MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta
U vo d do fyziky plazmatu
poznámky k přednášce
Brno, 2012
doc. Mgr. Lenka Zajíčková, Ph.D.
Kapitola 1
Uvod
1.6   Kritéria pro definici plazmatu
1.6.1 Kvazineutralita
Pokud nejsou přítomny nějaké vnější poruchy je plazma makroskopicky neutrální, tzv. kvazineutrální. V opačném případě vznik velkých Coulombovských sil obnovujících kvazineutralitu. Musely by být vyvažovány enormně velkou kinetickou (tepelnou) energií částic.
Odchylky od kvazineutrality jen na vzdálenostech, na kterých je možné elstat. potenciální energii vyvážit tepelnou energií částic    charakteristická délková míra v plazmatu, tzv. Debyeovská délka.
1.6.2 Debyeovské stínění
Debyeovská délka je důležitý fyzikální parametr popisující plazma: míra vzdálenosti, na kterou nabitá částice "pocítí" vliv jiné nabité částice nebo plochy s nenulovým potenciálem. Odstínění je důsledkem kolektivního chování částic.
Pokud je v plazmatu nějaká stěna, jím vytvořená perturbace se může šířit do vzdálenosti řádově Ad od tohoto povrchu. Oblast v blízkosti stěny, která se nedá považovat za kvazineutrální se nazývá stěnová vrstva (angl. sheath).
Ad je velmi malé
• výboje v plynech T — 104 K a ne — 1016 m~3 => Ad — 10-4 m
• ionosféra T — 103 K a ne — 1012 m~3 => Ad — 10~3 m.
• mezihvězdné plazma =>■ Debyeovská délka až několik metrů
Definujeme Debyeovu kouli: koule uvnitř plazmatu o poloměru Ad- Elstat. pole mimo tuto kouli je odstíněno =>• každý náboj v plazmatu interaguje kolektivně pouze s nabitými částicemi v Debyeově kouli.
Počet elektronů v Debyeově kouli je roven
(1.1)
(1.2)
Debyeovské stínění je charakteristické pro všechny typy plazmatu =>• první tři kritéria pro definici plazmatu: 1. V médium musí být dostatek prostoru pro kolektivní stínící efekt
L > AD,
(1.3)
kde L jsou fyzikální rozměry plazmatu. 2. dostatečně velký počet částic uvnitř Debyeovy koule
neAD > 1.
(1.4)
Definujeme plazmový parametr
1
(1.5)
9 =
a podmínka g <^ 1 je tzv. plazmová aproximace.
1.6. Kritéria pro dennici plazmatu
3
3. Ačkoliv vztah (1.3) již vyjadřuje podmínku kvazineutrality často se tato podmínka zdůrazňuje nezávisle:
ne = ^nj. (1.6)
1.6.3   Plazmová frekvence
Důležitou vlastností plazmatu je stabilita jeho kvazineutrality. Pokud je plazma vychylováno z rovnovážných podmínek, kolektivních pohybů částic kvůli obnovení nábojové neutrality =>•. charakterizováno přirozenou frekvencí, tzv. plazmová frekvence. Perioda oscilací — přirozené časové měřítko pro srovnání s disipativními mechanizmy potlačujícími kolektivní pohyby elektronů.
Elektronová plazmová frekvence
"pe=( — (1-7)
Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu:
Srážky mezi elektrony a neutrály tlumí oscilace, ty nesmí být potlačovány příliš
fpe > "en, (1-8)
kde ven je srážková frekvence elektronů s neutrály, vve — Lupe/2Tr. Alternativně
U)peT > 1, (1.9)
kde t — l/Ven vyjadřuje průměrnou dobu, kterou elektron putuje mezi Zde ukZde ukázka grafu různých typů plazmatu.ázka grafu různých typů plazmatu, dvěma srážkami s neutrály. Čtvrtá podmínka pro existenci plazmatu také vyjadřuje, že průměrná doba mezi srážkami elektron-neutrál musí být velká ve srovnání s charakteristickou dobou, během níž se mění fyzikální parametry plazmatu.
Kapitola 2
Pohyb částic v elektromagnetických polích
2.1 Uvod
Studium pohyb nabitých částic v silových polích umožňuje získat fyzikální náhled na dynamické procesy v plazmatu, protože přírodní i laboratorní plazmata jsou často ovlivňována externími silovými poli. Zároveň to umožňuje získat informace o některých makroskopických jevech, které jsou výsledkem kolektivního chování velkého počtu částic.
Magnetické pole B udržuje nabité částice v plazmatu, a tím udržuje samotné plazma. Elektrické pole E je v laboratoři často využíváno pro generaci plazmatu. Pohybová rovnice pro Lorentzovu sílu F je
^ = F = q(E+VxB), (2.1)
kde p je moment hybnosti částice a v jeho rychlost. Rovnice je relativisticky správná pokud
p = jmv , (2.2) kde m je klidová hmotnost částice a 7 je Lorentzův faktor definovaný
7 = (1 - t,2/c2r1/2 • (2.3)
V mnoha případech však vystačíme s nerelativistiským přiblížením
dv
m—=q(E+vxB). (2.4)
Řešení v homogenním elektrostatickém poli je triviálním opakováním. Stručně si tedy v následující kapitole zopakujeme řešení v homogenním magnetostatickém poli a v kombinaci obou.
2.2   Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum 2.2.1   Formální řešení pohybové rovnice
V případě neexistence elektrického pole řešíme pohybovou rovnici
dv
m— = q(v x B). (2.5) dí
Je výhodné rozložit rychlost v na komponentu v\\ paralelní se směrem B & v± kolmou na B. Pak pro tyto dvě komponenty rychlosti dostaneme následující formální řešení
—   konst (2-6) v±   =   Í2cxrc, (2.7)
kde
S2C =   ^ = = ncS2c. (2.8)
m m
Výsledná trajektorie částice je superpozicí pohybu s konstantní rychlostí podél B a kruhového pohybu v rovině kolmé na B, takže částice opisuje šroubovici. Uhel mezi B a směrem pohybu částice (úhel sklonu)
a = sin"1 (^) = taň"1 (^j . (2.9)
Poloměr kruhové dráhy nazývaný též gyračni, cyklotronový nebo Larmorův poloměr je
nc \q\B
(2.10)
2.2. Homogenní magnetostatické pole a plazma jako magnetikum
5
2.2.2   Magnetický moment
Magnetický moment m asociovaný s cirkulačním pohybem náboje, tj. proudem /, je kolmý k ploše A, kterou definuje trajektorie cirkulujícího náboje a má opačný směr než externě aplikované pole B. Jeho velikost je dána
\m\=IA. (2.11)
Proud můžeme vyjádřit jako tok náboje:
iJA = mt (2.12)
kde Tc — 2tt/ÍIc je perioda orbitálního pohybu (cyklotronová nebo Larmorova perioda). Velikost m může tedy vyjádřit i jako
H = Ä^ = Í|g|ncr2 (2.13)
nebo použitím vztahu Í2C — \q\B/m a rc — v±/ílc jako
kde Wj_ vyjadřuje část kinetické energie částice asociované s transverzální rychlostí v±. Ve vektorové podobě pak můžeme psát
•»=-^B. (2.15)
2.2.3   Magnetizační proud
Uvažujme nyní soubor nabitých částic, kladných a záporných ve stejném počtu (např. případ plazmatu s malou hustotou, kde můžeme zanedbat srážky částic). Pak platí, že střední doba mezi srážkami je mnohem větší než gyrační perioda (tato podmínka je splněna pro mnoho plazmat ve vesmíru). Pak magnetické momenty, které jsou spojené s pohybem částic (hustotou proudu), vytváří vnitřní magnetické pole, které může být tak silné, že významně mění vnější magnetické pole.
Abychom vyjádřili výslednou hustotu el. proudu, uvažujme makroskopický objem, který obsahuje velké množství částic. Nechť S je část plochy v tomto objemu a křivka C tuto plochu ohraničuje. Na rozdíl od částic na trajektoriích, které protínající plochu S jedenkrát (trajektorie 1 na obrázku), částice na trajektoriích protínající S dvakrát (trajektorie 2 na obrázku) nepřispívají k výslednému proudu.
Označíme dl element křivky C. Počet trajektorií, které obkrouží dl je nA ■ dl, kde n je počet trajektorií odpovídajících proudu I na jednotkový objem a A je orientovaná plocha, kterou každá trajektorie uzavírá. Výsledný proud protínající S je pak dán integrací proudu kolem dl přes celou křivku C:
In = j> InA-dl. (2.16)
Protože m — IA je magnetický moment na jednotku objemu, je magnetizační vektor M dán
M — nm — nIA , (2.17)
takže
In — <j) M ■ dl — J (V x M) • dS . (2.18)
Můžeme definovat průměrnou hustotu magnetizačního proudu protínající plochu S:
Jn= / JM-dS, (2.19) ■Js
takže dostáváme
JM = V x M, (2.20)
kde
M = nm=-(^^jB. (2.21)
Hustotu náboje pm spojenou s hustotou magnetizačního proudu Jm můžeme vyjádřit z rovnice kontinuity
%^ + V.JM = 0. (2.22) ot
6
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
Protože Jm — V x M a protože pro libovolný vektor a platí V • (V x a) — 0, je hustota náboje pu konstantní v čase. V Maxwellově rovnici
Vxe = /i„^ + £o^j (2.23)
můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na dvě složky: magnetizační hustotu proudu Jm a hustotu J' odpovídající jiným zdrojům, tj.
J = JM + J'- (2.24)
Když vyjádříme Jm pomocí M, dostaneme
V x B — /i0 [V x M + J' + eo-tt" ) , (2.25)
což můžeme ještě přeuspořádat jako
V x (— B — M) — J' + ěo-tt" ■ (2-26) VMo / dt
Definujeme-li efektivní magnetické pole H vztahem
B = fi0(H + M) (2.27)
můžeme rovnici (2.26) napsat jako
VxH = J'|f„^. (2.28)
Pokud je M úměrné B nebo H
M = XmH, (2.29)
existuje jednoduchý lineární vztah mezi B a H. Konstanta xm se nazývá magnetická susceptibilita prostředí. Pro plazma je však M a l/B (viz rovnice (2.21)), takže není výhodné popisovat plazma jako magnetické prostředí.
2.3 Homogenní elektrostatické a magnetostatické pole
Provedeme opět formální řešení pohybové rovnice
m^=q(E+vxB) (2.30)
v{t)^ncxrc + ^-^- + q-^t+n{Q). (2.31)
První člen představuje gyrační kruhový pohyb, druhý člen je drift ve gyračního středu ve směru kolmém na Ej_ a B), třetí člen je konstantní zrychlení gyračního středu podél B a poslední člen je počáteční rychlost rovnoběžná s B. Rychlost ve nezávisí na hmotnosti ani znaménku náboje a často se nazývá plazmová driftová rychlost nebo elektromagnetický plazmový drift. Protože E|| x B — 0, můžeme psát
E x B ,
ve = -gä- ■ (2-32)
2.4 Drift způsobený externí silou
Jestliže je přítomna nějaká další externí síla (gravitační nebo inerciální, pokud uvažujeme neinerciální souřadný systém), musí se pohybová rovnice modifikovat:
áv
m— — q(E + v x B) + F . (2.33) dt
Efekt této síly je formálně podobný působení el. síly. Předpokládejme, že F je homogenní a konstantní v čase. Potom analogicky k elektromagnetické driftové rychlosti, tato síla způsobí drift, jehož komponenta kolmá na B je
VF = Ľí£- (2'34)
V případě homogenního gravitačního pole F — mg
2.5. Prostorově nehomogenní magnetické pole
7
2.5   Prostorově nehomogenní magnetické pole
Pro prostorově nehomogenní pole je integrace pohybové rovnice matematicky náročný problém. Pokud nás však nezajímají detaily pohybu částice a můžeme předpokládat, že magnetické pole je silné a pomalu se měnící, zatímco el. pole je slabé. Prostorovou škálou je v tomto případě gyrační poloměr:
|VS| rc « 1. (2.36)
B
Řešení pohybu částic založeném na této aproximaci se často říká aproximace gyračního středu nebo Alfvénova aproximace. Pokud se může libovolná ze tří komponent vektoru B měnit v prostoru, máme celkem 9 parametrů.
/ dBx/dx  dBy/dx  dBz/dx \ / x \ VB — (x   y   z)     dBx/dy   ÔBy/dy   ÔBz/dy ý (2.37)
V dBx/dz   dBy/dz   dBz/dz J \ z J
Pouze osm jich je však nezávislých, protože
„  „    dBx    dBv    dBz    n . .
V-B = —^ + —^ + —^=0 (2.38)
ox       oy oz
V následujícím budeme předpokládat kartézský systém souřadnic, v němž
B(0,0,0) = B0 = B0ž (2.39)
Devět komponent tenzoru VB můžeme seskupit do čtyř skupin: • divergentní členy dBx/dx,    dBy/dy, dBz/dz
• gradientní členy dBz/dx, dBz/dy
• členy zakřivení dBx/dz, dBy/dz
• smykové členy dBx/dy, dBy/dx
2.5.1   Divergentní členy
Abychom lépe rozumněli prostorové nehomogenitě magnetického pole, je dobré si znázornit magnetické siločáry pro jednotlivé případy. Diferenciální element siločáry vyjádříme jako
ds = áxx + dyý + dzž (2.40)
Pak musí platit, že
ds x B = 0 (2.41)
což dává vztah
dx     dy     dz . .
R~ = R   = W ■ (2'42)
DX tíy řJz
Protože nás nyní zajímá jen divergentní člen a kolem počátku směřuje pole především podél osy z, můžeme rozvést Bx a By do Taylorovy řady:
5,(^,0,0) = 5,(0, 0,0) +(j^jx1= (j^jxj. (2.43)
By(0, yi, 0) = By(0, 0, 0) +            Vl =            Vl (2.44) Magnetické siločáry protínající rovinu z — 0 y bodě (xi,yi, 0) splňují následující rovnice
dx     Bx      1 (dBx\
te = B-z = B-A-te)Xí      (y = 0) (2'45)
dy   _By   _      1 (3By
dz     Bz     Bz \ dy
Vi      (x = 0) (2.46)
8
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
2.5.2   Gradient a zakřivení
Magnetické pole vyjádřené následujícím vztahem vykazuje gradient ve směru x
B = Bzž = B0(í + ax)ž (2.47)
Musíme si uvědomit, že v oblasti, kde J — 0, by toto pole nesplňovalo Maxwellovu rovnici V x B — 0, takže musíme přidat i člen zakřivení Bxx — Bgazx a magnetické pole vyjádříme jako.
B — B0 [azx + (1 + ax)ž] (2.48)
Většinou ovšem nastává situace, kdy jsou přítomny všechny členy odpovídající divergenci, gradientu a zakřivení (např. magnetické pole Země). Smykové členy nevyvolávají v aproximaci prvního řádu žádné drifty, a proto se jimi dále nebudeme zabývat.
2.6   Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli
Opět uvažujeme případ
B(0,0,0) = B0 = B0ž (2.49)
Blízko počátku můžeme provést Taylorův rozvoj
B(r) = B0 + r-(\/B) + ... (2.50)
a předpokládáme
ÔB = |r • (VB)| < \B0\■ (2.51)
takže magnetické pole působící na částici se liší velmi málo od pole ve gyračním středu. Clen prvního řádu Taylorova rozvoje r ■ (VB) můžeme explicitně zapsat jako
r.(V8) = (r.V)8=(a:A+I/|.+z|)fl =
dBx      dBx      dBx\ „    / dBv      dBv dB, x—--h y—--h z——   x + I x—-- + y^r^- + z-
dx        dy        dz J       \   dx        dy dz dBz      dBz      dBz\ „
x^+y^+z^r (2-52)
přičemž derivace musí být provedeny v počátku souřadného systému.
Jestliže dosadíme aproximativní vyjádření B (2.50) do pohybové rovnice, dostáváme
áv
to— — q(v x B0) + qv x [r ■ (VB)] (2.53)
Rychlost částice je přibližně součtem
v = v(-°) + v^ = —— + —— (2.54)
kde i/1) je porucha prvního řádu
,(o)
(2.55)
a v(°) je řešením rovnice nulového řádu
m^-n-=q(v<® xBq) (2.56)
dí
které již bylo diskutováno dříve. Pokud dosadíme rozvoj rychlosti do rovnice (2.53) a zanedbáme členy druhého řádu
= q(v x B0) + qVW x [r^ ■ (VB)] (2.57)
dí
Druhý člen představuje jakousi dodatečnou sílu k případu homogenního magnetického pole. Tato síla však není konstantní a závisí na okamžité poloze částice. Proto se během jedné gyrační periody objeví malé oscilace. Pokud nás zajímá jen pohyb gyračního středu, stačí se zajímat o tuto sílu vystředovanou přes jednu gyrační periodu.
2.7. Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody
9
2.7   Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody
Zavedeme souřadný systém, jehož počátek se pohybuje počáteční rychlostí částice ve směru rovnoběžném s 8. V homogenním poli by pak částice konala kruhový pohyb. V uvažovaném slabě nehomogenním poli se trajektorie částice nebude příliš lišit. Pokud by ale byly siločáry mg pole zakřivené, nebyl by náš zvolený souřadný systém inerciální, museli bychom uvažovat inerciální síly a v důsledku toho by se projevil další drift. Prozatím budeme předpokládat, že siločáry zakřiveny nejsou a tomuto problému se budeme věnovat v jedné z dalších kapitol.
Vzhledek k výše uvedeným předpokladům se vektory nulového řádu,       a r(°\ nachází v rovině (x,y). Silový člen
r(0) • (VB)} (2.58)
můžeme rozdělit na komponentu F|| podél Bq (osy z) a komponentu Fj_ kolmou k Bo- Použijeme-li lokální válcové souřadnice (r, 6, z), jejichž osa z míří ve směru Bq, máme
r(°)-(VB)=r(°)?. (2.59) ar
Protože (9-složka mg pole je rovnoběžná s v^°\ nepřispívá k F, zatímco BTr přispívá k F|| a Bzž k Fj_. Proto
F,   =   q(x ř) r<°>^ = Mi/°V°) (2.60) n           \          J       dr ar
F±   =   qU*)xi\rW^ = -\q\vQ\W^ř, (2.61) \           J       dr dr
kde r(°) je cyklotronový poloměr odpovídající Bq
Í2C \q\B0
Použijeme-li vztah pro velikost magnetického momentu (2.14), můžeme vztahy přepsat
dr
Střední hodnoty F|| a Fj_ přes jednu gyrační periodu jsou
d ř?
F,,   =   2\m\^Ž (2.63)
ar
F±   =   -2H^rr (2-64)
1   ľ dBr ,\    n. .„.(dBr
(F,|)   =   2\m\ž^-f^d6)=2\m\ž(^p (2.65)
(F±>   =   -2W(^/^)=-2H((^)). (2.66)
Vlivem střední síly (F||) dané vztahem (2.65) dochází ke zrychleni gyračního středu ve směru paralelním k Bq. Jde o efekt divergentních členů B. Střední síla (Fj_) je odpovědná za drift gyračního středu ve směru kolmém. Jde o vliv gradientních členů B.
2.7.1   Paralelní síla
Budeme se snažit nějak lépe vyjádřit ((^r)}- Maxwellova rovnice V • B — 0 ve válcových souřadnicích:
19,    .    19,.     9 ,   . . .
- — {rBr) + - — {Be) + —{Bz) = G. 2.67 r or r dO dz
První člen můžeme rozepsat
1 d , „ ,     dBr Br
- — (rBr) = —^ + ^. (2.68) r dr dr r
Protože pro r — 0 máme BT — 0 a protože blízko počátku se BT mění jen málo, můžeme psát
^ = ^ (2.69)
r dr
10
Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích
a využitím předchozích dvou rovnic máme z V • B — 0
dBr       1/1 dBe dBz
dr        2 \r 89 dz Nyní vyjádříme střední hodnotu přes jednu gyrační periodu:
Dále platí
dBr dr
,1
11 (dB9\ l,(dBz 2V l 89 )' 2\dz
a protože dBz/dz je uvnitř trajektorie částice pomalu se měnící funkce, můžeme ji vytknout před integrál
dBz\,      1   f ídBz\ ,n    dBz dB
dz J      2ir J \ dz ) dz dz
Navíc jsme nahradili Bz polem B, protože všechny prostorové změny jsou velmi malé. Konečně tedy dostáváme
dBr dr
což využijeme pro vyjádření střední hodnoty paralelní síly
,dB
1 ídB_
2 { dz
nebo
l> = -|m|—z = -|m|(Vi?)||
(F||) = (m.V)Sf=-i|l [(B.V)B]n
(2.70)
(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
(2.75)
(2.76)
2.7.2   Kolmá síla
V rovině (x,y) budeme nyní uvažovat kartézskou soustavu souřadnic x — rcos(9) a y — rsm(9). Pak
r — cos(9)x + sm(9)ý
d     dx d ^ dy d (9)^ + '(9)^
dr     dr dx    dr dy dx dy
Odtud
(dBz
V dr
([cos(0)x + sin(0)ý]
(ň,dBz . dBz cos(0)— +sm(0) —
(2.77)
(2.78)
dB
dBz
= (cos2(9)-^x) + (sin(0)cos(0)^f ý>+
dx
d H d H
+ (cos(0) sin(0)^x) + (sin2(0)^ý) dy dy
(2.79)
Dále budeme aproximovat (dBz/dx) výrazem (dB/dx) a (dBz/dy) výrazem (dB/dy). Protože jde o pomalu se měnící členy, můžeme je vytknout před integrál střední hodnoty a s využitím (sin(0) cos(0)) — 0, (sin2(0)) — (cos2(0)) — 1/2 dostaneme
,„dBz.     ldB„ ldB„
(ř^r1) = -—x + -—ý. (2.80)
dr       2 dx      2 dy'
Tento výraz dosadíme do (2.66) pro sílu
(F±) = -|m| ('gÄ+^ý,=-H(VB)±.
(2.81)
2.8. Gradientní drift V B
11
2.7.3   Celková střední síla
S využitím výsledků předchozím dvou odstavců můžeme napsat výslednou střední sílu
(F) = -|m|(VB)|| - |m|(VB)_L = -\m\VB. (2.82) Alternativně můžeme využít vektorové identity
(VxB)x6 = (6-V)e-V^B2j (2.83)
a psát
(F) = -!^![(B-V)B-(Vx B) x B] . (2.84) B
Protože m — —\m\B/B, dostáváme
(F) = (m-V)B + m x (V x B). (2.85)
Toto je obvyklý tvar pro sílu působící na malý prstencový proud vnořený v nehomogenním magnetickém poli. První člen na pravé straně udává sílu působící jen na magnetický dipól.
2.8   Gradientní drift VB
Ze vztahů (2.34) a (2.81) vidíme, že síla (F±) způsobí drift gyračního středu s rychlostí
(F±) x B       \m\ (VB) x B VG = ^B^ = ~T     S2      ' ( }
Tento gradientní drift je kolmý na B a jeho gradient. Jeho směr závisí na znaménku náboje, což může způsobit elektrický proud.
Fyzikální důvod gradientního driftu: gyrační poloměr klesá, když se pole zvětšuje —> poloměr zakřivení dráhy se zmenšuje v místech se silnějším B. Kladné ionty rotují po směru hodinových ručiček pro B směřující k pozorovateli, záporné náboje opačně (viz obr. ??) —> kladné ionty driftují vlevo, elektrony vpravo.
V případě bezsrážkového plazmatu je hustota magnetizačního proudu Jq způsobená gradientním driftem dána vztahem
JG = ^7E*"ffi, (2.87)
i
kde sumace běží přes všechny nabité částice ve vhodně zvoleném objemovém elementu ôV. Z předchozích dvou vztahů máme
2.9   Paralelní zrychlení gyračního středu
V případě existence divergentních členů nehomogenity magnetického pole, tj. jeho podélné změny (divergence nebo konvergence siločar ve směru osy z) urychluje síla (F||) částice ve směru klesajícího pole nezávisle na znaménku náboje (viz obr. ??). V následující části budeme diskutovat některé důsledky tohoto odpuzování gyračního středu od oblastí konvergujících magnetických siločar.
2.9.1   Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku
Vyjdeme ze vztahu (2.75) pro (F||)
d«|| „    ,_ ,       ,   ,dB t
Jestliže vynásobíme obě strany rovnice v\\ — áz/át a nahradíme \m\ — Wj_/B dostaneme
"IF^W = -'"%*■ (2'89)
12
Kapitola 2. Pohyb častíc v elektromagnetických polích
= -^tWi) = -—   -W ) , (2.92)
Protože v magnetostatickém poli platí
W\\ + W±_ = konst. (2.91)
neboli
!<*x)~!w~!(H
dostaneme za pomoci (2.90)
d(W ,_W±dBdz _W±dB
ďt{W±)-^^ďi-^lä' (2'93) kde dB/dt představuje změnu B, jak ji vidí pohybující se částice. Srovnáme-li tento výsledek s následující identitou
ďt^ = d-t{-ir) = ifM+Bd-t{-if)> (2-94)
dojdeme k závěru, že
W\
\m\ = —p = konst.. (2.96)
Jestliže se tedy částice pohybuje do oblasti konvergujícího nebo divergujícího B, mění se její gyrační poloměr, ale magnetický moment zůstává konstantní. Magnetický moment se ovšem zachovává pouze v použité aproximaci, tj. pokud jsou prostorové změny B uvnitř uzavřené části trajektorie malé ve srovnání s velikostí B. Proto se říká, že v tomto případě je orbitální magnetický moment adiabatickým invariantem, obvykle se mluví o prvním adiabatickém invariantu.
neboli
Magnetický tok <í>m plochou uzavřené části trajektorie částice je
ľ „   , -        9 m2v2:        2-7TTO / W i \
~ Js       ^B = ^B = (2'97)
Proto
d . ^   .      2-7TTO d .    . „„.
