Domácí úloha ze dne 27.září 2012 (odevzdává se 4.října)
Uvažme okruh Z[i
√
2] = {a + bi
√
2; a, b ∈ Z} (s operacemi obvyklého
sčítání a násobení komplexních čísel, jako vždy i2
= −1). Nechť
I = {a + bi
√
2; a, b ∈ Z, a + 3b je dělitelné číslem 11}.
1. Dokažte, že I je ideál okruhu Z[i
√
2], a to nejlépe tak, že sestrojíte
homomorfismus okruhů vedoucí z okruhu Z[i
√
2] do vhodného okruhu
tak, aby jeho jádrem byl právě I.
2. Rozhodněte, zda je I prvoideál okruhu Z[i
√
2].
3. Rozhodněte, zda je I maximální ideál okruhu Z[i
√
2].
4. Pokuste se rozhodnout, zda je I hlavní ideál okruhu Z[i
√
2].
1