Domácí úloha ze dne 18.října 2012 (odevzdává se 25.října)
Označme f = x3
+x+1 ∈ Z2[x], g = x3
+x2
+1 ∈ Z2[x] jediné dva kubické
ireducibilní polynomy nad Z2. Pak K = Z2[x]/(f) je osmiprvkové těleso a
platí K = Z2(α), kde α = x + (f). Rovněž L = Z2[x]/(g) je osmiprvkové
těleso a platí L = Z2(β), kde β = x + (g). Víme, že dvě konečná tělesa jsou
izomorfní, právě když mají stejný počet prvků. Proto existuje alespoň jeden
izomorfismus ϕ : K → L.
1. Promyslete si, že tento izomorfismus je jednoznačně určen svou hodnotou
ϕ(α), a stručně vysvětlete, proč je skutečně touto hodnotou dán
předpis izomorfismu ϕ na celém K.
2. Určete, pro které prvky γ ∈ L existuje izomorfismus ϕ : K → L
splňující ϕ(α) = γ.
3. Na základě tohoto konkrétního příkladu se pokuste formulovat hypotézu
pro libovolné prvočíslo p a libovolné n ∈ N: kolik existuje izomorfismů
mezi dvěma danými pn
-prvkovými tělesy? (Svou hypotézu
nemusíte dokazovat.)
[Návod pro část 2: uvědomte si, jakou rovnost splňuje prvek α v tělese K a
co z toho plyne pro jeho obraz ϕ(α).]
1