11 Výpoˇcty limit v Maplu

Počítačového systému v této kapitole využíváme zejména ke tvorbě ilustrační graﬁky. Přímý výpočet limit funkce dvou proměnných není ve většině případů možný, protože neexistuje vhodný algoritmus. (Jiná situace je u funkcí jedné proměnné.) Přesto nám může být počítač nápomocen při určování limit funkce dvou proměnných a to zejména jejich transformací do polárních souřadnic a následným výpočtem limity funkce jedné proměnné.

Podobné metody lze použít při určování limit vzhledem k podmnožinám okolí limitního bodu. V této souvislosti budeme za takové podmnožiny volit spojité křivky procházející limitním bodem a mluvit o limitách závislých na cestě, resp. o limitě podél cesty.

11.1 Ilustrační graﬁka

Cyklus PC-grafů z této části je možno využít při přednáškách k ilustraci probírané problematiky a v počítačové laboratoři k samostatnému experimentování studentů. Přitom většinu zde uvedených obrázků lze bez počítače realizovat jen velmi těžko.

Příklad 11.1. Spojité funkce mají v libovolném bodě [a,b] limitu

lim f (x, y) = f (a,b). (x,y)→(a,b)

Příkladem je např. funkce f(x,y) = x − x³ − xy² + x³y² (obr. 11.1 ):
> plot3d(x-x^3-x*y^2+x^3*y^2,x=-1.4..1.4,y=-1.4..1.4,
> view=-1..1, style=patch, labels=[x,y,’z’]);

obr. 11.1:

Příklad 11.2. Funkce

2 f(x,y) = --x-y-- x2 + y2

není v bodě [0,0] deﬁnovaná, ale má v tomto bodě limitu rovnu nule (podle Věty 2.6 ). Pokud se k limitnímu bodu „blížíme“ podél jakékoli cesty, funkční hodnoty se blíží nule (obr. 11.2 ).

obr. 11.2:

(Existence limity nezávisí na funkční hodnotě v limitním bodě.) Aby byla funkce f v bodě [0, 0] spojitá, deﬁnujeme f(0,0) = 0 a generujeme PC-graf vyšetřované funkce:
> f:=proc(x,y) if x=0 and y=0 then 0
> else (x^2*y)/(x^2+y^2) fi end:

> plot3d(f, -3..3, -3..3, orientation=[-57,38],
> axes=framed, style=patch, labels=[x,y,’z’]);

Následující příklady ilustrují jev, kdy hodnota limity funkce závisí na cestě, po které se k limitnímu bodu blížíme – tj. funkce nemá v daném bodě limitu.

Příklad 11.3. Funkce

( 2 2)2 f(x,y) = x--−-y- x2 + y2

nemá v bodě [0,0] limitu. Jestliže se k bodu [0,0] blížíme po přímkách y =

x dostáváme

lim f (x, ±x) = 0, x→0

ale po osách x a y dostáváme

lim f(x,0) = 1, lim f(0,y) = 1. x→0 y→0

Protože hodnota limity závisí na cestě, po které se k bodu [0,0] blížíme, limita lim_(x,y)(0,0)f(x,y) neexistuje. Uvedená situace je dobře viditelná na obr. 11.3 .

obr. 11.3:

> f:=(x,y)->((x^2-y^2)/(x^2+y^2))^2:

> plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3,grid=[51,49],
> axes=framed, style=patch, labels=[x,y,’z’]);

Příklad 11.4. Funkce

--xy--- f(x,y) = x2 + y2

nemá v bodě [0,0] limitu: pokud se k limitnímu bodu blížíme po přímkách y = kx, dostáváme výsledek závisející na konstantě k

xy k (x,yli)m→(0,0)x2-+-y2 = 1+--k2. y=kx

Situace je znázorněna na obr. 11.4 a obr. 11.5. Pro větší názornost je zde funkce zobrazena z různých úhlů pohledu.

obr. 11.4:

obr. 11.5:

PC-grafy byly vytvořeny následující posloupností příkazů:
> f:=(x,y)->x*y/(x^2+y^2);

x y f := (x,y ) → -2----2 x + y

> z:=subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi), f(x,y)):

> p:=plot3d([r*cos(phi),r*sin(phi),simplify(z)],r=0..1,
> phi=-Pi..Pi, grid=[15,45], axes=framed, style=patch):

> with(plots):
> display3d(p,orientation=[15,45],labels=[x,y,’z’]);
> display3d(p,orientation=[-69,38],labels=[x,y,’z’]);

Příklad 11.5. Funkce

{ x2y x4+y2, [x,y] ⁄= [0,0], f (x,y) = 0, [x,y] = [0,0]

nemá v bodě [0,0] limitu. V tomto případě jsou všechny limity po přímkách y = kx k bodu [0,0] rovny 0, avšak po parabolách y = kx² hodnota limity záleží na konstantě k (viz Poznámka 2.2 ).

