Teoretická fyzika - Základy teoretické mechaniky Michal Lenc - podzim 2012 Obsah Teoretická fyzika - Základy teoretické mechaniky........................................................1 1. Funkcionály..........................................................................................................4 2. Eulerovy - Lagrangeovy rovnice...........................................................................5 2.1 Snellův zákon z Fermatova principu..............................................................5 2.2 Eulerovy - Lagrangeovy rovnice...................................................................6 2.3 Poznámky k Lagrangeovým rovnicím............................................................8 2.4 Legendrova transformace...............................................................................9 2.5 Tvar Lagrangeovy funkce............................................................................12 2.6 Zobecněné souřadnice..................................................................................14 2.7 Časová závislost potenciální energie............................................................15 3. Zákony zachování...............................................................................................16 3.1 Základní zákony zachování..........................................................................16 3.2 Popis soustavy částic ve dvou různých inerciálních soustavách....................18 3.3 Mechanická podobno st................................................................................19 3.4 Viriálový teorém..........................................................................................20 4. Invariance...........................................................................................................21 4.1 Úvodní poznámky........................................................................................21 4.2 Rundova - Trautmanova identita.................................................................22 4.3 Teorém Emmy Noetherové..........................................................................23 5. Pohyb v centrálním poli - Keplerova úloha.........................................................27 5.1 Newtonovy rovnice......................................................................................27 5.2 Relativní pohyb (pohyb v těžišťové soustavě)..............................................30 5.3 Keplerovy zákony........................................................................................31 5.4 Lagrangeovy rovnice...................................................................................34 1 6. Pohyb v centrálním poli - rozptyl dvou částic.....................................................38 6.1 Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu................................................38 6.2 Rutherfordův účinný průřez.........................................................................41 6.3 Popis v laboratorní soustavě a soustavě středu hmotnosti.............................42 7. Pohyb v centrálním poli - harmonický oscilátor..................................................45 8. Pohyb v neinerciální souřadné soustavě..............................................................47 8.1 Transformace z inerciální do neinerciální soustavy......................................47 8.2 Rovnoměrně rotující souřadná soustava.......................................................48 8.3 Pohyby v gravitačním poli Země ovlivněné její rotací..................................49 9. Hamiltonova formulace mechaniky.....................................................................51 9.1 Hamiltonovy rovnice...................................................................................51 9.2 Poissonovy závorky.....................................................................................52 9.3 Hamiltonova - Jacobiho rovnice.......................... ........................................53 9.4 Maupertuisův princip...................................................................................54 10. Pohyb tuhého tělesa............................................................................................57 10.1 Tuhé těleso..................................................................................................57 10.2 Tensor setrvačnosti......................................................................................59 10.3 Moment hybnosti tuhého tělesa....................................................................60 10.4 Pohybové rovnice tuhého tělesa...................................................................62 10.5 Eulerovy úhly a Eulerovy rovnice......................... .......................................63 11. Mechanika pružných těles...................................................................................68 11.1 Tensor deformace........................................................................................68 11.2 Tensor napětí...............................................................................................69 11.3 Hookův zákon..............................................................................................72 11.4 Homogenní deformace.................................................................................74 11.5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tělesa.......................................................75 11.6 Tensor deformace ve sférických souřadnicích..............................................76 12. Mechanika tekutin...............................................................................................78 12.1 Rovnice kontinuity.......................................................................................78 2 12.2 Eulerova rovnice..........................................................................................80 12.3 Bernoulliho rovnice.....................................................................................82 12.4 Malé odbočení k termodynamice.................................................................84 12.5 Tok energie a hybnosti.................................................................................85 12.6 Navierova - Stokesova rovnice....................................................................86 13. Vlny....................................................................................................................88 13.1 Gravitační vlny............................................................................................88 13.2 Zvukové vlny...............................................................................................91 13.3 Vlny v pružném prostředí.............................................................................93 3 1. Funkcionály Při odvození Lagrangeových budeme vycházet z principu nejmenšího účinku. Základním pojmem je účinek (akce), což je integrál na určitém časovém intervalu z tzv. Lagrangeovy funkce, která je opět funkcí popisujících časovou závislost trajektorií a rychlostí (skutečných nebo virtuálních). Pro účely mechaniky budeme nazývat funkcionálem zobrazení jisté množiny funkcí (v mechanice funkcí jedné proměnné) do množiny reálných čísel. Triviálním příkladem je délka křivky, charakterizované v rovině x - y funkcí y= y(x) mezi body A=(a,y(a)) a B = (b,y(b)) * = Jd* = JVdx2+dy2=jViT^dx , y=tí^ . A A a "X Pokud je funkce y=y(x)dána, jde pak už jen o výpočet určitého integrálu. Zajímavější je úloha, jak najít křivku spojující zmíněné body, která má nejkratší vzdálenost. Fyzikálně velmi zajímavý je Fermatův princip. Předpokládejme, že světelný paprsek vychází z bodu A a směřuje do bodu B. Fermatův princip říká, že výsledná trajektorie je taková, aby potřebná doba šíření byla minimální. Prostředí, ve kterém se paprsek šíří, je charakterizováno indexem lomu, který udává poměr rychlosti světla ve vakuu k rychlosti vdaném prostředí n = c/v. Podle Fermatova principu hledáme tedy minimum funkcionářů t B b At = Jdt = J^ = i jn(x, y)Vl + y/2 dx . Základem Newtonovy mechaniky je Hamiltonův princip, který vychází z účinku b S=J(K-U)dt , (1.1) a kde pro jednu částici hmotnosti m závisí kinetická energie K a potenciální energie U na zobecněných souřadnicích q,"(t) a jejich derivacích q^dq^/dt vztahy K = K(q,q) = img^(q)q-q^ , U=U(q,t) . (1.2) Užíváme Einsteinova sumačního pravidla, kdy se sčítá přes daný interval indexů, pokud se ve výrazu vyskytne stejné označení v dolním i horním indexu. Zjednodušeně také píšeme f = f (q) nebo f = f (q'") místo f = f ({q'"}) • Řecké indexy budou označovat prostorové souřadnice, je tedy v trojrozměrném případě // = 1,2,3. Latinské indexy budou označovat časoprostorové souřadnice, ve čtyřrozměrném případě (x°=ct) tedy i = 0,1,2,3. 4 Jednoduchým příkladem pro (1.1) je částice v homogenním gravitačním poli (volba kartézských souřadnic na obrázku): (1.3) a V obecné teorii relativity je základním funkcionálem pro popis pohybu částice hmotnosti m v gravitačním poli b S=-mcj(gikdxidxk)1/2 , (1.4) a kde gik jsou složky metrického tensoru. Pro jednorozměrný případ (zobecnění na vícerozměrný případ je zřejmé) je matematicky přesná definice funkcionářů následující: Nechť Ds je množina všech funkcí y=y(x) definovaných na intervalu [a ,b], jejichž grafem je po částech hladký rektifikovatelný oblouk. Funkcionálem rozumíme zobrazení S: Ds3y(x) -> S[y]eR . (1.5) Nechť dále L=L(x,y,y;) je funkce na otevřené podmnožině prostoru MxM2 obsahující množinu [a ,b]xl2, se spojitými parciálními derivacemi do řádu 2 včetně. Pak funkcionál b S: Ds3y(x) -> S [y] = |l(x, y(x), y; (x))dxe R (1.6) a se nazývá variační integrál. 