Kapitola 7 Nekonečné řady 7.1 Posloupnosti Definice 7.1. Posloupnost je funkce definovaná na množině N, tj. zobrazení /: N —> BL Posloupnost označujeme {an} nebo {an}^Li? ^-tý prvek označujeme f(n), fn a nejčastěji an. Řekneme, že posloupnost {an}^Li má limitu L, jestliže existuje číslo, ke kterému se prvky posloupnosti blíží. Zapisujeme lim an = L n—>oo Například pro geometrickou posloupnost {qn}^=l = {q, q2, q3,... }, kde g G IR je kvocient, platí Hm ÍO je-li |,|<1, n^°° I oo je-li q > 1. Některé další příklady posloupností a jejich limit: Bľ=i = {i,ii---} lim ^ = ° {(-l)n}^°=1 = {1,-1,1,-1,...} lim neexistuje 1 7.2 Číselné řady Nekonečné řady 7.2 Číselné řady Definice 7.2. Nechť {an}^Li je posloupnost reálných čísel. Symbol oo an nebo ax + a2 + a3 H-----h an H---- n=l nazýváme nekonečnou číselnou řadou. Posloupnost {sn}™=l, kde Sl = Oi, S2 = al + a2) • • • j sn = al + a2 + ' ' ' + ani dots, nazýváme posloupnost částečných součtů této řady. oo Existuje-li vlastní limita lim sn = s, řekneme, že řada ^ an konverguje a má součet s. oo Neexistuje-li vlastní limita lim sn, řekneme, že řada ^ an diverguje. n^oo n=1 Příklad 7.3. Určete součet geometrické řady oo a + aq-\-----h aqn H----= ^ agn~\ kdea ^ 0, q ^ 0. n=l Řešení. Nechť |g| 7^ 1. Pak sn = a + ag + • • • + o,qn~1, qsn = aq + aq2 + • • • + aqn. Odečteme-li druhou rovnici od první, dostaneme (1 — q)sn = a — aqn. Odtud n-tý částečný součet je 1 - qn Sn Cl - 1-q Je-li \q\ < 1, pak lim qn = 0 a součet s = hm sn = hm a- n—>oo n—>oo 1 — q 1 — q Pro q > 1 je lim sn = 00 a řada diverguje, pro g < — 1 lim sn neexistuje. n—>oo n—>oo Geometrická řada je konvergentní pro \q\ < 1 a má součet 00 agn_1 = a + ag H-----h agn H----= -. 1 — q 2 Nekonečné řady 7.2 Číselné řady Přímo podle definice můžeme sečíst i jinou než jen geometrickou řadu. Příklad 7.4. Určete součet řady oo 1 V_i_. ^ n(n + 1) n=l v ' Řešení. Určíme n-tf částečný součet řady 11 11 3 n 1-2 2-3 (n-l)n + Na základě rozkladu výrazu pro člen parciální zlomky n(n + 1) n n + 1 můžeme předchozí částečný součet sn přepsat ve tvaru 1111 1111 1 s„ = -- - + -- - + ••• +----+---- = 1 1223 n — 1 n n n + 1 n + 1 Jelikož pro součet s řady platí s = lim sn = lim ( 1 n + 1 dostáváme ^ n(n + 1) n=l v ' Á Obecně je obtížné určit součet nekonečné řady a proto se často orientujeme na to, zda řada konverguje či diverguje, aniž bychom určovali její součet. K tomu slouží kritéria konvergence. Ukažme si alespoň dvě z nich. Věta 7.5 (Podílové kritérium). Nechť ^2 an je řada s kladnými členy a nechť existuje n—>oo ,. an+l lim - = q. íwoo an Je-li q < 1, pak ^2 an konverguje a je-li q > 1, pak řada ^2 an diverguje. Případ q = 1 nelze tímto kritériem rozhodnout a je třeba použít jiné kritérium. Příklad 7.6. Rozhodněte o konvergenci řady: oo 2 00 n n=l n=l 3 7.3 Mocninné řady Nekonečné řady Řešeni, a) Podle limitního podílového kritéria dostáváme (n+l)2 2 lim n+1 = lim (n+p' = lim -—^ = lim —= lim — = 0 < 1 nl y ' a daná řada konverguje, b) Opět užitím limitního podílového kritéria lim ^±1 = lim = hm (" + + ^ = lim f^ľ = lim fl + ^ = e > 1, a proto daná řada diverguje. Á Věta 7.7 (Integrální kritérium). Nechi funkce f je kladná a