Domácí úloha z 8.listopadu 2012 (odevzdává se 15.listopadu)
Polynom f = x4
+ax3
+bx2
+cx+d ∈ C[x] má kořeny α1, α2, α3, α4 (každý
kořen je zde uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Nalezněte normovaný
kubický polynom g(x) = x3
+ Ax2
+ Bx + C mající kořeny
β1 = (α1 + α2)(α3 + α4),
β2 = (α1 + α3)(α2 + α4),
β3 = (α1 + α4)(α2 + α3),
tj. vyjádřete koeficienty A, B, C pomocí koeficientů a, b, c, d.
[Poznámka: tento postup umožňuje řešit polynomiální rovnice 4. stupně,
umíme-li řešit polynomiální rovnice 3. stupně (na což máme Cardanovy
vzorce). Substitucí y = x + a
4
převedeme daný polynom do tvaru, kdy je
koeficient u y3
nulový. Bez újmy na obecnosti tedy lze předpokládat, že pro
daný polynom f platí a = 0. Pak kořeny vzniklého kubického polynomu
g(x) = x3
+ Ax2
+ Bx + C splňují
β1 = (α1 + α2)(α3 + α4) = −(α1 + α2)2
,
β2 = (α1 + α3)(α2 + α4) = −(α1 + α3)2
,
β3 = (α1 + α4)(α2 + α3) = −(α1 + α4)2
,
neboť α1 + α2 + α3 + α4 = 0. Vypočteme-li β1, β2, β3, dostaneme
α1 + α2 = ± −β1,
α1 + α3 = ± −β2,
α1 + α4 = ± −β3,
odkud snadno dopočítáme všechny kořeny původního polynomu f, například
2α1 = (α1 +α2)+(α1 +α3)+(α1 +α4), 2α2 = (α1 +α2)−(α1 +α3)−(α1 +α4)
atd.]
1