Teoretická fyzika - Základy speciální teorie relativity Michal Lenc - podzim 2012 Obsah Teoretická fyzika - Základy speciální teorie relativity...................................................1 1. Princip relativity..................................................................................................2 1.1 Galileiho princip relativity......................................................................................2 1.2 Události, interval.....................................................................................................3 1.3 Lorentzova transformace.........................................................................................4 1.4 Einsteinův princip relativity....................................................................................4 1.5 Relativistická kinematika........................................................................................5 1.6 Hybnost a energie...................................................................................................5 1.7 Více o intervalu.......................................................................................................7 2. Příklady relativistických jevů..............................................................................7 2.1 Aberace světla.........................................................................................................7 2.2 Comptonův rozptyl.................................................................................................9 2.3 Dopplerův jev.......................................................................................................10 2.4 Vstřícné svazky.....................................................................................................12 3. Ctyřvektory.......................................................................................................13 3.1 Základní pojmy.....................................................................................................13 3.2 Lorentzova grupa..................................................................................................14 3.3 Čtyřrychlo sta čtyřzrychlení..................................................................................16 3.4 Princip nejmenšího účinku....................................................................................17 4. Náboj v elektromagnetickém poli......................................................................19 4.1 Čtyřrozměrný potenciál a účinek...........................................................................19 4.2 Invarianty elektromagnetického pole.....................................................................21 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli.....................................................22 ] 4.4 Adiabatický invariant 26 1. Princip relativity 1.1 Galileiho princip relativity Princip relativity říká, že fyzikální zákony mají stejný tvar ve všech inerciálních souřadných soustavách. Inerciální soustava je definována tak, že se v ní volná částice pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem, musí tedy být vzájemný pohyb dvou různých inerciálních soustav rovnoměrný přímočarý. Galileiho princip relativity předpokládá vztah mezi časem a prostorovými souřadnicemi v soustavě K a K;(ta má se soustavou stejně orientované souřadné osy) t = r + ť , r=p + r'+Vť , (1.1) přitom obvykle ztotožníme počátek odečítání času a prostorových souřadnic, tj. pokládáme r = 0, p=0 . Porovnání druhého Newtonova pohybového zákonu v soustavách K a K7 m- d2f F(f,t) m- d2f .12 f' ř',ť (1.2) dť v ' dť vede po dosazení (1.1) do druhé rovnice v (1.2) k podmínce transformace síly F(f,t) = F/(f-Vt,t) . (1.3) Jestliže síla splňuje podmínku (1.3), vyhovuje pohybová rovnice daná druhým Newtonovým zákonem Galileiho principu relativity. Je tomu tak například vždy, závisí-li síla na vzdálenosti částice od nějakého silového centra (nebo od jiné částice). Ale také například Lorentzova síla v homogenním elektrickém a magnetickém poli by vyhovovala Galileovu principu relativity, pokud by se pole transformovala podle vztahu Eó = Eo+VxBo ' Bó = Bo • Pole se ale ve skutečnosti (jako řešení Maxwellových rovnic) transformují jako p/ _p ť)/ _t3 ^OH ^OH ' °0|| °0|| ' J—'n i j-:- ? J^n i (1.4) (1.5) ■"ox Vl-V2/c2 ' 0± Vl-V2/c2 Podívejme se, jak se při Galileiho transformaci chová vlnová rovnice Id2 d2 d2 d2 ^ c2dt2 dx2 dy2 dz2 (1.6) 2 Pro jednoduchost předpokládejme, že se soustava K7 pohybuje vůči K podél osy x. Je pak d _ dx d ^ dť d dx dx dx1 dx dť d dx' d dť d f dt dt dx dt dť -V v d2 d2 dx2 dx'2 d dx1 + —- dť J (1.7) d2 ,,2 d2 d2 _ d2 —- + —^-2V- dť dx'2 dť2 dx'dť Máme tedy pro ďAlembertův operátor v pohybující se soustavě jiný výraz než v původní soustavě, a mohli bychom tedy principiálně odlišit privilegovanou inerciální soustavu v klidu. 