2. Eulerovy - Lagrangeovy rovnice 2.1 Snellův zákon z Fermatova principu Značení zvolíme podle obrázku. Předpokládejme, že už víme, že v homogenním prostředí nejkratší vzdáleností mezi dvěma body je přímka. Při cestě z bodu (a ,b) v prvním 5 prostředí do bodu (a,B) v druhém prostředí prochází paprsek bodem (č\0) na rozhraní -souřadnice s tohoto bodu je jediným volným parametrem úlohy. Máme tedy At(ff) = -(n1s1 + n2s2) = -|n1^-a)2+b2 + n2 ^( a-^)2+ B2 J . (2.1) Dále dAt(ff) de 0 nj(£--a) n2(A-£-) 0 , (a,b) odkud už plyne Snellův zákon Jde opravdu o minimum, neboť rij sin<9j = n2 sin<92 d2At(^) _ l(njcos2^ | n2coszff2 2/3 A >0 32 J (2.2) 2.2 Eulerovy - Lagrangeovy rovnice Nejprve důležité Lemma: Jestliže b JF(t)^(t)dt = 0 , 7(a) = 7(b) = 0 a a jestliže jsou na intervalu [a,b] obě funkce F (t) i 77(t) dvakrát diferencovatelné, potom F(t) = 0na [a,b]. Důkaz vedeme sporem. Předpokládejme, že F(c)^0 (pro určitost F(c)>0) pro nějaké a0. Zkonstruujeme funkci (pokud splňuje požadavky, je jinak libovolná) ^[(t-tO^-t)3 tE(tl,t2) w 1 o tí(tl,t2) Pak ovšem integrál z lemmatu není nulový, což je spor. Nyní můžeme přistoupit k důkazu následující věty: Uvažujme funkcionál S, jehož Lagrangeova funkce L závisí na n funkcích x" jedné proměnné t, na prvních derivacích těchto funkcí a na samotné proměnné t u S = JL(t,x",x")dt . (2.3) Soubor n funkcí jx" (t)|, pro které nabývá funkcionál S extrému je řešením n Eulerových Lagrangeových rovnic d ÔL ÔL dtdxa dxc (2.4) Důkaz: Ať x" (t) označuje právě tu (skutečnou) trajektorii, pro kterou nastane extrém funkcionářů S. Kolem této trajektorie vytvoříme množinu (virtuálních) trajektorií ^e] = xa(t,s) = xa(t) + sr?a(t) , 77"(a) = /7"(b) = 0 . (2.5) Definujme funkcionál S(s) = jL(s)dt , L(^) = L(t,x[:],x[:]) . (2.6) Má-li funkcionál (2.6) dosáhnout extrému (2.3), musí být S(s)-S _dS(s) lim- £->0 ds 0 (2.7) £=0 Potřebná derivace je Máme ds ds 3k ds dL(s)dx?E] dL(e)d% 5xj"j d s <3xj"] d s dt (2.8) -r (t) ÔL(s) ÔL dxa £=0 dL(e) ÔL dxa (2.9) £ = 0 takže 7 dS(ff) de £ = 0 J dL a dL .0 dx1 dxa dt=-77° dt" dL d dL dxa dt dxa 77" dt . (2.10) Podmínky 77" (a) = 77" (b) = 0 a použití Lemmatu uzavírají důkaz. Poznámka. Ve vztahu (2.8) je dobře ilustrováno sumační pravidlo. Člen dLJdx?^ má index a „dole", člen dtfe]/de ,nahoře" - index je sčítací. Aby nedošlo k záměně, je skutečnost, že s je proměnná a nikoliv index, zvýrazněna uzavřením [s] do závorky. 2.3 Poznámky k Lagrangeovým rovnicím 1. Provedeme explicitně totální derivaci podle proměnné t. Dostáváme tak d2L ... d2L .* d2L dL n ■ x1 + —-„-x1 +---= 0 . (2.11) ox ox ox ox otox ox Lagrangeovy rovnice tvoří soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu. 2. Definujeme zobecněnou hybnost kanonicky sdruženou se zobecněnou souřadnicí x" jako dL a ~ - a dxa Potom mají Lagrangeovy rovnice tvar dp« dL (2.12) (2.13) dt dxa Z rovnice (2.13) vidíme okamžitě zákon zachování: Zobecněná hybnost se zachovává, jestliže Lagrangeova funkce nezávisí na kanonicky sdružené souřadnici. 3. Definujeme Hamiltonovu funkci jako H=H(t,x,p)=pax"(t,x,p)-L(t,xa,xa(t,x,p)) . (2.14) Tímto zápisem je zdůrazněna skutečnost, že na pravé straně vystupující rychlosti x" jsou vyjádřeny pomocí souřadnic a hybností pomocí vztahu (2.12). Není však jisté, že je vždy možné vyřešit soustavu tuto rovnic vzhledem k rychlostem. Podmínkou je, aby det—--j it 0 dx" dx (2.15) Této podmínky si všimneme blíže v souvislosti s Legendrovou transformací. 4. Proveďme totální derivaci Lagrangeovy funkce podle času a dosaďme ze vztahů (2.13) a (2.12) 8 dL ôh ôh .„ ôh ..„ ôh . .„ ..„ - = - + -X + -X = - + Va X + Va X dt ôt ôxa ô±a ôt " Po malé úpravě pak ôh á i .„ T\ dH --= — p x -L =- dt dtlť" ' dt (2.16) Opět je okamžitě vidět zákon zachování: jestliže Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, je Hamiltonova funkce konstantní - energie se zachovává. 2.4 Legendrova transformace Uvažujme hladkou reálnou funkci f (u) jedné proměnné uei, která je konvexní (tj. í" (u)>0 . Legendrovou transformací dvojice (u, f (u)) je zobrazení na dvojici ( p, F ( p)) , kde F(p) = max[pu- f (u)] . (2.17) Nutnou podmínkou maxima je p = f' (u) (maxima - předpokládáme konvexní průběh funkce f), takže můžeme také definovat funkci F pomocí dvou vztahů F(p)=pu-f(u) , p=f/(u) . (2.18) Přitom do prvního vztahu dosazujeme u=u(p), hodnotu, kterou získáme z druhého vztahu. Ten chápeme jako rovnici s hledanou neznámou u. Existence inverzní funkce k f' (u) a tedy k nalezení jednoznačné hodnoty u k dané hodnotě p je zaručeno monotónním chováním funkce, vyplývajícím z podmínky f;/(u)>0 . Ve vícerozměrném případě je tato podmínka nahrazena požadavkem na kladnou hodnotu determinantu hessiánu. 9 V mechanice hraje úlohu proměnné u rychlost, proměnná p je hybnost. Funkce mohou ovšem záviset i na dalších parametrech (konkrétně v mechanice na souřadnicích), ty ale v Legendrově transformaci vystupují právě jen jako parametry. Podívejme se opět, jak to v takovém případě vypadá v jednom rozměru, kdy parametr označíme jako x: Legendrova transformace je df (u,x) F(p,x)= pu- f (u,x) , p du (2.19) Diferenciál funkce F můžeme zapsat dvojím způsobem - buď obecně, nebo konkrétně z (2.19) dF dF dp dp + dF dx dF = pdu + udp dx p df du du df dx dx = udp df dx dx dF df = u :-- x dx p dx (2.20) Porovnáním obou výrazů dostáváme dF dp Legendrova transformace je involucí. Zapíšeme-li totiž (2.18) s pomocí (2.20), máme f(u) = up-F(p) = F/(p)p-F(p) , máme analogicky k (2.17) f (u) = maxrup-F(p)l . (2.21) p Máme tedy zobrazení f(u)^F(p)^f(u). Tři krátké příklady: Youngova nerovnost: Pro libovolné hodnoty u a p bude z definice Legendrovy transformace funkce F (u, p) = u p-f (u) menší než F (p). Jsou-li tedy f (u) a F (p) spojeny Legendrovou transformací, platí pro libovolná čísla u a p pu\ ua f (u): p=u =^>u=p/v y^>F(pj a takže 10 u" p^ 11, pu<— + — , — + — = 1 a P a P (2.23) pro x, p>0 a a,P>\ . Přechod od entropie k teplote: Základní termodynamická rovnice (U je vnitřní energie, S entropie, T teplota, P tlak, V objem [i chemický potenciál a N počet částic) je dU =TdS-PdV + //dN . Přechod k záporně vzaté volné energii -F =T S-U (S ,V, N) je příkladem Legendrovy transformace (u = S , p=T , x1=V,x2 = N). Podmínkou řešitelnosti je <32U /dS2 >0, musí být tedy í V1 ptt p)2tt PIT I p)q i >0 . aj d2u ffT (bs ÔS V.N ' V,N ÔS V,N v V,N j Růst entropie s teplotou, pokud se nemění nic jiného než vnitřní energie, je fyzikálně přijatelný předpoklad. Pak je tedy možné spočítat S = S(T) a zapsat vztah po transformaci jako d(-F) = SdT + PdV-//dN . (2.24) Hamiltonova formulace nerelativistické mechaniky jedné částice. Zvolíme tvar Lagrangeovy funkce v obecných souřadnicích L(q4)=T(q4)-U(q) , T (q 4) = ^q" \p (q)q* , (2.25) kde A(q) je positivně definitní symetrická regulární matice, což plyne z její konstrukce dr dr A^(q): (2.26) Pro Legendrovu transformaci spočteme rychlosti z definice hybnosti . .fí -a 1 / A-l\a/? ca mv > ľ Hamiltonova funkce (již s q" z předchozího vztahu) je H = p„q«-L = ^-p«(A1)"/?p/?+U(q) . 2m v ' (2.27) (2.28) Hamiltonovy rovnice. Porovnáme diferenciál Hamiltonovy funkce vyjádřené Legendrovou transformací 11 dH =d p0q0-L(t,q0,q°) p0dq0+q0dPi dh dL -dq--dq dqa dqa dh dt q"dp« - p«dq dh dt (2.29) Po s diferenciálem Hamiltonovy funkce vyjádřené již pomocí souřadnic a hybností ,„ dU , a dU , dU dH =-dq" +-dp +- . dq" 4 dVa dt Dostáváme tak vztah pro parciální derivace vzhledem k času dU _ dh ~~~dt (2.30) dt (2.31) a především Hamiltonovy rovnice dqa (2.32) 2.5 Tvar Lagrangeovy funkce Samozřejmým požadavkem je, aby Lagrangeova funkce dvou soustav A a B dostatečně od sebe vzdálených tak, aby bylo možné zanedbat interakci, byla součtem Lagrangeových funkcí obou soustav. Také je potřeba si uvědomit, že ke stejným pohybovým rovnicím povede celá třída Lagrangeových funkcí, kde se jednotlivé lagrangiány liší o tzv. triviální lagrangián. Máme-li totiž L/(q,q,t) = L(q,q,t)+ —f (q,t) , (2.33) liší se účinky L2 L2 S; =JL/(q,q,t)dt = JL(q,q,t)dt + df(q,t) dt dt (2.34) S+ f(q(t2),t2)- f (q^),^) jen o členy, jejichž variace je vzhledem k podmínce Jq(t2) = Jq(t1 ) = 0 nulová. Pro popis jevů musíme zvolit nějakou určitou souřadnou soustavu. Nevhodná volba souřadné soustavy může vést k tomu, že popis jednoduchého děje je velmi komplikovaný. Ukazuje se, že pro volný hmotný bod je vždy možno najít takovou souřadnou soustavu, v níž se jeví prostor jako homogenní a izotropní a čas je homogenní. V takovém případě musí Lagrangeova funkce záviset pouze na v2 = v-v L=L(v2) . (2.35) 12 Lagrangeovy rovnice jsou pak d dL _ dL , _ , 0 — = konst. v = konst. (2.36) dt <3v <3v Budeme často používat značení vektoru a_f__a_f_^ a_f_^ af ^ <3v 5vj <3v2 <3v3 naopak nad „konst." šipku vynecháme, pokud nemůže dojít k nejasnosti. Z (2.36) vidíme, že v inerciální soustavě se volný pohyb děje s rychlostí konstantní co do velikosti i směru. Tomuto závěru říkáme zákon setrvačnosti. Jestliže přejdeme k jiné inerciální soustavě, která se vůči původní pohybuje konstantní rychlostí, bude situace stejná. Ekvivalence všech inerciální soustav při popisu mechanických dějů se nazývá Galileův princip relativity. Transformace mezi souřadnými soustavami K a K7, kde druhá se vůči první pohybuje rychlostí V je zapsána jako Galileova transformace f = f;+Vt , t = ť . (2.37) Pro volnou částici budeme mít pro Lagrangeovu funkci v inerciální soustavě, která se vůči původní pohybuje s infinitesimálně malou rychlostí L/ = L(v/2) = L(v2 + 2v-ř + ^2) = L(v2) + 2|^v-ř + ... . Má-li být druhý člen derivací podle času, musí být L = a v2 , a = konst. Abychom dostali levou stranu Newtonových rovnic ve standardním tvaru, je třeba zvolit konstantu jako a = m/2 . Porovnání s druhým Newtonovým zákonem je jedním z vodítek k tomu, proč obvykle platí „Lagrangián rovná se kinetická mínus potenciální energie". Pro soustavu částic (index a označuje určitou částici), jejichž interakci popisujeme pomocí potenciální energie, je Lagrangeova funkce L = T-U=£^-U(r;,ř2,...) . (2.38) a ^ Z Lagrangeových rovnic d dL dL dt d\ dv^ dostáváme (2.39) 13 dva aj ~ n\ —- =--= F„ (2.40) dt 5fa Další potvrzení tvaru Lagrangeovy funkce pochází z obecné teorie relativity. Tam nacházíme trajektorii částice z variačního principu u S=-mc|ds , ds2 = gik dx1 dxk , (2.41) kde gik jsou složky metrického tensoru. Ve slabém gravitačním poli popsaném Newtonovým potenciálem O je přibližně ds2 = íl+^c2 dt2 - íl-^(dx2 +dy2 +dt2) : c2dt2 1 + 20 2QW2 „2 2 C J c takže máme pro 0/c2«la v2/c2«l (2.42) S = -mc2 , O v2 1 + -7 + —T „2 r> 2 c 2c dt ľ f 2 ' mv m O dt-mc2(tb-ta) . (2.43) 2.6 Zobecněné souřadnice Při vhodné volbě zobecněných souřadnic můžeme dosáhnout toho, že Lagrangeova funkce obsahuje jen tolik souřadnic, kolik je stupňů volnosti. Uvažujme soustavu N částic, která má s stupňů volnosti. Pak volíme (a = l,2,...,N) k'dqk ya = ga(q1»q2»-»qs) » ýa=Z dqk q , Lagrangeova funkce z^h^q2,...,^) , ^ZfjH* 1^ přejde na ^ a=l L=ôZaik(q)qiqk-u(q) ^ i,k=l (2.44) (2.45) (2.46) kde 14 aik(q) = žma dq1 dq dq1 dq dq1 dq (2.47) Jednoduchým příkladem je dvojité rovinné kyvadlo v homogenním gravitačním poli (značení je patrné z obrázku). Uvažovaná soustava má jen dva stupně volnosti. Transformace od souřadnic {x,, Vj, ^ , y2| k zobecněným souřadnicím \q\ ,(p2] je y *ra2 Xj =lj sin^ , yj =lj cos^ , Xj =lj sin^ +12 sin<^2, yj =L cos<^ +12 cos^2 Dosazením do obecného vztahu dostáváme ^^^^ , L: 2 -lf icoÍ 2jxl~^~T = mf • Důkaz: parciálně derivovat obě strany rovnice podle t a pak položit t=l. 17 d_ŕ dt F1 (3.6) Izotropie prostoru - zachování momentu hybnosti. Vezměme malé pootočení v prostoru f —» f + ô(pxv (význam symbolů je vidět z obrázku), s tímto pootočením je spojena i změna rychlosti v —» v + ôcp x v . Požadujeme tedy (při přepisu využíváme možnosti cyklické záměny vektorů ve smíšeném součinu) dh oř (^xFa) + ^-(^X^) <3v„ ^ dh _ dh ra XT^ +Va ar 3v„ 0 . Vzhledem k libo volnosti ôcp musí být ra XT^ +Va ar av _ dpa dr _ r x——H--2-x pa a dt dt a Máme tak další zachovávající se veličinu - moment hybnosti L = ^4 . 