klesající na intervalu [l,oo). oo Nechi an = f(n). Pak ^2 an konverguje právě tehdy, když konverguje integrál Jx f(x) dx. n=l Příklad 7.8. Rozhodněte o konvergenci řady: 00 i - i «0 E1- b) E^—• n=l n=2 Řešení, a) Užijeme integrálního kritéria. Funkce /(x) = ^ je na intervalu [l,oo) nezáporná. První derivace f'(x) = — ^ < 0 pro každé x G [1, oo) a proto je daná funkce nerostoucí na tomto intervalu. Zbývá tedy vyšetřit integrál ^ dx. Platí ľ°° 1 /"* 1 / — dx = lim / — dx = lim [lnxlí = lim lni — ln 1 = oo. Jelikož integrál diverguje, diverguje i daná řada. b) Funkce f(x) = —je pro všechna x G [2, oo) nezáporná. Platí f'(x) = — < 0 pro všechna x G [2, 00) a proto je daná funkce nerostoucí. Můžeme tedy užít integrálního kritéria a vyšetřit integrál J2°° dx. Platí /---dx = lim /---dx = lim / - ds = lim [ln síro = lim ln ln t—ln ln 2 = 00, J2 x-m x í^oo J2 x-lnx í^oo Jln2 S t^oo t^oo proto daná řada diverguje. Při výpočtu jsme užili substituce s = lnx. 7.3 Mocninné řady Mocninná řada je řada funkcí tvaru ao + cl\x + cl2x2 + • • • = anxn, kde an G BL 00 n=0 4 Nekonečné řady 7.3 Mocninné řady Podobně jako u číselných řad je důležitá otázka pro která x tato řada konverguje. To určuje tzv. poloměr konvergence r, který můžeme určit podle vzorce r = lim n—>oo an+l Je-li 0 < r < oo, pak řada konverguje pro x G (—r, r) a diverguje pro \x\ > r. Je-li r = oo, pak řada konverguje pro všechna x. Například pro řadu oo ^(-l)na;n = 1 - x + x2 - x3 + • • • n=0 je poloměr konvergence r = lim 1 = 1, n—>oo tj. řada konverguje pro \x\ < 1. Součet této řady určíme jako součet geometrické řady, kde a = 1 a q = —x 1 — x + x2 — x3 + ■ ■ — 1 +x Odtud také plyne, že řada konverguje pro \x\ < 1. Pro která x můžeme mocninou řadu derivovat a integrovat člen po členu? Pro všechna x G (—r, r) platí anxn J = (do + oirr + a,2x2 + •••)' = ai + 2a2^ + 3a3X2 + • • • , fx ( °° \ fx a\x2 a2x3 / z2 anXn ) drr = / (°o + oií + a2t2 H----) dt = a0x H-----1-----1----. J° \n=o J Jo 2 6 Přitom výrazy na pravé straně mají stejný poloměr konvergence. Integrace a derivace řady využíváme při rozvoji funkcí do řad a při hledání součtu řady. Příklad 7.9. Vyjádřete funkci ln(l + x) mocninou řadou. Řešení. Podle předchozího pro x G (—1,1) platí 1 1 — x + x2 — x3 1 +x dále platí i TT7 =111(1 + x) dohromady dostáváme, že pro x G (—1,1) platí rx dt ln(l + x)dí = / _T_ = / (i_í + í2_í3H----)dí o 1 + í Jo 2 3 4 00 n i-t + t-t + - = B-1)"-1t n=l 5 7.3 Mocninné řady Nekonečné řady Příklad 7.10. Určete interval konvergence a součet mocninných řad: ]T) (-l)nx3n = 1 - x3 + x6 - x9 n=0 b) E(-l)n+1f = *-T + T"T n=i c) Ľ n=0 2n+l (z-l) + ^ + d) £ ra"-1 = 1 + 2x + 3a:2 + Ax3 + • • • n=l oo e) ^(-l)™-1^3™-1 = x2 - 2:r5 + 3x8 - Ax11 + ■■■ n=l co f) £ = .x + 2x2 + 3x3 + Ax4 + ■ ■ ■ n=l Řešeni, a) Jedná se vlastně o geometrickou řadu s kvocientem q = = —x3. Jelikož geometrická řada konverguje pro \q\ < 1, proto | — a:3| < la daná řada konverguje pro x G (—1,1). Pro součet geometrické řady platí s(x) 1 — q 1 + x 3' Proto platí £(-l)V» = _3 pro *G(-1,1). n=0 b) Pro interval konvergence platí r = lim O-n+1 lim _-i\n+l (-1) n+1 lim ——— = 1 n—>co TI a tedy řada konverguje pro x G ( — 1,1). V tomto intervalu tedy existuje součet řady a řadu lze člen po členu derivovat s'(x) vn=l n=l £(-ir+1^) =E((-1)n+1T) =E(-1)n+1^1 = 1 -x + x2 — x3 + - n=l Po derivaci dostáváme geometrickou řadu s kvocientem q = —x, jejíž součet je roven Proto pro součet s(x) původní řady platí s'(x) 1 + x pro x G ( — 1,1). 