ď*(*m) = ^-ď*H = ° (2'98)
a částice pohybující se v oblasti konvergujícího pole B bude obíhat po dráze se stále menším poloměrem, aby magnetický tok uzavřený touto orbitou zůstal konstantní.
2.9.2   Efekt magnetického zrcadla
Částice pohybující se směrem ke konvergujícím magnetickým siločárám získává Wj_ v důsledku adiabatické invariance \m\ a <í>m (W±/B — konst. a B roste). Protože celková kinetická energie je v magnetostatickém poli konstantní, klesá W||    =>■    pro dostatečně silné mg pole se může částice zastavit a pohybovat zpět    =>•    odraz částice
Pokud máme dvě mg zrcadla, částice je uvězněna mezi nimi =>• magnetická nádoba. Toto zachycení ale není úplně perfektní. Jeho účinnost se udává jako "poměr zrcadla" Bm/Bq, kde Bm je intenzita mg pole v bodě reflexe (zde je úhel sklonu šroubovice tt/2) a -Bq je mg pole ve středu mg nádoby.
Uvažujme nabitou částici, která má ve středu nádoby úhel sklonu ao- Nechť v je rychlost částice, která v magnetostatickém poli zůstává konstantní. Protože se ani magnetický moment \m\ — Wj_/B nemění, platí
^mv2(sin2 a)/B = ^mv2{sm2 a0)/B0 , (2.99) kde a je úhel sklonu částice v místě s mg indukcí B. Proto pro tuto částici v libovolném bodě mg nádoby platí
sin2a(z) = sin^o_ (210Q) B (z) Bq
Předpokládejme nyní, že částice se odráží u ústí zrcadla, tj. a — tt/2 pro B (z) — Bm a proto
(sin2 a0)/B0 = 1/Bm . (2.101)
2.10. Drift zakřivení
13
To znamená, že částice mající úhel sklonu ao ve středu nádoby rovný
a0 = sin^IOBo/S™)172] = sinaly J v)Q (2.102)
je odražena v bodě, kde je mg indukce Bm. V mg nádobě s poměrem Bm/Bo se částice mající úhel sklonu ve středu nádoby větší než ao odrazí před koncem mg nádoby. Na druhou stranu, jestliže má částice úhel sklonu ve středu nádoby menší než ao, nedosáhne tento úhel nikdy hodnoty tt/2 =>• částice unikne =>• existuje tedy ztrátový kužel se středem ve středu nádoby a s vrcholovým úhlem 2ao daným podle vztahu (2.102) poměrem Bm/Bo-
Kvůli výše uvedeným závěrům mají zařízení bez otevřených konců, tj. s mg siločárami uzavřenými do sebe, podstatnou výhodu při udržení plazmatu. Jednou z možností je torodiální geometrie. Zde ovšem činí problémy v udržení radiální nehomogenita pole. Proto je superponováno poloidální magnetické pole, což dává spirálové siločáry jako v tokamaku. Bohužel nestability a malé fluktuace opět ztěžují udržení horkého plazmatu.
Dobrým příkladem mg nádoby je magnetické pole Země, které zachycuje nabité částice z vesmíru nebo vzniklé ionizací atmosféry. Tyto částice tvoří Van Allenovi radiační pásy (viz obr. ??).
2.10   Drift zakřivení
Až doposud nebyly diskutovány jevy způsobené zakřivením mg siločar. Zde budeme studovat pouze drift způsobený zakřivením siločar (členy dBx/dz a dBy/dz), ale je dobré si uvědomit, že v tomto případě pole nesplňuje podmínku V x 8 = 0, takže drifty způsobené zakřivením a gradientem pole se vyskytují pohromadě.
Budeme předpokládat, že členy dBx/dz a dBy/dz jsou tak malé, že zakřivení siločar je velmi velké ve srovnání s gyračním poloměrem. Zavedeme lokální systém souřadnic pohybující se podél siločar rychlostí . Jednotkové vektory systému budou B ve směru siločáry, h\ ve směru hlavní normály k siločáře a «2 ve směru kolmém na siločáru. Protože nejde o inerciální systém, objeví se odstředivá síla. Fc
mvf,
Fc =---ini, (2.103)
ti
kde R označuje lokální poloměr zakřivení mg siločar a v||
F x B mv?,
^^^-j^xB). (2.104)
Chceme vyjádřit jednotkový vektor ň\ pomocí vektoru B (podél siločar). Uvažujme element úseku siločáry ds svírající úhel d(f> s B:
ds = Rd(p. (2.105) Jestliže dB označí změnu B díky posunu o ds, pak dB míří ve směru h\ a jeho velikost je
|dB| = |B|d<£ = d<£. (2.106)
Následně
dB = ňid(/>. (2.107)
Když podělíme tuto rovnici rovnicí (2.105) dostáváme
dB _ n'i
ds R
Derivaci d/ds podél B můžeme zapsat jako (B • V), takže tuto rovnici můžeme dále upravit
"i
(2.108)
R     (B-V)B. (2.109)
Poslední rovnici můžeme dosadit do rovnice (2.103)
Fc = -mv\{B -V)B . (2.110)
14 Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích
Protože síla Fc je kolmá ke směru mg indukce B (její směr je dán vektorem —rii), způsobí drift s rychlostí
qB
Protože B — BB, můžeme předchozí dvě rovnice zapsat také jako
vc = -Z7^i(B-V)B] x B (2.111)
2W» .
Fc = -^{(B-V)B}±, (2.112)
2W\\ .
Vc = --J{(B-V)B]xB. (2.113)
Protože pro náboje opačného znaménka je drift zakřivení opačného směru, objeví se elektrický proud
2.11   Kombinovaný drift gradient-zakřivení
Drift zakřivení a gradientní drift se vždy objevují společně a oba míří stejným směrem, protože \7B míří opačným směrem než Fc. Proto mohou být tyto dva drifty jednoduše sečteny:
Jínili , mv\\2 ľGC = ľG + ľc = -^(VB) x B--JL[(B-V)B] x B . (2.115)
Jestliže neexistují objemové proudy (např. ve vakuu), takže V x B — 0, umožňuje vektorová identita (2.83) zápis v kompaktnější podobě
"GC = - J1^ + \vl)iy\B2) X 8 ■ (2'116)
V zemské magnetosféře blízko rovníku gradientní drift (B klesá s výškou) a drift zakřivení způsobují pomalý drift kladně nabitých částic západním směrem a záporně nabitých částic východním směrem, tzv. prstencový proud.
2.12   Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli
V následujících kapitolách budeme analyzovat pohyb nabitých částic v přítomnosti časově proměnných polí. V prvních dvou případech budeme uvažovat kombinaci homogenního časově proměnného el. pole a homogenního magnetostatického pole B. Tento předpoklad je splněn pokud je toto magnetostatické pole mnohem větší než magnetické pole indukované časovou změnou E. El. pole můžeme považovat za homogenní, pokud jsou jeho prostorové změny zanedbatelné vzhledem ke gyračnímu poloměru.
2.12.1   Pohybová rovnice a polarizační drift
Na okamžik budeme předpokládat, že charakteristický čas změny el. pole je mnohem větší než gyrační perioda. Složka rychlosti částice model mg siločar je dána vztahem mdv^/dt — qE\\, takže můžeme obecně psát
„„(i)-„„(()) = !■ f E^ť)dť, (2.117) m Jo
což nám zatím nepřináší žádnou novou zajímavou informaci.
Protože pole E je pomalu se měnící, nečekáme, že složka rychlosti kolmá na mg siločáry se bude příliš lišit od stacionárního případu. Proto je rozumné hledat analogické řešení k řešení ve tvaru v± — v'^ + ve, tj.
vl = v'j_ + vE + vp ,
(2.118)
2.12. Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli
15
kde ve — E x B jB2 je elektromagnetická driftová rychlost, která se s časem pomalu mění. Dosazení tohoto vztahu do kolmé složky pohybové rovnice dává
m-^Oi + vE+ vp) = g[£± + Oi + vE+ vp) x B] . (2.119)
Protože také ve — E± x B/B2, můžeme vztah přepsat jako
dv\ d ,E± x B.       dvv        ,     „ „
to—f+m—(—— +mif = ?ľ|xe + ^xB. 2.120
aí        aí     i*2 aí
Jestliže položíme
m ,dEi N ,
můžeme rovnici (2.120) přepsat jako
dv\        dvv        , „
m^+m^=gv   xB. (2.122)
aí aí
Pokud by se druhý člen na levé straně dal položit roven nule, jde o rovnici, která popisuje kruhový pohyb kolem mg siločar. Porovnáme-li relativní velikosti druhého členu nalevo s pravou stranou rovnice, dostaneme
\mdvp,dt\     \{m2,qB2){d2Ejd2r)\ = |(s±/B)/í/J(w2fn2)/(í2B2) = \vM\{Lú/nc)2 , (2.123)
\qv'± X B\ \qv'±B\
kde jsme předpokládali, že Ej_ je harmonicky časově proměnná veličina s kruhovou frekvencí lu. Bude-li tato frekvence mnohem menší než cyklotronová frekvence fžc, tj.
lu < nc (2.124)
a pokud je člen I^e/^I rovněž malý, můžeme člen m(di/p/dí) ve srovnání s jinými členy rovnice (2.122) zanedbat a získáme rovnici ^
m^=?^xB, (2.125)
která je identická případu statických polí. Z toho důvodu odpovídá v'j_ obvyklému kruhovému pohybu kolem mg siločar a nezávisí na změnách el. pole. Následující dva typy rychlostí tento kruhový pohyb doplňují:
£ix8 ,
vE   = (2.126)
m ,dEi „ ,
Pomalé změny el. pole tedy způsobí drift s rychlostí t>p nazývaný polarizační driftová rychlost.
Protože Vp má opačný směr pro částice opačného znaménka, časově závislé el. pole produkuje čistý polarizační proud v neutrálním plazmatu a plazma se tedy chová jako dielektrikum. Hustota polarizačního proudu Jv je rychlost toku kladných a záporných nábojů skrz jednotkovou plochu a je dána vztahem
i i
kde sčítáme přes všechny kladné a záporné náboje nacházející se v malém objemovém elementu SV a pm je hustota hmotnosti plazmatu.
2.12.2   Dielektrická konstanta plazmatu
Polarizační vlastnosti plazmatu souvisí s časovou změnou el. pole. V konst. poli se totiž mohou elektrony a ionty nerušeně pohybovat, a tedy zachovávat kvazineutralitu. Protože se plazma chová jako dielektrikum, můžeme vzít do úvahy hustotu polarizačního proudu Jp tak, že zavedeme dielektrickou konstantu plazmatu. Za tím účelem můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na hustotu polarizačního proudu Jp a hustotu proudu způsobenou jinými zdroji Jo
J = JP + J0. (2.129)
Kombinací Jp se členem eodE/dt, který se objevuje na pravé straně Maxwellovy rovnice V x B, dostaneme
dE±    pm dE± pm   dE±      dE± ,01„n.
eo^f + B-2^r =eo(1 +        ^ e^r' (2-130)
16
Kapitola 2. Pohyb částic v elektromagnetických polích
kde
e = e0er = e0(l + (2.131)
je efektívni elektrická permitivita ve směru kolmém na mg pole. V některých případech můžeme být relativní permitivita er velmi vysoká.
Výsledná hustota náboje pp, která se akumuluje jako důsledek polarizačního proudu Jp, musí splňovat rovnici kontinuity
^ + V-Jp = 0. (2.132)
Pp = -^V-E±. (2.133)
Z (2.132) a (2.128) máme
P. B
Celková hustota náboje může být rozdělena na
P = Po+PP, (2.134) kde po odpovídá Jo- Za předpokladu, že paralelní složka el. pole zmizí vidíme, že
V.£=l(po + PP) = ^-^V.£. (2.135)
e0 eo ě0Bz
Odtud s pomocí (2.131) máme Hustotu náboje pv můžeme tedy vzít korektně do úvahy zavedením efektivní elektrické permitivity e
V-E=^. (2.136)
e
Správnost zavedení efektivní elektrické permitivity plazmatu můžeme dále ověřit výpočtem celkové hustoty energie odpovídající poli E, která je pro dielektrické médium o efektivní permitivitě e dána eE2/2. Hustota energie el. pole je dána jako
WE = ^e0E2 (2.137)
Abychom vyjádřili dodatečnou driftovou kinetickou energii získanou částicí v důsledku polarizačního driftu, uvědomíme si, že vychýlení gyračního středu Ar pro změnu AEj_ za čas Aí je
to ,dE±. to  a _ . „
Ar=VpAt=W2        )Aí=— A£±. (2.138)
Příslušná práce vykonaná el. polem je pak
AW = qE^ ■ (Ar) = ^E± • (AEj_) = A^mEl/B2). (2.139) Bz Z
Kinetickou energii částice odpovídající polarizačnímu driftu pak vyjádříme s využitím (2.126) jako
AW = A(^mv%). (2.140)
Sečteme-li přes všechny částice v jednotkovém objemu příspěvky, dostaneme celkovou změnu energie systému
AWV = A(^Pmv2E) = Ai}-PmE\lB2). (2.141)
Hustota kinetické energie odpovídající kruhovému pohybu částice není ovlivněna změnami el. pole. Celková hustota energie Wt — We + Wy odpovídající el. poli je
WT = \e0E2 + \pmv2E = \e0E2{l + -^) = \eE2 (2.142)
za předpokladu, že neexistuje paralelní složka el. pole. Tento výsledek dokončuje ověření správnosti zavedení efektivní el. permitivity plazmatu.
Kapitola 3
Základy kinetické teorie plazmatu
3.1 Úvod
Plazma je systém obsahující velké množství interagujících částic, takže je vhodné využít pro jeho analýzu statistický přístup.
3.2   Fázový prostor
V každém časovém okamžiku je částice plazmatu lokalizována pomocí polohového vektoru r
r — xic + yy + zz, (3-1) kde ic, ý a ž označuje jednotkové vektory ve směru os x, y a z. Rychlost těžiště částice je dána vektorem
v — vxž + vyý + vzz, (3.2)
kde vK — dx/dt, vy — dy/dt a vz — dz/dt.
Analogicky ke konfigurační prostoru definovaném souřadnicemi poloh (x,y,z) zavedeme rychlostní prostor (t>x, vy,vz).
3.2.1 Jednočásticový fázový prostor
Klasická mechanika - dynamický stav každé částice určen polohovým vektorem a vektorem rychlosti =>• zavádíme fázový prostor (x,y, z,vK,vy,vz) (/i-prostor).
Dynamický stav každé částice reprezentován jedním bodem. Když se částice pohybuje, její reprezentativní bod opisuje trajektorii ve fázovém prostoru. Systém N částic je v každém okamžiku popsán N body fázového /i-prostoru.
3.2.2 Vícečásticový fázový prostor
T-prostor: systém N částic bez vnitřních stupňů volnosti reprezentován jedním bodem v 6-/V-dim prostoru, 3N souřadnice poloh (ri, r2,rjsr) a 3N souřadnice rychlostí (vi, V2,vn). Jeden bod v T-prostoru koresponduje s mikroskopickým stavem celého systému částic.
3.3   Objemové elementy
Malý objemový element v konfiguračním prostoru je dán jako d3r — dxdydz. Zde konečně velký objemový element obsahující dostatečné množství částic. Na druhou stranu dostatečně malý ve srovnání s charakteristickými rozměry prostorových změn fyzikálních veličin. Pokud v plynu obsahujícím 1018 molekul/m3 vezmeme v úvahu např. d3r — 1CP12 m3 (bod), nachází se v objemu d3r stále ještě 106 molekul.
Ve fázovém prostoru (/i-prostoru) je diferenciální objemový element zobrazen jako 6D kostka:
d3r d3v — dx dy dz dvx dvy dvz, (3-3)
Počet bodů uvnitř objemového elementu d3r d3v je obecně funkcí času a polohy objemového elementu ve fázovém prostoru. Souřadnice r a v fázového prostoru jsou navzájem nezávislé, protože představují polohu individuálních objemových elementů ve fázovém prostoru.
18
Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu
3.4 Rozdělovači funkce
deNa(r, v, ť) počet částic typu a uvnitř objemového elementu d?rd?v kolem souřadnic fázového prostoru (r,v) v čase t. Rozdělovači funkce ve fázovém prostoru je hustota bodů reprezentujících částice a
d6Na(r,v,t)
/a(r'V'r)=     d*rd*v (3'4)
/a(r, v,t) je kontinuální, kladná a konečná funkce svých argumentů. Klesá k nule, když se rychlost blíží k nekonečnu. Rozdělovači funkce je obecně funkcí polohového vektoru r =>• nehomogenní plazma.
V rychlostním prostoru může být rozdělovači funkce anizotropní, pokud závisí na orientaci vektoru rychlosti v, nebo izotropní pokud nezávisí na orientaci v, ale pouze na jeho velikosti, tj. na rychlosti částice v — \ v |.
Plazma v termodynamické rovnováze je popsáno homogenní, izotropní a časově nezávislou rozdělovači funkcí.
Jeden ze základních problémů kinetické teorie je určení rozdělovači funkce daného systému.
3.5 Hustota a průměrná rychlost
Hustota nQ(r, ť)
nQ(r,í) =      JjfNa{r,v,t) (3.5)
nebo za použití definice (3.4)
nQ(r,í) = / /Q(r,v,í)dV (3.6)
Průměrná (driftová) rychlost uQ(r,í) je definovaná jako makroskopická rychlost toku částic a v okolí bodu s polohým vektorem r v čase t
ua(r,t) = ^^JrfNa(r,v,t). (3.7)
Použijeme-li definici rozdělovači funkce (3.4) dostáváme
ua(r,t) =     }      f v/a(r,v,r)rfV (3.8) Tento vztah reprezentuje obvyklý statistický postup pro vyjadřování průměrných hodnot veličin. na(r,ť) a uQ(r,í) jsou makroskopické proměnné, které závisí pouze na souřadnicích r a t.
3.6   Boltzmannova kinetická rovnice
Závislost rozdělovači funkce na nezávislých proměnných (r, v) a t se řídí tzv. Boltzmannovou kinetickou rovnicí (BKR). Zde odvodíme bezsrážkovou BKR i obecnou podobu BKR zahrnující vliv interakcí mezi částicemi, aniž bychom explicitně odvodili konkrétní výraz pro srážkový člen.
3.6.1   Bezsrážková BKR
Připomeneme si, že
<rNa{r,v,ť) = /a(r,v,í)d3rd3íJ (3.9) Předpokládejme, že na každou částici působí vnější síla F. Bez interakcí bude částice za čas dt v bodě:
r'(t + dť) = r(í)+vdí (3.10) w'{t + dť)   =   v(í)+adí, (3.11)
kde a — F/ma je zrychlení částice a ma její hmotnost. částice a nacházející se v čase t v okolí (r, v) uvnitř d3rd3v budou za čas dt zaujímat objem d3r' d3v' v okolí bodu (r', v'). Jde o stále stejné částice a neuvažujeme žádné srážky:
fa(r',v',t + dt)d3r' d3v' = /Q(r, v, í)ďV d3v. (3.12)
3.6. Boltzmannova kinetická rovnice
19
Objemový element d3rd3v může mít zdeformovaný tvar v důsledku pohybu částic:
dVďV =| J | d3rd3v, (3.13) kde J označuje Jakobián transformace z (r, v) na (r', v'). Platí | J \— 1, takže
d3r' d3v' = d3rd3v (3.14)
a z rovnice (3.12) dostáváme
[fa(r',v',t + dt) - fa(r,v,t)]d3rd3v = 0. (3.15) První člen na levé straně rovnice (3.15) rozvineme do Taylorovy řady okolo /Q(r, v,í):
dfa oz
	, i dfa	+ ^y^—h
[~dt		
		dfa\iM - az-—) dř,
dvx		
přičemž zanedbáváme členy řádu (dt)  a vyšší. Použijeme-li operátor nabla
a podobně definujeme nabla operator v rychlostním prostoru
dostáváme z (3.16)
"<9/Q(r,v,í)
fa(r + vdt, v + adt, t + dt) — /Q(r, v, í) +
<9í
+ v • V/Q(r, v, í) + a ■ V„/Q(r, v, í)
Po dosazení do vztahu (3.15) máme
dfa(r,v,ť)
(3.16)
„ d     „ d     „ d (3 17)
dx    ^ dy dz
S7V = x— +y— + z—, 3.18
OVX OVy dvz
dt. (3.19)
+ v • V/Q(r, v, í) + a ■ V„/Q(r, v, t) = 0, (3.20)
dt
což je Boltzmannova kinetická rovnice v bezsrážkovém případě. Tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru
= o, (3.21)
Vt y '
kde operátor
g = |+v.V + a.V„ (3.22)
představuje úplnou derivaci vzhledem k času, ve fázovém prostoru. =>• zákon zachování hustoty bodů ve fázovém prostoru, tzv. Liouvillův teorém - srážky stejně jako radiační ztráty a procesy vzniku a zániku částic nepovažujeme za důležité.
3.6.2 Jakobián transformace ve fázovém prostoru
3.6.3 Vliv interakcí mezi částicemi
Vliv interakcí mezi částicemi? =>• modifikace vztahu (3.20). Díky srážkám mohou během času dt některé částice a, které byly původně v d3rd3v, z tohoto elementu zmizet a obráceně jiné částice, které byly mimo tento objemový element, se v něm mohou objevit. Čistý zisk nebo úbytek částic a z d3rd3v způsobený srážkami v průběhu časového intervalu dt označíme
(S-M^Ř) d^d3vdt, (3.23) V      ot      J srazk
kde (5fa(Y,v,ť)/5ť)srazk představuje rychlost změny /Q(r,v,í) díky srážkám. Pokud tedy uvažujeme srážky, musíme vztah (3.15) přepsat jako
[fa(r',V,t + dt) - fa(r,v,t)]d3rd3v = (^M^lŘ\       d3rd3vdt (3.24)
V      ot      J srazk
20
Kapitola 3. Základy kinetické teorie plazmatu
a Boltzmannova rovnice modifikována pro tento případ má tvar
1 v-V/Q(r,v,t)+a- V„/Q(r,v,í) =--- . (3.25)
9í V St y srazk
Za použití operátoru úplného diferenciálu podle času definovaného vztahem (3.22) můžeme tento vztah přepsat do kompaktní podoby
£>/Q(r,v,t) _ (ôfa{v,w,ť)\
™       V    st /srazk
Přesná podoba srážkového členu tímto ale není definována.
3.7   Relaxační model pro srážkový člen
Uvažujeme velmi jednoduché vyjádření srážkového členu, tzv. Krookův model nebo relaxační model. Existuje i mnohem propracovanější vyjádření, např. Boltzmannův srážkový integrál nebo Fokker-Planckův srážkový člen.
Předpokládá se, že srážky obnovují lokální rovnováhu (lokálně rovnovážná rozdělovači fce /Qo(r, v)). Pokud nepůsobí externí síly, systém, který původně není v rovnováze a je popsán rozdělovači funkcí /Q(r, v, í), dosáhne v průběhu času díky srážkám lokální rovnováhy podle exponenciálního zákona. Doba charakteristická pro tento proces je tzv. relaxační doba t. Relaxační doba řádově odpovídá době mezi dvěma srážkami a může být rovněž vyjádřena jako v-1, kde v je relaxační srážková frekvence. Model byl původně vyvinut Krookem:
ôfa(r,v,ť)\        ^    (/a - fao) ^3 27^
^ / srazk
Podle tohoto vztahu pro srážkový člen platí, že když fa — fa$ máme (ôfa(r,v,ť)/ôť)Sra,zk — 0, takže ve stavu lokální rovnováhy se rozdělovači funkce díky srážkám nemění.
Fyzikální smysl relaxačního modelu? Uvažujme BKR se srážkovým členem bez vnějších sil a prostorových gradientů, fao a T jsou na čase nezávislé:
dfa         (/q - /q0) , ,
~dt- ř-' (3'28)
což můžeme přepsat jako
OJ^ + U^U0^ (3 29)
Ot t t
Řešení této jednoduché nehomogenní diferenciální rovnice dostaneme pomocí řešení příslušné homogenní rovnice, tj. CellT (C je konstanta). Kompletní řešení rovnice je tedy
/q(v, í) = fa0 + [/Q(v, 0) - /Q0]e-t/T. (3.30)
Tedy, rozdíl mezi fa a fao exponencielně klesá v čase rychlostí, která odpovídá relaxační srážkové frekvenci v — 1/t.