4=faxPa • (3.7) 3.2 Popis soustavy částic ve dvou různých inerciálních soustavách Inerciální soustava K7 se pohybuje vůči soustavě K rychlostí V . Souřadnice a rychlosti jednotlivých částic jsou tedy ra=ra'+Vt , va=va'+V . Pro celkovou hybnost platí mm a tedy (s označením celkové hmotnosti M =^ ^ ) p = p/+MV . (3.8) Vždy tedy najdeme klidovou („čárkovanou") soustavu, ve které je celková hybnost nulová. Rychlost takové soustavy vůči laboratorní („nečárkované") soustavě spočteme z předchozího 18 vztahu dosazením P'=0. Vidíme, že tuto rychlost můžeme chápat jako časovou změnu polohového vektoru jistého bodu - středu hmotnosti v d dt a Energii soustavy částic v laboratorní soustavě pak můžeme rozdělit na součet kinetické energie soustavy, pohybující se jako celek rychlostí V a vnitřní energie U. Máme E=^Z^va+U=7Z^(^+v)Vu=^MV2+V.2mava/+Í2mav:2 , ^ a ^ a ^ a ^ a tedy M V2 - - E=-+ V-P/+E/ . (3.9) 2 V klidové soustavě je F=0 a E' =U . Pro moment hybnosti nejprve spočteme jeho chování v samotné soustavě K, pokud změníme polohu počátku souřadné soustavy, tj. při záměně ra=ra +d L = ZFaXPa =ZFa*XPa +dx^pa =L* +(ÍXP . a a a Při přechodu od soustavy K k soustavě K7 máme L = Z^fa> = Ä7JfWdt (3.13) Pokud je funkce f derivaci nějaké ohraničené funkce F, je její střední hodnota rovna nule lim — dF(t) F(T)-F(0) -^-dt = lim —^-^ = 0 dt t->« T (3.14) Počítejme teď (kinetická energie je homogenní funkcí rychlostí stupně 2, potenciální energie homogenní funkcí souřadnic stupně k) d ' a * ~ a d íV - - 1 v- * - dt ZPa^a +kU tedy 2T=-?Ař. +kU . S využitím (3.14) dostáváme pro střední hodnoty vztah 2(T> = k(u) , (E) = ^(T> . (3.15) (3.16) Ze vztahu (3.16) vidíme například stejný příspěvek kinetické i potenciální energie u harmonického oscilátoru nebo to, že pro Newtonův potenciál musí být celková energie záporná, má-li se pohyb odehrávat v uzavřené oblasti prostoru. 20 4. Invariance 4.1 Úvodní poznámky Všimněme si nejprve triviálního příkladu. Uvažujme nějakou rovinu, na ní zvolme kartézskou soustavu souřadnic. Čtverec vzdálenosti dvou bodů o souřadnicích (xj,Vj)a (x2,y2) je dán vztahem d2 =(x2-x,)2+(y2-Vj)2. Jestliže soustavu souřadnic otočíme (se středem otáčení v počátku) o nějaký úhel s, změní se souřadnice bodů na Xj = Xj coss + Vj sins , y[ = - Xj sins + Vj coss , Xj = Xj coss + y2 sins , y2 = - Xj sins + y2 coss . Co se však nezmění, je vzdálenost (resp. čtverec vzdálenosti) těchto dvou bodů, protože d/2 =(x2-x1/)2 +(y2-y;)2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 =d2 . Říkáme, že vzdálenost bodů je invariantní vůči rotaci souřadné soustavy. Podobně definujeme-li ve speciální teorii relativity (uvažujeme jen jeden prostorový rozměr) interval mezi dvěma událostmi (ctj,Xj)a (ct^x^jako s2 =c2 (t2-tj)2-(^ - jq)2, je tento interval invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci (přechodu od jedné inerciální soustavy K k soustavě K7, která se vůči K pohybuje rychlostí V) ^, _ct1-Vxi/c j_ ^-Vt, 1 yll-V2/C2 ' 1 Vl-V2/C2 ct/= ct2-Vx2/c j x.-Vt, 2 Jl-V2/c2 ' 4l-V2lc2 Předchozí transformace je lépe zapsat zavedením „úhlu rotace <9" jako tanh# = — , (4.1) c takže transformační vztahy mají tvar ct' = ct cosh<9- x, sinh(9 , x = x, cosh<9-ct sinh(9 , ii i 'i-i i (42) ct2 = ct2 cosh(9-X2 sinh(9 , = ^ cosh<9-ct2 sinh(9 . Není obtížné přesvědčit se, že platí s/2=c2(t^-t;)2-(x;-xí)2=c2(t2-t1)2-(x2-x1)2 = s2 . (4.3) Velmi často zjišťujeme invarianci vůči infinitesimálně malým změnám. V případě Lorentzovy transformace by to bylo 21 c ť = ctcosh<9 - xsinh<9 —» cť=cť d(c') d# 0 = ct-xx0 , 0=0 (4.4) x' = xcoshŕ? - c t sinh (9 —» x' = x' dx< 0=0 ág 0 = ct-xi0 , 0=0 4.2 Rundova - Trautmanova identita K Lorentzově transformaci se ještě vrátíme v části o speciální teorii relativity. Teď uvažujme obecné transformace v klasické mechanice, kdy dť t -» ť = ť(t,qv,e) , ť=t + e— + 0(V) v ' ds v ' s = 0 q" _> q>"=q>"(t,q\ff) , q"'= q" + + o(s2) v ' ds v ' (4.5) £=0 Koeficienty u první mocniny parametru transformace v Taylorově rozvoji se nazývají generátory transformace, budeme je značit dť de :T(t,qv) , Q> dq e = 0 ds Q"(t,qv) , (4.6) £ = 0 takže ť=t + sT + 0(s2) , q"' = qM +sQM +0(s2) . (4.7) Budeme studovat invarianci funkcionářů akce vzhledem k transformacím času a souřadnic typu (4.7) a její důsledky. Je-li původní funkcionál r { dq^ t,qA dt dt , (4.8) bude funkcionál po transformaci r f dť dť 'q ' dť dt dt (4.9) Řekneme, že funkcionál je invariantní vůči dané transformaci, pokud S'-S = 0(ffs) , s>l nebo vhodněji vyjádřeno dS; de 0 (4.10) (4.11) £ = 0 S ohledem na (4.9) máme 22 _d_ dť dt £ = 0 T / „ .„\ d dť d . f , ,„ dq<" ^ £ = 0 + —L t'.q". dť Ldr + aLT+^L dt dt dqM dqM ás dh d f dqM>^ vdť j £ = 0 0 (4.12) £ = 0 Zatímco výpočet prvních dvou členů u totální derivace Lagrangeovy funkce podle parametru s byl triviální, u posledního člene je potřeba počítat pečlivě .dQ" '__ dQ" ds\ q" + e- dq"' dq^ + ^dQ' dť dt + ^dT 1 + s dT dt vdť j £ = 0 V- dt dt Můžeme tedy (4.12) zapsat jako (Rundova - Trautmanova identita) ôhT | dh dh dQ dt dqM dqM dt dh dqM dT ~ďt 0 . (4.13) Viděli jsme, že pokud se Lagrangeovy funkce liší o časovou totální derivaci libovolné funkce souřadnic a času, dostáváme stejné Lagrangeovy rovnice. Můžeme proto připustit, že se po transformaci invariance budou Lagrangiány lišit o tuto derivaci, tj. f ť q-' ^1 'q ' dť dt_ ~ďt u dq V dt Zapíšeme-li f(t,q",ff): df(t,q",ff) de s + 0(s2) , F(t,q"): df(t,q",ff) de £ = 0 (4.14) £ = 0 dostaneme zobecněnou Rundovu - Trautmanovu identitu dL„ dh „„ dh dQM (.„ dh ^ -T + ^^Q" + — dt dqM dqM dt V dq/ J dT _ dF dt dt (4.15) 4.3 Teorém Emmy Noetherové S označením dh dh Vu =- > H = q"--L dq' můžeme malou úpravou přepsat identitu (4.15) na dq (4.16) (Q"-q"T) p dh dq» dt (p,Q"-ht-f) (4.17) 23 Dostáváme se tak k teorému Noetherové. Jsou-li kromě předpokládané symetrie funkcionářů účinku při transformaci s parametrem s charakterizované generátory transformace času, souřadnic a lagrangiánu T , , F splněny také pohybové rovnice " dqM potom platí zákon zachování veličiny pM QM - H T - F = konst. (4.19) Noetherová formulovala teorém matematicky precizně a poněkud obecněji. Na příkladech uvidíme, že pro klasickou mechaniku je naše znění postačující. Zákon zachování energie. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase, je účinek invariantní k transformaci ť =t + s , takže máme T = 1 , Q^=0 , F=0 => H = konst. (4.20) Zákon zachování složky zobecnené hybnosti. Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na některé zobecněné souřadnici q", je účinek invariantní k transformaci qal = qa +s , takže máme T=0 , QM=SMa , F=0 => p„= konst. (4.21) Zákon zachování momentu hybnosti. Pro částici ve sféricky symetrickém poli je Lagrangeova funkce invariantní vůči rotaci f —»r' = f + S(pxf . Místo jednoho parametru s tady máme tři parametry udávající směr osy a velikost úhlu rotace ô ďap pM qp = (konst.)" (4.22) Tlumený harmonický oscilátor. Lagrangeova funkce ' m .2 ma> 2 | ( 2A — x--x v2 2 j exp^-1 | (4.23) vede k rovnici Transformace Ä x + 2— x+af x = 0 m ť=t + e , x' = xexpf-—I T = l , Q = -—x V m J m nemění Lagrangeovu funkci h(t', x' ,dx'/dť^ = L(t, x,dx/dt), je tedy F=0 a zachovává se 24 H-pQ m .2 mco 2 • — x H--X + ÄXX 2 2 exp -1 = konst. ^ m (4.24) O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit dosazením řešení x=aexp(-/í,t/m)cos|^/ŕy2 -/ť/m2 t + aj do (4.24) - konstanta vyjde rovna (m/2)(a,2-Á2/m2)a2. Dvourozměrný harmonický oscilátor. Začněme nejprve se standardní Lagrangeovou funkcí L = -(x2 + y2)--— (x + y) • (4.25) Lagrangeovy rovnice jsou dt dh dx 0 => x + ar x = 0 , dt KdyJ dy dh 0 y + o2 y = 0 . (4.26) Pro hybnosti a hamiltonián máme dh dh Px=^r- = mx > Py= —= my , dx dy 1 m 2 H = pxx+pyý-L = —(p2 + p2) + -^(x2 + y2) 2mv ' 2 v 7 (4.27) Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita času), kdy ť=t + s, x' = x a y; = y, takže T =1 , Qx = Qy = F=0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí " =^(P- + PÍ)+iT1(x2 + y2) = f (xi + yi)+^(xí + r) = ko„St. (4.28) Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (isotropie v rovině) ť=t , x1 = xcoss + y siná- , y' = - xsins + ycosž- => 3,3 y (4.29) T = 0 , Qx = y , Qy=-x , F=0 a podle (4.19) se zachovává veličina (složka momentu hybnosti kolmá k rovině oscilátoru) PXQX + PyQy = yPx "xPy =m(yx-xý) = konst. (4.30) Dvourozměrný harmonický oscilátor však můžeme také popsat Lagrangeovou funkcí L = mxý-mřy2xý . (4.31) Lagrangeovy rovnice budou přirozeně stejné, pouze vzniknou variací jiné proměnné 25 d dh dt [ôXj dx d dh ďt dy O => ý + aŕ y = 0 , x + a> x = O (4.32) Pro hybnosti a hamiltonián máme ÔL Px = ^- = my ox dh dy Py= — =mX ' 1 (4.33) H = pxx+pý-L = — pn+mo xy . m Lagrangeova funkce (4.25) je invariantní vzhledem k transformaci (homogenita času), kdy ť=t + s, x'= x a y'= y, takže T =1 , Qx = Qy = F=0 a podle (4.19) se zachovává energie, tj. platí 1 H m px p +mco xy = mxý + mŕy xy=konst. (4.34) (4.35) Lagrangeova funkce je také invariantní vzhledem k transformaci (eliptická deformace) ť =t , x' = xexp(-Ar) , y' = yexp(Ar) ^> T = 0 , Qx = -x , Qy = y , F=0 a podle (4.19) se zachovává veličina PXQX + pyQy = -xpx + ypy =m(yx-xý) = konst. (4.36) Elektron v homogenním magnetickém poli. Předpokládejme, že osa z je orientována podle siločar pole a elektron se bude pohybovat v rovině x - y. Vektorový potenciál v Lagrangeově funkci zvolíme tak, aby souřadnice x byla cyklická, tj. m. L = y(x2 + y2)-eByx . (4.37) Lagrangeovy rovnice jsou d dh dt [ôXj dx d dh ďt dy mx-eBý=0 , mý+eBx=0 . (4.38) Už v této chvíli vidíme dvě zachovávající se veličiny, ale budeme postupovat standardním způsobem. Pro hybnost a Hamiltonovu funkci máme 26 dh dh px= —= mx-eBy , p = — = my , ox oy (4.39) 1 T / \ 2 9 ~| Hl / 9 9 \ H = pxx+pyý-L = — (Px+eBy) +py p=-(x+ý) . 2 Invariance vůči translaci času nebo souřadnice x vede podle (4.19) k zákonu zachování energie H (pouze T = 1 je různé od nuly) a složky zobecněné hybnosti px px = mx - e B y = konst. (4.40) (pouze Qx = 1 bylo různé od nuly). Při translaci souřadnice y(y/ = y + £") máme L/=^(x/2 + ý/2)-eBy/x/=y(x2 + ý2)-eByx-^eBx = L-^^(eBx) . (4.41) Jsou tedy od nuly různé generátory Qy=l a F=-eBx. Podle (4.19) se zachovává py+eBx= mý + eBx = konst. (4.42) Jak jsme již uvedli, zachovávající se veličiny (4.40) a (4.42) bychom v tomto případě získali snadněji, když v Lagrangeových rovnicích (4.38) napíšeme derivaci podle času před celý výraz. Částice v homogenním gravitačním poli. Při translaci x' = x+s máme Ľ = — x/2 + mg x' = — x2 + mg x + mg s = L + s— (mg t) . (4.43) Máme tak Qx = 1, F = mg t , takže podle (4.19) je px - mg t = m(x- gt) = konst. (4.44) 5. Pohyb v centrálním poli - Keplerova úloha Tuto neobyčejně významnou úlohu probereme poměrně podrobně a na elementární úrovni. 