Bez použití počítače je velmi obtížné nakreslit graf funkce a studenti často nemají s touto funkcí spojenu konkrétní geometrickou představu (PC-graf obr. 11.6):
> f:=proc(x,y) if x=0 and y=0 then 0
> else x^2*y/(x^4+y^2) fi end:

> plot3d(f, -2..2, -2..2, grid=[100,100],
> style=patchcontour, orientation=[-46,35],
> contours=12, axes=boxed, labels=[x,y,’z’]);

obr. 11.6:

Příklad 11.7. Funkce

----2------ f(x,y) = x2 + y2 − 9.

není deﬁnovaná na množině K = {[x,y] : x² + y² = 9}, což je kružnice se středem v bodě [0,0] a poloměrem r = 3, a nemá v žádném bodě této množiny limitu.

Nechť [x₀,y₀] K. Jestliže se k bodu [x₀,y₀] blížíme po libovolné cestě L₁ ležící vně kružnice K, pak dostáváme

lim -----2----- = -2-= + ∞. (x,y)→(x0,y0)x2 + y2 − 9 0+ (x,y)∈L1

Jestliže se k bodu [0,0] blížíme po libovolné cestě L₂ ležící uvnitř této kružnice, dostáváme

-----2----- -2- (x,yl)→i(mx0,y0)x2 + y2 − 9 = 0− = − ∞. (x,y)∈L2

Odtud plyne, že limita lim_(x,y)(x0,y₀)f(x,y) neexistuje. Existují pouze limity po cestách ležících uvnitř a vně kružnice K. PC-graf funkce f je uveden na obrázcích 10.20 a 10.21 .

11.2 Výpočty

Maplu můžeme použít i při určování existence, resp. neexistence limity funkce dvou proměnných.

Následující příklady ilustrují možnosti Maplu při procvičování některých metod určování limit funkce. Např. u funkce dvou proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoho způsoby: po přímkách, parabolách či obecných množinách. K důkazu neexistence limity přitom stačí najít dvě různé hodnoty limit vzhledem k různým množinám. Maple nám zde pomáhá při výpočtu volbou y =

(x) (pro vhodné

) získaných limit funkce jedné proměnné (př. 2.1 a př. 2.2 ). Maple nám může asistovat i při důkazu neexistence a příp. i existence limity funkce dvou proměnných ve vlastním bodě [x₀,y₀] zavedením polárních souřadnic (př. 2.3 a př. 2.4 ).

Jinou možností řešení limit funkcí dvou proměnných je nejdříve určit graf funkce, podle grafu vyslovit hypotézu o existenci, resp. neexistenci a tuto dokázat (př. 2.5 ). K tomu lze efektivně, ale s jistou opatrností, využít PC-grafů uvažovaných funkcí.

Některé příklady z této části již byly použity v části Ilustrace, zde je však na rozdíl od předcházející části kladen důraz na výpočetní aspekt problému.

Příklad 11.8. Určete

x2 − y2 lim --2---2. (x,y)→(0,0)x + y

Zkoumanou funkci označme g(x,y). Za množiny, vzhledem k nimž budeme limity počítat, zvolme přímky. Pokud se k limitnímu bodu [0,0] blížíme po přímce y = 0, dostáváme

x2 L1 = lim g(x,0) = lim -2-= 1, x→0 x→0 x

ale pokud se k limitnímu bodu blížíme podél přímky y = x

x2 −-x2- L2 = xli→m0 g(x,x) = lxim→0 x2 − x2 = 0.

Tedy L₁≠L₂, t.j. výsledek závisí na cestě, po které se blížíme k limitnímu bodu, a proto uvažovaná funkce g nemá v bodě [0,0] limitu.
Přitom bylo použito následujících příkazů:
> g:=(x,y)->(x^2-y^2)/(x^2+y^2);

x2 − y2 g := (x,y ) → x2-+-y2

> L1:=Limit(g(x,0), x=0)=limit(g(x,0),x=0);

L1 := lim 1 = 1 x→0

> L2:=Limit(g(x,x), x=0)=limit(g(x,x),x=0);

L2 := xli→m0 0 = 0

Poznámka 11.1. Pozor na nesprávné použití Maplu při výpočtech limit!
Příkazem:
> limit(limit(g(x,y), y=0), x=0);

1

nepočítáme limitu dané funkce v bodě [0,0], ale pouze limitu podél osy x. Správné použití příkazu limit k výpočtu hledané limity je:
> limit(g(x,y), {x=0,y=0});

undef ined

Zde tedy dostáváme, že limita neexistuje. U všech dalších příkladů uvedených v této části však Maple není přímým výpočtem schopen o existenci limity rozhodnout.