Užitečný srážkový model, v mnoha případech vede k výsledků téměř identickým s těmi, které získáme pomocí Boltzmannova srážkového integrálu. Především vhodný pro slabě ionizované plazma (pouze srážky iontů s neutrály). Ale relaxační model se dá použít pouze pro srážky částic přibližně stejných hmotností.
3.8   Vlasovova rovnice
Aproximace - pohyb částic plazmatu je řízen jednak vnějšími silovými poli a jednak makroskopicky vystředovanými
Vlasovova rovnice je parciální diferenciální rovnice, která popisuje časový vývoj rozdělovači funkce ve fázovém prostoru a která přímo využívá makroskopicky vystředovaných elektromagnetických polí. Tuto rovnici můžeme získat z Boltzmannovy rovnice (3.20), když zahrneme do silového členu makroskopická pole
d f 1
4^ + v • V/Q +-[Fe,t + qa(Emt + v x Bmt)] • V„/Q = 0. (3.31)
ot ma
Zde Fext představuje vnější síly včetně síly Lorentzovi odpovídající externě přiloženým elektrickým a magnetickým polím a Ej„t, Bj„t jsou vystředované vnitřní elektrické a magnetické pole vznikající v důsledku přítomnosti a pohybu všech
3.8.  Vlasovova rovnice 21
nabitých částic uvnitř plazmatu. Aby byly vnitřní makroskopické elmag pole Ej„t a Bj„t konzistentní s makroskopickým nábojem a proudy existující v plazmatu, musí splňovat Maxwellovy rovnice
V-Emt   =   ^ (3.32) V-Bmt   =   0 (3.33) VxEmi   = (3.34)
VxBml   =   Mo(j + e0^|^, (3.35)
kde hustota náboje v plazmatu p a hustota proudu v plazmatu J jsou dány výrazy
p(r,t)   =   ^2qana(r,t) =      gQ / fa(r,v,t)d3v (3.36)
J(r, í)   =   ^gQnQ(r, í)uQ(r,í) = / v/Q(r,v, í)d3w, (3.37)
kde sumace probíhá přes různé nabité částice v plazmatu a uQ(r,í) je makroskopická průměrná rychlost pro částice typu a daná vztahem (3.8).
Rovnice (3.31 až (3.35) představují kompletní soustavu self-konzistentních rovnic, které se musí řešit zároveň. Takže např. v iterativní postupu začneme s nějakými přibližnými hodnotami Ej„t(r, í) a Bj„t(r, í). Vyřešíme rovnici (3.31 a získáme /Q(r, v, í) pro různé typy částic. Z rovnic (3.36) a (3.37) pak za použití vypočítaných rozdělovačích funkcí fa dostáváme hustotu náboje a proudu (p a J) v plazmatu. Jejich velikosti pak substitujeme do Maxwellových rovnic, které řešíme pro Ei„t(r, í) a Bj„t(r, í). Nyní hodnoty vystředovaných makroskopických elmag polí opět dosadíme do Vlasovovy rovnice a pokračujeme v postupu znovu dokola, abychom získali self-konzistentní řešení pro rozdělovači funkce jednotlivých typů částic.
Ačkoliv Vlasovova rovnice explicitně nezahrnuje srážkový člen na pravé straně, tj. nebere v úvahu krátkodosahové srážky, není až tak v tomto směru restriktivní, jak by se mohlo zdát, protože část efektů spojených s interakcí částic je už zahrnuta v Lorentzově síle přes vnitřní self-konzistetní vystředované elmag pole.
Kapitola 4
Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.1 Střední hodnota fyzikálni veličiny
Ke každé částici v plazmatu můžeme přiřadit nějakou její vlastnost %(r, v, t).
Celková velikost veličiny %(r, v, t) pro částice a uvnitř objemového elementu fázového prostoru d3r d3v je
X(r, v, t)d6Na(r, v, t) = x(r, v, t)fa(r, v, t)d3r d3v. (4.1) Velikost této veličiny uvnitř objemového elementu d3r nezávisle na rychlosti
d3r í X(r,v,t)fa(r,V,t)d3v. (4.2)
J v
Střední hodnota
(x(r, v, t))a = / X(r, v, t)fa(r, v, t)d3v. (4.3)
na(r,t) Jv
4.2 Driftová a tepelná rychlost
Nechť x(ri vi t) — v =>■ střední neboli driftová (unášivou) rychlost ua(r,t)
ua(r,t) = (i/)Q = —- / i//Q(r, i/,í)d3t;, (4.4) na(r,t) Jv
Pokud x(r, v, ť) je nezávislá na rychlosti částic
(x(r,t)>a=x(r,t), (4.5)
takže např. (uQ) = tiQ.
Rychlost tepelného neuspořádaného pohybu neboli náhodná rychlost je definována vzhledem k ua(r,t) takto
Va = v   ua. (4.6)
Následně vždy platí, že (Va) — 0, neboť (v)a — ua.
4.3 Tok
Makroskopické veličiny hustota proudu částic (nebo tok částic), tenzor tlaku a vektor toku tepla (nebo tok tepelné energie) zahrnují vždy tok nějaké mikroskopické veličiny %(r, v,t). Tok %(r, v,ť) je definován jako velikost veličiny x(r, v,t) přenesené skrze daný povrch na jednotku plochy a jednotku času.
Uvažujme povrchový element
dS = dSň, (4.7) kde ň je jednotkový vektor ve směru normály povrchového elementu. Konveční orientace normály ň:
• pro uzavřený povrch     kladná normála ven,
• pro otevřený povrch     postup obvodem se jeví proti směru hodinových ručiček ze směru normály.
4.4.  Tok částic 23
Částice v plazmatu se pohybují skrz povrchový element dS nesouce s sebou vlastnost x(r, v, ť). Počet těchto částic typu za čas díl
Částice mající rychlost (v, v + dv) a projdou skrze dS v časovém intervalu (t,t + dt) musí ležet v objemu hranolu o základně dS a stěně vdt. Objem hranolu:
d3r = dS-vdt = ň- vdSdt. (4.8)
Počet těchto částic v tomto objemu:
/Q(r, v,ť)d3rd3v = /Q(r, v,t)ň ■ vdSdtd3v, (4.9) => celková přenesená velikost x(r, v, ť) během času dt skrze plochu ňdS:
/ x(r,v,t)fa(r,v,t)ň ■ vd3vdSdt. (4.10)
J v
Čistý zisk transportu (tok) veličiny x(r, v, ť) ve směru ň:
<t>an(x) =    x(r,v,t)fa(r,v,t)ň-vd3v (4.11)
J v
nebo za použití symbolů pro střední hodnotu
$cm(x) = na(r, t)(x(r, v, ť)h ■ v)a = na{xvn)a, (4.12) kde vn — ň ■ v označuje komponentu v ve směru jednotkového vektoru ň.
• x(ri vit) je skalární veličina     $an(x) Je komponenta vektoru toku <řQ(x) ve směru h, tj.
*a„(x) = ň-«a(x), (4.13)
kde
4>a(x) =na(Xv}a. (4.14)
• x(r, i/, ť) je vektorová veličina ^> Qaix) Je tenzor (2. řádu) toku:
4>a{x)=na{x®v)a. (4.15)
• x(r, v, ť) je tenzor 2. řádu ^> íofc ľe tvaru tenzoru 3. řádu a tak dále.
Můžeme oddělit příspěvek díky driftové rychlosti ua(r,t) a příspěvek související s náhodnou tepelnou rychlostí Va:
®an(x) = na(xVan) +na{xuan), (4.16)
kde Van — n ■ Va a mq„ — ň ■ ua.
Je-li uQ = 0 nebo zvolíme dS v souřadném systému, který se pohybuje driftovou rychlostí ua
$an(x) =na(XVan), (4.17)
4.4   Tok částic
Tok částic: počet částic, které projdou daným povrchem na jednotku plochy za jednotku času. Vezmeme-li %(r, v, ť) — 1 ve vztahu (4.12):
rQn(r, i) = na(vn)a = nauan, (4-18)
protože (VQ„) = 0.
Jestliže uQ = 0, můžeme uvažovat tok pouze z kladného směru místo celkového čistého toku
Ttn(r,t)= í    ň-Vafa(r,V,t)d3v, (4.19)
Jv{+)
kde integrujeme pouze přes rychlosti ň ■ Va > 0.
Náhodný tok hmoty v kladném směru ň je tedy dán vztahem mQ,r+rt, kde ma je hmotnost částic a.
24 Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny
4.5 Tenzor toku hybnosti
• • • celková hybnost přenesená skrze povrchový element ňdS na jednotku plochy a času.
Xj=mav-j, (4.20) kde j je jednotkový vektor => složka Ilajn(r, t) tenzoru toku hybnosti
nQj„(r, t) = na(ma(j ■ v)(ň ■ v))a = gma(vjVn)a, (4-21) kde gma — nama je hustota hmotnosti částic a. Platí ((uaVa) = ua(Va) = 0)
(4.22)
nebo v tenzorové podobě
ňa(r,t) = gma(l/a <g »4) + ř„ua <g tiQ. (4.23)
V kartézských souřadnicích definovaných jednotkovými vektory x — (1, 0, 0), ý — (0,1, 0), ž — (0, 0,1) můžeme tenzot toku hybnosti zapsat
na = x (g) xnQ,, + x (g) ýnQ,y + x <g žnQ,z (4.24) + ý (g xnQy, + ý (g ýnQTO + ý (g žnQyz + ž <g xnQZ, + ž (g ýuazy + z (g žnQZZ.
nebo podle pravidel maticového násobení
/        na,y naxz \ / x \
(4.25)
Obvykle ovšem tenzor 2. řádu zapisujeme jen jako matici 3x3 obsahující prvky TLaij-
TLaij — nQji =>• matice 3x3 je symetrická =>■ pouze 6 prvků tenzoru toku hybnosti na sobě nezávislých.
4.6 Tenzor tlaku 4.6.1   Definice tlaku
Tlak plynu - sila na jednotku plochy vytvářená chaoticky se pohybujícími se molekulami plynu díky srážkám se stěnou nádoby obsahující plyn. Tato síla je rovna rychlosti přenosu hybnosti molekul na stěnu nádoby díky tepelnému (chaotickému) pohybu.
Definici tlaku zobecníme na jakýkoliv bod uvnitř plynu (myšlený plošný element dS — ň dS pohybující se střední rychlostí toku uvnitř plynu). Tlak na dS - tok hybnosti na plochu dS díky náhodnému pohybu částic.
Definujeme parciální tlak každého druhu částic a.
Vezmeme-li %(r, v, ť) — maVaj, dostaneme prvek Pajn tenzoru tlaku
Pctjn — Qma (VajVan) ■ (4.26)
Tenzor tlaku je tedy dán jako
(ya®Va). (4.27) Z (4.25) získáme vztah mezi tenzorem tlaku Pa a tenzorem toku hybnosti ľla
Pa = tla      QmaUa <g Ua. (4.28)
	naxy		*
		^ayz I	~y
			
4.6.  Tenzor tlaku
25
4.6.2 Síla na jednotku plochy (způsobená tepelným pohybem)
Mějme malý objemový element ohraničený uzavřeným povrchem S a dS — hdS jako element povrchu patřící k S, jehož normála ň směřuje ven.
Předpokládejme na okamžik, že všechny částice a mají stejnou rychlost Va.
• Va svírá úhel menší než 90° s ň 4
na(Va ■ ň)dS je počet částic, které opouštějí objem =>• pokles hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —namaVa(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ ň) > 0
• Va svírá úhel větší než 90° s n =^
na(Va ■ ň)dS je počet částic, které přicházejí do objemu =>• vzrůst hybnosti plazmatu uzavřeného povrchem S: —namaVa(Va ■ ň)dS, protože (Va ■ ň) < 0
Zobecněním, rychlost změny hybnosti plazmatu v uzavřeném objemu S, díky výměně částic a skrz povrchový element hdS:
-nama(Va(Va ■ ň)}dS = -Pa- ňdS (4.29)
Síla na jednotku plochy fa působící na plošný element ňdS jako výsledek náhodného pohybu částic je
fa = -Pa-ň = -Qma(Va(Va-ň)). (4.30)
Jestliže vezmeme ň — x, máme
Pa ' " —     xPaxx      yPctyx      zPazx, (^'^1)
kde Paxx je normála k ploše =>• hydrostatický tlak, zatímco prvky Payx a Pazx jsou tlaky díky tangenciálním silám.
4.6.3 Síla na jednotku objemu (způsobená tepelným pohybem)
Sílu na jednotku objemu uvnitř plazmatu způsobená náhodným pohybem získáme integrací (4.29)
- lim \\- í PandS] — —V • Pa (4.32)
a z Gaussova teorému
- <£ Pa.ndS = - /" VPQďV (4.33) Js Jv
4.6.4 Skalární tlak a absolutí teplota
Důležitá makroskopická veličina je skalární tlak neboli střední hydrostatický tlak:
Pa — q ^ ^ P*ai,j        — q ^ ^ Pai,i — q i^Paxx      Payy      Pazz)> (4.34)
3
kde Ôíj je Kronekerovo delta. Ze vztahu (4.26)
Pa = \pma(V2x + V2y+V2z) (4.35)
Protože V% — V2X + V£y + V%z, dostaneme
Pa = \pma{V2) (4.36)
Dalším důležitým makroskopickým parametrem je teplota. Absolutní teplota Ta pro částice a je mírou střední kinetické energie náhodného pohybu částic. Z termodynamiky: střední tepelná energie kTai/2 přísluší každému translačnímu stupni volnosti (i — x,y, z):
I/^^to^) (4.37) Jestliže je rozdělení izotropní (např. Maxwell-Boltzmannovo)
p a. — Pctxx — Pctyy — Pctzz — Pma.{Vai) (4.38)
26
Kapitola 4. Střední hodnoty a makroskopické veličiny
a tedy dostáváme stavovou rovnici pro ideálni plyn
Va — nakTa (4.39)
Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělelní
Pa = (x®x + ý®ý + ž® z)pa = lpa, (4.40)
kde J je jednotkový tenzor
-     í1   ° °\
1=0   1   0 (4.41)
V o o i J
V tomto případě
d d d
-V ■ PQ = -(X— pa + ý^-Pa + 2 — pa) = -VpQ, (4.42)
ox oy oz
takže pro izotropní rozdělení rychlosti je síla na jednotkový objem způsobená náhodným pohybem dána gradientem skalárního tlaku.
V některých praktických příkladech předpokládáme, že
Pa = X ® xPaxx + ý ® ýPayy + Ž ® ŽPQZZ (4.43)
nebo
/ Pa^     0 0 \
(4.44)
což vyjadřuje anizotropii náhodných rychlostí, ale nepřítomnost tangenciálních sil, tj. viskozity. V tomto případě máme rozdílnou absolutní teplotu Tai pro každý směr.
P	0	0
0	p ayy	0
0	0	p 1 azz
4.7 Vektor toku tepla
Komponenta vektoru toku tepla qan je def. jako tok náhodné neboli tepelné energie skrz povrch s normálou h. Vezmeme x(r, v, i) — maV^/2 a dostaneme
qan = qa n = -pma(V^ Va.n) (4.45)
Vektor toku tepla je tedy
qa = ^pma(VŠVa). (4.46)
4.8 Tenzor toku tepelné energie
Standardně můžeme zavést tenzor 3. řádu toku tepelné energie
Qa = pma (Va ®Va®Va) (4.47)
a jeho složky
Qaijk = Pma(VmVajVak} (4.48)
Za použití kartézských souřadnic
Qa = Qax®x + Qay®ý,+Qaz®z (4.49) kde každé Qan (n = x, y, z) je tenzor 2. řádu
^axxn     Qaxyn Qaxzn Qan —  |    Qayxn     Qayyn Qayzn
(4.50)
^azxn     Qazyn Qazzn
Abychom získali vztah mezi vektorem toku tepla qa a tenzorem toku tepelné energie Qa, přepišme vztah (4.45) jako
1
2
a tedy
qan = ^Pma((VlxVan) + {VlyVan) + (VlVcn)) (4.51)
Qan — ~{_Qa,xxn H~ Qayyn H~ Qazzn') (4.52)
4.9.  Tenzor toku celkové energie
27
4.9 Tenzor toku celkové energie
Analogicky jako při definici tenzoru toku tepelné energie
Ealjk(r, i) = pma(viVjVk)a, (4.53) což představuje jednu z 9 složek tenzoru toku celkové energie Ea(r,t). Tato složka je vlastně součtem tří výrazů
=    (VaiVajVak + umVajVak + uajVakVm (4.54)
Uctk^aiVaj      ^ etiket j^ ctk) ■
Neboť (uai) — uai a (Vai) — 0 a za použití (4.48) a (4.26)
Pma(viVjVk)a — Pmď^ai^aj^ak      ("a, Pa)ijk      Qaijki (4.55)
kde jsme použili zápis
(ila, Pct)ijk — ^ai-Pajk      ^ctjPctki      'UakPaij. (4.56)
Takže vztah (4.53) můžeme zapsat ve tvaru tenzoru 3. řádu
Éa(r,t) = pma{v ® v ® v)a = pmaUa ® Ua ® tlQ + (uQ, PQ) + QQ (4.57)
Tenzor celkového toku energie je tedy součtem toku energie přenesené konvektivním pohybem částic (1. dva členy) a toku tepelné energie Qa způsobeného náhodným tepelným pohybem částic.
4.10 Vyšší momenty rozdělovači funkce
První čtyři momenty rozdělovači funkce jsou hustota na{r,ť), driftová rychlost uai{r,ť), tenzor 2. řádu toku hybnosti Tlaij(r, ť) a tenzor 3. řádu toku celkové energie Eaijk(r, ť):
na(r,t)   =    í fa(r,v,t)d3v (4.58)
J V
um(r,t)   =   (vi)a = —t1—- / vlfa(r,v,t)d3v (4.59) na(r,t) Jv
ILaij(r,t)   =   pma(viVj}a = ma    v^j fa(r, v, t)d3v (4.60)
J v
Emjk(r,t)   =   pma{viVjVk)a = ma / vlvjvkfa(r, v,t)d3v (4.61)
Jestliže uai(r,t) — 0, máme i/Q = Va =>• z tenzoru toku hybnosti /7Q(r, í) se stane tenzor tlaku Pa a z tenzoru toku celkové energie Ea(r, ť) se stane tenzor toku tepelné energie Qa.
Jako formální rozšíření výše uvedených definicí, můžeme, pokud je to nutné, zavést vyšší momenty rozdělovači funkce
MS..k(r>t)= í vlvJ...vkfa{r,v,t)d3v, (4.62)
J V
kde složky rychlosti Ví se v integrálu objeví TV-krát.
Kapitola 5
Rovnovážný stav
5.1   Rozdělovači funkce v rovnovážném stavu
Předpokládejme
• pouze jeden druh částic
• Fext = 0
• homogenně distribuované částice
• časově nezávislé řešení BKR
Jf)      =° ^
5í/Sraz
Později odvodíme výraz pro rovnovážnou rozdělovači funkci pomocí Boltzmannova srážkového integrálu, ale nyní budeme jednoduše pracovat s obecným principem detailní rovnováhy tak, jak se používá ve statistické fyzice.
5.1.1 Obecný princip detailní rovnováhy a binární srážky
Za rovnovážných podmínek je pravděpodobnost výskytu jakéhokoliv fyzikálního jevu rovna pravděpodobnosti jevu inverzního (kompenzace).
fhďvďv! = f'f'lcřv'cřv[ (5.2) a protože můžeme dokázat, že d?vd3vi — d3v'd3v[ dostaneme
/M/iKWVO/ÍK) (5-3)
Předpoklad, že rychlosti částic nejsou korelované je tzv. předpoklad molekulárního chaosu. Dobře platí pokud hustota plynu je tak malá, že střední volná dráha je větší něž charakteristický dosah sil mezi částicemi. Ačkoliv toto obecně není případ plazmatu, experiment ukazuje, že Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce je často použitelná.
5.1.2 Sumační invariant
Je výhodné zavést koncept sumačního invariantu srážky:
x(") + xW = xM+xM (5-4)
Ze zákona zachování hmotnosti, hybnosti a energie získáváme tyto sumační invarianty:
m + mi   —   m + mi (5-5) mv + m\v\   —   mv'+ miv[ (5-6)
1 2 1     , „2 ,1
-mlVl   =   -m[v ) + -?
:mv2 H—m\v\   —   -m(v')2 H—mi(ti'i)2 (5-7)
(5.8)
5.1.3   Maxwell-Boltzmannovská rozdělovači funkce
Použijeme přirozený logaritmus na rovnici (5.3)
lnZ + lniWn/' + ln/í
(5.9)
5.2.  Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
29
=>■ ln / je sumační invariant srážkového procesu
=>■ lineární kombinace sumačních invariantů m, mv a mv2/2:
ln/ = m(a0 + 3i • i/-a2«2/2)> (5-10) kde ao, fli = ai^x + aiyy + a\yy a a2 jsou konstanty.
ln/   =   m[a0 + (a^. + a\y + a?J/(2a2)] - -ma2[(vx - alx/a2)2 + (vy - aly/a2)2 + (vz - alz/a2)2
—   m[a0 + a2/(2a2)] - ^ma2(v - 3i/a2)2 (5-11) a definujeme konstanty
ln C = m[a0 + a2/(2a2)] (5.12) i/0 = 3i/a2, (5.13)
takže
f = Cexp[--ma2(v - v0)2}, (5.14) což je Maxwell-Boltzmannovo nebo Maxwellovo rozdělení.
n —	f d3
	■Iv
u —	<v> =
3	1
—nkT — 2	—nm ľ 2 x
f (V) = n	/ m
	\2ttä;T
5.1.4 Určení konstatních koeficientů
Při určení pěti neznámých konstantních koeficientů v Maxwellově rozdělení vycházíme z
v (5.15)
- / fvd3v (5.16)
n J v
V2) = \m I fV2d3v. (5.17)
Následně dostáváme
mV2\
Uvědomme si, že n a T jsou konstanty nezávislé na r a í.
5.1.5 Lokální Maxwell-Boltzmannova rozdělovači funkce
Často sice nejsme ve stavu termodynamické rovnováhy, ale velmi blízko. Dobrou aproximací je pak zavedení lokální Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
5.2   Vlastnosti Maxwell-Boltzmannovy rozdělovači funkce
Předpokládáme, že u — 0 nebo se pozorovatel pohybuje střední rychlostí plynu =>• v — V:
= «(^)"1«p(-^)'»- «"»>
5.2.1   Rozdělení komponenty rychlosti
g(vx)dvx = /    /  f(v)dvxdvydvz (5-21)
a dosazením M.-B. rozdělovači funkce
ffK^=n(^)3/2exp(-^)^.|^ expí-^K exp (-^) dvz. (5.22)
30
Kapitola 5. Rovnovážny stav
Každý integrál je roven (2irkT/nn)1^2, takže
/   m   \ V2       /   mu2 \
9Mdvx=n{ — )     exp^- —) dvx (5.23)
=>■ každá komponenta rychlosti ma Gaussovské rozdělení, které je symetrické kolem (ví) — 0 pro i — x,y, z. Ale (v2) je kladné a vyjadřuje disperzi
1 /"+00
(v?) = -        g{vi)vUvl = —. (5.24)
™ J-oo ™
Tento výsledek je v souladu s ekvipartičním teorémem
^K2) = ^ (5-25)
5.2.2   Rozdělení velikosti rychlosti
Protože M.-B. rozdělení je izotropní, můžeme definovat rozdělení velikosti rychlosti v = \v\. Přejdeme do sférických souřadnic
d3v = v2 sin 6d6d(pdv. (5.26)
Rozdělovači funkce velikosti rychlosti F (v)
F(v)dv= / / f(v)v2 sin 9d9d(f>dv (5.27) Je Jcp
a tedy
5.2.3   Střední hodnoty související s rychlostí molekul
Střední hodnota velikosti rychlosti
1   ľ 1 ľ00
(v) = - / fvd3v = - /    F(v)vdv (5.29)
o
a po výpočtu
Střední hodnota čtverce rychlosti
(v) = {B/^ihT/m)1'2. (5.30)
a tedy
(«2) = " / / /      fv2dvxdvydvz = — /    ^/(iOcfo (5.31)
n J   J   .)-co n JO
(v2) = 3/jT/to, (5.32)
což odpovídá také vztahu t>2 = t>2, + v2 + v2 a (t>2) — (v2) — (v2). Nejpravděpodobnější rychlost vp:
dF^       -0 (5.33)
dv a tedy
vp = (2kT/m)1/2. (5.34)
5.2.4   Náhodný tok částic
Tok částic
Tn = n(vn)= í fv-ňd3v (5.35)
J V
je pro náhodný pohyb částic roven nule. Jaký je tok na jednu stranu myšlené plochy?