5.1 Newtonovy rovnice Ve zvolené inerciální soustavě uvažujeme dvě tělesa (jako hmotné body), které na sebe působí gravitační silou. Průvodič prvního bodu hmotnosti m, označme rj , obdobně průvodič druhého bodu hmotnosti rr^ označíme v2. Vektor spojnice od prvního ke druhému bodu bude f = r2 - řj . Podle Newtonova gravitačního zákona působí na první bod druhý bod silou Grnjnijř/Vana druhý bod první bod silou -Gm, rr^f/r3 . (Velikost síly je úměrná součinu hmotností a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti, síla je přitažlivá. Také je přirozeně splněn třetí Newtonův zákon.) Druhý Newtonův zákon tak dává pohybové rovnice 27 m. dt2 dt2 (5.1) (5.2) Odečtením rovnice (5.1) vydělené m, od rovnice (5.2) vydělené n\ dostáváme -G(mi+m2)— ' d2f dť (5.3) sečtením obou rovnic máme pak d2ri d2f2 mi-rT + m2-rr = 0 • (5.4) dť dt2 Označíme celkovou hmotnost M, redukovanou hmotnost ju a průvodič hmotného středu R (5.5) Potom můžeme (5.3) a (5.4) psát jako mm, - mr.+iur, M=ml+m2 , ju = —3—2- , R = —^-^L vc\+m^ mj +m2 d2f dt2 (5.6) dt2 Rovnice pro pohyb hmotného středu je jednoduše integrovatelná na dŘ —=% , Ŕ=v0t + Ŕ0 , dt (5.7) (5.8) kde počáteční hodnoty souřadnic R,, a rychlosti V0 hmotného středu představují celkem šest integrálů pohybu. Vynásobením rovnice (5.6) vektorově vektorem f dostáváme odkud integrací ^ d2f dT df v xii—t- = — v xii- dt2 dt dt _ df f r x u— = L , dt 0 , (5.9) (5.10) 28 kde L je konstantní vektor. Složky tohoto vektoru tvoří další tři integrály pohybu. Vektor L má charakter momentu hybnosti, ukážeme tedy, jak souvisí s celkovým momentem hybnosti soustavy Kt =Tlxn\wl +f2xm2v2 . (5.11) Budeme v dalším užívat obvyklého značení rychlostí, takže ^ dfľ d£, _ df - dR v, = — , v2=— , v = — , V = — . dt dt dt dt Vektory ŕj ,Vj a v2 ,v2 ve výrazu (5.11) nahradíme vektory f ,v a R,V , tj. ^^rr^ ^ - m, ^ r, = R---r , r9=R + —r MM a dostáváme 4t=Lcm + L , Lcm = ŘxMV , L = rx//v . (5.12) Je tedy celkový moment hybnosti roven součtu momentu hybnosti hmotného středu Lcm a momentu hybnosti L relativního pohybu. Dosazením z (5.8) do výrazu pro Lcm vidíme, že se tento moment také zachovává, zachovává se tedy i celkový moment hybnosti soustavy L^,. To bychom zjistili i přímo, sečtením rovnice (5.1) vektorově vynásobené ŕj s rovnicí (5.2) vektorově vynásobenou v2 . Před odvozením zákona zachování energie z Newtonových rovnic si připomeneme, že platí - , , df(r)~ df(r)ř V f (r) =-^Vr =- dv dv r a dt dt 1 w Gravitační sílu v Newtonových rovnicích můžeme proto psát jako záporně vzatý gradient gravitační potenciální energie, takže máme dv 1 m,—l- = Gmlm2Vf ,-, (5.13) dt 1 r2-rJ m2^ = Gm1m2VF2-^— . (5.14) dt r9 -r. 29 Sečtením rovnice (5.13) skalárně vynásobené v*j s rovnicí (5.14) skalárně vynásobenou v2 dostáváme zákon zachování celkové energie ^ = 0 , Ett=^+ÍH2-^a . (5.15) dt tot 2 1 2 2 |f2-r;| Podobně jako u momentu hybnosti nahradíme vektory ŕj ,Vj a v2 ,v2 ve výrazu (5.15) vektory r,v a R,V , takže dostáváme E,„=Ecn,+E , EIn,=fv* , E-^-^ . (5.16) Protože se Etot a Ecm zachovávají, zachovává se i energie relativního pohybu E , což bychom přímo zjistili skalárním vynásobením rovnice (5.6) vektorem v . 5.2 Relativní pohyb (pohyb v těžišťové soustavě) V dalším se soustředíme pouze na popis relativního pohybu. Z pohybové rovnice d2f f u.—- = -Gm,m,— (5.17) dt2 1 r3 jsme odvodili, že se zachovává energie E^v2-^ , ^ = 0 (5.18) 2 r dt a vektor momentu hybnosti L = rx//v , — = 0 . (5.19) dt Uvidíme v dalším, že se tyto veličiny zachovávají při pohybu popsaném libovolným sféricky symetrickým potenciálem. Zákon zachování vektoru momentu hybnosti říká, že pohyb se děje v rovině. Pro Keplerovu úlohu je typická existence dalšího zachovávajícího se vektoru, definovaného obvykle vztahem A=//[jxL-Grn.m2-j , ^ = 0 . (5.20) Vektoru A se obvykle říká LRL (Laplaceův - Rungeho - Lenzův) vektor. Zachování LRL vektoru ověříme přímo derivováním, přitom kromě dosazení z pohybové rovnice (5.17) a užití zákona zachování (5.19) použijeme při úpravách rovnost df_ dr df 2 --(r -r ) = r r---r dtv ' dt dt Jiné normování má tzv. vektor excentricity e r df^ f f x r x — = r r — v dt J 30 1-1 - f A=-vxL— , (5.21) G //mj m2 G m, m2 r pomocí jehož projekce dostaneme rovnici trajektorie. Máme 1 _ ?\ f 1 ^ ^ L2 e -r •|vxlJ - f • — =-l-(f x v) Gn^rr^ v ; r Gmjir^ G/zirijir^ takže s označením e- f = er cos^3 je rovnicí trajektorie rovnice kuželosečky 1 _ G //m, m. r L2 -(1 + ecos^) . (5.22) Čtverec velikosti e spočteme úpravou (5.21) _ (vxL) 2(vxL)-f V2L2 2L2 e • e = —-----------h 1 =----h 1 (Gm-mJ2 Gm-rr^r (Gm-mJ2 G/zm-ir^r takže s dosazením za energii z (5.18) můžeme psát ? T2 F e2-l= ZLb2 . (5.23) (Gri^m,) ju Ze vztahu (5.23) vidíme, že pro záporné hodnoty energie je trajektorií elipsa. Všimněme si také invariance vůči škálování - levá strana je čistě geometrický výraz. Při transformaci t —» Ä" t , f —» Xp f se transformuje kinetická energie jako T —» /J2'^"1 T , potenciálni energie jako U—a velikost momentu hybnosti jako L^/í,2/?_" . Musí být tedy E —» /lr E a L2 E —» L2 E , což vede na vztah (například projevený ve třetím Keplerově zákonu) 3 f3 = 2a . 5.3 Keplerovy zákony Dnešní formulace Keplerových zákonů se v nepodstatných detailech mírně odlišují. Můžeme zvolit například tu z českého překladu Feynmanových přednášek: (1) Každá planeta se pohybuje kolem Slunce po elipse, přičemž Slunce je v jednom z ohnisek. (2) Průvodič spojující Slunce s planetou opisuje stejné plochy za stejné časové intervaly. (3) Druhé mocniny period libovolných dvou planet jsou úměrné třetím mocninám velkých poloos jejich drah: T ~ a3^2 . Jak uvidíme v historické poznámce, Kepler nikdy žádné „zákony" neformuloval a v jeho rozsáhlém díle lze obsah „Keplerových zákonů" jen obtížně nalézat. Také v námi přejaté formulaci je několik míst, zasluhujících si dalšího komentáře. V dalším výkladu bude postup 31 stručnou kopií výkladu v Sommerfeldově Mechanice. Některé postupy budou jen opakováním již uvedených. Na Sommerfeldově výkladu je poučné, že se Keplerovy zákony objevují v tom pořadí, jak jejich obsah Kepler postupně nalézal. Považujeme Slunce za nehybné (i hmotnost Jupitera je přibližně tisícinou hmotnosti Slunce), počátek souřadné soustavy položíme do jeho středu. Podle Newtonova gravitačního zákona působí na planetu síla (G je Newtonova gravitační konstanta, M je hmotnost Slunce, m hmotnost planety a f průvodič, tj. polohový vektor planety) r = _GmMf r r Platí tedy fxF=0. Z druhého Newtonova zákona pak fxp = 0 a druhý Keplerův zákon máme zatím vyjádřen jako zákon zachování momentu hybnosti — = 0 , L = fxmV . (5.25) dt Ve válcových souřadnicích z) máme v=pep a y = p , =--—sm

) = 0 . (5.45) dtv 7 p2 dtv ; Souřadnice q> je cyklická, zachovává se proto s ní sdružená zobecněná hybnost p(p = mp2 (p . Tato zobecněná hybnost je z - tovou (a při naší volbě roviny trajektorie z = 0také jedinou) složkou Lz = L=konst. zachovávajícího se momentu hybnosti, máme tedy mp1 cp = L = konst. (5.46) Obecný výraz pro moment hybnosti ve válcových souřadnicích je L = -m zp(pep + m(z/>-yC>ž)e^ + mp2 (pez . Vhodná volba souřadné soustavy je velice důležitá. Rozepsáním derivace a dosazením z Lagrangeových rovnic (5.45) se přesvědčíme, že se energie zachovává (to samozřejmě plyne z už toho, že Lagrangeova funkce explicitně nezávisí na čase) L2 Gm, n\ d E n ^ rri/ -2 2 -2\ Gm m, m .2 0 , E=-(p2 +p2| l/2 G m, rrt, I L + konst. (5.50) E + v P J P Je vidět, že pro charakter řešení má velký význam tzv. efektivní potenciální energie r2 U eff Gm, rrt, L P Její průběh vystihuje následující tabulka: p^O 2mp2 Ueff -> 00 (5.51) P L2 G m m, rr^ /? ^ oo (uEff)„ m(Gm1 xr^y 2 L2 Ueff ^-0 Z tabulky i obrázku je jasně vidět zásadní rozdíl pro kladné a záporné hodnoty celkové energie (nulová hladina je dána volbou nulové hodnoty potenciálni energie v nekonečnu): pro E >0 je pohyb prostorově nekonečný, pro E <0 se pohyb odehrává v omezené oblasti. Integrál v (5.50) můžeme analyticky vyjádřit, takže máme L Gmm, rrt,

0 je e>l a trajektorií je větev hyperboly. (5.57) 37 a{e - 1) x Konečně pro E = 0 je e = l a trajektorií je parabola. Odpovídá to zvláštnímu případu, kdy v nekonečnu je rychlost nulová (je-li v nekonečnu celková i potenciální energie rovna nule, musí být nulová i kinetická energie). 6. Pohyb v centrálním poli - rozptyl dvou částic 6.1 Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu Hned od začátku budeme předpokládat, že počítáme v těžišťové soustavě a řešíme tedy ekvivalentní úlohu - odchýlení jedné částice s hmotností m=m, m^m, +n\} v poli U(/?) nepohybujícího se středu silového působení (umístěného ve středu hmotnosti). U potenciálu předpokládáme dostatečně rychlý (co je dostatečně ukáže až konkrétní výpočet) pokles k nule v nekonečnu. Také hned od počátku počítáme s pohybem v rovině x - y, osu z válcové soustavy souřadnic volíme tedy ve směru zachovávajícího se momentu hybnosti. Geometrie úlohy je znázorněna na obrázku, b je srážkový parametr, % = \k-2 dcr = 2^bdb . Přejdeme teď k vyjádření da pomocí úhlu rozptylu s uvážením výrazu pro element prostorového úhlu. Máme db (z) db dz , 2^sin^d^ = dQ , (6.10) takže dostáváme výraz pro diferenciální účinný průřez v závislosti na úhlu rozptylu da Hx) sin^ db {z) dZ dQ (6.11) Absolutní hodnota je ve vyjádření proto, že (a bývá to obvyklé) funkce b je klesající. Také může nastat situace, že do jednoho intervalu úhlů rozptylu přispívá více intervalů srážkového parametru - potom je potřeba sečíst odpovídající výrazy. 40 Skutečnost, že „účinný průřez" dobře vystihuje charakter počítané veličiny je ilustrována na jednoduchém příkladu z obrázku. Částice se odráží na absolutně tuhé kouli poloměru R (tj. potenciál má tvar U(rR) = 0).Z geometrie úlohy máme b = Rsin 1/2 Integrál je elementární 41 (p0 = arccos- •Ún- or bmv! f a ^ vbmvw 1/2 Teď už snadno vyjádříme b2 jako funkci 2 m; +ra2 -vn, (0) » m; m; +ra2 -vn, (0) 42 je jednotkový vektor ve směru rychlosti první částice. Rychlosti v laboratorní soustavě získáme přičtením rychlosti středu hmotnosti (mjV^+m^^rr^+mj). Zobrazení hybností po rozptylu v laboratorní soustavě je na obrázku, kde jednotlivé zadávané vektory jsou C oc AO ™2 mv m, +va2 m, +va2 -(P1 + P2) > OB ™2 -(P1 + P2) • m, +m2 m, +m2 Prakticky důležitý je případ, kdy jedna částice je (například ir^) je v laboratorní soustavě v klidu. Potom úhly rozptylu jednotlivých částic souvisí s úhlem rozptylu v cms poměrně jednoduchým vztahem. Tento vztah dostaneme z překresleného obecného obrázku na případ s jednou částicí v klidu. Levý obrázek odpovídá ruj n\ jsou možné dva průsečíky C a C7. Derivováním získáme 1 + f V ' m, ' sin^d;^ = \ 2—cosé^ ± ™2 cos 1- sin2 A 1/2 sin<9j d(9j . V případě, že jedné hodnotě 9X odpovídají dvě hodnoty úhlu x ■> Je třeba klesající větev odečítat od rostoucí. Konečně se tedy dostáváme k výsledku 1+ < 2—cos#j + ™2 [Vf cos (24) sin2 d 1/2 dQ^ m1m2 0<^<^m 44 kde <9max =3108111(1112/111,) . Jak jsme již uvedli, převod výsledků do laboratorní soustavy je nutný pro případné porovnání s experimenty. Tento jednoduchý příklad ukazuje, jak výhodné je počítání v soustavě středu hmotnosti. 7. Pohyb v centrálním poli - harmonický oscilátor Potenciál má tvar U (r) = (k/2)r2. Jak již víme, je výhodné zvolit osu z kartézských nebo válcových souřadnic ve směru zachovávajícího se vektoru momentu hybnosti. Lagrangeova funkce je pak L = -(x +y )-__(x + y ) nebo L = f(/?+>V)- m co 2 (7.1) (7.2) Zvolili jsme standardní označení ť»=(k/m)^2. Lagrangeovy rovnice jsou d dh dt [dXj dx d dh ďt dy mx + ma> x = 0 my + ma>2 y = 0 (7.3) nebo dt dh dp J dp dt dh yd2 p = 0 mp2 (p + 2mp