1.2 Události, interval Základním pojmem pro úvodní úvahy o Einsteinově principu relativity je událost (pro jednoduchost na chvíli dvě prostorové dimenze potlačíme), charakterizovaná časem t a bodem na ose x, kdy a kde k události došlo. Hodnoty samozřejmě závisí na volbě souřadné soustavy. Připomeňme si známou situaci, kdy poloha bodu v rovině je charakterizována kartézskými souřadnicemi x a y. Hodnoty závisí na poloze počátku a na orientaci os souřadné soustavy. Vezmeme-li však čtverec vzdálenosti dvou bodů l2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 , (1.8) zjistíme snadno, že je ve všech kartézských soustavách stejný. Transformační rovnice mezi soustavami K a K7 jsou x = a + cos^x7 + sin<^ y' , y = b — sin^x7 + cos(p y' . (1-9) Einstein předpokládal, že rychlost šíření světla ve vakuu c =299 792 458 m s-1 je ve všech inerciálních souřadných soustavách stejná. Potom pro dvě události, spojené šířením světla ve vakuu (např. první událostí je emise nějakého fotonu, druhou událostí absorpce tohoto fotonu) platí (první člen je čtverec součinu rychlosti a doby šíření, ten musí být přirozeně roven druhému členu, což je čtverec vzdálenosti, kterou světlo urazilo) c2(t2-t1)2-(x2-x1)2=0 , c2(t£-tí)2-(^-^)2=0 • (1.10) V zobecnění pak nazveme veličinu s2=c2(t2-t1)2-(x2-x1)2 (1.11) čtvercem intervalu mezi (libovolnými) dvěma událostmi. Všimněme si, že invariance (1.8) vzhledem k transformaci (1.9) vychází ze vztahu cos2 <^ + sin2

cosh y/ = , , sinh y/ = , (1-13) a výsledný vztah pro Lorentzovu transformaci (přidáme dva dosud potlačené rozměry geometrického prostoru) cť +J3x' x'+Vť , , „ 1AS ct= .-^—- , x= - , y=y; , z=z; . (1.14) Vi-a2 V1-a2 1.4 Einsteinův princip relativity Pro infinitezimálně blízké události můžeme psát interval jako ds2=c2dt2-(dx2+dy2 + dz2) (1.15) a Lorentzovu transformaci jako cdt +—dx , / v , / cdt =-. c , dx= X. , dy = dy; , dz = dz; . (1.16) Požadavek, aby rovnice vyjadřující fyzikální zákony byly invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci, nazýváme Einsteinovým principem relativity. Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (1.14) - kontrakce délek a dilatace času. V soustavě Kje podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice x,,^. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0=x2-x1. Vzdálenost v soustavě K7 je (souřadnice jsou určovány ve stejném čase tj =ť2) Ax' = j4-xÍ = Axg^/l-/?2 . (1.17) Protože vzdálenost zjišťovaná v pohybující se soustavě je menší než vzdálenost v klidové soustavě, mluvíme o kontrakci délky. Nyní předpokládejme, že se v soustavě K; odehrají v 4 časech tj a t, v jediném místě xj* = x^ , y[ =y'2 , t[ = t!1 dvě události (interval mezi událostmi je tedy At0 =ť2 -tj . V soustavě K je interval mezi těmito událostmi At = t2-t= ,At° . (1.18) Časový interval zjišťovaný v soustavě, vůči které se soustava, kde se události odehrály v jednom místě prostoru je delší, mluvíme proto o dilataci času. Je důležité uvědomit si přesný význam počítaných veličin a tedy i pojmů „kontrakce délek" a „dilatace času". 