5.3. Rovnováha za přítomnosti vnějších sil
31
5.2.5   Kinetický tlak a tok tepla
Z definice tenzoru kinetického tlaku
P = Pm(V <8> V) = m / V <g) V/ď^ (5.37)
a vektoru toku tepla
q=\pm(V*V) = ^mjv2Vfd3v (5.38)
dostaneme za použití M.-B. rozdělení
P = Pm{{VŽ)x ®x + {V2)y ®y + (V2)ž ® z) = nkT(x ®x + ý®ý + ž®ž) (5.39)
a
q = 0, (5.40) protože integrály s lichými integrandy jsou rovny nule. Skalární tlak je tedy
p = nkT. (5.41)
5.3   Rovnováha za přítomnosti vnějších sil
Plyn za rovnovážných podmínek vložený do pole konzervativních sil je popsán rozdělovači funkcí, která se liší od M.-B. rozdělovači funkce exponenciálním tzv. Boltzmannovým faktorem. Pole konzervativních sil popíšeme pomocí potenciální energie U(r):
F{r) = -Ví/(r). (5.42) Protože jde pouze o funkci r, předpokládáme, že řešení BKR je ve tvaru
f(r,v) = f0(yWr), (5.43)
kde fo(v) je M.-B. rovnovážná rozděl, fce. Určíme neznámou funkci ip(r) z BKR za rovnovážných podmínek v přítomnosti konzervativních sil:
v.V[f0(v)il>(r)] --[VU(r)].Vv[f0(vWr)] = 0. (5.44)
Ze vztahu pro fo(v) můžeme ověřit
mv
V„/o(u) = —j^fo(y), (5-45)
takže rovnice (5.44) se zjednodušuje
1
a odtud
ijj(r) kT
Protože dip — Vi/> ■ dr, můžeme vztah (5.47) přepsat jako
f0(y)v.[Vý(r) + —TJj(r)VU(r)} = 0 (5.46) W(r)=-^W(,). (5.47)
a řešení této rovnice je
kde An určíme z
V,(r)=A0exp[-^], (5.49)
f(r,v)d3v = n(r), (5.50)
takže
n(r) = A0ew[~^] Jfo^ďv. (5.51) Označíme uq hustotu v oblasti, kde U(r) — 0 za rovnovážných podmínek, takže
no = / fo(v)dřv, (5.52)
32
Kapitola 5. Rovnovážny stav
kde jsme museli zvolit Aq — 1. Za rovnovážných podmínek, pro u — 0 a v přítomnosti konzervativnívh sil máme tedy rozdělovači funkci ve tvaru
fir, v) = fo(v) exp[——] = n0
, exp----
kT '        \2irkTJ      íl kT 1
Hustota částic v systému s touto rozdělovači funkcí je popsána vztahem:
n(r) = n0exp[——]. Faktor exp[—U(r)/kT], který určuje nehomogenitu f(r,v) je Boltzmannův faktor. Důležitým případem v plazmatu je přítomnost elstat. pole
E = -V0(r),
kde <j>(r) je elstat. skalární potenciál. Potenciální energie je
U(r) = #(r)
a hustota částic s nábojem q v rovnovážném stavu
n(r) = n0exp[--—].
(5.53)
(5.54)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
5.4   Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice
Ze statistické mechaniky můžeme určit stupeň ionizace plynu v termodynam. rovnováze za teploty T bez znalosti detailů ionizačního procesu. Pouze musíme rozumět pojmu ionizační energie (potenciál), který se udává v elektronvoltech. Hodnoty 1. ionizačního potenciálu některých atomů:
Element	U(eV)	
Helium (He)	24	59
Argon (Ar)	15	76
Nitrogen (N)	14	53
Oxygen (0)	13	62
Hydrogen (H)	13	60
Mercury (Hg)	10	44
Iron (Fe)	7	87
Sodium (Na)	5	14
Potassium (K)	4	34
Cesium (Cs)	3	89
Tepelná energie kT velikosti 1 eV ~ 11600 K => pouze při velmi vysokých teplotách tepelná enrgie částice 3kT/2 dosáhne ionizační energie. Přesto můžeme dosáhnout značného stupně ionizace i při nižších teplotách <í=> částice z ocasu Maxwellova rozdělení u vysokých energií mají dostatečnou energii!
Použijeme vztah (5.54), ale musíme uvažovat kvantově-mechanicky:
na     ga     r   (Ua - Ub).
— = — exp[--—-j
nb     gb kl
(5.58)
kde ga a gb jsou statistické váhy stavů s energiemi Ua a Ub, tj. degenerace těchto stavů. Pro konkrétní příklad systému majícího pouze tyto dva stavy je část a všech částic s vyšší energií Ua:
(5.59)
(na + nb)     nb \nb
5.4. Stupeň ionizace za rovnovážného stavu a Sahova rovnice
33
nebo z (5.58) a pro U — Ua — Ub
=    (ga/fffe) exp(-U/kT)
(ffa/ffb)exP(-t/AT) + l 1 ' j
Pokud při řešení problému ionizace vezmeme stav a jako stav iont-elektronového páru a stav b jako stav neutrálního atomu =>• t/ — Ua — Ub je ionizační energie a a je stupeň ionizace.
Teplota, při níž je a — 0.5 =>■
^exp(--^-) = l, (5.61) 9b kí\/2
tj-
^ = (5-62)
Procento částic v ionizovaném stavu se mění z téměř nuly na téměř jedničku v úzkém teplotním intervalu, který můžeme odhadnout. Aproximujme a (T) přímkou a hledejme interval AT, na němž a — 0 a a — 1:
X 7   J 1 /2
Ze vztahu (5.60) za předpokladu d(ga/gb)/dT — 0
(da(T)\ ľ t/cť2
x 7 Jl/2
takže
T2(ga/gb)exp(-U/kT)
AT
t1/2 *Jl/2
(5.64)
AT =    4TV2     =       AU (5.65) kln(ga/gb) [kln(ga/gb)]2
odkud vidíme, že čím vyšší je ga/gb, tím menší je AT. Degenerace ionizovaného stavuje mnohem vyšší =>■ téměř skoková fce kolem T1/2.
Degeneraci (váhy) ga a gb stavů musíme určit kvantově-mechanicky. Zde jen výsledek pro zanedbání malé interakce mezi volným elektronem a iontem a zanedbání vnitřních stupňů volnosti všech částic:
ya     1 ' (5.66)
9b     V    h2    ) n%
kde h je Planckova konstanta a rii je hustota iontů. Dosazením do (5.58) dostáváme Sahovu rovnici
nt      {2irmek\3/2   3/2 1 Č7
— =      ,2 T 7 — exP(-7^)- (5-67)
nn     \ J rii kl
Nebo vyjádřením konstatních faktorů, teploty T v eV a rii v m
-3
^ = 3.00 x 1027T3/2- exp(--). (5.68)
nn n% T
=>■ Pokud je celková hustota n — rii + nn nízká, můžeme i při teplotách hodně pod ionizační energií dosáhnout značného stupně ionizace.
Kapitola 6
Interakce částic v plazmatu
6.1 Úvod
Slova srážka a interakce mohou být používány v mikroskopickém světě jako synonyma. Srážky dělíme na
• elastické, tj. pružné - platí zákon zachovaní hmotnosti, hybnosti a energie takovým způsobem, že nedochází ke změnám vnitřních stavů částic, vzniku ani zániku částic.
• neelastické, tj. nepružné - změna vnitřního stavu několika nebo všech zúčastněných částic, možnost vzniku nebo zániku částic; rekombinace nabitých částic za vzniku částice neutrální; záchyt nabité částice částicí neutrální za vzniku větší nabité částice; energie elektronu atomu se může zvýšit =>• excitace elektronu do vyššího stavu nebo dokonce oddělení elektronu od atomu, tj. ionizace.
V plazmatu musí především rozlišovat
• interakce mezi nabitými částicemi: podle Coulombova zákona, tj. závislost 1/r2 =>• dalekodosáhové interakce =>■ mnohonásobné interakce
• interakce mezi nabitou částicí a neutrálem nebo dvěma neutrály: silové pole neutrální částice dostatečně silné pouze v oblasti elektronového obalu =>• krátkodosahové interakce =>■ neutrální částice neinteragují často s dalšími částicemi a naprosto zřídka s více částicemi zaráz =>• především binární srážky
Mnoha-částicové Coloumbovské interakce můžeme popsat také jako současné binární interakce, v praxi jako sérii následných binárních interakcí s malým úhlem. Tyto interakce jsou důležité pro chování plazmatu. Nicméně ve slabé ionizovaném plazmatu nehrají několikanásobné interakce velkou roli a jednoduché binární srážky adektávně popisují jevy v plazmatu. Největší roli v těchto typech plazmatu pak hrají elektrony, protože rychle reagují na el. a mg. pole.
6.2   Binární srážky
Uvažujme pružnou srážku dvou částic o hmotnosti m a m\ o rychlostech v a V\ před srážkou a v' a v{ po srážce. V následujícím textu budou veličiny s čárkou označovat veličiny po srážce.
Můžeme pracovat v laboratorním systému souřadnic, ale konvečně spíše v systému, kde částice m je v klidu a částice mi se přibližuje relativní rychlostí
g = v!-v. (6.1)
Po srážce je relativní rychlost
9' = "í - (6-2)
Záměrná vzdálenost b je definována jako definována jako minimální vzdálenost přiblížení, pokud by nedošlo k interakci. Uhel rozptylu je % a úhel orientace orbitální roviny (nebo roviny srážky) vzhledem k nějakému danému směru kolmému na orbitální rovinu je e.
Rychlost těžiště srážejících se částic před srážkou je
c0 =-■- (6.3)
m + m\
a po srážce
= mV' + mlV{ m + mi
Počáteční rychlosti můžeme vyjádřit pomocí Cq a g
v =   c0 - — g (6.5)
m
vi =   c0 + —g, (6.6)
Tlil
6.3. Dynamika binární srážky
35
kde /i označuje redukovanou hmotnost Podobně obdržíme i rychlosti po srážce
M=—-■ (6-7)
m + mi
= <-^fí (6-8) ^   =   C'» + m*'- (6'9)
Ze zákona zachování hybnosti během pružné srážky
mv + m\v\ — mv' + m\v[ (6.10)
nebo ze vztahů (6.3) a (6.4)
(m + toi)co — (m + mi)c'0, (6-11)
takže
c0 = c0 (6.12)
Ze zákona zachování energie během pružné srážky máme
-(mv2 + mi«[) = — [miv')2 + mi(uj)2] (6.13) a přímou úpravou vztahů (6.5), (6.6), (6.8) a (6.9)
^(mv2 + mxv\) = i(m + mi)cp + (6.14)
^Mi/)2+miK)2] = ^(^ + ^i)có2 + ^Mff'2- (6-15)
Protože Co = Cq dostáváme
9 = 9', (6-16)
tedy velikost, ale nikoliv směr, je zachována při binárních pružných srážkách.
Uhel x mezi g a £f' je ú/ieí rozptylu nebo také deflekční úhel. Abychom dostali vztah mezi vektory g a zvolíme např. kartézké souřadnice s osou z ve směru g. Máme tedy
gx = gy = 0 (6.17)
9, = 9 = 9' (6.18)
<7x = <7 sin x cos e (6.19)
g'y — g sin x sin e (6.20)
g'z = gcosx, (6-21)
kde e určuje relativní orientaci roviny srážky. Pokud tedy známe počáteční rychlosti a úhel rozptylu x můžeme určit rychlosti po srážce. Opačně, pokud známe konečné rychlosti a x, můžeme určit původní rychlosti. Tento fakt umožňuje jednoduše uvažovat o inverzní srážce, protože x je stejné jako pro přímou srážku (b, vzájemná síla a g jsou stejné).
Uhel rozptylu je jediná veličina, která závisí na detailech srážkového procesu. V případě vzájemné síly, která závisí pouze na vzdálenosti mezi interagujícími částicemi, x závisí na následujících parametrech:
1. zákon vzájemného silového působení
2. velikost vzájemné rychlosti g
3. záměrná vzdálenost b.
6.3   Dynamika binární srážky
Dynamika binární srážky je řízena zákonem vzájemného silového působení. Pro každé b existuje odpovídající x a jejich vztah je nezávislý na zákonu vzájemných sil. Tento vztah je obsažen v diferenciálním účinném průřezu definovaném v odstavci 6.5.
36
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
Uvažujme srážku dvou částic m a m\ v souřadném systému částice m. Polohový vektor částice m\ bude r. Předpokládáme, že síla interakce je centrální síla, tj.
F(r) = F{r)ř
a potenciální energii lze tedy vyjádřit takto
F(r) = -Vtf(r) = -9-^r.
(6.22)
(6.23)
Pro centrální sílu je torze N — r x F{r) nulová. Torze je časová změna momentu hybnosti L — r x p
=>■ moment hybnosti je pohybová konstanta; r je stále kolmé na konstantní směr L =>• pohyb leží v rovině.
Použijeme polární souřadnice (r, 9) a uvědomíme si, že jednotkové vektory r a 9 závisí na 9:
dr     dr _      dr     dr _      dř d,9 — = —r + r— = —r + r--.
dt     dt        dt     dt       dd dt
Protože drjdd — 9 nebo jinak zapsáno
dr dr _ (iŕ? ~ — = —r + r—6
dt     dt dt
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27)
Trajektorii částice nalezneme ze zákona zachování energie a momentu hybnosti pomocí analogie s jednočásticovým problémem. Kinetická energie relativního pohybu je
1
1
Ze ZZE
£k=-Mŕ-ŕ=-M(ŕ2+r2ŕ)2).
\p{ř2 + r292) + U(r) = \ng
(6.28)
(6.29)
Moment hybnosti vzhledem k počátku je dán
t=rx {(iir) — (ir26{r x 9).
Původní hodnota momentu hybnosti je b(ig, a tedy
r29 = bg.
Pomocí předchozích vztahů získáme diferenciální rovnici pro dráhu r{6). Napíšeme
dr     dr d9 dt     d9 dt '
použijeme (6.31) a (6.29) k eliminaci dB/dt a dr/dt. Diferenciální rovnice trajektorie:
dr\2 r4
d6 1 b2
což přeskupíme takto
d9 = ±-
1 _ P _ 2U{r) r2 (ig2
-1/2
1
b2 2U{r)
dr.
Výběr znaménka se musí udělat z fyzikálního náhledu. Kladné znaménko se použije pro 9 > 9m, záporné pro kde 9m je úhel v bodě největšího přiblížení {vertexa trajektorie). Polohový vektor v tomto bodě označíme rm.
Vzdálenost největšího přiblížení rm dostaneme z (6.33), když si uvědomíme dr/d9 — 0 ar — rm:
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
< em.
b2 2U{rm)
9 9
(6.35)
6.4.  Vyjádření úhlu rozptylu
37
tedy
= b
1 -
2U(rm)'
-1/2
(6.36)
Abychom určili úhel rozptylu x, uvědomme si, že
a integrujme vztah (6.34) od 6m po jiný úhel 6:
= ±
X = 7T - 20„
1 _ Ď2 _ 2?7(x) x2 ng2
-1/2
(stejná konvence znamének). Pro r —> oo máme (9/\ —> 0, zatímco (9/+\ —> 2(9m, takže
62 2t/(r) r2 /i(/2
-1/2
a úhel rozptylu je
X(b,g) =ir-2
1
b2 2U(r) r2 ng2
dr
-1/2
dr.
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
Abychom mohli vypočítat x musíme znát záměrnou vzdálenost b, počáteční rychlosti g a vzájemnou potenciální energii intergajících částic U(r).
6.4   Vyjádření úhlu rozptylu
Ukážeme si dvě konkrétní použití vztahu (6.40) k určení úhlu rozptylu x pomocí záměrné vzdálenosti b a počáteční rychlosti g.
6.4.1   Dvě perfektně elastické tuhé koule
Uvažujme srážku dvou perfektně elastických tuhých koulí o poloměru i?i a i?2- Potenciální energie je dána
U(r)   =   Opror > i?i + i?2 (6.41) —   oo pro r < i?i + i?2.
Protože koule nemohou do sebe pronikat je jejich vzdálenost r > i?i + i?2 a tedy zjednodušíme vztah (6.40) jako
X = ir-2
1 -
-1/2
dr.
Použijeme substituci y — b j r:
což dává
b/r„
X = *-2 (l-y'y^dy, Jo
X = 7r-2sin 1(b/rm).
Pro b > i?i + i?2 nedochází k žádné interakci => rm — b. Pro 6 < i?i + i?2 se koule sráží => rm = i?i + i?2.
6
X   =   7T — 2 arcsin
i?l + i? 2
0 pro 6 > i?i + i?2
pro 6 < i?i + i?2
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
6.4.2   Coulombovský interakční potenciál
Uvažujme případ Coulombovského pole, jehož interakční potenciální energie je
1 qqx
U{r)
47T£n r
(6.46)
38
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
kde q a q\ jsou elektrické náboje částic o hmotnosti m a rri\. Dosazenín do vztahu (6.40) dostaneme
x(6,<7) = 7r-2
oo b
1
99i
r2 2ireong2r
-1/2
dr.
Vzdálenost nejbližšího přiblížení rm můžeme dostat z (6.36) a (6.46). Zavedeme konstantu
99i
b0 =
(6.47)
(6.48)
takže bg vyjadřuje vzdálenost, na které je el. potenciální energii interakce dvakrát větší než relativní kinetická energie nekonečnu. Substitucí proměnné y — í/r a použitím bg ve vztahu (6.47) dostaneme
X(b, g) = TT-2b {-b2y2 - 2b0y + iy1/2dy.
Jo
Použijeme standardní vztah pro integraci (Rektorys):
(ax2 + /3x + ry)^1^2dx
-2ax — [3
Kí32 -4a7)V2
kde v našem případě a — —b2, /3 — — 2bo a 7 — 1. Použijeme meze integrálu, kde rm je dáno vztahem (??):
x(b, g) — 2 arcsin Tato rovnice se ekvivalentně dá přepsat jako
,1
bo
tan(-X) = b
(^ + 62)V2 bo
• x — 71 =^ b — 0
• x = V2 => b = b0
• x = 0^>6^oo
• znaménko náboje částic stejné     bg a x jsou kladné
• znaménko náboje částic různé     6q a x jsou záporné
(6.49)
(6.50)
(6.51)
(6.52)
6.5   Účinný průřez
Zatím interakce pouze dvou částic ALE účinný průřez definován ve smyslu svazku totožných částic dopadajících na terč mějme svazek částic o hmotnosti rri\ rovnoměrně rozprostřených v prostoru dopadajících rychlostí g — Vi — v na částici to. Částice se záměrnou vzdáleností b se rozptylují pod úhlem x, se vzdáleností b + db pod úhlem x + dx- Počet částic rozptýlených za ls do (x, X + dx) závisí na toku částic ľ.
6.5.1   Diferenciální účinný průřez
Počet částic rozptýlených za jednotku času do prostorového úhlu díl vyjádřeného pomocí úhlů % a e:
dN
dt
cj{X,e)Tdíl,
(6.53)
kde ít(x, e) je diferenciální účinný průřez nebo úhlová rozdělovači funkce. Stejný počet částic dopadá před srážkou z oblasti dané intervaly (b, b + db) a (e, e + de):
dN    Tbdbde. (6.54)
A tedy
Protože díl — smxdxde: a dále
dt
er(x, e)díl — b db de. er(x, e) sin xdx — b db
smx
db dx
(6.55)
(6.56)
(6.57)
Absolutní hodnota je použita, protože b klesá, když x stoupá ALE dif. účinný průřez vyjadřuje kladnou veličinu - počet rozptýlených částic. Veličinu db/dx vyjádříme ze vztahu (6.40), jestliže budeme znát U(r). u(xi£) ma rozměr plochy.
6.6. Další srážkové parametry
39
6.5.2 Celkový účinný průřez rozptylu
ct je definován jako počet částic rozptýlený za jednotku času a jednotku toku částic do všech směrů od rozptylového centra:
at — / a(x>£)d£l= /    de     (j(x,e)siiíxd,x- (6.58) Jn Jo Jo
Účinný průřez samozřejmě závisí na relativní rychlosti g.
Ve speciálním případě, kdy je interakční poteciál izotropní (např. Coulombovský), máme
ert = 2-7t /   cr(x) sin xdx- (6.59) Jo
6.5.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti
Účinný průřez lze definovat pro různé interakční procesy. Jeden z důležitých je přenos hybnosti:
prenos hybnosti za sekundu m       dopadající tok hybnosti '
(6.60)
kde hybnosti před srážkou je T/ig. Po srážce je hybnost ve směru dopadu /igcosx, takže přenesená hybnost je /ig(l — cosx)- Celkový přenos hybnosti všemi dopadajícími částicemi
Ypg / (1 -cosxMx, e)dft, (6.61) Jn
a protože celkový tok hybnosti dopadajících částic je T/xg
om= / (1 - cosxMx, e)díl (6.62) Jn
V případě izotropní interakce a využitím díl — sin xdxds
am = 2ir     (1 - cosxMx)sinxdx- (6-63) Jo
Protože ct(x) můžeme chápat jako úhlovou rozdělovači funkci lze ji brát jako váhovou funkci pro výpočet střední hodnoty jakékoliv funkce F(x) závislé na úhlu rozptylu:
W = ^, (6-64)
což můžeme psát jako
a podle definice střední hodnoty
2tt ľw
(F(x)) = —      F(xMx)smXdx (6.65) Jo
@m — @t (1   cos x) ■ (6.66)
6.6   Další srážkové parametry
Uvažujme tok T — nv částic o hmotnosti m, hustotě n a konstantní rychlosti v dopadajících z jedné strany na terč složený z "nekonečně" hmotných částic o hustotě ng, které jsou v klidu. Pak g = v. Nechť dn je počet dopadajících částic na jednotku objemu ve vzdálenosti x, které interagují s částicemi terče na vzdálenosti dx a jsou tedy odstraněny ze svazku dopadajících částic (proto znaménko mínus):
dn — —<jtnngdx, (6.67)
kde konstanta úměrnosti ot je celkový účinný průřez. Podobný vztah pro tok získáme vynásobením (6.67) rychlostí v
dT — —atTngdx (6.68)
neboli
— — — — —nKatdx (6.69) r n
40
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
a po integraci
r(x) — Tq exp(—ngatx) — Tq exp(—x/X), (6.70)
kde
A=— (6.71)
ng(7t
je střední volná dráha úbytku částic v dopadajícím svazku. Střední doba mezi interakcemi je
t = -. (6.72)
v
Její převrácená hodnota je interakční neboli srážková frekvence
v = t-1 — ng(7tv, (6.73)
což je počet interakcí za jednu sekundu, které má dopadající částice, s částicemi terče. Můžeme také definovat srážkovou frekvenci na jednotku hustoty
K = crtv, (6.74)
což se nazývá rychlostní konstanta. Samozřejmě
v = Kng. (6.75)
6.7   Účinné průřezy pro srážku tuhých koulí 6.7.1   Diferenciální účinný průřez pro rozptyl
Využijeme vztah (6.45) pro úhel rozptylu a b < Ri + R2
b = (R1+R2)cos(K) (6.76)
^2
a tedy
'dX      2V ' v2
Dosazením do vztahu (6.57)
A = I(Ä1 + Ä2)sin(lX). (6.77)
<7=^(R1 + R2)2 (6.78)
6.7.2   Celkový účinný průřez pro rozptyl
r i
črt = 2tt /   - (i?i + R2)2 sin Xdx = tt(Ri + R2) Jo 4
(6.79)
o
Dva speciální případy: elektron s molekulou o poloměru R, a — R2/4 a at — irR2; dvě stejné molekuly o průměru D, a = D2/4 a crt = irD2.
Uvědomme si, že pro srážku tuhých koulí existuje mezní hodnota b, nad kterou nedochází ke srážce. Právě toto způsobí, že celkový účinný průřez ot není nekonečná hodnota.
6.7.3   Účinný průřez pro přenos hybnosti
Ze vztahu (6.63) pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.78)
pír pír pír
am = 2-7T /   -(R1 + i?2)2(l - cos x) sin x^X = ^(Ri +i?2)2( /   sinx^X-/   cos x sin x^x) ■ Jo  4 1 Jo Jo
Po integraci
(Tm = 7T(Äi + i?2)2 (6.81)
Střední hodnota změny hybnosti na jednu částici je dána vztahem (6.65)
<Mff(l - cosx)) = — /   Aí£ř(l - cos xMx) sin xdx (6-82) <?t Jo
(6.80)
a dle vztahu (6.63)
f 17
(ng(í - cos x)) = tig—, (6.83)
což zjednodušíme za použití výrazů pro účinné průřezy (6.81) a (6.79)
(Mff(l -cosx)) = Mff (6-84)
6.8.  Účinné průřezy pro Coulomhovský potenciál
41
6.8 Účinné průřezy pro Coulombovský potenciál 6.8.1   Diferenciální účinný průřez
Derivací vztahu (6.52)
db
d\
260cos2(x/2)'
(6.85)
takže diferenc. účinný průřez je nebo za použití tanx/2 — bg/b
°{X) = 260sinXcos2(x/2) ^
= , . % /9V (6-87) 4 srn (x/2)
což je vztah pro Rutherfordovský rozptyl. Protože 2sin2(x/2) — (1 — cosx), máme
°(X) = n s2 (6-88)
(1 — cosx)^
6.8.2 Celkový účinný průřez pro rozptyl
Protože dif. účinný průřez prudce roste pro x ~> 0, bude celkový účinný průřez ot nekonečný. Ze vztahů (6.59) a (??)