t + a) , y(t) = Bsin(řyt + 0) . (7.5) Trochu překvapivě je integrace rovnic v polárních souřadnicích, které odrážejí symetrii problému obtížnější. Rovnici pro úhel jsme nemuseli rozepisovat, i tak je vidět, že první integrál je mp2 q>= L=konst. Dosazení do rovnice pro radiální souřadnici dává p + co p 2 3 m p 0 (7.6) 45 Než budeme hledat řešení této rovnice, všimněme si, že velikost momentu hybnosti pro řešení (7.5) je L=mco ABsin(a-/?) . Pro a = j3 se oscilátor pohybuje po přímce, L=0 a rovnice pro radiální souřadnici přejde pochopitelně na rovnici lineárního oscilátoru. Energie pro řešení (7.5) je E = (m/2)řy2 ( A2 + B2). Rozdíl E2-co2 L2 je pro tato řešení vždy nezáporný 2t2 m2řy4 co Ľ (A2 - B2)' +4A2B2cos2(a-^) Nulové hodnoty nabývá při pohybu po kružnici (B= A, j3=a-7tj2 ). Jednou z možností řešení rovnice (7.6) je vynásobit rovnici 2p, výslednou rovnici pak můžeme zapsat jako f dt -2 2 2 p +co p + r2 > 2 2 m p j 0 . Je to rovnice zachování energie, kterou jsme již studovali, takže máme dp m 2 2 E - co p 2 2 m p 1/2 (7.7) Integrál spočteme a dostáváme P mco r x \2 1/2 < 1 + cos(2ť»t) > (7.8) Pro L=Lmax = E/ť» dostáváme pohyb po kružnici poloměru p = (E/mco2y . Integrál pro úhlovou souřadnici dostaneme dosazením (7.8) do mp2 (p = h, takže "Leo2 dt 1 + T \2 Leo) Integrál spočteme a dostáváme

2V > dt 2 W Označili jsme df _ - _ — = v + £2xr . dt Odečtením totální derivace libovolné funkce F souřadnic a času od lagrangiánu dostáváme ekvivalentní lagrangián, který dává stejné Lagrangeovy rovnice. Zvolíme m TTl C F =— jV2(t)dt + mV-f 2 a výsledná Lagrangeova funkce bude L = yv2+mv-(Qxf) + y(Qxf)2-mA-f-U(f) . (8.5) Označili jsme zrychlení K7 vůči K0 jako A=dV/dt. Parciální derivace potřebné pro Lagrangeovy rovnice získáme nejlépe z diferenciálu Lagrangeovy funkce dL = mv-dv + m^Qxf^-dv + mv-^Qxdf) + m^Qxf^Qxdf^ - mÄ-df - VU - df 47 a po úpravách a soustředění výrazů u dv a df tak máme ÔL ÔL dv Lagrangeova rovnice je tedy dv mv + m i(Qxf) , m|vxň| + m (Qxf)xQ (8.6) mA-VU m— = - VU - m A+ m dt r x- dQ ~~ďt + 2m(vxň) + m (Qxr)xQ (8.7) Předposlední člen na pravé straně je Coriolisova síla, poslední člen síla odstředivá. Odstředivá síla leží v rovině natažené na fi ar, přitom je kolmá na Q a míří směrem od osy rotace. 8.2 Rovnoměrně rotující souřadná soustava V tomto případě bude Lagrangeova funkce L = -v2 +mv-(Qxf) + -(Qxf)2-U (f) Což povede k Lagrangeově rovnici dv m— = -VU +2m|vxfij + m (Qxr)xQ (8.8) (8.9) Zobecněná hybnost je p = mv>m(Qxř) (8.10) a energie (počítána jako Hamiltonova funkce, ale vyjádřená pomocí souřadnic a rychlostí) E = p-v-L = yv2-y(Qxř)2+U . (8.11) Rychlosti v inerciální soustavě a v rovnoměrně rotující soustavě jsou spojeny vztahem (8.3) s V = 0, je tedy možno psát (8.10) jako p = mv0 = p0. Jsou tedy hybnosti v soustavě Ki K0 stejné. Platí to i pro moment hybnosti M=fxp = mřx v + (Qxf) = mf xv0 = r x p0 = M0 . Pro porovnání energií dosadím za v do (8.11) a máme E =^(v0-Qxf)2 -y(Oxf)2 +U =|v2 +U-mv0-(ňxrj . Záměnou pořadí vektorů ve smíšeném součinu dostaneme konečně v-(Qxdř) = (vxQ)-dř a (Ďxf)-(Ďxdř)= (Ďxf)xQ •df 48 E = E0-M0Q . (8.12) Tento nenápadný vztah je základem pro zobrazování pomocí jaderné magnetické resonance. 8.3 Pohyby v gravitačním poli Země ovlivněné její rotací Odchylka od vertikály při volném pádu. V prvním přiblížení je možno uvažovat jen Potenciální energie je U=-mg-r . Řešení budeme hledat poruchovou metodou. Abychom vyznačili opravy různého řádu malosti, nahradíme nejprve v Lagrangeově rovnici Cl^AQ, , takže máme — = g + 2/l(vxQ) + /l2(Qxř)xQ dt Řešení budeme hledat ve tvaru f = ř'^ + Ar[l> + Al r[£> +... a v = v(U' + Av[l> + Al v[£> + dosazení a porovnání členů u stejných mocnin A dostáváme soustavu rovnic (i) J2?(2). ?(°) J2 ,-r(2) . (8.13) Po dv (0) dv (i) dt dv^ dt dt 2v(0)xQ , 2v(n~1)xQ + (Qxř^) (8.14) xQ , n = 2,3,. Není obtížné spočítat první členy, takže pro f = r'0^ + r ^ dostáváme f = h + v0t + ^"gt2 +^gx^t3 + v0xQt2 (8.15) počáteční poloha a rychlost jsou h a v0. Zvolíme-li směr osy z po kolmici k zemskému povrchu vzhůru, směr osy x (na severní polokouli) po poledníku k rovníku a směr osy y po rovnoběžce na východ, máme g=-gez, Q = -Qcos/léx+Qsin/léz (A je zeměpisná šířka). Dostáváme tak v tomto přiblížení pro nulovou počáteční rychlost odchylku od vertikály východním směrem 49 ť x = 0 , y= — gQcos/l= — 3 3 ^ gj g ClcosA (8.16) Foucaultovo kyvadlo. Uspořádání je na obrázku. Zvolíme sférickou souřadnou soustavu s počátkem v bodě závěsu O. Oproti standardní volbě je azimutální úhel odpočítáván od záporného směru osy z a polární úhel od osy y k ose x. Soustava s jednotkovými vektory |er ,eff ,8^1 tak zůstává pravotočivá. Podstatné vektory pro popis jsou f = lér , f = -Tér , g = -géz = gcos#ér - gsm0e0 (8.17) a Q = Q[-cos/léx + sin/léz] = -Q^(cos/lsin<9sin<^ + cos<9sin/l)ér + (cos/icos#sin<^-sin<9sin/l)ér - cos^cos/lé^ Pro úplnost uvádíme převodní vztah od standardní kartézské soustavy k naší sférické er = sin<9sin<^ex + sin<9cos<^ey - cos<9ez eff = cos<9sin<^ex + cos<9cos<^e + sin<9ez cos^ex sin^e a výrazy pro časovou derivaci vektorů sférické báze dt 9 v dt -0BI + #>cosé?e , de^ dt Rychlost a zrychlení jsou pak f = l^e^ + ^sin^e^ f = 1 -(<92 + #>2sin2#)ér + (0- . Předpokládáme, že é? i 2 m L = —(ŕ2+r2#2+r2sin2#^2)-U(r,#,0) H = — r r sin 6* + U(r,0, ^-{fg} = 0 dt dt dt1 J (9.16) 9.3 Hamiltonova - Jacobiho rovnice Lagrangeovy rovnice jsme odvozovali tak, že jsme hledali trajektorii mezi dvěma pevnými body, pro kterou nabývá účinek Ldt (9.17) minimální hodnoty. Variace účinku je *S=-^q< - -a 1 dqa rf ÔL d dh^ dqa dt dqa 5qa dt (9.18) Podívejme se teď na vztah (9.18) jinak. Předpokládejme, že vycházíme zpěvného bodu (tj. dqa (t0) = 0 a že se pohyb děje po skutečné trajektorii (tj. jsou splněny Lagrangeovy rovnice), přitom končí v různých bodech q" . Účinek se pro koncové body lišící se o 5qa (t) bude lišit o hodnotu 53 ss ôh dqa Sqa = VaSqa ■ (9.19) Proto tedy, chápeme-li účinek jako funkci souřadnic koncového bodu, můžeme psát dS Z definice účinku (9.17) máme přímo dq° dS dt (9.20) L . (9.21) Úplnou časovou derivaci můžeme však také zapsat jako dS dS dS .« dS — = — +-q" =-+p qc dt 8t dqa dt " (9.22) Porovnáním (9.21) a (9.22) dostáváme dt L (9.23) nebo se zavedením Hamiltonovy funkce -f = h(m-.p.) (9.24) Do tohoto vztahu můžeme dosadit za pa ze (9.20) a dostáváme tak nelineární parciální diferenciální rovnici - (Hamiltonovu - Jacobiho) dS_ dt + H t,q° V dS 'dqa 0 . (9.25) J Elementárním příkladem je rovnice pro volnou částici zapsaná v kartézských souřadnicích dS 1 ■ + - dt 2m fdS^ 2 fdS^ 2 ÍÔS] + + [dXj ldyj [dz] o , jejímž řešením je například S = px x+ py y+ pz z-(p2 + p2 + p2)t/(2m) nebo S = p-v/x2 + y2 + z2-p2t/(2m). 9.4 Maupertuisův princip Napíšeme diferenciál funkce S = S (q ,t) a dosadíme z (9.20) a (9.24), takže d^ d^ dS=—dq"+—dt= p dq"-Hdt dqa dt " (9.26) a po integraci 54 S = {(p„dq"-Hdt) • V případě, že se energie zachovává (H = E = konst.) S = S0(q)-Et , S0(q) = {p„dq" Uvažujme Lagrangeovu funkci (9.27) (9.28) L=|a«/?(q)q"q/?-u(q) , Kfi=^fia potom budou hybnosti dh dq/ a zachovávající se energie .a a p dt ^ 1 / xdq" dq^ / v E=-a„-(q)-^--—+U(q) . 2 "M ' dt dt V ; Odsud dt ag/?dq"dq^ 2(E-U) 1/2 (9.29) Dále PB dq" = a0/Äq- = aa/?^^dt = 2(E - U)dt (9.30) dt dt dt Nakonec tedy dosazením (9.30) a (9.29) do výrazu pro S0 (q) dostáváme vyjádření „zkráceného" (myšleno odečtením členu E t) účinku S0=j[2(E-U)ao/,dq°dq' Pro jednu částici je kinetická energie dl 1/2 (9.31) X - — ~ 2 vdty kde dl je element délky trajektorie. Obecný výraz (9.31) se zjednoduší na S0=j[2m(E-U)]1/2dl . (9.32) Kdybychom chtěli podobnost s Fermatovým principem zesílit, podělíme obě strany konstantním členem ^2mE a můžeme psát Sn j[ndl = 0 , ô ^2mE (9.33) 55 kde „index lomu" je definován jako I-" E 1/2 (9.34) V optice nabitých částic má tento výraz (alespoň pro elektrostatická pole) přesně význam indexu lomu prostředí. Z Maupertuisova variačního principu (9.33) dostaneme rovnici trajektorie. Při variaci dl -^.*r-ři_ + VĚ^.d*r dř 2^/E-U y dl v dl d\J _ 1 d --ór —, + — dr 2^/E-U dl f -dr^ dl ■Sr[ = 0 jsme použili užitečného obratu dl2 =df-df Rovnice trajektorie tedy je dl ôá\ = ár-ôáľ dl^ dl, dv Označíme sílu F =-ô\J /ôf a jednotkový tečný vektor ke trajektorii r=df/dl. Provedeme naznačenou derivaci a dostáváme d2f F-(F-ř)ř ^4 = ^-T" • (9-35) dl2 2(E-U) Výraz v čitateli na pravé straně rovnice (9.35) je normálová složka síly Fn = F-(F-ř)ř. Musí tedy i vektor na levé straně mít tuto orientaci. Skutečně také fi!l = ^ = £ , (9.36) dl2 dl R kde R je poloměr křivosti trajektorie a n je jednotkový vektor hlavní normály. Zapíšeme-li ještě dvojnásobek kinetické energie jako T =2(E -U) = mv2, dostáváme známy vztah Newtonovy mechaniky . m v • n-= F„ R (9.37) Označme podle obrázku j>{-)dv • (lo-i) a Většinou můžeme uvažovat o soustavě složené z identických částic, potom v sumaci nepíšeme index částice. Základní popis se děje v kartézské inerciální (laboratorní) souřadné soustavě XYZ pomocí kartézské souřadné soustavy x, ^ Xg pevně spojené s tělesem - její počátek O umístíme do hmotného středu tělesa.3 Souřadnice bodu O jsou v inerciální 3 Z praktického hlediska budeme v této kapitole užívat značení X=X1,y=X2,Z = X3 a pozměníme sčítací pravidlo - sečítá se vždy, když člen obsahuje veličiny se stejnými indexy (nemusí být tedy jeden „nahoře" a druhý „dole". Máme tak pro skalární součin vektorů a-b = a; b; a pro složky vektorového součinu a xb I = Sikl ak bY . Také se sečítá, je-li veličina ve druhé mocnině, protože X2 = Xj Xj. 57 soustavě zadány průvodičem R, orientace soustavy Xj Xj Xg vůči inerciální soustavě pomocí tří úhlů. Představuje tedy tuhé těleso mechanickou soustavu se šesti stupni volnosti. Souřadnice obecného bodu tělesa P v inerciální soustavě jsou zadány průvodičem r, v soustavě spojené s tělesem průvodičem f. Malé posunutí bodu P o dr je složeno z posunutí celého tělesa společně s počátkem O, tj. dR a rotace tělesa kolem počátku o malý úhel S(p, tj. S(pxv dt = dŘ+ S Q v=V + Qxf (10.2) (10.3) Vektor V udává rychlost translačního pohybu tělesa jako celku, Q je úhlová rychlost rotace tuhého tělesa. Pokud umístíme počátek souřadné soustavy spojené s tělesem místo do hmotného středu do jiného bodu 0'(00/=a), zůstane pochopitelně r stejné a bude R=R+á a ř'=r-&. Dosazení do (10.3) dává v=V + Qxá + Qxf/, což ale máme zapsat v nové soustavě také jako složení translačního a rotačního pohybu, tedy v = v +fi'xf/. Porovnáním obou výrazů dostaneme transformační vztah r'=r-a , V;=V + Qxa , Q' = Q . (10.4) Tento vztah popisuje dvě důležité skutečnosti: Především Q je stejné pro všechny soustavy s rovnoběžnými souřadnými osami, můžeme proto dobře mluvit o úhlové rychlosti tělesa jako 58 takové. Dále je vidět, že pokud v některém okamžiku VQ = 0, platí to i pro libovolně zvolený bod O' .4 10.2 Tensor setrvačnosti Dosadíme-li ve výrazu pro kinetickou energii (v je rychlost v inerciální soustavě) mv ze vztahu (10.3), dostáváme T=Zf(v + Ůxř) '=Zfv'+£mV.