Příklad 11.9. Určete limitu funkce

--xy2-- f(x,y) = x2 + y4

v bodě [0,0].
Budeme-li se k bodu [0,0] blížit po přímkách y = kx, dostáváme

2 3 2 lim --k-x----= lim ---k-x-- = 0. x→0 x2 + k4x4 x→0 1 + k4x2

Výsledek nezávisí na k, pro jakoukoli přímku dostáváme stejný výsledek. To však k existenci limity nestačí. Položme x = ky². Dostáváme

---ky4--- ---k-- liy→m0 k2y4 + y4 = k2 + 1,

což je výsledek závisející na konstantě k. Limita tedy neexistuje, pro různé cesty dostáváme různé výsledky.
Realizace v Maplu:
> f:=(x,y)->x*y^2/(x^2+y^4);

2 f := (x,y ) → --xy--- x2 + y4

> Limit(f(x,k*x), x=0)=limit(f(x,k*x),x=0);

--x3-k2--- lxi→m0 x2 + k4x4 = 0

> Limit(f(k*y^2,y),y=0)=limit(f(k*y^2,y),y=0);

---k-y4-- ---k-- yli→m0 k2 y4 + y4 = k2 + 1,

Příklad 11.10. Rozhodněte, zda existuje limita

lim --2xy--. (x,y)→(0,0)x2 + y2

Zavedením polárních souřadnic dostáváme

2xy 2r2sin(φ)cos(φ) lim --2---2 = lim --------2------ = sin(2φ). (x,y)→(0,0)x + y r→0+ r

Protože výsledek závisí na

, tj. na směru, ve kterém se blížíme k bodu [0,0], uvedená limita neexistuje.
Výpočet:
> f:=(x,y)->(2*x*y)/(x^2+y^2);

xy f := ( x,y) → 2 -2----2 x + y

> Limit(subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi), f(x,y)),
> r=0, right)= limit(simplify(subs(x=r*cos(phi),
> y=r*sin(phi), f(x,y))), r=0, right);

r2 cos( φ)sin(φ ) lim 2-2-------2---2-------2 = 2cos(φ )sin(φ ) r→0+ r cos(φ ) + r sin( φ)

Příklad 11.11. Rozhodněte, zda existuje limita funkce

x3 + y3 f(x,y) = -2----2 x + y

v bodě [0,0].
Transformací do polárních souřadnic dostáváme

x3 + y3 r3(sin3φ + cos3φ) lim -2----2 = lim -2---2-------2---= lim r(sin3φ + cos3φ) = 0. (x,y)→(0,0)x + y r→0+ r(sin φ + cos φ) r→0+

Výpočet:
> f:=(x,y)->(x^3+y^3)/(x^2+y^2);

3 3 f := (x,y ) → x--+-y- x2 + y2

> Limit(subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi), f(x,y)),
> r=0, right)= limit(simplify(subs(x=r*cos(phi),
> y=r*sin(phi), f(x,y))), r=0, right);

lim r3-cos(-φ)3 +-r3-sin(-φ)3 = 0 r→0+ r2 cos( φ)2 + r2 sin( φ)2

a protože funkce g() = sin³() + cos³() je ohraničená (obr. 11.7), je podle Věty 2.6 hodnota limity rovna nule.

obr. 11.7:

Příklad 11.12. Určete

x2y lim --2---2. (x,y)→(0,0)x + y

Generujme PC-graf funkce (obr. 11.2 ) a zkoumejme chování funkce v okolí limitního bodu (obr. 11.8 ), (získaný PC-graf se téměř neliší od PC-grafu na obr. 11.2 , všimněme si ale rozdílu v oblasti, nad kterou PC-graf vytváříme).

obr. 11.8:

> g:=(x,y)->x^2*y/(x^2+y^2);

> plot3d(g, -0.003..0.003, -0.003..0.003,
> orientation=[-57,38], axes=framed, labels=[x,y,’z’]);

