Domácí úkoly ke cvičení č. 12 1. Určete paritu p(a) každé z následujících permutací a množiny {1, 2, 3,4, 5,6, 7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20} : a) a = b) a = c) a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 \ 13 7 8 11 9 16 4 19 1 17 3 15 18 5 12 20 2 6 10 14y' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20^ 17 14 11 19 7 20 13 5 12 4 9 8 18 2 10 1 6 15 3 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20\ 14 9 12 7 17 2 15 3 11 4 16 5 20 8 19 1 13 6 10 18 2. V závislosti na hodnote prirozeneho císla n > 1 urcete paritu p(a) každe z následujících permutací a množiny {1, 2,..., n, n + 1,..., 2n — 1, 2n} : a) a = b) a = c) a = d) a = 123 246 n — 1 n n +1 n + 2 n + 3 2n- 2 2n 1 3 5 2n — 1 2n 2n 3 2n 1 123 n+1 n+2 n+3 n— 1 n n+ 1 n+ 2 n+ 3 2n 1 2n 1 2 3 2n n 1 2 3 ... n — 1 2n- 1 2n- 3 2n- 5 ... 3 n n+1 n+2 n+3 . . . 2n— 1 2n 2n 2 2n 4 . . . 4 1 2 3 . . . n— 1 n n+1 n+2 n+3 . . . 2n— 2n 2n 2 2n 4 . . . 4 2 2n 1 2n 3 2n 5 . . . 3 1 2n ' 1 n)' 1 2n 1 2n\ 1 J ' 3. Overte, ze nasledující mnozina ctvercovych matic rídu 2 nad R 0 c H = { ^0 ^ : a, b, c G R, a = 0 = c j spolu s obvyklím nasobením matic tvorí grupu. Dale si všimnete, ze mnozina R—{0} vsech nenulových realních císel spolu s obvyklím nasobením císel tvorí grupu. Pote overte, ze zobrazení n : H — R — {0} dane predpisem (Va,b,c G R, a = 0 = c) („ ((jj £)) = Q je homomorfismem grupy H do grupy R — {0}. 1 4. Vypočtěte následující determinanty z matic řádu 5 nad Z: 1 -3 -1 3 2 2 1 -3 -1 3 3 2 1 -3 -1 -1 3 2 1 -3 31 3 2 1 1 2 -1 -2 3 3 1 2 -1 -2 -2 3 1 2 -1 -1 -2 3 1 2 2 1 2 3 1 VyuZijte například moZnosti převodu na horní trojúhelníkový tvar. 5. V zívislosti na hodnote parametru x G R vypočtete nasledující determinanty z matic radu 5 nad R: x x 1 1 0 1 1 x 2 3 x x x 1 1 1 1 2x 3x2 4x3 1 x x x 1 1 1 4x 9x2 16x3 1 1 x x x 1 -1 1 1 1 0 1 1 x x 1 1 1 1 1 VyuZijte moZnosti prevodu na horní nebo dolní trojíhelníkoví tvar, popadne kombinujte tento prístup s pouZitím Laplaceova rozvoje. 6. Vypoctete nasleduj ící determinant z matice rídu n G N nad Z: 1 2 3 4 ... n — 2 n — 1 n n 1 2 3 ... n — 3 n — 2 n — 1 n — 1 n 1 2 . . . n — 4 n — 3 n — 2 n- 2 n — 1 n 1 . . . n — 5 n — 4 n — 3 4 5 6 7 1 2 3 3 4 5 6 n 1 2 2 3 4 5 . . . n — 1 n 1 VyuZijte vhodne voleních elementarních radkovích a sloupcovích íprav a moZnosti prevodu matice napríklad na dolní trojíhelníkoví tvar. 2 7. V závislosti na hodnotách parametrů x, y G M vypočtěte následující determinant z matice rádu n > 1 nad M: x x x ... x x x y x x ... x x x y y x ... x x x y y y ... x x x y y y ... y x x y y y . . . y y x Využijte možnosti vytknout společnou hodnotu z některého řádku nebo sloupce, dále použijte vhodné volenáčh elementárních řádkových nebo sloupcových áprav k vynulování podstatne části prvku matice, á konečne využijte možnosti převodu matice na horní nebo dolní trojáhelníková tvar. 8. V závislosti na hodnotách parametrů x, y G M vypočtete nasledující determinant z matice radu n > 1 nad M: + 2y x x ... x x x - y - y x + 2y x ... x x x x x - y x + 2y ... x x x x x x ... x + 2y x x x x x ... x-y x + 2y x x x x ... x x-y x + 2y Využijte elementarních radkovách áprav (k nim patrí treba i počtení vsech radku napríklad k prvnímu radku), dale využijte toho, že je možne vytknout společnou hodnotu ž nektereho radku, pote využijte možnosti pomocí vhodnách elementarních rádkovych áprav vetsinu prvku matice vynulovat, potom mužete využít možnosti vynásobit sloupce matice vhodne žvolenámi čísly (současne se ale pritom musí hodnota determinantu vydelit temito čísly) tak, aby nakonec bylo možno posloupností vhodne volenách elementárních sloupcovách áprav prevest matici na horná trojáhelnáková tvar. (Takto se lže vyhnout použitá rekurentní' formule k vápočtu tohoto determinantu.) 3