(ňxr) + Z;f(Ůxr-)' V prvním členu je V pro všechny částice stejné, takže s označením celkové hmotnosti pomocí M bude tento člen ^ 2 Úpravou druhého členu dostáváme ^mV.(Qxf) = ^mf.(VxQ) = (VxQ).Řcm , = £mř . Umístíme-li počátek souřadné soustavy do středu hmotnosti, je výše uvedený člen nulový. Ve třetím členu rozepíšeme druhou mocninu (ňxr)-(ňxr) = f |(Qxf)xQl = f |f Q2-ň(fĎ) Q2r 2 „2 Kinetická energie tuhého tělesa bude tedy „ MV2 1 --1—"V m 2 2^ Q2 r2 ■(a?)2 (10.5) Při zápisu v kartézských složkách dostaneme pro rotační část energie postupně |z m[Qi Qk 3k Xi2 - Qi Qk X; \ ]=Qk Z m[V - * \ Definujeme tensor momentů setrvačnosti (krátce tensor setrvačnosti) Lk =Zm(xi23k ■ Tensor setrvačnosti je z definice symetrický tensor druhého řádu (10.6) 4 V případě, že V • Q ^ 0 , můžeme řešením rovnice Q x (V + Q x a j = 0 (neznámou je vektor a ) najít takové polohy bodu O', že V; || Q , tj. translační pohyb se děje podél osy otáčení. 59 Iik=Iki (10.7) a jako takový může být vhodnou volbou orientace souřadných os přiveden k diagonálnímu tvaru I^Q^^ Q2 Q3) fl 0 0^ 0 I2 0 v0 0 \j ij n; +12 Q2 +13 n; (10.8) Hlavní momenty setrvačnosti mají tu vlastnost, že součet libovolných dvou z nich je větší nebo nejméně roven zbývajícímu - například I1 + I2=£m(y2 + z2 + z2 + x2)>£m(x2 + y2) = I3 . Pokud počátek souřadné soustavy spojené s tělesem neleží ve hmotném středu, je tensor setrvačnosti po dosazení r' =f -a Lk = Hm(^2 s* ~ *t xl) = Hm(x?s* - * *0 + Zm(ai2 4 - ai ak) - a protože ^ mf = 0, dostáváme i;k=iik+Zm(ai^-aiak) • (10.9) Při Ij = I2 ^ I3 mluvíme o symetrickém setrvačníku, jsou-li si všechny hlavní momenty rovny, jde o sférický setrvačník. Závěrem napíšeme Lagrangeovu funkci tuhého tělesa jako L: MV2 1 2 - + -1*^-11 (10.10) Potenciální energie je funkcí tří složek vektoru R a tří úhlů, které charakterizují orientaci soustavy xlx2x3 vůči soustavě XYZ . 10.3 Moment hybnosti tuhého tělesa Moment hybnosti počítáme v soustavě, kde počátek je spojen s hmotným středem tuhého tělesa. Je tedy M =^Tmřx(Qxř) = ]Tm[r2Q-(ř-Q)ř nebo ve složkách Mi ==XX^Qi - ^Qk ^]=X™!*2 3kQk - \Qk =QkX™!*2Jik ■ Srovnáním posledního výrazu s definicí tensoru setrvačnosti (10.6) vidíme, že M; = IikQk . (10.11) 60 Pokud budou osy Xj Xj Xg orientovány podél hlavních os setrvačnosti tělesa, je pak ÍM11 0 (ť M2 = 0 I2 0 M3, 0 v 0 h. A, (10.12) Pokud na tuhé těleso nepůsobí vnější síly, moment setrvačnosti se zachovává. Všimněme si případu symetrického setrvačníku z obrázku. OsaXg je osou symetrie. Osu Xj zvolíme tak, že t \ je kolmá krovině vytvořené vektorem M a okamžitou polohou osy Xj . Potom je M2=0 a podle (10.12) musí být Q2=0. To ovšem znamená, že vektory M , Q a e3 leží v jedné rovině, takže rychlosti bodů na ose Xg v~Qxe3 jsou kolmé k této rovině. Osa symetrického setrvačníku rotuje kolem směru M po plášti kuželu (regulární precese), zároveň setrvačník rotuje kolem osy symetrie. Úhlová rychlost této rotace je jednoduše (10.13) ÍX, = = — cosé? I3 I3 Úhlovou rychlost precese získáme rozkladem Q do směrů e3 a M . První projekce nevede k žádnému posunu osy Xg, takže rychlost precese je určena druhou projekcí. Z obrázku . . Q, M, Msinč siné/ = —L =-— =- , odkud M (10.14) 61 10.4 Pohybové rovnice tuhého tělesa Již jsme zmiňovali, že tuhé těleso má šest stupňů volnosti. Obecný popis musí tedy být vyjádřen pomocí šesti nezávislých rovnic. Budou to rovnice určující časovou derivaci dvou vektorů - hybnosti a momentu hybnosti (v české literatuře často nazývané první a druhá impulzová věta). První rovnici dostaneme snadno sečtením pohybových rovnic jednotlivých částic p=f,kde p je hybnost částice a f na ni působící síla. Zavedením celkové hybnosti P = ^ p = ^ niv = M V a celkové síly F = ^ f můžeme psát dP - — = F . (10.15) dt Ve výrazu pro sílu můžeme sečítat pouze vnější síly, vzájemné silové působení částic tělesa se vyruší. Je-li U potenciální energie tělesa ve vnějším poli, můžeme sílu získat derivováním potenciální energie podle souřadnic hmotného středu. Při translačním pohybu se mění průvodiče f všech částic o stejnou hodnotu SR, takže S\j=y^.Si = (y— \óŘ = -(y f)óŔ = -FÓŔ . dt dt J v ; Kinetickou energii translačnŕho pohybu můžeme psát obvyklým způsobem jako T = MV2/2, takže rovnice (10.15) jsou Lagrangeovy rovnice pro Lagrangeovu funkci souřadnic a rychlosti hmotného středu tuhého tělesa ^í-^í = 0 . (10.16) dt dV dR Při odvození výrazu pro časovou derivaci momentu hybnosti budeme předpokládat, že soustavu XYZ jsme zvolili tak (vzhledem ke Galileiho principu relativity to neomezí obecnou platnost výsledku), aby v ní byl v daném okamžiku hmotný střed tuhého tělesa v klidu, tj. aby V = 0 a tedy v = r = f. Máme pak dM d dt dt •^f x p = x p + x p = ^mvxv + I]f x f . = 0 S označením momentu sil (opět stačí uvažovat vnější síly) K = £řxf (10.17) dostáváme rovnice ^=K . (10.18) dt 62 Oba momenty závisí na volbě počátku souřadnic, vůči kterému jsou počítány. Ve vztazích (10.17) a (10.18) je tímto počátkem hmotný střed tělesa. Také rovnice (10.18) můžeme chápat jako Lagrangeovy rovnice dÔh ^ = 0 . (10.19) dt dQ dq> Kinetickou energii jsme již pomocí úhlové rychlosti vyjádřili. Pro změnu potenciální energie při otočení tělesa o úhel ô

,\j/ do os soustavy xlx2x3. Úhlová rychlost (p míří podél osy Z a má složky Konečně y/ míří podél osy Xg, takže y/i=y/1=0 ,y/3=y?. Můžeme tak zapsat výsledné výrazy pro složky vektoru Q Q, = cp siné* sin y/ + 0cosy , Q2 = cpsiné*cos^// - 9siny/ , (10.21) Q3 = (pcos&+ y/ . Dosadíme-li do výrazu pro rotační část kinetické energie symetrického setrvačníku dostáváme 64 Trot = Í(p2sin20 + 02) + ^(pcos0 + ^)2 . (10.22) Známou úlohou je rotační pohyb v homogenním gravitačním poli symetrického setrvačníku s pevným spodním bodem („vlček"), který učiníme společným počátkem obou souřadných soustav. Střed hmotnosti leží na ose setrvačníku ve vzdálenosti 1 od počátku, jak je znázorněno na obrázku. Lagrangeova funkce je L= (ff2sin2ff + ff2) + ^(ffcosff + ^)2-Mglcosff . (10.23) Souřadnice y/ a

)

cos# + ^)2 + Mglcos# = konst. . (10.25) 65 kde M,2 , , (M7 -M,cos<9) , , a«=E--3—Mg\ , Ueff (e) = V z , \-'— Mgl(l-cosč) . (10.28) -'eff 2I3 v 7 2i;sin2^ Možné jsou takové hodnoty úhlu 0, kdy Eeff >Ueff ((9) . Protože však (s výjimkou zvláštního případu MZ=M3 funkce Ueff ((9) jde do nekonečna jak při é?—»0, tak při 9^>7t^ někde v intervalu [0,^"] nabývá minima, bude se pohyb odehrávat v omezeném intervalu úhlů 6X<6<62. Charakter trajektorie ještě závisí na tom, zda cp mění znaménko, což je podle (10.26) dáno výrazem Mz -M3 cos<9. Je-li tento výraz kladný v celém dovoleném intervalu úhlů 0, vypadá trajektorie podobně obrázku a). Mění-li znaménko pro nějaké 0 z dovoleného intervalu, má trajektorie podobu obrázku b). Nabývá-li výraz nulové hodnoty v krajním bodě intervalu, např. 62, vypadá trajektorie jako na obrázku c). Nyní přejdeme k druhému způsobu popisu - k Eulerovým rovnicím. Označíme časovou změnu vektoru Š vzhledem k pevné soustavě XYZ jako dS/dt. Pokud se vektor v rotující souřadné soustavě Xj ^ X3 nemění, je celá změna v soustavě XYZ způsobena pouze rotací, tj. ÍÍ = ôxs . dt Obecně musíme přidat na pravou stranu možnou změnu vektoru S vzhledem k rotující soustavě 66 Pohybové rovnice (10.15) a (10.18) přepíšeme takto na ďP - - - d'M - - -+ QxP = F , -+ QxM = K . (10.30) dt dt Napíšeme-li rovnice ve složkách - průmětech do os soustavy x, ^ Xg, je pro derivace vzhledem k této soustavě samozřejmě ^ d;S _d(grS)_dS1 1 dt dt dt a podobně pro další dvě složky. Máme tak z (10.30) dvě soustavy rovnic (píšeme P = M V) M M M dV dt i + Q2V3-Q3V2 ďV. dt dV3 ~ď7 2 + Q3V, -Q,V3 J \ í J + Q,V2 -Q2V, (10.31) I1^L+(l3-I2)^2^3=K1 I2 ^" + (1,-13)03".=^ I3^ + (I2-I1)Q1Q2 = K3 (10.32) Jako příklad uvažme volný pohyb (K = 0) symetrického (I2 = I,) setrvačníku. Ze třetí rovnice (10.32) máme Q3 =konst. První dvě rovnice dávají Q,=-ť»Q2 , Cl2 = a>Q1 , a> = ——— I1 Q3 = konst. Tuto soustavu snadno vyřešíme Q, = Acos(ryt + a) , Q2 = Asin(řyt + a) . 