? sinx
(7t = 2Tr cr(x) sin xdx = 2nb0 ——-— dx, (6.89)
JXm.» JXmm   V COS X )
kde Xmin = 0. Integrováním
Tt=7r6g[.2, 1    /0.-l], (6.90)
což jasně dává ot = oo pro xmin = 0. Příspěvek částic s velmi malými deflekčními úhly činí tedy celkový účinný průřez nekonečným.
6.8.3 Účinný průřez pro přenos hybnosti
Substitucí (??) do (6.63) dostáváme
? C sinx
crm = 2tt /     (1 - cosx)v(x) sinxdx = 2tt60 / ——--dx, (6.91)
kde opět Xmin — 0 a integrací máme
<rm = 4^62ln[ .      1        ], (6.92)
Sm (Xmm/2)
což opět dává crm = oo pro xmin = 0.
6.9   Stínění Coulombovského potenciálu
Nekonečné hodnoty pro ot a um pro Coulombovský potenciál jsou interpretovány jako chybějící mezní hodnota záměrné vzdálenosti b (malé x ~> velké b). Abychom tedy získali rozumné hodnoty a t a um musíme nějak modifikovat naše úvahy a na základě rozumného důvodu zavést max. hodnotu záměrné vzdálenosti b — br.
Ze vztahu u(x, e)díl — bdbds a definice celk. účinného průřezu (6.58):
at = 2tt /* c 6 db, (6.93) Jo
kde jsem zavedli max. hodnotu b — bc, takže
<jt = tt62. (6.94) Zavedení max. hodnoty <í=> nedochází k interakcím pro částice ve vzdálenostech b > bc
Rozptyl pro úhly (tt/2, tt), tj. (0, bg) se obvykle nazývá rozptyl pod velkými úhly nebo těsné srážky. Pokud se budou brát v úvahu pouze těsné srážky, máme
Ot,velke = 5      (^/2<X<7r), (6.95)
42
Kapitola 6. Interakce částic v plazmatu
kde b0 = qqx/^ireo/ig2).
Víme, že v případě nabitých částic v plazmatu dojde k jejich stínění oblakem částic s opačným znaménkem. Míra efektivnosti tohoto stínění je Debyeova délka:
XD = (^)i. (6.96) Koule o poloměru Ad je Debyeova koule. Vezmeme-li do úvahy toto stínění:
tf(r) = -^-^exp(-^) (6.97)
tedy pro r <C Ad jde o potenciální energii velmi blízkou Coulombovské, zatímco pro r     Ad je to téměř nula.
Výpočet (Ti za použití Debyovské potenciální energie je velmi komplikovaný a vyžaduje numerické řešení. Je ovšem možné použít alternativní zjednodušující přístup, který vede k dobrému souhlasu s řešením numerickým: vezmeme Coulombovský potenciál pro r < Ad a nula pro r > Ad =>■ bc — X]j. Obecně platí
Ad > b0. (6.98)
Rozptyl pro bg < b < Ad vedoucí k % < 7r/2 se nazývá rozptyl pod malými úhly a jeho příspěvek k celk. účinnému průřezu je
<rt,maie = 2tt f D b db = ^(A2, - &2)   .    (x<7r/2). (6.99)
Porovnáme-li
(6.100)
On On
=> důležité jsou srážky způsobující rozptyl pod malými úhly, nemůžeme je zanedbat a z integrace pro bc — Xd
(Tť=7rAB (6.101)
Zavedeme max. hodnotu bc — Ad i pro účinný průřez pro přenos hybnosti a ze vztahu (6.92) máme
crm = 27r6gLa(l +^t), (6-102)
protože
sin(iXc) = (l + |r1/2. (6-103)
Použijeme označení
A=^, (6.104)
přičemž A     1, takže
'>m — "o
crm = 47r^lnA (6.105)
Funkce A se mění relativně pomalu, pro většinu laboratorních typů plazmatu je ln A — 10-20. Abychom mohli vypočítat A uvažujme zjednodušeně:
• q = -e, qi = e
• no hustota elektronů a iontů
• T teplota obou
• Maxwell, rozdělení pro oba typy částic, žádná driftová rychlost
(g2) = \( í fefil(Vl-v)*d3v<Pv1 = ± ffe(—+v2)d3v = — (6.106)
j V j V\
a tedy
e2 e2
(6.107)
4ireoii(g2} Yl-Kc^kT tj-
A = í27TefT\D = í27m0\3D = 9ND, (6.108)
kde Wd je počet částic v Debyově kouli.
6.9. Stmění Coulomhovského potenciálu
43
Tabulka 6.1: Hodnoty parametru A pro teploty T v K a ne v cm
T/ne	103	106	109	1012	1015	1018	1021
102	12.8	9.43	5.97				
103	16.3	12.8	9.43	5.97			
104	19.7	16.3	12.8	9.43	5.97		
105	23.2	19.7	16.3	12.8	9.43	5.97	
106	26.3	22.8	19.3	15.9	12.4	8.96	5.54
107	28.5	25.1	21.6	18.1	14.7	11.2	7.85
108	30.9	27.4	24.0	20.5	17.0	13.6	10.1
Kapitola 7
Makroskopické transportní rovnice
7.1 Momenty Boltzmannovy rovnice
Pokud známe rozdělovači fci =>• makroskopické veličiny jako hustota, střední rychlost, teplota apod. V termodynamické rovnováze =>• Maxwell-Boltzmannova rozd. fce. V jiném případě musíme řešit komplikovanější BKR. ALE rovnice pro časové a prostorové změny makroskopických proměnných mohou být odvozeny z BKR bez jejího řešení =>■ makroskopické transportní rovnice
Makroskopické veličiny souvisí s momenty rozdělovači fce a trasportní rovnice pro tyto proměnné získáme z momentů Boltzmannovy rovnice. První tři momenty: vynásobením rovnice výrazy ma, mav a mav2/2 a integrací přes rychlostní prostor =>• zákon zach. hmotnosti, hybnosti a energie. Vždy se nám ale objeví nějaká neznámá makrskop. veličina navíc, takže abychom mohli soustavu vyřešit, musíme udělat nějaké vhodné předpoklady o nejvyšším momentu rozděl, fce.
V této kapitole se konstruuje pro každý typ částic vlastní transportní rovnice.
Existuje mnoho možností vytvoření soustavy transportních rovnic podle zjednodušujících předpokladů, např. model studeného nebo teplého plazmatu.
7.2 Obecná transportní rovnice
Uvažujme fyzikální vlastnost částic v plazmatu x(v) a vezměme obecnou BKR:
£ + „.V/. + ..V./.= (£)__. (7.1)
Každý člen BKR vynásobíme x(v) a z analogie výpočtu střední hodnoty x(v) uděláme totéž s celou BKR
X^d3v +    xv Vfadóv + / XaVvfadóv =    X )     drv (7.2)
sraz
Dále upravíme každý člen rovnice zvlášť. První člen:
Poslední člen je nula a z definice střední hodnoty:
X^d3v = ft(na(X)) (7.4)
Třetí člen:
(7.5)
Druhý člen:
í xv ■ Vfaďv = V • ( í vXfaďv) - í faWXďv - í faXy ■ vd3v
J v Jv Jv Jv
Clen V • v a V x jsou nula:
/ XV ■ Vvad3v = V • (na(Xv)a) (7.6)
J V
/ xa ■ Vvfad3v = / V„ • aXfad3v -    faa ■ S7vxd3v - / /ttxV„ • ad3v (7.7)
7.3. Zákon zachovaní hmotnosti 45 Poslední integrál vymizí pokud
S/v ■ a — -^—S7V ■ F — 0, (7.8)
ma
složka vektoru sily Fi nezávisí na příslušné složce rychlosti ví, kde i — x, y z. Toto omezení nevylučuje mg. silu Fa = qav x B:
Fx = qa(vyBz - vzBy) (7.9) První integrál na pravé straně rovnice (??) je součtem tří trojných integrálů:
J Vv ■ (axfo)cŕv =      J J J     -^-{(iixfa)dvxdvydvz. (7-10) Pro každý z těchto tří integrálů {i — x, y, z) máme
r    r    r+oo    q r r+oo
J J J      Q^-(axXfa)dvxdvydvz = J J      d,vyd,vz(axxfa\^) = 0, (7-11) protože /Q(r, v, ť) —> 0 pro Vi —> ±oo. Protože první a poslední integrál vztahu (7.7) je roven nule, máme
/ xa ■ Vvfad3v = -na(a ■ Vvx)a (7.12)
Kombinací předchozích výsledků dostáváme obecnou transportní rovnici
S
d
-Qt{na(x)a) + V • (na(xv)a) - na(a ■ Vvx)a =
Sf (na(x)a)
kde člen na pravé straně označuje rychlost změny veličiny x na jednotku objemu v důsledku srážek:
jf{na{x)a)
7.3   Zákon zachování hmotnosti 7.3.1   Odvození rovnice kontinuity z BKR
Rovnici (7.13) zde využijeme pro x — ma- Vyjádříme
(7.13)
(7,4,
(x)a = ma (7-15) (xv)a = ma(v)a = maua VvX — V„mQ = 0
^ + V-(pmQtiQ) = 5Q, (7.16)
Sa = ma í(% )sraz^ = f^) (7.17)
a dostaneme rovnici kontinuity kde pmQ = nama a srážkový člen
^ ^ 5í /sraz- - - ^ st
vyjadřuje rychlost produkce nebo ztráty částic a na jednotku objemu v důsledku interakcí. Pokud k nim nedochází
& Pma
dt
neboli
+ V • (Pmaua) = 0 (7.18)
+ V • (naua) = 0 (7.19)
Rovnici zákona zachování náboje odtud dostaneme násobením nábojem qa
dpa
dt   ' V • Ja — 0, (7.20)
kde pQ — naqa je hustota náboje a Ja — paua je hustota el. proudu.
46
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
7.3.2   Odvození pomoci dynamiky tekutin
Uvažujme objem tekutiny V uzavřený plochou S s elementem plochy dS — ňdS. Střední počet částic opouštějící objem V skrz dS za jednotku času je
naua ■ dS (7.21)
=> počet částic opouštějící celý objem:
j> naua ■ dS. (7.22)
Celkový počet částic v objemu:
nad3r. (7.23)
v
d
naua ■ dS = -— / nad3r (7.24)
Pokud nedochází k produkci nebo ztrátě částic v objemu, musí platit
d_
a za použití Gaussova teorému divergence
é naua ■ dS — / V(naua)d3r (7-25) Js Jv
dostaneme
J   ^ + V-(nQuQ) d3r = 0, (7.26) což musí platit pro libovolný objem V, takže dostáváme rovnici kontinuity (7.19).
7.3.3   Srážkový člen
Procesy spojené se změnou počtu částic =>• obvykle nepružné srážky (ionizace, rekombinace, zachycení náboje). Jak je můžeme reprezentovat v rci kontinuity:
• efekt ionizace - rychlostní koeficient pro ionizaci Kí, tj. počet párů elektron/iont produkovaných za jednotku času je Kineng, kde ng je hustota neutrálního plynu. Ve slabě ionizovaném plazmatu je možné považovat ng za konstantní a počet vzniklých párů zapsat pomocí srážkové frekvence v\ne
• efekt rekombinace - rychlostní koeficient pro rekombinaci KT, tj. úbytek párů elektron/iont za jednotku času, za předpokl. jednoho druhu iontů (n; — ne) je KYrv\
• efekt záchytu záporného náboje - rychlost úbytku elektronů Kanen& neboli podobně jako pro ionizaci ľane
Se = me(vine — KfTil — Vajie) (7.27)
7.4   Zákon zachování hybnosti 7.4.1   Odvození pohybové rovnice
Nahradíme x(v) výrazem mav v (7.13). Vezmeme-li v úvahu, že v — Va + ua a (Va) — 0, můžeme členy transportní rovnice upravit takto:
d ,      i \ \ dua        dpma , .
■7^{Pma{v)a) = P-ma-t^- + Ua—(7.28)
V • (pma(vv)a) = V • [pma(uaua +Ua(Va) + (Va)ua + (7.29) + (VaVa))] = V • (pmauaua + pma(VaVa})
d d d
-na(F ■ Vvv)a = -na((Fx— + Fy— + Fz — )v)a = (7.30)
ovx (yvz
-na(Fxx + Fyy + Fzz)a = -na(F)a
7.4. Zákon zachovaní hybnosti
47
A dosadíme-li do (7.13), dostaneme rovnici zachování hybnosti
0 Ua d1 Pmct
Pma^T + Ua    J™ + V • (pmaUaUa) + V • (pma(VaVa)) - Tla(F)a = Aa, (7-31) Ot Ot
kde Aa označuje srážkový člen
5(pmaua)
Aa =ma j v(^)Sraz d3V
ôt
ma^ay )  , d(p
ma
: ~ň      r Uay ——      h Uaz ——      h tlQ [        - I - I - J —
ox oy oz ox oy oz
Pma
Dosazením (7.33) a (7.34) do (7.31) a za použití rovnice kontinuity (7.16) dostáváme
(7.32)
Výraz pma(VaVa) je tenzor kinetického tlaku Va-
V-(pma(VaVa})=V-Va (7.33)
Třetí člen na levé straně rovnice (7.31) můžeme rozepsat takto
d d d
V • (pmaUaUa) — -7^(pmaUaxUa) + -^{pmaUayUa) + T^{pmaUazbfUa) — (7.34)
Pmai^T + ("a ■ V)uQ] + V ■ Va - na(F)a = Aa     tla^. (7.35)
Clen v hranaté závorce můžeme zapsat pomocí totálního diferenciálu:
^| + Utt-V, (7.36) což odpovídá časové změně pozorované ze souřadného systému pohybujícího se střední rychlostí ua. Jestliže uvažujeme elektromg. Lorentzovu sílu a gravitační sílu, je poslední člen rce (7.35)
-na(F)a = -naqa(E + ua x B) - namag, (7.37) kde pole E a B představují vyhlazené makroskopické pole. Pohybová rovnice je tedy
Prncr^- = naqa(E + ua x B) + pmag - V • Va + Aa - uaSa (7.38)
Fyzikální význam: časová změna hybnosti v každém elementu kapaliny je způsobena externími silami, třením (viskozitou) a tlakovými silami samotné kapaliny a dále vnitřními silami, které odpovídají interakcím     z.z. hybnosti
Často můžeme viskozitu zanedbat, tj. neuvažujeme nediagonální členy Va. Pokud je navíc rozdělovači funkce izotropní, jsou diagonální členy Va stejné a rovné skalárnímu kinetickému tlaku pa. Zanedbáme-li dále člen vedoucí k tvorbě nebo zániku částic, máme
Pmar^r = naqa(E + ua x B) + pmag - S7pa + Aa (7.39)
7.4.2   Srážkový člen
Clen Aa označuje rychlost změny střední hodnoty hybnosti na jednotku objemu způsobenou srážkami. Důsledek zachování celkové hybnosti při elastických srážkách stejných částic Aa — 0. ALE pro kapalinu složenou z různých částic Aa^0.
Často používaný vztah pro přenos hybnosti srážkami (nemusí platit vždy, předp. Maxwell, r. fce a relatině malý rozdíl středních rychlostí částic):
Aa = -pma ^ "apiUa - Up), (7.40)
Í3
48
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
kde konstanta úmernosti vap je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi částicemi a a [3. Protože během srážky se musí zachovávat celková hybnost
PmaVa[){Ua - Ufj) + pm[)V[)a{U{) - Ua) = 0. (7-41)
=>
PmaVa(í — PmfiVfia (7.42)
7.5   Zákon zachování energie
7.5.1   Odvození rovnice pro transport energie
Nahradíme x(v) výrazem mav2/2 v (7.13). Platí
na{x)a = 7,pma{V2) + ^pmau2a = ^(3pa + pmau2a) (7.43) \7V\ = ^maVv(v.v) = ma(v ■ Vv)v = mav (7.44)
Cleny na levé straně obecné transportní rovnice (7.13) jsou tedy
d 3 dpa     d  1 2
^K(x)a) =          + ^2PmQ,° (7'45)
V • (na(xiř>a) = V • [^pma{(v ■ v)v)a] (7.46)
-na((F/ma) ■ Vvx)a = -na(F ■ v)a (7.47)
Součtem těchto členů získáme rovnici zachování energie
3 dpa   ,   9 fl 2 \  ,  v7   r 1
2 9í + dt^2Pma ^ + V ' t^""*^" ' - n«(F ' w>« = M«> (7-48)
kde MQ je rychlost změny hustoty energie v důsledku srážek
Ma = \ma   í W2(^)sraz CŽ3«
2     ./„ ot
5{\pma{v2)a)
St
(7.49)
Alternativně se může rovnice také zapsat jinak, viz dále. Vezměme nejprve část třetího členu (7.48) a v — Va + ua:
([(ua + Va) ■ (ua + Va)](ua + Va)) = (7.50) = ((u2a + 2ua ■ Va + V2)(ua + 14)) = = u2aua + (V2)ua + 2(VaVa) ■ ua + (V2Va).
Clen pma(VaVa) představuje tenzor kinetického tlaku Va a ^pma{V2Va) je vektor toku tepla qa. Ukázali jsme, že \pma{V2) = 3pQ/2. Proto
V • [^pma((v ■ v)v)a] = V • [^pmau2aua + ^(3pa)ua + Va ■ ua + qa] = (7-51) = V • (^pmau2aua) + ^(3pQ)(V • ua) + \{ua- V)(3pQ) + V • (Pa ■ ua) + V • qa
Dosazením do (7.48) a za použití označení D/Dt pro úplný diferenciál, máme
§-t(^) + (^)V • ua + lt{\Pmau2a) + V • {\pmau2aUa) + (7.52) V • (Pa ■ ua) + V • qa - na(F ■ v)a = Ma
7.5. Zákon zachovaní energie
49
Třetí a čtvrtý člen na levé straně můžeme psát jako
dl 1
— {-pmaUa ■ Ua) + V ■ [{~pma{ua ■ Ua)ua\ = (7.53)
1 2 oprúci 9ua       1   2 i-,    / . r/        v-7\ 1
2 a~dt~     Pma"a ' + 2Ma    ' (p'naUa + PmaUa ' K"a ' V)tlQ] =
Za použití rovnice kontinuity (7.16) a pohybové rovnice (7.38) můžeme poslední vztah přepsat jako
^u2aSa + naua ■ (F)a - ua ■ (V • Va) + ua- Aa - uQSn- (7.54)
Dosazením zpět do (7.52)
D_(3|„) + 3|«y . Uq + y . (Pa . Uq) _ u . (y . Pq) _ (? 55)
Wa(f ' «)a + "aUa ' (F)a + V ■ qa =
= MQ - tiQ • Aa + ^u^Sa.
Třetí a čtvrtý člen můžeme kombinovat jako
V • (Va ■ ua)    ua ■ (V • Va) = (74 • V) • ua (7.56)
a podobně pátý a šestý:
-na(F ■ v)a + naua ■ (F)a = -na(F ■ Va), (7.57)
protože
(F ■ v)a = (F ■ (ua + Va)) = (F)a ■ u« + (F ■ FQ). (7.58)
V případě síly nezávislé na rychlosti je výraz (7.57) roven nule:
(F • Va) — F ■ (Va) = 0 (7.59)
V případě mg. síly zjistíme totéž:
(F-Va)=qa((vxB)-Va)= (7.60) = gQ(llQ X B) • (14) + qa((Va X 5) • 14) = 0,
kde oba členy jsou rovny nule, protože (Va) — 0 a (VQ x B) je kolmé na \/Q. Dostáváme tedy tu alternativní formu rovnice zachování energie
^(^) + ^V-iiq+(Pq-V)-iiq + V-«iq = (7.61)
1 2
= Ma — ua ■ Aa + —uaSa
7.5.2   Fyzikální interpretace
• První člen levé strany rce (7.61) - celková změna hustoty tepelné energie v objemovém elementu pohybujícím se driftovou rychlostí tiQ: 3pQ/2 = pma(y2)/2.
• Druhý člen LS - změna hustoty tep. energie díky vstupu částic o střední rychlosti tin do objemového elementu.
• Třetí člen LS - práce vykonaná na jednotkovém objemu díky tenzoru tlaku, který působí na povrch tohoto objemu
• Čtvrtý člen LS - změna hustoty tepelné energie díky toku tepla
• Pravá strana - změna hustoty tepelné energie díky srážkám (pro pouze jeden druh částic je člen roven nule)
První dva členy můžeme ještě zkombinovat pomocí rce kontinuity (7.16), kde rozepíšeme člen V • {pmaUa)
d
(— + un • V)pma + pmQV • ua = S'n, (7.62) ot
50
Kapitola 7. Makroskopické transportní rovnice
takže
V ■!!<, = - — (7.63)
Prací
Dosazením (7.63) do (7.61) a použitím rovností pma — nama, pa — nakTa, dostaneme další alternativní tvar rovnice energie vyjádřené pomocí teploty Ta
3      DT 1        3 kT
nak—^ + (iVV) ■ uQ + V • gQ = MQ - ua.Aa + {-u2a - -—)Sa (7.64) Ľí 2        2 m
7.5.3   Zjednodušující předpoklady
Podle okolností můžeme uplatnit různé zjednodušující předpoklady
• srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; driftová rychlost ua je nula; vezmeme vektoru toku tepla
qa = -KVTa (7.65)
=>■ rce (7.64) se redukuje na difúzni rovnici pro Ta
3 DT
|nQfc-^=V-(^VTQ), (7.66)
kde K je koeficient tepelné vodivosti (souvisí s koeficientem viskozity)
• srážkový člen je nula nebo zanedbatelný; neviskózní kapalina, tj. tenzor tlaku se redukuje na skalární tlak; neuvažujeme tepelnou vodivost (qa — 0); vztah (7.61) =>■
Dosazením (7.63) za V • ua pro     = 0 dává
DV 2 '    2pma   Dt { ' '
Dpa     5 L>pmQ
tedy
a po integraci
£Ja 3 Pma
(7.69)
^-(^)f, (7.70)
kde po a Pmo jsou konstanty, takže
papmf = konst. (7.71)
Toto je adiabatická rovnice energie pro plyn, v němž je poměr specifických tepel při konst. tlaku a konst. objemu 7 = 5/3.
Parametr 7 fcí počtu stupňů volnosti N
7=(2 + a0/AT. (7-72) Pro částice, které nemají vnitřní stupně volnosti (jednoatomový plyn), je N — 3. Adiabatická rovnice energie používaná v termodynamice je obecně ve tvaru
PPm1 — konst. (7.73)
Derivováním
Pm^dp - ippm{l+1) dpm = 0 (7.74)
nebo
dp = (—) dpm = V;2 a>m, (7-75)
Pra
kde jsme definovali
V3 = (7P/pm)1/2 = (7^/^)1/2, (7.76) což je adiabatická rychlost zvuku v kapalině.
• ideální plyn; konstantní teplota kapalin =>• izotermální rovnice energie. Vezmeme stavovou rovnici pro ideální plyn p — nkT a pro T — konst
dp — kTdn= (p/pm) dpm —     dpm, (7.77)
kde izotermální rychlost zvuku je
Vt = (p/pm)1/2 = {kT/m)1'2 (7.78)
7.5. Zákon zachovaní energie
51
7.5.4   Model studeného plazmatu
• 1. moment BKR =>• rce kontinuity =>■ hustota částic na (nebo hustota hmotnosti pa) ve vztahu s driftovou rychlostí ua =>• 2 makroskopické veličiny =>• potřebujeme 2 makroskopické transportní rce
• 2. moment BKR =>• pohybová rce (rce zachování hybnosti) =>• driftová rychlost ua ve vztahu s hustotou částic na a tenzorem kinetického tlaku Va =>■ 3 makroskopické veličiny =>• potřebujeme 3 makroskopické transportní rce
• 3. moment BKR =>• rce energie =>■ neznámé veličiny na, ua, Va a vektoru toku tepla qa
=>■ Zadný konečný systém transportních rovnic nemůže tvořit uzavřený systém, takže musíme zavést nějaké aproximace. Nejjednodušší model je model studeného plazmatu. Model používá pouze rovnici kontinuity a hybnosti. Tenzor tlaku se položí roven nule, tj. zanedbává se vliv tepelného pohybu částic a síla způsobená změnou tlaku. Máme tedy dvě transportní rce:
dt
V • (Pmaua) = Sa (7.79)
Pracr^^ = naqa(E + uax B) + pmag + Aa - uaSa (7.80)
Pokud můžeme navíc zanedbat vznik a ztrátu částic a Sa — 0. Vztah používaný pro srážkový člen pro přenos hybnosti Aa je dán vztahem (7.40).
Model vlastně předpokládá, že teplota plazmatu je nulová, takže rozdělovači fce je Diracova delta fce fa(r, v,ť) = 5\v - u{r,ť)\.
7.5.5   Model teplého plazmatu
Zde se uvažují tři transportní rovnice a ve třetí rci se zanedbává člen s vektorem toku tepla V • qa — 0. Tato aproximace se nazývá adiabatická aproximace. Protože tepelná vodivost je nula, není plazma viskózni a nediagonální členy tenzoru tlaku jsou nula. Dále s předpokládá, že diagonální členy jsou stejné, a tedy V • Va — V • pa.