1.5 Relativistická kinematika Pro rychlost (v = df/dt, v' =dr'/dť ) dostaneme z rovnice (1.16) transformační vztahy "- " v = ^,„7, , vz = /V/tt79 . (1.19) x l + vxV/c2 ' y l + vxV/c2 ' z l + vxV/c2 Vztah pro transformaci rychlosti odvodíme také následující úvahou. Mějme v soustavě K7 částici, která se pohybuje konstantní rychlostí u, tedy platí pro ni x^uť. Z hlediska vnějšího pozorovatele v soustavě K dostaneme podle (1.14) x = ]WJu*v£ . (L20) pro rychlost v soustavě K máme pak x u+V Vx=- =-y^r . (1.21) x t 1+uV/c2 Velikost této rychlosti už nemůže překročit velikost rychlosti světla a pro u = c dostáváme přirozeně vx =c. 1.6 Hybnost a energie Při odvození výrazů pro hybnost a energii částice hmotnosti m musíme vycházet z již známé invariantní veličiny - to je interval (1.15). Ten můžeme použít pro konstrukci invariantního účinku pro volnou částici, který by pro malé rychlosti přecházel do klasického tvaru. Vezměme tedy za základ rozměrově správný a úměrný hmotnosti invariantní výraz b S = -mc J ds . (1.22) a Použijeme-li pro parametrizaci časovou souřadnici, dostáváme 5 b -mc J yjc2dt2 -df2 =-mc2 |l-^dt . (1.23) Porovnáním se standardním výrazem S = J Ldt tak dostáváme pro Lagrangeovu funkci -mc2Jl-^ . (1.24) Hybnost a energii získáme obvyklým postupem ^ <9L mv ^ <9L mc2 ""T!!' • E=T'äv"L=T!;r ' T»-£- , T»mc2 => T«lpíc . (1.29) 2m 1.7 Více o intervalu Mějme dvě události popsané v inerciální soustavě K souřadnicemi (t15í\) a (t2,r2). Události jsou spojeny časupodobným intervalem a druhá událost nastala později než první s2 = c2(At)2-(Af)2 >0 , At = t2-tj>0 , Ař = ř2-r1 . Ukážeme, že pořadí událostí vidí stejně pozorovatelé ve všech inerciálních soustavách. Osu x zvolíme jako společnou osu soustavy K a soustavy K7, která se vůči K podél této osy pohybuje rychlostí V . Lorentzova transformace (1.16) je cAt = /(cAť +/?Ax;) , Ax = y(Ax' +V Ať) , Ay = Ay; , Az = Az; . Máme c Ať = ;r(cAt-/?Ax)>;r(cAt-|Ař|)>0 . Poslední nerovnost plyne z toho, že interval je časupodobný, předposlední nerovnost z toho, že odečítáme větší hodnotu, protože vždy /?<1 a Ax<|Ar|. Jsou-li události spojeny prostorupodobným intervalem a druhá událost nastala v soustavě K později než první, můžeme najít takovou soustavu K7, kde druhá událost nastane dříve než první. Zvolíme společnou osu x tak, aby na ní ležely prostorové souřadnice obou událostí a její orientaci tak, aby Ax= Xj — x, >0. Potom máme s2 = c2(At)2-(Ax)2<0 , At>0 , Ax>0 , Takže cAt 1 . Pro všechny soustavy K7 s 1//? < j3 <1 je pak opravdu Ať =\!1—\!x < 0. 2. Příklady relativistických jevů 2.1 Aberace světla Při pozorování hvězd ze Země se projevuje (mimo jiné) to, že Země obíhá kolem Slunce. Na obrázcích je znázorněn jev aberace světla, který se nejvíce projeví v bodech A a C, 7 zatímco paralaxa se nejvíce projeví při pozorování v bodech B a D. Když světelný paprsek od pohybu hvězdy S vstupuje do tubusu v bodě Ti, je okulár v místě Oi tak, aby při posunutí tubusu vlivem pohybu Země byl v poloze O2, kde zachytí uvažovaný paprsek. Hvězda se ovšem jeví v poloze S*. Obecný výraz pro transformaci složek vektoru rychlosti máme vztah (1.19) vi+v _v/yyrr^ľ _<^ŕ nu Vx 1+viv/c2 ' Vy i+v:v/c2 ' Vz i+v:v/c2 • Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině x— y (vz=v^=0 při vhodné volbě úhlů 9 resp. é^tj. vx = c sin 6*, v =-ccosé? resp. v^csiné?7 , v!'=-ccosé'/) . . sin0'+/? a cos? y]l-j32 sine/ =-——- , cose/ — (2.2) 1 + ' l + ^sinč' dostaneme po podělení výrazů ve (2.2) vztah mezi úhly v soustavě spojené se zdrojem vysílajícím paprsek K; a soustavě spojené s detektorem přijímajícím paprsek K (tubus dalekohledu), která se vůči K; pohybuje rychlostí -V podél osy x f] + sin ď tg# = ^/l -P1 cos0' (2.3) 8 Pro 0' =0 dostaneme z (2.3) tg# = /?/\/l-/?2 => sin# = /? v (2.4) Na obrázku je případ é?7 =0 nakreslen. Pro pohyb Země kolem Slunce je maximální velikost aberace rovná 20,5". Jestliže neleží směr ke hvězdě v rovině ekliptiky, pozorujeme zdánlivou polohu hvězdy jako elipsu s velkou osou 41", jak je vidět na dalším obrázku. H 30° (3 = 0° 2.2 Comptonův rozptyl Podél osy x dopadá foton rentgenového záření s energií h co na elektron v klidu, po rozptylu pokračuje odchýlen od původního směru o úhel 9 a s nižší energií h co1. Zákony zachování nám dají (pohyb se děje v rovině) h cd + mc2 =h co1 + -Jp2 c2 + nr c4 , h co h co1 _ _ h co1 . _ -=-cosc/+pcos^/ , 0 =-sine/-psin y/ c c c (2.5) 9 Po kratším výpočtu (vyloučením „nepotřebných" neznámých paf) dojdeme k výslednému známému vztahu pro rozdíl vlnových délek (k = hco/c = 2^/A) AA = A' - A = Ac{\ - cos é?) , Ac mc (2.6) kde A^ je konstanta - Comptonova vlnová délka. 