67 ll.Mechanika pružných těles 11.1 Tensor deformace Při definici tuhého tělesa se předpokládalo, že vzdálenosti mezi částicemi tvořícími těleso se nemění. Připustíme teď malé změny těchto vzdáleností způsobené vnějšími silami (deformace tělesa). Uvažujme dvě částice tělesa v blízkých polohách A a B, tj. vzdálené o Ař0=řB—rA. Po deformaci zaujmou částice dvě nové, ale stále blízké polohy A7 a B7, tj. Ar = ŕg +úB — (r^ + úA) = Av0 + Aú. Posunutí jednotlivých bodů může být konečné, ale vzdálenosti jednotlivých bodu se mění jen málo, můžeme tedy v rozvoji Au ponechat jen první člen A A 9U- . Axi=Axoi+—^Axok . Pro kvadrát délkového elementu pak máme AI2 =AxiAxi= Ax^ Ax^ + 2-^ Ax^ Ax,k + —L—L Ax^ Ax^ ox,^ ox,^ ox. Tento výraz můžeme zapsat jako AI2 = AI2 + 2uik Axg; Axgk , kde uik =uki je symetrický tensor druhého řádu - tensor deformace (11.1) 1 f du, du, <3u, <3u, — + —- + ■ 1 1 (11.2) d\ 5xj 5xj d\ Jako u každého symetrického tensoru můžeme zvolit takovou souřadnou soustavu, že je tensor diagonální uv' 0 0 uik = 0 (2) uv' 0 0 0 uv 68 V takové soustavě pak Ax,2 +Ax22 + ax32 =(i + 2u(1))a4 +(i + 2u(2))ax022 +(i + 2u(3))ax023 . Relativní prodloužení (zkrácení) v jednotlivých hlavních směrech je ^^ = (l-2u«)V2-l,u« . (11.3) Přibližný vztah platí tehdy, jsou-li deformace malé - to znamená prakticky ve všech případech. (Vidíme také, proč ve výrazech (11.1) a (11.2) vystupuje dvojka.) Pro malé deformace je možné zanedbat kvadratický člen v (11.2), takže tensor malé deformace je 1 ( du, duk ^ 1 +■ k 2{d\ dX;y Pro změnu objemu při deformaci máme V = Ax. Ax, ax3 = (l + 2u(1) )1/2 (l + 2u(2))1/2 (l + 2u(3) ^ Ax^ Ax^ Ax^ (l+u«+u(2)+u(3))v0 Stopa (součet diagonálních elementů) je ale invariantem, takže platí (11.4) Tr(uik) . Máme tedy (v libovolné soustavě) vyjádřenu relativní změnu objemu pružného tělesa jako V-Vn AV _]o___ V V Tr(uik) . (11.5) 11.2 Tensor napětí Při deformacích se objevují síly, které působí proti deformaci - snaží se vrátit těleso do původního stavu. Těmto silám říkáme vnitřní napětí. Jsou to molekulární síly, které působí jen v bezprostředním okolí. Z hlediska makroskopické teorie můžeme uvažovat jen o působení sousedních částic - na vybraný objemový element pružného tělesa působí okolní části tělesa pouze povrchem vybrané části. Síla působící na objem je součtem sil působících na elementy daného objemu j*F dV . Síly vzájemného působení jednotlivých elementů uvnitř zvoleného objemu se díky zákonu akce a reakce ruší, výsledné síla je tedy dána jen působení okolí objemu. Protože však toto působení se děje jen styčným povrchem, musíme být schopni převést uvedený objemový integrál na plošný. Bude to zobecnění známé Gaussovy věty, kdy objemový integrál skaláru, vyjádřeného jako divergence nějakého vektoru F =d a^dS, kde ři je jednotkový Jv Jv vektor vnější normály. Budeme tedy předpokládat der-. d\ (11.6) a je pak der.. jvf;dV= -^dV^^dS . (11.7) Ze vztahu (11.7) vidíme, že erik nk dS je i - tá složka síly, působící na plošný element ndS . Například na jednotkovou plošku kolmou k ose x působí k ní kolmá (ve směru osy x) síla or, tj. 11^1,22^2,33^3,23^4,31^5,12^6) ^"Qklm Uik Ulm = ~7^^ap Ua Ufi ' ^a/3=^/3a připouští 21 koeficientů (krystal s triklinickou mřížkou) - symetrická matice 6x6 má 21 nezávislých prvků. Krystal s kubickou mřížkou je charakterizován třemi koeficienty 1 # = + -Cxxxx (uxx +uyy +uyy j + Cxxyy (uxx uyy +uxx uzz +uyy uzz j + 2Cxyxy(Uxy+U;L+Uyz Nás zajímá nejvíce případ izotropního pružného tělesa. Tam máme dva nezávislé koeficienty, což souvisí se dvěma možnostmi, jak napsat pomocí tensoru deformace skalární veličinu druhého řádu v uik : druhá mocnina součtu diagonálních prvků (uu )2 a součet druhých mocnin všech prvků uik uik . Pro volnou energii tedy 1 S = So+ 2^11+^ (11.18) A a ju jsou tzv. Laméovy koeficienty. Zapíšeme tensor deformace tak, že vydělíme bezestopou část 1 , uik --3kun + ^ikun (11.19) a výraz pro volnou energii se změní na l 2 11 (11.20) 5 Pro matici ortogonální transformace mámeOT O = I =>• 0lk =Oi; 0lk = Óik . Pro stopu matice tedyUj'j =0;Tj Ujj Oi; = Ujj Oj; Oi; = Ujj ť^jj = Ujj a přirozeně i druhá mocnina je skalár. Dále Uik Uik =0iTJ UJ1 0lk 0im Umn 0nk = 0ji 0mi 0lk 0nk Ujl Umn =^m 3„ Ujl Umn =Ujl Ujl ■ 73 Srovnání (11.18) a (11.20) dává K = /l + 2///3 . Kvadratická forma (11.20) musí být kladná, aby měl volná energie při nulové deformaci minimum. Je-li tedy tenzor deformace s nulovou stopou, musí být ju> 0, má-li diagonální tvar, musí být K > 0. Diferenciál volné energie je dg = Kuu dun + 2ju 1, uik --4uii 1, uik --3kun Uvážíme, že 3, uik--3kull a zapíšeme dun = ôik duik , tím získáme pro diferenciál výraz v potřebném tvaru Kuik + 2// 1 , % --^ikun du-, který srovnáním s (11.17) umožní vyjádřit tensor napětí pomocí tensoru deformace 1 ^ik = Kuik + 2U uik --4un (11.21) Spočteme-li stopy obou stran (11.21), máme aň =3KuH a pak již můžeme vyjádřit tensor deformace pomocí tensoru napětí 1 x , 1 ■Oiv(Tu + (11.22) 9K Ik 11 2/li Tensor deformace je pro malé deformace lineární funkcí tensoru napětí - to je slovní vyjádření Hookova zákona. Pro hydrostatické stlačení je crik =— póik. Je tedy relativní změna objemu uH = — p/K . Pro malé hodnoty u;i a p můžeme psát K 1 AV 1 dV p V p V <9p T Vyjádření volné energie můžeme rychle najít následující úvahou: je to kvadratická funkce složek tensoru deformace, podle Eulerovy věty o homogenních funkcích musí být uik d$Jduik = 2$ a protože tensor napětí je crik =d^Jduik , máme 1 S = S0 +-0-ikuik • (11.23) 11.4 Homogenní deformace Aproximace, kdy předpokládáme, že tensor napětí je konstantní v celém objemu pružného tělesa umožní vyřešit analyticky řadu i prakticky užitečných úloh. Nejčastěji 74 zmiňovanou úlohou je prosté natažení (stlačení) tyče (orientované pro určitost podle osy z) silou působící na obou koncích. Okrajové podmínky na těchto koncích dávají o"zi n; = p neboli o"zz = p . Protože na bocích je o"iknk=0 pro n kolmé na nz, jsou všechny ostatní složky tensoru napětí nulové. Z Hookova zákona dostáváme 1 Uxx=Uyy 1 1 lju 3K 1 ZZ g 1 1 + 3K ju (11.24) Objevují se tak známé veličiny - Youngův modul E, charakterizující relativní prodloužení (11.25) 1 _ 9K// — p , E =-— E 3K + // a Poissonův poměr o, udávající poměr relativního zúžení k relativnímu prodloužení tyče 1 3K-2// Uxx=Uyy 2 3K + // Vztahy (11.18), (11.21) a (11.22) vyjádřeny pomocí nových koeficientů jsou 3 = 3o + f 2(l + o") 4 + 1-2(7 l + O" -'1-2^^ u,,.+ 11.5 Rovnice rovnováhy pro izotropní tělesa Dosadíme do rovnice (11.10) z (11.27) E a du (l + er)(l-2er) dx; l + o" d\ Pro malé deformace f du, du, —- + —- Ea Takže rovnice rovnováhy získá tvar E d2ut__l_ 2(l + o-) 34 + 2(l+o-)(1-2a) d^d^ Ve vektorovém značení bude mít rovnice tvar + f =0 1 -\ 2(l + o") - Aú +-V(V-u) = —^-J-f l-2o" V ' E (11.26) (11.27) (11.28) (11.29) 75 S využitím identity6 Au =v(V-u)-Vx(Vxu) můžeme rovnici (11.29) zapsat jako \ l-2a - \ (l + er)(l-2er) -V(V-u)- , VxVxtíU-^-P—-^f . (11.30) 1 ' 2(l-ťr) 1 ' E(l-ťr) Předpokládejme, že vnější objemové síly tvořeny homogenním polem nebo nejsou vůbec přítomny. Potom aplikace operátoru divergence (skalární vynásobení V- zleva) na rovnici (11.29) dává (divergence a laplacián komutují) A(V-u) = 0 , (11.31) to znamená, že divu udávající změnu objemu při deformaci je harmonickou funkcí. S využitím (11.31) dává aplikace laplaciánu na (11.29) (gradient a laplacián komutují) AAu = 0 , (11.32) to znamená, že vektor deformace splňuje biharmonickou rovnici. 11.6 Tensor deformace ve sférických souřadnicích Ve většině předchozích vztahů jsme pracovali s kartézskými souřadnicemi. Pro řadu úloh je však s ohledem na symetrii vhodnější užití jiných souřadných soustav - většinou však ortogonálních. Můžeme buď přepsat vztahy do kovariatního tvaru, to však vyžaduje zavedení pojmů z tensorového počtu, nebo přepočítat vztahy z kartézské soustavy do konkrétní soustavy s křivočarými souřadnicemi. Tento postup si ukážeme pro sférické souřadnice, které s kartézskými souvisí vztahy x = r siné?cos<^ , y = r siné?sin<^ , z = rcosé? , Přitom 06> 1 duH U r dO r 1 du u, u u =--^ + cotg(9_^+^L r siné* dep r r due ue | 1 dut dr r r dO 1 du dun -+- u„ r siné* dtp dr r (11.38) 1 du 1 dug u --—H---- -cotg 9— r dO r siné* d

r^+i^ř Konstanty a a b spočítáme z okrajových podmínek ' P2 > takže >3 r>3 , Ea Pj^-p.R,3 2Eb_R3R23(p1-p2) l-2a r^-r3 ' l+a- r^-r3 12. Mechanika tekutín 12.1 Rovnice kontinuity Považujeme kapalinu (pro stručnost bude mluvit o kapalině, velká většina výsledků se týká i plynů) za spojité prostředí. „Malý objemový element" je dostatečně velký, aby obsahoval značný počet molekul - v tomto smyslu je třeba chápat pojmy jako „částice kapaliny". Pohyb částice kapaliny je pohyb malého objemového elementu, chápaný jako pohyb bodové částice kapaliny. Matematický popis pohybového stavu kapaliny je dán 78 funkcemi, které určují rozložení rychlosti v = v(x,y,z,t) kapaliny a dvě termodynamické veličinu - mohou jimi být například hustota /? = /?(x, y, z,t) a tlak p = p(x, y,z,t). Další termodynamické veličiny lze určit pomocí stavové rovnice. Veličiny v,/?, p nepopisují pohybový stav nějaké částice kapaliny, ale stav kapaliny v určitém bodě prostoru v určitém čase. Vezměme nějaký objem V0 prostoru. Množství kapaliny v tomto objemu (tj. hmotnost objemu) je ľ pdV , kde p je hustota kapaliny. Objem V0 je ohraničen uzavřenou plochou (povrchem) S0. Elementem povrchu d f (absolutní hodnota vektoru d f je plocha elementu povrchu a směr je tohoto vektoru je směrem vnější normály), proteče za jednotku času množství kapaliny rovné pydí (tedy tato veličina je kladná, když kapaliny v objemu ubývá). Celkové množství kapaliny vytékající za jednotku času z objemu V0 je (j) pydí . Porovnání tohoto výrazu s úbytkem celkového množství v objemu dává -— í/?dV = (j)/?vdf . (12.1) dt % s0 Povrchový integrál převedeme na objemový a časovou derivaci můžeme vnést do integrálu (integrační oblast je pevně daná), musíme však vyznačit znaménkem parciální derivace, že teď derivujeme pouze podle času, nikoliv podle prostorových proměnných -t- + divpv dV = 0 . Tato rovnost musí platit pro libovolně zvolený objem V0, musí být roven nule integrand. Dostáváme tak rovnici kontinuity ^ + divpv = 0 . (12.2) dt Vektor j=/?v (12.3) se nazývá vektorem hustoty toku kapaliny. Rovnici (12.2) lze rozepsat na op ——+ pdivv + v-gradp = 0 . (12.4) dt 79 12.2 Eulerova rovnice Na vybraný objem kapaliny působí síla -á> pdf . Přejdeme k vyjádření této síly J s0 pomocí objemového integrálu - = 1/p specifický objem. Pro s = konst. máme dw = — d p => — gradp = gradw P P a Eulerovu rovnici (12.6) zapíšeme jako — +(v-grad) v =-gradw . (12.11) Využití identity 1 gradv2 = v x rotv + (v • grad) v umožní zapsat (12.11) ve tvaru dv . . / --v x rotv = - grad dt v wh-- V 2y (12.12) Aplikací operátoru rotace na předchozí vztah dostáváme tvar Eulerovy rovnice. Který obsahuje pouze rychlost (rotgrad f =0) d —rotv = rot(vx rotv) . (12.13) dt y J 81 Jako vždy u řešení diferenciálních rovnic v konkrétních případech potřebujeme znát okrajové podmínky. Například na nepropustných pevných stěnách musí být normálová složka rychlosti kapaliny rovna nule vn = 0. Poněvadž pohyb kapaliny je popsán pěti veličinami (tři složky vektoru rychlosti a například hustota a tlak), potřebujeme pět rovnic. Ty pro ideální kapalinu skutečně máme: tři z Eulerovy rovnice, rovnici kontinuity a rovnici, vyjadřující skutečnost, že pohyb je adiabatický děj. 12.3 Bernoulliho rovnice Při ustáleném proudění je dv/dt = 0, takže rovnici (12.12) můžeme psát jako grad --h w 2 v x rotv (12.14) Zavedeme pojem proudové linie (krátce proudnice) jako křivky, jejíž tečnou v každém bodě je rychlost kapaliny. Pokud rychlost kapaliny známe, je proudnice definována soustavou diferenciálních rovnic dx _ dy _ dz (12.15) Jednotkový vektor tečný k proudnici označíme í . Podle definice je rovnoběžný s vektorem rychlosti, takže vynásobíme-li skalárně tímto vektorem obě strany rovnice (12.14), dostaneme 7 d fy2 dí ■ + w 0 Podél proudnice tedy platí + w = konst. (12.16) Konstanta je obecně pro různé proudnice různá. Pokud však je proudění nevírové, tj. platí rotv = 0, je pravá strana (12.14) rovna nule a máme jedinou konstantu pro všechny proudnice. Za přítomnosti homogenního gravitačního pole g můžeme s uvážením g=grad(g-r) zobecnit (12.16) na Bernoulliho rovnici 7 Derivace ve směru je průmětem gradientu do tohoto směru: d f jdi = í • grad f . 