových nerovností nejsou omezeny na fyzikální laboratoře. V uvedeném případě16 se fotony vydaly po kabelech 16 W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, and N. Gisin: Violation of Bell Inequalities by Photons More Than 10 km Apart, Phys. Rev. Letters 81 (1998), 3563-3566. 71 Švýcarské pošty ze Ženevy do dvou blízkých vesnic, kde byly na poštovních úřadech umístěny interferometry s potřebnými detektory. 15. Jakou dráhu prošla částice? 15.1 Elementární popis interference dvou svazků Uvažujme dva zcela koherentní zdroje kulových vln (pro jednoduchost budeme počítat jen v rovinném řezu, tj. v rovině z = 0) v rovině y = 0 vzdálené 2d y/(x,y,t): leik'. + lec- kde ra=V(*+d)2 + y2 Při přechodu k eliptickým souřadnicím ra+rb ra"rb i-1 2m 2 , 2 + y 0=^[ki>l3)i>+k2>|3)2>] • (15.7) i h É, = d/2 É- - - d/2 k=2n/\ dvoj štěrbina stínítko Jednodušší postup při popisu experimentu je ten, že pro volnou částici zvolíme souřadnicovou representaci, takže máme = ^[l®1) + (xk2>|S2)] = ^k1(x)|S1) + ^(x)|S2>] . (15.8) Potom pro hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v okolí bodu o souřadnici x (o stavy detektoru se nezajímáme) dostáváme p(x) = (x|Y)(Y|x) = |(x|Y)|2 1 \Wx (x)|2 + \w2 W|2 +2Re{(S1 |S2)y/2 (x)^ (x)} (15.9) 17 S.M. Tan and D.F. Walls: Loss of coherence in interferometry, Physical Review A 47 (1993), 4663- 4676. 73 Jsou-li vektory stavu detektoru ortogonální (tj. pokud bychom stav detektoru zjišťovali, budeme s jistotou vědět, kterou ze štěrbin částice prošla) zmizí interference a dostáváme (3)1|3)2> = 0 => p(x) = i(|^(x)|2+|^2(x)|2) . (15.10) Jestliže detektor „vypneme", je detektor v základním stavu, tj. 12ľ*j) = 12ľ*2) = | D0) a dostaneme přirozeně interferenční obrazec s maximální viditelností (®p2) = l => p(x) = i[|^(x)|2+|^2(x)|2+2Re{^2(x)^}] . (15.11) Viditelnost spočteme tak, že zapíšeme (©j |2D2) = |(®i |®2)|exP[~i^]» W\ (x) = |^i (x)|exP[i^i] a y/2 (x) = |^/2 (x)|exp[i(z)2], takže z (15.9) máme p(x)=^ľh (x)ľ+h (x)|2+2I(®! |®2>||(^i k2>|cos(^-h-s) 2 a odsud výraz pro viditelnost (15.12) a(x)=P„.(x)-p„,.(x) = 2|(S||^)||(V/|k)| (i5B) Pmax(X)+Pmin(X) |^(x)| +|^2(x)| Obecnější přístup vyžaduje užití pojmu matice hustoty. Kvantově mechanickou soustavu můžeme popsat vlnovou funkcí pouze tehdy, je-li izolovaná - neinteraguje s okolím. V opačném případě je možné soustavu popsat pouze méně určitým způsobem, a tento popis je právě vyjádřen operátorem matice hustoty p. Bez dalšího rozboru a důkazů uvedeme jen dvě pro náš experiment podstatná tvrzení: Střední hodnota výsledku měření fyzikální veličiny ^ 18 s operátorem F je dán stopou ^F^ = Tr{pFJ (15.14) a v případě, že je soustava popsána stavovým vektorem | , je matice hustoty dána výrazem P = |0)(0| • (15.15) To je právě náš případ. Bude nás tedy zajímat pravděpodobnost