Z toho, že funkční hodnoty se „blíží“ nule, lze usoudit, že limita funkce v bodě [0,0] patrně existuje a je rovna nule. Tuto hypotézu dále podpořme výpočtem limit po přímkách y = kx a parabolách y = kx²:

x2y g := (x,y ) →-2----2 x + y

> L1:=limit(g(x,k*x), x=0);

L1 := 0

> L2:=limit(g(x,k*x^2),x=0);

L2 := 0

Jestliže tedy limita existuje, musí být rovna 0. Proveďme transformaci do polárních souřadnic a existenci limity ověřme podle stejné věty jako v předcházejícím příkladě:

-x2y--- r2-cos2(φ)r-sin(φ) 2 (x,yli)→m(0,0)x2 + y2 = rl→im0+ r2 = rli→m0+ r(cos(φ) sin(φ)) = 0

a protože funkce cos²(

)sin(

) je ohraničená, je hodnota limity rovna nule.
> Limit(subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi), g(x,y)),
> r=0, right)= limit(subs(x=r*cos(phi), y=r*sin(phi),
> g(x,y)), r=0, right);

3 2 lim ---r-cos(φ-)-sin(φ-)-- = 0 r→0+ r2 cos( φ)2 + r2 sin( φ)2

Příklad 11.13. Určete

lim sin(x+-y)-. (x,y)→(0,0) x + y

> f:=(x,y)->sin(x+y)/(x+y);x1:=0:y1:=0:

f := (x, y) → sin(x-+-y-) x + y

> Limit(f(x,y1+k*(x-x1)),x=x1)=
> limit(f(x,y1+k*(x-x1)),x=x1);

lim sin(-x-+-kx-)= 1 x→0 x + k x

Všimněme si, že f je složená z funkcí F a G, kde:
> F:=(x,y)->x+y;G:=t->sin(t)/t;

F := ( x,y) → x + y

G := t → sin(t)- t

> (G@F)(x,y);

sin(-x+-y-)- x + y

> Limit(G(t),t=0)=limit(G(t),t=0);

sin( t) lim -------= 1 t→0 t

V našem případě limity funkcí F a G existují a tedy podle věty o limitě složené funkce je limita rovna jedné.
> plot3d(f(x,y), x=-2*Pi..2*Pi, y=-2*Pi..2*Pi,
> orientation=[162,36], axes=framed, style=patch,
> labels=[x,y,’z’], tickmarks=[7,7,3]);

obr. 11.9:

Příklad 11.14. Určete

x2 + y2 − 2x− 2y (x,y)li→m(1,− 1) x2 +-y2-−-2x+-2y +-2-.

> f:=(x,y)->(x^2+y^2-2*x-2*y)/(x^2+y^2-2*x+2*y+2);
> x1:=1:y1:=-1:

2 2 f := (x,y ) →--x--+-y-−-2-x−-2-y-- x2 + y2 − 2 x+ 2y + 2

> Limit(f(x,y1+k*(x-x1)),x=x1)=
> limit(f(x,y1+k*(x-x1)),x=x1);

2 2 lim x--+-(− 1-+-k(-x−-1-))-−-2-x+-2-−-2k-(x-−-1) =-------∞-------- x→1 x2 + ( − 1 + k(x − 1 ))2 − 2x + 2k (x − 1) signum( 1 + k2)

Z toho plyne, že pokud se k limitnímu bodu blížíme po přímkách, dostáváme limitu rovnu , neboť sgn(1 + k²) = 1. K důkazu existence limity využijeme věty o limitě součinu funkcí:
> Cit:=numer(f(x,y));

2 2 Cit := x + y − 2x − 2y

> Ijmen:=1/denom(f(x,y));

Ijmen := ----------1---------- x2 + y2 − 2 x+ 2y + 2

> (x-1)^2+(y-1)^2=expand((x-1)^2+(y+1)^2);

(x − 1)2 + ( y − 1 )2 = x2 + y2 − 2 x+ 2 y + 2

Jmenovatel denom(f(x,y)) je vždy kladný a

lim -2----2--1---------- = ∞, (x,y)→(1,−1)x + y − 2x + 2y + 2

lim_{(x,y)(1,−1)}x² + y² − 2x − 2y = 2 a tedy součin je roven

(obr. 11.10).
> plot3d(f(x,y), x=0.5..1.5, y=-1.7..-0.5,view=-1..200,
> style=patchcontour, grid=[50,50], axes=boxed,
> labels=[x,y,’z’], tickmarks=[5,6,2]);

obr. 11.10:

Kapitola 11 Výpočty limit v Maplu

11.1 Ilustrační graﬁka

11.2 Výpočty

Kapitola 11
Výpočty limit v Maplu