6 Nekonečné řady 7.3 Mocninné řady Odtud integrováním dostáváme s(x) = I -dx = ln(l + x) + c. 1 + x Konstantu c určíme dosazením konkrétního čísla z konvergenčního intervalu, např. x = 0 s(0) = ^(-l)n+1— = 0 0 = ln(l + 0) + c c = 0. n=l Součet řady je roven oo n =ln(l + x) pro are (-1,1). n=l c) Využijme toho, že řada a řada z ní vzniklá derivováním, případně integrováním, mají stejný poloměr konvergence. Derivujme danou řadu člen po členu V 2n + l ; ^ 2n + l J ^ Ax) = = ), P ' => f^-i)2n = i + (^-i)2 + (^-i)4 + ' Po derivaci dostáváme geometrickou řadu s kvocientem q = (x — l)2, jejíž součet je roven 1 _ 1 1 — {x — l)2 2x — x2 Geometrická řada konverguje pro \q\ < 1 =>. |(x-l)2|■ a: G (0,2). Pro součet původní řady platí = -l—; y 1 2x-x2 a odtud integrováním f 1 11 / x \2 s(x) = /-- dx = — \nx--ln(x — 2) + c = ln ( - + c. K J J 2x-x2 2 2 V ; \x-2J Konstantu c určíme dosazením čísla např. x = 1 G (0, 2) V (1 ~ 1)2n+1 = 0 =» 0 = ln f^y + c^c = 0. ^ 2n + 1 V 1 — 2 / n=0 V 7 Součet řady je roven n=0 7 7.3 Mocninné řady Nekonečné řady d) Určeme poloměr konvergence r = lim n—>oo an+l lim - n^oo n + 1 1. Proto pro x G (—1,1) můžeme danou řadu integrovat člen po členu s(x) dx Dostáváme tak geometrickou řadu s kvocientem q = x a součtem Proto platí // oo \ oo „ oo I ^ ra"-1 ] dx = / ^n_1 dx = J2 \n=l / n=l n=l xn + C. s(x) dx x 1 — x + c a odtud derivováním Dostáváme tak s(x) x 1 — x + c (ar - l)2' n=l „n—1 e) Pro poloměr konvergence platí r = lim n—>oo {x-iy lim pro x G (—1,1). an+l -l)n+1n n^oo |(-l)n+2(n+ 1)| 1. Pro x £ (—1,1) můžeme danou řadu integrovat člen po členu /„ / oo \ oo „ 1 OO s(x)dx= / ^^(-l)™-1^-1 dx = J2 ni-l^x^dx = -^(-l)™-1 \n=l / n=l n=l 3 Dostáváme tak geometrickou řadu se součtem tt-?- Platí 1 X3 s(rr) dx = --—:—- + c -1x3n+c. 3 1 + xs a odtud derivováním 1 x^ s(x) = [ -——- + c x 31 + rr3 J (1 + x3)2' Proto pro součet řady platí n=l Nekonečné řady 7.3 Mocninné řady f) Obdobně jako v předchozích příkladech určíme interval konvergence x E (—1,1). Upravme n-tý člen tak, abychom jej mohli vyjádřit pomocí derivace (xn)' = nx^1, pak nxn = x ■ (xn)'. Nyní dosaďme do řady j2 nxn = x ■ w =x ■ J2^ny =x • 1 n=l n=l n=l oo Přičemž ^2 xn ]e geometrická řada se součtem a proto n=l n=l 5>n = Hry =jx-^vť pro xg(-1'1)- Poznámka 7.11. Je-li dána funkce /, která má v bodě xq derivace všech řádů, pak řadu n=0 x nazýváme Maclaurinovou řadou funkce /. Například 2 " = 1 + IÍ + iT + '" + ^ + '" = £^ n=0 SIM = x ™3 ™2n+l 00 ™2n+l _ + ...+ í-\)n—- + • • • = V(-i)n—-- 3! + +l ' (2n + l)!+ ^ ' (2n + i; COSX = 1--- + • • • + (-I)™---r + • • • = V(-l 2! v ' (2n)! ^v 7 (2n)! Pomocí předchozích vztahů můžeme dokázat tzv. Eulerův vztah elx = cos x + i sinrr. Platí ■ ix (ke)2 ix x2 ix3 x4 elx = 1 _|---L ^-L_ i----= \A-------1-- 1! 2! 1! 2! 3! 4! 2 4 / 3 1--- H--- — • • • + i —---r + • • • = cos x + i sin rr. 2! 4! VI! 3! 