nalezení částice v bodě x a detektoru ve stavu |Da^, čemuž odpovídá operátor |x)|Da)(Da |(x|. Za bázi Hilbertova 18 Stopa operátoru O je definována takto: Mějme v Hilbertově prostoru nějakou ortonormální bázi || a^|. Pomocí této báze vytvoříme maticové elementy ^a |0 |b^ . Potom stejně jako v algebře stopa je součet diagonálních elementů TrjÔJ = ^ ^a |Ô | a^, v bázi mohutnosti kontinua pak TrjÔJ = J" dx^x|Ô | x) . 74 prostoru bude výhodné zvolit jj^JD^j, tedy bázi tvořenou vlastními vektory operátoru souřadnice částice a operátoru stavu detektoru. (Stavy |3ľ>j) a |3ľ>2) jsou superpozicí různých stavů | D„ ) .) Máme počítat p (a, x) = Tr{| Y) (Y 11 x) (x11 Da } {Da |}, tedy L P L p ÍZÍ^(D,|(^lk2>l®2><®2|<^llx>(xllD«>(D«lk>lD,) • S využitím ortonormality {x\š) = S(x-š) , (Da\Dfi) = Safi můžeme předchozí výraz zredukovat na přehledný tvar p(flr, x) = -\\Wl (x)f |(D„ 1^)1' + \Wl (x)f |(D„ |S2>|2 (15.16) ^(x)^2(x)(Da|S1>(S2|Da) + ^(x)^2(x)(S1|Da>(D„|S2> Je hned vidět (v každém členu vzniká jednotkový operátory J Da)(Da | = I ), že sečtením pravděpodobností (15.16) přes stavy detektoru dostaneme výraz (15.9) p(x) = ^p(«,x) = ^n^(x)|2+|^2(x)|2 + 2Re{(SJS2)^2(x)í^} . (15.17) Naopak pravděpodobnost nalezení detektoru ve stavu |Da) získáme integrací přes všechny možné polohy částice p(a) = |dxp(a,x) 1-2. kde jsme položili |(D« I®!)!' + |(D« |2>2>|2 + 2Re{(^2 ki>(D« |»2>} (15.18) k2ki>=jdx^2(x)^(x) > kik)=k2k2)=1 (15.19) 75 15.3 Interference fullerenů V roce 1999 uveřejnila skupina prof. Zeilingera z Vídeňské university článek19 o interferenci molekul C60. Na spodním obrázku je profil svazku dopadajícího na difrakční mřížku, horní obrázek ukazuje profil svazku po difrakci. Jak ale mohou molekuly interferovat, když vysílají fotony, které mohou být v principu použity pro detekci trajektorie? -50 0 50 100 Position (um) Vezměme ve vztazích předchozí části 01(f) = (f|D1) = C 02(f) = (f|D1> = C exp|i K|f-rj|| r -r„ exp{iK|f-f2|} r -rT funkce odpovídají emitovanému fotonu. Potom je J0^f)02(ř)d3ř (D1|D2>: (15.20) (15.21) Zavedením eliptických souřadnic 19 M. Arndt, O. Nairz, J. Vos-Andreae, C. Keller, G. Van der Zouw, and A. Zeilinger: Wave-particle duality of C60 molecules, Nature 401 (1999), 680-682. 76 dostáváme 1<^od x ľ 1 ^ + 7 d^d^ sin K d Kd (15.22) (15.23) Pro v průměru N vyzářených fotonů je pak (D.|D2> = f sin K d Y v Kd j (15.24) Vzdálenost štěrbin je d = 1 [j,m, vlnová délka fotonů je řádově 10 [j,m, a odhadovaný průměrný počet fotonů emitovaných během letu fulerenové molekuly je jeden až dva. Je tedy (D.|D2> = f sin K d Y v Kd j sin- 10 2n ~TÔ~ J 0,90 (15.25) Je tedy v tomto případě emise dlouhovlnných fotonů špatnou „značkou" pro nalezení „skutečné" trajektorie a viditelnost interferenčního obrazce je jen velmi málo snížena. 77