Domácí úloha z 15.listopadu 2012 (odevzdává se 22.listopadu)
Označme
M = {A ⊆ N; A je nekonečná a současně N − A je nekonečná}
množinu všech nekonečných podmnožin množiny všech přirozených čísel majících
v ní nekonečný doplněk. K množině M přidáme další dva prvky, totiž
prázdnou množinu a celé N, a vzniklou množinu uspořádáme inkluzí.
1. Dokažte, že (M ∪ {∅, N}, ⊆) je svaz (tj. popište, jak vypadají infima a
suprema, a vysvětlete, proč jimi skutečně jsou).
2. Rozhodněte, zda je (M ∪ {∅, N}, ⊆) samoduální svaz (pokud ano, nalezněte
nějaký izomorfismus tohoto svazu s duálním svazem, pokud ne,
nalezněte nějakou algebraickou vlastnost, kterou tento svaz má a jeho
duál ne).
3. Rozhodněte, zda je (M ∪ {∅, N}, ⊆) úplný svaz (své rozhodnutí řádně
zdůvodněte).
4. Rozhodněte, zda je (M ∪ {∅, N}, ⊆) modulární svaz (i toto své rozhodnutí
řádně zdůvodněte).
1