V modelu teplého plazmatu tedy máme tyto tři transportní rce
dpm,
dt
V • (pmaua) = Sa (7.81)
Pma^jr- = naqa(E + uax B) + pmag - \7pa + Aa - uaSa (7.82)
§-t(^Y) + ^(V • ua) = Ma-ua-Aa + \ulSa. (7.83)
Pokud navíc předpokládáme, že změna energie v důsledku srážek je zanedbatelná, redukuje se rovnice (7.83) na adiaba-tickou rovnici
PaPml = konst. (7.84)
Kapitola 8
Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
8.1   Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu
Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny. Hustota hmotnosti:
Pra — ^ Pma — ^ nama, (8.1)
a a
hustota náboje:
p = ^2naqa, (8.2)
a
střední rychlost kapaliny u:
Pi
tu = ^2pmatia. (8.3)
Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u je difúzni rychlost wa
wa = ua    u = ua--pmaua (8.4)
Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok
Jm = ^2 namaua = pmu (8.5)
a hustota el. proudu neboli tok náboje
J = ^2naqaua = pu + ^2naqawa (8.6)
a a
Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako
Va =Pma(VaVa), (8.7)
kde Va — v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost Vao pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u
Va0 = v- u. (8.8)
Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticého tlaku V je tedy
P = 5ľ/w(t/Q0l/tto>. (8.9)
Platí
Va0 = Va+wa (8.10)
a tedy
V = '52pma((ya + wa)(Va + wa)}, (8.11)
a
což roznásobíme jako
V = ^2Pma{{VaVa) + (Vawa) + (waVa) + (wawa)). (8.12)
8.2. Rovnice kontinuity
Z definice wa vidíme, že (wa) — wa, a proto
Celkový skalární kinetický tlak p je
ad)
Pomoci (8.13)
Definujeme vektor celkového toku tepla q
a hustotu tepelné energie
7,y^yPma{VgOVa0
- - sr n /v2
2 — 2 ' ' Pma \ a0
Je užitečné najít vztah mezi
Qa = ^Pma{VlVa)
a q. Takže pomocí Vao — Va + wa dostaneme
1=\l2/WC^X) + w2a(Va} + 2{{wa ■ Va)Va) + + {V2)wa + w2awa + 2({Va) ■ wa)wa],
přičemž (Va) — 0, takže
q = \     P™*[{V2Va) + 2wa ■ (Va)Va) + (V2)wa + w2awa]
Ze vztahu (8.18), (8.7) a pa — pma(V2}/3 přepíšeme předchozí vztah jako
q = ^2(la + wa-Va + -pawa + -pmaw2awa).
Pro izotropní případ
q = 5Z(«/a + Alfa + -pmQW2 IVQ).
8.2   Rovnice kontinuity
Rovnici kontinuity pro jednotlivé částice sumujeme
dp,
dává
dpn,
dt
+ V • (Pmu) = 0,
neboť suma Sa je nula díky zachování celkové hmostnosti v systému. Rovnici můžeme D/Dt=d/dt+u-V jako
Dpn
Dt
pmV ■ u = 0
54 Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
8.3   Pohybová rovnice
Podobně postupuje i v případě rovnice z. z. hybnosti:
^P™a[^- + ("a ' V)uQ] = ^7laqaE + ^naqa(ua X B) + (8.26)
Oĺ Oĺ Oĺ
Protože celk. hybnost všech částic se zachovává je srážk. člen nula
J2 + (ua -V)ua} = pE + J x B + pmg - V - V + (8.27)
Člen obsahující Sa můžeme eliminovat pomocí rovnice kontinuity. Zapíšeme rovnost
X>*SQ = £uQ[^+V-(pmQiiQ)], (8.28)
což kombinujeme se členy na levé straně rovnice (8.27) a členem ^a uaSa na její pravé straně. Dostáváme výraz
Yý{Pmfra) +V ■ OwUaiia)], (8-29)
kde využijeme vztah pro celkovou střední rychlost (8.3), druhý člen expandujeme nahrazením ua — wa + u. Vidíme, že
^2pmawa = ^2pma(ua - u) = pmu - pmu = 0. (8.30)
Vztah (8.29) upravíme tedy jako
sr^Mpmaua) d(pmu)
2_Ji--qt--1" v ' {pmauaua)\ = ——--h V • {pmuu) + (8.31)
a
a
+ X V • (pmQlVQWQ) = Pm^j- + 5ľ V ' (Pma^aWa)'
kde jsme využili rci kontinuity. Potom pohybová rovnice je
pm^=pE + JxB + pmg-S7-T. (8.32)
8.4   Rovnice energie
Opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic:
X^4<°"-^2>«)+ZV- (\pma(v2v}a) -J2na(F ■ v}a = 0, (8.33)
a a a
kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v — Vao + u a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme
d_ dt
\ a / L q
9 /V-1 /t,2x\ 5 /v-1 2\ 9 /3p\ 9/1 2 ^        2^<V^> J + dt [2-< 2PmaU )=di{-2) + di \2PmU
(8.34)
kde jsme použili vztah (8.17) a fakt, že ^Q pmawa — 0
8.4. Rovnice energie
55
Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že
(v2v}a   =   ((V20 + u2 + 2Va0-u)(Va0 + u)} (8.35) =   O^o^o) + m2wq + 2(Va0 <g> Vq0) • ti + (VQ20)u + w2u + 2{wa ■ u)u,
protože Vao — Va + wa a (Va) — 0. Proto
V-(X)^Pma(w2^>a)= (8-36)
a
=     V ' E ^ma^aO^o)) + V ■ (^ pmQ(í/a0 ® VQ0> ' «) +
+   V-(^ipmQ(l/Q20)ti) + V-(^ipmQtt2ti)
Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku V, můžeme toto dále upravit jako
V • (Z! ^/W^2")") = V ■ Q + V ■ (P ■ u) + (8.37)
+ V.(yll)+V.(^pmqm2|l)
Pro čŕefe' čžen máme
^nQ(F • u)Q = ^2na[qa(E ■ v)a + qa((v x B) ■ v)a +ma(g ■ v)a], (8.38)
a a
kde jsme uvažovali elmag sílu a silu gravitační. Protože (v)a — ua a pro lib. vektor v platí (1/ x B) ■ v — 0, máme
Yjna{F-v)a=J-E + Jm-g, (8.39)
kde E & g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme
^(f) + V • (|u) + lt{\pmu2) + V • (\Pmu2u) + (8.40) V • q + V • (V ■ u) - J • E - Jm ■ g = 0.
Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako
§~t(\p^2) + V • {\pmu2u) = ^2[^f + V • (pmii)] + u • (Pm^), (8.41) což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice:
pu ■ E + u ■ (J x B) + Jm ■ g - u ■ (V • V). (8.42) Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar
^(y) + y V • u + V • q + (V • V) • u = J • E - u.(J xB)-pu-E. (8.43)
• 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí ti
• 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic
• 3. člen - tok tepla
• 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými)
• členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tyto členy mohou být dále zkombinovány (viz níže).
56
Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí
J = ^2naqaua = ^nQgQivQ + ^nQgQu = J' + pti, (8.44)
a a a
kde pu je hustota el. proudu konvekčni, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a J' je hustota el. proudu vodivostni, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát
u ■ (J x B) — —J ■ (u x B) — —J' • (u x B). (8.45)
Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme
^(f) + f V-ii + V-«i+(7>-V) ■« = ./'■£', (8.46)
kde E' = E + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J' ■ E' představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskému ohřevu.
8.5   Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu
Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu netvoří uzavřený systém (podobně jako u transportních rovnic pro jednotlivé typy částic). Navíc obsahují elektrodynamické veličiny E, B, J a p =>■ kromě hydrodynamických transportních rovnic potřebujeme elektrodynamické rovnice.
8.5.1   Maxwellovské rovnice rotace
Vx£ = -f (8.47)
dE
V x B = p0(J + e0 —)
8.5.2   Zákon zachování el. náboje
získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem qa/ma a sumací přes všechny částice:
dt z čehož
9 (J2+ V • (En«qaua) =      — (8-49)
^ + V • J = 0 (8.50)
Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce (8.47) a z Maxwell, rovnice pro divergenci E
V-E=A (8.51)
Vezmeme divergenci (8.48)
V • J + e0J^(V ■ E) = 0, (8.52) zkombinujeme s (8.51) a dostáváme (8.50).     rovnice (8.51) tedy není nezávislá na rovnici (8.50).
Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (8.47), dostaneme
j^(V-B) = 0 (8.53)
neboli
V • B = fconst. (8.54)
Takže Maxwellova rovnice
V • B = 0 (8.55)
je vlastně počáteční podmínkou rovnice (8.47).
8.5. Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu
57
8.5.3   Zobecněný Ohmův zákon
Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti) pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qa/ma a sumujeme přes všechny částice:
^2na<la(^r) + ^2naqa(ua ■ V)uQ = ^nQ( —)(F)Q - (8.56)
Cfv 777 q
Cl Cl Cl
-V • [£(—)Va] + £(—)Aa    Y.(—)"aSa (8.57)
Úprava druhého členu na pravé straně rovnice (8.56): Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku      pro částice a
= ( — )Va = naqa(VaVa) (8.58)
a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky
pB = £>f + J2naqawawa. (8.59)
Tedy
-V • \^{^-)Va] — —V • VE + V • (^nQÍfoWQWQ) (8.60)
Úprava čtvrtého členu na pravé straně rovnice (8.56): Použijeme rovnici kontinuity a ua — wa + u
^2(—)uaSa = wa^-(naqa) - ^ wa[V ■ (naqawa)] - (8.61)
CL
-       W«IV • (Jlaqau)] -U^jj- "(V ' J) (8-62)
Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (8.56) upravíme jako
— CL     i     f o/
^naQa—^- + ^{UaqaWa ■ V)wa + ^(nQgQu • V) • wa + p— + (J.V)tl (8.63)
Zjednodušení celé rovnice (8.56): Použijeme následující vztah pro dva vektory:
V • (aft) = Ď(V • a) + (a • V)Ď, (8.64)
využijeme vyjádření hustoty el. proudu (8.44) a předchozí zjednodušené výrazy:
°J ' V-(uf + Ju) + V-VE = ľna(^)(F)af V(—)A>. (8.65)
z—/        m _ í—t m
dt
Rovnice (8.4-7), (8.4-8), (8.50) a (8.65) tvoří soustavu deseti rovnic, které doplňují rovnici zachování hmotnosti, hybnosi a energie pro vodivou kapalinu.
Rovnice (8.65) je ale stále v obecném, pro praxi nepoužitelném tvaru. Jednoduchý a používaný tvar této rovnice můžeme získat pro plně ionizované plazma s jedním druhem iontů: Vyjádříme hustotu el. proudu a náboje jako
J — ^2 na<laUa — e(riiUi - neue) (8.66)
a
P — ^2 Ua(i-a = e(ní ~~ ne)- (8.67)
58
Kapitola 8. Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu
Globální střední rychlost je
U = -(pmelle+ PmiUi, (8.68)
Pra
kde pm — pme + pmi. Zkombinováním této rovnice s (8.66) dává
ui = ME^ + i) (8.69)
Pmi     ^ e G P   ,PmU J
Ue =-(--h~), (8.70)
ŕVne    TTli 6
kde /i = memi/(memi) označuje redukovanou hmotnost.
Dále předpokládáme, že střední rychlosti elektronů a iontů vztažené ke globální střední rychlosti u, tj. difuzní rychlosti we a iVi, jsou malé ve srovnání s tepelnými. Pak zjednodušíme vztah (8.59) takto
VE = VE + VE = e{ľl_ľ^) (8.71)
Trii rrie
Silový člen v rovnici (8.65) nahradíme elekromagnetickým polem
ľ«a(-(F)a = yjna{^)[qa{E + ua x B)} = (8.72)
= e2(^ + Z^)£ + e2(^Uí + ^ue)x B
TTli       TTle TTli TTle
V něm nahradíme ue a Ui ze vztahů (8.70) a (8.69) a zjednodušíme
Vna{^)(F)a = e2(^ + ^)£ + e2(^ + x B + e(— - — )J x £?. (8.73)
z—'      ma nrii     me me     rrii rrii me
a
Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (rrii ^ Tne, ne — rii — n):
(8.74)
(8.75)
(8.76)
me       lili nie
takže máme VE — —(e/me)Ve a z (8.73)
2
ľn«(-)(F)« = - (E + uxB)- — JxB (8.77) '-^      mn mP mP
1	1		1
rrii	me		me
Tli	ne		n
rrii	me		me
Tli	ne		n
me	rrii		
Srážkový člen v (8.65) napíšeme ve dříve uvedeném tvaru
Ae = -pmeVei(ue-Ui) (8.78) M     =     -pmiVie(Ui-Ue), (8.79)
přičemž platí pmlvle — pmevei, takže
9a,. , ..11
E(—)Aa = epmevel(ue - Ui)(--1--) = -vmJ, (8.80)
kde jsem použili (8.66) pro J, ne — rii — n a aproximaci mt me.
Nyní můžeme použít výsledky z (8.71), (8.77) a (8.80) a dosadit je do (8.65)
8J p
^-+V-(uJ' + JU)-—V-V = (8.81)
-(E + u x B)--J x B - veiJ.
mP mP
8.6. Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice
59
Protože jsme předpokládali ne — rii, musí p — OaJ — J'.V určitých situacích se dá předpokládat, že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení
9
ne
<r0 = -, (8.82)
meve_
což představuje podélnou el. vodivost. Pak dostáváme z (8.81)
S/-Ve = E+uxB-— JxB    — J. (8.83)
ne1 ot     ne ne uq
Tato rovnice se nazývá zobecněný Ohmův zákon. V magnetohydrodynamice se obvykle členy na levé straně zanedbávají, což ovšem není vždy dost dobře zdůvodnitelné.
Pokud se J nemění v čase, tj. za ustálených podmínek, máme dJ/dt — 0. Pokud dále předpokládáme, že jsou zanedbatelné prostorové změny tlaku, tj. V • Ve — 0, pak dostáváme zjednodušení
J = cr0(£ + u x B) - —J x B. (8.84)
ne
Poslední člen v této rovnici vyjadřuje Hallův jev. Tento člen je malý pokud 0o|B| ^ ne- Pak
J — cr0(E + u x B) (8.85)
a bez přítomnosti mg. pole
J = cr0£, (8.86)
což je obecně známý Ohmův zákon.
8.6   Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice
Rovnice kontinuity, zjednodušená pohybová rovnice, adiabatická rovnice energie, Maxwellovy rovnice pro el. intenzitu a mg. indukci (zde zenadbáváme čas. změnu el. intenzity) a zjednodušený Ohmův zákon:
+ V • (pmu) = 0	(8.87)
u - — JxB Vp t	(8.88)
dp — V2dpm	(8.89)
dB	(8.90)
	
V x B — ij,qJ	(8.91)
x B)-—JxB	(8.92)
ne
Kapitola 9
Vodivost plazmatu a difúze
9.1   Langevin rovnice
Předtím než budeme diskutovat dva důležité jevy v plazmatu, vodivost a difúzi, uvedeme si velmi jednoduchou pohybovou rovnici pro slabě ionizované (ne <C ng) studené plazma - Langevinovu rovnici. Předpokládáme, že co se týče interakcí, bude dominantní interakce nabitých částic s neutrály. Dále uvažujeme pouze el. a mg. sílu (zanedbáváme gravitační pole a sílu způsobené gradienty tlaku). Dříve uvedená pohybová rovnice
Prna^j^- = naqa(E + ua x B) + pmag - \7pa + Aa (9.1)
se tedy zjednodušuje jako
me^ = -e(£ + «exfi) + ^. (9.2)
Dt ne
Makroskopický srážkový člen Ae/ne můžeme vyjádřit
— = -vcmeue, (9.3)
kde vc je srážková frekvence pro přenos hybnosti mezi elektrony a těžkými neutrálními částicemi. V tomto vztahu jsme zanedbali střední rychlosti neutrálních částic, protože tyto částice jsou mnohem hmotnější než elektrony (ALE nezanedbáváme jejich tepelnou rychlost). Dosadíme srážkový člen a dostáváme Langevinovu rovnici
me^£-=-e(E + ue x B) - vcmeue (9.4)
Fyzikální smysl srážkového členu? Pokud nepůsobí el. a mg. síla
Du,
Dt
což můžeme vyřešit
-vcue, (9.5)
tie(í) = ue(Q)exp(-vct). (9.6)
Tedy srážky elektronů s neutrály snižují střední rychlost elektronů exponencielně rychlostí odpovídající srážkové frekvenci.
9.2. Linearizace Langevinovy rovnice
61
Rovnici analogickou k (??) můžeme napsat pro ionty
mi~ĽH ~ Ze(E + Uj x B) — VinmiUi, (9.7)
kde Ze je náboj iontu. V mnoha případech jako je např. vysokofrekvenční plazma, můžeme zanedbat pohyb iontů, tj. Ui — 0. Plazma, v nemž je důležitý pouze pohyb elektronů se obvykle nazývá Lorentzův plyn.
9.2   Linearizace Langevinovy rovnice
Langevinova rovnice ve tvaru (9.4) obsahuje nelineární členy - součin dvou proměnných. V mnoha případech můžeme situaci zjednodušit linearizací těchto členů, která je použitelná v případě změn o malých amplitudách.
• Totální diferenciál ue obsahuje člen (ue ■ V)ue. Zanedbání tohoto členu je možné pokud jsou střední rychlost a její prostorové změny malé nebo pokud je střední rychlost kolmá na svůj gradient (transverzální vlny)
• V nelineární členu ue x B budeme separovat mg. indukci B(r, í) na dva členy
B{r,t) = B0 + B'{r,t), (9.8)
takže
q(E + tie x B) = q(E + ue x B0 + ue x B'). (9.9)
Pokud můžeme předpokládat, že
\ue x B'\ < \E\ (9.10)
můžeme člen \ue x B'\ v (9.9) zanedbat.
S využitím dvou výše uvedených linearizačních zjednodušení získáváme následující Langevinovu rci
Ou
me-QJ- = ~e(E + ue x B0) - vcmeue (9-H)
V mnoha praktických problémech se proměnné E, B' a ue mění harmonicky v čase i prostoru. Využijeme rovinných vln, protože jde o jednoduchý případ a jakákoliv fyzikálně realizovatelná vlna se dá vyjádřit jako superpozice rovinných vln.
E, B', ue (x exp[i(k ■ r - ujt)], (9.12)
kde lu je kruhová frekvence, k vlnový vektor ve směru šíření vlny. Diferenciální operátory V a d/dt se pak transformují na ík a — ílu. Dosazením (9.8) do Maxwell, rce V x E — —dB/dt dostaneme
ikxE = iiuB', (9.13)
takže
B' = ^-l (9.14)
lu
Nyní můžeme ověřit nerovnost (9.10)
\ue x (k x E)/lu\ < \E\. (9.15)
Velikost nelineárního členu \ue x B'\ může být tedy rovna nebo menší než \ {uekE)/lu\. Nelineární člen můžeme zanedbat pokud
\ue{k/Lu)\< 1 (9.16)
nebo ekvivalentně
Kl « \w/k\, (9.17)
kde Lu/k představuje fázovou rychlost rovinné vlny. Protože tento člen obvykle dosahuje rychlosti světla, zatímco amplituda střední rychlosti elektronů ue je mnohem menší, můžeme skutečně nelineární člen zanedbávat. Pokud ale dojde k rezonanci, je to/k velmi malé, zatímco ue se stává velké. V tomto případě se pak nelineární člen zanedbat nedá.
9.3   Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů
Použijeme Langevinovu rovnici pro ustálený stav, abychom odvodili stejnosměrnou vodivost plazmatu. V této kapitole předpokládáme slabě ionizované homogenní plazma, ve kterém můžeme použít model Lorentzova plynu. Předpokládáme, že aplikované el. pole je konstantní a homogenní.
62
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
9.3.1   Izotropní plazma
Pokud nepůsobí mg. síla, můžeme Langevinovu rci pro ustálený stav zapsat jako
—eE — meľcue — 0. (9.18)
Hustota el. proudu
J — —enetie. (9.19)
Kombinací předchozích dvou rovnic
J=n£e2_E^ (9.20)
meve
Z Ohmová zákona J — u^E můžeme pak vyjádřit stejnosměrnou vodivost pro izotropní elektronový plyn
<y0 = —• (9.21)
mevc
Pohyblivost elektronů /ie je definovaná jako
Me = ^, (9.22)
takže dostáváme
Me =--— = -— (9.23)
meľc nee
9.3.2   Anizotropní magnetoplazma
V případě přítomnosti mg. pole se plazma stává anizotropní. Langevinova rce pro ustálený stav je
-e(E + ue x B0) - mevcue — 0, (9.24) kde Bq je konstantní a homogenní mg. pole. Použijeme (9.19)
ryl   ] /
—= e(E + tiex B0), (9.25)
nee
takže
J = cr0(E + ue x B0), (9.26)
což je zjednodušená podoba Ohmová zákona.
Chtěli bychom přepsat tento zákon tak, aby hustota el. proudu byla přímo úměrná aplikovanému el. poli. Definujeme tedy tenzor stejnosměrné vodivosti S
J — S E. (9.27)
Abychom získali jeho vyjádření, uvažujme kartézské souřadnice a mg. pole rovnoběžné s osou z, tj. Bo — BqŽ. Nahradíme Ue = -J/(ene) v (9.26)
J = a0E-^^(J x ž). (9.28)
ene
Uvědomíme si, že
a dostáváme tuto soustavu rovnic
J x vecz — Jyx — Jxvecy (9.29)
x   : JX = CT0EX-—Jy (9.30)
ý   : Jy=cT0Ey + —Jx (9.31)
ž   : J2=(7o#*, (9.32)
kde Í2ce = eBo/me označuje elektronovou cyklotronovou frekvenci. Z prních dvou rovnic dostáváme
v2 v2 íl
J* = wM:foEx ~ i^kfoEy (9-33)
jy - jafftŕ01**+wfmnoEv- (9-34)
9.3. Stejnosměrná vodivost a pohyblivost elektronů
63
V maticové podobě tedy
Tenzor ss vodivosti je tedy
kde
Jy
0
0
	-oh 0
	CT_l 0
0	0 (7||
	
	(^2 + fi2e)
	
'II
nee2 meve
(9.35)
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
Abychom pochopili fyzikální smysl komponent tenzoru S je vhodné rozložit el. intenzitu do směru rovnoběžného s Bo a kolmého. Element uj_ se nazývá kolmá nebo transverzální vodivost (rovněž Pedersonova vodivost), protože řídí tok el. proudu ve směru rovnoběžném s Ej_ a kolmém na Bq, zatímco u h (Hallova vodivost) řídí tok. el. proudu ve směru kolmém na el. i mg. pole. Element uq je podélná vodivost, protože určuje tok el. proudu ve směru rovnoběžném s mg. polem.
64
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
Dále odvodíme vztah pro pohyblivost elektronů. Díky anizotropii půjde o tenzor
ue = Me- E. (9.40)
Protože J — —eneue — SE, máme
Me =--—S. (9.41)
nee
9.4   Střídavá vodivost a elektronová pohyblivost
Předpokládejme nyní, že el. pole E(r,t) a střední rychlost elektronů ue (r, t) se harmonicky mění s časem jako exp(—íuoi). Linearizovanou Langevinovu rovnici (9.11)
—ÍLomeue — —e(E + ue x Bo) — rneľcue (9.42)
můžeme tedy přepsat jako
—e(E + ue x B0) — me(vc — iuj)ue — 0 (9.43)
Tato rovnice je analogická k rovnici (9.24) až na změnu členu srážkové frekvence, tj. místo vc na vc — ílo. Takže podobně dostáváme tenzor tlaku, kde frekvenčně závislá kolmá vodivost, Hallova vodivost a podélná vodivost jsou
(vr — ílo)2
^ - w^wrwr (9-44)
nee2 nee2(vc-ÍLo)
=-t-r^- =--r^-.—2Y (9-46)
meyvc — ilo)     TOe(^f + c<jz)
Pohyblivost dostáváme opět analogicky podle vztahu (9.41).
Pokud můžeme zanedbat elektron-neutrál srážkovou frekvenci (yc — 0), dostáváme
^   =   (c2-Wcef° (9'47)
ÍLoflrP
°H = W^Ľf0 (9-48)
do   =   i— (9.49)
9.5   Vodivost při uvažování pohybu iontů
Vezmeme v úvahu pohyb iontů. Linearizovaná Langevinova rovnice pro částice typu a
0 u
ma—^ = qa(E + ua x B0) - mavcaua, (9.50) ot
kde vca je efektivní srážková frekvence neboli tlumící člen, jenž je výsledkem srážek částic a s neutrály. Langevinova rovnice pro jednotlivé typy nabitých částic jsou nezávislé. Celkový proud je tedy dán jako
J = ^2naqaua = ^2 Ja = C^Sa) ■ E (9.51)
Ct Ct Ct
a celkový tenzor vodivosti je jednoduše
a
Pro plazma obsahující elektrony a několik typů iontů (index j) dostáváme ze vztahů (9.44), (9.45) a (9.46) pomocí plazmové frekvence Lopa a £o
^   =   e0[,        . + ),   P3_.,2 + o2] (9-53)
(yce - ílo)2 + íl2ce    *-f (ycj - ílo)2 + íl2cj
3
,JpeiLce Lupji,lcj
E 7- o2 1 (9-54)
(^ce - zw)2 + fž2e    ^ (í/cj- - ílo)2 + íícj
3
(yce - ilo)    t-r* (i/cj - ilo)
9.6. Plazma jako dielektrikum
65
9.6   Plazma jako dielektrikum
Až doposud jsme ale uvažovali o nabitých částicích pohybujících se ve vlastních vnitřních polích, takže jsme brali v úvahu tyto rovnice
D = e0E (9.56) B   =   hqH, (9.57)
které jsou používané pro volný prostor bez nábojů. Efekt existence plazmatu se pak projevoval pohybem a interakcí nabitých částic uvnitř plazmatu.