2.3 Dopplerův jev Dopplerův jev je pozorovaná změna energie fotonu (frekvence vlnění co1), emitovaného zdrojem, který se sám pohybuje rychlostí V podél osy x vůči laboratorní soustavě ("pozorovateli") K (v ní je pozorována frekvence vlnění co). Soustava spojená se zdrojem je K;. Uvažujme rovinnou vlnu s vlnovým vektorem v rovině x— y. Například polohy míst s danou intensitou vlny musí určit stejně pozorovatelé v obou soustavách, pouze jim přiřadí různé souřadnice a frekvence, ale fáze vlny je relativistický invariant. V našem případě píšeme rovnost fází jako co f x' v' ť--cos0' -^-sinč' v c c co\ t-— cos0—-sin<9 c c (2.7) Úhel mezi směrem šíření vlny a směrem pohybu zdroje (tj. osou x) jsme označili 9. Dosadíme-li do (2.7) ze vztahu pro Lorentzovu transformaci (1.14), dostáváme f J J \ = co -, t--! --- c co I I ť -— cosč' -^sinč' c c J (2.8) J Porovnáním členů u ť dostaneme vztah vyjadřující Dopplerův jev co = co l-/?cos# co B1 1 + 0COS& + — cos2<9 2 (2.9) 10 Klasický Dopplerův jev (bez členu u 01) je rozdíl ve frekvenci přibližujícího se (<9 = 0) a vzdalujícího se {6 = tt) zdroje, relativistický Dopplerův jev (člen u 01) pozorujeme pro 9=7t\2. Porovnáním členů u x' dostaneme vztah vyjadřující aberaci světla, ale s jiným značením a jinou situací (zde se pohybuje soustava spojená se zdrojem, v 2.1 se pohybovala laboratorní soustava). Pokud budeme uvažovat o vzájemném pohybu zdroje a detektoru po společné přímce, můžeme si představit diagram na obrázku (nemusí se jednat jen o světlo, může jít třeba o zvukové vlnění). V obrázku je znázorněn světelný kužel, po kterém by se z bodu Osiřily světelné paprsky. Protože na osách máme souřadnice x a ct a pro světlo máme interval s2 = c212 — x2 = 0, je úhel površek kužele s osami roven 45°. Naopak přímky znázorňující ct Ia / \zdroj f Idetektor / světelný kužel X O/' pohyb zdroje OE a detektoru OA musí svírat s osou c t úhel menší jak 45°, jejich rychlost je menší jak rychlost světla. Úsečka EA svírá s osou ct úhel mnohem menší než 45°, jde-li o zvukovou vlnu, nebo úhel právě 45°, jde-li o elektromagnetické vlnění. Máme tedy pro rychlosti signálu, zdroje a detektoru Rychlosti počítáme tak, že kladné jsou při vzdalování zdroje a detektoru. Když se zdroj a detektor potkají v O, zapne se signál. Vypnutí signálu po uplynutí jedné periody nastane u zdroje v bodě E a detektor je zaznamená v bodě A. Vlastní čas, který uplynutí periody odpovídá je pro zdroj a detektor dán vztahy 11 OE OA 4 tl-xl/c2 Jt2A-x2Jc2 =tjl-v2jc (2.10) Poměr frekvencí je převrácenou hodnotou poměru period f r LD _ ÍZ f ~ T Lz 'd Poměr časových údajů získáme úpravou XA XE t A ~~ tE v t + v t t A ~~ tE l+vz/cs takže fD_l-vD/cs >A-vz/c2 (2.11) fz l + vz/cs Vl-v^/c2 Pro všechny rychlosti malé ve srovnání s rychlosti světla (zvukové vlny) dostáváme klasický vztah pro Dopplerův jev - při vzdalování (vz>0,vD>0) vnímaná frekvence klesá, při přibližování (vz <0, vD <0) vnímaná frekvence roste l-vD/c l + vz/c (2.12) Pro světlo (cs =c) můžeme (2.11) přepsat na l-vD/c l + vz/c l-vz/c U + vD/c (2.13) Vezme teď v úvahu vztah pro skládání rychlostí (1.21) a pro vzájemnou rychlost zdroje a detektoru máme VZ +VD l + vzvD/c Roznásobením výrazů ve (2.13) a dosazením relativní rychlosti dostáváme vztah 1-v/c (2.14) fz \l + v/c který přirozeně souhlasí se vztahem (2.9) pro 0 = 0. 2.4 Vstřícné svazky Při srážce dvou částic (řekněme elektronu a positronu) může vzniknout nová částice. Spočtěme maximální hmotnost vzniklé částice. 12 (a) Na elektron v klidu dopadá positron s kinetickou energií T =yjm2 c4 + p2 c2 - mc2. Zákony zachování dávají mc2 +A/m2c4 + p2c2 =>/m2c4 + P2c2 , 0+p = P , (2.15) takže (pro T»mc2 ) Mc2«^/2mc2T . (b) Celně se srážejí elektron a positron stejné energie. Ze zákonů zachování pak ^mV + pV +Vm2c4 + p2c2 =VM2c4 + P2c2 , p-p = P , takže (opět pro T » mc2) Mc »2T . (2.16) (2.17) (2.18) Pro kinetickou energii v LEP T ~ 200 GeV a klidovou energii elektronu mc2 ~ 500 keV jde o vskutku propastný rozdíl v dosažitelné maximální hmotnosti částice vytvořené při srážce elektronu s positronem. v 3. Ctyřvektory 3.1 Základní pojmy Při značení se budeme jednak řídit Einsteinovou konvencí (přes stejné indexy nahoře i dole se sečítá), jednak latinské indexy budou nabývat hodnot pro časoprostorové veličiny (0, 1, 2, 3), řecké indexy hodnot pro prostorové veličiny (1,2, 3). Naneštěstí tato domluva bývá i opačná. Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor a jednotkový tenzor jsou gik = g fl 0 0 0^ (i 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 v0 0 0 -h v0 0 0 K (3.1) Snadno vidíme, že platí lk ok Úplný antisymetrický pseudotensor 4. řádu je definován pomocí vztahů ^10.(^0123 =1) %lm(%23=-l) . Ctyřvektory souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako x1 =(x°,x\x2,x3) = (ct,ř) , X; =(x0,x1,x2,x3) = (ct,-f) . Pomocí metrického tenzoru převádíme složky kontravariantního vektoru na složky kovariantního vektoru a naopak (3.2) (3.3) (3.4) 13 xi = gikxk , ť=gik^ (3-5) (s Einsteinovou sumační konvencí). Interval pak můžeme psát jako s2 = xixi = gikxixk = gikxixk=c2t2-(x2 + y2 + z2) . (3.6) Věnujme se na chvíli trojrozměrnému eukleidovskému prostoru. Tam máme polární a axiální vektory. Při záměně orientace kartézských souřadných os se změní zápis vektoru průvodiče r = xr+yJ + zk = (-x)(-r) + (-y)(-J) + (-z)(-k) . (3.7) Definujeme operaci zrcadlení jako ř' = Př = -ř . (3.8) Pro vektor rychlosti máme tedy í df7 df _ df v = — , v dt f , d(př) dt v dt dt (3.9) Pro vektor úhlové rychlosti ale cb = rxv , 3' = P (b = r' xv' = (-f)x(-v) = f xv = 3 . (3.10) Vektory, které se při zrcadlení transformují stejně jako průvodič, se nazývají polární a vektory, které se transformují stejně jako úhlová rychlost, se nazývají axiální. Obecně zavádíme ve trojrozměrném prostoru axiální vektor jako pseudovektor duální k antisymetrickému tenzoru Ca=\JLsafirCfir ' Cfir = ~ C = Äx B . (3.11) Ve čtyřrozměrném prostoročase jsou duálními antisymetrický tenzor 2. řádu s antisymetrickým pseudotenzorem 2. řádu a antisymetrický pseudotenzor 3. řádu s vektorem *Äk=-L^iklmAm , *Aikl = ffiklm A„ . (3.12) 3.2 Lorentzova grupa Setkali jsme se s již s Lorentzovou transformací. Tato transformace je jednou z transformací, tvořících Lorentzovu grupu. Tak jako se skalární součin vektorů v trojrozměrném eukleidovském prostoru nemění při transformacích z grupy rotací, nebude se skalární součin čtyřvektorů měnit při transformacích z Lorentzovy grupy. Přibližně můžeme říci, že Lorentzova grupa obsahuje rotace v trojrozměrném prostoru, Lorentzovy transformace a různé operace inverse. Transformaci budeme popisovat pomocí transformační matice A (v zápisu pomocí matic je horní index řádkový a spodní sloupcový) 14 x1-> x'1 = Aj, xk , x^x' = Ax . (3.13) Skalární součin čtyřvektorů je definován jako (x,y)=xiyi = gikxkyi . (3.14) Lorentzova transformace je lineární zobrazení, které zobrazuje prostoročas sám na sebe a které zachovává skalární součin glmx/n,x/n = glm^xiA^xk = gikxixk . (3.15) Podmínka pro invarianci skalárního součinu je tedy gi-A1 Akm = gik • (3.16) Jsou-li A a M Lorentzovy transformace, jsou také A-1 a A M Lorentzovy transformace, což snadno odvodíme g,t=g„AiAľ(A-):(A-):=gr,(A-.):(A-):, (3n) Bík = & m m; m;1 = g„ a; a;, m; m;1 = g„ ( a m); ( a m)' . Lorentzo vy transformace tvoří grupu. Grupa má čtyři podmnožiny, charakterizované signaturou determinantu a A[J, neboť (detA)2=l , (A°)2-HAo)2=1 (3.18) j=i Máme : detA = 1 v : detA = -1 l; : detA = 1 l: : detA = -1 sgnA°=l , IgL; sgnA°=l , IsgL! i.t e l; (3.19) sgnA^=-l sgnA°=-l , It e LT . Speciální Lorentzova grupa je tvořena transformacemi s detA = l a sgnA[J=l. Speciální Lorentzova grupa obsahuje identickou transformaci, další podmnožiny jsou charakterizovány prvky Is (prostorová inverse), It (časová inverse) a Ist (časoprostorová inverse), definovanými pomocí vztahů (Isx)° = x° , (Isxf=-x« , (Itx)°=-x° , (Itx)" = x" , (3.20) (lst*)°=-*° , (I.tx)"=-x- . Se speciální Lorentzovou grupou je spojena grupa komplexních matic druhého řádu s determinantem, rovným jedné, platí SO(3,l) = SL(2,C)/Z2. 15 Například matici Lorentzovy transformace (1.14) (tanh^/ = /?) nebo matici rotace kolem osy z o úhel