8 Připomeňme, že pro nestlačitelnou kapalinu můžeme psát entalpii jako w= p//?. 82 --h w - g • r = konst. 2 (12.17) Jednoduchou aplikací rovnice je určit výtokovou rychlost a nejvyšší možné převýšení u sifonu z obrázku. Hustota kapaliny je p a osu souřadnic z orientujeme vzhůru, takže -g-r =gz. Předpokládáme nevírové proudění, takže můžeme psát C 2 p vc Pc 2 p 2(Pd"Pc) P + 2g(ZD-Zc)+VD 1/2 Dosadíme-liteď pD = pc = patm a zD-zc=d+h2 , dostáváme vc =V2g(d+h2) + vD • Je-li plocha dna válcové nádoby SD a plocha trubice sifonu Sc , máme z rovnice kontinuity SD vD = Sc vc a za obvyklých podmínek, kdy SD » Sc můžeme ve výrazu pro výtokovou rychlost zanedbat rychlost poklesu hladiny, takže je vc=>/2g(d+h2) . Dále porovnejme hodnoty v bodech B a C, tedy VB , ťB Ť+ ^+ězb=T +-+gzc => Pb 2 p 2 p Pc +P- Pgi^B-^c) Musí být pB >0 a protože vB =vc a pc = patm, je maximální možná hodnota hj 00 \ 1 / n P ■(d + hj . 83 12.4 Malé odbočení k termodynamice U řady rovnic využíváme toho, že popisují adiabatické (při konstantní entropii) nebo isotermické (při konstantní teplotě) děje. Připomeneme proto, jak spolu prostřednictvím Legendrových transformací souvisí různé termodynamické potenciály - jmenovitě vnitřní energie U, volná (Helmholtzova) energie F, entalpie W a volná (Gibbsova) energie O. Proměnnými jsou teplota T, entropie S, tlak p a objem V. áU = TáS-páV ŮO = -SůT + Vůp Obdobně můžeme postupovat i s potenciály, vztaženými na jednotku hmotnosti kapaliny. Pouze je třeba vzít v úvahu vztah mezi specifickým objemem t> a hustotou p 1 a dP o = — => do = —, P P takže dostáváme následující diagram: 84 12.5 Tok energie a hybnosti Energie a hybnost jednotkového objemu kapaliny jsou C = p— + PVL , p = pv , (12.18) kde u je vnitřní energie jednotkové hmotnosti. Budeme počítat časové změny dt/dt a dp/dt tak, abychom je mohli zapsat jako divergenci nějakého vektoru toku energie resp. divergenci nějakého (symetrického) tensoru toku hybnosti. Při úpravách využijeme řadu dříve odvozených vztahů. S využitím rovnice kontinuity (12.2) a Eulerovy rovnice (12.6) máme dfpy1^ dt V 2 j ■— —— + py- — = -—divf/Cv) - v -grád p -p v- (v -grád) v 2 dt dt 2 y J v y \ b Poslední člen přepíšeme v-(v-grád) v = (1/2) v-gradv2 a podle termodynamického vztahu pro entalpii dw=Tds + dp//7 napíšeme místo gradientu tlaku gradp = /?gradw-/?Tgrads, takže dfpy1^ dt V 2 j -—div(/?v )-/?v-grad ,2\ wh-- 2 + pT v-grads Dále d(pu) d(pw-p) dp dw dp ,. , - ^ ds —-- = —-- = w--vp---— = -wdiv (p\) + pT— . dt dt dt dt dt v ; dt Při poslední úpravě jsme z výrazu dw=Tds+ p/pdosadili/?<3w/<3t = pTds/dt + dp/dt. S využitím rovnice (12.9) je pak d(pu) dt ■ w div(/? v)-pT v-grads . Složením výrazů pro oba členy v hustotě energie dostáváme d_( py2 dt + pu w+- div(/?v )-/?v-grad ,2^ w+- nebo konečně dt ~ďt + div j = 0 , e = p —+u ) =P -+w (12.19) Integrujeme-li rovnice přes určitý objem kapaliny a užijeme Gaussovu větu, dostáváme -—jedV = (j) j-ňdS . (12.20) <3t v s Vektor j je tedy vektorem hustoty toku energie. Na první pohled překvapivá entalpie místo vnitřní energie má snadné vysvětlení. Rozepsání výrazu pw=pu + p dává 85 (j) j-ňdS = Vj)_ gnik dt d\ Pro tensor hustoty toku hybnosti jsme odvodili výraz ITik =-•--«c— =>• . V ; 6>t r r2 Předpokládáme tedy, že amplituda vln je mnohem menší než jejich vlnová dálka, což je velmi přijatelný předpoklad. Náš předpoklad umožňuje považovat proudění za potenciální v = grad^/ . (13.1) Dále budeme považovat kapalinu za nestlačitelnou, takže Eulerova rovnice vede k dy/ -pgz-p- dt (13.2) Jako obvykle jsme zvolili osu z kolmo vzhůru a rovinu x - y za rovnovážný povrch kapaliny. Vertikální výchylku (tj. odečítanou podél osy z) povrchu kapaliny budeme značit C, , v rovnováze je tedy <^ = 0. Působí-li na povrch konstantní tlak p = p0, můžeme potenciál posunout o na souřadnicích nezávislou hodnotu y/^y- p0t/p a (13.2) přejde na „ dy/ 0 (13.3) Předpoklad malé výchylky nám umožňuje položit vertikální složku rychlosti rovnu časové změně souřadnice C, , tj. zanedbat ve výrazu dz dt , z<(x,y,t) poslední dva členy na pravé straně. Máme tak dy/ dz dC dC dC —+ —vx+—vy dt dx d y dC 1 d2y/ dt g dť (13.4) kde poslední rovnost vznikla parciální derivací podle času vztahu (13.3). Poslední aproximací, kterou nám umožní malé výchylky je, že derivace nebudeme počítat na deformovaném povrchu z = £, ale na rovnovážném povrchu z = 0 (provedeme Taylorův rozvoj a ponecháme jen první, tj. lineární členy). Rovnice kontinuity divv = 0 a rovnost obou výrazů pro vz v (13.4) dávají tedy konečnou dvojici rovnic pro potenciál Ay/ = 0 , (13.5) dy/ 1 d2y/^ dz g <3t2 0 (13.6) z=0 89 Kapalina bude naplňovat bazén nekonečně rozlehlý v rovině x - y, dno bazénu bude v rovině z = —h. Budeme hledat řešení homogenní v souřadnici y („rovinná vlna") ^(x, z) = cos(kx-ŕyt) f (z) , kde co je kruhová frekvence, k = 2^r/A vlnový vektor a A je vlnová délka. Po substituci do (13.5) dostaneme rovnici d2f dz2 kz f = 0 a vybereme řešení, které na dně bazénu splňuje podmínku nulovosti normálové složky rychlosti. Z obecného řešení y/ = [ Aexp(k z) + Bexp(-k z)] cos(k x- cot) vybere podmínka dy/ dz 0 konkrétní řešení úlohy i//= Acosh[k(z + h)]cos(kx-řyt) . (13.7) Dosazením tohoto výrazu do rovnice (13.6) dostáváme vztah mezi frekvencí a vlnovým vektorem (dispersní relaci) řy = [gktanh(hk)]V2 . (13.8) Z dispersní relace máme pro fázovou a grupovou rychlost °f=f = lftanh(hk) nV2 _ dťZ> _ 1 ^ ~ ďk ~ 2 ^-tanh(hk) k v ; 1/2 1 + 2hk sinh(2hk) (13.9) V limitních případech, kdy hloubka je mnohem větší (hk»l) nebo mnohem menší (hk«cl) než vlnová délka dostáváme9 h » A : cf = 2cg h «: A : cf = cg 1/2 , 2 n, V / »V2 V pevném bodě (x, z) se vektor rychlosti rovnoměrně otáčí s úhlovou rychlostí co q i* i ii* x /-li* tanh x , 1. x , Platí limtanhx = 1, lim-= 0 a lim-= 1, lim-= 1 3sinh x x^O *°sinhx 90 vx =^— = -k Acosh[k(z + h)]sin(kx-ŕyt) , (13.10) vz =-^—= k Asinh[k(z + h)]cos(kx-ŕyt) . 13.2 Zvukové vlny Zvukové vlny jsou jednoduchým příkladem pohybu s malými amplitudami ve stlačitelné kapalině - plynu. Malé amplitudy znamenají zároveň malé rychlosti pohybu částice plynu (znovu připomínáme, že „částice" zde znamená množství plynu vyplňujícího nějaký velmi malý objem), takže v Eulerově rovnici můžeme zanedbat člen (v-V)v. Také změny hustoty a tlaku budou malé, takže budeme psát proměnné p a p jako P=Po + P/ > P = P0+p' , (13.11) Kde p0, p0 jsou konstantní rovnovážné hodnoty tlaku a hustoty kapaliny a p', p' jejich malé změny ( p' «: p0 , p' <ší/?0). Budeme tedy považovat v, p' ,p' za veličiny malé prvního řádu členy vyššího řádu v rovnici kontinuity a Eulerově rovnici zanedbáme. Z úplných rovnic ^ + V.(pv)=0 , ^ + (v-V)v = -ÍP (13.12) dt y J dt 1 ' p tak dostáváme dp' ^ +p0V-y=0 (13.13) dt — + —ľ- = 0 . (13.14) dt p0 Jak uvidíme po výpočtu, podmínkou pro to, aby linearizované rovnice byly dobrou aproximací je, aby rychlost pohybu částic kapaliny v byla malá ve srovnání s rychlostí zvukové vlny c. Zvuková vlna, tak jako každý děj v ideální kapalině, je děj adiabatický. Můžeme proto změnu tlaku spojit se změnou hustoty p' . (13.15) d Po V rovnici kontinuity (13.13) pak p' vyjádříme pomocí p' a takto vzniklý vztah ^Po dt 0 dp0 V-v = 0 (13.16) s 91 společně s (13.14) tvoří čtyři rovnice pro čtyři neznámé v,p;. Protože už nemůže dojít k záměně, vynecháme v dalším psaní indexů 0 u rovnovážných hodnot tlaku a hustoty. Napíšeme-li teď rychlost jako gradient potenciálové funkce v = V> , (13.17) dostáváme z (13.14) di// ■P- dt (13.18) Dosazení (13.18) do (13.16) pak vede k vlnové rovnici dt2 ■cÁAi// = 0 (13.19) kde rychlost zvukové vlny je dána vztahem dp d p y/2 (13.20) s J Z termodynamiky vime, že platí vztah mezi adiabatickým a isotermickým dějem dp 10 dp dp ^dp_ Cy dp k- dp (13.21) takže (13.20) můžeme zapsat jako (Poissonova konstanta k udává poměr měrných tepelných kapacit při stálém tlaku a stálém objemu) k t J Ze stavové rovnice ideálního plynu dp d p p _ RT y/2 (13.22) p /i (R je universální plynová konstanta a ju molekulární hmotnost) pak dostáváme pro rychlost zvuku výraz f RTv/2 k- ^ M J (13.23) 1 Vztah získáme postupnými úpravami dp a(P,s) d(p,T) Vť' } TdS cfľ v dP = ^dp_ dp s~d(p,S)~ d(p,T) Ky } TdS dT dp v t °v SPt 92 Vlnovou rovnici (13.19) pro rovinnou vlnu 52,,, 1 ~a ^-^-£ = 0 (13.24) dt2 c dt1 převedeme substitucí ^ = x-ct, ^ = x+ct na drj dč, Provedeme-li nejprve integraci vzhledem ke dostáváme dy/jdr] = G{r]), provedeme-li nejprve integraci vzhledem k 77, dostáváme di//fd^ = ¥ F a G jsou libovolné funkce. Druhou integrací pak dostáváme řešení, jejichž součet (rovnice je lineární) je obecným řešením vlnové rovnice s rovinnou symetrií V/(x,t)= f (x-ct) + g(x+ct) , (13.25) f a g jsou libovolné funkce se spojitou první derivací.11 Uvažujme řešení y/= f (x-ct) . Podle (13.17) a (13.18) dostáváme dy/ d f , dw d f 4= x-ct ' 4 = x-ct Podělením obou výrazů dostáváme v = pY(/?c) . Dosazením za p; z (13.15) dostáváme pak v = c^- . (13.26) P Je tedy skutečně rychlost částice tekutiny mnohem menší než rychlost zvuku. 13.3 Vlny v pružném prostředí Pohybovou rovnici získáme předpokladem, že zrychlení bodu pružného tělesa násobené hustotou položíme rovno síle dané vnitřními napětími 9c/:k pu\=—± . (13.27) Není to samozřejmé - takovou rovností totiž předpokládáme, že rychlost bodu v pružného tělesa je rovna u, tedy parciální derivaci posunutí tohoto bodu podle času. Zejména u krystalických látek se složitější strukturou elementární buňky nebo s větším počtem defektů je to rovnost jen přibližná. Dosadíme do pravé strany (13.27) z rovnice rovnováhy (11.29) a dostáváme 11 Podobně můžeme postupovat u řešení vlnové rovnice se sféricky symetrickým řešením, kdy dostáváme i//(r ,t)= f (r-ct)/r + g(r+ct)/r 93 pu -Au+■ -grad(divu) . (13.28) 2(1 +er) 2(l + er)(l-2er) Budeme-li nejprve uvažovat o pohybu, kde posunutí závisí pouze na jediné souřadnici (zvolíme x) a čase. Potom z rovnice (13.28) dostáváme d2u 1 d2u dx2 c2 dt2 2 cu2 El-a) dx2 c2 dt 1/2 1/2 2p(l+a) (13.29) Zavedení rychlosti podélného ct a příčného ct vlnění dovoluje přepsat obecnou rovnici (13.28) na d2u dt2 ct Au+ÍCj — ct jgradídivú (13.30) Rozložíme výchylku do dvou částí, odpovídajících příčnému a podélnému vlnění ú = ut+új , divut=0 , rotúj=0 (13.31) Dosazením do (13.30) a působením operátoru div dostáváme 'd2u, div dt 0 a podobně působením operátoru rot rot d2u, dt 2 ct2Aiít 0 . 12 Je-li divergence i rotace vektoru rovna nule, musí být tento vektor nulovým vektorem , proto můžeme předchozí vztahy napsat jako vlnové rovnice d2u, dt f-cfAu, =0 (13.32) dt2 c2 Au, = 0 (13.33) 12 Každý vektor lze rozložit na součet nevírového a nezřídlového vektoru. 94 95