Pokud neuvažujeme vnitřní pohyb částic, můžeme plazma popisovat jako dielektrikum charakterizované dielektrickým tenzorem. Pak nás zajímají pouze obecné makroskopické vlastnosti a nikoliv elementární pohyb částic. Místo Langevinovy rovnice vezměme Maxwellovu rovnici
VxB^ofJ + foJ (9.58) a zde zahrňme efekt plazmatu pomocí tenzoru vodivosti S definovaném vztahem
J — S E. (9.59) Dosadíme do Maxwellovy rovnice a předpokládáme časově proměnné harmonické variace el. pole:
V x B — mu0S ■ E — ÍLuii0e0E. (9.60)
Pokud 1 označíme jednotkový tenzor
Vx8 = — ÍLu/i0e0(l +
Lue0
íS
V x B =-íu/íoeofU--)•£ (9.61)
nebo ekvivaletně
V x B = -íljuqS ■ E, (9.62)
kde
£ = e0(l + —) (9.63)
LÚ6q
se nazývá dielektrický tenzor plazmatu. Používání tohoto tenzoru představuje jiný přístup pro popisování plazmatu než jsme používali doposud:
D — £ E. (9.64)
Poznamenejme, že £ závisí na frekvenci lu a můžeme ho zapsat v maticové podobě
ei   £2 0
£ = e0 I   e2   ei    0   I , (9.65)
kde
0    0 e3
ei   =   l + — cr± (9.66)
-i Lue0
Loe0
£2 — -~rah (9.67) e3   =   1 + —w0 (9.68)
9.7   Difúze volných elektronů
Přítomnost gradientů tlaku v transportní rovnici hybnosti představuje sílu, která vyrovnává jakékoliv nehomogenity hustoty plazmatu. Difúze částic je výsledkem této síly.
Zde dovodíme difuzní koeficient pro elektrony v "teplém" slabě ionizavaném plazmatu.
• trasportní pohybová rovnice pro elektrony s konstantní elektron-neutrál srážkovou frekvencí
• odchylky od rovnováhy způsobené nehomogenitami v hustotě jsou velmi malé
ne(r,t) =n0+n'e(r,t), (9.69) kde \n'e \ <^ uq je veličina prvního řádu "malosti", takže tyto odchylky můžeme ve druhém řádu zanedbat
66
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
• tenzor tlaku Ve nahradíme skalárním tlakem pe
pe(r, t) = ne(r, t)kTe = (n0 + n'e)kTe (9.70)
• E a B jsou nula, Te =konst
Protože tie je veličina prvnho řádu "malosti", můžeme rovnici kontinuity zapsat
+ n0V • ue = 0, (9.71)
kde jsme zanedbali součin nfeue. Podobně pro transportní rovnici hybnosti
d u
neme[—+ (tie • V)tie] = -Vpe - neM - evcue (9.72) ot
due       kTe ,
n0— =--Vne - n0vcue. (9.73)
dostaneme po linearizaci Vezmeme divergenci této rovnice a dosadíme za no V • tie z (9.71) což můžeme přepsat i jako
dt?      me       e dt kde jsme definovali koeficient difúze volných elektronů
dt me
d(V-Ue)           kTe-   ,               „ ,n„A.
n0  y        ' =---V2< - n0^cV • tie (9.74)
ot me
9V-^We-3, (9.75)
De = — (9.77)
Chceme získat odhad velikosti jednotlivých členů v rovnici (9.76). Nechť t a. L představují charakteristický čas a délku, na které se významně mění n'e =>• prostorová derivace je velikosti řádu L-1 a časová derivace velikosti řádu t_1:
DeVVe   -   De-^f (9.79) „   A_ (9 80)
Porovnáme-li (9.78) a (9.80) vidíme, že je-li vvr 1, tj. průměrný počet srážek elektronů s neutrály během časového intervalu t je dosti velký, můžeme poslední člen v (9.76) zanedbat a dostáváme difúzni rovnici
^f=DeV2n>e. (9.81)
Takže pokud je rychlost změny hustoty pomalá ve srovnání se srážkovou frekvencí, je hustota elektronů řízena difuzní rovnicí, v níž je difuzní koeficient dán vztahem (9.77).
Podmínka vvr 1 znamená zanedbání členu zrychlení v transportní pohybové rovnici, tj. zanedbání due/dt. Pokud zanedbáváme časové změny tie dostáváme z linearizované pohybové rovnice (9.73)
kT
n0vcue =---Vn'e, (9.82)
me
což můžeme napsat jako
Te = -DeVn'e, (9.83)
kde ľe — noUe je linearizovaný tok elektronů. Vztah (9.83) je analogický k jednoduchému Ohmovu zákonu J — ugE, takže tok elektronů způsobený gradientem hustoty je analogický k el. proudu způsobenému el. polem, pokud uvažujeme ustálený stav pro tie.
9.8. Difúze elektronů v mg. poli
67
9.8   Difúze elektronů v mg. poli
Uvažujme nyní konst. a homogenní pole Bq. Uděláme podobné zjednodušení jako v předchozím a zanedbáme due/dt. Z linearizované pohybové rovnice dostáváme
re = -DeVn'e--—(re x B0). (9.84)
meve
Uvažujeme kartézskou soustavu souřadnic, osa z ve směru Bq, tj. Bq — BqŽ:
re = -DeVn'e-^(rex z). (9.85)
Tato rovnice je analogická k (9.28), kde /~e nahradíme J, De nahradíme ae a -Vn'e nahradíme E. Dále ^ce/^c = voBo/(ene). Takže analogicky s výrazem J — S ■ E můžeme psát
kde T> je tenzor difúze v mg. poli
pricemz
/-e =-£>• Vn'e, (9.86)
D±    DH 0
V=  -DH   Dj_    0    | , (9.87) 0       0 D||
D» - <»*»
Dm     =    Z?e =-- (9.90)
mevc
Podobně jako v předchozí kapitole můžeme odvodit difuzní rovnici pro n'e. Nejprve zapíšeme rovnici kontinuity (9.71) jako
dn/
^f+V-re = 0. (9.91)
dt
Dosadíme (9.86) za /~e
dn/
-5± = V-(V.Vrie). (9.92)
Za použití matice (9.87) a výpočtu v kartézských souřadnicích dostaneme
,       ,     dn' dní „
T>.X7n'e=x(D±—=+DH—=)+ (9.93)
dx dy dn'e c dx   '    ^ dy e dz
~y(-DHdA+D^) + ~zDedf. (9.94)
Tento výsledek dosadíme do (9.92)
dn'e    n ,d2ríd2rí d2ríe -8T = D±{       + ^) + D*~d#- (9'95)
Protože D± < De a protože D± klesá s rostoucím ílce/i/c (podobně jako a±), je difúze částic ve směru kolmém na mg. pole vždy menší než ve směru rovnoběžném.
Transportní pohybová rovnice pro elektronový plyn, pokud zanedbáme člen zrychlení ale vezmeme v úvahu elmag sílu, je obecně (konst. teplota)
re = Me(neE + Te x B) - DeVne. (9.96)
Vidíme, že tok elektronů je výsledkem obojího, elmag síly i gradientu tlaku. Podíl skalární pohyblivosti A4e a difuzního koeficientu je znám jako Einsteinova relace
t - -m w
68
Kapitola 9.  Vodivost plazmatu a difúze
9.9   Ambipolarní difúze
Ukázali jsme si, že časově ustálená transportní rovnice hybnosti v případě nepřítomnosti elmag sil a konst. teplotě dává tuto difuzní rovnici pro elektrony:
Te = -DeVn'e, (9.98)
kde difúzni koeficient volných elektronů je definován
DP =
Pokud budeme uvažovat podobnou rovnici pro ionty ve slabě ionizovaném plazmatu máme
kde
Di
-DeVn'i,
kTi
(9.99)
(9.100)
(9.101)
označuje difuzní koeficient volných iontů.
=>■ neuvažovali jsme interakci mezi elektrony a ionty ALE elektrony difundují rychleji a zanechávají za sebou kladný náboj. Difúze, při které neuvažujeme prostorový náboj, se nazývá volná difúze.
V mnoha případech ovšem nemůžeme zanedbat prostorový náboj, vzniklé el. pole ja dáno Maxwellovou rovnicí
p     e(nl - ne)
V • £
(9.102)
Odhadneme důležitost prostorového náboje pro difúzi =>• použijeme bezrozměrnou analýzu: L je char. délka, na které se podstatně mění hustota náboje. Ze vztahu (9.73)
enL
E
takže el. síla na jednotk. hmotnost
"Difuzní síla" na jednotk. hmotnost z (9.73)
eE     e nL
m meo
kT kTn f d = -|Vn|
miío'     ' mrioL El. pole prostorového náboje může být zanedbáno pokud Je <C ,Jd, tj.
r2 ^ eokT _ 2 rioez
(9.103)
(9.104)
(9.105)
(9.106)
kde Xd je Debyeova délka. To je splněno zřídka a musíme uvažovat tzv. ambipolarní difúzi. Předp., že změny hustoty elektronů i iontů jsou prvního řádu "malosti"
na(r,t) = n0+n'a(r,t),
kde a — e, i a n'a <^ uq, a že ua mají velmi malou amplitudu. Použijeme linearizovanou rovnici kontinuity
dn'
dt
n0V • ua — 0
a linearizovanou rovnici hybnosti za předp. konstantních teplot a bez mg. pole
dua _ Qa_
dt m„
kTa man0
■Vn'a - ucaua,
(9.107)
(9.108)
(9.109)
kde pole prostorového náboje splňuje rci (9.102). Rovněž předp. že střední rychlost neutrálů je nulová a zanedbáváme srážky elektron-iont. Vezmeme divergenci (9.109) a použijeme rovnici kontinuity (9.108):
d2n'a dt2
qan0 kTa   2 , dn'a
--(y ■ E) H--v na - vca^rr
ma ma ot
(9.110)
9.9. Amhipolarní difúze
69
Nahradíme V • E z Maxwellovy rovnice (9.102) a dostáváme soustavu rovnic
Ffin' hT Fin'
—   =   -w>i-ne) + -Vni-i'ce-^-. (9.112)
Musíme provést další zjednodušení. Podobně jako dříve jestliže vct 1, kde t je charakteristická doba difúze, můžeme členy na levé straně rovnic zanedbat. Jejich zkombinováním tedy dostáváme
K - <)(c^e _       + fcrevVe + kT.V2^ - mevce-^ - miV*-^ = 0. (9.113) Pomocí další aproximace n'e —    — n'
F)n'
m + T^-írn^ + rn^)-^ (9.114)
což můžeme přepsat jako
^flaW, (9.115)
kde
Ca =    fc(Te + T° (9.116)
je koeficient amhipolarní difúze. 0
Kapitola 10
Některé základní jevy v plazmatu
10.1   Elektronové plazmové oscilace
Pro studium charakteristických plazmových oscilací elektronů použijeme model studeného plazmatu, tj. nebudeme uvažovat tepelný pohyb částic a gradienty tlaku. Dále zanedbáme pohyb iontů a uvažujeme velmi malou perturbaci v koncetrace elektronů:
ne(r,t)=n0+ríe(r,t), (10.1)
kde no je konstantní hustota elektronů a \n'e\ <C uq. Podobně uvažujeme, že vzniklé el. pole E(r, ť) a průměrná rychlost elektronů ue(r, ť) jsou perturbace prvního řádu, takže můžeme použít linearizované rovnice - linearizovanou rovnici kontinuity a rovnici hybnosti
0<(r,t)
dt
due(r, ť)
+ n0V • ue(r,í) = 0. (10.2) - — E(r,t) (10.3)
dt
V rovnice hybnosti jsme předpokládali, že změna momentu hybnosti elektronů v důsledku srážek je zanedbatelná. Za předpokladu jedenkrát ionizovaných iontů je hustota náboje
p(r, i) — -e [n0 + n'e(r, t)} + en0 — -en'e(r, i), (10-4)
kde jsme předp. konstantní a homogenní hustotu iontů rovnou uq. Proto
V-E(r,t) = ^ = --<(r,t) (10.5)
Rovnice (10.2),(10.3) a (10.5) tvoří kompletní sadu, kterou je třeba vyřešit pro neznámé n'Jjr,ť), ue(r,t) a E(r,t). Uděláme divergenci (10.3), abych ji mohli dosadit do (10.2)
^-^V.£(r,í).0 (10.6)
Kombinujeme (10.5) a (10.6), abychom vyloučili V • E
d2n'e(r,t)
dt2
kde
' n0e
+ ^X(r,í) = 0, (10.7)
2 \ 1/2
pe " I , (10-8)
se nazývá elektronová plazmová frekvence. Rovnice (10.7) ukazuje, že n'e(r,t) se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí
<(r, í) = <(r) exp(-iwpeí) (10.9)
Všechny perturbace prvního řádu se mění harmonicky v čase s plazmovou frekvencí kjpe. Abychom to dokázali, je vhodné začít s předpokladem, že se tyto veličiny mění harmonicky v čase jako exp(—iu>ť). Rovnice (10.2) a (10.3) jsou pak
Lume
což můžeme zkombinovat jako
< = --n0V-tie (10.10) l€ -£, (10.11)
^^V-E. (10.12)
10.2. Problém Debyeovského stínění
71
Nahrazením tohoto výrazu pro n'e do (10.5) dostáváme
V • E = 0.
(10.13)
Netriviální řešení této rovnice vyžaduje to — Lupe. Perturbace navíc nemění fázi v prostoru, takže se nešíří žádná vlna a oscilace jsou stacionární a podélné (rychlost ve stejném směru jako pole).
Elektronové plazmové oscilace mají také elektrostatický charakter. Uvažujme Maxwellovy rovnice rotace
V x E = íluB V x B — p0 (J — ÍLue0E)
Hustota el. proudu je
kde jsme použili (10.11) pro ue. Proto kde definujeme relativní permitivitu
m0e" -en0ue — -1
Lome
V x B — —ÍLoiioeoeľE
■.,2
(10.14)
(10.15)
(10.16)
(10.17)
(10.18)
V případě el. plazmových oscilací lu — Lupe, takže er — 0 a (10.17) se redukuje na
VxB = 0 (10.19)
Protože rotace gradientu je rovna nule, můžeme psát
B — Vip (10.20) kde ij} je magnet, skalární potenciál. Dosazením (10.20) do (??) a divergencí obou stran dostáváme Lablaceovou rovnici
V • (VV>) — V2i/> — 0 (10.21) Jediné řešení této rovnice, které není singulární a konečné v nekonečnu je ip — konst., takže B — 0.
Elektronové plazmové (Langmuirovy) oscilace jsou tedy stacionární, podélné a elektrostatické. Pokud by se uvažovala existence gradientů tlaku a sada rovnic doplnila adiabatickou rovnicí energie, staly by se tyto oscilace šířícími se vlnami (vlny prostorového náboje nebo také Langmuirovy vlny).
10.2   Problém Debyeovského stínění
Uvažujme vliv el. pole přidané nabité částice. Testovací částice nechť má kladný náboj +Q. Zvolíme sférické souřadnice. Zajímá nás el. potenciál 4>(r). Blízko částice bude ne(r) a n;(r) mírně odlišné, zatímco ve velkých vzdálenostech elstat. potenciál mizí ne(oo) — n;(oo) — uq. Protože jde o ustálený stav a konzervativní pole
a platí
E(r) = -V0(r)
ne(r) — n0 exp
kT
kT
n\ (r) — no exp
kde předpokládáme stejnou elektronovou i iontovou teplotu T.
Celková hustota náboje p(r) včetně testovacího náboje Q
p(r) = -e [ne(r) - n{{r)] + QS(r) kde S(r) je Diracova delta funkce. Použitím (10.23) a (10.24)
(10.22)
(10.23)
(10.24)
p(r) = -en0 <^ exp
e<A(r)
exp
kT
>5(r)
(10.25)
(10.26)
72
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
Substitucí (10.22) a (10.26) do následující Maxwell, rce
dává
V2<Kr) - — i exp
V • £(r)
P(r)
kT
exp
(10.27)
(10.28)
která umožní vyjádřit elstat. potenciál 4>{r).
Abychom mohli postupovat analyticky, předpokládáme, že rušivý náboj je slabý, takže potenciální energie je mnohem menší než střední tepelná energie
Za těchto předpokladů
a tedy
kde Ad je Debyeova délka
exp
±
e<j>(r) < kT
kT
kT
1/2      1 /fcT^1/2
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.32)
Protože problém má sférickou symetrii, elstat. potenciál závisí jen na velikosti r. Vztah (10.31) se může přepsat (pro r^O) jako
= 0
^2d>
A
d
J__d r2 dr
Abychom to vyřešili, uvědomme si, že el. pole izolované částice je
1 C
(r^0)
(10.33)
takže elstat. Coulombovský potenciál
£(r)
to
1
47ren r
(10.34)
(10.35)
Ve velmi těsné blízkosti testovací částice má být potenciál přibližně stejný jako okolo textovací částice ve vakuu. Takže je vhodné hledat řešení v tomto tvaru.
Q   F (r)
(r) — 4>c(r) F (r)
47reo r
(10.36)
kde F(r) —> 1 pokud r —> 0. Dále se vyžaduje, aby </> ^ 0 pro r —> oo. Substitucí předpokládaného tvaru potenciálu (10.36) do (10.33)
d2F(r) dr2
Tato jednoduchá diferenciální rovnice pro F(r) má řešení
/ y/2r
A
2F(r)
F(r) — A exp
Ar
B exp —
V2i
(10.37)
(10.38)
Podmínka, že 4>{r) vymizí pro velké hodnoty r vyžaduje A — 0. Podmínka, že .F(r) se blíží jedniččce pro r jdoucí k nule vyžaduje B — 1. Řešení rovnice (10.33) je tedy
(r) = 0C (r) exp -
V2j "Än"
1
47ren r
exp
V2i
(10.39)
Tento výsledek je všeobecně známý jako Debyovský potenciál, protože toto řešení bylo poprvé ukázáno pány Debye a Huckel v jejich teorii o elektrolytech. Z tohoto řešení vyplývá, že 4>{r) je mnohem menší než Coulombovský potenciál, jestliže vzdálenost r překročí vzdálenost Ad, nazývanou Debyova délka.
10.2. Problém Debyeovského stínění
73
Náboj Q je neutralizován rozložením náboje v okolí. Z (10.26) a (10.30) dostáváme hustotu náboje ve tvaru
n0e2(p(r)
p{r) = -2-
kT
Dosazením <p(r) Debyovského potenciálu (10.39) dostáváme
P(r) = -
Celkový náboj zísáme integrací přes celý prostor
p(r) d3r n
27rrA23
exp
y/2i
qt
2ttA
d Jo
exp
V2i
>5(r).
4?rr2 dr + Q / / / 5(r) d3r
(10.40)
(10.41)
(10.42)
První integrál je roven — Q zatímco druhý dává +Q. Celkový náboj je tedy qt — 0.
Měli bychom si uvědomit, že Debyevský potenciál se stává zančně velký pro r->0a podmínka e</>(r) <C kT již zřejmě není splněna. Abychom ověřili platnost této aproximace a tedy vztahu (10.39), poznamenejme, že za použití (10.39) pro Q — e máme
e<t> _ e2 exp (-VŽr/Ao) _  AD exp (--y/Žr/Ao) kŤ = =
AirenrkT
3ÍVd
(10.43)
kde N d je počet částic v Debyově sféře. Protože tento počet je v plazmatu velmi velký, je zřejmě, že poměr e<j)/kT <C 1 s výjimkou r < \e>/Ne>. Musíme se tedy omezit na vzdálenosti od testovací částice větší než \d/Nd
4>{r)
1
47ren r
exp (-r/AD)
(10.44)
10.2.1   Debyova délka pomocí Vlasovovy rovnice
V- V/e + — (V</>) • V„/e =0
mP
v- V/i--(V</>)-Vvfi=0
m,
na(r) = / fa(r,v)d3v
p(r) = -e    (fe-fi)d3v + QÔ(r)
V2</>-- (/e-/ť)d3^-^í(r)
fa(r,v) = /0Q(«)exp -
ga0(r)
V2(á-
exp
e</>
/0ed3i;-exp ( ) / /0íd3i;
™o = / /oa(«)d3w      a = e,z
74
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
10.2.2   Stěnová vrstva
Když je nějaký pevný povrch vnořen do plazmatu, získává automaticky záporný náboj, a tedy záporný potenciál vzhledem k plazmatu. Blízko tohoto povrchu je tzv. stěnová vrstva, v níž je rozdílná hustota elektronů a iontů. Uvnitř stěnové vrstvy roste potenciál monotónně ze záporné hodnoty u stěny až na hodnotu plazmového potenciálu. Tloušťka vrstvy, v niž není splněna kvazineutralita je řádově rovna Debyově délce.
Řešení problému silně závisí na geomterii. Ukážeme si aproximativní řešení pro nekonečnou plochu x — 0.
Fyzikální mechanismus jejího vzniku
Nabité částice, které dopadají z plazmatu na stěnu, jsou většinou ztraceny. Ionty rekombinují a vrací se do plazmatu jako neutrály. Elektrony buď rekombinují nebo vstupují do vodivostního pásu pevné látky, pokud jde o kov. Již dříve jsme odvodili, že tok částic na jednu stranu desky, je v případě izotropní rozdělovači funkce dán vztahem:
rQ = ^K (10.45) kde (v)a je střední rychlost částic a. Pro Maxwell-Boltzmannovo rozdělení jsme zjistili, že
(1*4.)
a tok částic je tedy
r" = -V5Šb (la47)
Je zřejmé že, pokud je hustota elektronů a iontů stejná, tok elektronů na plochu značně převýší tok iontů protože člen \jTejme je mnohem vyšší než ^jTijmi. Pro nejméně hmotný iont, tj. iont vodíku, je me/mi — 1836. Proto stěna v kontaktu s plazmatem rychle akumuluje záporný náboj, protože na počátku na ni dopadne mnohem více elektronů. Záporný potenciál začne elektrony postupně odpuzovat až se tok elektronů a iontů vyrovná a stěna získá záporný potenciál, který se nazývá plovoucí
Záporný potenciál na stěně
Chceme odhadnout potenciál na stěně v ustáleném stavu, kdy se vytvořila stěnová vrstva. Tento potenciál pro x — 0 označíme
<A(0) = <i>w. (10.48)
Referenční potenciál v nekonečnu:
0(oo) = 0. (10.49)
Elektrony a ionty budou v termodynamické rovnováze, mají teplotu T, a působí na ně pole konzervativních sil nabité desky. V x —> oo je plazma neporušené a jeho hustota je uq. Platí tedy
ne(r)=n0exp(Ä^ , (10.50)
ni(r)=n0exp(-^y (10.51)
V těchto vztazích nebereme v úvahu driftovou rychlost částic, ačkoliv nabité částice jsou na stěně ztraceny, takže musí existovat jejich ustálený tok vyrovnávající hustotu. Později, když budeme aproximativně studovat vnitřní strukturu stěnové vrstvy pomocí hydrodynamických rovnic, vezmeme tuto driftovou rychlost do úvahy.
Jedna z okrajových podmínek problému je skutečnost, že v ustáleném stavu se nesmí měnit potenciál stěny, takže
Je(0) = Ji(0). (10.52)
Použijeme rovnice (10.47), (10.50) a (10.51)
což přepíšeme jako
10.2. Problém Debyeovského stínění
75
a dále
Ačkoliv jsme udělali zanedbání driftové rychlosti, tento výsledek souhlasí s přesnějším odvozením pro případ Te — T.