/c2dt2-df2 = c>/l-/?2 dt = -dt y 3.3 Čtyřrychlost a čtyřzrychlení Definujeme čtyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako i dx1 ; f v u =- , u = I Y. V ds (3.23) y>y—\ ' u'uí = i (3.24) Slovem přirozeně míníme, že máme automaticky zajištěno, že jde o čtyřvektor a prostorová část je úměrná časové změně polohy. Obdobně přirozeně definujeme čtyřvektor zrychlení = dxŕ d2x; w , u' w; = 0 . (3.25) ds ds2 Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě spojené s částicí K, kde okamžitá rychlost částice je samozřejmě v = 0 (soustava nemusí být inerciální) máme u^ =(1,0,0,0) , VK=(0,a/c2,0,0) , (3.26) kde a = dv/dt je obyčejné zrychlení. V obecné souřadné soustavě je rychlost podle (3.24) ^=^(1,^,0,0) . (3.27) 16 Všimněme si, že pro stanovení čtyřrychlosti jsme mohli také použít vztah u1 =A^u£ s maticí A ze (3.21) u0' y Py 0 0^ ť ( \ y u1 Py y 0 0 0 Py u2 0 0 1 0 0 0 3 u V ) 0 v 0 0 1 0 V ) 0 Protože se jedná o zrychlený pohyb, není tento jednoduchý postup pro výpočet čtyřvektoru zrychlení použitelný, protože nejde o přechod mezi inerciálními soustavami. Musíme tedy provést přímý výpočet podle definice (3.25) a s čtyřvektorem rychlosti (3.27). S uvážením dv v dv v d , x — = —r v— = _r—\yv dt c2 dt c2 dtv ' dospějeme k výrazu w y d(/v) (/U,0,0) ď dt Po malé úpravě (z rovnosti W w; = wKi) dostáváme f \ v (3.28) d_ ďt 1 c2J a (3.29) S počátečními podmínkami v0 =0 , x,, =0 dostáváme řešení at 1 + a t 1 + a t (3.30) Zpočátku ve shodě s klasickými výrazy v^at, x^at2/2, po delší době se ale rychlost limitně blíží k rychlosti světla v^c a trajektorie částice je blízká dráze světelného paprsku x^ct . 3.4 Princip nejmenšího účinku Účinek musí být invariantní a co nejjednodušší. Nabízí se integrál podél světočáry. Abychom dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnosti zvolit rovnu -mc, tedy 17 u S = -mcjds = -mc2 (3.31) Lagrangeova funkce a hybnost jsou L=-mc\ 1 d L m v (3.32) Hamiltonova funkce je pak H = p-v-L: mc V2 2 , 2 4 p c +m c (3.33) Z předchozích rovnic (3.32) a (3.33) vidíme, že ^ H v ^ c2 p 6>H p = —^- , v=-=- c2 H <9p Pohybové rovnice dostaneme z variačního principu JS=-mcj|ds , Sds = J^g^dx'dx1") ky/2 gikdx'Jdxk ds u p . . |b = -mc J uk ôdx =-mcukJx| + mc ô x—-ds . ds (3.34) u.ódxk , (3.35) Odsud pak du1 n dS 0 , P; =--- = mc u- ds -i Ctyřvektor hybnosti definujeme jako časupodobný vektor (čtverec velikosti je kladný) i f H ^ P=—,P , pp;=mc (3.36) (3.37) a ctyřvektor síly jako prostorupodobný vektor (je kolmý na časupodobný vektor hybnosti) dpi ds f-v c2^-/?2 'c^/l-/?2 g' Pí=0 (3.38) Čtverec velikosti čtyřvektoru síly je g gi 2/2 2 c c —v f-v] -c2 f2 <0 . Hamiltonova - Jacobiho rovnice volné částice je z (3.37) 18 ik dS dS 22 g —-—r = m c dx1 dxk rd$}2 fdsY ídSV Kdxy ydZj m2c2 . (3.39) 4. Náboj v elektromagnetickém poli 4.1 Čtyřrozměrný potenciál a účinek Elektromagnetické pole popisujeme pomocí čtyřrozměrného potenciálu á =Í-,á] , A = K-a| , (4.1) kde je skalární a A vektorový potenciál. Pomocí derivací ^vytvoříme antisymetrický tensor druhého řádu F,.=^-^ • (4.2) Ik dx1 dxk Dimense prostoročasu je čtyři, má tedy tensor Fik šest nezávislých složek. Snadno se přesvědčíme, že jsou to složky dvou trojrozměrných třírozměrných vektorů E a B , které jsou v třírozměrném zápisu dány vztahy (9Ä - -W--, B = VxA dt Tensor elektromagnetického pole má pomocí E a B vyjádření ( 0 Ex/c Ey/c Ez/c^ -Ejc 0 -Ey/c B2 "Ez/c (4.3) B. "Bz B5 0 -E B„ 0 , Fik 0 "Ex/c -Ey/c "Ez/c^ Ex/c 0 "Bz By Ey/c Bz 0 "Bx Ez/c -fiy Bx 0 J (4.4) K účinku volné částice přidáme člen závislý na elektromagnetickém poli - nejjednodušším invariantním výrazem obsahujícím čtyřvektor A^ je skalár ^dx1. Vezmeme tedy jako účinek S= J*(—mcds-e Adx1) . a Parametrizujeme-li integrál pomocí souřadnice času, dostáváme (4.5) -mc2,jl—- + e A v — dt (4.6) Ukážeme odvození pohybových rovnic jak ve čtyřrozměrném, tak třírozměrném zápisu. Pro variaci ds jsme již odvodili vztah ve (3.35), tj. S ds=u; S dx1, takže variací (4.5) dostáváme 19 öS = -J (mcu; ödx1 +eAi ödx1 + eJAdx' a b — (mou; + eAjôx1 + ^(mcdu; + eóx1dAí -eS\dxk Infinitesimální změny potenciálu rozepíšeme 6>A dA „ kdxk , ^4=^^ a parametrizujeme integrál pomocí elementu ds (tedy dxk =uk ds), dostáváme tak 'd\ 6>A JS = -(mcu; +eA)Jx; + du; mc—- — e ds dx1 dxk Sx'ds Variační princip nám tak dává jak výraz pro zobecněnou hybnost p^mcUj+eA , tak pohybovou rovnici du mc—- = e ds d\ ó>A dx[ dxk Pomocí tensoru pole (4.2) resp. jeho kontravariantních složek Flk = gllgkmF1 lm (4.10) zapsat jako mc-= eF uk ds Odvození pohybových rovnic z (4.6) vychází z Lagrangeovy funkce L = -mc2Jl—- + eA-v-e^ . Je pak d L m v ■ + eA= p + eA ^ V1-a2 —(p + eÁ) = —+ e—+ e(v-V)Á dtv i dt dt 1 ' ~s T — = eV(Ä-v)-eV^ = e(v-v)Ä+evx(VxÄ)-eV^ Dosazením do Lagrangeovy rovnice dostáváme 20 Zopakujme důležité vlastnosti čtyřvektorů rychlosti a zrychlení U = - => U; U = 1 => -í U; u ) = 0 du1 ; U; -" = U; w =0 (4.14) ds 1 dsv 1 ' 1 dx1 Čtyřvektor rychlosti je časupodobný, čtyřvektor zrychlení prostorupodobný. Pro časupodobný čtyřvektor hybnosti máme p1 = mu1 = (p°, p j = (/mcjmv) , pip'=(mc)2 . (4.15) Při časové inversi t—>■ —t je p°^p° a p^—p. Má-li zůstat pohybová rovnice (4.13) nezměněna, musí pak být E^E a B^ — B. Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být —^ a A^ — A. Při prostorové inversi x—^ — x je opět p°^p° a p —>■ — p. Má-li zůstat v tomto případě pohybová rovnice (4.13) nezměněna, musí pak být E^ —E a B^B.Ze vztahu (4.3) pak pro potenciály musí být opět —^ a A^ —A. Vidíme, že pokud jde o diskrétní transformace, je invariance zachována pouze při současném působení časové a prostorové inverse. Je to pochopitelné, uvážíme-li, že čtyřvektory mají časupodobné i prostorupodobné složky. Přidáme-li ke čtyřvektorů A čtyřrozměrný gradient libovolné funkce, tensor elektromagnetického pole se nezmění d d x1 4 + dí dxk d dxk dí dxk d\ č>A | č>2f č>2f dx1 dxk dx1 dxk dxk dx1 =o Této vlastnosti říkáme kalibrační invariance. Nezmění se ani pohybová rovnice náboje v poli, protože příslušný člen v účinku je dí dx1 u u dx1 =- J e Adx1 - J d(e f ^ :f(b)-ef(a) 4.2 Invarianty elektromagnetického pole Pole je popsáno antisymetrickým tensorem Fik . Podle (3.12) k němu můžeme vytvořit 1 duální tensor *F1K = -i£-lklm Flm . Máme tedy možnost vytvořit dva invariantní výrazy (skaláry vzhledem k transformacím z Lorentzovy grupy) 21 FikFik=inv , *FikFik=inv . (4.16) Ve vyjádření tensorů pomocí vektorů pole podle (4.4) pak máme c2B2-Ě2=inv , ĚB = inv . (4.17) Vztah (4.17) má důležité důsledky. Pokud v nějaké soustavě platí E0B0=0, můžeme vždy najít inerciální soustavu, kdy buď E = 0 (pokud je c2Bq— E^O) nebo B = 0 (pokud je c2Bq— E^O) Naopak, platí-li v nějaké soustavě E0B0^0, můžeme vždy najít inerciální soustavu, kde budou obě pole rovnoběžná. 4.3 Pohyb náboje v konstantním homogenním poli Konstantním polem nazýváme pole, které se s časem nemění. Homogenní pole má pak v celém prostoru stejný směr i velikost. Elektrické pole intenzity E získáme ze skalárního potenciálu1 ^ = -Ěf , (4.18) magnetické pole indukce B z vektorového potenciálu A=-Bxf . (4.19) 2 K vektorovému potenciálu můžeme přidat gradient libovolné funkce. Například pro pole B = (0,0, B) přičtením nebo odečtením gradientu funkce f = x y B/2 dostáváme potenciály ^By,^Bx,0 2 2 ^+)=(0,Bx,0) 4_r(-By,0,0) Výraz £ = ^/m2 c4 + p2 c2 budeme nazývat kinetickou energií3. Uvažujme nejprve pohyb v elektrickém poli, v jehož směru orientujeme osu x a který se odehrává v rovině x y. S pohybovými rovnicemi (tečka je derivace podle času t) 1 grad^E-f j = ^E-gradjf = E . 2 rot(Bxf) = Bdivř-(B-grad)ř = 2B. 3 Přesnější by bylo jako kinetickou energii nazývat 7~ = -y/m2 c4 + p2 c2 —mc2 , tedy celkovou energii bez 2 potenciální energie (výraz daný odmocninou) s odečtením klidové energie (mc ). Naše volba však vede k užitečným zkrácením řady výrazů. 22 a počátečními podmínkami dostáváme Kinetická energie je Px(o) = o , Py(o)=Po px = eEt , py = p0t . £ = ^/m2c4 + p2c2 =>/£02 + (ceEt)2 , (4.20) (4.21) kde jsme označili £Q=£{0). Podle vztahu (3.34) máme pro složky rychlosti dx= pxc dt £ c2eEt £2 + (ceEt) dy = Pyc dt ~ £ c Po + (ceEt] a integrací těchto rovnic dostáváme _^o+(ceEt)2-éľo eE Poc eE ln ^2 + (ceEt)2+ceEt_ P()C (4.22) eE ln ^éľ2 + (ceEt)2 -ceEt První vyjádření pro y použijeme pro výraz exp eE y/(p0 cj , druhé pak pro exp ■eEy^|p0c) . Sečtením obou výrazu a podělením dvěma dostaneme eE y _ yjŽŽ cosh- '2 + (ceEt)2 Poc Dosazením do výrazu pro x dostáváme rovnici trajektorie eE cosh eE y -1 { PocJ (4.23) Pro £0^mc2a p0^mv0 a cosh[eE y/(mv0c)]^l + l/2[eE y/(mv0c)] dostáváme přirozeně z nerelativistické teorie známou parabolickou trajektorii eE 2mv„ y Nyní budeme počítat pohyb v homogenním magnetickém poli, v jehož směru orientujeme osu z . Pohybová rovnice je 23 p = evxB . Z toho že v - p = ev-(vxB*) = 0 hned vidíme, že se zachovává kinetická energie d£ d£ + c2 ^ n — =--p = —vp = 0 . dt 6>p £ Pohybovou rovnici si tedy můžeme přepsat na £ dv _ - ,Á~Á^ —— = evxB (4.24) c2 dt nebo ve složkách kde \ = covy , vy=-řyvx , vz = 0 , (4.25) co = ^ . (4.26) £ Pro komplexní proměnnou