9 7.4 Fourierovy řady Nekonečné řady 7.4 Fourierovy řady Fourierovy řady slouží k aproximaci periodických funkcí. Nechť je funkce definována na [—7T, 7r]. Pak její Fourierova řada je a0 ^^(an cos nx + bn sin nx) n=l kde an a bn jsou Fourierovy koeficienty funkce /, pro něž platí i r an = — / /(#) cos drr, iíGMU{0}, i r bn = — f(x)sinnxdx, n G N. Je-li / sudá funkce, má její Fourierova řada tvar --h / ancosnx, kde an = — f(x)cosnxdx (nGNU{0}). 2 ^—' 7T In n=l JU Je-li / lichá, má její Fourierova řada tvar ^^6nsinnx, kde bn = — / /(rr) sin dx (n G N). n=l Otázkou je, kdy je součtem Fourierovy řady funkce / právě tato funkce. Nechť / je po částech spojitá a po částech monotónní na [—7r,7r]. Pak f(x) = — + ^^(an cos nx + bn sin nx) n=0 ve všech bodech x G (—7r,7r), kde je spojitá. V bodech nespojitosti je součtem Fourierovy řady aritmetický podíl limity zleva a limity zprava v tomto bodě. Součtem řady pro všechna x G IR je tzv. periodické rozšířeni funkce /. Příklad 7.12. Funkci f(x) = x rozviňte na intervalu [0,7r] do kosinové řady. Obrázek 7.1: Sudé periodické rozšíření funkce x, x G (0,7r) 10 Nekonečné řady 7.4 Fourierovy řady Řešeni. Sudé periodické rozšíření funkce je znázorněno na obrázku. Přitom platí „2 "i 2 r , 2 a0 = — xdx = — Jo 7T x ~2 7T, J 0 7T an = — I i cos ni di = —[rrsinrirrjo--/ sinnrrdrr Tedy pro x G [0,7r] platí 7T 2 ^ n=l n7T ("l)f n7r n2n [(-ír-i]. 2 7T cos 7T 4 cos(2n — l)x 7T E í (2n-l): Poznámka 7.13. Ukažme, jak lze odvozených výsledků využít k nalezení Fourierových řad periodických funkcí s periodou p ^ 2%. Označme kvůli jednoduchosti p = 2h a předpokládejme, že / je integrovatelná funkce na intervalu [—h, h]. Pak funkce g{t) = f je periodická s periodou 2%, je-li přitom / po částech spojitá a po částech monotónní na [—h, h], zřejmě je také funkce g po částech spojitá a po částech monotónní na [—7r, 7r]. Proto lze funkci g rozvinout do Fourierovy řady na [—7r,7r], odkud zpětnou transformací tj^x obdržíme Fourierovu řadu funkce / na [—h, h] ve tvaru oo --h > [dri cos — 2 ^ V n h n=l x + bn sin ~^~x kde Fourierovy koeficienty jsou dány vzorci 1 /" mr -y /(re) cos —xdx (ueNufo}), 1 /" n7r 6n = — J f(x) sin —xdx (n G N). Příklad 7.14. Najděte Fourierův rozvoj funkce f(x) =ina intervalu [—1,1]. Obrázek 7.2: Periodické rozšíření funkce x, x G (—1,1] 11 Cvičení Nekonečné řady Řešeni. V tomto případě je h = 1, dále je / lichá, a proto an = Opron G N U {0} a Tedy bn = 2 / x sin nnx dx Jo 2 1 2 Z"1 --[rr cos mnr]0 H--/ cos nnx dx = nn nn JQ 2 2 i 2 _i --cosmrH——— [sin mnr] 0 = —(—l)n . 2 n—1 -sin mne pro x G (—1,1). 7T —' n n=l Poznámka 7.15. Animace zobrazující Fourierovy řady je možno nalézt na https://www.math.muni.cz/~plch/nkpm/html/index.htm. Cvičení 1. Určete poloměr konvergence a součet mocninných řad: oo oo n=l n=l oo oo c) £(-i)nĚ£, d) E(-ir+1íS). n=0 n=l 2. Rozviňte funkci do mocninné řady: a) y = arctgrr, b) y = \n(l — x). 3. Nalezněte Fourierovu řadu funkce f(x) = sgn(x) na intervalu [—7r,7r] -1, x G [ —7T, 0), sgn(:r) = ^ 0, rr = 0, 1, x G (0,tt]. 4. Rozložte ve Fourierovu řadu funkci f(x) = \x\ na intervalu (—1,1). 12 Nekonečné řady Cvičení Výsledky: 1. a) iln|i±f| ,|x| < 1, b)j^,\x\