Poznamenejme, že velikost potenciální energie blízko stěny \e<j)w\ je stejného řádu jako střední tepelná energie částic v plazmatu, neboť
\e4>w\_llnrrn1\ (1Q56)
kT      4 VTO-,
Např. pro vodíkový iont je tento poměr roven dvěma, zatímco pro těžší ionty se blíží třem. Vnitřní struktura stěnové vrstvy
Abychom něco zjistili o vnitřní struktuře stěnové vrstvy vezmeme do úvahy rovnici zachování částic a hybnosti pro elektrony a ionty za ustálených podmínek a s prostorovou závislostí pouze ve směru osy x. Rovnice kontinuity zapíšeme pro a — e, i
d(naua)        dua dna
-j-=n"~]--\-ua——=0. (10.57)
dx dx dx
V rovnici hybnosti zanedbáme viskózni jevy, takže aproximujeme tenzor tlaku skalárem. Použijeme ideální rovnici plynu Pa — nakTai abychom zavedli teplotu, o které předpokládáme, že je konstantní. Zanedbáme srážky, protože tkoušťka stěnové vrstvy je mnohem menší než střední volná dráha částic. Za těchto předpokladů, bez magnetického pole a uvážíme-li E(r) — — V </>(#"), D/Dt — d/dt+ tiQV — uad/dx
m u ^ - _ a W (ÍQ 5gl
dx na   dx dx
Pro zjednodušení ještě uděláme dvě aproximace. Ze vztahu (10.57) máme
dna        na dua dx        ua d.x
Pak můžeme poměr levé strany rovnice (10.58) a prvního členu její pravé strany vyjádřit jako
(10.59)
kTa dna
kTa
(10.60)
Dvě aproximace, které uděláme:
• pro elektrony zanedbáme levou stranu (10.58), tj. setrvačnost elektronů:
^dn,_ d0=o ne  dx dx
• pro ionty zanedbáme 1. člen na pravé straně (10.58), tj. jejich teplotu:
mlUl^+e^=0 (10.62) dx dx
Podle poměru (10.60) jsou tyto dvě aproximace splněny pouze pokud tepelná energie elektronů je mnohem větší než jejich kinetická energie a pokud tepelná energie iontů je mnohem menší než jejich kinetická energie, tj.
meu\ < kT < mtu2. (10.63)
Tento předpoklad dokážeme později.
Pro elektrony integrujeme (10.61) a dostáváme
e(t>(x) = kT\iíne(x) + (konst). (10.64) Za předpokladu, že ne — rii a pro <f> — 0 máme
ne(x) = n0 exp y^j)) ' (10.65)
76
Kapitola 10. Některé základní jevy v plazmatu
Tento výraz je identický k (10.50), což není překvapující, protože podmínka meu2 <C kT odpovídá zanedbání setrvačnosti elektronu (me — 0) a následně jeho kinetické energie.
Pro ionty nejprve integrujeme (10.57) a dostáváme
rii{x)ui{x) — Ci. (10.66)
Pak integrujeme (10.62) a máme
e<t>(x) + ^mlU2(x) = C2, (10.67)
kde Ci a C2 jsou konstanty. Okrajové podmínky vyžadují, že pro že pro x —> 00 musí </>(oo) = 0, 7^ (00) — uq a Mi (00) = uoí- Takže
C4 = n0u0l;       C2 = 2míM0í (10.68) a využitím těchto rovností v (10.66) a (10.67) dostáváme
nl(x)ul(x) — n0u0l, (10.69)
e<p(x) + ^miuf(x) — ^mlull. (10.70)
Tyto dvě rovnice můžeme zkombinovat, abychom eliminovali Ui{x) a získali rii{x):
_i
n^^noíí-2^)   \ (10.71)
Tento vztah se podstatně liší od vztahu (10.51) pro rii{x), protože se projeví vliv driftové rychlosti iontů. Odtud pak vyplývá, že rii{x) ve stěnové vrstvě, kde plattí 4>{x) < 0, pomalu klesá ačkoliv vztah (10.51) předpovídal růst. Fyziálně to znamená, že záporný potenciál na stěně zvyšuje Ui{x), jak se ionty ke stěně přibližují, a protože tok iontů Uí(x)uí(x) musí zůstat podle vztahu (10.69) konstantní, musí se rii{x) snižovat. Ttot chování je znázorněno na obrázku.
Abychom dostali rovnici pro potenciál 4>(x) dosadíme (10.65) a (10.71) do Poissonovy rovnice
V2(/>=— {rie-rii) (10.72)
a dostáváme
d2<f> noe dx2 6g
e<f> \     ( 2e<f>
(10.73)
Musíme nějak určit uqí daleko od stěny. Navíc je rovnice nelineární, takže abychom ji mohli analyticky vyřešit, je nutné udělat další aproximaci. Viděli jsme, že | e<f> \ nabývá hodnot od nuly (v plazmatu) do hodnot řádu kT (na stěně). Dále jsme předpokládali, že je rriiU^ větší než kT. Proto se budeme zabývat jen oblastí blízko hranice plazma-stěnová vrstva a předpokládat dále, že | e<f> \ je malé ve srovnání s kT i rriiU^. Proto můžeme nahradit členy na pravé straně (10.73) pro e<f>/kT <Cl a e<f> /'(rriiU^ -c 1 vztahy
kT J kT
_i
2e<j> \   2 e<j>
a diferenciální rovnice se zjednodušuje na
kde
Řešení s okrajovou podmínkou 4>{oo) — 0 je
mlU2J m^o.
d24> _ <p ďx"2 ~ X2'
(10.75)
(10.76)
miu0i
4>(x) = Aexp (-^:) ,kde (10.78) A je konstanta. Protože jsme předpokládali, že kT -c rrijí/gj, je X reálné číslo přibližně rovné A^i.
Z řešení rovnice vyplývý, že absolutní hodnota 4>{x) exponencielně klesá (protože je A záporné, 4>{x) vlastně roste), jak se pohybujeme stěnovou vrstvou směrem k plazmatu a asymptoticky se bliží k nule. Protože X ~ A^i, dějí se tyto
10.2. Problém Debyeovského stínění
77
variace na vzdálenostech řádově Debyovy délky. Řešení je striktně řečeno platné jen pro hranici plazma-stěnová vrstva, ale pokud bychom jej extrapolovali až na stěnu s okrajovou podmínkou 0(0) — <f>w, platí A — 4>w.
Kdyby kT bylo větší než rriiU^, bylo by X imaginární a el. potenciál by osciloval. Proto pro vytvoření stěnové vrstvy platí
kT < Trnuli, (10.79)
tzv. Bohmovo kritérium.
Určit potenciál na stěně za použití hydrodynamických rovnic není triviální záležitost. Všechny přibližné metody navržené pro případ Te — T dávají řešení (??) již dříve odvozené za velmi zjednodušených předpokladů. Navíc neexistuje konzistentní způsob jak určit driftovou rychlost iontů pro x — oo, ale můžeme ji aproximovat následovně. Tok iontů musí být konstantní, takže se rovná ngiioi toku na stěnu. Odtud
2irmi       \ kT
Podobně pro elektrony
««K = ^^-exp(-^]. (10.80)
UOe = ,/^exp(^l. (10.81)
2^me       V kT a použitím (10.53)
"Oe — u0l (10.82)
Ještě bychom měli ověřit platnost předpokladu (10.63). Tok částic na{x)ua{x) je konstantní pro všechna i a je roven noiiQ. Z (10.65) vidíme, že minimální hodnota ne{x) je noexp(e(pw/kT), protože <f>w je záporné. Proto
no      ^ (   e(t)w\ fmQi\
ue = — u0e < u0eexp [ —— I (10.83)
a s použitím (10.81)
nebo
kT
u^\l^r (10-84)
kT
> 2ir (10.85)
ieul
v souhlasu s (10.63). Podobně pro ionty
Ut — —u0l > u0l (10.86)
"^ězM-w* (10-87)
< 2»exp (^ )=0,1 (10.88)
rriiuf \ kT
1
Kapitola 11
Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Odvodíme Boltzmannův srážkový člen pro binárni srážky. Srážkový člen obsahuje integrály přes rychlosti částic, takže BKR je vlastně integro-diferenciální rovnice. Platnost omezená na slabě ionizované plazma. Coulombovské interakce můžeme ale započítat jako sérii po sobě následujících slabých binárních srážek a dostáváme Fokker-Planckův srážkový člen.
11.1   Boltzmannova rovnice
11.1.1   Odvození Boltzmannova srážkového integrálu
Srážk. člen (ôfa/ôť)Siazk představuje změnu rozděl, fce v důsledku srážek. Jde o bilanci částic ANa uvnitř objemového elementu d3r d3v kolem (r, v) Zel CBjS dt
ANa = (^]       d3rd3vdt. (11.1)
V st ysrazk
Je výhodné separovat AJVa do dvou částí
AJVa = AJV+-AiVa-, (11.2)
kde AJVa označuje přírůstek částic ležících v d3r, které mají po srážce rychlost ležící v objemu d3v a A]Va označuje úbytek částic ležících v d3r, které mají před srážkou rychlost ležící v intervalu d3v.
Vyjádříme AN~. Uvažujme částice ležící v d3r kolem r, které mají rychlost ležící v d3v kolem v. Tyto jsou rozptýleny srážkami s jinými částicemi (nemusí jít o částice a) ležícími ve stejném prostorovém elementu a majícími rychlost z d3vi kolem v\. Uvažujme, že jde o částice (3 a jejich tok dopadající na částice a je
= fár, v1,t)d3v1\v1 -v\ = fp(r, Vl,t)d3vl9. (11.3)
Průměrný počet interakcí jedné částice a v čas. intervalu dt je
Tpbdbdedt — fp(r, v1,t)d3v1g b db de dt, (H-4)
kde záměrná vzdálenost leží v intervalu b a b + db a rovina srážky mezi úhly e a e + de. Předpokládáme, že čas dt je velký ve srovnání s interakční dobou částic. Počet srážek částic (3 se všemi částicemi a ležící v d3rd3v kolem (r, v) za čas    je dán součinem
fa(r, v,ť)d3rd3vfp(r, v1,ť)d3v1gbdbdedt. (H-5)
Zde jsme předpokládali, že počet srážek počet srážek těchto dvou druhů srážek je úměrný součinu Q(r, v, ť) /a(r, vi,ť). Takže zanedbáváme jakoukoliv korelaci molekulární chaos. Celkový počet částic, které jsou rozptýleny dostaneme integrací a sumací
AN-= fa(r,v,t)d3rd3vdtJ2 f   í íffÁr,Vi,t)d3vigbdbde (11.6)
P   Jvl J b J c
Podobně vyjádříme AJV+. Uvažujeme inverzní srážku v prostorovém elementu d3r kolem r, v níž se částice a s původní rychlostí v d3v' kolem v' sráží s částicemi (3 majícími původní rychlost z d3v'1. Výsledek je rozptyl částic a do d3v kolem v. Průměrný počet srážek mezi jednou částicí a a částicemi (3 je
fp(r,v[,t)d3v'ig'bdbdedt. (11.7)
Potom
AN+= fa(r,v',t)d3rd3v'dtJ2 f   f f fp(r, v[,t)d3v[g'b db de. (11.8)
n    J VÍ   J b J €
11.1. Boltzmannova rovnice
79
Víme, že g' — g — \ V\ — v\ a z teorie Jakobiánu
d3v'd3v[ = \J\d3v(fv1. (11.9) V následující podkapitole ukážeme, že \J\ — 1, takže
dVŕu^ŕudV. (11.10)
Vztah (11.11) můžeme tedy zapsat jako
AN+= fa(r,v',t)d3rd3vdtJ2 f   í f ffÁr, v[,t)d3vigbdbde. (H-H)
P   Jvi Jb J c
Nyní zkombinujeme výrazy pro AN~ a AJV+ a výraz b db de nahradíme výrazem er(fž)cH1, takže dostáváme výraz pro Boltzmannův srážkový integrál
/Xf  \ / a AT+      a m-\
(11.12)
Ô_U\       = (AN+-AN-
^/srazk       V d^vdt
E / / (/á/^i - fMd3vl9cr(n)cm,
kde jsme použili označení
f'a   =   /a(ry,t) (11.13) ffn   =   MríVl',ť) (11.14) /Q   =   /Q(r,M) (H.15) =   U(r,Vl,t) (11.16)
(11.17)
Explicitně tedy můžeme BKR zapsat jako
dt
v-vfa + a-vvfa = £ / /-fMďvigcr(n)dn,
P   J v\ J Q
takže jde o integro-diferenciálu?' rovnici
(11.18)
11.1.2   Jakobián transformace
Transformace použitá v předchozí podkapitole je
kde
což můžeme vyjádřit jako
J =
ďVdáv[ = |J| d^vdvt,
d(v', v{) ^ d(v'x,v'y,v'z,v'lx,v'ly,v'lz) d(v, vi)     d{vx,vy,vz,vlx,vly,vlz)'
(J) =
9^ 9^ 9^is 9^is
dvv
(11.19)
(11.20)
(11.21)
Pomocí vztahů zavedených v kapitole o interakcích částic můžeme d3v d3vi vyjádřit pomocí tepelné Vq a vzájemné g rychlosti před srážkou
d3vd3Vl = \Jc\d3V0d3g, (11.22) kde Jc je Jakobián transformace. Uvažujme nejprve pouze x-komponentu v (11.22):
dvx dvlx = j d^°XlVlx\ \dV0x dgx
d(V0x,gx)
Vypočítáme determinant naznačené matice 2x2
dvx dvlx = (— + —) dV0x dgx = dV0x dgx.
(11.23)
(11.24)
80
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Součin všech tří komponent odpovídajících x, y a z složkám dává
d3v d3v1 = d3V0 <řg. (11.25)
Podobně
d3v'd3v[ = d3V^d3g'. (11.26)
Viděli jsme, že Vq — Vq. Vektory g a g' se liší pouze směrem, ale mají stejnou velikost, takže d3g — d3g'. V důsledku tedy
d3vd3v1 = d3v'd3v[ (11.27) 11.1.3   Rychlost změny fyzikální veličiny v důsledku srážek
Rychlost změny fyzikální veličiny x(v) na jednotkový objem v důsledku srážek vyjádříme jako
S(na(x)a) 6t
Za použití Boltzmannova srážk. integrálu dostáváme
~S(na(x)a)
xfesrazkáV (H.28) srazk      J v V<>
5t
= £/ /  [(fLfpi-fMxgvMdílďv^v. (11.29)
_zk f)    J f2 Jv-i J V
Uvědomíme si, že ke každé srážce existuje srážka inverzní se stejným účinným průřezem. Takže
E// f f'J{}iX9<'(a)dnd3v1d3v= (n.30)
= E / /  / f "fa*19^)     d3vi d3v,
p   JQ Jvi J v
kde jsme použili d3v'1 d3v' — d3v\d3v a x' — x(v')- Použijeme-li vztah (11.30) dostáváme alternativní vyjádření pro změnu veličiny x v důsledku srážek.
S(na(x)a) 6t
E/ / ffMx -x)g<?(n)dnd3v1d3v. (11.31)
srazk        p   JQ Jvi Jv
11.2   Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu
Předp., že
• rozděl, fce neutrálních částic je homogenní a izotropní
• vnější síly působící na elektrony jsou malé, takže elektrony nejsou příliš vzdáleny od rovnovážného stavu jejich rozděl, fce není příliš prostorově nehomogenní a anizotropní
• za rovnovážného stavu elektrony nevykazují žádnou driftovou rychlost a jejich rozděl, fce je homogenní a izotropní
11.2.1   Rozvoj rozdělovači funkce ve sférickou harmonickou řadu
Označíme (y, <f>, 6) sférické souřadnice v rychlostním prostoru. Podle předpokladů je závislost /(r, v, ť) na <f> a 9 velmi malá, takže je možné rozvinout /(r, v, ť) v řadu podle úhlových rychlostních souřadnic <f> a 9 a vzít pouze prvních pár členů tohoto rozvoje. Provedeme tedy rovoj do sférické harmonické řady pomocí Fourierovského rozvoje v <f> a asociovaných Legendrových polynomů P™(cos(9) v 9:
oo oo
f(r,v,t) = ^2 EP™(cosér) ' [fmn(r,v,t)cos(m4>) + gmn(r, v, t) sin(m4>)}, (11.32)
m—O n—0
kde funkce fmn a gmn jsou koeficienty rozvoje.
• První člen v (11.32) odpovídá m — 0 a. n — 0, a. protože Pq (cos 9) — 1, je roven foo(r,v, ť). Toto je izotropní rozdělovači fce odpovídající rovnovážnému stavu.
• Clen s m — í a n — 0 se rovná nule, protože P01(cos 9) — 0
11.2. Boltzmannův srážkový člen ve slabě ionizovaném plazmatu 81
Další vyšší člen je pro m — 0 a n — 1, přičemž P1 (cos 9) — cos 9, takže je to foi(r, v, i) cos 9
Vezmeme-li tedy do úvahy pouze první dva nenulové členy rozvoje
f(r,v,t) = foo(r,v,t) + —/0i(r, v, t), (11.33)
v
kde jsme cos (9 nahradili výrazem (v • vz)/v
11.2.2   Aproximativní vyjádření Boltzmannova srážkového členu
Boltzmannův srážkový člen je dán vztahem (11.12) a pro binární srážky elektronů s neutrály jej můžeme zapsat jako
(^)srazk = llJjféfnl ~ fefnl) 9 b db de d3VU (11.34)
kde jsme cr(Q,)díl nahradili b db de. Zde fe reprezentuje nerovnovážnou rozděl, fci elektronů a /„ je izotropní rovnovážná rozděl, fce neutrálních částic. V první aproximaci předp., že neutrální částice jsou v klidu a nejsou ovlivněny srážkami s elektrony. Tedy
v1=v[ = 0 (11.35) fm = f'ni (H-36)
a rovnici (11.34) přepíšeme jako
(^f)Srazk =   /    fnld3Vl de (f'e-fe)gbdb. (11.37)
Jvl JO JO
Protože hustota neutrálních částic je dále upravíme
Rozdělovači fce pro elektrony před srážkou je
Tln=   /    fnldiV1 (11.38) Jvl
(-^W = n„ jí    dej   (fe-fe)gbdb. (11.39)
fe = /e(r, v, t) = /00(r, t;, t) + ^/oi(r,   í) (11.40)
a po srážce
/e = /e(r,i/,í) = foo(r,v',t) + V-^.foi{r,v',t) = (11.41)
i/' • ížz
= foo(r,v,t) H--f0i(r,v,t).
v
V posledním vztahu jsme předpokládali, že f' = v, neboť elektrony neztrácejí energii, protože neutrály jsou mnohem těžší a jsou v klidu. Výsledně tedy píšeme
fe-fe=(V'~")'Vzf0i(r,v,t). (11.42)
Beze ztráty na obecnosti můžeme zvolit osu vz paralelně s původní vzájemnou rychlostí g elektronu, takže
(i/ - v) -vz = (g' - g) ■ unítvz = g(cos\- 1) = v(cos\- 1), (11.43) kde x je rozptylový úhel (úhel mezi g a g'). Dosazením (11.43) do (11.42) dostáváme
f'e - fe = -(1- cosX)foi(r,v,í), (11.44)
takže srážkový člen můžeme zapsat jako
(-^)Srazk = -nngf01(r, v,t) J dej (l-cosx)bdb. (11.45) Protože účinný průřez pro přenos hybnosti mezi elektrony a neutrály je definován jako
crm = / (1 -cosx)(7(tydn = /    de/   (I-cosx)ďcíď (11.46)
■/ Q -JO -JO
82
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
můžeme (11.45) psát takto
^ f
(^r)coii = -nngtJmfoi(r,v,t). (11.47) ot
Pokud substituujeme foi(r,v,ť) v (11.47) pomocí (11.41) a uvědomíme si, že v použité aproximaci stacionárních iontů (v ■ vz)/v = (g ■ vz)/g = 1, pak
(^r)coii = -nnvom(fe - fe0) = -vr{v){fe - fe0), (11.48) ot
kde jsme zavedli rychlostně závislou srážkovou frekvenci pro přenos hybnosti ur(v) — nnvcrm a /oo byla nahrazena symbolem fe$, tak jak jsme to používali dříve. Vyjádření srážkového členu (11.48) je podobné relaxačnímu Krookovu modelu až na fakt, že srážková frekvence je závislá na rychlosti.
11.2.3   Rychlost změny hybnosti v důsledku srážek
Podle definice srážkového členu Ae v transportní pohybové rovnici máme
Mp me
Ae = [ xt'T c']coii = me / v(-£)coll ďv. (11.49) ot Jv ot
Dosadíme (11.48) a dostáváme
Ae =-me j vr(v)vfed3v + me / vr(v)vfeod3v. (11.50)
J v J v
Pokud bychom předpokládali, že srážková frekvence vr nezávisí a rychlosti a pokud el. plyn nemá žádnou driftovou rychlost v rovnovážném stavu, tj.
Ue0 = —  f Vfe0d3v=0, (11.51)
ne Jv
máme
Ae — -nemeVrUe — -pmevrue, (11.52)
kde tie je průměrná rychlost elektronů v nerovnovážném stavu. Tato rovnice odpovídá vztahu, který jsme použili v Langevinově rovnici.
11.3   Fokker-Planckova rovnice
Uvažujeme Coloumbovské interakce. Vychýlení nabitých částic s velkým defiekčním úhlem v důsledku Coulombovských interakcí nahradíme řadou po sobě následujících slabých binárních srážek, tj. srážek s malým úhlem rozptylu. Fokker-Planckův srážkový člen může být tedy přímo odvozen z Boltzmannova srážk. členu. Uvažujeme srážky mezi částicemi a a (3.
11.3.1   Odvození Fokker-Planckova srážkového členu
Veličina x(v) Je libovolná funkce rychlosti asociovaná s částicemi a. Změna této veličiny na jednotkový objem v důsledku srážek je
x(v)(^)Sľazkd3v = jí jí Jyj'ín-fafín)xg<y(n)dnd3v1d3v^ (11.53)
/ /  / Ufnix' - x)ff<r(íí) díl d3v, d3v
, kde    — x(v') je jediná funkce rychlosti po srážce. Pro slabé srážky můžeme psát
v'=v + Av, (11.54)
kde Av je malá veličina. Protože
X' =x(v') = x(v + AV), (11.55)
můžeme rozvinout x' do Taylorovy řady
x(v + Av) = X(„) + + \ E ifjr*0^' + ■■■ (1L56)
ovi 2 ovidvj
i ij J
11.3. Fokker-Planckova rovnice 83 Dosazením (11.56) do (11.53) dostáváme
1 9"
+ ^ y n   ? &ViAvj)g cr(íT) dP. d3Vl d3v,
2 t—1 oi'iäľj
kde jsme zanedbali vyšší členy rozvoje. Nyní se musíme snažit vyloučit libovolnou fci \. Integrujeme jedenkrát per partes první skupinu integrálů obsahující d\/dvl a dvakrát per partes druhou skupinu obsahující d2x/(dvldvj). Pro x-komponentu první skupiny integrálů obsahujících dx/dvi máme
dx(v)
IQJví Jv dyx
Avxfa(v)fy1(v1)gcT{n)dndiv1div = (11.58)
[ / dvydv:^^ dvx(v'x - vx).fa(V)g<j(n) dn}fp(Vl) (Cm
Q Jvi J v °l'x
Ve členu v hranaté závorce můžeme substituovat
dV=?^dvx (11.59)
ovx
U = {vx-vx)fa(v)gcr(íl)díl (11.60) a integrovat přes vx per partes, takže dostáváme
dx(v)
■ dvx(v'x - vx)fa(v)g<7(fl) díl = (11.61)
- vx)fa(v)gcr(íí) díl] dvx, kde integrovaný člen je roven nule, protože / musí jít k nule pro ±oo. Takže integrál (11.58) je
ľ    ľ    fŽ^Avxfa^f01^ga(Q)^^Vld3v^ (1L62)
■Jn J v! J v
= -fQfv fvX(v)~[Avxfa(V)ga(n)dn}fp(v1)d3v1d3v. Podobným způsobem integrujeme per partes ostatní integrály v (11.57) a dostaneme srážkový člen v tomto tvaru
\(^)srazk d3v == - jí jí ^xJ2^[Avlfaga(n) dn]fpi d3Vl d3v + (11.63)
+ í í   l\xY, ^^[^lAvJfagcj{íí)díl].fl31d3v1d3v = Jn J vx J v l  ~~ ov1ovj
= / Av1ga(n)dnfpid3v1]d3v +
J v     j  c>vi     Jn J vi
+ I' xéH^Až-Vo f I AviAvjUgaMdílfaďvxyďv.
Jv   L „■„■ oi'iOVj JnJví
(Av,}av = /   /  Avlga(n)dnfpid3v1 (11.64) J n J vi
Definujeme veličiny
(AviAvjjau = /   /  AviAvigir(ri)dnfp1d3v1, (11.65) J n J ví
což jsou vlastně modifikované střední hodnoty přes úhel rozptylu a rozděl, fce narážejících částic. Pomocí těchto veličin dostáváme
Jx{^)s^d3v = - jx^-^ífa(Avl)av)+ (11.66)
52
2 ^ dvldv1 ij
84
Kapitola 11. Boltzmannův a Fokker-Planckův srážkový člen
Protože tato rovnice platí pro libovolnou fci x, Pro X — 1 platí
äsrazk = -        -S-(U(^i)av) + \ J2jXr(U^Vj)aV)- (H.67)
ot oví 2ovíOVj
i ij J
Toto je srážkový člen Fokker-Planckovy rovnice. Střední hodnoty (Avi}av a (AviAvj}av jsou tzv. Fokker-Planckovy koeficienty dynamického třeni a difúze v rychlostním prostoru. Vyjadřují střední rychlost změny Aví a AvíAvj v důsledku mnoha po sobě následujících Coulombovských srážek.