w= x+i y získáme kombinací prvních dvou rovnic v (4.25) w = —i<»w =>• w = v0t exp[—i(ť»t + or)] , kde v0t a a jsou reálné konstanty. Oddělíme-li reálnou a imaginární část, dostáváme vx = v0t cos(ť»t + a) , vy = — v0t sin(řyt + a) . (4.27) Ze (4.27) vidíme, proč jsme konstantu označili v0t - je to velikost rychlosti v rovině kolmé ke směru magnetického pole. Rovnice (4.27) integrujeme a dostáváme x= Xg + asin(ŕyt + a) , y = y0 + acos(ŕyt + a) , (4.28) kde a = %H=^- = _P^ . (4.29) co ec B eB Integrace poslední z rovnic v (4.25) dává z=Zo + v0zt . (4.30) Je tedy pohyb v homogenním magnetickém poli pohybem po kruhové spirále, v případě v0z=0 pohybem po kružnici poloměru a v rovině z = Zq. V případě malých rychlostí bude mít trajektorie stejný tvar, pouze ve (4.29) dosadíme nerelativistické výrazy, tedy a = mvo,/(eB)- Nakonec rozebereme pohyb ve zkřížených (tj. navzájem kolmých) elektrických a magnetických polích. Viděli jsme, že relativistické výrazy pro pohyb v elektrickém poli 24 nejsou příliš jednoduché, budeme proto řešit úlohu v nerelativistické aproximaci. Osu z orientujeme opět podél magnetické indukce a rovinu y z volíme tak, aby v ní ležel vektor elektrické intenzity. Pohybová rovnice mv = e(Ě + vxBJ je pak ve složkách mx = eýB , mý = eEy— exB , mž = eEz . (4.31) Třetí rovnici v (4.31) můžeme hned integrovat z = £^t2+v0zt + z0 _ (4_32) 2m Kombinací prvních dvou rovnic ve (4.31) dostaneme d , . \ . / . \ . e „ eB —(x+iyj + iřy(x+iy) = i —E , co =- . dt m m Řešení homogenní rovnice pro proměnnou w= x+i ý známe z předchozího případu, řešením nehomogenní rovnice je konstanta Ey/B, takže x+i ý = aexp[—i(ot + or)] H—- . B Oddělení reálné a imaginární části a následná integrace rovnic vede na x= Xg + — sm(cot + a)-\—-t , y= y0 + — cos(cot + a) . (4.33) oj B co Konstanty zvolíme tak, aby se částice v čase t = 0 nacházela v počátku. Potom x = — sin(ťot) + —, y = —cos(o>t)-l , z = —Lt2+v0zt . (4.34) co B co 1 2m Označíme-li složku rychlosti podél osy x v čase t = 0 jako v0x, je parametr a dán vztahem a = v0x — Ey/B .V rovině x y je průmět trajektorie v E x = -^-sin(ť»t)H--— \cot — sin(řyt) , co x ' coBv v n (4.35) y = ^[cos(«t)-l] + -^[l-cos(«t)] . co co d Při v0x = 0 je to rovnice cykloidy (obrázek c). Pohyb nabité částice ve zkřížených polích je docela pozoruhodný, srovnáme-li orientaci elektrického pole a střední hodnoty rychlosti 25 Z těchto hodnot také vidíme meze platnosti nerelativistického přiblížení. Uvažujeme-li jen pohyb v rovině x y, je podmínkou Ey « c B . U pohybu ve směru osy z zase záleží na době, po kterou se částice bude pohybovat. y 4.4 Adiabatický invariant Z obecné Hamiltonovy teorie můžeme odvodit existenci tzv. adiabatických invariantů, které při pomalých změnách podmínek pohybu zůstávají konstantní. Při pohybu v téměř homogenním magnetickém poli je adiabatickým invariantem I= — £ptdr , (4.36) 2n J kde integrační křivkou je průmět trajektorie (kružnice) v rovině kolmé k magnetickému poli a Pt je průmět zobecněné hybnosti do této roviny. Dosazení Pt = pt + e A (vektorový potenciál volíme takový, že leží celý v této rovině) do (4.36) dává I = — £ pt df + — £ Adf . Orientace kružnice je po směru hodinových ručiček pro eB>0 a proti směru hodinových 4 112/ ručiček pro e B . Stokesova věta proto dává pro druhý integrál hodnotu — e B r 2, kde r je 4 Vzorec Stokesovy věty (j) V-fd£ = j rotV n der předpokládá, že vnější normála ke křivce C , tečna T k této křivce a normála n k ploše S tvoří pravotočivou soustavu. 26 poloměr kružnice (podle (4.29) r = pt/eB), zatímco hodnota prvního integrálu je r pt. Adiabatický invariant je tedy 2 I =—j- . (4.37) 2|eB| Při adiabatické změně magnetické indukce se proto mění příčná složka hybnosti jako ^JC |b| , kde C je kladná konstanta. Této skutečnosti je s výhodou užito například při udržování vysokoteplotního plazmatu uvnitř daného objemu. Je-li v centrální části indukce poměrně malá a k okrajovým částem se zvyšuje, máme pro podélnou složku hybnosti Pl2 = p2-pt2 = p2-C|B(f)| . V oblasti silného pole se pohyb podél siločáry zastaví a obrátí zpět. Opačná situace, kdy jsou nabité částice uvolňovány v oblasti silného pole a pohybují se do oblasti slabšího pole je využita ve spektrometrech k vytváření téměř rovnoběžných svazků. 27